A2016 00001 - Projeto Geométrico - Curvas Horizontais Simples

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Artigo 2016.00001 Prof. Hen rique Raad 
 
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Projeto Geométrico: Cálculo de Curvas Horizontais S imples 
 Por Henrique Jardim Raad 
Publicado em 02/08/2016 
 
 
 
 
RESUMO 
Os projetos geométricos de vias, em suas mudanças d e direção 
horizontais, podem ser dimensionados utilizando-se de 
processos simples de representação matemática de tr açado, 
desde que garantidas as condições de segurança e co nforto do 
tráfego. O presente artigo desenvolve o conceito da s 
concordâncias horizontais com um único raio, aprese ntando os 
mecanismos e equações utilizados para os cálculos. Ao final é 
demonstrado um exemplo resolvido e são propostos ex ercícios 
de fixação conceitual. 
 
Palavras-chave  Estradas; Concordância Horizontal 
Simples; Raio. 
 
I. INTRODUÇÃO 
O cálculo de uma concordância circular simples resume-se em 
encontrar os valores da tangente exterior (T) e o comprimento do 
desenvolvimento (D), bem como definir a estaca de início da curva 
(PC) e de término (PT). A metodologia de cálculo é baseada em 
relações trigonométricas, considerando mudanças de direção em 
plano bidimensional. 
A figura 1 indica a representação de um eixo viário genérico 
contendo algumas mudanças de direção horizontais, onde se 
implantarão as curvas horizontais. 
 
Figura 1 – Representação das curvas horizontais [LE E, 2000] 
 
A figura 2 contém a representações dos elementos notáveis de 
uma curva horizontal simples de um projeto viário. 
 
Figura 2 – Curva circular simples [LEE, 2000] 
 
II. REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO 
II.1. Cálculo de AC 
Como o somatório dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º 
e a curva é tangenciada pelos segmentos de reta concorrentes em PI 
nos pontos PC e PT (raios do círculo perpendiculares à tangente), 
tem-se, por cálculo geométrico que: 
 
IAC = , Equação 001 
onde 
AC é o ângulo formado entre os raios que cortam PT e PC, e 
I é a deflexão da curva. 
 
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No caso de ângulos centrais AC pequenos, iguais ou inferiores a 
5º, para evitar a aparência de quebra do alinhamento, os raios 
deverão ser suficientemente grandes para proporcionar os 
desenvolvimentos circulares mínimos D, obtidos pela fórmula a seguir 
[DNER, 1999]: 
 
( ) º51030 ≤→−≥ ACACD
, Equação 002 
onde 
D é o desenvolvimento da curva, em metros, e 
AC é o ângulo central, em graus. 
 
Não é necessária curva horizontal para AC < 0º 15’, entretanto, 
deverão ser evitados tanto quanto possível traçados que incluam 
curvas com ângulos centrais tão pequenos [DNER, 1999]. 
 
II.2. Cálculo de T 
Extraindo da análise do arco um triângulo retângulo de faces R, T 
e a bissetriz do ângulo AC (ligando PI a O), tem-se: 
 





⋅=
2
AC
tgRT
, Equação 003 
onde 
T é a tangente exterior, ligando PC a PI e PI a PT, 
R é o raio do círculo, e 
AC é o ângulo central. 
 
Na sucessão de curvas com intervalos em tangentes curtas 
deverão ser seguidos parâmetros específicos previstos pelo 
Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes – DNIT. 
 
II.3. Cálculo de D 
O cálculo de D resume-se a encontrar o comprimento do arco para 
o ângulo AC, ou seja: 
 
ACRD ⋅= , Equação 004 
onde 
D é o desenvolvimento da curva, 
R é o raio do círculo, e 
AC é o ângulo central, considerado em radianos. 
 
II.4. Cálculo da estaca PC 
Para encontrar o valor da estaca PC basta comparar a medida de 
T com a da estaca de PI, lembrando que normalmente considera-se 
estacas de 20 em 20 metros e precisão da medida complementar da 
estaca com duas casas decimais. A fórmula de cálculo de PC é dada 
por [PONTES FILHO, 1998]: 
 
( ) ( ) TPIEPCE −=
, Equação 005 
onde 
E(PC) é a estaca do ponto PC, 
E(PI) é a estaca do ponto PI, e 
T é a tangente exterior. 
 
II.5. Cálculo da estaca PT 
Para encontrar o valor da estaca PT basta somar a estaca de PC 
com a distância de desenvolvimento, ou seja [PONTES FILHO, 1998]: 
 
( ) ( ) DPCEPTE +=
, Equação 006 
onde 
E(PT) é a estaca do ponto PT, 
E(PC) é a estaca do ponto PC, e 
D é a medida do desenvolvimento. 
 
II.6. Afastamento de curvas simples 
Muitas vezes é usual definir o raio a ser utilizado na curva através 
da análise do limite de deslocamento do eixo da via no momento da 
curva considerando o ponto de interseção desta (PI), já que o traçado 
inicial feito por tangentes pode ocultar a viabilidade de execução de 
curvas horizontais uma vez que o relevo pode não oferecer espaço 
suficiente para o deslocamento do eixo em tais concordâncias. Para 
isso, é comum calcular-se o afastamento permitido para a curva, ou 
seja, a distância máxima de deslocamento da curva, medida do Ponto 
de Interseção (PI) até o ponto médio da curva de desenvolvimento, 
dado pela fórmula: 
 
( ) RRTE −+= 22 , Equação 006 
onde 
E é o afastamento da curva, ou seja, a medida entre o PI e o ponto 
médio da curva de desenvolvimento, 
T é a tangente exterior da curva, e 
R é o raio da curva. 
 
IV. APLICAÇÃO 
Como exemplificação da metodologia de cálculo de curvas 
horizontais simples, foi desenvolvido o dimensionamento de 
concordância circular simples pelo Exemplo 1. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
Exemplo1: Calcule as concordâncias horizontais, indicando os 
comprimentos de tangente exterior, desenvolvimento e as estacas de PC e 
PT a seguir considerando o uso de curva circular simples e utilizando raio 
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no valor mínimo exigido para o trecho da via com classe III e relevo 
montanhoso, que é de 55 metros, considerando os dados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Exemplo de Cálculo 
PI 01: estaca E821+13,60 m 
PI 02: estaca E861+16,83 m 
I 1: 33º 
I 2: 27º 
emax: 6% 
 
Resolução: 
 
A velocidade diretriz para a classe de projeto e relevo descritos, conforme 
recomendação do DNIT, é V = 40 km/h. O raio de curvatura mínimo para a 
superelevação máxima de 6% é de 55 metros. 
 
Cálculo de T01 e T02: 
 
Pelas equações 001 e 003, para o ponto PI 01, teremos 
∴⋅=∴




⋅= 2962,055
2
º33
55 0101 TtgT
 
metrosT 29,1601 = . 
E, para PI 02, 
∴⋅=∴




⋅= 2401,055
2
º27
55 0202 TtgT
 
metrosT 20,1302 = 
 
Cálculo de D01 e D02: 
 
Pela equação 004, com AC em radianos, teremos 
∴⋅=∴⋅=
º180
3301
º180
º
ππ
radrad ACACAC
 
5757,001 =radAC , 
471,002
º180
2702 =∴⋅= radrad ACAC
π
, 
metrosDD 66,315757,055 0101 =∴⋅= , e 
metrosDD 91,25471,055 0202 =∴⋅= . 
 
Cálculo de PC01 e PT01: 
 
( ) ∴−+= 0101 60,16821 TmEPC 
( ) ∴−+= 29,1660,1682101 mEPC 
metrosEPC 31,082101 += , e 
( ) ∴++= 0101 31,0821 DmEPT 
( ) ∴++= 66,3131,082101 mEPT 
metrosEPT 97,1182201 += 
 
Cálculo de PC02 e PT02: 
 
( ) ∴−+= 0202 83,16861 TmEPC 
( ) ∴−+= 00,683,1686102 mEPC 
metrosEPC 83,1086102 += , e 
( ) ∴++= 0202 83,10861 DmEPT 
( ) ∴++= 91,2583,1086102 mEPT 
metrosEPT 74,1686202 += . 
* * * 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Exercício 1: Calcule as concordâncias horizontais para PI01 e PI02 do 
eixo do Exemplo 1, considerando que as deflexões I1 e I2 são 
respectivamente 72º e 47,5º. 
 
 
VII. REFERÊNCIAS 
DNER – Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual 
de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. 1999. 
LEE, Shu Han. Projeto Geométrico de Estradas. Apostila do Curso de 
Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos – UFSC. 
2000. 
PONTES FILHO, Glauco. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. 
São Carlos. 1998. 
SENÇO, Wlastermiler de. Estradas de Rodagem: Projeto. 
Universidade de São Paulo. 1980. 
CARVALHO1, M. Pacheco de. Curso de Estradas:Estudos, Projetos 
e Locação de Ferrovias e Rodovias. 2ª Edição. Rio De janeiro. Editora 
Científica. 1967. 
CARVALHO2, M. Pacheco de. Método Prático de Construção de 
Estradas de Rodagem. Rio De janeiro. Editora Rodovia. 1954.