AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (20)

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MA22 - Unidade 18
Exerćıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
5 de junho de 2013
1. Verifique, nos casos a seguir, se a função F é uma primitiva
de f :
1.1 F (x) = sen x − x cos x e f (x) = x sen x ;
1.2 F (x) = −(x + 2)
√
1− x e f (x) = 3x
2
√
1− x
;
1.3 F (x) = x − arctan x e f (x) = x
2
1 + x2
;
1.4 F (x) = (x2 − 2) sen x + 2x cos x e f (x) = x2 cos x .
2. Use primitivas das funções para calcular as seguintes integrais:
2.1
∫ 2
−1
x2 dx ;
2.2
∫ 1
−
√
2
x3 dx ;
2.3
∫ π
−π2
cos x dx ;
2.4
∫ 3
2
1
2
√
x
dx .
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3. Calcule a área da região compreendida pelo eixo Ox , pela reta
definida por x = 1 e pelo gráfico da função f (x) =
1
1 + x2
.
4. Calcule a derivada das funções a seguir:
4.1 F (x) =
∫ x2
0
cos2 t dt;
4.2 G (x) =
∫ 1
−x2
1
3 + sen t
dt.
5. Seja f (x) = 1 +
∫ 2x
0
cos t2 dt. Calcule a equação da reta
tangente ao gráfico de f −1 no ponto de abscissa 0.
6. Calcule a área da região delimitada pela curva y =
1
x
, pelo
eixo Ox , reta y = x e x = 4.
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7. Calcule a derivada das funções a seguir:
7.1 f (x) = x ln x ;
7.2 g(x) = x2 ln x ;
7.3 h(x) = x ln x2;
7.4 k(x) = ln(cos x);
7.5 f (x) = x ex ;
7.6 g(x) = ex
2
cos x
7.7 h(x) = ecos 2x + e sen 2x ;
7.8 k(x) = cos ex +
√
1 + ex .
8. Verifique que as áreas das regiões delimitadas pela curva
y =
1
x
, eixo Ox , sobre os intervalos [12 , 1] e [1, 2], são iguais.
9. Use a definição ax := Exp(x ln a) para derivar as funções
f (x) = 3x e g(x) = (
√
2)2x .
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