AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (24)

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MA22 - Unidade 22
Exerćıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
22 de junho de 2013
Aplicações da integral
1. Seja R a região limitada pela curva y =
√
x , pelo eixo Ox ,
com x ∈ [0, 4]. Faça um esboço do sólido obtido pela
revolução de R em torno do eixo Ox e calcule o seu volume.
2. Calcule o volume do sólido de revolução da região R em torno
do eixo indicado:
2.1 R = { (x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x/2 }; Ox .
2.2 R = { (x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ cos x/2 }; Oy .
2.3 R = { (x , y) ∈ R | 1 ≤ y ≤ x2 − 4x + 4 }; Ox .
2.4 R = { (x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex }; Ox .
2.5 R = { (x , y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2, 1/x ≤ y ≤ ex }; Ox .
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3. Esboce o gráfico da região R sob o gráfico da função
y = 2 + 2 cos x sobre o intervalo [0, π]. Calcule o volume do
sólido de revolução de R em torno do eixo Oy e faça um
esboço desse sólido.
4. Calcule o volume do sólido cuja base é o disco x2 + y2 ≤ 4 tal
que cada uma de suas seções transversais perpendiculares ao
eixo Ox é um quadrado.
5. Uma cunha é cortada do cilindro x2 + y2 ≤ 1 pelos planos
z = 0 e z = y . Calcule o seu volume.
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6. Calcule a área do cone de raio da base r e de altura h.
7. Calcule o comprimento do segmento de parábola
y = f (x) = x2 sobre o intervalo [0, a].
8. Em cada um dos casos a seguir, calcule a área da superf́ıcie
obtida pela revolução do gráfico da função dada, sobre o
intervalo indicado.
8.1 f (x) =
x2
2
, [0, 2];
8.2 f (x) = ex , [0, 1];
8.3 f (x) = 2
√
x , [1, 4];
8.4 f (x) = sen x , [0, π/2].
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9. Ao girarmos a circunferência x2 + (y − 2)2 = 1 em torno do
eixo Ox , obtemos um toro. Calcule a área dessa superf́ıcie.
10. Determine o comprimento da curva f (x) = 2x3/2 sobre o
intervalo [0, 7].
11. Determine o comprimento do gráfico de f (x) =
x3
6
+
1
2x
sobre o intervalo [2, 4].
12. Calcule o volume limitado pela superf́ıcie gerada pelo gráfico
da função f (x) = x−2/3, para x ≥ 1, e a área que a recobre,
se posśıvel.
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