MATEMÁTICA 2 - objetivo

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1MATEMÁTICA
1. Definição de matriz
 Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”) a uma tabela de m . n nú meros reais, dispostos em m linhas
e n colunas. 
 Representa-se por A ou Am×n.
 Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
 O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a11. Lê-se a índice um um
ou simplesmente a um um.
 O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um dois ou
simplesmente a um dois.
 O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um três ou
simplesmente a um três.
 De modo análogo, x é o elemento a21, y é o ele mento a22 e z é o elemento a23.
 Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode ser assim representada:
�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =oua11a21
a12
a22
a13
a23
A =ou�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =
A = � mx ny pz �
Matrizes – Determinantes – Sistemas Lineares
Módulos
1 – Matrizes
2 – Multiplicação de matrizes
3 – Propriedades
4 – Determinantes
5 – Determinante nulo
6 – Determinante se altera 
7 – Determinante não se altera
8 – Abaixamento da ordem
9 – Regra de Chió e Teorema de Binet 
10 – Inversão de matrizes, cálculo de um elemento da
inversa e propriedades 
11 – Inversão de matrizes, cálculo de um elemento da
inversa e propriedades 
12 – Sistemas lineares – Regra de Cramer
13 – Escalonamento
14 – Escalonamento 
15 – Substituição, eliminação e exercícios
complementares 
16 – Substituição, eliminação e exercícios
complementares 
1
Palavras-chave:
Matrizes • Tabelas • Linhas
• Colunas
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2 MATEMÁTICA
 De modo geral, representando por aij o elemento da
linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos
representar a matriz A de ordem m x n como se segue:
ou simplesmente A = (aij)mxn
 Observações
 • Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, es -
ta mos dando uma noção intuitiva de matriz. Formal men -
te, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o
número real aij.
 • Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos
com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha
da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n).
 • Coluna de uma matriz é uma ênupla de elemen -
tos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda
coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2).
 • Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -
tin tamente.
 • A matriz Amxn é chamada:
 Retangular ⇔ m � n 
 Quadrada ⇔ m = n
 Matriz Linha ⇔ m = 1 
 Matriz Coluna ⇔ n = 1
 Exemplo
 Matriz Retangular:
 A =
 
Matriz Quadrada:
 B = 
 Matriz Linha:
 C = [1 2 6 7] 1 linha
2. Matriz nula
 Matriz nula é aquela que tem todos os elementos
iguais a zero.
 É representada pelo símbolo Omxn. 
 Exemplo
 
O3×2 =
3. Matriz unidade 
ou matriz identidade
 A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e é representada por In, se e
somente se:
⇔
∀i, j ∈ { 1, 2, 3, ..., n}
 Matriz identidade de ordem 3:
 I3 = 
4. Matriz oposta
 A matriz oposta de A = (aij)mxn é a matriz 
 – A = (– aij)mxn.
5. Matriz transposta
 A matriz transposta da matriz A = (aij)mxn é a matriz
At = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m}, 
∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
• Obter a transposta é trocar, ordena damente, linhas
por colunas
•• A transposta da transposta de A é a própria
matriz A
6. Igualdade de matrizes
 Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais
se, e somente se, todos os elementos correspondentes
forem dois a dois iguais.
 Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então cada elemento aij
de A é igual ao correspondente elemento bij de B. 
 Sim bolicamente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
� 243
1
5
6 �
�10
0
0
1
0
0
0
1
�
 1 0 0 … 0
 0 1 0 … 0
In = � 0 0 1 … 0 � ......................……
 0 0 0 … 1
aij = 1 ⇔ i = j �aij = 0 ⇔ i � j
0
0
0
0
0
0
2 linhas
2 colunas�
1
4
3
6�
� �
3 linhas
2 colunas
a11
a21
�
am1
a12
a22
�
am2
a13
a23
�
am3
…
…
�
…
a1n
a2n
�
amn
A = B ⇔ aij = bij
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3MATEMÁTICA
7. Adição de matrizes
 Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo
a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a 
so ma dos elementos correspondentes de A e B. 
 
Sim boli camente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
8. Subtração de matrizes
 Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem,
define-se diferença entre A e B como sendo a soma de
A com a oposta de B. 
 Simbolicamente: 
9. Multiplicação de 
número real por matriz
 Dada a matriz A = (aij)mxn e o número real α, 
define-se o produto de α por A como sendo a matriz 
B= (bij)mxn tal que cada elemento bij de B é igual ao
produto do número α pelo correspondente elemento da
matriz A.
 
Simbolicamente:
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
 Exemplo:
 
B = α . A ⇔ b
ij
= α . a
ij
A – B = A + (– B) �312
9
0
21
– 9�=�
1
4
3
0
7
– 3�3 . 
C = A + B ⇔ cij = aij + bij
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – Em uma matriz, chamam-se
elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à
última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma
matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a 
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20. 
Resolução
Uma matriz com 5 linhas e 6 colunas possui 5x6 = 30 ele mentos,
conforme exemplo a seguir:
Para obtermos os elementos internos devemos excluir a primeira e
última linhas, e a primeira e última colunas, resultando uma nova matriz
com 3 linhas, 4 colunas e, portanto, 12 elementos.
Resposta: A
� (PUC) – Da equação matricial
+ = , resulta:
a) x = y = z = t = 1 b) x = 1, y = 2, z = t = 0
c) x = 1, y = 1, z = 3, t = 2 d) x = 2, y = 0, z = 2, t = 3
 
e) x = , y = 2, z = 0, t = – 2
 
Resolução
+ = ⇔ ⇔
 
Resposta: A
� (PUC) – Se A = , B = e C = então 
a matriz X, de ordem 2, tal que = + C é igual a:
a) b) c) 
d) e) 
Resolução
I) = + C ⇔ 3X – 3A = 2B + 2X + 6C ⇔
 ⇔ X = 3A + 2B + 6C
II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se:
 
X = 3 . + 2 . + 6 . =
 
= + + = 
Resposta: B 
M =�
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15
a25
a35
a45
a55
a16
a26
a36
a46
a56
�
3
–––
2
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t � �
x + 2 = 3
1 + y = 2
1 + 0 = z
2 – 1 = t
�
x = 1
y = 1
z = 1
t = 1
X – A––––––
2
B + X
––––––
3
X – A
––––––
2
B + X
––––––
3
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 69
3
–3 � �
–2
2
4
0 � �
24
12
–6
6 � �
28
23
1
3 �
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t �
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 2824
1
3� �
28
23
1
3� �
28
25
1
3�
� 2830
1
3� �
28
22
1
3�
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 3
4 MATEMÁTICA
Questões de � a �.
Sendo a matriz A = (aij)3x2 definida por aij = 2i + j, pede-se:
� Escrever a matriz A.
RESOLUÇÃO:
A = = = 
� Escrever a matriz oposta de A.
RESOLUÇÃO: 
– A = 
� Escrever a matriz transposta de A.
RESOLUÇÃO:
At =
Obs.: Note que obter a transposta é trocar, ordenadamente, linhas
por colunas.
� Dadas as matrizes A = e B = , ob te -
nha a matriz X = 3A + B. 
RESOLUÇÃO:
X = 3A + B ⇒ X = 3 . + ⇔
⇔ X = + ⇔ X = 
� 3–4
–1
1 �
� 9– 12
– 3
3 �
�56
1
9��
3
– 4
–1
1�
� 56
1
9 �
� 56
1
9 � �
14
– 6
–2
12 �
34
5
6
7
8� �
�
– 3
– 5
– 7
– 4
– 6
– 8
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
� � �
2.1 + 1
2.2 + 1
2.3 + 1
2.1 + 2
2.2 + 2
2.3 + 2
� �
3
5
7
4
6
8
�
Exercícios Propostos
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5MATEMÁTICA
� (UERJ – MODELO ENEM) – A temperatura corporal de
um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia,
durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corres -
ponde à temperatura observada no instante i do dia j.
Determine
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de
observação. 
RESOLUÇÃO:
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da
matriz e ocorreu no instante 2 do dia 4.
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e 
a33 = 36,1. A média, em graus Celsius, é:
 = = = 37,3
� (MODELO ENEM) – Uma loja guarda as camisas que
estão à venda em uma prateleira que permite separá-las em
tamanho (pequeno, médio e grande) e cor (verde, azul, branca
e preta), conforme a figura seguinte:
Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em
que (i; j) indi ca a po sição em que as camisas se encon tram na
prateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor e ta -
manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa
que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quan -
do A = , pode-se dizer que 
a) existem 7 camisas verdes médias.
b) existem 18 camisas médias.
c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.
d) estão em falta camisas azuis grandes.
e) há mais camisas grandes que pequenas.
RESOLUÇÃO:
Conforme a matriz, têm-se: 
1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias, 
7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 
2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas
grandes.
Resposta: C
� 35,636,1
35,5
36,4
37,0
35,7
38,6
37,2
36,1
38,0
40,5
37,0
36,0
40,4
39,2
�
111,9
––––––
3
38,6 + 37,2 + 36,1
––––––––––––––––––
3
a13 + a23 + a33
–––––––––––––––
3
�
2
1
9
7
6
2
4
5
0
3
8
4
�
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6 MATEMÁTICA
1. Definição
 O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz 
B = (bkj)pxn é a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento
cij de C é igual à soma dos produtos dos elementos da
i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da
j-ésima coluna de B.
 Simbolicamente
2. Existência da matriz produto
 a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o
número de colunas da matriz A for igual ao número
de linhas da matriz B;
 b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo
número de linhas da matriz A e o mesmo número de
colunas da matriz B;
 c) A existência de A. B não implica a existência de
B . A.
 Note que, sendo A = (aik)2x7 e B = (bkj)7x5, temos:
 a) A matriz produto A . B existe, pois o número de
colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B
(sete);
 b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois
a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5
colunas.
 c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o nú -
mero de colunas de B (cinco) é diferente do número de
linhas de A (dois).
C = A . B 
�
cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj
� Dadas as matrizes A =
2x3
e B =
3x3
, obter a matriz A.B.
Resolução
• O elemento c11 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:
• O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:
1 3 2( ) . 21
1
( ) = 1.2 + 3.1 + 2.1( ) = 7( )
�
2 1 3
1 0 2
1 1 0
��1 3 2
2 1 1
�
1 3 2( ) . 10
1
( ) = 1.1 + 3.0 + 2.1( ) = 7 3( )7
1 3 2( ) . 32
0
( ) = 1.3 + 3.2 + 2.0( ) = 7 3 9( )7 3
2
Palavras-chave:
Multiplicação de matrizes • Produto
• Linha por coluna
Exercícios Resolvidos
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7MATEMÁTICA
• O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:
• O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:
Assim sendo, A . B = . =
2 1 1
( ) . 10
1
( ) =
2.1 + 1.0 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9 6 36
2 1 1
( ) . 21
1
( ) =
2.2 + 1.1 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6
2 1 1
( ) . 32
0
( ) =
2.3 + 1.2 + 1.0
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6 3 86 3
�76 33 98��2 1 31 0 2
1 1 0
��12 31 21�
� (UFRJ – MODELO ENEM) – Uma fábrica de guarda-roupas utiliza
três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-rou -
pas de mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A
tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de
2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo
de armário no mesmo mês.
Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005 
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte
nesse mês foi de
a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188
Resolução
A matriz A = 
2× 3
representa a tabela 1, a matriz 
B = 
3×2
representa a tabela 2 e a matriz C = B. 
A representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C = . = 
Assim,
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.
Resposta: D
MODELO
MADEIRA BÁSICO LUXO REQUINTE
Mogno 3 5 4
Cerejeira 4 3 5
MADEIRA
TIPO
MOGNO CEREJEIRA
Dourada 10 12
Prateada 8 8
Bronzeada 4 6
�
�34
5
3
4
5�
�
10
8
4
12
8
6
�
78
56
36
86
64
38
100
72
46��
3
4
5
3
4
5��
10
8
4
12
8
6�
Fechaduras por modelo
Tipo Básico luxo Requinte
Dourada 78 86 100
Prateada 56 64 72
Bronzeada 36 38 46
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8 MATEMÁTICA
� Dadas as matrizes A = e B = , obter A.B.
RESOLUÇÃO:
A.B = . =
� Sendo A = , e B = ,
obter, se possível, A . B e B . A 
RESOLUÇÃO:
I) A . B = . = 
II) B.A não existe
� (UNESP) – Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e
P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O
lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00
e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade
de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no
mês de novembro.
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças
às empresas E1 e E2, respectiva mente, é
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
RESOLUÇÃO:
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, é o resultado do produto entre as matrizes 
e , onde corresponde aos lucros, em reais, 
com a venda de cada peça P1 e P2, respectivamente. 
Logo: = . =
Resposta: C� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
� � –1111 8–3 30–15 �
� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
�
� 23
1
4 �
1
1
5
2
3
7
12
23
� 23
1
4 � �
1
1
5
2 �
� � � �
E1
E2 �
P1
20
15
P2
8
12 �
� xy �
� 3520 � �
90
48 � �
76
69 � �
84
61 � �
28
27 �
� xy �
� 2015
8
12 � �
3
2 � �
3
2 �
� xy � �
20
15
8
12 � �
3
2 � �
76
69 �
Exercícios Propostos
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9MATEMÁTICA
� Um aluno registrou as notas bimestrais de
algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele
observou que as entradasnuméricas da
tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as
médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele
conseguiu é mostrada a seguir
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir
da tabela por
a)
 
b)
 
 
RESOLUÇÃO:
Ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela pela matriz da
alternativa E, pois
Resposta: E
.
1o. bimestre 2o. bimestre 3o. bimestre 4o. bimestre
Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5
Português 6,6 7,1 6,5 8,4
Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0
História 6,2 5,6 5,9 7,7
� 1––2
1
––
2
1
––
2
1
––
2 � �
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4 �
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
�� �
1––
4
1––
4
1––
4
1––
4
�e)d)c) � 1111 �
�=�
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4
�.�5,96,68,66,2 6,27,16,85,6 4,56,57,85,9 5,58,49,07,7� �
5,9 + 6,2 + 4,5 + 5,5
––––––––––––––––––
4
6,6 + 7,1 + 6,5 + 8,4
––––––––––––––––––
4
8,6 + 6,8 + 7,8 + 9,0
––––––––––––––––––
4
6,2 + 5,6 + 5,9 + 7,7
––––––––––––––––––
4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 9
10 MATEMÁTICA
1. Comutativa
 A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou
seja: as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente
iguais. Existem, portanto, matrizes A e B tais que 
AB � BA.
2. Anulamento do produto
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas
matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não
nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A � 0,
B � 0 e AB = 0.
3. Cancelamento
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se
pode “cancelar” A e concluir que B = C. 
 Existem, portanto, matrizes A, B e C tais que 
AB = AC e B � C.
4. Propriedades da transposta
 Se A e B forem matrizes conformes para a operação
indicada e k é um número real, então:
a) A = B ⇔ At = Bt 
b) (At)t = A
c) (A + B)t = At + Bt 
d) (kA)t = k . At
e) (AB)t = Bt . At
� Dadas as matrizes 
A = , B= e C= , determine:
a) AB b) BA c) AC d) CA
Resolução
a) A . B = . = =
b) B . A = . = =
c) A . C = . = =
d) C . A = . = =
Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se que o produto entre
matrizes não é comutativo, ou seja, diferentemente do que ocorre com
o produto de números reais, podemos ter A.B e B.A com A.B ≠ B.A.
Respostas: a) A.B = 
 
b) B.A = 
 c) A.C = d) C.A = 
� Considere as matrizes 
A = e B = determine A.B e B.A.
Resolução
A.B = . =
 = =
B.A = . =
= =
Observe que, diferentemente do que ocorre com o produto de
números reais, temos A.B=O sendo A ≠ O e B ≠ O, em que O é a
matriz nula.
 
� 12 01 � � 20 11 � � 20 02 �
� 12 01 � � 20 11 � �1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.1 + 0.12.1 + 1.1� � 24 13 �
� 20 11 � � 12 01 � �2.1 + 1.20.1 + 1.2 2.0 + 1.10.0 + 1.1� � 42 11
�1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.0 + 0.22.0 + 1.2� � 24 02 �
� 20 02 � � 12 01 � �2.1 + 0.20.1 + 2.2 2.0 + 0.10.0 + 2.1�
� 24 13 � � 42 11 �
� 24 02 � � 24 02 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
�1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1)� � 00 00 �
� 1–1 1–1 � � 11 11 �
�1.1 + 1.1(– 1).1 + (– 1).1
1.1 + 1.1
(– 1).1 + (– 1).1 � �
2
– 2
2
– 2 �
�
� 12 01 � � 20 02 �
� 24 02 �
3
Palavras-chave:
Propriedades • Comutativa • Anulamento de produto 
• Cancelamento 
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 10
11MATEMÁTICA
Enunciado para questões �, � e �.
Sendo A = , B = e C = , 
obter:
� A . B e B . A 
RESOLUÇÃO:
A . B = 
B . A = 
Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
A.B e B.A nem sempre são iguais.
� Sejam A = , B = e C = , 
obtenha a matriz X = C . (A + B).
RESOLUÇÃO:
I) A + B = 
II) X = C(A + B) = 
Sr. Professor, comente com o aluno que também poderíamos
calcular C.A, C.B e soma-las, pois com matrizes é válida a
propriedade distributiva C(A + B) = C.A + C.B
� Considere as matrizes A = e B = e 
determine A . B.
RESOLUÇÃO:
A . B = . = 
Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A � 0, B � 0 e 
A . B = 0.
� (UNICAMP) – Sejam a e b números reais tais que a matriz 
A = satisfaz a equação A2 = aA + bI, em que I é a 
matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a
a) −2. b) −1. c) 1. d) 2.
RESOLUÇÃO:
Sendo A = , temos:
A2 = A . A = . = 
aA + bI = a + b = 
Como A2 = aA + bI resulta:
⇒ e a . b = 2 . (–1) = – 2
Resposta: A 
�21
3
– 4��
1
3
– 2
5��
2
– 2
1
3�
�57
1
19�=�
1
3
– 2
5�.�
2
– 2
1
3�
�6– 4
– 5
18�=�
2
– 2
1
3�.�
1
3
– 2
5�
�– 21
– 6
3��
1
2
2
4�
�00
0
0��
– 2
1
– 6
3��
1
2
2
4�
� 21
3
4 � �
5
7
6
0 � �
3
2
1
5 �
� 21
3
4 � . �
5
7
6
0 � = �
7
8
9
4 �
� 32
1
5 � . �
7
8
9
4 � = �
29
54
31
38 �
� 10
2
1 �
�
1
0
2
1 �
�
1
0
2
1 � � 10
2
1 � �
1
0
4
1 �
� 10
2
1 � �
1
0
0
1 � � a + b0
2a
a + b �
� a + b = 12a = 4 � a = 2b = – 1
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 11
12 MATEMÁTICA
1. Conceito
 Submetendo os elementos de uma matriz quadra -
da (tabela de números) a operações (mediante uma
definição), obtém-se como resultado um número que é
chamado determinante dessa matriz.
a) Matriz é tabela de números reais.
b) Determinante é um número real.
c) Só se define deter minante se a matriz for qua drada.
 O determinante da matriz
 
é indicado por: 
 
 
2. Como calcular
 a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) ⇒ det A = a11
 b) Matriz de Ordem 2
 c) Matriz de Ordem 3
 Neste caso, podemos usar um dispositivo prático
(Regra de Sarrus), que consiste em:
 I) Repetir as duas pri mei ras colunas ao lado na ter -
ceira colu na:
 II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 e
a13 . a21 . a32
 III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 e
a12 . a21 . a33
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�M =
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
an3
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�det M ou det
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
ou
a11 a12 a11 a12
A = � �⇒ det A = = a11.a22 –a12.a21a21 a22 a21 a22
 � �
a a a a a
a a a a a
a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
21
11
31
22
12
32
aa
3333
a a a a a
a a a a a
a a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
33
21
11
31
22
12
32
 IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a
11
. a
22
. a
33 
+ a
12
. a
23
. a
31
+ a
13
. a
21
. a
32 
– a
13
. a
22
. a
31 
– a
11
. a
23
. a
32
– a
12
. a
21
. a
33
 4
Palavras-chave:
Determinantes • Matriz quadrada • Determinante é número 
• Matriz é tabela
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 12
13MATEMÁTICA
� Sendo A = , obter det A
RESOLUÇÃO:
det(A) = = 8 . 2 – 5 . 1 = 11
� Calcular =
RESOLUÇÃO:
= 4 – 8 + 3 – 6 – 2 + 8 = – 1
� (MODELO ENEM) – Em determinada cidade, o valor V, em
reais, pago por uma corrida de táxi é uma função da distância
x percorrida, em km. Sendo V(x) = det A, onde det A é o
determinante da matriz A = , calcule o valor pago,
em reais, por uma corrida de 9 km.
RESOLUÇÃO:
O valor pago, em reais, por uma corrida de 9 km é
V(9) =
Resposta: 32 reais
�85
1
2�
8
5
1
2
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
� 35 –1x �
� 35 – 19 �
� Calcular o determinante da matriz A = 
Resolução
= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 – 1 . 2 . 1 – 3 . 0 . 1 – 3 . 2 . 2 =
= 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2
Resposta: det A = – 2
� Calcular o determinante da matriz A =
 
Resolução
det A = = 2 . 7 –5 . 3 = –1
Resposta: det A = –1
� Sendo A = e B = , calcular det (Bt . A).
Resolução
I) Bt . A = . = 
II) det(Bt . A) = –2.5 – 0.17 = –10
2
3
5
7
�23 57�
1 2 1 1 2
2 2 0 2 2
1 3 3 1 3
=
�� � � � �
det A =
�
1
2
1
2
2
3
1
0
3
�
�
1
0
– 1
1
2
4
� �
1
2
3
1
0
1
�
� 11
2
0
3
1 � �
1
0
–1
1
2
4
� � – 20 175 �
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 13
14 MATEMÁTICA
� (UNESP-adaptado – MODELO ENEM) – Foi realizada
uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um
grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse
grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
médio p(x), em quilo gramas, era dado pelo determinante da
matriz A, em que
A =
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o
peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
RESOLUÇÃO
p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) –
– 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . =
= 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18
Resposta: A
5. (UNICAMP) – Considere a matriz M = , 
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é igual a a2 – b2.
c) a matriz M é igual à sua transposta.
d) o determinante de M é positivo.
RESOLUÇÃO:
Para a ∈ � e b ∈ �, tem-se:
det M = = 1 + a2 + b2 – 1 – ab – ab =
= a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 > 0, pois a � b
Resposta: D 
�
1 – 1 1
3 0 – x
 2
0 2 ––
3
�
2
–––
3
2
–––
3
�
1
b
1
a
1
b
1
a
1
�
� 1b
1
a
1
b
1
a
1
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 14
15MATEMÁTICA
1. Fila nula
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila nula.
 Exemplo
 
 
 De fato:
2. Filas paralelas iguais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
3. Filas paralelas proporcionais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas propor -
cio nais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
4. Fila combinação linear
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila que é combinação
linear das demais filas paralelas.
 Exemplo
 
 
 De fato:
 
= 0
2 0 7 2 0
3 0 3 3 0
5 0 1 5 0
– 0 – 0 – 0 + 0 + 0 + 0
= 0
1 5 2 1 5
3 4 4 3 4
1 5 2 1 5
– 8 – 20 – 30 + 8 + 20 + 30
= 0
5 2 3 5 2
15 6 9 15 6
1 5 2 1 5
– 18 – 225 – 60 + 60 + 18 + 225
= 0
1 1 2 1 1
3 1 0 3 1
5 3 4 5 3
– 10 – 0 – 12 + 4 + 0 + 18
2
3
5
0
0
0
7
3
1
= 0, pois a segunda coluna é nula.
1
3
1
5
4
5
2
4
2
= 0, pois a primeira linha é igual à
terceira (L1 = L3).
5
15
1
2
6
5
3
9
2
= 0, pois a segunda linha é 
 propor cional à primeira (L2 = 3.L1).
1
3
5
1
1
3
2
0
4
= 0, pois a terceira linha é com bina ção
linear das duas primeiras 
 (L3 = 2 . L1 + 1 . L2).
5
Palavras-chave:
Determinante nulo • Proporcionais
• Combinação linear 
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 15
16 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Nove candidatos a uma vaga de esta giário
foram dis tri buídos em uma sala de espera, como repre sen tado a
seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses can dida tos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
Resolução
A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que
indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do
respectivo nome é:
e o seu determinante é = 0, pois a
terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é igual à
soma da primeira linha com a segunda linha.
Resposta: C
� Resolver, em �, a equação:
= 0
Resolução
⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7
Resposta: V = {7}
Observação:
Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação
linear das outras duas.
De fato: 
3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)
3 2 2 3 2
4 1 x 4 1
1 –1 5 1 –1
= 0 ⇔
�� � � � �
3
4
1
2
1
–1
2
x
5
�
Alberto
Carlos
Daniele
Bruno
Denise
Fernanda
André
Alvaro
Barone
�
�
1
3
4
2
4
6
1
1
2 �
1
3
4
2
4
6
1
1
2
Nas questões de � a �, “calcular” os determinantes.
� = 0, pois a 3a. linha é nula
Observações: Se todos os ele mentos de uma fila de uma matriz
quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 3a. coluna são iguais
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas iguais, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 2a. coluna são proporcionais
(C1 = 2 . C2) 
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas proporcionais, então det (M) = 0 
2
6
0
7
9
0
9
1
0
a
b
c
2
5
1
a
b
c
2
6
10
1
3
5
5
1
2
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 16
17MATEMÁTICA
� = 0, pois a 3a. linha é uma com -
binação linear (L3 = L1 + L2)
Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é com -
binação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.
� O valor de x que satisfaz a equação = 0 é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
= 0 ⇔ 11x – 33 = 0 ⇔ x = 3
Observe que para x = 3, C3 = C1 + C2. 
Resposta: C 
 
 
� (MODELO ENEM) – A operação � entre números reais é
definida como x�y = x + y. Sendo assim, o determinante da
matriz quadrada de ordem três
é igual a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
RESOLUÇÃO:
I) = =
 = 
II) = 0, pois L3 = 2L1
Resposta: A
1 � 2
7 � 3
2 � 4
0 � 3
1 � 5
1 � 5
– 1 � 5
3 � 6
3 � 5� �
� 1 � 27 � 3
2 � 4
0 � 3
1 � 5
1 � 5
– 1 � 5
3 � 6
3 � 5
� � 1 + 27 + 3
2 + 4
0 + 3
1 + 5
1 + 5
– 1 + 5
3 + 6
3 + 5
�
�
3
10
6
3
6
6
4
9
8
�
3
10
6
3
6
6
4
9
8
1
– 2
– 2
4
3
5
5
1
x
1
– 2
– 2
4
3
5
5
1
x
1
a
1 + a
5
b
5 + b
7
c
7 + c
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 17
18 MATEMÁTICA
1. Trocando filas paralelas
 O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
 Exemplo
 Trocando entre si as duas últimas co lu nas, por exemplo, obtêm-se
2. Multiplicando uma fila por α
 O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por α, quando os elementos de uma fila são mul -
tiplicados por α.
 Exemplo
 Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:
 
e
 De fato:
 
3. Multiplicando a matriz por α
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por αn, quando a matriz é multiplicada
por α.
 Exemplo
 
 Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se
 
1
1
1
2
1
3
3
2 
0
= 4
3
1
1
6
1
3
9
2
0
= 3 .
1
1
1
2
1
3 
3
2
0
= 12
3 6 9 3 6
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3 
– 9 – 18 – 0 + 0 + 12 + 27 = 12
1 2 3 1 2
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3
– 3 – 6 – 0 + 0 + 4 + 9 = 4
2 3 1 2 3
5 0 2 5 0 = 7 e
1 1 0 11
– 0 – 4 – 0 + 0 + 6 + 5
2 1 3 2 1
5 2 0 5 2 = – 7
1 0 1 1 0
– 6 – 0 – 5 + 4 + 0 + 0
⇒ det (2M) = 23 . det M = 8 . (– 4) = – 32�
2
4
2
2
6
8
– 2
0
2
�2M =
= – 4
1
2
1
1
3
4
– 1
0
1
⇒ det M =�12
1
1
3
4
– 1
0
1�M =
6
Palavras-chave:
Determinante se altera • Troca de filas
• Multiplicação de filas
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 18
19MATEMÁTICA
� Calcular o valor de , sabendo-se que = – 17.
Resolução
Para calcularmos o valor de , é importante que ob servemos 
que os elementos da segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto,
podemos colocar o 3 em evidência. 
Dessa forma, resulta = 3 .
Agora, devemos observar que trocando as duas primeiras colu nas,
desse novo deter minante, de posição entre si, obteremos o deter -
minante cujo resultado é igual a – 17. Não podemos es quecer que ao
trocar duas linhas ou duas colu nas de posição entre si, o sinal do
determinan te é alterado. 
Assim, temos:
= 3 . = – 3 . = (– 3) . (– 17) = 51
Resposta: 51
� Calcular o determinante da matriz , 
sabendo-se que = k
Resolução
= 2 . 3 . = – 6 . =
 
= + 6 . = – 6 . = – 6k
Resposta: = – 6k
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
a
m
x
b
n
y
c
p
z
m
a
x
n
b
y
p
c
z
n
y
b
m
x
a
p
z
c
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
a
m
x
b
n
y
c
p
z
�2ny
b
6m
3x
3a
2p
z
c
�
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
m
x
a
n
y
b
p
z
c
Considere as matrizes A = , B = , C = , D = e resolva as questões de 1 a 3.
� Calcular det(A) e det(B).
RESOLUÇÃO:
det(A) = 3.2 – 5.1 = 1 
det(B) = 5.1 – 3.2 = –1
Observação: Comparando os determinantes da matriz A e da matriz B, verifica mos que o determinante de uma matriz qua dra da muda de
sinal quando trocamos duas filas paralelas de posição entre si. 
�915
3
6��
9
5
3
2��
1
2
3
5��
3
5
1
2�
 De fato:
2 2 –2 2 2
4 6 0 4 6 = 
2 8 2 2 8 
det (2M) =
= + 24 – 0 – 16 + 24 + 0 – 64 = – 32 
1 1 –1 1 1
2 3 0 2 3 
1 4 1 1 4
= + 3 – 0 – 2 + 3 + 0 – 8 = – 4
det M = =
Exercícios Propostos
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 19
20 MATEMÁTICA
� Obter det(C).
RESOLUÇÃO:
det(C) = 9.2 – 5.3 = 3
Observação: Os elementos da primeira linha da matriz C são
iguais aos correspondentes elementos da primeira linha de A,
mul tiplicados por 3. Por este motivo, det(C) = 3 . det A.
� Calcular o determinante da matriz D.
RESOLUÇÃO:
det(D) = 9.6 – 15.3 = 9
Observação: A matriz D = 3A, enquanto det D = 32 . det A, pois 
A e D são matrizes de ordem 2. 
� Se = – 12, então vale:
a) – 4 b) – c) d) 4 e) 12
RESOLUÇÃO:
= 3 . = 3 . (– 1) . = –12
Então, = 4
Resposta: D
� Considere as matrizes:
A = � �, B = � � e
C = � �
Se o determinante da matriz A é α � 0, então det B + det C é
igual a:
a) α b) 5α c) 15α d) 130α e) 625α
RESOLUÇÃO:
I) det B = 5 . det A = 5α
II) det C = 53 . det A = 125α
III)det B + det C = 5α + 125α = 130α
Resposta: D
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
4
–––
3
4
–––
3
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
a
d
g
b
e
h
c
f
i
5a
d
g
5b
e
h
5c
f
i
5a
5d
5g
5b
5e
5h
5c
5f
5i
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 20
21MATEMÁTICA
1. Trocando linhas por colunas
 O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas
colunas.
 
Simbolicamente
 Exemplo
 
 De fato:
 
2. Somando uma combinação linear
 Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear de filas paralelas, obteremos uma
nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi).
 Exemplos:
 
1)
 
 
e
 
2)
 
 De fato:
 
= 35
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
⇒ det M = det Mt =
– 2 1 5 – 2 1
1 1 3 1 1 = 35
3 4 1 3 4
– 15 + 24 – 1 – 2 + 9 + 20 
det M = 
– 15 + 24 – 1 – 2 + 20 + 9
– 2 1 3 – 2 1
1 1 4 1 1 = 35 
5 3 1 5 3
det Mt =
M = �
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
�
det A = det At
1
2
– 3
– 2
1
4
– 3
12
4
1 + 2 . 1 + 3 .(– 2)
5 + 2 . 2 + 3 . 1
– 2 + 2.(– 3) + 3 . 4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
1
5
– 2
2
7
1
6
=
43 + (–7) . 6
6
51 + (–7) . 7
7
=
51
7
43
6
– 9 – 48 + 16 + 4 + 72 – 24
1 –2 –3 1 – 2
2 1 12 2 1 = 11 
–3 4 4 –3 4
+ 3 – 20 – 8 – 2 + 30 + 8
1 – 2 1 1 – 2
2 1 5 2 1 = 11 
– 3 4 – 2 – 3 4
De fato:
51
7
43
6
= 306 – 301 = 5
2
7
1
6
= 12 – 7 = 5
7
Palavras-chave:
Determinante não se altera • Transposta 
• Teorema de Jacobi
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 21
22 MATEMÁTICA
�
 Considere a matriz A = . Calcule det(A) e
det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que se
obtém trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.
Resolução
det(A) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
det(At) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
� Sejam A = e
B = = 
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos ele men tos da 3a.
coluna uma combinação linear das outras colunas. Cal cular det(A),
det(B) e observe que, apesar de A � B, temos det(A) = det(B).
Resolução
det(A) = = 1 + 4 + 0 – 4 – 0 – 0 = 1
det(B) = = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1
� O valor do determinante é:
 
a) 0 b) 2 c) – 2 d) 1 e) 572
Resolução
I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.
II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.
 
Resposta: B
1
– 2
1
0
2
– 6
1
0
1
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2 + 2 . 1 + 3 . 2
1 + 2 . 0 + 3 . 1 
1 + 2 . 2 + 3 . 0
� �
1
0
2
2
1
0
10
4
5
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
1
0
2
2
1
0
10
4
5
1
17
– 5
3
52
– 16
– 2
– 33
11
1
17
– 5
3
52
–16
– 2
– 33
11
=
1
0
0
3
1
–1
–2
1
1
= 2
� Calcular os determinantes de A = e de At
(transposta de A).
RESOLUÇÃO:
det A = = – 7 – (– 6) = – 1
 
det(At) = = – 7 – (– 6) = – 1
Observação: Comparando os determinantes de A e de At, verifi -
camos que o determinante de uma matriz A não se altera quando
trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente,
det A = det At.
� Calcule e compare os determinantes das matrizes
A = e B =
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize este exercício para apresentar o Teorema de
Jacobi. Mostre que, multiplicando a primeira coluna por a e
somando-a com a segunda, o determinante não se altera.
I) det A = = 4.7 – 6.2 = 16
II) det B = =
 = 4(7 + 6a) – 6(2 + 4a) = 28 + 24a – 12 – 24a = 16
Observe que det A = det B.
 
 
�73
– 2
– 1�
�73 – 2– 1�
�7– 2 3– 1�
� 46
2
7 �
� 46 27 �
� 46 �
2 + 4a
7 + 6a
� �46 2 + 4a7 + 6a
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 22
23MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de
uma sala de aulaem dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos con -
siderar que essa propriedade pode ser expressa matemati ca -
mente pela sentença:
a) det(A) = – det(A) b) det(A) = 
c) det(A) =
 
d) det(At) = det(A) 
e) det(At) = – det(A)
RESOLUÇÃO:
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordena -
damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz
chamada de transposta de A e representada por At. O que o
professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes
transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente,
det(A) = det(At).
Resposta: D
� O valor do determinante é:
a) – 563 b) – 363 c) – 1 d) 1 e) 363
RESOLUÇÃO:
Resposta: B
� Prove que para quaisquer valores de a e b o determinante
a seguir é sempre nulo
RESOLUÇÃO:
pois a última coluna é a soma das outras duas colunas.
Resposta: demonstração
1
––––––
det(A)
1
–––––––
det(At)
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
= =
x(–2) x(–3)
x(–1)
+
+
+
1
5
4
2
7
6
=
120
0
1
1
3
1
2
3
0
= 3 – 6 – 360 = – 363
1
1
1
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
x(–a)
x(–2b)
+
+
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
1
1
1
= = 0,
1
1
1
3
– 4
5
4
–3
6
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 23
24 MATEMÁTICA
1. Menor complementar
 O menor complementar Dij, do elemento aij da
matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de
M, eliminando-se dela a linha “i” e a coluna “j”.
2. Cofator ou 
complemento algébrico
 O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é 
Aij = (–1)
i+j. Dij, em que Dij é o menor complementar de aij.
3. Teorema de Laplace
 Simbolicamente:
 
Se M = , então
ou
 O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan -
 te de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n
determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a
ordem.
det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + … + aij . Aij + … + ain . Ain
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + …+ aij . Aij + …+ anj . Anj
�
a11
.
ai1
.
an1
a12
.
ai2
.
an2
…
…
…
a1j
.
aij
.
anj
…
…
…
a1n
.
ain
.
ann
�
O determinante de qualquer matriz qua drada M
de ordem n é igual à soma dos produtos dos
elementos de uma fila pelos seus respec tivos
cofatores.
� Calcular o menor complementar e o cofa tor do elemento 
a23 da matriz M =
Resolução
Na matriz M = , temos a23 = 3 e, portanto,
D23 = = 2 – 5 = – 3
A23 = (– 1)
2 + 3 . D23 = (– 1)
5 . = (– 1) . (– 3) = 3
Resposta: D23 = – 3; A23 = 3
� Calcular os cofatores dos elementos a13 e a33 da matriz 
M =
Resolução
Na matriz M = , temos a13 = 2 e a33 = – 1
Logo:
A13 = (–1)
1 + 3 . = 1 . (8 – 8) = 0
A33 = (–1)
3 + 3 . = 1 . (8 – 20) = – 12
Resposta: A13 = 0; A33 = – 12
� Calcular o determinante da matriz M =
aplicado o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna.
Resolução
De acordo com os exercícios 1 e 2, temos 
A13 = 0; A23 = 3; 
A33 = –12. 
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:
det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
= 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21
Resposta: det M = 21
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
5
8
4
1
8
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
1
5
2
1
1
5
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
�
8
Palavras-chave:
Abaixamento da ordem • Cofator 
• Teorema de Laplace
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 24
25MATEMÁTICA
� Dada a matriz M = , pedem-se:
a) os cofatores dos elementos da 1a. linha de M.
b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na primei -
ra linha de M.
RESOLUÇÃO:
a) A11 = (–1)
2 . = 3
 A12 = (–1)
3 . = 3
 A13 = (–1)
4 . = – 6
 
b) det M = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13
 det M = 1 . 3 + 2 . 3 + 1 . (– 6) = 3 
Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra
de Sarrus, confirmando o resultado.
� Dada a matriz
M = , pedem-se:
a) O cofator do elemento a14.
b) O valor de det(M).
RESOLUÇÃO:
a) A14 = (–1)
5 . = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6
b) det M = a14A14 + a24A24 + a34A34 + a44A44
 det M = (– 3).(– 6) + 0 . A24 + 0 . A34 + 0 . A44
 det M = 18
–1
2
1
2
–3
2
1
1
5
�
3
– 1
2
1
4
2
– 3
2
2
1
1
5
– 3
0
0
0
�
1
3
3
2
1
–1
1
2
1
= 1 + 12 – 3 – 3 + 2 – 6 = 3
3
3
1
– 1
3
3
2
1
1
–1
2
1
� 133
2
1
– 1
1
2
1 �
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 25
26 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a:
a) – 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28
RESOLUÇÃO:
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
det(A) = = 2 . =
= 2 . (– 3) . = (– 6) . (– 4) = 24
Resposta: C
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 26
27MATEMÁTICA
1. Regra de Chió
 A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do seu
determinante.
 Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um elemento igual a 1.
 Consiste em
 a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o elemento aij = 1.
 b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair o produto dos elementos correspondentes na linha e na coluna
eliminadas.
 c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e multiplicar o resultado por (–1)i + j.
 Observação
 Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1 que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11 ou a1n
ou an1 ou ann.
2. Teorema de Binet
 Para calcular o determinante do produto de duas ma trizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,
portanto:
 a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz;
 b) calcular, separadamente, os determinantes de A e de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos
(Teorema de Binet).
1 a b c
x m n p
y q r s
z t u v
1
x
y
z
a
m – a . x
.
.
b
n – b . x
.
.
c
p – c . x
.
.
Se A e B são matrizes quadradas de mes ma ordem, então det (A.B) = det A . det B
m – a . x
q – a . yt – a . z
n – b . x
r – b . y
u – b . z
p – c . x
s – c . y
v – c . z
. (–1)i + j
1 a b c
x m – a . x n – b . x p – c . x
y q – a . y r – b . y s – c . y
z t – a . z u – b . z v – c . z
9
Palavras-chave:Regra de Chió e 
Teorema de Binet
• Abaixar ordem
• Determinante do produto 
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 27
28 MATEMÁTICA
� Calcular, pela Regra de Chió, o determinante da matriz
M =
Resolução
O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo
pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11 = 3 em a11 = 1
fazendo, pelo Teorema de Jacobi, 
(1a. coluna) – (3a. coluna). 
Assim sendo:
det M = = =
 
= =
= . (– 1)1 + 1 = 1 . (– 33) = – 33
Resposta: det M = – 33
Observação 
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a 
1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 
3a. coluna.
� Calcular o determinante de A . B, sendo
A = e B = 
Resolução
Primeiro Processo
A . B = . =
det (AB) = = 162 – 19 = 143
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det (AB) = 143 
� (MODELO ENEM) – Dezesseis candidatos a uma vaga de es ta -
giário foram distribuídos em uma sala de espera, como represen tado a
seguir:
� �
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obte remos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192
Resolução
O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos no mes
pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupa da pela
primeira letra do respectivo nome é:
= (– 1)1+1 . = – 192
Resposta: A
5
1
2
3
2
3
–1
4
9
19
1
18
�919
1
18��
5
1
2
3��
2
3
–1
4�
�51
2
3��
2
3
–1
4�
3
– 6
– 1
2
– 7
– 1
– 1
2
4
1
0
2
1
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
3
2
– 1
2
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
�
3
2
–1
2
4
3
2
3
2
2
–3
1
0
–1
2
4
1
0
2
1
4
3 – 4 . 0
2 – 4 . 2
3 – 4 . 1
2
2 – 2 . 0
– 3 – 2 . 2
1 – 2 . 1
0
– 1 – 0 . 0
2 – 0 . 2
4 – 0 . 1
�
Alberto
Carlos
Daniele
Álvaro
Bruno
Denise
Daniel
Benedito
André
Márcia
Barone
Estela
Geraldo
Deise
Carla
Antônio
1
3
4
1
2
4
4
2
1
13
2
5
7
4
3
1
– 2
– 4
0
10
– 2
4
– 17
 – 25
– 6
 
� O determinante da matriz M = é 
igual a:
a) – 2 b) 5 c) 55 d) 30 e) 40
RESOLUÇÃO:
det M = = (–1)1+1 . =
= = – 2
Resposta: A
�
1
7
10
5
36
52
– 2
– 12
– 18�
36 – 35
52 – 50
–12 + 14
–18 + 20
1
7
10
5
36
52
–2
–12
–18
1
2
2
2
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 28
29MATEMÁTICA
� Calcular o determinante da matriz
M = utilizando a Regra de Chió.
RESOLUÇÃO:
det M = = (–1)
2+1 . =
= – = – (–1)1+1 . = – 1
� (FUVEST)
=
a) 2 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 1131
RESOLUÇÃO:
= = = �1� = 1
Resposta: D
� Sejam as matrizes A = e B = 
Calcule:
a) det A b) det B c) A . B 
d) det (A . B) e) A + B f) det (A + B)
RESOLUÇÃO:
a) det A = 5 – (– 3) = 8
b) det B = 4 – (– 1) = 5
c) A . B = . =
d) det (A . B) = 55 – 15 = 40 = det A . det B 
 Observação: Se A e B são matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(AB) = det A . det B (Teorema de Binet)
e) A + B = + =
f) det (A + B) = 21 – 0 = 21 � det A + det B 
� 1–1
3
5 � �
2
1
–1
2 �
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 5
3
5
11
�
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 3
0
2
7
�
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
�
5 – 4
4 – 2
8 – 6
6 – 4
4 – 2
7 – 6
9 – 8
3 – 4
9 – 12
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
– 2
– 3
– 3
– 5
1
2
2
2
2
1
1
– 1
– 3
�
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
2
2
1
2
3
1
1
1
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 29
30 MATEMÁTICA
1. Definição
 As matrizes A e B (quadradas e de ordem n) são
inversas se, e somente se, A . B = B . A = In, em que In
é a matriz identidade de ordem n.
 Indicaremos a inversa de M por M–1.
2. Existência
 Existe a inversa de M se, e somente se, det M � 0.
Neste caso, diz-se que M é inversível ou M é não sin gular.
 Se det M = 0, então M é não inversível ou M é sin -
gular.
3. Como obter a matriz inversa 
 Exemplo: 
 Obter a inversa da matriz M = . 
 1o. Modo: Usando a definição
 Resolução: 
 Se M–1 = , por definição de inversa, decorre
que:
 
 Este modo não é prá tico, pois se recai em n siste -
mas de n equações e n incógnitas.
 2 .o Modo: Regra Prática
 a) Calcular o determinante de M:
 det M = = 12 – 11 = 1
 b) Obter a matriz M’ chamada matriz dos cofato -
res, substituindo cada elemento de M pelo respectivo
co fator. 
 
 c) Obter a matriz M
––
, chamada matriz adjunta de M,
sendo M
––
= (M’)t
 
 d) Obter M–1, que é a inversa de M, multiplicando
M
––
por ––––––1 .
 det M
 
 
 
 
 
4. Como obter um elemento de M–1
 Se M é uma matriz inversível e bij um dos elemen -
tos de M–1, então:
 
sendo aji um elemento de M.
5. Propriedades
 Se A e B são duas matrizes quadradas, inversíveis e
de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:
(A–1)–1 = A
A = B ⇔ A–1 = B–1
(At) –1 = (A–1)t
(A . B)–1 = B –1 . A–1
1
det(A–1) = ––––––– 
det A 
 cofator de aji
bi j = –––––––––––––––
 det M
�
3
– 11
– 1
4 �= �
M –1 =
1 
–––––– . 
—
M ⇒
det M 
1
⇒ M –1 = –– .
1 �
3
– 11
– 1
4 �
—
M = � 3– 1
– 11
4 �
t
= � 3– 11
– 1
4 �
M’ = � A11A21
A12
A22
� = � 3– 1
– 11
4 �
�
4
11
1
3
3
– 11
– 1
4�⇔⇔
⇔
�10
0
1�
x
z
y
w�
�xz
y
w�
�411
1
3�
M–1 =
x = 3
y = – 1
z = – 11
w = 4
�
4x + z = 1
11x + 3z = 0
4y + w = 0
11y + 3w = 1
�⇔
⇔�10
0
1�=�
4y + w
11y + 3w
4x + z
11x + 3z�
⇔=.�411
1
3�
10 e 11
Palavras-chave:Inversão de matrizes, cálculo de um
elemento da inversa e propriedades
• Existência 
• Inverso multiplicativo
• Identidade
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 30
31MATEMÁTICA
� Obter o elemento da segunda linha e terceira coluna da in versa da
matriz:
M = 
Resolução
a) det M = = – 21
b) A32 = (– 1)
3 + 2 . = – (1 – 15) = 14
c) b23 = = = =
Resposta:
� Determinar a sabendo-se que é a matriz inversa de
.
Resolução
Se as matrizes são inversas uma da outra, então:
. = ⇔
⇔ = ⇔ ⇔ a = – 1
 
Resposta: a = – 1
� (FGV) – Dada a matriz B = e sabendo que a matriz
A–1 = é a matriz inversa da matriz A, podemos
concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX = B, tem
como soma de seus elementos o número
a) 14 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16 
Resolução
1) A . X = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔ X = A–1 . B ⇒
 
⇒ X = . = 
2) A soma dos elementos da matriz
 
X = é 10 + 3 = 13
Resposta: B
2a + 2 = 0� 5a + 6 = 11 0� �0 11 2a + 2� �0 5a + 6
1 0� �0 1
3 a� �– 5 22 1� �5 3
3 a� �– 5 2
2 1� �5 3
2
– –––
3
2
– –––
3
14
––––––
– 21
A32
––––––––
det M
cofator de a32
––––––––––––––––
det M
1 3
 5 1
1 2 3
5 –1 1
0 4 7
1 2 3
�5 – 1 1�
0 4 7
3
– 4 �
� 25
–1
3 �
� 25 –13 � � 3– 4 � � 103 �
� 103 �
�
� Determine a inversa da matriz A =
RESOLUÇÃO:
Sendo A–1 = ,temos: 
A . A–1 = . =
Assim
e ⇒ e
A matriz inversa é, portanto, A–1 = 
Poder-se-ia calcular a inversa da matriz quadrada de ordem 2, da
seguinte forma:
Seja A = , então A–1 = = , logo
A–1 = , tal método é uma consequência direta da regra 
prática que será desenvolvida nos exercícios subsequentes.
�25
1
3�
�xz
y
w�
�10
0
1��
x
z
y
w��
2
5
1
3�
2x + z = 1
5x + 3z = 0� �
2y + w = 0
5y + 3w = 1 �
x = 3
z = – 5 �
y = – 1
w = 2
� 3– 5
– 1
2 �
� ac
b
d � –––––––––––det A
� d
–c
–b
a
�
–––––––––––
3.2 – 5.1
� 3
– 5
–1
2
�
� 3– 5
–1
2 �
Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11
Exercícios Propostos – Módulo 10
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 31
32 MATEMÁTICA
� Dada a matriz M = , calcular
a) o determinante de M;
RESOLUÇÃO:
 
det M = = 10 – 2 – 6 = 2 
b) a matriz dos cofatores de M;
RESOLUÇÃO:
⇔ M’ = 
c) a matriz adjunta de M;
RESOLUÇÃO:
M
—
= (M’)t =
d) a matriz inversa de M.
 
RESOLUÇÃO:
M–1 = . M
—
= 
� Determine o valor x ∈ � para que a matriz 
M = não admita inversa.
RESOLUÇÃO:
Se M é matriz quadrada e não existe M–1, temos:
= 0 ⇔ – 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1
�13
–1
1
––
2
4
–1
1
– ––
2
– 3
1
1
––––––
det M
�
2
6
–2
1
8
– 2
–1
–6
2
�
�
�
2
1
– 1
6
8
–6
–2
–2
2
�
+
 
– +
–
 
+ –
 
+
 
– +
1
1
3
5
0
2
3
5
0
2
1
1
0
1
1
5
2
2
1
5
2
2
0
1
0
1
1
3
2
0
1
3
2
0
0
1
� �M’ = ⇔ � x0–1 234 432 �
x
0
–1
2
3
4
4
3
2
�20
2
0
1
1
1
3
5
�
2
0
2
0
1
1
1
3
5
� Dada a matriz M = , calcular o ele men -
to b13 da matriz inversa de M.
RESOLUÇÃO:
I)
 
= 6 + 5 – 4 = 7
II) b13 = = = 
Resposta: 
�251
3
0
1
1
2
0�
2
5
1
3
0
1
1
2
0
6
–––
7
3 1
+ � �
0 2
––––––––––
7
A31
––––––
det M
6
–––
7
Exercícios Propostos – Módulo 11
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 32
33MATEMÁTICA
� O determinante da inversa da matriz
A = é:
a) 1 b) 
 
c) 
 
d) 3 e) 4
 
RESOLUÇÃO:
I) det A = = 4
II) det A–1 = =
Resposta: C
Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolva as
equações � e �.
� AX = B 
RESOLUÇÃO:
AX = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔ I . X = A– 1 . B ⇔ X = A–1 . B
� XA = B 
RESOLUÇÃO:
XA = B ⇔ X . A . A–1 = B . A–1 ⇔ X . I = B . A–1 ⇔ X = B . A–1
� (MODELO ENEM) – A teoria de matrizes e determinantes
encontra grande aplicação na resolução de sistemas lineares. E
ao que tudo indica, segundo documentos históricos, sua
criação remonta a um artigo de 1855, assinado pelo inglês
Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo, Cayley utiliza as
matrizes para facilitar o estudo das transformações dadas por
equações lineares. Para ele, a resolução de sistemas lineares
estaria facilitada com o uso da teoria de matrizes. A ideia era
transformar um sistema linear em uma equação matricial
equivalente cuja resolução forneceria a solução do sistema.
Em notação atual, teríamos, por exemplo, 
⇔ . = 
Representando por A, X e B, respectivamente, as matrizes
, e , resulta a equação matricial A.X = B
cuja solução é X = A–1.B, em que A–1 é a matriz inversa de A.
Considere a matriz A = e a sua inversa A–1 = 
Com base no texto, e seguindo as orientações de Cayley,
pode mos concluir que o par (x, y), solução do sistema 
, é tal que x + y é igual a:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
RESOLUÇÃO:
⇔ . = ⇔ 
⇔ = . ⇔ = ⇔ 
⇔ ⇒ x + y = – 2 + 8 = 6 
Resposta: A
1
––––––
det A
1
–––
4
1
2
1
0
3
5
3
4
1
1
––
2
� 121
0
3
5
3
4
1 �
�x = – 2y = 8
� xy � �
3
– 5
– 1
2 � �
4
14 � �
x
y � �
– 2
8 �
�2x + y = 45x + 3y = 14 �
2
5
1
3 � �
x
y � �
4
14 �
�2x + y = 45x + 3y = 14
� 25
1
3 � �
3
–5
–1
2 �
� 25
1
3 � �
x
y � �
4
14 �
�2x + y = 45x + 3y = 14 �
2
5
1
3 � �
x
y � �
4
14 �
1
––
4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 33
34 MATEMÁTICA
1. Sistemas lineares
 
 Sistemas de equações, como e
, constituídos apenas por equações do
1o. grau nas incógnitas x, y ou z são chamados sistemas
lineares.
 Observe que não são lineares os sistemas
e , pois, em cada um, nem todas
as equações são do 1o. grau.
 Podemos dizer então que sistema linear (S) é todo
conjunto de m (m � 2) equações em n incógnitas 
x1, x2, …, xn, que se denota da seguinte forma:
, em que os
reais aij são os coeficientes de xj e b1, b2, …, bm são
constantes. Se b1 = b2 = … = bm = 0, o sistema linear é
dito homogêneo.
2. Solução de um sistema
 As soluções dos sistemas com duas incógnitas são
pares ordenados da forma (α
1
, α
2
), com três incógnitas
são ternos ordenados da forma (α
1
, α
2
, α
3
), com quatro
incógnitas são quadras ordenadas da forma (α
1
, α
2
, α
3
,
α
4
), e assim por dian te. A ênupla (α
1
, α
2
, …, α
n
) é uma
solução do sistema linear (S) se ela é solução de cada
uma das n equações de (S).
3. Classificação de um sistema
quanto ao número de soluções
 a) Um sistema linear é POSSÍVEL (ou compatível)
se admite pelo menos uma solução.
 b) Um sistema linear é IMPOSSÍVEL (ou incom -
patível) se não admite solução alguma.
 c) Um sistema linear é possível e DETERMINADO
se admite uma única solução.
 d) Um sistema linear é possível e INDETER MI -
NADO se admite infinitas soluções.
 Portanto, quanto ao número de soluções, podemos
classificar os sistemas lineares da seguinte forma:
4. Exemplos
 
 a) O sistema é possível e determinado.
 
 A única solução é o par ordenado (2; 1).
 
b) O sistema é possível e indeter -
minado, pois apresenta in finitas soluções. São todos os
pa res ordenados do tipo (k; 4 – k). Algumas dessas
soluções são: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0), … etc.
 
c) O sistema é impossível, pois não exis- 
te par ordenado (x; y) que torne as duas sentenças ver -
dadeiras “simultaneamente”. Em outras palavras: não
existem 2 números reais x e y cuja soma é 4 e 5 “simul -
taneamente”.
5. Matrizes de um sistema
 a) Matriz incompleta
 A matriz incompleta, representada por M.I., associa -
da a um sistema, é a matriz cujos elementos são, or de -
nadamente, os coeficientes das incógnitas.
 Se M.I. é quadrada, diz-se que o seu determinante é
o determinante do sistema (D).
 b) Matriz completa
 A matriz completa, representada por M.C., asso cia -
da a um sistema, é a matriz que, além dos elementos de
M.I., possui mais uma coluna constituída pelos se gun -
dos membros de cada equação do sistema. No sistema
linear a seguir, as matrizes incompleta e completa são:
a11 . x1 + a12 . x2 + ... + a1n . xn = b1
a21 . x1 + a22 . x2 + ... + a2n . xn = b2
...
am1 . x1 + am2 . x2 + ... + amn . xn = bm
�x
2 + y = 1 
x – 3y = 0 �
x + 2y = 1
x . y = 8
�4x – y + z = 32x + y + 3z = 7
�3x + 2y = 15x – y = 2
�x + y = 4x + y = 5
�x + y = 42x + 2y = 8
�x + 3y = 5x + y = 3
Sistema Possível e Determinado (SPD): uma só
solução
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): infinitas
soluções
Sistema Impossível (SI): nenhuma solução
12
Palavras-chave:Sistemas Lineares –
Regra de Cramer
• Coeficientes
• Determinantes
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 34
35MATEMÁTICA
 No sistema linear (S) por exem- 
plo, temos:
6. Sistema normal
 Um sistema linear de n equações e n incógnitas é
normal se o determinante D do sistema for diferente de
zero.
 Teorema de Cramer
 Regra de Cramer
 Dado um sistema normal nas variáveis x
1
, x
2
, x
3
, …,
x
n
, demonstra-se que:
na qual ressaltamos que
 a) D é o determinante do sistema;
 b) Dj é o determinante da matriz que se obtém da
ma triz incompleta, trocando-se sua j-ésima coluna por
b
1
, b
2
, …, b
n
. 
 D1 
 x1 = –––– 
 D
 D2x2 = –––– 
 D
 D1 
 x3 = –––– 
 D
 �
 Dn 
 xn = –––– 
 D 
Todo sistema normal é possível e deter mi nado e
a úni ca solução pode ser obtida pela Regra de
Cramer.
�2x + 3y – 4z = 5x + 2y + z = – 1
x – 3y + 2z = 7
M.I.= �
2
1
1
3 
2
– 3
– 4
1
2
�
M.C. = �
2
1
1
3
2
– 3
– 4
1
2
5
– 1
7
�
� Resolver o sistema 
pela Regra de Cramer.
Resolução
a) O sistema é normal e pode ser resolvido pela Regra de Cramer,
pois 
 D = = 9 – 2 = 7 ⇒ D � 0
b) Dx = = 27 – 13 = 14 ⇒ x = = = 2
c) Dy = = 39 – 18 = 21 ⇒ y = = = 3
Resposta: (2;3)
� Resolver o sistema
pela Regra de Cramer.
Resolução
a) O sistema é normal e pode ser resolvido pe la Regra de Cramer, pois
D = = – 7 ⇒ D � 0
 
 
b) Dx = = – 7 ⇒ x = = = 1
 
c) Dy = = –14 ⇒ y = = = 2
d) Dz = = – 21 ⇒ z = = = 3
Resposta: (1; 2; 3)
–21
——
–7
Dz
—–
D
1
2
1
2
– 1
1
2
3
6
–14
——
–7
Dy
—–
D
1
2
1
2
3
6
– 1
1
1
–7
–––
–7
Dx—–
D
2
3
6
2
– 1
1
– 1
1
1
1
2
1
2
– 1
1
– 1
1
1
x + 2y – z = 2
�2x – y + z = 3x + y + z = 6
21
–—
7
Dy
—–
D
3
2
9
13
14
—–
7
Dx
–––
D
9
13
1
3
3
2
1
3
3x + y = 9� 2x + 3y = 13
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 35
36 MATEMÁTICA
� Considere o sistema . Pedem-se:
a) a matriz incompleta do sistema;
RESOLUÇÃO:
M.I. = 
b) o determinante do sistema;
RESOLUÇÃO: 
D = = 1 + 4 = 5 ≠ 0 (S.P.D.)
c) resolver o sistema pela “Regra de Cramer”.
RESOLUÇÃO:
I) x = = = = 3
II) y = = = = 1
V = {(3; 1)}
� Resolver o sistema pela “Regra de
Cramer”. 
RESOLUÇÃO:
O sistema é normal e pode ser resolvido pela Regra de Cramer,
pois
D = = – 7 � 0 (S.P.D.) 
Dx = = – 7 ⇒ x = = = 1
 
 
Dy = = – 14 ⇒ y = = = 2
 
Dz = = – 21 ⇒ z = = = 3
V = {(1; 2; 3)} 
� (INSPER-MODELO ENEM) – Três amigos foram a uma
papelaria para comprar material escolar. As quantidades
adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles
são mostrados na tabela.
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta
e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das
igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única
que relaciona corretamente esses preços unitários com os
dados da tabela é
a) [x y z] . = [96 105 79].
b) . = .
c) . [x y z] = [96 105 79].
d) . = .
e) . = .
RESOLUÇÃO:
O sistema que permite resolver a questão é
Resposta: D
1
2
1
2
– 1
1
2
3
6
Dz
––––
D
2
3
6
2
– 1
1
– 1
1
1
Dx
––––
D
1
2
1
2
– 1
1
– 1
1
1
�
x + 2y – z = 2
2x – y + z = 3
x + y + z = 6
1
2
–2
1
1 –2� �
7 1
––––––––––
5
Dx
–––
D
15
–––
5
Dy
–––
D
1 1� �
2 7
––––––––––
5
5
–––
5
– 7
––––
– 7
1
2
1
2
3
6
– 1
1
1
Dy
––––
D
– 14
––––
– 7
– 21
––––
– 7
Amigo
Quantidades compradas de
Total pago
(R$)
cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
�
5
6
4
5
3
5
3
3
2 �
�
x
y
z
� �
5
6
4
5
3
5
3
3
2 � �
96
105
79 �
�
5
6
4
5
3
5
3
3
2 �
�
5
6
4
5
3
5
3
3
2 � �
x
y
z � �
96
105
79 �
�
x
y
z � �
96
105
79 � �
5
6
4
5
3
5
3
3
2 �
5x + 5y + 3z = 96 5x + 5y + 3z 96
� 6x + 3y + 3z = 105 ⇔ � 6x + 3y + 3z � = � 105�⇔ 
4x + 5y + 2z = 79 4x + 5y + 2z 79
 5 5 3 x 96
⇔ � 6 3 3 � . � y� = � 105�
 4 5 2 z 79
x – 2y = 1
2x + y = 7�
�12
– 2
1�
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 36
37MATEMÁTICA
 Dizemos que o sistema está 
escalonado, pois o coeficiente de x na 2a. equação é zero
e os coeficientes de x e y na 3a. equação são iguais a
zero. É fácil resolver este sistema, pois:
 
 Logo: V = {(8; 1; 3)}
 Se o sistema não estiver escalonado, podemos trans -
 formá-lo em um outro, escalonado, que tenha a mes ma
solução, ou seja, “equivalente” ao primeiro.
 Exemplo
 Resolver o sistema por escalo -
namento.
 Primeiro Passo: Repetir a 1a. equação e “eliminar” a
variável x das demais. 
 Para tanto, fazemos:
 a) (Segunda Equação) – 2 . (Primeira Equação) 
 b) (Terceira Equação) – 3 . (Primeira Equação)
 Segundo Passo: Repetir as duas primeiras equa -
ções e “eliminar” a variável y da 3a. equação. 
 Para tanto, basta fazermos: 
 (Terceira Equação) – 2 . (Segunda Equação) 
 
 Resolvendo, agora, o sistema por substituição, ob -
têm-se z = 1, y = –1 e x = 8. Portanto, o conjunto ver da -
de do sistema é V = {(8; –1; 1)}.
 Importante
 Para escalonar um sistema e trans formá-lo em outro
sistema, equivalente (que apresenta a mesma solução) e
mais simples, podemos
 a) trocar de posição duas equações;
 b) multiplicar qualquer equação por um número real
diferente de zero;
 c) multiplicar uma equação por um número real dife -
rente de zero e adicioná-la à outra equação.
 x + 2y – z = 7 x + 2y – z = 7 
� y + 4z = 13 ⇔ � y + 4z = 13 ⇔ 
 3z = 9 z = 3 
x + 2y – z = 7 x + 2y – z = 7
⇔ � y + 4 . 3 = 13 ⇔ � y = 1 ⇔
 z = 3 z = 3
 x + 2 . 1 – 3 = 7 x = 8
⇔ � y = 1 ⇔ � y = 1
 z = 3 z = 3
�x + 2y + z = 72x + 5y – 3z = 8 
3x + 8y – 5z = 11
 x + 2y + z = 7
 � y – 5z = – 6 3x + 8y – 5z = 11
 x + 2y + z = 7
 � y – 5z = – 6 2y – 8z = – 10
 x + 2y + z = 7
 � y – 5z = – 6 
 2z = 2
 x + 2y – z = 7
� y + 4z = 13 
 3z = 9
� (UNICAMP) – Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, 
z e w.
Logo, a soma x + y + z + w é igual a
a) – 2. b) 0. c) 6. d) 8.
Resolução
Somando as três equações, resulta x + w = 6.
Como y + z = 2, então: (x + w) + (y + z) = 6 + 2 = 8
 Portanto, x + y + z + w = 8
 Resposta: D
� (PUCCAMP – MODELO ENEM) – Se o convidarem para saborear
um belo cozido português, certamente a última coisa que experimen -
tará entre as iguarias do prato será a batata, pois ao ser colocada na
boca sempre parecerá mais quente. ... Mas será que ela está sempre
mais quente, uma vez que todos os componentes do prato foram
cozidos juntos e saíram ao mesmo tempo da panela? Sabemos que, ao
entrarem em contato, objetos com temperaturas diferentes tendem a
trocar calor até ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho,
x – y = 1,
y + z = 2,
w – z = 3.
�
13 e 14
Palavras-chave:
Escalonamento • Eliminar incógnitas 
• Sistemas equivalentes
Exercícios Resolvidos – Módulos 13 e 14
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 37
38 MATEMÁTICA
� Resolver o sistema: 
RESOLUÇÃO:
I) 5z = 5 ⇔ z = 1
II) y – 2z = – 1 ⇒ y – 2 = – 1 ⇔ y = 1
III) x + y + z = 3 ⇒ x + 1 + 1 = 3 ⇔ x = 1
V = {(1; 1; 1)} 
(S.P.D.)
� Aplicando o método do escalonamento, resolver o sis tema:
RESOLUÇÃO: 
x + y + z = 3 .(– 2) .(1) 
⇔� 2x – y + 3z = 4 +
– x + 5y – 4z = 0
 
+
x + y + z = 3 
⇔ � – 3y + z = – 2 .(2) ⇔
 6y – 3z = 3 + 
 
⇔ ⇔ 
V = {(1; 1; 1)} 
(S.P.D.)
x + y + z = 3
y – 2z = – 1
5z = 5
� x + y + z = 3
2x – y + 3z = 4 
– x + 5y – 4z = 0
�
x = 1
y = 1
z = 1
�
x + y + z = 3
– 3y + z = – 2
– z = – 1
�
não? Uma coisa é certa: ao comer o cozido, a chance de você queimar
a boca com a batata é muito maior do que com o pedaço de carne.
Comprove isso no próximo cozido que tiver oportunidade de comer.
(Aníbal Figueiredo. Física – um outro lado – calor e temperatura.
São Paulo. FTD, 1997.)
De acordo com uma receita da vovó, entre os ingredientes usados no
preparo de um belo cozido português, incluem-sex gramas de batatas,
y gramas de cebolas e z gramas de linguiça portuguesa, totalizando
1450 gramas. Sabendo-se que z e x, nesta ordem, estão entre si na
razão 2/3 e que o dobro de y, acrescido de 100, é igual à soma de x e
z, é correto afirmar que compõem essa receita:
a) 450 g de cebolas. b) 480 g de batatas.
c) 480 g de cebolas. d) 500 g de linguiça.
e) 750 g de batatas.
Resolução
A partir dos dados contidos no enunciado, temos:
⇔
Multiplicando a primeira equação por (2) e adicionado-a à terceira,
temos:
Adicionado a segunda equação à terceira, temos:
⇔
Resposta: A
� (UERJ) – A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados
organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão dispostos
em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está
registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos
números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo
dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do
cartão X.
Determine os valores de X, Y e Z. 
Resolução
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔
Resposta: x = 5, y = 9 e z = 6
�
x + y + z =1450
z 2
–– = –– 
x 3
2y + 100= x + z
�
x + y + z = 1450
2x – 3z = 0
x – 2y + z = 100
�
x + y + z = 1450
2x – 3z = 0
3x + 3z = 3000
�
x + y + z =1450
2x – 3z = 0
5x = 3000
�
y = 450
z = 400
x = 600
�
x = z – 1
y = 15 – z
4 = y – x �
x – z = – 1
y + z = 15
– x + y = 4 �
x – z = – 1
y + z = 15
y– z = 3
�
x – z = – 1
y + z = 15
y = 9 �
x = 5
z = 6
y = 9
Exercícios Propostos – Módulo 13
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 38
39MATEMÁTICA
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – As companhias aéreas
costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de
cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de
excesso de peso. Quando dois passageiros com partilham a
bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um
determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava
sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a
pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou
correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para
determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do
senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que
um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z),
pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a) 
 
b) 
c) d) 
RESOLUÇÃO:
⇔
 
Resposta: A
� (MODELO ENEM) – Para uma festinha, foram encomen -
dados 90 refri gerantes, 230 salgados e 120 doces. Os
convidados foram divididos em 3 faixas: crianças, senhores e
senhoras. Cada criança deverá consumir exata mente 2 refri -
gerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhor deve rá consumir
exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3 do ces; cada se -
nhora deverá consumir exatamente 3 refrige rantes, 6 salgados
e 3 doces. Qual deverá ser o total de convidados para que não
sobrem e nem faltem refrigerantes, salgados e doces?
a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z, respectivamente, o número de crianças, de senho -
res e de senhoras convidados para a festa, temos:
I) Os refrigerantes a serem consumidos são 2 para cada criança,
3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Dessa forma, resulta
2x + 3y + 3z = 90.
II) Os salgados a serem consumidos são 8 para cada criança, 5
para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos 
8x + 5y + 6z = 230.
III)Os doces a serem consumidos são 4 para cada criança, 3 para
cada senhor e 3 para cada senhora. Equacionando, temos 
4x + 3y + 3z = 120.
O sistema formado pelas três equações é:
Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à
segunda, temos: 
Multiplicando a primeira equação por (– 1) e adicionando-a à
terceira, resulta
⇔ ⇒ x + y + z = 35
Resposta: B
2x + 3y + 3z = 90
8x + 5y + 6z = 230
4x + 3y + 3z = 120
�
2x + 3y + 3z = 90
4x – y = 50
4x + 3y + 3z = 120
�
z = 10
y = 10 
x = 15
�
2x + 3y + 3z = 90
4x – y = 50
2x = 30
�
�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x – y = 0 �
x + z = 60
y + 2z = 60
3,5x – y = 0
�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x + y = 0 �
x + z = 60
y + 2z = 60
3,5x + y = 0
� 60 – 2z = x60 – z = y
y = 3,5x
� x + 2z = 60y + z = 60
3,5x – y = 0
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 39
40 MATEMÁTICA
Exercícios Propostos – Módulo 14
Nos exercícios de � a �, resolva e classifique os sistemas,
aplicando o método do escalonamento:
�
 
RESOLUÇÃO:
x + y + z = 2 .(1) .(–1)
� – x + 2y + z = – 1 + ⇔
 
x – y – 3z = – 4 
 
+
x + y + z = 2 
⇔ � 3y + 2z = 1 .(2) ⇔
– 2y – 4z = – 6 + 
⇔ ⇔
V = {(1; –1; 2)}
O sistema apresenta uma única solução, portanto, trata-se de um
Sistema Possível e Determinado (S.P.D.).
�
 
RESOLUÇÃO:
 .(–1) .(–2)
+
+ 
⇔
⇔ .(– 1) ⇔ 
+
A terceira equação é falsa para ∀z ∈ � ⇒ V = Ø
O sistema não apresenta solução, portanto, trata-se de um Sis -
tema Impossível (S.I.).
�
x + y + z = 2
– x + 2y + z = – 1
x – y – 3z = – 4
�
x = 1
y = – 1
z = 2
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
2x + 5y + 5z = 10
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
2x + 5y + 5z = 10
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
y – z = 0
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
0z = –1
x + y + z = 2 
� 3y + 2z = 1 
 4y = – 4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 40
41MATEMÁTICA
�
 
RESOLUÇÃO:
(– 1) (–1)
+ ⇔
+
⇔ .(1) ⇔ 
+
⇔ 
A terceira equação é verdadeira para ∀z ∈ �.
Abandonando a última equação e fazendo z = α, com α ∈ �, temos:
⇔
com α ∈ � ⇒ V = {(3 – 5α; α + 1; α)}, α ∈ �
O sistema apresenta infinitas soluções, portanto, trata-se de um
Sistema Possível e Indeterminado (S.P.I.).
� (UNICAMP) – Sabendo que k é um número real, considere
o sistema linear nas variáveis reais x e y,
É correto afirmar que esse sistema
a) tem solução para todo k.
b) não tem solução única para nenhum k.
c) não tem solução se k = 1.
d) tem infinitas soluções se k ≠ 1.
RESOLUÇÃO:
Escalonando o sistema, temos:
(–1)
⇔
Se k ≠ 1, então o sistema será possível e determinado, pois 
1 – k ≠ 0.
Se k = 1, então o sistema será possível e indeterminado, pois 
Oy = 0.
Do que foi visto, é correto afirmar que tem solução para todo k.
Resposta: A
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
x + y + 4z = 4
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
x + y + 4z = 4 
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
– y + z = – 1
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
0z = 0
� x + 2y = 5 – 3α
y = α + 1
� x = 3 – 5α
y = α + 1
�
x + ky = 1
x + y = k
� x + ky = 1x + y = k �
x + ky = 1
(1 – k)y = k – 1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 41
42 MATEMÁTICA
 Os métodos de resolução de sistemas lineares
(Cramer e Escalonamento) apresentados anteriormente
são bastante úteis e muito utilizados. No entanto, para
certos sistemas, é mais simples “eliminar” incógnitas
pela “adição” ou “subtração” de duas ou mais equações,
ou, ainda, usar o método geral da substituição.
 Exemplo 1
 Resolver, por substituição, o sistema 
 
 Resolução
 “Isolando” z na 1a. equação, temos: z = 7 – 2x – y.
 Substituindo z, na 2a. e na 3a. equação, pela expres -
são obtida, resulta:
 Portanto, z = 7 – 2 . 3 – (–1) ⇒ z = 2
 O conjunto verdade do sistema é: V = {(3; –1; 2)}
 Exemplo 2
 Resolver o sistema 
 
 Resolução
 A resolução deste sistema, tanto pelo método da
substituição, como pelo método do escalonamento, e,
também, pela Regra de Cramer, é muito trabalhosa.
 No entanto, se observarmos as relações existentes
entre os coeficientes das incógnitas, podemos resolvê-lo
rapidamente. De fato:
 a) Somando, membro a membro, as duas primeiras
equações, obtemos: 8x = 16 ⇔ x = 2
 b) Multiplicando a terceira equação por – 1 e soman -
do-a com a primeira, temos: 7y = – 21 ⇔ y = – 3
 c) Substituindo os valores encontrados na primeira