Apostila 4 Geometria Fundamentos e metodos de ensino e praticas pedagogicas

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Felipe Júnio de Souza Oliveira 
 
Doutorando em Educação. Mestre em Educação e Docência, na linha de Educação 
Matemática, pela Universidade Federal de Minas Gerais. Especialista em Matemática 
Financeira e Estatística e especialista em Metodologia do Ensino de Matemática e Física. 
Graduado em Matemática pela Universidade de Uberaba. É membro do Grupo de 
Pesquisa Estudos sobre Numeramento da Universidade Federal de Minas Gerais e do Grupo 
Interinstitucional de Pesquisa em Educação Matemática e Sociedade pela Unisinos. Atua 
como professor de Matemática na Educação Básica e professor universitário na 
Universidade do Estado de Minas Gerais. Atualmente, desenvolve trabalhos e pesquisas 
sobre letramento estatístico, numeramento, uso pedagógico de pesquisas de opinião, 
teoria histórico-cultural da atividade e Educação de Jovens e Adultos. 
GEOMETRIA: FUNDAMENTOS E MÉTODOS 
DE ENSINO E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS 
 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2021 
 
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Bruna Carolina de Almeida Salles 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Bruna Luiza Mendes Leite 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Guilherme Prado Salles 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 Taisser Gustavo de Soares Duarte 
 
 
 
 
 
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Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de 
determinados termos/palavras mostradas ao longo do 
livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões 
citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, 
seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
GEOMETRIA PLANA: HISTÓRIA, CIÊNCIA DEDUTIVA E CONCEITOS 
BASILARES ............................................................................................................... 8 
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 8 
1.2 A GEOMETRIA PLANA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA .................................... 9 
1.3 DO SENSO COMUM À CIÊNCIA DEDUTIVA ......................................................... 13 
1.4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E POSTULARES ....................................................... 18 
 22 
GEOMETRIA PLANA BÁSICA DA RETA E DO DESENHO GEOMÉTRICO . 28 
2.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 28 
2.2 ESTUDO DAS RETAS ............................................................................................. 29 
2.3 INSTRUMENTOS E TÉCNICAS DE DESENHO ........................................................ 34 
2.4 CONSTRUÇÕES ELEMENTARES ........................................................................... 36 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 41 
TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA BÁSICA ESTRUTURAL E ALGUMAS 
CONSTRUÇÕES ESPECIAIS ...................................................................... 46 
3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 46 
3.2 ESTUDO DE ÂNGULOS E REGIÕES ANGULARES ................................................... 46 
3.3 OS POLÍGONOS E ALGUMAS PARTICULARIDADES ............................................. 50 
3.2.1 Triângulos ou triláteros ........................................................................ 53 
3.2.2 Quadriláteros ou quadrângulos ........................................................ 56 
3.4 AS CIRCUNFERÊNCIAS, OS CÍRCULOS E SEUS ELEMENTOS ............................... 59 
3.5 CONSTRUÇÕES ESPECIAIS ...................................................................................... 63 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................................... 71 
TÓPICOS ESPECIAIS E APLICADOS À GEOMETRIA PLANA .................... 76 
4.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 76 
4.2 SEMELHANÇAS ENTRE REGIÕES PLANAS........................................................... 76 
4.3 REGULARIDADES POLIGONAIS, INSCRIÇÕES E CIRCUNSCRIÇÕES ................. 79 
4.4 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS .............................................................................. 82 
4.5 A SIMETRIA E OS SEUS FENÔMENOS .................................................................. 84 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 87 
GEOMETRIA ESCALAR, HOMOTETIA E OUTRAS CONSTRUÇÕES ESPECIAIS
 ................................................................................................................. 92 
5.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 92 
5.2 ESCALAS .............................................................................................................. 92 
5.3 A HOMOTETIA E AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS ................................. 94 
5.4 CONSTRUÇÕES ESPECIAIS COM TANGRAM E ORIGAMI ................................. 97 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 102 
 
 
 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
UNIDADE 
05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
AS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS NO MUNDO CONTEMPORÂNEO . 108 
6.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 108 
6.2 ENSINO-APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA PLANA .......................................... 108 
6.3 PROJETOS DE GEOMETRIA PLANA COM O USO DE SOFTWARES ................... 110 
6.4 APLICAÇÕES ARQUITETÔNICAS A PARTIR DA GEOMETRIA PLANA .............. 113 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 117 
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO ..................................................... 122 
7.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 122 
7.1.1 Vetores no plano .................................................................................. 122 
7.2 NORMA DEUM VETOR NO PLANO .................................................................. 123 
7.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO ......................................... 124 
7.1.2 Multiplicação de um vetor por um escalar ..................................... 124 
7.1.3 Adição de vetores ................................................................................ 124 
7.4 VETORES NO ESPAÇO ℝ𝟑................................................................................. 127 
7.5 VETORES NO ℝ𝒏................................................................................................ 128 
FIXANDO OCONTEÚDO .............................................................................................. 129 
COMBINAÇÃO LINEAR......................................................................... 133 
8.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 133 
8.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES .................................................................... 133 
8.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ........................................................................ 134 
8.4 PRODUTO VETORIAL ......................................................................................... 136 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 138 
SISTEMAS LINEARES ............................................................................... 143 
9.1 EQUAÇÕES LINEARES ....................................................................................... 143 
9.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ........................................................... 143 
9.3 SISTEMA LINEAR ................................................................................................ 144 
9.4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR .................................................................. 145 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 150 
ESPAÇO VETORIAL ................................................................................ 154 
10.1 DEFINIÇÃO ........................................................................................................ 154 
10.2 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL ..................................................... 155 
10.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS .................................................................................. 156 
10.4 COMBINAÇÃO LINEAR .................................................................................... 157 
10.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ...................................................... 157 
10.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ...................................................................... 159 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 161 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES .............................................................. 166 
11.1 DEFINIÇÃO ........................................................................................................ 166 
11.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES ....................................... 167 
11.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES ...................................................................... 169 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 170 
 
 
 
UNIDADE 
06 
UNIDADE 
07 
UNIDADE 
08
5 
UNIDADE 
09
5 
UNIDADE 
10
5 
UNIDADE 
11
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA ........................................................................ 175 
12.1 PLANO CARTESIANO E PONTOS ...................................................................... 175 
12.1.1 Ponto no plano cartesiano ......................................................... 175 
12.2 NOÇÕES DA RETA NO PLANO ......................................................................... 180 
12.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA .................................................................... 184 
12.4 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA......................................................................... 185 
12.5 ESTUDO DAS CÔNICAS – ELIPSE ...................................................................... 187 
12.6 ESTUDO DAS CÔNICAS – HIPÉRBOLE .............................................................. 189 
.1 ESTUDO DAS CÔNICAS – PARÁBOLA .............................................................. 193 
12.7 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO ℝ𝟑 .................................................. 196 
FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................. 200 
 
 
UNIDADE 
12
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
GEOMETRIA PLANA: HISTÓRIA, 
CIÊNCIA DEDUTIVA E CONCEITOS 
BASILARES 
 
 
 
 INTRODUÇÃO 
“Linha curva: o caminho mais agradável entre dois pontos”. 
― Mário Quintana 
 
Quanta inspiração nesse lindo verso do poeta brasileiro Mário Quintana. De 
forma agradável, ele nos propõe uma reflexão sobre um dos princípios mais básicos 
da Geometria Euclidiana: uma única reta passa por dois pontos distintos, mas infinitas 
linhas curvas, coplanares ou não, também passam por esses mesmos pontos. 
Para além da poesia e da beleza estética, a Geometria é uma das áreas da 
Matemática responsável por sistematizar conhecimentos relacionados às formas, 
posições, relações e propriedades de (e entre os) objetos concretos ou abstratos no 
espaço. É uma palavra de origem grega, em que “geo” significaria terra e “metria”, 
variante de “métron”, seria medida, ou seja, medida da terra em tradução mais 
corrente. Essa informação já nos fornece pistas sobre as origens e formas de 
desenvolvimento desse campo. 
Apesar de existirem diferentes geometrias (formais e não formais) que surgiram 
de forma independente em várias culturas e épocas distintas, neste texto, 
focalizaremos a Geometria Plana e algumas construções geométricas decorrentes 
dela. Para tal, iniciaremos, na próxima seção, um estudo sobre a Geometria Plana na 
perspectiva de que ela é uma construção humana e cultural. 
 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 A GEOMETRIA PLANA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA 
Observe as figuras a seguir e tente perceber alguma semelhança entre elas. 
Sabe o que elas têm em comum? Analise-as com bastante atenção e leia as notas. 
 
Figura 1: Placas de barro com mapas da cidade babilônica de Nippur (~1300 a. C.) 
 
Fonte: Weiss (2019) 
 
https://bit.ly/2Vdpm3A
https://bit.ly/3717GLn
https://bit.ly/3kWXZ95
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Figura 2: Parede do palácio de Nínive, antiga região Assíria no norte da Mesopotâmia (~700 
anos a.C) 
 
Fonte: Silva (2021) 
 
Figura 3: Quadro Mona Cat (2004) do pintor brasileiro Romero Britto 
 
Fonte: Fuks (2019) 
 
Figura 4: Exemplo de planta baixa de um apartamento 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3iNjRAU. Acesso em: 14 fev. 2021. 
 
Conseguiu identificar semelhanças? Acreditamos que sim! Todas utilizaram e 
mobilizaram alguns conhecimentos de Geometria Plana para a sua construção. Claro 
que esses conhecimentos foram obtidos de diferentes formas, em épocas e lugares 
diferentes e esses objetos foram feitos com instrumentos bem distintos, mas é possível 
identificar semelhanças. 
Na Figura 1, por exemplo, observamos dois fragmentos de barro, frutos de 
escavações, datados de há mais de 1300 anos a.C, em que estudiosos indicam 
conhecimentos de Geometria Plana sendo utilizados para mapear áreas 
https://bit.ly/3iNjRAU
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
administrativas na Babilônia. Sobre a primeira placa, Weiss (2019) afirma que “esta 
placa, que mapeia uma área próxima à cidade, apresenta uma complexa rede de 
irrigação de valas e canais, representada por linhas, juntamente com uma série de 
cidades e propriedades agrícolas, representadaspor círculos”. Os traços grossos 
representariam rios e canais de irrigação, sendo o principal deles em forma de “U”. 
Na segunda placa, os principais templos seriam os quadrados margeados, algumas 
áreas agrícolas e jardins estariam em forma de retângulo e trapézio, respectivamente, 
e os traços mais finos ao redor seriam muralhas da cidade. 
Já na Figura 2, é possível perceber que os Assírios já construíam rodas com raios 
diametralmente opostos e ângulos centrais de mesma medida. Segundo Giovanni, 
Giovanni Júnior e Castrucci (2015, p. 172), “tal fato nos leva a concluir que os povos 
que viviam na Mesopotâmia, naquela época, já dominavam um processo de divisão 
da circunferência em partes iguais”. Ainda de acordo com esses autores, esse pode 
ser um dos problemas matemáticos mais antigos conhecidos na história da 
civilização, pois, entre 4000 e 3000 anos a.C. Na mesma região mesopotâmica há 
indícios de que, para registrar e contar o tempo, iniciou-se um processo de divisão do 
movimento orbital circular do Sol em torno da Terra (assim como eles acreditavam 
que acontecia naquela época) em 360 partes, supondo que 
1
360
 representaria um 
dia dessa órbita circular. 
É de se admirar que, mais de três milênios depois, assim como representado 
pelas Figuras 3 e 4, utilizemos noções semelhantes de Geometria Plana, assim como 
os povos que viveram naquela época. Os traços do Cubismo e da chamada Pop Art 
pintados por Romero Britto, assim como os desenhos técnicos dos projetos de planta 
baixa de construções, feitos, muitas vezes, com o apoio de um computador, também 
são inspirados por representações, sistematizadas ou não, da Geometria Plana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
Antes mesmo dos gregos darem origem à palavra Geometria, os conceitos, as 
ideias e propriedades dela já eram utilizados em muitas culturas com diferentes 
aprofundamentos e a partir de demandas distintas. Os egípcios, por exemplo, entre 
os anos 4000 e 3000 a.C., por meio da emergência de comunidades que já possuíam 
certa densidade populacional e em que práticas agrícolas e as edificações eram 
comuns nas proximidades dos rios Nilo, Eufrates e Tigre, já utilizam noções de 
Geometria de forma prática para medir e dividir terrenos, além de capitalizarem essas 
terras para pagamento de impostos ao faraó proporcionais às áreas cultivadas. As 
engenhosas e enigmáticas pirâmides de Gizé, construídas entre 3000 e 2000 anos a.C, 
são uma demonstração do quão desenvolvidos poderiam ser os conhecimentos de 
agrimensura e Geometria dos egípcios. 
A notabilidade desses conhecimentos percorreu muitas regiões do 
mediterrâneo e despertou a atenção de alguns gregos que buscaram, no Antigo 
Egito, novas aplicações da Geometria. Nesse contexto, além de conhecerem e 
adquirirem um acervo significativo sobre noções de Geometria que eram utilizadas 
no Egito, os gregos deram um passo à frente dando ênfase às primeiras 
sistematizações das teorias da Geometria e ao raciocínio dedutivo (COSTA, 2010). De 
acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994, p. 408), “por volta de 600 a. 
C., filósofos e matemáticos gregos, entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e 
Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época”. A 
Geometria, até então, era puramente experimental, com muitas informações, 
saberes e aplicações dispersos e sem compromisso com alguns fundamentos 
matemáticos que já eram conhecidos na época e que se ligavam, de certa forma, à 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
Geometria. 
Nessa perspectiva, um matemático grego estava na atmosfera para se tornar 
um dos maiores expoentes da Geometria de todos os tempos, organizando 
logicamente e conectando os conhecimentos matemáticos apropriados para dar 
origem à Geometria Euclidiana. Euclides de Alexandria, conhecido como o “pai da 
Geometria”, foi o responsável por conferir um embasamento teórico robusto e 
axiomático aos conhecimentos matemáticos relacionados à Geometria conhecida 
na época e sistematizada, principalmente, por ele. A Geometria Euclidiana que 
ensinamos em sala de aula atualmente é praticamente a mesma de Euclides! 
 
 
 
Na próxima seção, nos aprofundaremos mais nesse percurso que levou à 
sistematização da Geometria e lhe conferiu um caráter de ciência dedutiva graças 
aos estudos e conexões realizados por Euclides, além de destacarmos uma das 
ramificações dessa sistematização: a Geometria Euclidiana Plana. 
 
 
 
 DO SENSO COMUM À CIÊNCIA DEDUTIVA 
É consenso que, antes dos gregos, por volta do século VI a.C, grande parte dos 
conhecimentos sobre Geometria era espalhada, muitas vezes sem suportes 
matemáticos seguros e lógicos e carecia de registros que acumulariam e transmitiriam 
os saberes socioculturais para as próximas gerações. Como já vimos anteriormente, 
as geometrias egípcia e mesopotâmica eram, fundamentalmente, marcadas pelo 
https://bit.ly/3xc5X0A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
uso de artefatos empíricos e da observação para formularem ideias e aplicações 
diretas para os trabalhos agrícolas e de edificação estrutural. Logo, a lógica do 
pensamento era, metodologicamente, indutiva; ou seja, pela quantidade e 
padronização de eventos, pelo senso comum e pelo uso comum de certas técnicas 
socialmente repetidas e/ou testadas, argumentava-se, algumas vezes de forma até 
mesmo autoritária, que casos particulares indicariam leis gerais que deveriam ser 
aceitas como verdadeiras. 
Claro que estamos analisando esse fato histórico de uma perspectiva 
Ocidental. No entanto, a influência e o predomínio das produções gregas acerca da 
Geometria, e Matemática em geral, se destacavam até mesmo no Oriente, em 
especial, por dois fatores: os registros documentais e o método científico dedutivo. De 
acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994, p. 408), “os gregos foram os 
primeiros a introduzir o raciocínio dedutivo”, o que ampliou e impulsionou todos os 
conhecimentos sistematizados, a partir de então, para outro patamar do 
determinismo axiomático característico da Matemática como ciência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
Outro motivo para o poder sistematizador e difusor do conhecimento dos 
gregos, especialmente no Ocidente, demonstrando forte hegemonia das escolas 
gregas, é o caráter documental ao se registrar tudo o que se sabia de Geometria até 
então, produzida por meio do senso comum, por agrícolas, construtores ou por 
estudiosos. Textos, esboços, artefatos de desenho, protótipos e outros objetos eram 
produzidos, estudados, analisados e interpretados seguindo uma lógica dedutiva. 
Nesse bojo foi que, segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994), o 
matemático grego Euclides fez da cidade egípcia Alexandria, onde vivia, o centro 
mundial da Geometria por volta de 300 anos a.C. Num processo rigoroso e 
coordenado de sistematização dos conhecimentos de outros povos antigos e das 
propriedades dos objetos geométricos, Euclides concebia a Geometria como “uma 
ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: os 
axiomas ou postulados” (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JÚNIOR, 1994, p. 408, 
grifos nossos). Estudioso da Academia de Platão e partícipe do polo cultural que se 
constituiu em torno da Biblioteca de Alexandria ao reunir vários sábios da época de 
diferentes áreas (COSTA, 2010), Euclides “produziu uma extensa obra, tendo como 
sustentação os axiomas e o método dedutivo. Sua obra maior, Os Elementos, 
representou a primeira axiomatização da história da Matemática” (SANTOS; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
NACARATO, 2014, p. 13, grifos das autoras). 
Composto por 13 volumes, Os Elementos reuniram boa parte do que se sabia 
de Geometria naquele tempo. Essa obra tornou-se tão importante após a sua 
divulgação que toda a sistematização feita por Euclides passou a ser conhecida 
como Geometria Euclidiana e, no decorrer da história,passou a ser categorizada 
como Geometria Euclidiana Plana (estudos sobre os espaços uni e bidimensional), 
Geometria Euclidiana Espacial (estudos sobre o espaço tridimensional) e Geometria 
Euclidiana Analítica (também chamada de Geometria Cartesiana, abrange os 
estudos sobre a Geometria Algébrica com base num sistema de coordenadas). Uma 
imagem de duas versões de Os Elementos está na Figura 5. 
 
Figura 5: Fragmentos de versões da obra Os Elementos, de Euclides de Alexandria (à 
esquerda, primeira edição impressa em 1482. À direita, papiro encontrado no século XIX, 
mas datado de cerca de 100 anos d. C.) 
 
Fonte: Biblioteca Digital Mundial. Disponível em: https://bit.ly/3rCFHLj. Acesso em: 22 de fev. 
2021. 
 
Destarte, utilizando-se o raciocínio lógico-dedutivo num processo de análise a 
partir da avaliação de premissas verdadeiras que, consequentemente, geravam 
conclusões verdadeiras, Euclides precisou considerar proposições que deveriam ser 
aceitas, eximindo-as de demonstrações ou provas (os axiomas) e outras que 
poderiam ser demonstradas de alguma forma, mas não o fez (os postulados ou 
noções comuns). São conceitos matemáticos muito relevantes que não necessitam 
de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte de um consenso da 
comunidade que os utiliza. 
Os axiomas e os postulados são a base lógica e metodológica que reflete 
https://bit.ly/3rCFHLj
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
algumas das propriedades observáveis dos objetos e conceitos matemáticos. Eles são 
a essência das cadeias dedutivas sobre as quais coisas mais complexas são 
construídas (ou descobertas) a partir de outras mais simples. Inclusive, a negação ou 
a modificação de algum dos axiomas e postulados propostos por Euclides deu origem 
às chamadas geometrias não euclidianas, especialmente, a partir do Renascimento, 
no século XV, e por toda a Idade Moderna (COSTA, 2010). 
Machado e Ferraz (2019, p. 16-17) apresentam um compilado dos principais 
axiomas e postulados que se constituíram como um dos alicerces para a 
sistematização dos conhecimentos sobre Geometria: 
 
 Axiomas 
Axioma I: pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos; 
Axioma II: pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta 
finita continuamente em uma reta; 
Axioma III: pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer 
raio; 
Axioma IV: todos os ângulos retos são iguais; 
Axioma V: se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, 
no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então 
essas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja 
soma é menor do que dois ângulos retos. 
 
 Postulados 
Postulado I: dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta 
que os une; 
Postulado II: um segmento de reta pode ser prolongado 
indefinidamente para construir uma reta; 
Postulado III: dados um ponto e uma distância quaisquer, pode-se 
construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual 
à distância dada; 
Postulado IV: todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes); 
Postulado V: se duas linhas intersectam uma terceira linha, de tal forma 
que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos 
retos, então as duas linhas devem intersectar-se nesse lado, se forem 
estendidas indefinidamente (MACHADO; FERRAZ, 2019, p. 16-17). 
 
De acordo com Santos e Viglioni (2011, p. 15), “o trabalho de Euclides destaca-
se pelo fato de que, com apenas 5 postulados, ele foi capaz de deduzir 465 
proposições, muitas complicadas e não intuitivas”. Apesar das lacunas existentes, 
sanadas por outros matemáticos como David Hilbert, esses autores acrescentam que, 
a partir dos axiomas acima enunciados, foi possível desenvolver quase toda a 
Geometria Plana com a qual temos contato desde a Educação Básica. Marconi e 
Lakatos (2017, p. 90), ao considerarem que os argumentos matemáticos, por sua vez, 
são dedutivos, salientam que “na geometria euclidiana do plano, os teoremas são 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
todos demonstrados com base em axiomas e postulados. Não obstante o conteúdo 
dos teoremas já esteja fixado neles, esse conteúdo está longe de ser óbvio”. 
Nesse sentido, tendo em vista que, se não pudéssemos definir noções sem 
demonstrá-las, ficaríamos num processo infinito de definições (SANTOS; VIGLIONI, 
2011), Euclides precisou estabelecer alguns conceitos e relações primitivos sem os 
quais não seria possível avançar na construção da Geometria Plana e dos espaços 
uni e bidimensional. Na sequência, abordaremos algumas dessas peças primitivas, 
justificando-as como sendo essenciais para o que desejamos discutir neste livro: a 
própria Geometria Euclidiana Plana e as construções geométricas decorrentes dela. 
 
 
 
 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E POSTULARES 
Como já dissemos, Euclides precisou definir algumas noções primitivas que 
satisfizessem os axiomas e postulados para, então, propor outras definições, teoremas 
e demonstrações capazes de darem corpo ao que chamamos hoje de Geometria 
Euclidiana Plana que, segundo Santos e Viglioni (2011), tem como objeto de estudo o 
plano e as proposições decorrentes dele. Para tal, algumas ideias intuitivas foram 
propostas e aceitas sem, necessariamente, serem provadas: 
 
I. Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma; 
II. Linha é o que tem comprimento, porém não tem largura; 
III. As extremidades da linha são pontos; 
IV. Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas 
extremidades; 
V. Superfície é o que tem comprimento e largura; 
VI. As extremidades da superfície são linhas; 
VII. Superfície plana é aquela sobre a qual assenta toda uma linha reta 
entre dois pontos quaisquer que estiverem na mesma superfície 
(MACHADO; FERRAZ, 2019, p. 17). 
 
Também existem outras ideias lançadas por Euclides, mas destacamos aqui as 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
noções elementares de ponto (Figura 6), reta (Figura 7) e plano (Figura 8): 
 
Figura 6: Ponto 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). 
 
 
 
Figura 7: Reta 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Plano 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
Dessas definições axiomáticas, postulares e primitivas até então discutidas aqui, 
decorrem as seguintes proposições: toda reta possui pelo menos dois pontos (Figura 
9); não existe uma reta contendo todos os pontos (Figura 10); e existem pelo menos 
três pontos no plano (Figura 11) (MACHADO; FERRAZ, 2019). Observe: 
 
Figura 9: Pontos na reta 
Reta s (ou AD ⃡ ) e reta t (ou AC ⃡ ). 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
Figura 10: Pontos fora da reta 
Plano 𝛿 (delta) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
Figura 11: Existência do plano 
Plano 𝛾 (gama) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
Com efeito, o método lógico-dedutivo que Euclides utilizou, aliado a essas 
definições, fez com que todo o pensamento matemático posterior fosse influenciado 
por esse jogo de premissas, conexões e demonstrações. Esses conceitos fundamentais 
perduram até os dias de hoje em virtude da robustez com que foram concebidos e 
modelados e suas aplicações no universo. 
A partir da próxima unidade nos aprofundaremos no estudo de tópicos básicos 
e especiais da Geometria Euclidiana Plana que foram difundidos, inicialmente, por 
Euclides e seus discípulos, mas foram aprimorados e organizados de tal maneira que 
matemáticos e não matemáticos pudessem se apropriar de tais conhecimentos, seja 
na Educação Básica, seja em áreas como Arquitetura, Design, Engenharia, Biologia, 
Química, dentre outras tantas que se utilizam desses conhecimentos. Mas, antes, 
vamos testar os seus conhecimentos e revisar aspectos importantes na seção 
“Fixando o conteúdo”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
221. No preâmbulo da Unidade 1 apresentamos o seguinte verso do poeta brasileiro 
Mário Quintana: “Linha curva: o caminho mais agradável entre dois pontos”. 
 
De forma afetuosa, o poeta quis, possivelmente, se inspirar em um dos princípios 
mais básicos da Geometria para propor uma espécie de paródia romântica. Em 
qual princípio geométrico Mário Quintana se inspirou para sugerir que há mais de 
um caminho entre dois pontos, dentre os quais uma linha curva seria o mais 
agradável, porém, não o único? 
 
a) Ao processo de divisão da circunferência em partes iguais de acordo com o 
movimento do Sol e da Terra, na região mesopotâmica. 
b) Ao procedimento de medir e dividir terrenos em que os egípcios já utilizam noções 
de Geometria de forma prática, inclusive, para capitalizarem suas terras. 
c) Ao axioma proposto por Euclides em que se pode traçar uma única reta ligando 
quaisquer dois pontos. 
d) Ao postulado euclidiano que propõe que um segmento de reta pode ser 
prolongado indefinidamente para construir uma reta. 
e) À ideia primitiva de que as extremidades da superfície são linhas. 
 
2. Os egípcios e os mesopotâmicos já detinham muito conhecimento sobre vários 
aspectos da Geometria, antes mesmo da palavra ser criada, mas foram os gregos 
que deram um passo à frente na sistematização desses conhecimentos, 
acrescentando outros conceitos, definições e métodos expressivamente rigorosos 
de demonstração e validação. 
 
Nesse sentido, analise as seguintes afirmações: 
 
I. A Geometria experimental dos povos mediterrâneos (povos ligados à região do mar 
Mediterrâneo), apesar de diversificada, carecia de organização, de registros e 
demonstrações sobre os fundamentos matemáticos subjacentes a cada ideia. 
II. Os gregos não conseguiram avançar muito na sistematização dos conhecimentos 
geométricos acumulados por egípcios e mesopotâmicos, pois as técnicas agrícolas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
e as que eram empregadas nas construções não eram apoiadas em nenhuma 
metodologia lógico-matemática. 
III. Euclides, a partir do método dedutivo axiomático, pôde criar, demonstrar, provar e 
sistematizar grande parte dos conhecimentos e das técnicas geométricas dos povos 
antigos, especialmente os mediterrâneos. 
 
Podemos concluir que as afirmações verdadeiras sobre esses aspectos da 
Geometria na Antiguidade estão em: 
 
a) I. 
b) I e III. 
c) I, II e III. 
d) Apenas III. 
e) II e III. 
 
3. Em relação às geometrias que se desenvolveram nas regiões egípcia e 
mesopotâmica na Antiguidade, analise cada uma das seguintes afirmativas e 
sinalize-as com V para as que forem verdadeiras e F para as que forem falsas. 
 
( ) Possuíam aspectos baseados, essencialmente, em métodos seguros e lógicos da 
Matemática que lhe conferiam um caráter puramente científico. 
( ) Caracterizavam-se pelo uso de técnicas, artefatos e observação empírica que, 
fundamentalmente, embasavam boa parte dos conhecimentos. 
( ) Havia um predomínio do pensamento metodológico indutivo, caracterizado pela 
quantidade, repetição, padronização de eventos, técnicas e pelo uso do senso 
comum em que casos particulares indicariam leis gerais. 
 
De acordo com a sinalização dos parênteses acima, a sequência que define o 
preenchimento correto é: 
 
a) V-V-V. 
b) V-F-V. 
c) F-F-V. 
d) F-V-F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
e) F-V-V. 
 
4. Tendo em vista os conceitos de dedução e indução discutidos na Unidade 1, os 
exemplos estabelecidos, os contextos históricos em que foram empregados na 
Geometria e os seus conhecimentos sobre o assunto, associe a primeira coluna 
com a segunda. 
 
Primeira coluna 
 
(1) Dedução 
(2) Indução 
Segunda coluna 
 
( ) Um quadrado tem 4 lados. Um quadrado tem 4 ângulos internos. 
Figuras de 4 lados tem 4 ângulos internos. 
( ) Um ângulo é formado pelo encontro de duas retas. Há chance de 
retas se encontrarem num mesmo plano. Duas retas quaisquer de um 
plano formam um ângulo entre si. 
( ) Um quadrilátero possui 4 lados. O paralelogramo possui 4 lados. O 
paralelogramo é um quadrilátero. 
 
 
De cima para baixo, a sequência correta da segunda coluna preenchida é: 
 
a) 1 - 1 – 2. 
b) 1 - 2 – 2. 
c) 1 - 2 – 1. 
d) 2 - 2 – 1. 
e) 2 - 1 – 1. 
 
5. As escolas gregas de Artes, Filosofia e Matemática, por volta do século VI a. C., 
demonstravam certa hegemonia e expansão na produção, sistematização e 
divulgação de conhecimentos matemáticos, em especial, os relacionados à 
Geometria. Euclides, sem dúvida, foi um expoente e se destacou com a obra Os 
Elementos. Composto por 13 volumes, Os Elementos reuniram boa parte do que se 
sabia de Geometria naquele tempo, deu um salto significativo em aspectos 
metodológicos e contribui, até os dias de hoje, para o desenvolvimento de 
pesquisas e práticas de ensino e aprendizagem nesse vasto campo. 
 
Considere as seguintes afirmativas em relação às contribuições de Euclides e seus 
predecessores gregos em relação à Geometria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
I. Adotavam um caráter documental de registrar, sistematizar e divulgar os 
conhecimentos gregos e de outros povos. 
II. Concebiam e utilizavam o método lógico-dedutivo em suas análises, 
demonstrações e provas. 
III. A proposição de axiomas e postulados como geradores de cadeias dedutivas 
era a essência e a base para a construção (ou descoberta) de propriedades e 
conceitos mais complexos a partir de noções mais simples. 
 
As afirmativas que condizem que as características da Geometria produzida ou 
sistematizada por Euclides, seus predecessores e contemporâneos são: 
 
a) I, II e III. 
b) Apenas I. 
c) I e II. 
d) Apenas III. 
e) II e III. 
 
6. A chamada Geometria Euclidiana (e também as suas ramificações – Plana, 
Espacial e Analítica) considera e está baseada em proposições que devem ser 
aceitas, assim como "dogmas", sem, necessariamente, serem provadas, mas 
apenas enunciadas: são os axiomas e os postulados. São conceitos matemáticos 
que não necessitam de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte 
de um consenso da comunidade que os utiliza. Em relação aos axiomas e 
postulados propostos por Euclides e seus discípulos, podemos afirmar que: 
 
a) Limitam-se ao espaço bidimensional e não podem ser considerados nos espaços 
uni e tridimensional. 
b) Foram obtidos a partir de experiências e observações. 
c) Trazem uma definição matemática sobre figuras e conceitos não euclidianos. 
d) Representam a realidade concreta e, por isso, podem ser representados no mundo 
material. 
e) Dão suporte ao método lógico-dedutivo para os conceitos, demonstrações e 
provas da Geometria Euclidiana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
7. Ponto, reta e plano são noções primitivas sobre as quais Euclides lançou mão para, 
junto com os axiomas e postulados, propor definições, teoremas e demonstrações 
capazes de darem corpo ao que chamamos hoje de Geometria Euclidiana Plana. 
No âmbito dessas noções, algumas ideias decorrem de suas propriedades, apesar 
de não receberem definições exatas de suas existências e, quase sempre, não 
serem demonstradas ou provadas. 
 
Assim, em relação a essas noções primitivas, analise as seguintes afirmativas e 
registre V para as verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O ponto é definido como sendo a menor unidade da Geometria, unidimensional 
e, portanto, a base de outras figuras como as retas e os planos. 
( ) Apesar de não ser definida, a noção de reta é unidimensional, possui infinitos 
pontos e pode ser nomeada por uma letra minúscula do nosso alfabeto. 
( ) Bidimensional, o plano contém todos os pontos e retas do espaço. 
 
A sequência correta de V e F que preenche os parênteses acima é: 
 
a) V – V – V. 
b) F – V – F. 
c) V – F – V. 
d) F – F – F. 
e) V – F – F. 
 
8. A partir das proposições axiomáticas, postulares e primitivas foi possível estabelecer 
(por Euclides e por outras pessoas depoisdele) relações diretas da aplicação das 
noções de ponto, reta, plano e espaço na própria Geometria geral e em outras 
áreas da Matemática. Analise a Figura 12 a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
Sobre essa figura, podemos destacar como verdadeira a seguinte relação direta e 
aplicada: 
 
a) Partindo-se de dados particulares, suficientemente constatados, infere-se uma 
verdade geral ou universal. 
b) A condição de existência de um plano é possuir, pelo menos, três pontos com um 
ponto não colinear. 
c) Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio. 
d) Todos os ângulos retos são iguais. 
e) Todos os ângulos retos são diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
GEOMETRIA PLANA BÁSICA DA 
RETA E DO DESENHO GEOMÉTRICO 
 
 
 
 INTRODUÇÃO 
“Um dos meus anseios de chegar ao infinito é a esperança de que, 
ao menos lá, as paralelas se encontrem” 
― Helder Câmara. 
 
É importante salientar que, apesar de não definirmos formalmente os conceitos 
de ponto, reta e plano, nem provarmos ou demonstrarmos os axiomas e postulados, 
a Geometria Euclidiana Plana teve o seu desenvolvimento e suas aplicações 
baseados nessas premissas que não foram propostas de forma despretensiosa, mas, 
a partir de um método axiomático-dedutivo que deu sentido e robustez às teorias 
subjacentes a essas noções. Assim, por meio de algumas áreas científicas como a 
própria Geometria, a Topologia, a Álgebra e até mesmo a Didática, um conjunto de 
conhecimentos foi sendo agrupado em tópicos com a finalidade de se avançar na 
pesquisa, no ensino e na aprendizagem dessas noções. 
 
 
 
 
Segundo Costa (2010, p. 03, grifo da autora), “uma das primeiras noções 
UNIDADE 
02 
https://bit.ly/3BHb6kw
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
matemáticas desenvolvidas pelo homem desde a pré-história foi a ideia de 
dimensão, advinda de formas, tamanhos, distâncias, necessidade de delimitação de 
terras, construções de moradias e objetos da natureza”. De acordo com Eves (1992), 
inicialmente, essa ideia de dimensão estava ligada à chamada geometria 
subconsciente em que os problemas que envolviam a Geometria eram concretos e 
tinham pouca ou nenhuma ligação entre si e estavam vinculados aos potenciais 
humanos de reconhecer, comparar e estabelecer configurações, formas e 
tamanhos. Mas, a partir da capacidade de abstração de algumas características e 
propriedades, leis foram concebidas e a Geometria ganhou o status de ciência 
(COSTA, 2010). 
Nesse sentido, no âmbito das noções uni e bidimensionais, abordaremos 
tópicos da Geometria Euclidiana Plana que são básicos e estruturais para as 
construções que são decorrentes dessas noções. Para tal, inicialmente, faremos 
algumas discussões sobre as retas e introduziremos alguns instrumentos e técnicas de 
desenho buscando aplicá-los em algumas construções elementares. 
 
 ESTUDO DAS RETAS 
Dos postulados que estudamos anteriormente, há dois que se classificam como 
postulados de determinação: dois pontos distintos determinam uma única reta que 
passa por eles (Figura 9) e três pontos distintos e não colineares determinam um único 
plano que os contém (ou seja, uma reta e um ponto fora dela) (Figura 11). Desses 
postulados, de acordo com Santos e Viglioni (2011), decorre uma consequência 
importante: por um ponto passam infinitas retas (Figura 13). 
 
Figura 13: Infintas retas por um ponto 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Nesta figura, percebemos: 
1. A representação de que infinitas retas 
passam por A; 
2. Que os pontos A e B determinam a reta t; 
3. Que os pontos A, B e C, com C não 
colinear a B, determinam um plano θ; 
4. A, M, N e O são pontos colineares em que 
a reta s passa por todos eles ao mesmo 
tempo, pois estão estritamente alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
Ao pensarmos nas possibilidades de localizarmos duas ou mais retas num 
mesmo plano (Figura 14), existem três cenários para que elas sejam: 
 Paralelas entre si: nesse caso, elas não se encontram no plano e, por isso, não 
há pontos comuns. Usa-se o símbolo // para indicar que r // s (r é paralela à s). 
 Concorrentes, ou seja, elas se encontram em apenas um ponto. Usa-se o 
símbolo X para indicar que s X t (reta s é concorrente à reta t). 
 Coincidentes. Isso significa que todos os pontos de uma são pontos da outra 
também. Usa-se o símbolo ≡ para indicar que m ≡ t (retas m e t são 
coincidentes). 
 
Figura 14: Retas paralelas, concorrentes e coincidentes 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Ainda sobre as retas concorrentes, como o encontro de duas delas 
determinam quatro regiões no plano, elas podem ser classificadas (Figura 15) em 
perpendiculares (regiões de mesma abertura angular, cada uma medindo 90º) ou 
oblíquas entre si (regiões de aberturas angulares diferentes de 90º). Baseando-se nisso, 
segundo Santos e Viglioni (2011, p. 41), decorre um teorema que explicita que “por 
qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta”. 
 
Figura 15: Retas concorrentes perpendiculares e oblíquas 
 
Usa-se o símbolo ⊥ para indicar que r ⊥ s 
(Leia: a reta r é perpendicular à reta s) 
 
Usa-se o símbolo ∠ para indicar que m ∠ n 
(Leia: a reta m é oblíqua à reta n) 
 
Fonte: o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
É estrategicamente importante que, na Matemática, haja a definição de 
noções de partes e divisões de uma reta. Aliás, nunca conseguiremos desenhar uma 
reta de verdade por ela estar associada à ideia de um conjunto infinito de pontos 
sem origem ou fim, mas, parte dela sim. Existem muitas construções que são 
concebidas tomando-se a ideia das partes de uma reta. 
Assim, em Geometria, considerando-se um ponto A qualquer pertencente a 
uma reta r qualquer, denominam-se semirretas as duas partes da reta cuja origem 
está em A. Logo, uma semirreta terá uma origem, mas não terá um fim. 
Representamos uma semirreta por sua origem, um ponto pertencente a ela e uma 
seta acima das letras que representam esses pontos (Figura 16). 
 
Figura 16: Semirreta 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Para identificar qual semirreta está sendo 
considerada, basta definir mais um ponto 
em cada parte, distinto da origem A. 
Assim, tem-se a semirreta AB (AB ) e a 
semirreta AC (AC ), ambas com origem no 
ponto A e passando pelos pontos B e C, 
respectivamente. 
A reta r é a reta de suporte para essas duas 
semirretas 
 
Outra subdivisão muito importante da reta é o segmento de reta. A partir de 
uma reta de suporte, ao marcarem-se dois pontos distintos, determina-se um conjunto 
infinito de pontos entre esses dois pontos iniciais (denominados de extremidades). A 
esse conjunto (pontos da extremidade e pontos internos entre essas extremidades) 
dá-se o nome de segmento de reta. Identifica-se essa figura geométrica ao indicar 
as suas extremidades com um traço sobre elas (Figura 17). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Figura 17: Segmentos de reta 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Sobre a reta suporte r, tem-se os 
segmentos de reta BD̅̅ ̅̅ , DE̅̅ ̅̅ , EF̅̅̅̅ , BE̅̅̅̅ , BF̅̅̅̅ e DF̅̅̅̅ . 
Sobre a reta suporte s, tem-se os 
segmentos de reta AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . 
As retas r e s são coplanares (estão no 
mesmo plano) e são concorrentes 
oblíquas entre si no ponto B. 
 
Ao considerarmos os exemplos de segmentos de reta determinados na Figura 
17, podemos estabelecer as seguintes relações entre eles: 
 Os segmentos AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ; AB̅̅ ̅̅ e BD̅̅ ̅̅ ; BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ ; DE̅̅ ̅̅ e EF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e BF̅̅̅̅ ; BD̅̅ ̅̅ e DF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e EF̅̅̅̅ são 
segmentos consecutivos, pois possuem uma extremidade comum. No caso de 
BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ , D é extremidade comum; 
 AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ , assim como BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ ; DE̅̅ ̅̅ e EF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e BF̅̅̅̅ ; BD̅̅ ̅̅ e DF̅̅̅̅ ; BE̅̅̅̅ e EF̅̅̅̅ são chamados 
de segmentos colineares, pois estão na mesma retasuporte s e r, 
respectivamente; 
 É importante notar que dois segmentos consecutivos podem ser, ao mesmo 
tempo, colineares (como BD̅̅ ̅̅ e DE̅̅ ̅̅ ) ou não (como AB̅̅ ̅̅ e BD̅̅ ̅̅ ); 
 Um segmento pode estar contido (⊂) em outro quando todos os pontos de um 
são pontos contidos no outro também. O segmento DE̅̅ ̅̅ , por exemplo, está 
contido em BE̅̅̅̅ , BF̅̅̅̅ e DF̅̅̅̅ (DE̅̅ ̅̅ ⊂BE̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ ⊂BF̅̅̅̅ ou DE̅̅ ̅̅ ⊂DF̅̅̅̅ / ⊂ é “está contido”) ou 
equivale dizer que BE̅̅̅̅ ⊃DE̅̅ ̅̅ (BE̅̅̅̅ contém DE̅̅ ̅̅ ). 
 
Ao se tomar um segmento de reta como parte limitada contida numa reta 
suporte, é possível estabelecer noções referentes a um sistema de medidas que utilize 
como padrão a comparação com sistemas já conhecidos, como o métrico. Nesse 
sentido, os axiomas de medição de segmentos possibilitam deduzir algumas regras e 
propriedades que são importantes para as construções geométricas. 
Dois desses axiomas interessam-nos. O primeiro, de acordo com Santos e 
Viglioni (2011, p. 34-35), diz que “a todo segmento corresponde um número maior ou 
igual a zero. Este número é zero se, e somente se, as extremidades coincidem”, ou 
seja, declara-se, implicitamente, a escolha de uma unidade de medida e um número 
que corresponde ao comprimento ou distância entre os pontos que definem um 
segmento de reta. O segundo axioma expressa que “os pontos de uma reta podem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de 
modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os 
pontos correspondentes” (VIGLIONI, 2011, p. 34-35). 
Dito de outra forma, existe uma correspondência fixada entre os números reais 
e os pontos de uma reta (que podemos chamar de coordenadas) que permite a 
seguinte dedução, segundo Santos e Viglioni (2011, p. 35): “se a e b são as 
coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então o comprimento do segmento 
AB, denotado por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , é igual a AB = |a − b|, ou seja, o módulo (valor positivo) da 
diferença entre coordenadas de dois pontos (extremos). 
Observe os seguintes exemplos ilustrativos desses dois axiomas: 
 
 
 
Para finalizarmos essa seção, decorre ainda desses axiomas de medição de 
segmentos a definição de que “o ponto médio C de um segmento AB é um ponto 
deste segmento tal que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ” e o teorema de que “um segmento tem exatamente 
um ponto médio” (SANTOS; VIGLIONI, 2011, p. 37). A demonstração dessas 
decorrências é bem simples, no entanto, desejamos chamar a atenção para o fato 
de que a relação de congruência (representada pelo símbolo ≅ que quer dizer 
“congruente”) é uma relação de equivalência, ou seja, o ponto médio de um 
segmento de reta o divide em duas partes de mesmo tamanho, dito de outra forma, 
em dois segmentos congruentes. O ponto médio é sempre interno ao segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 INSTRUMENTOS E TÉCNICAS DE DESENHO 
As tecnologias digitais presentes em vários momentos do cotidiano, inclusive 
na escrita deste livro, impelem-nos ao questionamento sobre o ensino, a 
aprendizagem e a aplicabilidade do desenho geométrico nos dias de hoje, com seus 
instrumentos, técnicas e regras, muitas das quais axiomáticas. Sem dúvida, arrastar o 
dedo numa tela para desenhar um quadrado parece algo, razoavelmente, fácil. No 
entanto, esse movimento em si é originário de uma construção anterior, física e 
material, que levou em conta vários conceitos e leis matemáticas, sem os quais não 
existiriam quase todas as engenharias, por exemplo. 
Como discutiremos o ensino-aprendizagem de Geometria na última unidade, 
não delongaremos muito em dizer que vários problemas do mundo dependem do 
raciocínio geométrico e de suas construções para serem resolvidos ou, ao menos, 
aprimorados. Por trás de cada estratégia, de cada tecnologia, de cada desenho, 
existe um humano que é responsável por mobilizar conhecimentos relacionados às 
 
Então, se C é o ponto médio de AB̅̅ ̅̅ , a 
distância de C em relação aos pontos A e 
B é: 
|5 − 11| 
2
=
|− 6| 
2
=
 6 
2
= 3 unidades. 
Isso significa que a coordenada x = 5+3 = 8 
e que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ (segmento AC é 
congruente ao CB). 
https://bit.ly/3eZTre5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
construções geométricas para propor soluções em diversas áreas. Portanto, nesta 
seção, alguns instrumentos e técnicas de desenho geométrico serão apresentados 
para que, a partir deles, possamos propor algumas construções e discussões. 
Assim, o desenho geométrico caracteriza-se por um conjunto de aspectos e 
processos nos quais várias construções geométricas são concebidas para 
representar, resolver problemas ou desenvolver novos e aplicados problemas. As 
técnicas estão ligadas, exatamente, aos objetivos propostos e problemas que 
precisam ser resolvidos. Por exemplo: se quero desenhar um sorvete, poderia optar 
pela sobreposição ou encaixe de um triângulo e um círculo. O encaixe de um trapézio 
e algumas elipses pode se tornar, por exemplo, um vaso de cactos, como na Fig. 20. 
 
Figura 20: Sorvete, folha e vaso com cactos a partir da sobreposição de desenhos 
geométricos 
 
Fonte: Disponível em https://bit.ly/3rztl6R. Acesso em: 24 de abr. de 2021. 
 
Dentre várias técnicas, a da Figura 20 seria a artística. Outra técnica é a 
utilizada para elaborar muitos dos desenhos que estão presentes neste livro: a 
computacional ou algoritmizada. Por fim, expressamos que utilizaremos a técnica 
axiomática ou lógico-dedutiva da Geometria para propor algumas construções 
baseadas nos postulados ou axiomas, especialmente propostos em Os elementos. 
Os instrumentos mais usados para o desenho geométrico são (Figura 21): 
 
 Régua: geralmente, graduada em milímetros (modelo mais comum de régua 
escolar), é usada para apoiar o deslizar de outros instrumentos, medir ou 
traçar linhas retas; 
 Transferidor: geralmente, graduado em graus, é utilizado na construção, 
medição e transporte de ângulos. Costuma ser de volta inteira (360º) ou de 
meia volta (180º); 
 Par de esquadros: são duas peças em formato de triângulos retângulos, sendo 
https://bit.ly/3rztl6R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
um isósceles (um ângulo de 90º e dois de 45º) e o outro escaleno (um ângulo 
de 90º, um de 30º e o outro de 60º). Os esquadros são usados, principalmente, 
no traçado de retas perpendiculares e paralelas ou no desenho de alguns 
ângulos com a combinação ou não das duas peças; 
 Compasso: instrumento articulado que liga duas hastes, cada uma com uma 
ponta, serve para traçar pontos equidistantes de um ponto central 
(circunferência), arcos de circunferência e transportar ângulos e outras 
medidas. O modelo atual do compasso que utilizamos na escola, por exemplo, 
foi criado por Leonardo Da Vinci (1452-1519). 
 
Figura 21: Régua, transferidores de 180º e 360º, par de esquadros e compasso 
 
Fonte: Adaptado de https://bit.ly/3i55KYF. Acesso em: 24 de abr. de 2021. 
 
Além desses instrumentos, outros artefatos são usados para os desenhos 
geométricos e podem variar de acordo com os objetivos como o lápis, canetas, 
borrachas, papéis, gabaritos (espécie de molde), pranchetas e outros suportes. 
 
 CONSTRUÇÕES ELEMENTARES 
Mão na massa! Com o apoio de alguns instrumentos estudados na seção 
https://bit.ly/3i55KYF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
anterior, esboçaremos algumas construções elementares utilizando, para tal, a 
técnica axiomática que permitirá que os desenhos fiquem, adequadamente, de 
acordo com o que preconizam as leis da Geometria Euclidiana Plana. Assumimos as 
propriedades dos instrumentos que utilizaremos como os ângulos dos esquadros, a 
linearidade da régua ou a circularidade da volta do compasso, por exemplo. 
 
 
 Construção de retas paralelas e uma paralela que passa por um ponto: 
 
Quadro 1: Desenho de retas paralelas 
Construção 
de 
paralelas 
Passos: 
1. Comuma régua e um esquadro 
ou com o par de esquadros, é 
possível construir retas paralelas 
entre si. 
2. Para isso, basta posicioná-los 
como a figura ao lado e deslizá-los, 
sendo que o escaleno (esquerda) é 
fixo e o isósceles (direita) é móvel, 
conforme indicação das setas. 
3. O esquadro escaleno fixo pode ser 
substituído por uma régua. 
 
Construção 
de paralela 
que passe 
pelo ponto 
P 
Passos: 
1. Dados a reta t e o ponto P, deseja-se traçar uma paralela a t que passe por P. 
Posicione um esquadro isósceles sobre t e uma régua de apoio, como na 1ª 
figura. 
2. Com a régua fixa e o esquadro móvel, movimente-o sobre a régua até 
alcançar o ponto P, conforme indica a seta. 
3. Solte a régua e trace a reta paralela que passe por P. 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 Construção de retas perpendiculares e perpendicular que passa por ponto: 
 
Quadro 2: Desenho de retas perpendiculares 
Construção de 
perpendiculares 
Passos: 
1. Com uma régua e um esquadro ou com o par de esquadros, é 
possível construir retas perpendiculares entre si. 
2. Para isso, basta posicioná-los como a figura abaixo, sendo que o 
esquadro escaleno (esquerda) é fixo e o isósceles (direita) é móvel, 
conforme indicação das setas. 
3. O esquadro isósceles deve ser posicionado sobre a reta na qual se 
deseja traçar a perpendicular (1ª figura). 
4. O escaleno deve ser posicionado na lateral do isósceles, pois aquele 
servirá como suporte ao movimento deste. 
5. Deve-se, então, movimentar o ângulo reto do isósceles (marca x) 
sobre o apoio do escaleno, fazendo-se um giro de 180º e deixando a 
marca x na parte mais superior do apoio do escaleno. 
6. A partir disso, o isósceles já ficará posicionado perpendicularmente 
sobre a reta inicial, permitindo, portanto, o traçado de retas 
perpendiculares com a reta inicial ao se deslizar o esquadro isósceles 
sobre o escaleno, conforme indicam as setas da 2ª figura. 
7. O esquadro escaleno fixo pode ser substituído por uma régua. 
 
Construção de 
perpendicular 
que passe pelo 
ponto B 
Passos: 
1. Dada a reta s e o ponto B, deseja-se traçar uma perpendicular a s 
que passe por B. 
 
2. Repetem-se os passos anteriores de 2 a 6. Aqui, substituímos o 
esquadro escaleno por uma régua de apoio que permanecerá fixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
3. Após a repetição dos passos de 2 
a 6, desliza-se o esquadro isósceles 
sobre a régua fixa, conforme 
indicação das setas, para posicionar 
o esquadro retilineamente ao ponto 
B visando que a reta perpendicular a 
s, que passe por B, seja desenhada. 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). 
 
 Determinação do ponto médio de um segmento de reta: 
 
Quadro 3: Ponto médio de um segmento de reta por meio de construções geométricas 
Ponto 
médio M 
de um 
segmento 
𝐀𝐁̅̅ ̅̅ 
Passos: 
1. Utilizando um compasso, com a ponta 
seca em A e abertura maior que a metade 
do segmento dado, traça-se uma 
circunferência (ou apenas um arco entre 
os pontos A e B). 
2. Com a ponta seca em B, repetimos o 
primeiro passo de forma a fazer a 
interseção das circunferências (ou arcos) 
em dois pontos. 
3. Com uma régua, tracejamos ou 
traçamos uma linha que una os pontos de 
interseção. O cruzamento dessa linha com o segmento determinará o ponto 
médio M de AB̅̅ ̅̅ . 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Divisão de um segmento de reta em partes congruentes: 
 
Quadro 4: Divisão em segmentos congruentes 
Divisão de 
um 
segmento 
em 
segmentos 
congruentes 
entre si 
Passos: 
1. A demanda inicial é dividir o 
segmento AB̅̅ ̅̅ em quatro partes 
(segmentos) congruentes entre si. 
2. Usando-se os passos para 
determinação de ponto médio, 
obtém-se M, ponto médio de AB̅̅ ̅̅ . 
3. Considerando-se os novos 
segmentos AM̅̅̅̅̅ e MB̅̅̅̅̅, obtêm-se os 
pontos médios M’ e M’’, 
respectivamente, da mesma 
forma que o passo 2. 
4. Logo, divide-se AB̅̅ ̅̅ em quatro 
segmentos congruentes: AM′̅̅ ̅̅ ̅ ≅
M′M̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ MM′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ≅ M′′B̅̅ ̅̅ ̅̅ , como 
desejávamos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
https://bit.ly/3i2oOXw
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (VUNESP/2021/Engenheiro - adaptada) O segmento de reta da figura representa 
um trecho de uma estrada. Os pontos destacados dividem o segmento de reta em 
intervalos congruentes. Esses pontos são os marcos quilométricos onde serão 
colocadas algumas placas. O ponto P representa o marco 5 e o ponto Q, o marco 
89. 
 
 
 
Nessa representação, o marco correspondente ao ponto X é: 
 
a) 139,4. 
b) 131,0. 
c) 127,5. 
d) 125,0. 
e) 123,9. 
 
2. (UNESC/2017/Desenhista - adaptada) As linhas são classificadas também quanto à 
DEFINIÇÃO. Conforme esta classificação, a linha reta não possui início e fim 
conhecidos, podendo ser percorrida nos dois sentidos pelo ponto P gerador; 
percorrendo à esquerda, sentido negativo e à direita sentido positivo. Assinale V 
para verdadeiro e F para falso nas alternativas abaixo, conforme as demais 
classificações da linha e as suas definições. Após, marque a sequência correta de 
V e F: 
 
( ) A linha é semirreta quando estiver definida apenas por uma extremidade, à 
esquerda ou à direita da mesma, e a outra indo ao infinito. 
( ) A linha é segmento de reta quando a reta estiver definida nas duas extremidades. 
( ) Segmentos adjacentes são segmentos que têm a mesma medida. 
( ) Chama-se reta suporte aquela que contém o segmento ou os segmentos de reta. 
a) V, V, F, V. 
b) V, F, F, V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
c) F, V, F, V. 
d) V, V, V, F. 
e) F, V, V, F. 
 
3. Na Geometria, os pontos e as retas assumem posições relativas entre si que podem 
ter como consequência algumas propriedades e cenários pertinentes ao plano. 
Assim, relacione a seguinte sequência com os seus enunciados correspondentes 
para, então, eleger a sequência correta de correspondência. 
 
(1) Pontos colineares // (3) Retas concorrentes 
(2) Retas paralelas // (4) Retas coincidentes 
 
( ) Todos os pontos de uma são pontos da outra também. 
( ) Não se interceptam no plano e, por isso, não há pontos em comum. 
( ) Uma reta passa, estritamente, por todos eles de forma alinhada. 
( ) Encontram-se em apenas um ponto. 
 
A sequência correta da correspondência é: 
 
a) 2 – 3 – 4 – 1. 
b) 4 – 1 – 2 – 3. 
c) 1 – 2 – 4 – 3. 
d) 1 – 2 – 3 – 4. 
e) 4 – 2 – 1 – 3. 
 
4. Analise a seguinte figura. Nela, representamos alguns segmentos de reta. 
 
Considerando-se esses segmentos de reta representados e as relações existentes 
entre eles, pode-se afirmar que: 
a) AB̅̅ ̅̅ e BE̅̅̅̅ são segmentos consecutivos. 
b) AB̅̅ ̅̅ e BF̅̅̅̅ são segmentos colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
c) BE̅̅̅̅ e BC̅̅̅̅ são segmentos consecutivos e colineares. 
d) BC̅̅̅̅ ⊂ AB̅̅ ̅̅ , pois são segmentos consecutivos. 
e) BE̅̅̅̅ ⊃ BF̅̅̅̅ , pois são segmentos consecutivos. 
 
5. Considere os axiomas de medição de segmentos. Tendo em vista que a todo 
segmento de reta corresponde um número maior ou igual a zero (ou seja, um 
número que corresponde ao comprimento ou à distância entre os pontos que 
definem um segmento de reta) e que os extremos que definem um segmento 
possuem correspondência biunívoca com os números reais, podemos afirmar que: 
 
a) Se dois pontos pertencentes a um segmento coincidem, eles têm coordenadas 
distintas. 
b) Se os extremos de um segmento são distintos, o módulo entre eles sempre será 
negativo, especialmente se considerarmos a diferença da coordenada menor pela 
maior. 
c) Conhecendo-se os dois extremos de um segmento, obtém-se o comprimento por 
meio do módulo da diferença entre as coordenadas desses pontos. 
d) Com quaisquer pontos de um segmento de reta é possível obter a distância entre 
os extremos desse segmento considerado originalmente.e) Se dois pontos pertencentes a um segmento coincidem, eles têm coordenadas 
desconhecidas ou indeterminadas. 
 
6. Decorre dos axiomas de medição de segmentos a definição de que “o ponto 
médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ” e o 
teorema de que “um segmento tem exatamente um ponto médio”. Logo, é 
possível determinar, de forma única, a coordenada ou o número real que 
corresponde ao ponto médio de um determinado segmento de reta. 
 
Considere a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
Sabendo que A e B são os pontos extremos desse segmento, a coordenada x do 
ponto médio C (ou número real associado) de AB̅̅ ̅̅ é: 
 
a) 12. 
b) 16. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 31. 
 
7. Não há dúvidas que os instrumentos e as técnicas utilizados nas construções 
geométricas são essenciais para que os axiomas e postulados da Geometria 
Euclidiana Plana sejam preservados e os objetos desenhados sejam, de fato, 
representativos das ideias abstratas e lógico-dedutivas subjacentes. 
 
Considere as seguintes afirmativas e julgue-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): 
 
( ) Com os ângulos disponíveis no par de esquadros é possível substituir um transferidor 
na medição de qualquer ângulo. 
( ) Por usarem medidas internacionalmente aceitas, os instrumentos de desenho 
geométrico são adequados para construções mais simples em que a técnica 
axiomática precisa ser utilizada. 
( ) Apenas uma régua graduada é suficiente para construir retas perpendiculares. 
Um compasso não é um instrumento adequado para fornecer a leitura direta de 
medidas, apesar de ser um instrumento utilizado para transportá-las. 
 
A sequência correta que preenche as lacunas é: 
 
a) F – F – F – V. 
b) V – V – F – V. 
c) F – V – V – V. 
d) V – V – V – V. 
e) F – V – F – V. 
 
8. (CESGRANRIO/2016/Petrobras - adaptada) Considere a construção geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
descrita a seguir. 
Com alguma inclinação sobre o segmento de reta AB dado, traça-se uma 
semirreta auxiliar s, com origem num dos extremos A ou B. Sobre esse segmento 
auxiliar, e a partir da origem escolhida, marcam-se comprimentos iguais, com uma 
abertura qualquer de compasso, de acordo com o número (n) de divisões 
desejadas, achando-se os pontos 1, 2, 3, ... , n. Une-se o último ponto marcado com 
o outro extremo do segmento de reta AB e traçam-se paralelas a essa linha que 
passam pelos pontos marcados na semirreta auxiliar s. 
 
Após realizar esse procedimento descrito, obtém-se a construção geométrica 
denominada de: 
 
a) Paralela à reta AB. 
b) Perpendicular à reta AB. 
c) Divisão do segmento AB. 
d) Hexágono de lado igual a AB. 
e) Triângulo equilátero com lado igual a AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA 
BÁSICA ESTRUTURAL E ALGUMAS 
CONSTRUÇÕES ESPECIAIS 
 
 
 
 INTRODUÇÃO 
“A lei de ouro do comportamento é a tolerância mútua, já que 
nunca pensaremos todos da mesma maneira, já que nunca veremos 
senão uma parte da verdade e sob ângulos diversos”. 
― Mahatma Gandhi 
 
Nesta unidade, avançaremos em alguns tópicos estruturantes da Geometria 
Euclidiana Plana para, então, propormos a análise e algumas construções 
geométricas mais avançadas do ponto de vista do processo axiomático. Nesse 
sentido, propusemos o estudo de alguns conceitos e propriedades sobre regiões 
angulares, polígonos, circunferências e círculos. Ao final, o propósito é utilizar alguns 
dos instrumentos de desenho para, por meio da técnica lógico-dedutiva, consolidar 
e ampliar esses tópicos com algumas construções especiais. 
 
 ESTUDO DE ÂNGULOS E REGIÕES ANGULARES 
Em Os Elementos, Euclides axiomatizou a ideia de ângulo sem, no entanto, 
defini-lo em termos de medidas. Costa (2010, p. 19) diz que a palavra “ângulo” foi 
encontrada, pela primeira vez, em materiais gregos que envolviam elementos de 
círculo em estudos sobre arcos e cordas, mas que “não podemos estimar quando o 
homem começou a medir ângulos, porém sabe-se que eles eram medidos na 
Mesopotâmia e muito bem conhecidos quando Stonehenge – monumento pré-
histórico – foi construída” há mais de 3.000 anos a.C na atual Inglaterra. 
Ângulo é uma região formada por duas semirretas coplanares que 
compartilham a mesma origem e limitam regiões do plano. Observe a Figura 22. 
 
 
 
 
UNIDADE 
03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
Figura 22: Ângulo e alguns elementos 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Pode-se indicar esse ângulo das seguintes 
formas: 
AÔB (lê-se ângulo AOB) ou BÔA (lê-se ângulo 
BOA). 
A medida desse ângulo pode ter três 
representações: 
med (AÔB) = xº ou o = xº ou β = xº, x é um 
número real. 
(usamos letras minúsculas gregas ou do 
nosso alfabeto) 
São elementos do ângulo AÔB: 
Vértice: O (origem) | Lados: semirretas OA e 
OB . 
 
Em relação ao ângulo AÔB, duas regiões são delimitadas: região convexa (lilás) 
em que dois pontos quaisquer determinam um segmento de reta que estará contido 
nessa região e região não convexa (amarela) em que haverá dois pontos que 
determinarão segmentos que não estarão totalmente nesta região. Assim, diz-se que 
AÔB é uma região convexa (ou ângulo convexo). Isso é regra geral. 
O grau (º), uma criação dos babilônios antes da era cristã, é a unidade de 
medida que utilizaremos neste material para indicar a abertura (ou medida) dos 
ângulos. O transferidor é um dos instrumentos de medida de ângulos mais utilizados 
em virtude da leitura fácil e direta. Na unidade 2, apresentamos esse importante 
instrumento como suporte para algumas construções e medições geométricas. 
 
 
 
Ao se avançar para os chamados axiomas de medição de ângulos, é 
importante esclarecer algumas nomenclaturas e classificações que são dadas aos 
ângulos em relação à medida de diferentes aberturas e à localização de seus pontos. 
Santos e Viglioni (2011) afirmam que, para se avançar no conceito de medida de 
ângulo, os seguintes axiomas são fundamentais nesse processo de sistematização e 
definição. O primeiro deles, segundo esses autores, estabelece que “a todo ângulo 
corresponde um único número real maior ou igual ao zero. Este número é zero se, e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
somente se, os lados do ângulo coincidem” (p. 39). Disso decorre que um semiplano 
(metade de um plano) é dividido por uma semirreta se essa semirreta pertence a esse 
semiplano e se sua origem (um ponto de interseção) pertence à reta que determinou 
o semiplano. 
Um segundo axioma propõe que “existe uma bijeção entre as semirretas de 
mesma origem que dividem um dado semiplano e os números entre zero e 180, de 
modo que a diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas 
semirretas correspondentes” (SANTOS; VIGLIONI, 2011, p. 40). 
Pareceu um pouco confuso? Observe a Figura 23, pois nela esclareceremos, 
de forma prática e ilustrativa, esses axiomas: 
 
Figura 23: Axiomas de medição de ângulo 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Sobre o primeiro axioma de medição de 
ângulo, temos que: 
1. A medida dos ângulos condiz a um 
número real, em (º); 
2. med (AÔB) = 0º, pois os lados desse ângulo 
coincidem. 
 
Em relação ao segundo axioma, 
percebemos que: 
3. A reta suporte de 𝐸𝐴 define dois 
semiplanos no plano; 
4. As semirretas 𝑂𝐴 , 𝑂𝐶 , 𝑂𝐷 , e 𝑂𝐸 têm mesma 
origem; 
5. A relação bijetora entre as semirretas e os 
ângulos que elas determinam origina os 
ângulos AÔC = 35 – 0 = 35º, CÔD = 120 – 35 = 
85º e DÔE = 180 – 120 = 60º, ou seja, a 
diferença entre os números vinculados a 
cada semirreta. 
 
Em decorrência desses axiomas, têm-se as seguintes definições (quadro 5): 
 
Quadro 5: Definições, nomenclaturas e classificações de ângulos 
Ângulo nulo 
med (AÔB) = 0º 
Ângulo de meia volta ou 
raso 
med (AÔB) = 180º 
Ângulo de uma volta 
med (AÔB) = 360º 
 
Ângulo reto 
med (AÔB)= 90º 
Ângulo agudo 
0º < med (AÔB) < 90º 
Ângulo obtuso 
90º < med (AÔB) < 180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 
Ângulos consecutivos Ângulos adjacentes Bissetriz de um ângulo 
Partilham um lado 
(semirretas coincidentes) e 
podem possuir pontos 
internos comuns. 
 
AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, 
AÔC e BÔC são 
consecutivos. 
Lados comuns: 𝑂𝐵 , 𝑂𝐴 , e 𝑂𝐶 , 
respectivamente. 
São ângulos consecutivos 
que não têm pontos internos 
comuns. 
 
 
AÔB e BÔC são adjacentes 
e possuem OB como lado 
comum. 
Com origem no vértice de 
um ângulo, é a semirreta 
que o divide em dois 
ângulos adjacentes 
congruentes (ângulos de 
mesma medida). 
 
OB é a bissetriz de AÔC, pois 
AÔB ≅ BÔC (são 
adjacentes) 
Ângulos complementares Ângulos suplementares 
São dois ângulos cuja soma de suas 
medidas é 90º. Um será o complemento do 
outro. 
São dois ângulos cuja soma de suas 
medidas é 180º. Um será o suplemento do 
outro. 
Fonte: Adaptado de Barreto Filho e Silva (2000); Costa (2010) e Giovanni, Giovanni Júnior e 
Castrucci (2015). 
 
Observe que se uma semirreta, com origem no vértice, divide um ângulo em 
dois outros ângulos, então a soma da medida dos novos ângulos é igual ao ângulo 
original (SANTOS; VIGLIONI, 2011). Esse terceiro axioma de medição de ângulo é 
importante, pois permite algumas deduções relevantes quando relacionamos pares 
ou conjuntos de ângulos. Partindo-se da Figura 24, analisaremos novas conclusões. 
 
Figura 24: Terceiro axioma de medição de 
ângulo 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Tendo em vista o terceiro axioma de 
medição de ângulo: 
I. AÔC = AÔB + BÔC = a + b = 180º (são 
suplementares); 
II. BÔD = AÔB+ AÔD = a + d = 180º 
(suplementares); 
De I e II: a + b = a + d => b = d (cancela-se o 
“a”). 
 
De forma semelhante, encontra-se que a = 
c. 
 
Assim, as medidas “b” e “d”, “a” e “c” são 
congruentes (têm a mesma abertura). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
Sob a ótica do vértice O, na Figura 24, as retas r e s determinam ângulos opostos 
pelo vértice (usa-se a abreviação “o.p.v.”) que são sempre congruentes. Segundo 
Santos e Viglioni (2011, p. 86), o axioma das paralelas é enunciado da seguinte forma: 
“por um ponto fora de uma reta dada, pode-se traçar uma única reta paralela a esta 
reta”. Considerando esse axioma, que equivale ao quinto postulado do primeiro livro 
de Os Elementos, e a conclusão dos ângulos o.p.v., ao considerarmos duas retas 
distintas r e s (com r // s) cortadas por outra reta t que dividirá o plano em dois 
semiplanos (por isso, a chamaremos de reta transversal t), obtêm-se “pares de ângulos 
importantes nos estudos da Geometria” (BARRETO FILHO; SILVA, 2000, p. 413). Esses 
ângulos formados pela reta transversal t são denominados de forma específica de 
acordo com a posição que ocupam e detêm algumas propriedades que são 
evidenciadas, mas não demonstradas, na Figura 25. Intuitivamente, é simples 
compreendê-las ao considerarmos o que foi discutido aqui. 
Figura 25: Ângulos formados por paralelas e 
uma transversal 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
- Têm-se ângulos internos (região verde) e 
externos (região laranja); 
- Colateral significa “mesmo lado ou mesmo 
semiplano” e alterno “lado diferente ou 
semiplano diferente”; 
- Se r // s, ambas estão cortadas pela reta 
transversal t e se todas são coplanares, 
então os ângulos: 
�̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ 𝑓, �̂� ≅ �̂� 𝑒 �̂� ≅ ℎ̂ são 
correspondentes e congruentes; 
�̂� ≅ 𝑓 e �̂� ≅ �̂� são alternos internos e 
congruentes; 
�̂� ≅ �̂� e �̂� ≅ ℎ̂ são alternos externos e 
congruentes; 
�̂� 𝑒 �̂�, �̂� 𝑒 𝑓 são colaterais internos e 
suplementares (soma=180º); 
�̂� 𝑒 ℎ̂, �̂� 𝑒 �̂� são colaterais externos e 
suplementares (soma=180º); 
 
Assim, encerramos os estudos propostos sobre ângulos e regiões angulares para 
discutirmos figuras geométricas fechadas cuja existência depende da relação entre 
ângulos e segmentos de reta de um mesmo plano. Boa leitura! 
 
 
 OS POLÍGONOS E ALGUMAS PARTICULARIDADES 
O nosso objetivo nesta seção é o de explorar os polígonos sob uma perspectiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
construtivista, sem nos ater à Álgebra ou à Aritmética subjacentes a alguns atributos. 
No entanto, destacaremos alguns conceitos e propriedades que são importantes 
para as construções e desenhos geométricos fazendo o uso, caso seja necessário, de 
fórmulas, expressões ou cálculos, além de algumas demonstrações, para endossar o 
conceito ou propriedade tratados. 
Saber o que é um polígono é mais simples que defini-lo e entender a definição, 
pois ela foi construída com um conjunto de argumentos fundamentais sob os quais 
precisamos mobilizá-los e empregá-los para que as propriedades sejam válidas. De 
origem grega, a palavra significaria “muitos/vários ângulos”. Giovanni, Giovanni Júnior 
e Castrucci (2015, p. 214) definem polígono como sendo a “reunião de uma linha 
fechada simples, formada apenas por segmentos de reta de um mesmo plano com a 
sua região interna”. Já Dolce e Pompeo (2005, p. 132) afirmam que, “dada uma 
sequência de pontos de um plano (A1, A2, ..., An), com n ≥ 3, todos distintos, onde três 
pontos consecutivos não são colineares, chama-se polígono a reunião dos segmentos 
A1A2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, A2A3̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, ..., A𝑛−1A𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , A𝑛A1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅”. 
 
 
 
Para entendermos os conceitos, também é importante esclarecer que linha 
fechada simples é o contorno no qual a linha não se intersecta (não há pontos de 
interseção) cujo ponto inicial coincide com o ponto final. No caso dos polígonos, o 
contorno é uma linha poligonal formada apenas por segmentos de reta. Além disso, 
vale destacar que o nosso foco são os polígonos convexos e, por isso, na Figura 26, 
diferenciaremos um polígono convexo de um polígono não convexo. 
 
 
 
Figura 26: Diferença entre polígono convexo e não convexo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Neste polígono, a reta r contém um dos lado Qualquer reta que suporte dos lados do 
Como a figura está contida nos dois semiplanos polígano (como t e w) determina 
determinados por r e AB̅̅ ̅̅ não está totalmente semiplanos que contém, totalmente, 
contida na região interna, este polígono é a região interna. Além disso, qualquer 
não-convexo. segmento cujos extremos sejam pontos 
 internos estará contido nesse polígono 
 que é convexo. 
 
Dentre os elementos de um polígono, vamos destacar os seguintes: 
 
Figura 27: Elementos de um polígono 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). 
 
- Os vértices são os pontos de encontro dos 
segmentos que formam os lados. Nesse 
caso, os pontos A, B, C, D, E e F; 
- Os lados do polígono são os segmentos de 
reta que delimitam a região interna: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , 
CD̅̅ ̅̅ , DE̅̅ ̅̅ , EF̅̅̅̅ e FA̅̅̅̅ ; 
- Dois lados consecutivos formam os ângulos 
internos desse polígono (destacados com a 
cor amarela) cujo vértice é o ponto de 
encontro desses segmentos; 
- Os chamados ângulos externos (em 
laranja) são formados pelo prolongamento 
de cada lado com o lado consecutivo; 
- As diagonais são segmentos de reta que 
ligam um vértice a outro não consecutivo: 
AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , AE̅̅̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , BE̅̅̅̅ , BF̅̅̅̅ , CF̅̅̅̅ , CE̅̅̅̅ , DF̅̅̅̅ . 
 
Observa-se que a soma de cada ângulo interno com o seu externo 
correspondente (que é adjacente e suplementar, ou seja, juntos medem 180º) 
equivale ao ângulo raso (ângulo amarelo + ângulo laranja = 180º). Além disso, cabe 
destacar que é uma característica dos polígonos convexos que a quantidade de 
vértices, de lados, ângulos internos e externos seja sempre igual. Em relação