Aula 1 - Derivadas _095316

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Cálculo Diferencial e Integral I 
Derivadas 
Prof. Dr. Denílson Seidel 
denilson.seidel@passofundo.ifsul.edu.br 
Cálculo Diferencial e Integral I 
 Sumário 
 
 Reta tangente 
 Interpretação geométrica 
 Taxas de variação 
 Definição da derivada 
 Regras básicas de derivação 
 Derivada das funções ele-
mentares 
 Derivadas de ordem superior 
 Regra da cadeia 
Derivadas 
2 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Derivada das funções implícitas 
 Regras de L'Hopital 
 Diferencial e aplicações 
 Teorema de Rolle e do Valor Médio 
 Crescimento e decrescimento de 
uma função 
 Concavidade e pontos de inflexão 
 Problemas de maximização e 
minimização 
 
 
Reta secante a uma curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 
 É uma reta que intercepta a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 em pelo menos dois 
pontos. 
 
 
 
 
Coeficiente angular de uma reta secante 
 A inclinação 𝑚𝑠 da reta secante à curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 que passa nos 
pontos P e Q é definida como 
Derivadas 
3 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
   1 0
1 0
s
f x f x
m
x x



tansm α
 Equação geral de reta 
 É uma equação da forma 
 
 
em que 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0. 
 Equação reduzida da reta 
 A equação da reta que passa pelo ponto 𝑃 𝑥0, 𝑦0 com coeficiente 
angular m pode ser expressa como 
 
 
 Exemplo 
 Considere a função 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥2 − 𝑥 + 5. 
a) Esboce o gráfico da função. 
Derivadas 
4 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
0ax by c  
 0 0y y m x x  
 Exemplo 
 Considere a função 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥2 − 𝑥 + 5. Determine: 
 
b) o coeficiente angular (m) da reta s1 que passa pelos pontos 
P(6,f(6)) e Q (6+h, f(6+h)), para h = 9 (reta secante à f(x)). 
 
c) a equação reduzida da reta s1, com coeficiente angular m, 
passando pelo ponto P (6,f(6)). 
 
d) o coeficiente angular (m) da reta s2 que passa pelos pontos 
P(6,f(6)) e Q (6+h, f(6+h)), para h = 6 (reta secante à f(x)). 
 
e) a equação reduzida da reta s2, com coeficiente angular m, 
passando pelo ponto P (6,f(6)). 
 
Derivadas 
5 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Exemplo 
 Considere a função 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥2 − 𝑥 + 5. Determine: 
f) O coeficiente angular (m) da reta s3 que passa pelos pontos 
P(6,f(6)) e Q (6+h, f(6+h)), para h = 3 (reta secante à f(x)). 
g) A equação reduzida da reta s3, com coeficiente angular m, 
passando pelo ponto P (6,f(6)). 
h) O coeficiente angular (m) da reta s4 que passa pelos pontos 
P(6,f(6)) e Q (6+h, f(6+h)), para h = 1 (reta secante à f(x)). 
i) A equação reduzida da reta s4, com coeficiente angular m, 
passando pelo ponto P (6,f(6)). 
j) O que acontece com as retas secantes si à medida que ℎ → 0? 
 A reta secante tende a se transformar na reta tangente em P. 
 
Derivadas 
6 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Exemplo 
 Considere a função 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥2 − 𝑥 + 5. 
 
k) O que acontece com o coeficiente angular (inclinação) das retas 
secantes si à medida que ℎ → 0? 
 
 A inclinação da secante varia 
 cada vez menos, tendendo pa- 
 ra um valor limite – chamado 
 de inclinação da reta tangente 
 à curva no ponto P. 
 
 
 
 
 
Derivadas 
7 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
Definição 
 Seja 𝑥0 um ponto do domínio da função f. A inclinação da reta 
tangente à curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 
 no ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) é dada por 
 
 
 
 
 Se a função f é contínua em 𝑥0, então a equação da reta tangente à 
curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) com inclinação 𝑚𝑡𝑔 é 
 
 
 
 
 
Derivadas 
8 
   0 0
0
limtg
h
f x h f x
m
h
 

   0 0tgy f x m x x  
11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Exemplo 
 Encontre a equação da reta tangente à curva 𝑦 = 2𝑥2 + 1 no ponto 
𝑥0 = 1. 
 Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓 𝑥 e da reta tangente no mesmo plano 
cartesiano. 
 
 Exemplo 
 Encontre a equação da reta tangente à curva 𝑦 =
3
𝑥
 no ponto cuja 
abscissa é 3. 
 Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓 𝑥 e da reta tangente no mesmo plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
Derivadas 
9 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
Definição (alternativa) 
 Seja 𝑥0 um ponto do domínio da função f. A inclinação da reta 
tangente à curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 
 no ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) é dada por 
 
 
 
 Se a função f é contínua em 𝑥0, então a equação da reta tangente à 
curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) com inclinação 𝑚𝑡𝑔 é 
 Exemplo 
 Encontre a equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 que seja 
paralela à reta 8𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0. 
 
 
 
 
 
Derivadas 
10 
   
0
0
0
limtg
x x
f x f x
m
x x



11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Exemplo 
a) Encontre a equação da reta normal à curva 𝑦 = 𝑥2 no ponto cuja 
abscissa é 2. 
b) Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓 𝑥 , da reta tangente e da reta normal à 
curva 𝑦 = 𝑥2 no ponto cuja abscissa é 2 no mesmo plano 
cartesiano. 
 Exemplo 
 Suponha que um objeto seja largado do repouso a 381 metros 
acima do nível da rua. A altura s deste objeto (em metros) acima do 
nível da rua, t segundos após ser largado pode ser modelada pela 
função 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 381 − 4,9𝑡2. Determine: 
a) o instante em que o objeto atinge o nível da rua. 
b) a velocidade no instante 𝑡 = 5𝑠. 
 
 
 
 
 
Derivadas 
11 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
Velocidade 
 Considere uma partícula em movimento retilíneo com função 
posição 𝑠 = 𝑓 𝑡 . Definimos a velocidade instantânea (vi) da 
partícula no instante 𝑡0 como: 
 
 
 
 Exemplo 
 Suponha que 𝑠 𝑡 = 1 + 3𝑡 − 2𝑡2 seja a função posição de uma 
partícula, onde s está em metros e t em segundos. 
a) Determine a velocidade em 𝑡 = 3𝑠. 
b) Determine a aceleração da partícula. 
 
 
 
Derivadas 
12 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
   0 0
0
limi
h
f t h f t
v
h
 

Aceleração 
 Considere uma partícula em movimento retilíneo com função 
velocidade 𝑣 = 𝑓 𝑡 . 
a) a aceleração média no intervalo de tempo de 𝑡0 até 𝑡0 + ℎ é 
dada por 
 
 
 
b) a aceleração instantânea (no instante t) é o limite 
 
 
 
 
 
 Exemplo 
 Se a posição de uma partícula no instante t (s) é dada por 
𝑠 = 16𝑡 − 𝑡2 (m), determine a velocidade e a aceleração em 𝑡 = 2. 
 
 
 
Derivadas 
13 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
   0 0
m
v t h v t
a
h
 

   0 0
0
limi
h
v t h v t
a
h
 

 Taxas de variação instantânea 
 Velocidade 
 Taxa de variação da posição em relação ao tempo. 
 Aceleração 
 Taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. 
 Taxa de variação de y em relação a x 
 Taxa com que a temperatura muda com o tempo. 
 Taxa com que os custos de produção mudam com a quantidade do 
produto que está sendo produzido. 
 Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 , então a taxa de variação média de y em relação a x no 
intervalo [x0, x1] e a taxa de variação instantânea de y em relação a x, 
respectivamente, como 
 
 
 
 
Derivadas 
14 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
   0 0
m
f x h f x
r
h
 

   0 0
0
limi
h
f x h f x
r
h
 

Resumo 
 
 
 
 
Derivadas 
15 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
Aplicação Definição Definição 
Inclinação da reta à curva 
𝑦 = 𝑓 𝑥 em um ponto 
Secante Tangente 
𝑚𝑠𝑒𝑐 =
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 𝑚𝑡𝑔 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
Velocidade 
Média Instantânea 
𝑣𝑚 =
𝑠 𝑡0 + ℎ − 𝑠(𝑡0)
ℎ
 𝑣𝑖 = lim
ℎ→0
𝑠 𝑡0 + ℎ − 𝑠(𝑡0)
ℎ
 
Aceleração 
Média Instantânea 
𝑎𝑚 =
𝑣 𝑡0 + ℎ − 𝑣(𝑡0)
ℎ
 𝑎𝑖 = lim
ℎ→0
𝑣 𝑡0 + ℎ − 𝑓(𝑡0)
ℎTaxa de variação 
Média Instantânea 
𝑟𝑚 =
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 𝑟𝑖 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
Definição 
 A função 𝑓′(𝑥) (lê-se f linha de x) definida pela fórmula 
 
 
 
é denominada derivada de f em relação a x. 
Observação 
a) O domínio de 𝑓′ consiste em todos os x do domínio de f para os 
quais existe o limite. 
b) O termo “derivada” é usado porque a função 𝑓′ deriva da função 
𝑓 por meio de um limite. 
c) Outras notações para a derivada de f em relação a x: 
 i) y′ ii) 𝐷𝑥 𝑦 
 iii) 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) iv) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
 
 
Derivadas 
16 
 
   
0
' lim
h
f x h f x
f x
h
 

11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Exemplo 
 Usando a definição, determine a derivada das seguintes funções: 
a) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2 
 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 + 4 
 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 
 
d) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥2
 
 
e) 𝑓 𝑥 =
2+𝑥
3−𝑥
 
 
 
 
 
 
Derivadas 
17 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I 
Referências 
 ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2007. 
 FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson 
prentice hall, 2006. 
 WEIR, Maurice D.; HASS, Joel; GIORDANO, Frank R. Cálculo: George 
B. Thomas: volume 1. 11. ed. São Paulo: Pearson addison wesley, 
2009. 
 HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso 
moderno e suas aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2008. 
 LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São 
Paulo: Harbra, 1994. 
 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de 
Janeiro: Ltc, 2001. 
 
 
 
 
 
 
Derivadas 
18 11/05/2016 Cálculo Diferencial e Integral I