3 - unidade

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Bioestatística
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Priscila Bernardo Martins
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
Medidas de Tendência Central e de Dispersão
• Introdução;
• Medidas de Tendência Central;
• Medidas de Dispersão;
• Conclusão.
• Ampliar seu conhecimento sobre as Medidas de Tendência Central (Média, Moda e a 
Mediana) e Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão. 
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Medidas de Tendência 
Central e de Dispersão
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Introdução
Vamos abordar um assunto importante a respeito da transmissão das infor-
mações relativas à amostra ou à população estudada. Em se tratando dos dados 
obtidos, a condensação deles facilita a compreensão das características essenciais 
de uma amostra ou população. Para viabilizar essa etapa, usamos as medidas de 
tendência central e de dispersão. Hoje vamos conhecer um pouco mais sobre 
essas medidas.
Figura 1
Fonte: Getty Images
Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são confiáveis quanto mais representativo for o 
conjunto de elementos da amostra ou da população. Se o conjunto de elementos for 
bem selecionado, se guardar características semelhantes às características da popu-
lação que foi extraída, e se for suficientemente grande, os dados refletirão melhor 
o que poderíamos encontrar na população. Pode-se dizer também que essas medi-
das – de tendência central e de dispersão – são uma primeira caracterização dos 
conjuntos populacionais ou amostrais.
Média Aritmética
A média aritmética consiste na soma dos valores de um conjunto de dados, di­
vididos pelo número de elementos.
Veja o exemplo abaixo. Considere o seguinte conjunto de dados:
11 10 10 12 23 24 30
8
9
A média aritmética será = 11 + 10 + 10 + 12 + 23 + 24 + 30 / 7 = 17,14
Observação 1: Frequentemente a média aritmética vem acompanhada de outra medida, o desvio padrão. 
Essa é uma medida de dispersão e indica o quanto os valores se afastam ou se aproximam da média.
Observação 2: A média aritmética é muito infl uenciada por valores extremos, ou seja, valores muito 
menores ou maiores infl uenciam de forma marcante o valor real da média.
Figura 2
Fonte: Getty Images
Dividir a conta em um bar (“rachar a conta”) é um bom exemplo prático de mé-
dia aritmética.
A fórmula para cálculo da média aritmética é:
x x x x
n
x
n
n
i
i
n
=
+ + +
= =
∑
1 2 1

Onde o X com uma barra significa média aritmética de uma amostra e n o 
 número de indivíduos da amostra.
Exercício resolvido:
Uma nutricionista decidiu investigar a circunferência abdominal de 10 gerentes 
de uma grande empresa multinacional interessados em perder peso por meio de 
um programa de reeducação alimentar. As medidas seguem abaixo:
Gerentes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Circunferência 88 83 79 76 78 70 80 82 86 105
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UNIDADE Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Devemos primeiro determinar qual o tamanho da amostra (n):
Como no caso temos 10 gerentes, então dizemos que n = 10.
Cada gerente representa um valor de x, como segue:
x1 = 88
x2 = 83
x3 = 79
x4 = 76
x5 = 78
x6 = 70
x7 = 80
x8 = 82
x9 = 86
x10 = 105
Substituindo na fórmula, teremos:
x
x
x
=
+ + + + + + + + +
=
=
88 83 79 76 78 70 80 82 86 105
10
827
10
82 7,
Dizemos então que: a média aritmética da circunferência abdominal dos 10 
 gerentes é de 82,7 cm.
Mediana
A mediana é outra medida que indica a caracterização do conjunto de valores. 
Ela indica o valor que divide ao meio o conjunto de valores, ou seja, indica o valor 
que ocupa a posição central desse conjunto, não sofrendo qualquer interfe­
rência dos valores extremos. O seu cálculo depende da ordenação dos dados, o 
que corresponde a colocá-los em ordem crescente ou decrescente.
Continuando com o exemplo usado no calculo da média aritmética:
10
11
11 10 10 12 23 24 30
11 10 12 23 24
10 10 11 12 23 24 30
A mediana seria assim calculada:
Segue um exemplo com n par:
10+12=22
22 2=11
Essa é a mediana, pois é o valor
central de um conjunto de dados.
Quando o número de valores for
ímpar (como no caso acima), a
mediana será sempre o valor do meio.
Como o n é par, soma-se os dois
valores centrais e divide-se por “2”.
Portanto, nesse exemplo, 11 é a mediana da distribuição apresentada.
Moda
A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Essa medida, juntamente 
com a média e a mediana, ajudam a compreender o padrão homogêneo dos dados. 
Quando essas três medidas estão próximas, podemos dizer que o conjunto de 
 dados é homogêneo, ou seja, não há valores extremos, mas sim uma tendência de 
que boa parte dos números se localizem próximos a essas três medidas.
Figura 3
Fonte: Getty Images
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UNIDADE Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Se um conjunto de dados possui um único valor que se repete com maior frequên-
cia, diz-se que o conjunto é unimodal; quando dois números aparecem com maior 
frequência, é bimodal; se três ou mais números aparecem com maior frequên cia, é 
multimodal. A ausência de moda caracteriza um conjunto amodal.
Veja o exemplo abaixo. Considere o seguinte conjunto de dados:
0 1 1 2 3 4 4 4 5
Analisando os dados, observa-se que o número 4 é o número que se repete com 
maior frequência (3 vezes). Dessa forma, dizemos que o conjunto é unimodal.
Vamos analisar outro conjunto de dados:
0 1 1 1 3 4 4 4 5
Analisando os dados, observa-se que os números 1 e 4 se repetem com maior 
frequência (3 vezes cada um). Dessa forma, dizemos que o conjunto é bimodal.
Medidas de Dispersão
As medidas de tendência central, vistas anteriormente, ajudam a explicar a ten-
dência central dos dados, ou seja, o quanto esse conjunto é homogêneo. Essas 
medidas precisam estar acompanhadas de outras informações que indiquem a 
 VARIABILIDADE dos dados, isto é, o quanto os valores divergem em relação aos 
valores de caracterização geral da população ou amostra.
Considere a situação apresentada no livro Introdução à bioestatística, da autora 
Sônia Vieira (2008):
Considerando 2 domicílios, sendo que em um deles moram 7 pessoas , 
todas com 22 anos de idade.A média de idade será de 22 anos. No ou-
tro domicilio, poderíamos ter a mesma média de idade, no entanto, 
 nesse segundo domicilio, moram uma garota de 17 anos, um garoto 
com 23 anos, duas crianças de 2 e 3 anos, respectivamente, além de 
uma mulher de 38 anos, outra criança de 8 anos e uma senhora de 
65 anos.
Nesse exemplo acima, temos dois conjuntos de valores, cuja variabilidade é diferente, embora a média 
seja a mesma. No primeiro conjunto de valores, a variabilidade é bem menor, condição contrária à que 
ocorre no segundo grupo , no qual a variabilidade é maior, pois as idades variam de 2 até 65 anos.
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Quartis e Percentis
Já aprendemos que a mediana é o valor que divide ao meio o conjunto de valores. 
Poderíamos dizer também que a mediana indica que, abaixo daquele valor, temos 50% 
das observações dos valores. Mas há situações em que podemos dividir o conjunto de 
valores em partes menores: quartis, decis e percentis indicam essa possibilidade.
Sendo assim, o primeiro quartil indica que 25% dos valores estão abaixo desse 
valor; o segundo quartil indica que 50% da amostra está abaixo desse valor; e assim 
por diante. Veja o modelo abaixo:
1º quartil 2º quartil 3º quartil 4º quartil
25% 25% 25% 25%
50% DOS VALORES
75% DOS VALORES
Já os percentis consideram as posições dividindo o conjunto de valores em 100 
partes. Da mesma forma que o quartil, o percentil 70, por exemplo, indica que 70% 
dos valores de um conjunto encontram-se abaixo desse valor.
Observação: percebam, no modelo esquemático abaixo, que uma posição (ou 
valor) pode ser indicada de mais de uma forma.
25% 25% 25% 25%
50% 2º quartil
Percentil 5050% 
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UNIDADE Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Amplitude, Mínimo e Máximo
A amplitude explica a variabilidade de valores, e por isso é considerada uma 
medida de dispersão. É definida como a diferença entre o maior e o menor valor de 
um determinado conjunto de valores.
Menor, também chamado de mínimo, é o menor valor de um determinado con-
junto de valores.
Maior, também chamado de máximo, é o maior valor de um determinado con-
junto de valores.
Maior
A M P L I T U D E
menor_
Importante!
Assim como a média, a amplitude é muito influenciada por valores extremos, isto é, um 
valor muito baixo ou muito alto altera facilmente essa medida e pode, em determinados 
casos, não representar a real variabilidade do conjunto de valores, pois houve o compro-
metimento em razão desse(s) valor(es) extremo(s).
Importante!
Variância e Desvio Padrão
Essas duas medidas indicam a variabilidade, distância dos valores em torno do 
valor médio encontrado para um determinado conjunto de dados (valores). Se meno­
res, a variância e o desvio padrão indicam pouca variabilidade dos valores, caracteri-
zando um conjunto de valores mais homogêneo, ou seja, de variabilidade pequena.
Considere as informações abaixo:
Variância
x x
n
DesvioPadrão
x x
n
somatória
x o v
=
−( )
−
=
−( )
−
∑
∑ ∑2 2
1 1
:
: aalor de cada uma das observações
x a média da amostra
n
:
: o número de obsservações (tamanho da amostra)
Perceba que tanto a variância quanto o desvio padrão partem do cálculo da 
distância de um valor em relação a media (x – x). Faz-se a somatória dessas 
distâncias e, por “necessidades” matemáticas, eleva-se ao quadrado (para eliminar 
os valores negativos das distâncias) ou extrai-se a raiz quadrada (pois queremos 
eliminar a elevação ao quadrado de uma determinada medida).
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Defi niremos como variância a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em relação a media, 
dividida por (n – 1).
E desvio padrão como a raiz quadrada da variância.
Exercício Resolvido:
Vamos considerar o seguinte conjunto de notas de um determinado aluno:
5,0 6,0 5,0 9,0
Calcule a Variância e o Desvio Padrão.
Variância é representada por s. Pela fórmula dada, precisamos subtrair cada 
valor de x da média da amostra, somar todos esses valores, elevar o resultado ao 
quadrado e depois dividir por n – 1.
Vamos fazer passo a passo:
Abaixo a fórmula do desvio padrão:
s
x x
n
=
−
−
∑( )2
1
Vamos calcular em primeiro lugar a média:
x
x
x
= ÷
= ÷
=
(5+6+5+9) 4
425
6 25,
Vamos subtrair cada valor de x da média amostral:
x x ( x –x )
5 – 6,25 –1,25
6 – 6,25 –0,25
5 – 6,25 –1,25
9 – 6,25 +2,75
Notas dos alunos Média calculada x menos a média
Agora, vamos elevar os valores obtidos ao quadrado:
x x ( x –x ) ( x –x )2
5 – 6,25 –1,25 1,5625
6 – 6,25 –0,25 0,0625
5 – 6,25 –1,25 1,5625
9 – 6,25 +2,75 7,5625
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UNIDADE Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Precisamos, então, somar os quadrados obtidos:
x x ( x –x ) ( x –x )2
5 – 6,25 –1,25 1,56
6 – 6,25 –0,25 0,0625 +
5 – 6,25 –1,25 1,5625
9 – 6,25 +2,75 7,5625
= 10,75
A fórmula pede que esse valor (10,75), seja dividido por n – 1.
Em nosso exemplo, n = 4 (quatro notas), então 4 – 1 = 3
Então:
10,75 ÷ 3 = 3,58
Portanto:
s (variância) é igual a 3,58.
O desvio padrão é representado por s2.
s2 é igual a raiz quadrada de s (variância), então:
s2 = s
s2 = 3 58,
 s2 = 1,89 ou seja, o desvio padrão das notas desse aluno é 1,89, sendo que a 
média foi 6,25.
Coeficiente de Variação
Essa medida indica a dispersão dos valores em relação à média. Para se calcular 
o coeficiente de variação, usamos o desvio padrão e a média:
CV= desvio padrão / média x 100
Percebam que o CV não possuirá unidade de medida (é adimensional). Dessa 
forma, podemos comparar a dispersão de valores para dados quantitativos que 
utilizaram medidas diferentes, como metros e quilogramas. O uso de coeficientes 
não é tão frequente quanto o uso das outras medidas discutidas neste capítulo. 
Os  coeficientes são importantes na elaboração de indicadores de saúde.
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Importante!
As medidas de tendência central e de dispersão são úteis na compreensão e caracteri-
zação dos dados populacionais ou amostrais. A apresentação dessas medidas ajuda a 
entender o caráter homogêneo ou não dos dados, bem como a forma de dispersão dos 
mesmos em relação a um determinado valor médio.
Em Síntese
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UNIDADE Medidas de Tendência Central e de Dispersão
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Moda, Média e Mediana
https://youtu.be/UfupcG1ax6U
Média e Mediana de dados agrupados
https://youtu.be/7djAJFHYyno
Propriedades da Média e Desvio Padrão
https://youtu.be/3swCXxdYwdI
Cálculo do desvio padrão e da variância
https://youtu.be/PEN2M_eo6SY
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Referências
ARANGO, H. G. Bioestatística – Teórica e Computacional. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara Koogan, 2005. (acompanha CD demonstrativo)
VIEIRA, S. Princípios de Estatística. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 
VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
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