AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (71)

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MA22 - Unidade 22 - Parte 3
Aplicac¸o˜es da integral – A´reas e comprimentos
Luiz Manoel Figueiredo
Ma´rio Olivero
PROFMAT - SBM
22 de junho de 2013
A´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜os
Seja S a superf´ıcie obtida da rotac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o
cont´ınua f : [a, b] −→ R cuja restric¸a˜o ao intervalo aberto
(a, b) e´ de classe C 1 (diferencia´vel com derivada f ′ cont´ınua).
Queremos atribuir uma a´rea a S .
Para cada partic¸a˜o a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b do
intervalo [a, b], considere os troncos de cone obtidos pela
revoluc¸a˜o dos segmentos de reta que unem os pontos
sucessivos (xi−1, f (xi−1)) e (xi , f (xi )).
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Definic¸a˜o de a´rea de superf´ıcie
A a´rea da superf´ıcie obtida pela unia˜o dos cones e´ a soma das
a´reas dos cones:
n∑
i=1
Ai =
n∑
i=1
pi
(
f (xi−1) + f (xi )
)
li ,
onde li =
√
(xi − xi−1)2 +
(
f (xi )− f (xi−1)
)2
.
Pode-se mostrar que para certos ζi , ξi ∈ |xi−1, xi |,
n∑
i=1
Ai = 2pi
n∑
i=1
f (ζi )
√
1 +
(
f ′(ξi )
)2
∆xi .
Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua e positiva, cuja restric¸a˜o
ao intervalo (a, b) e´ de classe C 1, definimos a´rea da superf´ıcie gerada
pela rotac¸a˜o do gra´fico de f em torno do eixo Ox pela integral
A = 2pi
∫ b
a
f (x)
√
1 +
(
f ′(x)
)2
dx .
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Exemplo 1
Calcular a superf´ıcie da esfera de raio r .
A esfera de raio r pode ser gerada pela revoluc¸a˜o do gra´fico
da func¸a˜o f (x) =
√
r2 − x2 em torno do eixo Ox .√
1 +
(
f ′(x)
)2
=
√
1 +
x2
r2 − x2 =
√
r2 − x2 + x2
r2 − x2 =
r√
r2 − x2 .
Assim,∫
f (x)
√
1 +
(
f ′(x)
)2
dx =
∫ √
r2 − x2· r√
r2 − x2 dx = r
∫
dx .
Portanto, a a´rea da superf´ıcie da esfera de raio r e´
A = 2pi r
∫ r
−r
dx = 2pi r x
∣∣∣∣∣
r
−r
= 4pi r2.
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Exemplo 2
Considere a superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o do gra´fico da
func¸a˜o f (x) =
1
x
, com x ∈ [1,∞), em torno do eixo Ox . O
objeto lembra uma trombeta, pore´m de comprimento infinito.
O volume da trombeta infinita e´ dado por:
V = pi
∫ ∞
1
(
f (x)
)2
dx = pi
∫ ∞
1
1
x2
dx = pi lim
r→∞
∫ r
1
1
x
dx
= pi lim
r→∞−
1
x
∣∣∣∣∣
r
1
= pi lim
r→∞ 1−
1
r
= pi.
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Exemplo 2 - continuac¸a˜o
A a´rea da superf´ıcie que recobre a trombeta infinita e´ dada
por:
A = 2pi
∫ ∞
1
1
x
√
1 +
(−1
x2
)2
dx = 2pi
∫ ∞
1
√
x4 + 1
x3
dx .
Mas,
lim
x→∞
√
x4 + 1
x3
1
x
= lim
x→∞
√
x6 + x2
x3
= 1.
Como
∫ ∞
1
dx diverge, pelo teste do limite do quociente,
sabemos que a integral impro´pria
∫ ∞
1
√
x4 + 1
x3
dx diverge.
Ou seja, a a´rea que recobre a trombeta e´ infinita.
Aqui reside toda a incongrueˆncia: a trombeta pode ser
preenchida por pi unidades cu´bicas de tinta, mas, mesmo com
toda a tinta do universo, na˜o pode ser pintada.
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Comprimento de curva
Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua e positiva,
diferencia´vel em (a, b), cuja derivada e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Seja a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b uma partic¸a˜o do
intervalo [a, b].
Associada a essa partic¸a˜o, temos uma linha poligonal formada
pela unia˜o dos segmentos de reta que unem os pontos
(xi−1, f (xi−1)) e (xi , f (xi )), sucessivamente. Essa linha e´ uma
aproximac¸a˜o para o gra´fico da func¸a˜o f .
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Comprimento de curva
O comprimento dessa linha poligonal e´
n∑
i=1
li =
n∑
i=1
√
(xi − xi−1)2 +
(
f (xi )− f (xi−1)
)2
.
Temos, pelo Teorema do Valor Me´dio, ξi ∈ [xi−1, xi ], tal que
f (xi )− f (xi−1) = f ′(ξi ) ∆xi
Portanto
n∑
i=1
li =
n∑
i=1
√
1 +
(
f ′(ξi )
)2
∆xi .
Assim podemos definir o comprimento do gra´fico da func¸a˜o f ,
sobre o intervalo [a, b], pelo limite dessas somas de Riemann:
L =
∫ b
a
√
1 +
(
f ′(x)
)2
dx .
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Exemplo
Ca´lculo do comprimento de um arco de setor de circunfereˆncia
de raio r correspondente a um aˆngulo α < pi.
Posicione o setor de tal forma que ele esteja na parte superior
de x2 + y2 = r2, e sejam x1 e x2 os pontos correspondentes a`
projec¸a˜o do setor no eixo Ox .
O comprimento desse arco e´∫ x2
x1
√
1 +
(
f ′(x)
)2
dx =
∫ x2
x1
r√
r2 − x2 dx .
Fazendo a substituic¸a˜o trigonome´trica x = r sen θ, onde θ1 e
θ2 sa˜o os aˆngulos que correspondem aos valores x1 e x2, temos∫ x2
x1
r√
r2 − x2 dx =
∫ θ2
θ1
r2 cos θ
r cos θ
dθ =
∫ θ2
θ1
r dθ = r (θ2 − θ1) = r α.
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