exercicios1

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MA22 - Unidade 1 - Exercícios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
11 de Março de 2013
Sequências de Números Reais
Exercícios
1) Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas.
Descreva o tipo de monoticidade de cada uma delas.
(a) x
n
= 2n−1
n
;
(b) x
n
= 1+ 1
3
n
;
(c) x
n
= 1
n
2
;
(d) x
n
= n
n+1 ;
(e) x
n
= n
2+1
3n
2
.
2) Para cada uma das sequências do exercício anterior, exiba três
subsequências.
3) Existe um número finito ou infinito de subsequências da
sequência ((−1)n+1)? Justifique sua resposta
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Exercícios slide 2/4
Limites de Sequências de Números Reais
Exercícios
4) Encontre inteiros n
1
, n
2
≥ 1 tais que
(a)
∣∣∣∣ (−1)n+1
n
2
∣∣∣∣ < 1100 para n ≥ n1 ;
(b)
∣∣∣∣ (−1)n+1
n
2
∣∣∣∣ < 110000 para n ≥ n2.
5) Encontre inteiros n
1
, n
2
≥ 1 tais que
(a)
n
2
n
< 1
10
para n ≥ n
1
;
(b)
n
2
n
< 1
100
para n ≥ n
2
.
6) Ache os limites das sequências (x
n
)
n≥1 abaixo
(a) x
n
= 2n−1
n
;
(b) x
n
= 1+ 1
3
n
;
(c) x
n
= 1
n
2
;
(d) x
n
= n
2+1
3n
2
.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Exercícios slide 3/4
Limites de Sequências de Números Reais
Exercícios
7) Comprove cada um dos seguintes limites:
(a) lim
n→∞ n
n+1 = 1,
(b) lim
n→∞ n+3
n
3+4
= 0
8) O que se pode dizer sobre uma sequência convergente (x
n
)
cujos termos são todos números inteiros?
9) O que se pode dizer sobre as subsequências convergentes da
sequência ((−1)n+1)?
10) Ache lim
n→∞(
√
n + 1−√n).
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Exercícios slide 4/4