AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (27)

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MA22 - Unidade 2 - Resumo 1
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
Operações com Limites Finitos
Proposição
Suponhamos que lim
n→∞ xn = L e limn→∞ yn = K . Então,
a) lim
n→∞ xn + yn = limn→∞ xn + limn→∞ yn = L+ K ;
b) lim
n→∞ xn · yn = limn→∞ xn · limn→∞ yn = L · K ;
c) Se y
n
6= 0, ∀n ∈ N e K 6= 0, então lim
n→∞ 1
y
n
= 1
K
.
Combinando os dois últimos itens, obtemos
lim
n→∞
x
n
y
n
=
lim
n→∞ xn
lim
n→∞ yn
=
L
K
,
desde que y
n
6= 0, ∀n ∈ N e K 6= 0.
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Exemplo
Vamos calcular
lim
n→∞
n
2 + 3
n
2 − n + 2 .
Podemos escrever
n
2 + 3
n
2 − n + 2 =
n
2+3
n
2
n
2−n+2
n
2
=
1+ 3
n
2
1− 1
n
+ 2
n
2
.
Limite do numerador: lim
n→∞
(
1+
3
n
2
)
= 1+ 0 = 1.
Limite do denominador: lim
n→∞
(
1− 1
n
+
2
n
2
)
= 1+ 0+ 0 = 1.
Limite do quociente:
lim
n→∞
n
2 + 3
n
2 − n + 2 =
lim
n→∞
(
1+ 3
n
2
)
lim
n→∞
(
1− 1
n
+ 2
n
2
) = 1.
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Limite de Polinômio
Proposição
Seja p(x) = a
m
x
m + · · ·+ a
1
x + a
0
um polinômio. Então,
lim
n→∞ xn = L ⇒ limn→∞ p(xn) = p( limn→∞ xn) = p(L).
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Limites e Desigualdades
Proposição
Se (x
n
) é uma sequência convergente satisfazendo x
n
< b para todo
n ∈ N (respectivamente, x
n
> b para todo n ∈ N), então
lim
n→∞ xn ≤ b (respectivamente, limn→∞ xn ≥ b).
Demonstração.
Seja lim
n→∞ xn = L e suponha, por absurdo, que L > b. Tomemos
r > 0, suficientemente pequeno, tal que L− r > b. Por definição de
limite de uma sequência, existe um inteiro positivo n
0
tal que, para
todo n > n
0
, tem-se que x
n
∈ (L− r , L+ r). Mas isso significa que,
para todo n > n
0
, tem-se que x
n
> b, contradizendo a hipótese
x
n
< b para todo n ∈ N. Concluímos, portanto, que L ≤ b.
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Propriedade do Anulamento
Proposição
Se (x
n
) e (y
n
) são sequências tais que (x
n
) é limitada e
lim
n→∞ yn = 0, então limn→∞ xnyn = 0.
Demonstração.
De fato, seja c > 0 tal que |x
n
| ≤ c para todo n ∈ N. Agora, dado
r > 0, existe n
0
∈ N tal que para todo n > n
0
, |y
n
| < r
c
. Obtemos,
portanto, que para todo n > n
0
, |x
n
y
n
| = |x
n
||y
n
| < c r
c
= r .
Exemplo
lim
n→∞
1
n
2
· sen npi
2
= 0, apesar de a sequência
(
sen
npi
2
)
não
convergir. Isto se deve a proposição anterior, pois lim
n→∞
1
n
2
= 0 e
para todo n ∈ N,
∣∣∣(sen npi
2
)∣∣∣ ≤ 1.
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Teorema do Confronto
Teorema
Sejam (x
n
), (y
n
) e (z
n
) três sequências satisfazendo x
n
≤ y
n
≤ z
n
,
para todo n ∈ N, e suponha que lim
n→∞ xn = L = limn→∞ zn. Então,
lim
n→∞ yn = L.
Demonstração.
Como (x
n
) e (z
n
) convergem para L, temos que dado r > 0,
existem inteiros positivos n
1
, n
2
tais que para todo n > n
1
tem-se
que x
n
∈ (L− r , L+ r) e para todo n > n
2
tem-se que
z
n
∈ (L− r , L+ r). Assim, se n
0
= max{n
1
, n
2
}, para todo n > n
0
temos que x
n
, z
n
∈ (L− r , L+ r). Agora, como x
n
≤ y
n
≤ z
n
para
todo n ∈ N, obtemos que y
n
∈ (L− r , L+ r) para todo n > n
0
.
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