gabarito_derivada

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Questões
02/05/2024, 19:35 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66340f53139d33d914241f8b/gabarito/
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1 Marcar para revisão
Dada a função abaixo:
f(x)=sen(4x²)
Calcule 
∂2f
∂x2
�64sen(4x²)x²�8cos(4x²)
64sen(4x²)x²�8cos(4x²)
�8sen(4x²)x²�8cos(4x²)
8sen(4x²)x²�8cos(4x²)
sen(4x²)x²+cos(4x²)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos calcular a segunda derivada da função
dada. A primeira derivada da função f(x)=sen(4x²) é 8cos(4x²).x. Para obter a
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A
B
C
D
E
p ç ( ) ( ) ( )
segunda derivada, precisamos aplicar a regra do produto. A regra do produto,
aplicada à primeira derivada, nos dá �64sen(4x²)x²�8cos(4x²), que é a alternativa
A. Portanto, a segunda derivada da função f(x)=sen(4x²) é
�64sen(4x²)x²�8cos(4x²).
2 Marcar para revisão
Seja g(x) =  ln (x sen x), definida para 0 � x < . Determine o valor da taxa de
variação de g(x)  em relação a x no instante de x = .
π 2 2 π
2
π
4
4 � π
8 � π
4 � 2π
8 � 2π
2 � 2π
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A questão pede a taxa de variação da função g(x) em relação a x no instante x = .
Para encontrar essa taxa, precisamos calcular a derivada da função g(x) e avaliá-la
no ponto x = . Ao realizar esses cálculos, encontramos que a taxa de variação é 8
+  , que corresponde à alternativa D.
π
4
π
4
2π
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A
B
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D
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3 Marcar para revisão
Determine a derivada da função f(x) = 1 − √1 + cos2(ex)
excos(ex)
√1+cos2(ex)
excos2(ex)
√1+cos2(ex)
excos(ex)sen(ex)
√1+cos2(ex)
excos(ex)sen(ex)
1+cos2(ex)
ex −
cos(ex)sen(ex)
1+cos2(ex)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A questão pede a derivada da função . Para encontrar
a derivada, precisamos aplicar a regra da cadeia, que é uma técnica de
diferenciação que permite derivar funções compostas. A alternativa correta é a letra
C, que representa a derivada da função dada, calculada corretamente ao aplicar a
regra da cadeia. A expressão é a derivada da função
.
f(x) = 1 − √1 + cos2(ex)
excos(ex)sen(ex)
√1+cos2(ex)
f(x) = 1 − √1 + cos2(ex)
4 Marcar para revisão
Determinar o valor de m � 4p , reais, para que a função h(x) seja derivável em todos os
pontos do seu domínio.
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A
B
C
D
E
A
0
1
2
3
4
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: 2
5 Marcar para revisão
O crescimento de uma população de fungos foi acompanhado em um laboratório. Os
cientistas conseguiram modelar a quantidade de fungos �QF�, medida em unidade de
milhares, pelo tempo (t), medido em dias. O tempo foi marcado a partir do início do
experimento (t � 0�. O modelo adotado foi QF(t) � 2 tg3 (t2) � 10, t ≥ 0. Foi também
traçado um gráfico de QF pelo tempo para o intervalo entre 0 ≤ t ≤ 10. Assinale a
alternativa que apresenta uma interpretação verdadeira para a derivada de QF, em
relação ao tempo, no instante t � 5.
Representa a quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do
experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta secante ao
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B
C
D
E
gráfico de QF(t), entre os pontos t � 0 e t � 5.
Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia,
que existiu no quinto dia do experimento, como também, o valor do coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de QF(t), no ponto t � 5.
Representa a quantidade de fungos, em milhares, que existiu no quinto dia do
experimento, como também, o valor do coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico de QF(t), no ponto t � 5.
Representa a aceleração do crescimento da quantidade de fungos, em
milhares, que existiu no quinto dia do experimento, como também, a assíntota
do gráfico de QF para t � 0.
Representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos, em milhares/dia,
que existiu no quinto dia do experimento, como também, o valor do coeficiente
angular da reta secante ao gráfico de QF(t), entre os pontos t � 0 e t � 5.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A derivada de uma função em um ponto específico representa a taxa de variação da
função naquele ponto. No contexto desta questão, a derivada de QF em relação ao
tempo, no instante t � 5, representa a taxa de crescimento da quantidade de fungos
no quinto dia do experimento. Isso significa que ela indica quantos milhares de
fungos estão crescendo por dia neste momento específico. Além disso, a derivada
também representa o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
QF(t) no ponto t � 5. Isso significa que ela indica a inclinação da reta que toca o
gráfico de QF(t) apenas no ponto t � 5, fornecendo uma visão da taxa de
crescimento instantânea da população de fungos neste dia.
6 Marcar para revisão
Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra
Exercicio
Derivadas: Conceitos, Propriedades e Cálculos
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A
B
C
D
E
A
do quociente. Calcule a derivada abaixo:
f(x) = x
sen(x)
sen(x)−xcos(x)
sen2(x)
sen(x)−xcos(x)
sen(x)
xsen(x)−xcos(x)
cos2(x)
xsen(x)−xcos(x)
cos(x)
sen(x)−xcos(x)
tg(x)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, utilizamos a regra do quociente na derivada. A regra do
quociente é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma razão de duas
funções. Neste caso, temos que u = x e v = sen(x).
Aplicando a regra do quociente, temos que a derivada f'(x) é dada por:
Portanto, a alternativa correta é a letra A� .
f ′(x) = =u′v−uv′
v2
sen(x)−xcos(x)
sen2(x)
sen(x)−xcos(x)
sen2(x)
7 Marcar para revisão
Determine a equação da derivada da função  , para 0 � x � 1.h(x) = arc sen x
1−x2
√1−x2−x arc sen x
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A
B
C
D
E
A
B
1−x2
x2+2x arc sen x
(1−x2)2
√1−x2+2x cos x
(1−x2)2
√1−x2+2x arc sen x
2
√1−x2+2x arc sen x
(1−x2)2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A equação da derivada da função dada é obtida aplicando a regra do quociente e a
derivada da função arcoseno. A regra do quociente é uma fórmula usada para
encontrar a derivada de uma divisão de duas funções. A derivada da função
arcoseno é . Aplicando essas regras, obtemos a equação da derivada como
, que corresponde à alternativa E.
1
√1−x2
√1−x2+2x arc sen x
(1−x2)28 Marcar para revisão
A regra do produto deve ser utilizada quando há produto entre funções em uma
derivada. Calcule a derivada da função abaixo:
f(x) = sen(x). ex
cos(x)ex + sen(x)ex
2cos(x)ex
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C
D
E
A
B
C
2sen(x)ex
−cos(x)ex + sen(x)ex
−cos(x)ex − sen(x)ex
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, utilizamos a regra do produto na derivada. A regra do
produto é uma fórmula que permite encontrar a derivada de um produto de duas
funções. Nesse caso, temos as funções:
Aplicando a regra do produto, temos que a derivada do produto dessas duas
funções é dada por u'.v +u.v'. Substituindo u e v por suas respectivas funções e
calculando suas derivadas, obtemos a resposta correta: 
.
u = sen(x)
v = ex
cos(x)ex + sen(x)ex
9 Marcar para revisão
Sabe-se que lny - x - xy � 2, com y dependendo da variável x. Determine o valor
de   para x � 0.
2 2
dy
dx
e1
e2
e5
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D
E
A
B
C
D
E
e6
e8
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A questão pede para determinar o valor de   para x � 0, dada a equação lny - x -
xy � 2. Para resolver essa questão, é necessário aplicar as regras de derivação
para funções logarítmicas e polinomiais. Ao fazer isso, encontramos que o valor de 
 para x � 0 é , que corresponde à alternativa D.
dy
dx
2
2
dy
dx
e6
10 Marcar para revisão
Determine a taxa de crescimento da função , em função de x, no
ponto x=2
f(x) = x3 + 4x2 + 2
20.
0.
16.
12.
28.
Resposta correta
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p
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Gabarito Comentado
Para determinar a taxa de crescimento da função, precisamos calcular a derivada
da função em relação a x. A derivada de uma função representa a taxa de variação
da função em um determinado ponto, ou seja, a inclinação da tangente à curva da
função naquele ponto.
Calculando a derivada da função , obtemos
.
Substituindo o ponto x � 2 na derivada da função, temos .
Portanto, a taxa de crescimento da função no ponto x=2 é 28, o que corresponde à
alternativa E.
f(x) = x3 + 4x2 + 2
f ′(x) = 3x2 + 8x
3.22 + 8.2 = 28
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