Geometria Descritiva

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2008
Geometria Descritiva
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Saulo Vargas
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2008
Elaboração:
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Sauylo Vargas
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S729g
 Souza, André Marcelo Santos de
 Geometria descritiva / André Marcelo Santos de Souza e SauloVargas. 
Indaial : Uniasselvi, 2008. 
 
 131 p. : il 
 ISBN 978-85-7830- 059-3
 
 1.Geometria descritiva. I. Centro Universitário Leonardo da Vinci II. 
Núcleo de Ensino a Distância III. Título
 CDD 516.6
III
apresentação
APRESENTAÇÃO
Caro acadêmico,
Iniciaremos a disciplina de Geometria Descritiva. Esta disciplina 
introduzirá os conceitos necessários para que vocês possam projetar e 
entender uma projeção tridimensional num plano.
Para facilitar a compreensão do aluno leitor, organizamos este caderno 
em três unidades de estudo, obedecendo a um critério de conhecimentos. 
Tentamos, com isso, fazer com que o aluno tenha o conceito teórico dos 
temas antes de aplicá-lo. Para um melhor desenvolvimento das habilidades 
práticas e teóricas, projetamos este caderno levando em conta que cada aluno 
disponha de, pelo menos, uma régua, um compasso e dois esquadros (30° e 
45º), bem como folhas A4 e lápis 6B para desenho.
A Unidade 1 traz os conceitos e definições básicas de geometria, 
ensina como construir ângulos e retas. Na Unidade 2, o aluno conhecerá o 
que é um sistema de projeção, os tipos que existem, qual usaremos, o que é 
épura, cota, afastamento e abscissa, além de iniciar a projeção com pontos. 
E, finalmente, na Unidade 3, o aluno projeta segmentos de retas e polígonos 
e faz um estudo básico sobre a Verdadeira Grandeza dos objetos projetados.
Com isso, este caderno proporcionará um apoio pedagógico para 
você iniciar seus conhecimentos no mundo geométrico das projeções.
Prof. Saulo Vargas 
Prof. André Marcelo Santos de Souza
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ................................... 1
TÓPICO 1 - DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA ............ 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS ................................................................................................... 3
3 PROPOSIÇÕES .................................................................................................................................. 6
4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS ........................................................................................................ 10
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 11
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 12
TÓPICO 2 - CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO ......................................... 13
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 13
2 DEFINIÇÃO ÂNGULO .................................................................................................................. 13
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS ........................................................................................ 14
2.1.1 Ângulo Reto ....................................................................................................................... 14
2.1.2 Ângulo Agudo ................................................................................................................... 14
2.2 Ângulo Complementar .............................................................................................................. 15
3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º ........................................................................ 16
3.1 ÂNGULO DE 60º ........................................................................................................................ 16
3.2 ÂNGULO DE 120º ...................................................................................................................... 18
4 BISSETRIZ ........................................................................................................................................ 18
4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ .................................................................................. 19
5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º ............................................................................................ 21
5.1 ÂNGULO DE 30º ........................................................................................................................ 21
5.2 ÂNGULO DE 90º ........................................................................................................................ 21
5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º ..................................................................................................... 22
6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO .................................................................................................. 22
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 25
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 26
TÓPICO 3 - CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES. ....................................................................................................................... 29
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 29
2 RETAS PARALELAS ....................................................................................................................... 29
3 RETAS PERPENDICULARES ....................................................................................................... 32
4 MEDIATRIZ ......................................................................................................................................34
5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM .................................................................................................. 36
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 43
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 44
UNIDADE 2 - SISTEMAS DE PROJEÇÕES ................................................................................. 47
TÓPICO 1 - PROJEÇÕES .................................................................................................................. 49
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 49
sumário
VIII
2 O QUE É PROJEÇÃO ...................................................................................................................... 49
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 52
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 53
TÓPICO 2 - SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 55
2 SISTEMA CÔNICO ......................................................................................................................... 55
3 SISTEMA CILÍNDRICO ................................................................................................................ 56
4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS ........................................................ 58
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 60
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 61
TÓPICO 3 - SISTEMA MONGEANO ............................................................................................ 63
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 63
2 SISTEMA MONGEANO ................................................................................................................ 63
3 ÉPURA ................................................................................................................................................ 64
4 COTA E AFASTAMENTO .............................................................................................................. 67
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 69
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 70
TÓPICO 4 - PROJEÇÃO DE UM PONTO ..................................................................................... 71
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 71
2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA .................................................................................. 71
3.1 PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL ........................................................ 76
3 PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA ............................ 76
3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL ............................................................... 77
3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA ................................................................... 78
RESUMO DO TÓPICO 4................................................................................................................... 81
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 82
UNIDADE 3 - PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA GRANDEZA E POLÍGONOS NA 
ÉPURA ................................................................................................................................................... 85
TÓPICO 1 - PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS EM RELAÇÃO A UM DOS PLANOS . 87
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 87
2 IDEIAS BÁSICAS ............................................................................................................................ 87
3 PROJETANDO SEGMENTOS PARALELOS ............................................................................. 88
3.1 SEGMENTO PARALELO AOS DOIS PLANOS ..................................................................... 88
3.2 SEGMENTO PERPENDICULAR A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO .......................... 90
3.3 SEGMENTO PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO ....................................... 92
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 98
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 99
TÓPICO 2 - SEGMENTOS OBLÍQUOS AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO ................. 101
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 101
2 SEGMENTO ORTOGONAL A LT. ............................................................................................ 101
3 SEGMENTO OBLÍQUO A LT ..................................................................................................... 103
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................. 105
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................................... 106
TÓPICO 3 - PROJEÇÃO DE POLÍGONOS ................................................................................. 107
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 107
IX
2 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA DE PERFIL ........................................ 107
3 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA QUALQUER ..................................... 112
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................. 118
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................................... 119
TÓPICO 4 - PROJEÇÃO DE POLÍGONOS ................................................................................. 121
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 121
2 POLÍGONO PARALELO A UM DOS PLANOS ..................................................................... 121
2.1 1º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PH....................................................................... 122
2.2 2º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PV ....................................................................... 123
3 POLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS DE PROJEÇÃO .............................................. 124
RESUMO DO TÓPICO 4................................................................................................................. 135
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................................... 136
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 137
X
1
UNIDADE1
INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA 
GEOMETRIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• Conhecer os conceitos fundamentais da Geometria.
• Entender a construção teórica da Geometria.
• Construir ângulos, retas paralelas e perpendiculares.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades que reforçarão o seu aprendizado.
TÓPICO 1 – DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
GEOMETRIA
TÓPICO 2 – CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM O COMPASSO
TÓPICO 3 – CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E 
RETAS PERPENDICULARES
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE 
GEOMETRIA
1 INTRODUÇÃO
Segundo Ardevan Machado (1973, p.11), “a Geometria Descritiva tem por 
finalidade representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com 
o auxílio da Geometria Plana, estudar suas propriedades e resolver os problemas 
relativos às mesmas”.
Esse tópico tem como principal objetivo proporcionar a você o entendimento 
de como funciona a construção dos conceitos e das idéias da geometria. Busca 
também introduzir você aos conceitos e idéias fundamentais que regem a Geometria.
Claro que selecionamos as idéias que serão importantes para a compreensão 
da Geometria Descritiva, que é a nossa disciplina. Porém, você verá que Geometria 
é sempre Geometria.
Apesar de teórica essa parte é muitíssimo importante para o aluno, caso 
a compreensão não se dê por completo nesse tópico, todo o aprendizado futuro 
ficará comprometido.
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS
Geometria: estuda figuras (objetos) através das propriedades dos seus 
elementos, definindo, caracterizando e padronizando suas formas e dimensões.
Formas Geométricas: formas específicas usadas para estudo de todas as 
figuras em geometria
Veja alguns exemplos de formas geométricas que provavelmente você 
deve já deve ter estudado.
FIGURA 1: POLÍGONOS
FONTE: AUTOR
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
4
As formas geométricas estão presentes em vários elementos do nosso mundo. 
Basta que você olhe atentamente ao seu redor. Pare um minuto e conte quantas formas 
geométricas tem ao seu redor.
IMPORTANT
E
Proposições Geométricas: conceitos e propriedades estabelecidas através 
de observações e experiências que fundamentam todo o estudo geométrico.
Postulado: é uma proposição, aceita consensualmente, e que não precisa 
de demonstração matemática. Os postulados fundamentam a Geometria.
Teorema: é uma proposição “mais elaborada”, e que não é tão trivial 
ao entendimento. Esta proposição só é tida como verdadeira se houver uma 
demonstração matemática que a comprove.
Corolário: é uma proposição decorrente diretamente de um teorema 
qualquer. A validação do teorema “mãe” faz, quase que instantaneamente, o 
corolário ser demonstrado e, conseqüentemente, validado.
Problema: é uma proposição que exige solução, a qual deve ser obtida 
através de aplicações de preposições específicas (postulados, teoremas e 
corolários).
Forma: quando comparamos a aparência de algo com outro objeto 
qualquer, estamos avaliando a forma dos dois elementos. Por exemplo, se 
dizemos que uma determinada melancia se parece com uma bola de futebol, 
estamos querendo dizer que as formas de ambas são parecidas.
Dimensão: ao classificarmos objetos pelo tamanho, estamos avaliando 
a dimensão (altura) dos mesmos. Por exemplo, determinado cachorro é maior 
(dimensão: altura) que o outro. 
OBS: No espaço tridimensional, todos os objetos têm três dimensões: 
altura, largura e espessura.
Ponto: é o mais simples dos elementos e o que dá suporte a todas as outras 
idéias. Entendê-lo é a parte mais importante e o suficiente para que possamos 
entender toda a geometria. Não existe definição para ponto, pois é um ente 
primitivo da Matemática, uma idéia que todo ser humano é capaz de compreender 
sem explicação. Mesmo assim, “o fato de ponto, reta, plano e espaço serem noções 
primitivas da Geometria não significa que não se possa reforçar a intuição do 
aluno a respeito dessas noções”. (ELON et al, 2004, p. 164). 
TÓPICO 1 | DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
5
Para indicar um ponto usamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto. 
Por exemplo, a ponta de um compasso nos dá a idéia de ponto.
Linha: é uma seqüência contínua de pontos.
O trajeto feito por um beija-flor ao beber o néctar das flores nos dá a idéia 
de linha.
Reta: se a distância entre dois pontos quaisquer de uma linha é a menor 
possível, então essa linha é chamada de reta. Para indicar uma reta, utilizamos 
uma letra minúscula do nosso alfabeto:
FIGURA 2: RETA
FONTE: AUTOR
O encontro de duas paredes nos dá a idéia de uma parte da reta.
Segmento de reta: Dados dois pontos distintos de uma reta qualquer, o 
trecho entre os dois pontos é denominado segmento de reta. Para indicar um 
segmento de reta, utilizamos as letras da extremidade.
FIGURA 3: SEGMENTO AB
FONTE: AUTOR
A parte da reta contida na intersecção de duas paredes nos dá a idéia de 
segmento de reta.
Se dois segmentos têm a mesma medida. Eles são chamados de segmentos 
congruentes. E indicamos por AB ≅ CD.
Semi-reta: um ponto A qualquer de uma reta a divide em duas partes, que são 
chamadas de semi-retas. Conseqüentemente, podemos dizer que uma semi-reta tem 
começo (no ponto que divide a reta), mas não tem fim. Para indicar uma semi-reta, 
basta considerar um ponto em cada uma das partes. Para determinar a direção da semi-
reta referida, colocar uma flecha acima do ponto A e do ponto considerado.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
6
→ →
FIGURA 4: SEMI-RETA
FONTE: AUTOR
Plano: é a região formada pelo deslocamento de uma reta por uma única 
direção. Para indicar um plano, ou parte dele, utilizamos uma letra do alfabeto 
grego: α (alfa), β (beta), γ (gama),...
FIGURA 5: PLANO
FONTE: AUTOR
O deslocamento da concha de uma retro escavadeira ao espalhar um 
monte de barro nos dá a idéia de um plano. Assim também a folha desse caderno 
de estudo nos dá a idéia de plano.
3 PROPOSIÇÕES
A construção da geometria perpassa por proposições importantes. O 
aluno tem que ter familiaridade com os termos geométricos e notar a construção 
da matemática geométrica pelas proposições, percebendo que nada é por acaso. 
Todos os conceitos têm uma afirmação anterior devidamente comprovada.
Aparecerão também algumas novas definições que serão necessárias 
para um melhor entendimento das proposições, estas definições aparecem nesse 
momento e não anteriormente, para que o leitor possa ver sua conseqüência direta.
As proposições estão indicadas por P1, P2, P3, ... E as definições por Def1, 
Def2, Def3, ...
P1: Há um número infinito de pontos, retas e planos.
P2: Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.
P3: Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.
P4: Um plano contém um número infinito de pontos e retas.
TÓPICO 1 | DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
7
Def1: Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma 
mesma reta.
FIGURA 6: PONTOS COLINEARES
FONTE: AUTOR
A
B
C
P5: Três pontos não colineares determinam um plano.
Para entender essa proposição, basta imaginar três pontos distintos e não 
colineares em uma mesa de cozinha. Por esses três pontos, podemos desenhar três 
retas distintas, tomando os pontos dois a dois. Usamos essas retas como direção 
de deslocamento e, com uma régua, desenhamos inúmeros segmentos de reta por 
toda a extensão dessas três direções. Quando desenharmos “todas” os segmentos 
de reta, verificaremos que a mesa ficará toda preenchida e, além disso, não há 
como desenharmos segmentos de reta fora da mesa. Concluiremos, então, que os 
três pontos iniciais foram suficientes para “construirmos” a superfície da mesa, o 
que é a nossa proposição inicial.
(ATENÇÃO)! Observe P
5
 no esquema abaixo. Se você continuar a preencher a 
região limitada pelas retas, por segmentos de reta, teremosum plano.
UNI
FIGURA 7: TRÊS PONTOS FORMAM UM PLANO
FONTE: AUTOR
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
8
Def2: Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um 
mesmo plano.
FIGURA 9: RETAS CONCORRENTES
FONTE: AUTOR
Esse ponto A não é impróprio. Veremos a definição de elementos impróprios 
posteriormente.
ESTUDOS FU
TUROS
Def4: Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam entre 
si ângulos de 90o.
FIGURA 10: RETAS PERPENDICULARES
FONTE: AUTOR
Quando r é perpendicular a s, indicamos por: r ⊥ s.
Def5: Duas retas distintas são paralelas quando têm a mesma direção.
FIGURA 11: RETAS PARALELAS
FONTE: AUTOR
TÓPICO 1 | DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
9
As retas r e s têm a mesma direção, ou seja, não possuem pontos em 
comum. Então, dizemos que r e s são retas paralelas e indicamos r // s.
Def6: Duas retas são reversas quando não existe um plano que contenha 
as duas ao mesmo tempo.
FIGURA 12: RETAS REVERSAS
FONTE: AUTOR
Para medir o ângulo formado por duas retas reversas, basta tomar um 
ponto A qualquer de da reta r e traçar por esse ponto uma nova reta t paralela à 
reta s. Agora, é só medir o ângulo entre a reta r e t.
FIGURA13: ÂNGULOS DE REVERSAS
FONTE: AUTOR
Se o ângulo formado por duas retas reversas for reto, podemos chamá-las 
de retas ORTOGONAIS, caso contrário, chamamos de retas OBLÍQUAS.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
10
No próximo tópico, você estudará os principais tipos de ângulos.
IMPORTANT
E
P6: Duas retas concorrentes determinam um plano.
P7: Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. 
(Esta reta pode ser imprópria).
P8: Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, 
determinam um ponto em comum. (Este ponto pode ser impróprio)
P9: Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
P10: Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus 
pontos pertencem ao plano.
P11: Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (Esse ponto 
pode ser impróprio)
4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS
É sabido que duas retas paralelas não terão pontos em comum. Porém, 
ao olharmos os trilhos de uma estrada de ferro, mesmo sabendo que eles nunca 
se tocarão, temos a nítida impressão que eles se encontram no “horizonte”. Com 
isso, temos a idéia de um “ponto de encontro”. Esse ponto é chamado de ponto 
impróprio.
Podemos estender a idéia para planos paralelos que, no infinito “se 
encontrarão”, formando uma reta imprópria. Imagine as paredes laterais de 
um grande corredor. Temos a impressão que elas se encontrarão no horizonte, 
formando uma reta imprópria.
Um plano impróprio necessita de elementos impróprios, por exemplo, 
um ponto (é preciso três) impróprio, ou uma reta (é preciso duas) imprópria.
11
Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da 
Geometria. A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para 
que você, caro(a) acadêmico(a), possa fixá-los melhor:
	Definições fundamentais:
 Geometria, Forma Geométrica, Proposições Geométricas. Postulados, Teorema, 
Corolário, Problema, Forma, dimensão, Linha, Reta, Segmento de Reta, Semi-
reta, Plano, Retas Paralelas, Retas concorrentes e Retas Perpendiculares, Retas 
Reversas, Pontos Colineares, Retas Coplanares.
	Proposições importantes:
 Há um número infinito de pontos, retas e planos.
 Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.
 Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.
 Um plano contém um número infinito de pontos e retas.
 Duas retas concorrentes determinam um plano.
 Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. (esta reta 
pode ser imprópria)
 Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam 
um ponto em comum. (este ponto pode ser impróprio)
 Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
 Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos 
pertencem ao plano.
 Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (esse ponto pode ser 
impróprio)
 Elementos impróprios: “algo que não existe, mas nossos olhos vêem”.
RESUMO DO TÓPICO 1
12
AUTOATIVIDADE
Para saber se você entendeu os conceitos desse tópico, responda as atividades 
a seguir.
1 Utilize as palavras ponto, reta ou plano, e escreva a idéia que você tem 
quando vê: 
a) um campo de futsal.
b) a marca de um lápis numa folha de papel.
c) um fio da rede elétrica bem esticado.
d) a porta da sua sala de aula.
e) as linhas divisórias de uma quadra de basquete.
f) uma estrela no céu.
2 Observe o paralelepípedo abaixo, e dê um segmento que seja congruente 
com:
a) o segmento AB
b) o segmento BC
c) o segmento CG
3 Ainda observando a figura da questão 2, dê um segmento que seja reverso 
com:
a) o segmento AE
b) o segmento BC
c) o segmento DC
4 O que são retas ortogonais?
5 Quantas retas podemos traçar passando por um ponto de um plano?
6 Quantas retas podemos traçar passando por dois pontos de um plano?
7 Marque, sobre uma reta r, quatro pontos distintos A, B, C, D. Quantos 
segmentos de reta você obteve?
8 Como podem ser duas retas de um mesmo plano, cuja intersecção não é 
vazia?
9 Sobre um mesmo plano são dados três pontos não colineares: A, B, C. 
Quantas semi-retas com origem em cada um desses pontos e passando por 
um dos outros pontos podem ser traçadas? Sugestão: faça a figura para dar 
a resposta.
13
TÓPICO 2
CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste Tópico, você, caro(a) acadêmico(a) poderá familiarizar-se com o uso 
do compasso. Construiremos, passo a passo, os ângulos mais simples, veremos 
como dividi-los ao meio, permitindo, assim, a construção de vários outros.
Aproveitaremos também para definirmos o que é ângulo agudo, obtuso, 
reto e raso, bem como o que são ângulos complementares e suplementares.
Esses conceitos são fundamentais para facilitar a compreensão da 
geometria projetiva que veremos nas unidades posteriores.
2 DEFINIÇÃO ÂNGULO
Duas semi-retas, de mesma origem, formam duas regiões a que chamamos 
de ângulo.
FIGURA 14: ÂNGULO
FONTE: AUTOR
• O ponto O é o vértice do ângulo.
• As semi-retas e são os lados do ângulo.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
14
Geralmente, usamos apenas o menor ângulo entre α e β.
ATENCAO
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Podemos classificar os ângulos de acordo com a sua medida, conforme segue:
2.1.1 Ângulo Reto
É o ângulo de 90º. É importante para definirmos a idéia de 
perpendicularismo entre retas.
FIGURA 15: ÂNGULO RETO
FONTE: AUTOR
2.1.2 Ângulo Agudo
Todo ângulo menor que 90º.
FIGURA 16: ÂNGULO AGUDO
FONTE: AUTOR
TÓPICO 2 | CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO
15
Quando as duas semi-retas coincidem, podemos ter, também, um ângulo nulo.
IMPORTANT
E
FIGURA 20: ÂNGULO NULO
FONTE: AUTOR
2.2 Ângulo Complementar
Dizemos que um ângulo α é complementar de um ângulo β, quando α + 
β = 90º. Em outras palavras, será complementar de um ângulo à medida que falta 
para completar 90º.
FIGURA 21: ÂNGULO COMPLEMENTAR
FONTE: AUTOR
Observe os seguintes exemplos:
1 Calcule o valor do ângulo x indicado na figura:
Resolução:
A figura acima representa um ângulo reto, cuja medida é de 90o.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
16
De acordo com o problema, temos a seguinte equação:
x + 2x +15o = 90o
3x = 90o – 15o
3x = 75o
x = 75o
 3
x = 25o
2 A metade da medida do suplemento de um ângulo é igual a 40o. Qual é 
a medida desse ângulo?
Resolução: 
Indicando a medida desse ângulo por x, a medida do complemento do 
ângulo será indicada por 180o – x.
De acordo com o problema, temos a seguinte equação:
3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º
São os ângulos mais simples que temos para construir, com exceção óbvia 
do 180º (ângulo raso) e do 360º.
3.1 ÂNGULO DE 60º
O processo é muito simples:
1º passo: Traçamos um segmento de reta qualquer e marcamos um ponto 
sobre esse segmento (mais ou menos ao meio).
FIGURA23: 1º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
TÓPICO 2 | CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO
17
Repita cada passo numa folha para você internalizar o processo.
IMPORTANT
E
2º passo: Colocar a ponta seca do compasso no ponto inicial, construir 
uma meia lua, e marcar 
o ponto de intersecção entre a meia lua e o segmento de reta.
FIGURA 24: 2º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
3º passo: Mantendo a abertura do compasso que foi usada para construir 
a meia lua, coloque a ponta seca no ponto de intersecção marcado e trace uma 
marca sobre a meia lua.
FIGURA 25: 3º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
4º passo: Marque um ponto na intersecção da marca feita com o compasso e a 
meia lua, depois trace uma semi-reta que inicie no ponto inicial e passe por esse ponto.
FIGURA 26: 4º PASSO PARA 60º
FONTE: AUTOR
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
18
Pronto! Temos um ângulo de 60º. Se quisermos fazer do outro lado, basta 
marcar o ponto do 2º passo no lado esquerdo ao invés do direito, como nós fizemos.
3.2 ÂNGULO DE 120º
Na verdade, ao construirmos um ângulo de 60º, como visto acima, 
acabamos construindo um ângulo de 120º também, basta olhar “o outro lado”. 
Isso acontece porque 120º é suplementar de 60º.
Veja o ângulo de 60º que construímos no item 3.1
FIGURA 27: ÂNGULO DE 120 º - ESQUERDA
FONTE: AUTOR
FIGURA 28: ÂNGULO DE 120 º - DIREITA
FONTE : AUTOR
Então, sabemos que, o lado esquerdo, é 120º
Se quisermos construir 120º no lado direito, basta fazer o 60º no lado 
esquerdo.
4 BISSETRIZ
É denominada bissetriz de um ângulo qualquer a semi-reta que divide 
esse ângulo em dois ângulos congruentes.
TÓPICO 2 | CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO
19
FIGURA 29: BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
A semi-reta divide o ângulo Ô em dois ângulos congruentes, AÔC ≅ 
CÔB.
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
ATENCAO
4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIZ
Usaremos apenas uma régua (pode ser o esquadro) e um compasso.
Sejam duas semi-retas com ponto inicial O e com um ângulo qualquer 
entre elas.
FIGURA 30: PASSO 0 PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
1º passo: Colocamos a ponta seca do compasso no ponto inicial e fazemos 
marcas nas duas semi-retas. A abertura do compasso tem que permanecer a 
mesma para as duas marcas.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
20
FIGURA 31: 1° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
2º passo: Marcamos pontos de intersecções P1 e P2 entre as marcas feitas 
com o compasso e as semi-retas.
FIGURA 32: 2° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
3º passo: Arrumamos o compasso com uma abertura maior que a metade 
da distância entre P1 e P2. Colocamos a ponta seca em P1 e fazemos uma marca 
entre as semi-retas. Repetimos o procedimento com a ponta seca em P2. Essas 
marcas têm que ser feitas de tal forma que haja ponto em comum entre elas.
FIGURA 33: 3° PASSO PARA BISSETRIZ
FONTE: AUTOR
4º passo: Marcar um ponto na intersecção P das duas marcas feitas no 
passo anterior. Traçar uma semi-reta com início em O e que passe por P. Essa 
semi-reta é a bissetriz do ângulo dado.
TÓPICO 2 | CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO
21
FIGURA 34: 4° PASSO PARA BISSETIRZ
FONTE: AUTOR
Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita todo o 
processo para um melhor entendimento.
ATENCAO
5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º
Esses ângulos são muito usados, e veremos que, a partir da idéia de 
obtenção destes ângulos, poderemos construir vários outros.
5.1 ÂNGULO DE 30º
Passo 1: Construímos um ângulo de 60º como explicado anteriormente.
Passo 2: Determinamos a bissetriz deste ângulo
Pronto, como a bissetriz divide o ângulo ao meio, temos um ângulo de 30º.
5.2 ÂNGULO DE 90º
1º Passo: Construa no mesmo desenho um ângulo de 60º e outro de 120º.
FIGURA 35: 1° PASSO PARA 90°
FONTE: AUTOR
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
22
2º Passo: Faça a bissetriz dos ângulos 60º e 120º.
FIGURA 36: 2° PASSO PARA 90°
FONTE: AUTOR
Pronto, a bissetriz marca um ângulo de 90º.
5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º
São bissetrizes de outras construções já vistas.
O ângulo de 15º é a bissetriz entre os ângulos 0º e o 30º.
O ângulo de 45º, por sua vez, é a bissetriz entre o 30º e o 60º.
E, como você já deve ter percebido, o 75º é a bissetriz entre 60º e 90º.
Vários outros ângulos podem ser construídos a partir da idéia de divisão 
de ângulos.
Construa, numa folha, os ângulos de 15o, 45o e 75o e mostre o que você aprendeu.
IMPORTANT
E
6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO
Muitas vezes não sabemos a medida de um ângulo e precisamos transpô-
lo sobre uma reta qualquer. Veremos, agora, como isso é feito.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para facilitar o 
entendimento.
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO
23
Considere o ângulo BÔA, que iremos transpor para sobre uma reta.
FIGURA 37: ÂNGULO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
1º passo: Desenhe uma reta qualquer e marque um ponto O’ sobre a mesma.
FIGURA 38: 1° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
2º passo: Abra o compasso na medida OA, e trace um arco com essa 
medida, colocando a ponta seca sobre O’. Na intersecção desse arco com a reta, 
marque o ponto A’.
FIGURA 39: 2° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
3º passo: Abra o compasso na medida AB, e trace um arco com essa medida, 
colocando a ponta seca sobre A’, cortando o arco anterior. Na intersecção dos 
arcos, marque o ponto B’.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
24
FIGURA 40: 3° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
4º passo: Trace uma semi-reta com origem O’ e que passe por B’.
FIGURA 41: 4° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: AUTOR
Pronto, o ângulo B’Ô’A’ é a transposição do ângulo BÔA
25
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da 
Geometria. A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para 
que você, caro(a) acadêmico(a), possa fixá-los melhor: 
	A região formada por duas semi-retas, de mesma origem, é chamada de ângulo.
	Classificação dos ângulos:
  ângulo agudo: menor que 90o
  ângulo reto: igual a 90o 
  ângulo obtuso: maior que 90o e menor que 180o
  ângulo raso: igual a 180o
  ângulo de uma volta: igual a 360o
	Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 
90o.
	Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 
180o.
	Como construir os principais ângulos: 15o, 30o, 45o, 60o, 75o, 90o, 120o. 
	Bissetriz de um ângulo qualquer é a semi-reta que divide esse ângulo em dois 
ângulos congruentes.
	Como construir a bissetriz de um ângulo utilizando apenas régua e compasso.
	 	Transposição de ângulos usando apenas régua e compasso.
26
AUTOATIVIDADE
Para que você, caro acadêmico, possa melhor fixar o conteúdo, procure 
responder as seguintes auto-atividades.
1 A medida de um ângulo é igual a medida do seu complemento aumentada 
de 60o. Qual é a medida desse ângulo?
2 Sabendo que o dobro da medida de um ângulo é igual ao suplemento desse 
ângulo, podemos dizer que este ângulo é:
a) raso
b) agudo
c) reto
d) obtuso
3 Se a soma de um ângulo com a quarta parte de seu complemento é igual a 
um ângulo raso, qual é a medida desse ângulo e como podemos classificá-
los?
4 Determine o valor de x em cada uma das figuras:
27
5 Utilizando somente régua e compasso, desenhe os seguintes ângulos:
a) 15o b) 30o
c) 45º d) 75o
e) 105o f) 135o
6 Usando compasso e régua transponha o ângulo TÂG para a reta r.
28
29
TÓPICO 3
CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES.
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Reservamos este espaço para que o aluno aprenda a construir retas 
paralelas e perpendiculares, bem como consiga definir e construir a mediatriz de 
um segmento.
Para um bom desempenho, aconselhamos o uso de dois esquadros (30º 
e 45º) e um compasso, embora todos as construções possam ser feitas com a 
substituição de um dos esquadros por uma régua. Exemplificaremos, levando em 
conta a disposição de dois esquadros.
2 RETAS PARALELASJá vimos, no Tópico 1, a definição de retas paralelas. Vimos também que 
duas retas paralelas “geram” um ponto impróprio (que é “o ponto de encontro” 
das retas no infinito). Agora, vamos aprender como construir retas paralelas a 
uma reta r qualquer.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para facilitar o 
entendimento.
IMPORTANT
E
Veja:
Seja uma reta r qualquer:
 ______________________________________ r
FIGURA 42: RETA QUALQUER
FONTE: AUTOR
30
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
1º passo: Apóie um dos esquadros sob a reta r. Esse esquadro será o 1.
FIGURA 43: 1° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE:AUTOR
2º passo: Coloque o segundo esquadro abaixo do primeiro. Esse será o 
esquadro 2.
FIGURA 44: 2° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: AUTOR
3º passo: Segure o esquadro 2 firmemente, e faça o esquadro 1 “deslizar” 
pelo 2.
FIGURA 45: 3° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: AUTOR
TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.
31
FIGURA 45: 3° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: AUTOR
4º passo: Sem mexer no esquadro 1, tire o esquadro 2 e trace uma reta s 
paralela a r. Notação de paralelismo: r // s.
FIGURA 46: 4° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE: AUTOR
Pronto! Temos duas retas paralelas entre si.
Podemos colocar essa reta s em qualquer lugar. Basta “levá-la” com os 
esquadros apoiando o que irá se deslocar no outro fixo repetidas vezes.
Se você quiser fazer a reta s acima da reta r, basta deslocar o 
esquadro 1 para cima, no passo 3.
ATENCAO
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
32
3 RETAS PERPENDICULARES
No tópico passado, aprendemos a construir um ângulo reto e podemos 
usar aquele conhecimento para construir duas retas perpendiculares. Contudo, 
nesse espaço, faremos isso usando os esquadros, apenas por ser uma forma mais 
rápida.
1º passo: Desenhe uma reta r, apóie um dos esquadros nessa reta.
FIGURA 47: 1° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
2º passo: Afaste este esquadro da reta r usando os mesmos procedimentos 
vistos na construção de retas paralelas (2º e 3º passos)
FIGURA 48: 2° PASSO PARA O PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
3º passo: Deixe o esquadro 1 bem firme e apóie um dos catetos do esquadro 
2 em cima dele.
TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.
33
FIGURA 49: 3° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
4º passo: Trace a reta s, perpendicular à r. Notação de perpendicularismo: 
r ⊥ s
FIGURA 50: 4° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: AUTOR
Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita todo o 
processo para um melhor entendimento.
ATENCAO
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
34
4 MEDIATRIZ
Dado um segmento de reta AB, mediatriz será a reta que divide o segmento 
de reta AB em duas partes congruentes. Em outras palavras, é a reta que passa no 
meio de AB. Ou ainda, “a mediatriz de um segmento AB é a reta m perpendicular 
à AB, passando pelo ponto médio M desse segmento”. (RUBIÓ, 2005, p.200)
Veremos como construir a mediatriz de um dado segmento AB:
1º passo: Faça um segmento AB
FIGURA 51: 1° PASSO PARA MEDIATRIZ
 FONTE: AUTOR
2º passo: Abrir o compasso com uma medida maior que a metade do 
segmento AB. Colocar a ponta seca em A e construir um arco (marcação longa) 
que intercepte o segmento AB, como abaixo:
FIGURA 52: 2° PASSO PARA MEDIATRIZ
FONTE: AUTOR
3º passo: Repetir o 2º passo com a ponta seca do compasso em B, na 
intersecção dos arcos marcar os pontos P1 e P2.
TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.
35
FIGURA 53: 3° PASSO PARA MEDIATRIZ
FONTE: AUTOR
4º passo: Passar uma reta sobre os dois pontos de intersecções P1 e P2, 
obtidos através das marcações feitas nos dois passos anteriores.
FIGURA 54: 4° PASSO DA MEDIATRIZ
FONTE: AUTOR
A reta que passa pelos pontos P1 e P2 é a mediatriz do segmento AB.
36
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM
Através de um exemplo, mostraremos como reproduzir uma imagem 
utilizando apenas régua, esquadro, compasso e os conhecimentos adquiridos 
nos itens anteriores.
Observe o seguinte exemplo:
A figura a seguir representa a vista de cima do telhado de uma empresa. 
Utilizando compasso e esquadros, reproduza essa figura, na mesma escala.
FIGURA 55: TRANPOSIÇÃO DE IMAGEM
FONTE: AUTOR
Para reproduzir essa figura, precisamos usar todos os conteúdos vistos 
até aqui, além, é claro, de uma boa criatividade.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para facilitar o 
entendimento.
IMPORTANT
E
1º passo: Representar os vértices da figura por letras maiúsculas.
FIGURA 56: 1° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.
37
2º passo: Traçar um segmento de medida O’E’. Para isso, basta abrir o 
compasso na medida OE e marcar esse comprimento sobre uma reta suporte.
FIGURA 57: 2° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
3º passo: Faça uma reta perpendicular a O’E’ que passe pelo ponto O’. 
Veja no item 3 (retas perpendiculares) como se faz.
FIGURA 58: 3° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
4º passo: Abra o compasso na medida OA e com a ponta seca em O’ 
marque na reta perpendicular o ponto A’.
FIGURA 59: 4° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
38
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
5º passo: Trace uma reta paralela a O’E’ passando por A’. Veja no item 2 
(retas paralelas) como se faz.
FIGURA 60: 5° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
6º passo: Trace uma reta paralela a O’A’ passando por E’. Veja no item 2 
(retas paralelas) como se faz. Marque o ponto U’ na intersecção das duas últimas 
retas traçadas.
FIGURA 61: 6° PASSO A – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
Já temos o contorno do telhado, falta transpor os ângulos Â, Ô, Ê, Û. 
Faremos isso de maneira bem simples, é só observar os próximos passos.
FIGURA 62: 6° PASSO B – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.
39
7º passo: Abra o compasso na medida AB e, com a ponta seca em A’, trace 
um arco.
FIGURA 63: 7° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
8º passo: Abra o compasso na medida OB e, com a ponta seca em O’, trace 
um arco. Na intersecção desses arcos, marque o ponto B’.
FIGURA 64: 8° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
9º passo: Repita o 7º e 8º passo, mas, abrindo o compasso em EC e UC, 
temos o ponto C’.
40
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
FIGURA 65: 9° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
10º passo: Traçar um segmento de reta entre: O’ e B’, A’ e B’, B’ e C’, E’ e 
C’, U’ e C’.
FIGURA 66: 10° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: AUTOR
O compasso e a régua (sem escala) são conhecidos como instrumentos 
euclidianos, pois os postulados dos Elementos de Euclides restringem o uso da régua e do 
compasso de acordo com as regras:
- com a régua permite-se traçar uma reta de comprimento indefinido, passando por dois 
pontos distintos dados.
- com o compasso, permite-se traçar uma circunferência com centro num ponto dado, 
passando por um segundo ponto qualquer dado.
 O traçado de construções geométricas com régua e compasso mostrou-se ser um 
dos jogos mais fascinantes e absorventes jamais inventados. (EVES, 2004, p. 134)
NOTA
TÓPICO 3 | CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIZ, RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES.
41
LEITURA COMPLEMENTAR
Compasso ou Régua Apenas?
Howard Eves
O geômetra e poeta italiano do século XVIII, Lorenzo Mascheroni (1750-
1800), fez a surpreendente descoberta de que todas as construções euclidianas, na 
medida em que os elementos dados e procurados são pontos, podem ser feitas 
apenas com o compasso, sendo a régua, portanto um instrumento supérfluo. 
Obviamente, não se pode traçar uma reta com o compasso, mas qualquer reta a 
que se chegue numa construção euclidiana pode ser determinada com o compasso 
apenas encontrando-se dois de seus pontos. Essa descoberta foi revelada em 1797na Geometria Del Compaso, de Mascheroni.
Como numa construção euclidiana encontram-se novos pontos, a partir de 
pontos antigos, (1) pela intersecção de duas circunferências, (2) pela intersecção 
de uma reta e uma circunferência ou (3) pela intersecção de duas retas, tudo que 
Mascheroni tinha de fazer era mostrar como, apenas com o compasso, se podiam 
resolver os problemas (2) e (3), entendendo-se por reta dois de seus pontos dados.
Pouco antes de 1928, um aluno do matemático dinamarquês J. Hjelmslev 
(1873-1950), ao perlustrar as prateleiras de uma livraria em Copenhague, deparou 
com um velho livro, Euclides danicus, publicado em 1672 por um escritor obscuro 
chamado Georg Mohr (1640-1679). Depois de examinar o livro, Hjelmslev se 
surpreendeu ao verificar que ele continha a descoberta de Mascheroni, com uma 
publicação que antecedia a publicação de Mascheroni em 125 anos. Em 1890, o 
geômetra vienense August Adler (1863-1923) publicou uma nova demonstração 
dos resultados de Mascheroni fazendo uso da transformação de inversão.
Inspirando-se na descoberta de Mascheroni, o matemático francês Jean 
Victor Poncelet (1788-1867) considerou as construções com régua apenas. Nesse 
caso, nem todas as construções podem ser levadas a efeito mas, curiosamente, 
contando-se com uma circunferência e seu centro traçados no plano de construção, 
a régua se torna suficiente para essas construções. Esse teorema foi concebido por 
Poncelet em 1822 e, mais tarde, em 1833, desenvolvido plenamente pelo gênio do 
geômetra suíço-alemão Jacob Steiner (1796-1863). O que se precisa mostrar agora 
é que, contando-se com a circunferência e seu centro, as construções (1) e (2) 
podem ser efetuadas com a régua apenas, entendendo-se que uma circunferência 
fica dada pelo seu centro e um de seus pontos.
Por volta do ano 980, o matemático árabe Abûl-Wefã (940-998) propusera 
o uso da régua junto com um compasso enferrujado,i sto é, um compasso de 
abertura fixa. Em vista do teorema de Poncelet-Steiner precisamos, na verdade, 
usar o compasso apenas uma vez, depois do que podemos abandoná-lo. Em 
1904, o italiano Francesco Severi foi ainda além e mostrou que tudo de que se 
42
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO E FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA
precisa é um arco, por menor que seja, de uma circunferência e seu centro, a fim 
de levar a termo todas as construções euclidianas com régua apenas. Também 
foi demonstrado, por Adler e outros, que se pode realizar qualquer construção 
euclidiana com uma régua de duas bordas, não importa se estas sejam ou não 
paralelas. Há muitos teoremas de construção intrigantes como estes, cujas 
demonstrações requerem engenhosidade considerável.
Recentemente, mostrou-se que o supramencionado Georg Mohr era o autor 
de um opúsculo publicado anonimamente em 1673, com o título de Compendium 
Euclidis curiosi, no qual se prova efetivamente que todas as construções de 
Elementos de Euclides são possíveis com régua e compasso enferrujado.
FONTE: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. p.587 – 588.
43
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste Tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da 
Geometria. A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para 
que você, caro acadêmico, possa fixá-los melhor: 
	Como construir retas paralelas utilizando apenas dois esquadros.
	Como construir retas perpendiculares usando apenas dois esquadros.
	Mediatriz será a reta que divide o segmento de reta AB em duas partes 
congruentes.
	Como construir a reta mediatriz usando régua e compasso.
	Como transpor figuras.
44
AUTOATIVIDADE
Com vistas a que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor fixar 
os conteúdos, apresentamos, em seguida, alguns exercícios referentes ao 
conteúdo estudado:
1 Utilize dois compassos e trace uma reta paralela a cada reta dada.
a)
b)
2 Trace uma reta perpendicular a cada reta dada.
a) 
45
b)
3 Trace a mediatriz do segmento AB.
4 Utilizando compasso e esquadro, reproduza figura a seguir, na mesma escala.
46
47
UNIDADE 2
SISTEMAS DE PROJEÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade tem por objetivos:
• Conhecer e identificar os tipos de projeções.
•	Familiarizar-se com as nomenclaturas usadas na projeção.
•	Verificar a diferença entre sistema cônico e sistema cilíndrico.
•	Entender e construir o sistema mongeano e a épura.
•	Definir afastamento, cota e abscissa.
•	Projetar um ponto na épura e dar sua localização.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. Ao final de cada tópico, vocês 
encontrarão atividades que lhe ajudarão na fixação da aprendizagem.
TÓPICO 1 – PROJEÇÕES
TÓPICO 2 – SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
TÓPICO 3 – SISTEMA MONGEANO
TÓPICO 4 – PROJEÇÃO DE UM PONTO
48
49
TÓPICO 1
PROJEÇÕES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Podemos afirmar que o pai da Geometria Descritiva foi Gaspar Monge, 
um sábio desenhista francês e excepcional geômetra, que a definiu como sendo a 
“arte” de representar figuras espaciais num plano.
 
Essa forma de representação permite trabalhar todos os problemas 
tridimensionais com desenhos feitos num plano.
Para conseguirmos representar um objeto tridimensional num plano, 
usamos projeções. A seguir, estudaremos as principais formas que existem para 
projetarmos uma figura espacial. O cuidado que temos que tomar é que, ao 
projetarmos uma figura espacial num plano, acabamos perdendo detalhes deste 
objeto. Essa perda pode ser insignificante, mas também pode ser importantíssima 
para a compreensão total do objeto original.
Imaginem se, ao ler uma planta de alguma construção, o engenheiro não 
fosse capaz de obter com exatidão o seu tamanho, a distância entre os pilares, 
etc. Por isso, Monge fez algumas adaptações nos sistemas de projeção existentes, 
conseguindo extrair todos os detalhes necessários para solucionar os problemas 
de um objeto tridimensional.
Nessa Unidade, estudaremos os sistemas que serviram de base para 
Monge e evoluiremos até chegarmos ao Sistema Mongeano.
2 O QUE É PROJEÇÃO
Projeção é o processo pelo qual incidem raios sobre um objeto em um 
plano chamado plano de projeção.
A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. 
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
50
Como os objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional 
se dá através de alguns artifícios de desenho. Para tanto, são considerados os 
elementos básicos da projeção:
Plano de projeção
Objeto
Raio projetante
Centro de projeção
Não há motivo para complicarmos o que é projeção porque a idéia de 
projeção é quase que intuitiva, uma vez que sua ocorrência se dá em diversos 
segmentos do nosso cotidiano. Trata-se de um fenômeno físico que acontece 
normalmente na natureza ou que pode ser produzido artificialmente pelo homem.
Vejam os seguintes exemplos dados por Rabello (2005, p.11):
1º) “Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares produzem sobre 
a superfície de um piso claro, uma figura escura a que chamamos comumente de 
sombra. O contorno da sombra nada mais é que a projeção do contorno da placa 
na superfície do piso”.
Plano de projeção: superfície do piso
Objeto: Placa
Raio projetante: raios solares
Centro de projeção: sol
FIGURA 67: PROJEÇÃO DE FIGURA
FONTE: AUTOR
2º) “As imagens que vemos numa tela de cinema são as projeções dos 
fotogramas contidos na fita de celulóide quando sobre eles incidem os raios 
luminosos emitidos pela lâmpada do projetor”.
TÓPICO 1 | PROJEÇÕES
51
Plano de projeção: tela do cinema
Objeto: os fotogramas da fita
Raio projetante: raios luminosos da lâmpada
Centro de projeção: a lâmpada do projetor
O contorno da sombra, assim como as imagens produzidas na tela 
de cinema são figuras projetadas em superfícies de projeção identificadas nos 
exemplos, respectivamente, na superfície do piso e na tela de cinema (Planos de 
projeção).
Em linguagem matemática, podemos formalizar a seguinte definição:
Projeção é o conjunto de operaçõesgeométricas que permitem obter a 
figura formada pelos pontos de interseção dos raios projetantes que partem de 
um centro projetivo e incidem sobre uma figura do espaço, com uma superfície.
52
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste Tópico, você, caro(a) acadêmico(a) teve oportunidade de estudar 
os seguintes conteúdos:
	Gaspar Monge é considerado por muitos o “pai” da projeção espacial num 
plano;
	Projeção é a “sombra” obtida de um objeto num plano
	Obtivemos a noção de:
 Plano de Projeção
 Objeto
 Raio Projetante
 Centro de Projeção
53
AUTOATIVIDADE
Caro acadêmico, para que você possa melhor fixar os conteúdos 
estudados neste Tópico, procure resolver estas atividades:
1 Um carro estacionado sob um poste com luz ligada, à noite, em uma rua, 
tem sua sombra projetada sobre a rua. Identifique, no problema, o plano de 
projeção, o centro de projeção, o raio projetante e o objeto.
2 Dê um exemplo observado no cotidiano de alguma projeção.
3 Em qual(is) ramo(s) da(s) atividade(s) humana(s) você acha que a projeção 
ajudará para o estudo de objetos?
4 Na sua opinião, qual a vantagem de se estudar apenas a projeção de um 
objeto ao invés de estudar o próprio objeto?
 
54
55
TÓPICO 2
SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
A forma de representar desenhos evoluiu ao longo dos anos. É sempre 
benéfico estudarmos, mesmo que de forma superficial, os sistemas que foram 
usados e que em alguns casos ainda o são.
Neste Tópico, apresentaremos dois sistemas muito importantes, para que 
o aluno tenha conhecimento de sua existência.
2 SISTEMA CÔNICO
É o sistema de projeção em que os raios projetantes partem de um ponto 
“visível”. Esse ponto será o vértice do cone, que se formará entre esse ponto, 
o objeto e a sua projeção no plano de projeção. Esse tipo de projeção acontece 
quando o centro de projeção (fonte de luz) está a uma distância finita do objeto. 
Nesse caso, o ponto de vértice recebe o nome de ponto próprio.
Veja no desenho:
FIGURA 68: SISTEMA CÔNICO
FONTE: AUTOR
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
56
Esse sistema faz com que a projeção não represente o tamanho verdadeiro 
do objeto. Não é difícil notar que quanto mais próximo do objeto o centro de 
projeção estiver, maior será a distorção entre o tamanho original e a projeção. 
Para que isso não ocorra, o método mais utilizado é o cilíndrico.
3 SISTEMA CILÍNDRICO
No sistema anterior (cônico) foi visto que, quanto mais próximo o centro 
de projeção estiver do objeto, pior será a comparação entre tamanho do objeto 
e tamanho da projeção. Lembre-se que nosso objetivo é projetar o objeto de tal 
forma que a projeção nos indique tudo sobre o mesmo, e quanto mais rápido e 
fácil for a leitura, melhor. Para tanto, basta afastar o centro de projeção o máximo 
que pudermos. Esse máximo será o infinito.
Portanto, sistema cilíndrico é quando o centro de projeção se encontra no 
infinito, nesse caso esse ponto é chamado de impróprio.
Como o centro de projeção está no infinito, os raios de projeção são 
paralelos entre si, tornando a projeção do mesmo tamanho que o objeto original.
Observe no desenho:
FIGURA 69: SISTEMA CILÍNDRICO 
FONTE: AUTOR
Lembrem que esse ponto no infinito é um ponto impróprio.
UNI
TÓPICO 2 | SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
57
Esse tipo de projeção é excelente, pois dá uma indicação precisa do 
tamanho do objeto, sem precisarmos de cálculos auxiliares de proporção e 
trigonometria. Uma escala direta será o bastante.
A projeção cilíndrica é dividida em ortogonal e oblíqua. Uma idéia simples 
para entender é pensar que a ortogonal é quando o centro de projeção é o “sol 
do meio dia”, e a oblíqua seria quando o centro de projeção é o “sol das outras 
horas”.
Veja:
FIGURA 70: SISTEMA CILÍNDRICO – OBLÍQUO E ORTOGONAL
FONTE: AUTOR
O que utilizaremos é a projeção cilíndrica ortogonal, por motivos de 
facilidade e transparência na relação entre objeto e projeção no plano, que é o 
maior objetivo da geometria descritiva.
Contudo é notório que, mesmo com a projeção cilíndrica, muitas 
características do objeto se perdem principalmente se for complexo como uma 
casa, um prédio, uma ponte, um viaduto, etc.
Pensando nisso é que Monge criou seu sistema de projeção, que consiste 
em projetar o objeto em dois planos ortogonais, um plano horizontal (PH) e um 
Plano Vertical (PV) que será estudado no próximo tópico.
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
58
4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS X PROJEÇÕES CÔNICAS
Apesar do sistema de projeção cônica não representar o tamanho real 
do objeto como o sistema de projeção cilíndrico, ele aparece com freqüência nas 
revistas em quadrinhos e até mesmo nosso dia a dia.
O texto a seguir (HARRIS; SCALO, 2008), analisa perfeitamente essa 
situação.
Observe por 1 minuto a figura a seguir e tente compreendê-la 
tridimensionalmente.
FIGURA 71 - QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CILÍNDRICA
FONTE: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 de Mai. 
2008
Observe agora a seguinte figura.
FIGURA 72 - QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CÔNICA
FONTE: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 de Mai. 
2008
TÓPICO 2 | SISTEMA CÔNICO E SISTEMA CILÍNDRICO
59
Qual das duas você compreende melhor?
Na primeira figura, foi usada uma técnica de projeção cilíndrica e na 
segunda uma técnica de projeção cônica.
Embora as duas figuras sejam projeções bidimensionais de uma situação 
tridimensional, a segunda figura parece-nos mais familiar.
Isto se dá devido ao fato deste tipo de projeção estar mais próximo a como 
nossos olhos vêem.
Quando observamos o desenho a seguir,
FIGURA 73: - UMA VISÃO CÔNICA
FONTE: http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm Acesso em: 29 Mai. 2008 
Embora saibamos que trilhos da linha de trem são paralelos e, portanto, 
“nunca deveriam se encontrar”, podemos ver seu encontro: “eles se encontram 
num ponto de fuga (PF)”. Como este ponto é real apenas para nossos olhos, 
dizemos que duas paralelas se encontram sim, mas no infinito, onde está seu 
centro de projeções impróprio. (0∞).
60
RESUMO DO TÓPICO 2
Amigo acadêmico, apresentamos, a seguir, de maneira resumida, os 
conteúdos apresentados neste Tópico, a fim de que você possa revê-los e fixá-los 
melhor:
	Sistema cônico é quando o ponto de projeção está a uma distância finita do 
objeto.
	No sistema cônico o real tamanho da figura não é mantida, dificultando o 
estudo do objeto apenas pela projeção.
	O sistema cilíndrico tem como ponto de projeção um ponto impróprio, ou seja, 
o seu ponto de projeção está no infinito.
	Dentro do sistema cilíndrico podemos ter o caso oblíquo e o ortogonal. Este 
último é mais usado por manter as proporções do objeto mais fidedignas.
	A base do sistema mongeano é o sistema de projeção cilíndrico ortogonal.
61
AUTOATIVIDADE
Caro acadêmico, com vistas a uma melhor fixação dos conteúdos 
estudados neste tópico, procure resolver os exercícios que seguem:
1 Comente os tipos de sistemas de projeção estudamos neste tópico.
2 Por que o sistema cilíndrico é considerado melhor que o sistema cônico?
3 Apresente os problemas podem ocorrer ao estudarmos uma projeção obtida 
por um sistema de projeção oblíqua.
4 Você consegue imaginar no cotidiano uma situação perfeita de uma 
projeção cilíndrica? Justifique.
62
63
TÓPICO 3
SISTEMA MONGEANO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Poderíamos ter juntado este tópico com o anterior, mas o sistema 
Mongeano é tão usado atualmente que preferimos dar uma ênfase especial ao 
falarmos dele. 
Como esse sistema é o adotado no mundo das projeções, o assunto é 
tratado de forma bem completa, para que o aluno consiga entender e visualizar 
seu formato e suas nomenclaturas.
2 SISTEMA MONGEANO
Para suprir os problemas da projeção de um objeto em um único plano, 
Monge bolou um sistema de dupla projeção simultânea. O objeto é projetado, ao 
mesmo tempo, num plano horizontal (PH) e num plano vertical (PV). Verifique:
FIGURA 74: SISTEMA MONGEANO
FONTE:AUTOR
64
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
Notem que, na figura, estamos projetando um círculo que estava situado 
no espaço, em dois planos. No plano horizontal (PH), vimos a circunferência 
exatamente como ela é. No plano vertical (PV) vimos apenas um segmento de 
reta. Embora pareça que o PH já seria suficiente, é o PV que nos dá a certeza que o 
objeto é apenas um círculo. Além do mais, sem o PV não saberíamos a localização 
do objeto.
Observem também que os planos horizontais e verticais repartem o espaço 
em quatro subespaços a que chamamos de diedros. A intersecção entre os dois 
espaços é chamada de Linha de Terra.
Embora, a figura acima seja muito bonita, ela não é fácil de desenhar, pois 
estes planos ortogonais complicam bastante. Contudo, não precisamos desenhá-
los, basta lembrarmos que eles existem, e isso é fundamental. Nós usaremos a 
épura para representar os desenhos projetados no sistema mongeano. Com a 
épura, o desenho fica facílimo, mas sua leitura só fica clara quando lembrarmos 
onde e de como ela fora obtida.
3 ÉPURA
Nada mais é que o modo de apresentação e como desenhamos uma 
projeção no sistema mongeano. Com este modo, o desenho de qualquer objeto se 
resume a alguns segmentos de reta.
Cabe salientar aos alunos, novamente, que é importantíssimo entender 
bem como é conseguida a épura, pois a sua leitura fica óbvia quando os conceitos 
básicos estão entendidos.
A épura vem da rotação do plano horizontal (PH) até se encontrar ao 
plano vertical (PV). Ao ser feito isso, parecerá que temos um único plano, o que 
facilita muito na hora de desenhar, mas que exige cautela na hora de fazer sua 
leitura.
Obtendo a épura:
Para facilitar a visualização, imaginaremos um ponto P no 1º diedro, com 
projeção P’ no PVS e projeção P’’ no PHA.
TÓPICO 3 | SISTEMA MONGEANO
65
FIGURA 75: DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL
FONTE: AUTOR
Agora faremos a rotação, no sentido horário, do plano horizontal até que 
ele coincida com o plano vertical.
FIGURA 76: REBATIMENTO DO PH
FONTE: AUTOR
A rotação do plano horizontal de 90o feita acima é conhecida como rebatimento.
UNI
66
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
Temos, então, a sobreposição de dois planos. Visualizando esta 
sobreposição de frente, fica bem evidente a facilidade de desenhar.
FIGURA 77: OBTENÇÃO DA ÉPURA
FONTE: AUTOR
Onde:
 PH – Plano Horizontal
 PV – Plano Vertical
 PVS – Semi-plano Vertical Superior
 PVI – Semi-plano Vertical Inferior
 PHA– Semi-plano Horizontal Anterior
 PHP – Semi-plano Horizontal Posterior
 LT – Linha de Terra
Todos os desenhos das projeções no sistema mongeano serão feitos na 
épura, que é esta última etapa desenhada acima.
Na épura são representadas exclusivamente as projeções de uma determinada figura.
UNI
O segmento de reta que liga as projeções P’ e P’’ é chamado de linha de 
chamada e é perpendicular à Linha de terra.
A Linha de Terra em épura pode ser representada por LT ou pelas letras 
x e y nas suas extremidades, mas o usual é colocarmos dois pequenos traços nas 
extremidades como mostra a figura acima.
TÓPICO 3 | SISTEMA MONGEANO
67
4 COTA E AFASTAMENTO
Trabalhar com a projeção na épura é muito vantajoso devido à facilidade 
de desenhar, embora a leitura requeira certo conhecimento e cuidado.
Para dar a localização de um ponto no espaço necessitamos de duas 
medidas: a cota e o afastamento.
Vamos visualizar novamente uma épura com a projeção obtida de um 
ponto P:
FIGURA 78: ÉPURA
FONTE: AUTOR
A cota do ponto P será a exata distância entre P’’ e a Linha de Terra (LT). 
Podemos pensar como sendo a “altura” do ponto P, ou a distância entre o ponto 
e o plano horizontal (PH).
O afastamento do ponto P será a exata distância entre P’ e a Linha de 
terra (LT). Podemos pensar como sendo o deslocamento lateral do ponto P, ou a 
distância entre P e o plano vertical (PV).
Para reforçar, Pinheiro (1990, p. 12) explica da seguinte maneira: “a distância 
de um ponto ao plano horizontal (π) de projeção denomina-se cota; a distância de 
um ponto ao plano vertical (π’) de projeção denomina-se afastamento”.
A cota e o afastamento constituem as coordenadas de um ponto, mas não 
são suficientes para a exata localização desse ponto no espaço, pois temos uma 
infinidade de pontos com a mesma cota e afastamento.
 
Precisamos então de mais uma coordenada, a abscissa, que tomamos a 
partir de um ponto marcado arbitrariamente sobre a linha da terra, denotado 
por 0 (zero), que chamaremos de origem do sistema. Quando a abscissa estiver 
situada à direita da origem ela é positiva, e se estiver à esquerda ela é negativa. 
68
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
Observe na figura abaixo a representação da abscissa, da cota e do 
afastamento no sistema mongeano e na épura.
FIGURA 79: COMPARAÇÃO – SISTEMA MONGEANO X ÉPURA
FONTE: AUTOR
Podemos dizer que, no sistema mongeano, a abscissa é a menor distância 
entre a origem (0) é o ponto de intersecção das projeções(I). Na épura é a menor 
distância entre a origem e a linha de chamada.
Assim, um ponto fica definido por três coordenadas: abscissa (a), 
afastamento (b) e cota (c), nessa ordem, P[a, b, c]. 
69
RESUMO DO TÓPICO 3
Para que você, caro acadêmico, possa melhor relembrar os conteúdos 
estudados neste Tópico, apresentamos, a seguir, um breve resumo dos mesmos:
	Sistema mongeano: dupla projeção ortogonal, uma projeção com ponto de 
projeção acima do objeto (dando a projeção no plano horizontal PH) e outra 
com ponto de projeção ao lado do objeto (gerando a projeção no plano vertical 
PV)
	Épura: é obtida através da rotação do Plano Horizontal. É o método mais 
utilizado por preservar todas as informações importantes e por ser muito fácil 
de desenhar e manipular.
	Linha de terra: é a reta de intersecção entre o PV (plano vertical) e o PH (plano 
horizontal). Também podemos notar sua presença na épura, dividindo esta ao 
meio.
	Linha de chamada: é o segmento de reta que une as projeções P’ e P’’ de um 
ponto.
	Cota: é a “altura” de um ponto no espaço. Na épura é a exata distância entre a 
LT e P’’.
	Afastamento: é a “distância lateral” de um ponto no espaço. Na épura é a 
distância entre a LT e P’.
	Abscissa: é a distância da origem do sistema a intersecção das projeções. Na 
épura é a distância entre a origem e a linha de chamada.
70
AUTOATIVIDADE
É importante que você responda as questões abaixo, COM SUAS 
PRÓPRIAS PALAVRAS, para que você se aproprie das definições que 
serão usadas nos próximos tópicos.
1 Escreva o que você entende por rebatimento.
2 Como você explicaria a alguém o que significa:
a) cota:
b) afastamento:
c) abscissa:
3 Faça as projeções do ponto P no PH e PV, e destaque a cota, o afastamento 
e a abscissa na figura abaixo. (você pode usar a técnica de retas paralelas, 
vista no tópico1, para desenhar as projeções):
4 Faça o rebatimento dos planos da figura da questão 4 para obter a épura, e 
destaque a cota o afastamento e a abscissa.
71
TÓPICO 4
PROJEÇÃO DE UM PONTO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
A projeção de um ponto é bem fácil de aprender e muito importante, 
porque, se imaginarmos toda e qualquer forma geométrica como um conjunto de 
pontos, bastará generalizar a idéia aprendida sobre os pontos e expandir para as 
outras formas.
É exatamente nisso que nos baseamos ao organizarmos esse material, 
reforçar bastante a projeção de ponto e de reta para que depois o aluno possa 
“caminhar” sozinho na planificação de figuras mais complexas.
Neste tópico daremos a noção exata de como projetar um ponto na épura, 
mostraremos o que acontece com a cota e com o afastamento quando o ponto se 
encontra nos quatro diedros e, por fim, conseguiremos saber o diedro de origem 
do ponto no espaço apenas observando o sinal da cota e do afastamento. Não 
levaremos em conta a abscissa do ponto, pois ela não interfere no sinal da cota e 
do afastamento.
2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA
Quando olhamos a épura, temos que lembrar que o que vimos é a projeção 
do ponto P inicial e não o próprio pontoP. Esta noção, apesar de óbvia, causa 
muita confusão nos alunos mais distraídos.
72
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
FIGURA 80: PONTO DO 1° DIEDRO
FONTE: AUTOR
Notem que, além da economia de espaço e de informações pouco 
importantes, podemos fazer algumas generalizações sobre a cota e o afastamento 
obtidos na épura quando o ponto se encontra no 1º diedro.
A épura traz a projeção P’ abaixo da LT e a P’’ acima da LT. Contudo, 
observando o ponto no espaço, sabemos que tanto a cota quanto o afastamento 
são positivos. 
Concluímos, então, que, quando a cota (distância entre P’’ e LT) está acima 
da LT, terá um valor positivo. E quando o afastamento (distância de P’ e LT) está 
abaixo da LT, terá um valor positivo.
Para reforçar: Para ter valor positivo, a cota tem que aparecer acima da LT e o 
afastamento abaixo.
UNI
No 1º Diedro
TÓPICO 4 | PROJEÇÃO DE UM PONTO
73
FIGURA 81: PONTO DO 2° DIEDRO
FONTE: AUTOR
Notem que, ao “girarmos” o plano horizontal, a projeção P’ do ponto P vai 
parar acima da LT. Porém, ela ainda indica o afastamento e, com isso, concluímos 
que, quando o ponto está no segundo diedro, tanto a cota como o afastamento 
aparecem acima da LT na épura.
Vale lembrar que a cota é positiva (está aparecendo acima da LT) e o 
afastamento é negativo (está acima da LT e é para baixo que ele é positivo).
No 3º diedro
FIGURA 82: PONTO NO 3° DIEDRO
FONTE: AUTOR
74
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
Notem que a cota aparece abaixo da LT e o afastamento acima. Isso indica 
que ambos os valores são negativos, uma vez que estão localizados numa posição 
contrária à que ocorre com o ponto do 1º diedro.
No 4º diedro
FIGURA 83: PONTO NO 4° DIEDRO
FONTE: AUTOR
A épura nos mostra as duas medidas abaixo da LT, o que nos indica que 
o afastamento é positivo e a cota, negativa.
Exemplos
1) Construa a épura de um ponto P [1, 5, -3].
 
Solução: Sabemos que o 1 é a abscissa, 5 é o afastamento e -3 é a cota. 
Afastamento positivo e cota negativa nos dão um ponto no 4º diedro (ver quadro 
resumo). A épura do 4º diedro tem ambas as medidas abaixo da LT, logo:
TÓPICO 4 | PROJEÇÃO DE UM PONTO
75
Imagine o ponto do espaço e a rotação dos planos. Faça a construção em outra 
folha e depois compare os resultados.
UNI
2) Determine as coordenadas do ponto representado na épura abaixo:
Solução: Com o uso de uma régua graduada, medimos que a origem (0) 
está a 1,5cm da linha da chamada. Portanto, a abscissa mede 1,5cm. Como a linha 
de chamada está à esquerda da origem, temos abscissa negativa.
 
Medimos que P’ está a 2cm acima da LT, que P’’ está 4cm abaixo, P’ 
representa o afastamento e P’’ a cota. Temos o afastamento acima da LT e a 
cota abaixo da LT. Isso indica que ambas as medidas são negativas e o ponto se 
encontra no 4º diedro.
 
Portanto: P [-1,5; -2; -4].
3) Determine o diedro que se encontra o ponto P [3, -8, 7]
Solução: Sabemos que o 3 é a abscissa, -8 é o afastamento e 7 é a cota. 
Como o afastamento é negativo e a cota é positiva, então, o ponto P pertence ao 
segundo diedro (ver quadro resumo).
76
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
Para sabermos em qual diedro está um ponto, não precisamos da abscissa, basta 
que tenhamos o valor da cota e do afastamento.
UNI
3 PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA 
ÉPURA
Até o presente momento, tratamos apenas dos pontos que estão localizados 
em um dos quatro diedros. Mas, um ponto pode pertencer a alguns dos planos: 
PHA, PHP, PVS, PVI, ou até mesmo a intersecção dos planos que chamamos de 
linha da terra (LT).
3.1 PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIZONTAL
Todos os pontos de cota nula pertencem ao plano horizontal, que pode ser 
PHA ou PHP.
Caro estudante, como você está familiarizado com o sistema mongeano e com 
a épura, faremos a representação dos pontos P ∈ PHA e Q ∈ PHP na mesma figura
FIGURA 84: PONTO NO PH
FONTE: AUTOR
TÓPICO 4 | PROJEÇÃO DE UM PONTO
77
Notem que, após o rebatimento, a projeção P’ ≅ P vai parar abaixo da LT, 
e a projeção P’’ permanece sobre a LT. Podemos observar que a cota é nula, pois 
está em cima da linha da terra e o afastamento é positivo, pois está abaixo da 
linha da terra.
Já a projeção Q’ ≅ Q fica acima da LT, e a projeção Q’’ permanece sobre 
a LT. E podemos dizer que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o 
afastamento é negativo, pois está acima da linha da terra.
3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL
Todos os pontos de afastamento nulo pertencem ao plano vertical, que 
pode ser PVS ou PVI.
Veja agora, a representação dos pontos P ∈ PVS e Q ∈ PVI, no sistema 
mongeano e na épura.
FIGURA 85: PONTO NO PV
FONTE: AUTOR
Notem que, após o rebatimento, a projeção P’’ ≅ P fica acima da LT, e a 
projeção P’ permanece sobre a LT. Logo o afastamento é nulo, pois está em cima 
da linha da terra e a cota é positiva, pois está acima da linha da terra.
Já a projeção Q’’ ≅ Q vai parar abaixo da LT, e a projeção Q’ permanece 
sobre a LT. E podemos dizer que o afastamento é nulo, pois está em acima da 
linha da terra e a cota é negativa, pois está abaixo da linha da terra.
78
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA
Todos os pontos de cota nula e afastamento nulo pertencem à linha da 
terra, e suas projeções coincidem.
Observe a figura em que P ∈ LT:
FIGURA 86: PONTO NA LT
FONTE: AUTOR
Após o rebatimento as projeções P’ e P’’ ficam sobre a linha da terra, veja 
o resumo no quadro, a seguir.
QUADRO 1: RESUMO
FONTE: AUTOR
1º 
Diedro
2º 
Diedro
3º 
Diedro
4º 
Diedro
PHA PHP PVS PVI LT
Afastamento +
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
-
Acima 
LT
+
Abaixo 
LT
+
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
0 0 0
Cota +
Acima 
LT
+
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
-
Abaixo 
LT
0 0 +
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
0
TÓPICO 4 | PROJEÇÃO DE UM PONTO
79
LEITURA COMPLEMENTAR
GASPARD MONGE (1746-1818)
Howard Eves
Monge fez seus estudos básicos em escolas oratorianas, primeiro 
em Beaunne, sua cidade natal, depois em Lyon, onde, aos dezesseis anos de 
idade, tornou-se instrutor de física. Uma planta de sua cidade natal, em escala 
apreciavelmente grande, elaborada com notável perícia, abriu-lhe as portas de 
escola militar de Mézières como desenhista. Tendo de desenhar a planta de um forte 
com os canhões em lugares a serem determinados por certos dados experimentais, 
Monge contornou o tedioso procedimento aritmético da época, substituindo-o por 
um outro, geométrico, mais rápido. Seu método, que consistia em inteligentemente 
representar objetos tridimensionais por meio de projeções convenientes sobre um 
plano bidimensional, foi adotado pelos militares e considerado segredo absoluto. 
Posteriormente, veio a se tornar matéria amplamente ensinada com o nome de 
geometria descritiva. Em 1768, Monge chegava a professor de Matemática e, em 
1771, a professor de Física da mesma escola militar. Em 1780, foi designado para 
a cátedra de hidráulica do Liceu de Paris.
FIGURA 87: GASPARD MONGE
FONTE: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Monge.html Acesso em: 
29 Mai. 2008
Monge foi ministro da marinha e, como tal, engajou-se na tarefa de 
produzir armas e munições para armada. Foi o maior responsável, junto ao 
Diretório, pela criação da Escola Politécnica, da qual se tornou professor. Ganhou 
o afeto e a admiração calorosos de Napoleão, a quem acompanhou, juntamente 
com o matemático Joseph Fourier (1768-1830), à malfadada expedição de 1798 ao 
Egito. No retorno à França, reassumiu suas funções na Escola Politécnica, na qual 
sempre se mostrou um professor singularmente brilhante. Suas aulas serviram de 
inspiração a uma série de grandes geômetras, entre eles Charles Dupin (1784-1873) 
80
UNIDADE 2 | SISTEMAS DE PROJEÇÕES
e Jean Victor Poncelet (1788-1867), o primeiro responsável por contribuições de 
vulto ao campo da geometria diferencial e o segundo ao da geometria projetiva.
Considera-se ainda que Monge, além de criador da geometria descritiva, 
seja também o pai da geometria diferencial.
FONTE: EVES, Howard.