LISTAcálculo01

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LISTA - cálculo
Sejam a, b, c, d ∈ Z e k ∈ Z∗. Mostre que se a · k³ + b · k² + c · k + d = 0 então k divide
d.
Para mostrar que k divide d, precisamos mostrar que existe um inteiro n tal que k · n = d.
A partir da equação dada, temos:
a · k³ + b · k² + c · k + d = 0
Reorganizando, temos:
k · (a · k² + b · k + c) = -d
Note que o lado esquerdo é um múltiplo de k e o lado direito é um múltiplo de d. Como k e d
são primos entre si (isto é, não têm fatores em comum além de 1), isso significa que k divide
-d.
Mas se k divide -d, então k divide d (ou -k divide d). Isso pode ser facilmente provado por
contradição: se k não divide d, então podemos escrever d = q · k + r, onde r é o resto da
divisão de d por k e 0 < r < k. Mas então temos:
a · k³ + b · k² + c · k + d = a · k³ + b · k² + c · k + q · k + r = k · (a · k² + b · k + c + q) + r
Note que o lado esquerdo é um múltiplo de k, mas o lado direito não é, a menos que r = 0.
Mas se r = 0, então d é um múltiplo de k, o que é o que queríamos mostrar.
Portanto, concluímos que k divide d.
Sejam A e B os conjuntos dados por A = { x ∈ Z | x é divisor de 48 } e B = { x ∈ Z | x
é divisor de 36 } . Encontre os conjuntos A ∪ B, A ∩ B, A − B e B − A.
Para encontrar os conjuntos A ∪ B, A ∩ B, A − B e B − A, precisamos primeiro listar todos
os divisores de 48 e 36.
Os divisores de 48 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Os divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Usando essas listas, podemos facilmente encontrar as operações entre os conjuntos A e B:
A ∪ B: conjunto de todos os números que são divisores de 48 ou de 36, ou seja, 1, 2, 3, 4,
6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48.
A ∩ B: conjunto de todos os números que são divisores tanto de 48 quanto de 36, ou seja,
1, 2, 3, 4, 6, 12.
A - B: conjunto de todos os números que são divisores de 48, mas não são divisores de 36,
ou seja, 8, 16, 24, 48.
B - A: conjunto de todos os números que são divisores de 36, mas não são divisores de 48,
ou seja, 9, 18, 36.
Sejam A e B os conjuntos dados por A = { x ∈ Q | x > −2 } e B = { x ∈ Q | x ≤ 4 } .
Expresse na forma de construção os conjuntos Ac, Bc, A ∩ B, A − B e B − A.
Para expressar os conjuntos Ac, Bc, A ∩ B, A − B e B − A na forma de construção,
precisamos primeiro entender o que cada conjunto representa.
O conjunto A é formado por todos os números racionais maiores que -2, enquanto o
conjunto B é formado por todos os números racionais menores ou iguais a 4.
A complementar (Ac) é formado por todos os números racionais menores ou iguais a -2.
Portanto, Ac = { x ∈ Q | x ≤ -2 }.
B complementar (Bc) é formado por todos os números racionais maiores que 4.
Portanto, Bc = { x ∈ Q | x > 4 }.
A ∩ B é formado pelos elementos que pertencem tanto a A quanto a B, ou seja, os números
racionais que são maiores que -2 e menores ou iguais a 4.
Portanto, A ∩ B = { x ∈ Q | -2 < x ≤ 4 }.
A - B é formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B, ou seja, os números
racionais maiores que -2, que não são menores ou iguais a 4.
Portanto, A - B = { x ∈ Q | x > 4 }.
B - A é formado pelos elementos que pertencem a B, mas não a A, ou seja, os números
racionais menores ou iguais a 4, que não são maiores que -2.
Portanto, B - A = { x ∈ Q | -2 ≤ x ≤ 4 } \ { x ∈ Q | x > -2 } = { x ∈ Q | -2 ≤ x < 4 }.
Sejam A e B os conjuntos dados por A = { x ∈ Q | x ≤ −2 } e B = { x ∈ Q | x > 4 } .
Expresse na forma de construção os conjuntos Ac, Bc, A U B, A − B e B − A.
Para expressar os conjuntos Ac, Bc, A U B, A − B e B − A na forma de construção,
precisamos primeiro entender o que cada conjunto representa.
O conjunto A é formado por todos os números racionais menores ou iguais a -2, enquanto o
conjunto B é formado por todos os números racionais maiores que 4.
A complementar (Ac) é formado por todos os números racionais maiores que -2.
Portanto, Ac = { x ∈ Q | x > -2 }.
B complementar (Bc) é formado por todos os números racionais menores ou iguais a 4.
Portanto, Bc = { x ∈ Q | x ≤ 4 }.
A U B é formado pela união dos elementos que pertencem a A ou a B, ou seja, os números
racionais menores ou iguais a -2 e os números racionais maiores que 4.
Portanto, A U B = { x ∈ Q | x ≤ -2 ou x > 4 }.
A - B é formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B, ou seja, os números
racionais menores ou iguais a -2, que não são maiores que 4.
Portanto, A - B = { x ∈ Q | x ≤ -2 } ∩ { x ∈ Q | x ≤ 4 } = { x ∈ Q | x ≤ -2 }.
B - A é formado pelos elementos que pertencem a B, mas não a A, ou seja, os números
racionais maiores que 4, que não são menores ou iguais a -2.
Portanto, B - A = { x ∈ Q | x > 4 } ∩ { x ∈ Q | x > -2 } = { x ∈ Q | x > 4 }.
Mostre que se A é um conjunto finito com n elementos, então P(A) é um conjunto
finito com 2n elementos.
Temos que:
(i) para n = 0 => A = Ø e P(A) = P(Ø) = {Ø}
Portanto se A tem 0 elementos P(A) tem 20 = 1 elemento
(ii) Supondo P(k) verdadeiro então P(k+1) deve ser verdadeiro
{a1, a2, a3, …, ak} => 2k subconjuntos
{a1, a2, a3, …, ak, ak+1} => 2k+1 subconjuntos, ou seja, 2k . 2
Provando que é verdadeira para n = K+1
Demonstre que se A e B são conjuntos, então (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A).
Para demonstrar que (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A), precisamos mostrar que todo
elemento que pertence ao lado esquerdo também pertence ao lado direito e vice-versa.
Primeiro, consideremos um elemento x que pertence a (A ∪ B) − (A ∩ B). Isso significa que
x pertence a A ou a B, mas não pertence a A e B simultaneamente. Podemos dividir isso em
duas possibilidades:
- Se x pertence a A, mas não pertence a B, então x pertence a A - B.
- Se x pertence a B, mas não pertence a A, então x pertence a B - A.
Portanto, em ambos os casos, x pertence a (A - B) ∪ (B - A), o que prova que todo
elemento em (A ∪ B) − (A ∩ B) também pertence a (A - B) ∪ (B - A).
Agora, consideremos um elemento y que pertence a (A - B) ∪ (B - A). Isso significa que y
pertence a A e não pertence a B, ou y pertence a B e não pertence a A. Podemos dividir
isso em duas possibilidades:
- Se y pertence a A, então y pertence a A ∪ B.
- Se y pertence a B, então y pertence a A ∪ B.
Portanto, em ambos os casos, y pertence a A ∪ B, mas não pertence a A ∩ B, o que prova
que todo elemento em (A - B) ∪ (B - A) também pertence a (A ∪ B) − (A ∩ B).
Com isso, concluímos que (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A - B) ∪ (B - A).
Demonstre que se A e B são conjuntos, então (A − B) ∪ B = A se, e somente se, B ⊂
A.
Para demonstrar que (A − B) ∪ B = A se, e somente se, B ⊂ A, vamos demonstrar as duas
direções da implicação.
Suponha que (A − B) ∪ B = A. Vamos mostrar que B ⊂ A. Seja x ∈ B. Como (A − B) ∪ B
= A, temos que x ∈ A. Portanto, mostramos que para todo x ∈ B, x ∈ A, o que significa
que B ⊂ A.
Suponha que B ⊂ A. Vamos mostrar que (A − B) ∪ B = A. Como B ⊂ A, temos que (A − B)
∪ B = (A ∩ Bc) ∪ B = (A ∪ B) ∩ (Bc ∪ B) = (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B. Mas, como B ⊂ A,
temos que A ∪ B = A. Portanto, (A − B) ∪ B = A.
Com isso, concluímos que (A − B) ∪ B = A se, e somente se, B ⊂ A.
Sejam P e Q proposições . Mostre que são logicamente equivalentes as proposições
P ∧ Q e Q ∧ P.
Para mostrar que as proposições P ∧ Q e Q ∧ P são logicamente equivalentes, devemos
verificar se elas possuem o mesmo valor lógico em todas as possíveis combinações de
verdadeiro e falso para as proposições P e Q.
| P | Q | P ∧ Q | Q ∧ P |
|---|---|-------|-------|
| V | V | V | V |
| V | F | F | F |
| F | V | F | F |
| F | F | F | F |
Podemos observar que as proposições P ∧ Q e Q ∧ P possuem o mesmo valor lógico em
todas as possíveis combinações de verdadeiro e falso para P e Q. Portanto, podemos
concluir que elas são logicamente equivalentes.
Encontre o domínio da função definida a seguir: f(x) = √(x − 2) + √(5 − x)
Para encontrar o domínio da função f(x) = √(x − 2) + √(5 − x), devemos observar que
existem duas restrições para a existência da função:
1. A função deve estar definida para todo valor de x no conjunto dos números reais, ou seja,
não deve haver valores que deixem a função indefinida.
2. O radicando daraiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, caso contrário, a função
não estará definida para esse valor de x.
Vamos analisar cada uma das restrições para a função f(x) = √(x − 2) + √(5 − x):
1. A função está definida para todo valor de x no conjunto dos números reais, pois não há
nenhuma operação que deixe a função indefinida.
2. Para que a função esteja definida, devemos ter que o radicando da raiz quadrada seja
maior ou igual a zero. Assim, devemos ter:
x - 2 ≥ 0, o que implica em x ≥ 2;
e
5 - x ≥ 0, o que implica em x ≤ 5.
Portanto, o domínio da função f(x) = √(x − 2) + √(5 − x) é o intervalo [2, 5]. Em outras
palavras, D(f) = [2, 5].
Sejam as funções f(x) = x.x.x + 2x.x e g(x) = 3.x.x - 1 Encontre (a) f+g (b) f - g (c) f/g e
defina seus domínios.
(a) Para calcular f+g, basta somar as duas funções:
f+g(x) = f(x) + g(x) = (x^3 + 2x^2) + (3x^2 - 1) = x^3 + 2x^2 + 3x^2 - 1 = x^3 + 5x^2 - 1
O domínio de f+g é o mesmo que o de f e g, que é o conjunto dos números reais.
(b) Para calcular f-g, basta subtrair as duas funções:
f-g(x) = f(x) - g(x) = (x^3 + 2x^2) - (3x^2 - 1) = x^3 + 2x^2 - 3x^2 + 1 = x^3 - x^2 + 1
O domínio de f-g é o mesmo que o de f e g, que é o conjunto dos números reais.
(c) Para calcular f/g, precisamos lembrar que a divisão por zero não é definida, portanto, o
domínio de f/g é o conjunto dos números reais, exceto aqueles que anulam o denominador,
isto é, os valores de x para os quais g(x) = 0:
3x^2 - 1 = 0
x^2 = 1/3
x = ±√(1/3)
Portanto, o domínio de f/g é o conjunto dos números reais, exceto ±√(1/3).
Agora, podemos calcular f/g:
f/g(x) = f(x) / g(x) = (x^3 + 2x^2) / (3x^2 - 1)
No entanto, a expressão acima não é simplificável de forma algébrica, então não podemos
reduzi-la a uma forma mais simples.