Sistemas Elétricos Componentes

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Sistemas trifásicos em 
regime permanente
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir circuitos trifásicos e cargas balanceadas e desbalanceadas.
 � Interpretar as leis básicas de sistemas trifásicos em regime permanente, 
sob condição balanceada ou não.
 � Analisar a decomposição do sistema trifásico em componentes 
simétricos.
Introdução
A história do sistema elétrico de potência começou na década de 1880 e 
teve seu início marcado por uma disputa de interesses entre cientistas que 
defendiam o uso da corrente alternada (CA) e da corrente contínua (CC). 
De um lado, Nikola Tesla e George Westinghouse defendiam o uso da 
CA, de outro, Thomas Edison defendia um sistema elétrico que operava 
completamente em CC. Essa disputa foi, em grande parte, movida por 
interesses financeiros, já que Edison e Westinghouse eram empreende-
dores e tinham patentes relacionadas aos seus respectivos projetos. Essa 
disputa ficou conhecida como Guerra das correntes e teve como vencedora 
a CA que se utiliza, nos sistemas elétricos, de potência desde então. 
Neste capítulo, você vai estudar os sistemas elétricos trifásicos, ou 
seja, três sistemas em CA operando na mesma tensão e defasados entre 
si. Além disso, serão apresentados os sistemas trifásicos balanceados e 
desbalanceados, as leis básicas que os regem e a decomposição deles 
em componentes simétricos.
Circuitos trifásicos
Circuitos elétricos que operam em CA têm corrente e tensão senoidais. Os 
circuitos trifásicos podem ser representados pela associação de três circuitos 
monofásicos defasados entre si. Portanto, em uma representação fasorial, os 
circuitos trifásicos são definidos por três vetores, com uma diferença angular 
entre si. 
Na representação da forma de onda, conforme ilustrado na Figura 1, as 
correntes que circulam em um circuito trifásico podem ser representadas por 
três ondas, com um atraso entre si. 
Um gerador trifásico nada mais é do que um gerador com três bobinas 
enroladas no seu rotor (Figura 2). Quando o motor gira no sentido anti-horário, 
a tensão é induzida em cada uma delas, conforme representado na Figura 1 
(NAHVI; EDMINISTER, 2014).
Figura 1. Tensões de um sistema trifásico definido pelas fases a, b e c.
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013, p. 448).
0
120° 240°
Van(t) Vbn(t) Vcn(t)
ωt
Sistemas trifásicos em regime permanente2
Figura 2. Representação de motor trifásico com as fases a, b e c.
Fonte: Adaptada de Nahvi e Edminister (2014, p. 268).
A
S
C
B
N
A’
B’
C’
Sistemas trifásicos balanceados
Os sistemas trifásicos balanceados têm o mesmo nível de tensão, em magnitude 
e defasagem, de 120º entre as fases (Figura 3). As tensões Van, Vbn e Vcn são 
chamadas de tensões de fase e representam a diferença de tensão entre cada 
fase e o neutro. Assim:
Van = Vp∠0°
Vbn = Vp∠–120°
Vcn = Vp∠120°
|Van| = |Vbn| = |Vcn|
Van + Vbn + Vcn = 0
Sendo Vp o valor eficaz ou o valor RMS das tensões de fase. No caso da 
Figura 3, diz-se que a tensão da fase a está adiantada em relação à tensão da 
fase b, que está adiantada em relação à fase c. Essa sequência de apresentação 
das fases é conhecida como sequência abc ou sequência positiva (NAHVI; 
EDMINISTER, 2014).
3Sistemas trifásicos em regime permanente
Figura 3. Representação fasorial de um sistema trifásico 
balanceado.
Fonte: Adaptada de Nahvi e Edminister (2014, p. 268). 
–120°
120°
120°
Van
Vbn
Vcn
ω
Quanto ao tipo de ligação entre as fases, o sistema trifásico pode ser 
conectado em estrela ou em triângulo ou delta. A Figura 4a apresenta uma 
conexão em estrela, quando todas as fases têm um de seus terminais conectado 
ao neutro. Na conexão em estrela, não existe um ponto de conexão comum às 
fases, como ilustrado pela Figura 4b.
Figura 4. a) fontes de tensão conectadas em estrela; b) triângulo ou delta.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 448).
Van
Vcn Vbn
Vca Vab
Vbc cc
b
n
a
b
a
(a) (b)
Sistemas trifásicos em regime permanente4
As ligações apresentadas na Figura 4 se aplicam tanto para a fonte quanto para a carga, 
sendo assim, quatro conexões entre elas são possíveis (ALEXANDER; SADIKU, 2013):
 � Conexão estrela-estrela, ou seja, tanto a fonte como a carga estão conectadas 
(Figura 4b).
 � Conexão estrela- triângulo, ou seja, a fonte é conectada em estrela e a carga em 
triângulo.
 � Conexão triângulo-triângulo, ou seja, tanto a fonte como a carga estão conectadas 
(Figura 4a).
 � Conexão triângulo-estrela, ou seja, a fonte está conectada em triângulo e a carga 
em estrela.
Um sistema dito balanceado tem a carga distribuída igualmente entre as suas 
fases. Uma carga em triângulo equilibrada é mais comum que uma carga em 
estrela equilibrada, já que as cargas podem ser mais facilmente acrescentadas ou 
eliminadas de cada fase na conexão em triângulo (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Sistemas trifásicos desbalanceados
Sistemas trifásicos desbalanceados ou desequilibrados são causados por 
fontes de tensão que diferem em magnitude ou fase ou por impedâncias de 
cargas desiguais entre as fases. Quando conectados em estrela, os sistemas 
desequilibrados produzem uma corrente na linha neutra diferente de zero 
(ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Calcular a potência de sistemas desequilibrados exige o cálculo da potência 
de cada fase, já que não se pode considerar que a potência trifásica é equivalente 
ao triplo da potência de uma das fases, mas, sim, a soma das potências destas 
(ALEXANDER; SADIKU, 2013).
No link a seguir, você encontra exemplos práticos e didáticos sobre circuitos 
desequilibrados.
https://goo.gl/QocfjX
5Sistemas trifásicos em regime permanente
https://goo.gl/QocfjX
Leis básicas aplicadas a circuitos trifásicos
Os circuitos trifásicos podem parecer mais complexos de serem matematicamente 
analisados porque é necessário considerar o tipo de ligação entre as três fases. 
Para facilitar a representação das tensões senoidais, são utilizados fasores 
(Figura 3). Utilizando fasores, é possível fazer uma relação entre as tensões 
Van, Vbn e Vcn de um circuito com ligação em estrela, conhecidas como tensão 
de linha e as tensões entre as fases Vca, Vab e Vbc de um circuito com ligação 
em delta, conhecidas como tensão de fase. 
A Figura 5 apresenta o diagrama fasorial com a relação entre as tensões 
de fase e de linha. Nela, percebe-se que a tensão de fase é formada pela 
diferença entre as tensões de linhas, ou seja, a tensão Vab é o vetor resultante 
da subtração do vetor Van sobre o vetor Vbn. O vetor resultante Vab está 30º 
adiantado em relação à tensão de linha Van e a relação entre eles é descrita 
por Alexander e Sadiku (2013):
Vab = √3Van∠30°
Vca = √3Van∠150°
Vbc = √3Van∠–90°
Figura 5. Diagrama fasorial ilustrando a relação entre as tensões de fase e de linha.
Fonte: Adaptada de Nahvi e Edminister (2014, p. 268). 
30°
30°
30°
Vbn Van
Vab = Van – Vbn
Vbc = Vbn – Vcn
Vca = Vcn – Van
Vcn
Sistemas trifásicos em regime permanente6
Um sistema elétrico trifásico ideal pode ser representado pelo circuito da 
Figura 6, no qual uma fonte de tensão conectada em estrela alimenta uma 
carga conectada em delta por meio de uma linha, nesse caso, sem perdas. 
Essa forma de ligação é uma das mais utilizadas em sistemas trifásicos, 
já que o neutro, na fonte, garante a segurança da fonte e a conexão em delta 
ajuda na distribuição balanceada das cargas.
Figura 6. Conexão entre fonte e carga em estrela-triângulo.
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013, p. 454).
Ia
Van
IAB
ICA
ZCA
ZBC
ZAB
IBCIc
VbnVcn
Ib
A
C
Bbc
n
a
Análise do circuito trifásico balanceado
Em um circuito trifásico balanceado, as cargas ZAB, ZBC e ZCA são iguais em 
ângulo e módulo, assim, as correntes IAB, IBC e ICA que surgem com a conexão 
da carga com a fonte também serão iguais em módulo e serão defasadas em 
120° entre si. 
As correntes IAB, IBC e ICA são chamadas de correntes de fase, enquanto as 
correntes Ia, Ib e Ic são chamadas de correntesde linha. Essa nomenclatura é 
bastante utilizada quando o assunto é sistema elétrico de potência, por isso é 
importante que seja compreendida (NAHVI; EDMINISTER, 2014).
7Sistemas trifásicos em regime permanente
A corrente IAB pode ser calculada utilizando a primeira Lei de Ohm, bem 
como em circuitos monofásicos:
IAB = 
VAB
ZAB
=
√3Van∠30°
ZAB
Considerando que o sistema em questão é balanceado, as correntes IBC e 
ICA podem ser obtidas por meio da corrente IAB:
IBC = IAB∠120°
ICA = IAB∠–120°
Por meio de uma análise nodal nos nós A, B e C, é possível obter as correntes 
de linha Ia, Ib e Ic. No nó A, chegam as correntes Ia e ICA e sai a corrente IAB. 
Equacionando essa relação, tem-se:
Ia + ICA = IAB
Ia = IAB – ICA
Ia = IAB – IAB∠120°
Ia = √3IAB∠–30°
Assim, nota-se que a relação entre a corrente de linha e a corrente de fase 
é a mesma relação entre a tensão de linha e a tensão de fase. As correntes de 
linha Ib e Ic podem ser obtidas a partir de Ia:
Ib = Ia∠–120°
Ic = Ia∠120°
A potência trifásica é a soma da potência de cada fase do circuito, como 
em um circuito equilibrado as potências entre das fases são iguais entre si, 
a potência complexa total S é três vezes a potência complexa de uma fase:
S = 3VfIf
*
Sendo Vf e If as tensões e as correntes de fase.
Sistemas trifásicos em regime permanente8
No caso da Figura 6, devido à configuração estrela-triângulo, as tensões 
e as correntes de fase são:
S = 3VanIAB
*
Em sistemas trifásicos, normalmente são conhecidas as tensões e as corren-
tes de linha, por serem, na maioria das vezes, mais simples de serem obtidas 
(Quadro 1). A potência trifásica em relação às tensões e às correntes de linha 
em sistemas balanceados é calculada por:
S = √3VLIL
Sendo VL e IL as tensões e as correntes de linha.
Conexão
Correntes/
tensões de fases
Idêntico às 
correntes de linha
Estrela-estrela
Ia
In
Ib
Ic
ZY
ZYZYVbn
Van
Vcn
N
Aa
n
c
b
C B
Van = Vp 0°
Vbn = Vp –120°
Vcn = Vp +120°
Idêntico às 
correntes de linha
Vab = √3Vp 30°
Vbc = Vab –120°
Vca = Vab +120°
Ib = Ia –120°
Ic = Ia +120°
Ia = Van /ZY +120°
Estrela-triângulo
Vab
Ia
ZY
ZYZYIb
Ic
Vbc
Vca
b
c
a A
N
B
C
Van = Vp 0°
Vbn = Vp –120°
Vcn = Vp +120°
IBC = VBC /Z∆
ICA = VCA /Z∆
IAB = VAB /Z∆
a
Vab = VAB = √3Vp 30°
Ia = IAB = √3 –30°
Vbc = VBC = Vab –120°
Vca = VCA = Vab +120°
Ib = Ia –120°
Ic = Ia +120°
Quadro 1. Resumo das fórmulas para correntes/tensões de linha e de fase para sistemas 
trifásicos desequilibrados
(Continua)
9Sistemas trifásicos em regime permanente
Fonte: Adaptado de Alexander e Sadiku (2013, p. 460).
Quadro 1. Resumo das fórmulas para correntes/tensões de linha e de fase para sistemas 
trifásicos desequilibrados
Conexão
Correntes/
tensões de fases
Idêntico às 
correntes de linha
Triângulo-triângulo
Ia
IAB
VbnVcn
Van
ICAIb
Ic IBC
a
n A
Bbc C
Z∆
Z∆
Z∆
Vab = Vp 0°
Vbc = Vp –120°
Vca = Vp +120°
IBC = Vbc /Z∆
ICA = Vca /Z∆
IAB = Vab /Z∆
Idêntico às 
tensões de fase
Ia = IAB = √3 –30°
Ib = Ia –120°
Ic = Ia +120°
Triângulo-estrela
a A
C
Bb
c
Ia
Ib
Ic
Vab
Vbc
Vca
IAB Z∆
Z∆
Z∆
ICA
IBC
Vab = Vp 0°
Vbc = Vp –120°
Vca = Vp +120°
Idêntico às 
correntes de linha
Idêntico às 
tensões de fase
Ib = Ia –120°
Ic = Ia +120°
Ia = 
Vp –30°
√3ZY
Supondo a sequência abc ou positiva
Análise do circuito trifásico desbalanceado
A análise de circuitos trifásicos desbalanceado é realizada utilizando as Leis 
de Kirchoff das tensões e das correntes. 
O circuito da Figura 7 ilustra a ligação de uma fonte de tensão equilibrada 
ligada a uma carga desbalanceada por uma conexão estrela-estrela. A fonte e 
a carga têm um neutro em comum que, devido ao desbalanço entre as fases, 
é percorrido por uma corrente In, sendo:
Ia + Ib + Ic + In = 0
(Continuação)
Sistemas trifásicos em regime permanente10
As correntes Ia, Ib e Ic podem ser determinadas por meio de uma análise 
de malha:
Ia =
Van
ZA
Ib =
Vbn
ZB
Ic =
Vcn
ZC
Nos casos em que a carga está conectada em triângulo ou quando a linha 
neutra não existe, a Lei das Correntes de Kirchoff deve ser respeitada, de 
modo que a soma das correntes de linha seja igual a zero.
Mais uma vez, devido ao desbalanço das cargas, a potência trifásica não 
pode ser calculada como três vezes a potência monofásica, já que a potência 
complexa será diferente em cada fase. Assim, em sistemas desbalanceados, 
a potência total trifásica é a soma das potências das fases.
Figura 7. Conexão entre fonte e carga em triângulo-estrela.
Fonte: Adaptada de Alexander e Sadiku (2013, p. 458).
Ia
In
Ib
Ic
ZBVbnVcn
Van ZA
ZC
A
N
Bc
c
C
b
a
n
11Sistemas trifásicos em regime permanente
Apesar da tentativa de balancear o sistema, muitas vezes as cargas não estão distribuídas 
igualmente ao longo das fases em todos os momentos, por isso, principalmente em 
sistemas de distribuição, na vida real, o sistema de distribuição será de um circuito 
desbalanceado.
Neste link, você encontra uma explicação em vídeo sobre circuitos trifásicos 
desequilibrados:
https://goo.gl/QocfjX
Componentes simétricos
A análise de circuitos por componentes simétricos foi apresentada ao mundo 
pelo Dr. C. L. Fortescue em 1918. Os componentes simétricos propõem a 
representação de sistemas trifásicos desbalanceados por meio de três sistemas 
equilibrados de fasores. Eles são amplamente utilizados no estudo de faltas 
assimétricas em sistemas de transmissão, as quais podem ser causadas por 
curtos-circuitos monofásicos, bifásicos entre fases, bifásicos entre fases com 
conexão à terra ou trifásicos (STEVENSON JR, 1986). 
Os conjuntos equilibrados de componentes simétricos ilustrados na Figura 8 
são:
 � De sequência positiva, representado pelo subíndice 1, formado por três 
fasores de mesmo módulo, defasados 120º entre si e tendo a mesma 
sequência de fases que os fasores desbalanceados originais.
 � De sequência negativa, representado pelo subíndice 2, formado por três 
fasores de mesmo módulo, defasados 120º entre si e tendo a sequência 
de fases oposta à dos fasores desbalanceados originais.
 � De sequência zero, representado pelo subíndice 0, formado por três 
fasores iguais em módulo e ângulo.
Sistemas trifásicos em regime permanente12
https://goo.gl/QocfjX
Figura 8. Conjuntos de fasores equilibrados que constituem os componentes simétricos 
de três fasores desequilibrados.
Fonte: Adaptada de Stevenson Jr. (1986, p. 245).
Componentes de
sequência positiva
Componentes de
sequência negativa
Componentes de
sequência zero
Vc1 Va1
Vb1
Vc2 Vc0
Vb0
Va0
Va2
Vb2
A soma dos fasores de cada um dos conjuntos de componentes simétri-
cos equivale ao fasor do conjunto desequilibrado, ou seja, em um circuito 
trifásico desbalanceado abc, a tensão da fase a pode ser representada pelos 
componentes simétricos Va1, Va2 e Va0. Assim, as tensões das fases a, b e c 
podem ser representadas por:
Va = Va1 + Va2 + Va0
Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0
Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0
Utilizando a letra a para representar um operador que causa uma rotação de 
120° no sentido anti-horário, as tensões das fases b e c podem ser representadas 
em relação ao componente de sequência da fase a:
Va = Va1 + Va2 + Va0
Vb = a
2 Va1 + aVa2+Va0
Vc = a Va1 + a
2 Va2 + Va0
Na forma matricial:
Va
Vb
Vc
Va0
Va1
Va2
=
1 1 1
1 a2 a
1 a a2
13Sistemas trifásicos em regime permanente
Sendo:
A =
1 1 1
1 a2 a
1 a a2
Ao inverter a matriz A, é possível calcular os componentes simétricos da 
fase a a partir das tensões originais do circuito abc:
Va
Vb
Vc
Va0
Va1
Va2
=
1 1 1
1 a a2
1 a2 a
1
3
Assim, individualmente, os componentes de sequência zero, positiva e 
negativa da fase a são:
Se a soma dos fasores tensão for igual a zero, não existirá componente de sequência 
zero.
Como a soma dos fasores tensão de linha em um sistema trifásico balanceado ou 
desbalanceado é sempre igual a zero, não haverá componentes de sequência zero 
nas tensões de linhas, o que não se aplica aostrês fasores tensão de fase, já que sua 
soma nem sempre é igual a zero.
As equações de componentes simétricos também se aplicam às correntes, 
assim:
Ia = Ia1 + Ia2 + Ia0
Ib = a
2 Ia1 + aIa2 + Ia0
Ic = a Ia1 + a
2 Ia2 + Ia0
Sistemas trifásicos em regime permanente14
Ia0=
1
3 (Ia + Ib + Ic)
Ia1=
1
3 (Ia + aIb + a
2Ic)
Ia2=
1
3 (Ia + a
2Ib + aIc)
A soma das correntes de linha é igual à corrente do neutro In, dessa forma:
Ia + Ib + Ic = In
In = 3Ia0
Quando não existe a linha neutra, a corrente In vale 0, portanto, as correntes 
de linha não terão componente de sequência zero.
Um sistema trifásico alimenta uma carga inicialmente balanceada ligada em triângulo. 
Sabe-se que a corrente que flui na fase a é de 5 A. Após um acidente durante a 
manutenção de um equipamento, o condutor da fase b passa a estar aberto, desba-
lanceando a carga. 
Determine os componentes simétricos das correntes de linha após o incidente.
Solução
O circuito em falta pode ser representado pela figura a seguir:
a
b
c
Z Z
Z
Ib = 0
Ic = 5 180° A
Ia = 5 0° A
15Sistemas trifásicos em regime permanente
As correntes de linha são:
Ia = 5∠0° A
Ib = 0 A
Ic = 5∠180° A
Utilizando as equações apresentadas anteriormente e considerando que a = 1∠120°
, os componentes simétricos das fases b e c podem ser obtidos a partir de Ia0, Ia1 e Ia2:
Ib1 = 2,9∠–90° A
Ib2 = 2,9∠90° A
Ib0 = 0
Ic1 = 2,9∠1500° A
Ic2 = 2,9∠–150° A
Ic0 = 0
1. Sobre circuitos trifásicos, 
pode-se afirmar que:
a) eles podem ser representados 
pela associação de três circuitos 
monofásicos defasados entre si.
b) eles podem ser representados 
pela associação de três 
circuitos monofásicos sem 
diferença angular entre si.
c) em uma representação fasorial, 
os circuitos trifásicos são 
definidos por três vetores iguais. 
d) na representação da forma 
de onda, as correntes que 
circulam em um circuito trifásico 
podem ser representadas 
por três ondas iguais.
e) apesar de ter três fases, só existe 
uma corrente que apenas pode 
ser representada fasorialmente.
2. Sistemas trifásicos balanceados são:
a) aqueles que respeitam o 
balanço de potência.
b) formados por três fases 
com o mesmo número de 
fios em cada uma delas.
c) circuitos formados por três 
fases que têm o mesmo nível 
Sistemas trifásicos em regime permanente16
de tensão em magnitude e 
defasagem de 120º entre elas.
d) formados por três fases com a 
mesma tensão de linha entre elas.
e) formados por três fases com a 
mesma tensão de fase entre elas.
3. Sendo a corrente de fase de uma 
determinada fase de um circuito 
trifásico balanceado conectado em 
delta igual a 3 ∠120° A, a corrente de 
linha correspondente será igual a:
a) 1,73 ∠90° A
b) 5,2 ∠150° A
c) 5,2 ∠90° A
d) 1,73 ∠150° A
e) 1,73 ∠120° A
4. Sobre sistemas trifásicos 
desbalanceados, é 
correto afirmar que:
a) os sistemas trifásicos 
desbalanceados ou 
desequilibrados são causados 
exclusivamente por fontes de 
tensão que têm magnitudes 
diferentes entre si.
b) os sistemas trifásicos 
desbalanceados ou 
desequilibrados são causados 
exclusivamente por fontes 
de tensão que têm ângulos 
diferentes entre si.
c) os sistemas trifásicos 
desbalanceados são aqueles 
que têm impedâncias de cargas 
desiguais entre as fases quando 
alimentados por uma fonte 
de tensão também desigual.
d) quando conectados em estrela, 
os sistemas desequilibrados 
produzem uma corrente na 
linha neutra igual a zero.
e) o cálculo da potência de sistemas 
desequilibrados exige o cálculo 
da potência de cada fase, já que 
não se pode considerar que a 
potência trifásica é equivalente ao 
triplo da potência de uma fase.
5. Sobre componentes simétricos, 
é correto afirmar que:
a) estes propõem a representação 
de sistemas trifásicos 
desbalanceados por meio de três 
sistemas equilibrados de fasores. 
b) estes propõem a 
representação de sistemas 
trifásicos desbalanceados 
por meio de três sistemas 
desequilibrados de fasores.
c) estes propõem a representação 
de sistemas trifásicos 
balanceados por meio de três 
sistemas equilibrados de fasores.
d) estes propõem a 
representação de sistemas 
trifásicos balanceados 
por meio de três sistemas 
desequilibrados de fasores.
e) estes são amplamente 
utilizados para estudos em 
sistemas de distribuição.
17Sistemas trifásicos em regime permanente
 
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.