ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

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ESTATÍSTICA E 
PROBABILIDADE
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Olga Ozaí da Silva
Simone Barbosa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................5
1. CONSIDERAÇÕES BÁSICAS EM ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................6
1.1 UNIVERSO, AMOSTRA E VARIÁVEL .......................................................................................................................6
1.2 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ............................................................................................................................... 7
1.3 TIPOS DE GRÁFICOS E SÉRIES ESTATÍSTICAS ...................................................................................................8
1.4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ......................................................................................................................... 11
2. MEDIDAS DE POSIÇÃO ........................................................................................................................................... 17
2.1 MÉDIA ARITMÉTICA .............................................................................................................................................. 17
2.2 MODA ..................................................................................................................................................................... 21
2.3 MEDIANA ...............................................................................................................................................................23
MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
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3. MEDIDAS DE SEPARATRIZES ................................................................................................................................26
4. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE ...............................................................................................................28
5. MEDIDAS DE DISPERSÃO ......................................................................................................................................30
5.1 AMPLITUDE TOTAL ............................................................................................................................................... 31
5.2 VARIÂNCIA ............................................................................................................................................................32
5.3 DESVIO-PADRÃO ...................................................................................................................................................36
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................38
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INTRODUÇÃO
No ambiente onde estamos inseridos, qualquer pessoa tem acesso a uma grande 
quantidade de informações. Ser bem-sucedido é ser capaz de entender e utilizar essas 
informações de maneira correta.
Nesta unidade, serão abordados os primeiros passos para a compreensão sobre os 
dados estatísticos. Ainda, serão apresentadas as três maneiras de sintetizar numericamente um 
conjunto de dados: a média, a mediana e a moda. Vamos discutir a dispersão ou variabilidade 
dos dados estudados em relação à média. Essas medidas incluem o estudo da amplitude total, da 
variância, do desvio-padrão e do coeficiente de variação. Pegue sua xícara de café, respire fundo 
e bons estudos! 
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1. CONSIDERAÇÕES BÁSICAS EM ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1.1 Universo, Amostra e Variável
A estatística está interessada nos métodos científicos para coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise dos dados, bem como na tomada de decisões baseadas em tais análises. Nesse 
sentido, ao coletar dados referentes às características de um grupo ou indivíduos que possuem 
ao menos uma característica comum, muitas vezes é impossível, inviável economicamente ou 
impraticável observar todo o grupo, em particular quando ele é muito grande. Assim, ao invés de 
examinar todo o universo (que também é denominado população), examina-se uma pequena 
porção do universo, denominada amostra. 
Após a determinação dos elementos da amostra, pergunta-se: o que fazer com eles? Pode-
se medi-los, observá-los e/ou contá-los? Daí, surge um conjunto de respostas, que receberá a 
denominação de variável. A variável é a característica que vai ser observada, medida ou contada 
nos elementos da população ou da amostra e que pode variar, ou seja, assumir um valor diferente 
de elemento para elemento observado.
A variável pode ser classificada em qualitativa (aquela em que a característica observada 
é expressa por atributos, como cor da pele, sexo, tipo sanguíneo etc.) e quantitativa (aquela em 
que a característica observada é expressa em números, como número de alunos matriculados 
na disciplina de estatística, idade etc.). No entanto, uma variável quantitativa pode ser contínua 
(aquela que pode assumir qualquer valor entre dois limites) ou discreta (aquela que só pode 
assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável). 
O documentário O Prazer da Estatística – The Joy of Statistics leva 
os espectadores a uma viagem através do maravilhoso mundo da 
estatística para explorar o notável poder que esse mundo tem de 
mudar a nossa compreensão da realidade. 
O documentário é apresentado pelo Professor Hans Rosling, cuja 
visão aberta, de expansão da mente, e engraçadas palestras on-line 
têm feito dele uma lenda internacional da Internet. Rosling é um homem que se 
deleita no glorioso mundo das estatísticas e, aqui, ele explora sua história, como 
elas funcionam matematicamente e como elas podem ser usadas atualmente 
no computador para ver o mundo como ele realmente é, e não apenas como o 
imaginamos ser. 
O documentário está disponívelem 
http://www.youtube.com/watch?v=xLr68J2yDJ8 . 
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1.2 Técnicas de Amostragem
Para garantir que a amostra represente o universo, ou seja, que a amostra possua as mesmas 
características que o universo no que diz respeito à variável estudada, é necessário que ela seja 
obtida por técnicas adequadas. A seguir, estudaremos três das principais técnicas de amostragem:
(i) Amostragem aleatória simples – essa técnica de amostragem pode ser realizada 
numerando-se os elementos do universo de 1 até n e, em seguida, procede-se a um sorteio de k 
números para representar a amostra. No caso de a população ser muito grande, o sorteio torna-se 
inviável, e fazemos uso da Tabela de Números Aleatórios (Anexo 1). Vejamos os exemplos 1 e 2.
Exemplo 1
Dos 50 funcionários da empresa de uma construtora, 20% serão escolhidos para realizar exames 
de rotina. Assim, para proceder à escolha desses funcionários, primeiramente, numeramos os 
de 1 a 50 e, em seguida, escrevemos os números de 1 a 50 em papéis de mesmo tamanho. 
Colocamo-los dentro de uma caixa, agitamos e retiramos, um a um, sem reposição. Os dez 
números formarão a amostra.
Exemplo 2
Uma empresa de telecomunicação tem 5.000 funcionários e, desses, 750 deverão ser sorteados 
para realizar os exames de rotina. Observe, nesse exemplo, que os números de elementos do 
universo e da amostra são relativamente grandes. Assim, faz-se necessário utilizar-se da tabela 
de números aleatórios (Anexo 1). Para obtermos esses 750 elementos da amostra, sorteamos 
um algarismo qualquer da tabela, a partir do qual iremos tomar números com dois, três ou mais 
dígitos, de acordo com a necessidade, percorrendo as linhas e/ou colunas da tabela de números 
aleatórios da esquerda para direita (ou vice-versa) ou, ainda, de cima para baixo (ou vice-versa). 
Os números obtidos irão indicar os elementos da amostra.
 
(ii) Amostragem estratificada – essa técnica de amostragem é empregada quando 
tivermos o universo subdividido em estratos. Assim, para que a amostra represente o universo, 
é interessante que ela leve cada estrato em consideração. Para entender melhor, leia o exemplo 3.
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Exemplo 3
Considere que, dos 50 funcionários da construtora do Exemplo 1, 40 sejam do sexo masculino e 
10 do sexo feminino, ou seja, temos dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos 
escolher 20% do total de 50. 
Solução: neste exemplo, queremos respeitar a proporção dos funcionários do sexo masculino 
e feminino. Assim, temos: 80% dos funcionários do sexo masculino e 20% do sexo feminino. 
Como serão selecionados 20% do total de funcionários, segue que serão sorteados 8 homens e 
2 mulheres. A segunda etapa dessa técnica de amostragem consiste em escolher os 8 homens 
dentre os 40 e as 2 mulheres dentre as 10. Podemos numerar esses funcionários de 1 a 50, 
sendo que os numerados de 1 até 10 correspondem aos funcionários do sexo feminino, e os 
numerados de 11 até 50 correspondem aos funcionários do sexo masculino. Daí, procede-se a 
um sorteio. Ou, então, usa-se a tabela de números aleatórios para proceder ao sorteio, até que 
8 homens e 2 mulheres sejam selecionados.
 (iii) Amostragem sistemática – nessa técnica de amostragem, os membros do universo 
que participam da amostra são determinados a partir de intervalos fixos, e não há utilização de 
tabelas de números aleatórios.
Por exemplo: no caso do universo dos 50 funcionários do exemplo, para obtermos 10 
amostras sistemáticas, podemos escolher os números 5, 10, 15 e assim por diante, até completarmos 
10 amostras sistematicamente colhidas.
1.3 Tipos de Gráficos e Séries Estatísticas
Uma tabela trata-se de um quadro que resume um conjunto de observações ou 
informações. A tabela é constituída de:
I. corpo: é o conjunto de linhas e colunas, que contêm informações sobre a variável ou 
variáveis de estudo.
II. cabeçalho: parte superior da tabela, onde está especificado o conteúdo de cada coluna.
III. coluna indicadora: parte que compõe a tabela e que especifica o conteúdo de cada 
linha.
IV. célula: espaço destinado a um só número (ou informação).
V. título: conjunto de informações, localizado no topo da tabela, que responde às 
perguntas: o quê?, quando?, onde?.
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Exemplo 4
As emissões globais de dióxido de carbono em 2011 atingiram recorde e subiram para 34 
bilhões de toneladas, segundo o Instituto de Energia Renovável da Alemanha (IWR). O IWR, 
que fornece consultoria para ministérios alemães, mencionou a atividade recuperada da 
indústria após o fim da crise econômica global dos últimos anos para justificar o aumento. “Se 
a tendência atual for mantida, as emissões mundiais de CO2 irão subir outros 20%, para mais 
de 40 bilhões de toneladas, até 2020”, afirmou o diretor do instituto, Norbert Allnoch. A tabela 
a seguir apresenta a quantidade de CO2 emitida por alguns países.
Tabela 1 - Emissão de CO2, em toneladas, em 2014.
Fonte: G1 (2012).
Uma série estatística trata-se de toda tabela que apresenta distribuição de um conjunto 
de dados em função da época (denominadas séries históricas), do local (denominadas séries 
geográficas) ou da espécie (denominadas séries específicas). 
Um gráfico estatístico é uma maneira de apresentação dos dados, que tem como objetivo 
produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno estudado uma vez que os gráficos 
falam mais rapidamente à compreensão da série. Os gráficos devem ser simples, claros e devem 
expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. Veja o Exemplo 5.
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Exemplo 5
Mais de 190 representantes de países estão reunidos em Paris para discutir o novo acordo do 
clima, que pretende apontar quais ações os países irão adotar para limitar suas emissões de 
gases do efeito estufa e, consequentemente, tentar evitar que a temperatura do planeta aumente 
mais de 2º C. O mais difícil é fazer com que todos eles concordem com os mesmos termos 
e compromissos. Mas todos têm peso igual nas emissões? Veja o gráfico que mostra os dez 
maiores emissores.
Figura 1 – Os dez maiores emissores de gases do efeito estufa. Fonte: UOL Notícias (2015).
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1.4 Distribuição de Frequência
Após a realização de uma pesquisa em que os dados foram coletados, faz-se necessária a 
organização e classificação desses. Esse procedimento é, em geral, feito por meio de tabelas. Essas 
tabelas são denominadas tabelas de distribuição de frequência. 
Para entender esse conceito e outros que virão, vamos considerar o conjunto de dados que 
apresenta a distância horizontal (em metros) percorrida por um drone antes de apresentar algum 
tipo de defeito. Um total de 40 testes foram realizados e são apresentados na Tabela 2. 
Tabela 2 – Distância percorrida, em metros, por um protótipo de drone antes de apresentar 
algum tipo de defeito.
33,50 30,38 48,38 31,13 29,63 9,25 32,25 38,00 8,63 29,63
9,00 18,00 18,00 1,25 37,88 10,00 25,24 52,00 9,25 53,38
8,75 34,00 7,63 14,00 43,25 16,50 11,38 25,02 18,50 16,63
9,38 8,00 35,25 21,63 19,38 11,50 28,50 78,38 38,88 33,63
Fonte: O autor.
A Tabela 2 é um tipo de tabela em que os dados não estão organizados. É denominada 
tabela bruta, e os dados são chamados de dados brutos. Ao organizar esses dados brutos em 
tabela, em ordem crescente ou decrescente, temos o rol como apresentado na Tabela 3.
Tabela 3 – Rol crescente da distância percorrida, em metros, por um protótipo de drone 
antes de apresentar algum tipo de defeito.
1,25 7,63 8,00 8,63 8,75 9,00 9,25 9,25 9,38 10,00
11,38 11,50 14,00 16,50 16,65 16,63 18,00 18,0018,50 19,38
21,63 25,02 25,24 28,50 29,63 30,38 31,13 32,25 33,50 33,63
34,00 35,25 37,88 38,00 38,88 43,25 48,38 52,00 53,38 78,38
Fonte: O autor.
Uma vez organizados os dados em rol, iremos agora resumir esses dados numa tabela de 
tal forma que a leitura dos dados seja facilitada. Para isso, definimos:
(i) classe: é a subdivisão dos dados em intervalos ou faixas de valores.
(ii) limite de classe: são os valores extremos de cada classe. Para uma classe, temos o 
limitante inferior, que é o menor número que pode pertencer à classe, além do limitante 
superior, que é o maior número que pode pertencer à classe.
(iii) amplitude amostral (AA): é a diferença entre o maior e o menor entre os dados 
coletados.
(iv) ponto médio de uma classe : são os valores obtidos somando-se o limitante 
inferior de classe ao limitante superior e dividindo-se o resultado da soma por 2.
(v) número de classes (i): para a construção de uma tabela de distribuição de frequência, 
a primeira coisa com que devemos nos preocupar é determinar o número de classes. Para 
tal, fazemos uso da regra de Sturges, a qual é dada pela Eq. (01), a seguir.
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Eq. (01)
Ainda, podemos fazer uso da regra da raiz, a qual é dada pela Eq. (02):
Eq. (02)
Para as equações (01) e (02), temos que n é o número de dados coletados.
(vi) amplitude de classe (h): calculado o número de classes a ser usado na construção da 
tabela de distribuição de frequência, devemos proceder ao cálculo da amplitude da classe, 
a qual é calculada fazendo-se a razão entre a amplitude total e o número de classes. 
(vii) frequência absoluta : é o número de vezes que determinado elemento aparece na 
amostra ou, ainda, o número de vezes que um elemento aparece numa classe.
(viii) frequência relativa : é a razão entre a frequência absoluta da classe em questão 
e o número total de elementos na amostra. A frequência relativa é calculada usando-se a 
Eq. (03):
Eq. (03)
(ix) frequência relativa percentual : é obtida procedendo-se ao produto da 
frequência relativa por 100, como apresenta a Eq. (04):
Eq. (04)
(x) frequência acumulada : é obtida somando-se a frequência absoluta da 
classe considerada com as frequências absolutas anteriores a essa classe. A Eq. (05) mostra o 
procedimento do cálculo da frequência acumulada de uma classe.
Eq. (05)
Nela, é a frequência absoluta da primeira classe, é a frequência absoluta da segunda 
classe e assim por diante, até a n-ésima classe. O símbolo denota a soma das frequências 
da primeira, segunda, até a n-ésima classe.
(xi) frequência relativa acumulada : é a razão entre a frequência acumulada de 
uma classe pelo número total de elementos na amostra, como mostra a Eq. (06):
Eq. (06)
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(xii) frequência relativa acumulada percentual : é o produto da frequência 
relativa acumulada de uma classe por 100, como apresentado na Eq. (07):
Eq. (07)
 
Já que definimos tantas coisas, vamos aplicá-las à Tabela 3. Digamos que nosso objetivo 
seja elaborar um relatório acerca da distância horizontal percorrida, em metros, pelo robô 
após o ajuste no seu sistema operacional. Vamos apresentar os resultados em uma tabela de 
distribuição de frequência. Embora existam tecnologias para gerar distribuições de frequência 
automaticamente, os passos para construí-las manualmente são os seguintes:
1º passo: determinar o número de classes desejado. Esse número deve estar entre 5 e 
20, por questões práticas e ainda deve ser um número inteiro. Como temos n = 40 observações, 
podemos usar o critério de Sturges ou da raiz. Assim, temos, pelo critério de Sturges, o número 
de classes igual a: 
2º passo: calcular a amplitude das classes. Se necessário, faça uso de arredondamentos e/
ou mude o número de classes de modo que se usem números convenientes.
3º passo: escolha ou o valor mínimo ou um valor conveniente, que seja um pouco menor 
do que esse valor mínimo para ser o primeiro limitante inferior de classe. Usando esse limitante 
inferior e a amplitude da classe, prossiga e liste os outros limites inferiores de classe, adicionando 
a amplitude de classe ao primeiro limite de classe inferior para obter o segundo limite inferior de 
classe, e assim por diante. 
4º passo: liste os limites inferiores de cada classe em uma coluna vertical e prossiga para 
preencher os limitantes superiores. Feito isso, percorra o conjunto de dados, colocando uma 
marca apropriada para cada valor dado. Conte as marcas para encontrar a frequência total para 
cada classe.
Agora, tendo como base a Tabela 3, vamos construir a Tabela 4, denominada de tabela de 
distribuição de frequência. Observe, na Tabela 4, que a primeira na classe temos a frequência dos 
valores da distância horizontal percorrida pelo robô, que vai de 1 (inclusive) até 14 (exclusive), 
totalizando 12 valores. Nas classes seguintes, usamos ideia análoga.
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Tabela 4 - Distribuição de frequência da distância percorrida por um protótipo de drone 
antes de apresentar algum tipo de defeito.
Classe (i) Percentual de redução Frequência (fi)
1 12
2 11
3 12
4 3
5 1
6 1
Total 40
Fonte: O autor.
De posse da Tabela 4, de distribuição de frequência, podemos calcular as frequências 
relativas ( , frequências acumuladas ( ) e seus percentuais, como apresentado na Tabela 5.
Tabela 5 – Distribuição de frequência da distância percorrida por protótipo de drone, 
antes de apresentar algum tipo de defeito.
Classe (i)
Percentual de 
redução
1 12 0,300 30,0 12 0,300 30,0
2 11 0,275 27,5 23 0,575 57,5
3 12 0,300 30,0 35 0,875 87,5
4 3 0,075 7,50 38 0,950 95,0
5 1 0,025 2,50 39 0,975 97,5
6 1 0,025 2,50 40 1,000 100,0
Total 40 1 100 - - -
Fonte: O autor.
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O cálculo da frequência relativa da primeira classe foi determinado da seguinte maneira: 
. Esse procedimento foi usado para calcular as demais frequências relativas. As 
frequências relativas percentuais foram obtidas multiplicando-se por 100 as frequências relativas 
de cada classe.
O cálculo da frequência acumulada foi realizado como segue:
E assim por diante, até a sexta classe. As frequências relativas acumuladas foram calculadas 
como segue:
E assim por diante, até a sexta classe. Já as frequências relativas percentuais foram obtidas 
multiplicando-se por 100 as frequências relativas acumuladas.
Em muitas situações, é mais conveniente representar de forma gráfica uma distribuição 
de frequência. E isso pode ser feito utilizando-se do histograma, do polígono de frequência ou do 
polígono de frequência acumulada.
O histograma é a representação gráfica da distribuição de frequência. Trata-se de um 
diagrama de colunas, em que cada retângulo está associado a uma classe da distribuição de 
frequência. O histograma associado à Tabela 4 está representado na Figura 2.
Figura 2 – Histograma da distribuição de frequência da distância percorrida por um drone, antes de apresentar 
algum tipo de defeito. Fonte: O autor.
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O polígono de frequência é o gráfico de configuração linear. Ele é obtido calculando-se o 
ponto médio de cada classe e marca-se esse ponto no lado superior do histograma. O polígono de 
frequência é obtido ligando-se esses pontos médios. A Figura 3 mostra o polígono de frequência, 
associado aos dados da Tabela 4.
Figura 3 – Polígono de frequência da distância percorrida por um drone, antes de apresentar algum tipo de defeito. 
Fonte: O autor.
O polígono de frequência acumulada, ou ogiva de Galton, é um gráfico que permite 
descrever dados quantitativos por meio da frequência acumulada. Aogiva é um gráfico de linha 
que une os pontos cujas abscissas são os limites superiores das classes e ordenadas suas respectivas 
frequências acumuladas. A Figura 4 apresenta o polígono de frequência acumulada para os dados 
distribuídos em classe da Tabela 5.
Figura 4 – Polígono de frequência acumulada da distância percorrida por um drone, antes de apresentar algum tipo 
de defeito. Fonte: O autor.
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2. MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição de uma série de dados nos orientam quanto à posição da distribuição 
em relação ao eixo horizontal do histograma. As usualmente empregadas são a média, a mediana 
e a moda. Vamos discuti-las em separado. 
2.1 Média Aritmética
A média aritmética é a mais importante de todas as medidas de posição existentes 
para descrever dados em geral. A média aritmética ( ) é uma medida de tendência central, 
determinada pela adição de todos os valores e divisão pelo número de valores. Essa definição nos 
permite escrever a Eq. (08):
Eq. (08)
Nela, , , ..., são as variáveis que se estão estudando, n é o número de valores 
estudados, e denota a soma de todos os valores em estudo.
Exemplo 6
A seguir, é informada a tensão, em milivolt (mV), de cinco resistores iguais, quando submeti-
dos a uma mesma corrente elétrica. 
7 – 8,5 – 6,5 – 9 – 9
Qual foi a tensão média, em mV, desenvolvida pelos resistores quando submetidos à mesma 
corrente elétrica?
Solução: a média aritmética da tensão é
Portanto, a tensão média desenvolvida pelos resistores foi de 8 mV.
 Acabamos de calcular a média aritmética para o caso em que os dados não estão 
agrupados. Agora, vamos aprender a calcular a média aritmética para o caso em que os dados 
estão agrupados sem intervalo de classe. Nessa situação, como as frequências são números 
indicadores da intensidade de cada valor, elas funcionam como fatores de ponderação e, assim, 
calculada a média aritmética ponderada, como apresentado pela Eq. (09):
Eq. (09)
Nela, é a frequência, e é o valor da variável.
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Exemplo 7
Na Figura 5, são apresentados os números de acidentes de trabalho no primeiro semestre de 
2020, nas 100 fábricas de uma indústria de bebidas.
Figura 5 – Ilustração para o exemplo. Fonte: O autor.
Determine o número médio de acidentes das 100 fábricas de bebidas.
Solução: das informações dispostas na Tabela 6, montamos outra tabela para auxiliar-nos no 
cálculo da média aritmética. Assim,
Tabela 6 – Tabela de distribuição para o cálculo da média.
Fonte: O autor.
Daí, segue que o número médio de acidentes de trabalho nas 100 fábricas de bebida é:
Portanto, o número médio de acidentes de trabalho nas 100 fábricas de bebida foi de 1,7 
acidentes.
 
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Vejamos, agora, o caso do cálculo da média aritmética quando os dados estão agrupados 
em classe. Nesse caso, convenciona-se que os valores incluídos num determinado intervalo 
coincidem com seu ponto médio, e determinamos a média ponderada. Vejamos o exemplo 
seguinte.
Exemplo 8
A Tabela 7 apresenta a distribuição de frequências do número de salários-mínimos dos 
funcionários de uma start up de tecnologia da informação.
Tabela 7 – Distribuição de frequência do número de salários-mínimos recebidos pelos 
funcionários de uma start up.
Fonte: O autor.
 
Determine o número médio de salários-mínimos desses funcionários.
Solução: das informações dispostas na Tabela 7, montamos a Tabela 8 para auxiliar-nos no 
cálculo da média aritmética. Assim:
Tabela 8 – Tabela de distribuição para resolução do exercício.
Fonte: O autor.
Daí, segue que o número médio de salários-mínimos é:
Portanto, o número médio de salários-mínimos recebidos pelos funcionários da start up é 5,4.
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Exemplo 9
A média salarial de 100 engenheiros recém-formados é igual a R$ 5.000,00. Se o salário de João, 
também engenheiro recém-formado, fosse incluído no cálculo, a média salarial seria igual a R$ 
5.100,00. Determine o salário de João, em reais.
Solução: temos que a média salarial, das 100 pessoas pode ser calculada por meio da 
equação:
Ou seja, a soma dos salários dos 100 engenheiros é:
Considerando agora a inclusão de João, a média salarial é igual a e é calculada por 
meio da equação:
Ou seja, a soma dos salários de 101 engenheiros é:
Assim, subtraindo (1) de (2), segue que o salário de João é igual a R$ 15.100.
A média aritmética apresenta as seguintes propriedades:
(i) Chamamos de desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de 
um conjunto de valores e a média aritmética. A soma algébrica desses desvios 
tomados em relação à média aritmética é nula.
(ii) Somando-se ou subtraindo-se uma constante (k) qualquer a todos os valores 
da variável, a média aritmética fica aumentada ou diminuída dessa constante.
(iii) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante (k) qualquer por todos 
os valores da variável, a média aritmética fica multiplicada ou dividida dessa 
constante.
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2.2 Moda
A Moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência num conjunto de dados, e esse(s) 
valor(es) é(são) denominado(s) “valor modal”. Um conjunto de dados poderá ser classificado em: 
(i) amodal – quando não apresentar valor modal; (ii) unimodal – quando apresentar único valor 
modal; (iii) bimodal – quando apresentar dois valores modais; (iv) trimodal – quando apresentar 
três valores modais; (v) polimodal – quando apresentar quatro ou mais valores modais.
Exemplo 10
Os dados a seguir correspondem à pressão manométrica (em MPa) lida em uma adutora ao 
longo de 10 horas de observação: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Calcule a 
moda para esse conjunto de dados.
Solução: organizando os dados em rol crescente, obtemos a seguinte distribuição:
150 – 150 – 200 – 200 – 200 – 200 – 250 – 250 – 250 – 300
Note que, na série, há repetição dos valores 150 (2 vezes), 200 (4 vezes) e 250 (3 vezes). Assim, 
o valor modal para os valores de pressão manométrica ao longo das 10 horas é igual a 250 MPa, 
porque é o resultado que se repete mais vezes.
Acabamos de calcular a moda para o caso em que os dados não estão agrupados. Agora, 
vamos aprender a calcular a moda para o caso em que os dados estão agrupados sem intervalo de 
classe. Nessa situação, é muito fácil determinar o valor modal, bastando determinar a classe que 
apresenta maior frequência. Vejamos o exemplo que segue.
Exemplo 11
Determinada carreira profissional, em um órgão público, apresenta 5 níveis de salários com 
uma distribuição apresentada na Tabela 9.
Tabela 9 – Distribuição salarial de funcionários de uma carreira pública.
Fonte: O autor.
Determine o salário modal desse órgão público.
Solução: o salário modal desse compartimento público é R$ 2.500,00, pois esse valor caracteriza 
o maior número de ocorrências (23 vezes).
 
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Vejamos agora o caso do cálculo da moda quando os dados estão agrupados em classe. 
Nesse caso, é comum fazer uso da equação de Czuber para o cálculo do valor modal, como 
mostra a Eq. (10):
Eq. (10)
Nela, é o limite inferior da classe modal, é a diferença entre a frequência da classe 
modal e a frequência da classe anterior à classe modal, é a diferença entre a frequência da 
classe modal e a frequência da classe posterior à classe modal, e é a amplitude da classe 
modal. Vejamos o exemplo seguinte.
Exemplo 12
A Tabela 10 apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas numa prova de mecânica 
dos fluidos, realizada por 50 estudantesuniversitários do curso de engenharia mecânica.
Tabela 10 - Distribuição de frequência das notas em mecânica dos fluidos.
Fonte: O autor.
Determine a nota modal.
Solução: a classe modal corresponde à classe que apresenta maior frequência. É claro que essa 
frequência corresponde à terceira classe. Assim,
, , e . Logo, a nota modal é: 
Portanto, a nota modal em mecânica dos fluidos foi de 5,2.
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A moda é, em geral, usada para medidas rápidas e aproximações de posição ou, ainda, 
quando a medida de posição deve ser o valor mais frequente da distribuição.
2.3 Mediana
A mediana (Me) é a medida de posição definida como sendo o número que divide o 
conjunto de dados analisado em duas partes iguais, com o número igual de elementos. Dessa 
maneira, a mediana encontra-se no centro de uma série estatística organizada em rol. 
Ao organizar os dados em rol e este apresentar um número ímpar de elementos, a mediana 
será o valor central. Caso o rol tenha um número par de elementos, a mediana será a média 
aritmética entre os dois termos centrais. Nesse caso, a mediana será um valor que não pertence 
à série de dados.
Exemplo 13
Os dados a seguir correspondem ao rol crescente de medidas da concentração de um poluente 
líquido (em ppb) ao longo de 25 dias:
24 − 24 −24 −25 − 25 − 30 − 32 − 32 − 32 − 35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40− 46 – 48 − 48 − 
50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65
Determine a concentração mediana desse poluente, em ppb.
Solução: note que os dados estão organizados em rol crescente e que temos 25 valores. O 13º 
elemento é o que ocupa a posição central (está destacado no rol) e esse valor é a mediana do 
conjunto de dados. Assim sendo, a concentração mediana do poluente é igual a 40 ppb.
Exemplo 14 
Cientistas ambientais mediram as emissões de gases de efeito estufa de uma amostra de vinte 
carros. As quantidades listadas estão em toneladas (por ano), expressas em equivalente de CO2.
8,5 – 5,0 – 4,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0 – 1,5 – 4,5 – 10,0 – 6,5 – 6,0 – 7,5 – 5,5 – 9,5 – 8,5 – 70 – 9,0 – 
8,5 – 3,0 – 20.
Qual é a mediana teórica da quantidade de gases de efeito estufa dessa amostra de carros?
Solução: primeiramente, vamos organizar o conjunto de dados em rol crescente. Assim, temos:
1,5 – 2,0 – 3,0 – 4,0 – 4,5 – 5,0 – 5,5 – 6 – 6,5 – 7,0 – 7,0 – 7,5 – 8,0 – 8,5 – 8,5 – 8,5 – 9,0 – 9,0 
– 9,5 – 10,0
Note que temos um número par de elementos, e os dois termos centrais têm média aritmética 
igual a 7,0. Portanto, a mediana é igual a 7,0 toneladas (por ano).
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Acabamos de calcular a mediana para o caso em que os dados não estão agrupados. 
Agora, vamos aprender a calcular a mediana para o caso em que os dados estão agrupados sem 
intervalo de classe. Nessa situação, devemos executar os seguintes passos: (i) calcular a frequência 
acumulada; (ii) determinar um valor tal, que divida a distribuição em dois grupos que contenham 
o mesmo número de elementos. Vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo 15
Os salários dos 40 funcionários de uma construtora, em 31 de dezembro de 2020, estavam 
distribuídos segundo as informações da Tabela 11.
Tabela 11 – Distribuição de frequência salarial de uma construtora.
Fonte: O autor.
Determine a mediana dos salários dos funcionários da construtora.
Solução: para determinar o valor da mediana, primeiramente, vamos determinar a frequência 
acumulada, como apresentado na Tabela 12, para o conjunto de dados. Assim:
Tabela 12 – Distribuição de frequências para os salários dos funcionários da construtora.
Fonte: O autor.
Daí, a posição da mediana será , ou seja, o valor pertence à 3ª classe e corresponde ao 
salário de R$ 2.000,00. Portanto, a mediana do salário da construtora é igual a R$ 2.000,00.
 
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Vejamos agora o caso do cálculo da mediana quando os dados estão agrupados em classe. 
Nesse caso, usa-se a Eq. (11) de interpolação linear:
Eq. (11)
Nela: é o limitante inferior da classe mediana; é o número de elementos coletados na 
pesquisa; é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; é a frequência 
absoluta da classe mediana; e é a amplitude da classe da mediana. Vejamos o exemplo seguinte.
Exemplo 16
A Tabela 13 apresenta a distribuição de frequência do percentual de redução da carga bacteriana, 
empregando um novo desinfetante desenvolvido por um engenheiro químico. Determinar o 
percentual mediano desse conjunto de dados.
Tabela 13 – Distribuição de frequência do percentual de redução da carga bacteriana, 
empregando um novo desinfetante.
Fonte: O autor.
Solução: vamos, primeiramente, escrever a Tabela 14 com a coluna de frequência acumulada e 
identificar a classe mediana. Assim:
Tabela 14 – Distribuições de frequência.
Fonte: O autor.
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Depreende-se, da Tabela 14, que n = 40 e que a classe que contém a mediana é a segunda 
(hachurada na Tabela 14). Para essa classe, temos: , , e 
. Daí:
Portanto, o percentual de redução mediano foi de 23,45.
Logo, o valor mediano de redução da carga bacteriana, empregando um novo desinfetante, é 
igual a 23,45%.
3. MEDIDAS DE SEPARATRIZES
Essas medidas são valores que ocupam posições no conjunto de dados, em rol, dividindo-o 
em partes iguais e podendo ser:
(a) quartis – divide a série em quatro partes iguais. São assim representados Q1 (25% dos 
dados coletados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro quartil), Q2 (50% dos 
dados coletados são valores menores ou iguais ao valor do segundo quartil, e é evidente 
que Q2 coincide com a mediana) e Q3 (75% dos dados são valores menores ou iguais ao 
valor do terceiro quartil).
(b) decis – divide a série em dez partes iguais. São assim representados: D1 (10% dos 
dados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro decil), D2 (20% dos dados são 
valores menores ou iguais ao valor do primeiro decil), D3 (30% dos dados são valores 
menores ou iguais ao valor do primeiro decil), D4 (40% dos dados são valores menores 
ou iguais ao valor do primeiro decil), D5 (50% dos dados são valores menores ou iguais 
ao valor do primeiro decil), D6 (60% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do 
primeiro decil), D7 (70% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro 
decil), D8 (80% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro decil) e D9 
(90% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do primeiro decil).
(c) percentis - dividem o conjunto de dados em cem partes iguais. A seguir, são 
apresentados alguns dos percentis mais usados: P5 (5% dos dados são valores menores 
ou iguais ao valor do primeiro percentil), P10 (10% dos dados são valores menores ou 
iguais ao valor do décimo percentil), P25 (25% dos dados são valores menores ou iguais 
ao valor do percentil cinquenta), P50 (50% dos dados são valores menores ou iguais 
ao valor do primeiro percentil), P75 (75% dos dados são valores menores ou iguais ao 
valor do primeiro percentil), P90 (90% dos dados são valores menores ou iguais ao valor 
do percentil noventa) e P95 (95% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do 
percentil noventa e cinco).
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Exemplo 17
Um estudo conduzido para quantificar o percentual de rendimento, em óleo, do oleaginoso 
girassol para a produção de biodiesel é apresentado na Tabela 15.
Tabela 15 – Rendimento percentual de extração de oleaginosas.
Fonte: O autor.
Com base nessas informações, determine:
a) o primeiro quartil.
b) o segundo decil.
c) o octogésimo percentil.
Solução: primeiro, temos de organizar os dados em rol. Note que a Tabela 15 já está organizada 
em rol.Assim:
(a) para o primeiro quartil, temos que 25% dos valores são menores ou iguais ao valor do 
primeiro quartil. Daí, . Note que a grandeza rendimento não é 
inteira; então, arredondamo-la para cima. Assim, os percentuais de rendimento que ocupam 
entre a 1ª e a 8ª posição formam primeiro quartil, ou seja, Q1 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32; 2,71; 3,09; 
3,73; 4,03}.
(b) para o segundo decil, temos que 20% dos valores são menores ou iguais ao segundo decil. 
Daí, . Assim, os percentuais de rendimento que ocupam entre 
a 1ª e a 6ª posição formam o segundo decil, ou seja, D2 = {1,59; 1,83; 1,93; 2,32; 2,71; 3,09}.
(c) para o octogésimo quinto percentil, temos que 80% dos valores são menores ou iguais a 
80º percentil. Daí, . Assim, os percentuais de rendimento que 
ocupam entre a 1ª e a 24ª posição formam o octogésimo percentil, ou seja, P80 = {1,59; 1,83; 
1,93; 2,32; 2,71; 3,09; 3,73; 4,03; 4,25; 4,4; 4,5; 5,18; 5,2; 5,3; 5,34; 5,56; 6,04; 6,07; 6,09; 6,17; 
7,33; 7,97; 8,1}.
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4. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE
A medida de assimetria é um indicador da forma da distribuição dos dados. Ao construir 
uma distribuição de frequências e/ou um histograma, está-se buscando identificar visualmente a 
forma da distribuição dos dados. Uma distribuição é classificada como:
(a) simétrica se média = mediana = moda. Esse caso é ilustrado pela Figura 6.
Figura 6 – Distribuição simétrica. Fonte: O autor.
(b) assimétrica negativa se média ≤ mediana ≤ moda. O lado mais longo do polígono 
de frequência (cauda da distribuição) está à esquerda do centro, como apresentado na Figura 7.
Figura 7 – Distribuição assimétrica negativa. Fonte: O autor.
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(c) assimétrica positiva se moda ≤ mediana ≤ média. O lado mais longo do polígono de 
frequência está à direita do centro, como apresentado na Figura 8.
Figura 8 – Distribuição assimétrica positiva. Fonte: O autor.
Exemplo 18
Os valores a seguir correspondem à força, em kN, aplicada em vinte e cinco corpos de prova, 
feitos de um novo material e criados por um grupo de pesquisa constituído por engenheiros 
mecânicos:
24 – 24 – 24 – 25 – 25 – 30 – 32 – 32 – 35 – 36 – 36 – 40 – 40 – 40 – 40 – 40 – 46 – 48 – 48 – 50 
– 54 – 60 – 60 – 65 
Verifique se esse conjunto de dados é simétrico ou assimétrico.
Solução: para esse conjunto de dados, temos que a média é igual a 40 kN, a mediana é igual a 40 
kN, e a moda é igual a 40 kN (confira!). Assim, segue que essa distribuição é simétrica.
A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, ou o quanto uma curva de 
frequência será achatada em relação a uma curva normal de referência. Para o cálculo do grau 
de curtose de uma distribuição, utiliza-se o coeficiente de curtose (ou coeficiente percentílico de 
curtose), definido como na Eq. (12):
Eq. (12)
Nela: Q3 e Q1 são o terceiro e primeiro quartis; P90 e P10 são o décimo e nonagésimo 
percentis. Quanto à curtose, a distribuição pode ser:
(a) Mesocúrtica – normal. Nem achatada, nem alongada e é tal que C = 0,263, como 
apresentado na Figura 9.
Figura 9 – Curva mesocúrtica. Fonte: O autor.
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(b) Platicúrtica – achatada e, nesse caso, C > 0,263, como ilustra a Figura 10.
Figura 10 – Curva platicúrtica. Fonte: O autor.
(c) Leptocúrtica – alongada e, nesse caso, C < 0,263, como ilustrado na Figura 11.
Figura 11 – Curva leptocúrtica. Fonte: O autor.
5. MEDIDAS DE DISPERSÃO
Agora, vamos discutir a dispersão ou variabilidade dos dados estudados. Essas medidas 
incluem o estudo da amplitude total, da variância, do desvio-padrão e do coeficiente de variação. 
Nossos objetivos aqui são determinar as medidas de dispersão, bem como sua interpretação. 
Para iniciar nosso estudo, considere os seguintes conjuntos de dados:
A: 18, 18, 18, 18, 18
B: 16, 17, 18, 19, 20
C: - 47, - 37, - 2, 68, 108
A média aritmética de cada conjunto de dados é:
Note que, embora as médias aritméticas sejam iguais, existe diferença na dispersão desses 
dados em relação à média. Temos que o conjunto de dados A é mais homogêneo que o conjunto 
de dados B, que, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto de dados C. Ou seja, quando 
comparamos esses conjuntos de dados de A para C, temos aumento na dispersão dos dados por 
eles apresentados. 
Daí, surge a necessidade de medir a dispersão ou variabilidade de um conjunto de dados. 
As medidas de dispersão são: amplitude total, variância e desvio-padrão e coeficiente de variação.
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5.1 Amplitude Total 
A amplitude total (AT) de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o 
menor valor, como pode ser visto na Eq. (13):
Eq. (13)
 
Trata-se de uma medida de dispersão muito sensível aos valores extremos e não tão útil 
quanto as outras medidas de dispersão que estudaremos. Estudemos os exemplos seguintes.
Exemplo 19
Na Tabela 16, estão os valores, em rol, da tensão (em mV) desenvolvida por resistores idênticos 
testados em laboratório. Determine a amplitude total desse conjunto de dados.
Tabela 16 – Tensão desenvolvida por resistores, em mV.
Fonte: O autor.
 
Solução: antes de calcular a amplitude total, primeiramente, devemos escrever os dados em rol. 
Assim sendo, temos que:
Logo, o percentual de redução da carga bacteriana, empregando um novo desinfetante, é igual 
a 77,13.
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Exemplo 20
Na Tabela 17, estão os valores, em rol, da tensão (em mV) desenvolvida por resistores idênticos 
testados em laboratório. Determine a amplitude total desse conjunto de dados.
Tabela 17 - Tensão desenvolvida por resistores, em mV.
Fonte: O autor.
Solução: nessa situação, em que os dados estão organizados por classe, a amplitude é dada por: 
. Logo, a amplitude da tensão, desenvolvida pelos resistores em teste, é igual 
a 78 mV.
5.2 Variância
A diferença entre cada valor observado e a média é denominada desvio e é dada por 
, se o conjunto de dados for um universo, ou por se os dados forem amostrais. Ao 
somar todos os desvios, ou seja, ao somar todas as diferenças de cada valor observado em relação 
à média, o resultado é igual a zero. Isso significa que essa medida não mede a variabilidade dos 
dados. Para resolver esse problema, consideramos o quadrado dos desvios em relação à média.
A variância é uma medida de dispersão estatística, determinando quão longe os valores 
coletados estão em relação ao valor esperado. As variâncias populacional e amostral são calculadas 
de acordo com as Eq. (14) e (15), respectivamente:
Eq. (14)
Eq. (15)
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Nelas, é a variância populacional, é a variância amostral, é o valor da variável, é 
a média aritmética dos elementos da população, é a média aritmética dos elementos da amostra, 
N é o número de elementos da população, e n é o número de elementos da amostra.
Exemplo 21
O número de metros cúbicos de água, consumidos diariamente em um condomínio, é: 3 – 6 – 2 
– 7 – 2. Determine a variância amostral para o consumo de água desse condomínio, em .
Solução: primeiramente, vamos determinar a média aritmética da amostra. Assim, 
. Para obter o quadrado dos desvios, montamos a Tabela 18.
Tabela 18 – Tabela de desvios em relação à média.
Fonte: O autor.
Daí, segue que a variância amostral é:
Portanto, a variância é 5,5 2.
Vejamos agora o cálculo da variância para o caso em que os dados estão agrupados sem 
intervalo de classe. Nesse caso, a variância é dada pela Eq. (16):
Eq. (16)
Nela, é o ponto médio da classe considerada, n é o número de elementosda amostra, e 
 é a frequência absoluta.
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Exemplo 22
Uma pesquisa é realizada pelo Departamento de Recursos Humanos da empresa ALPHA a 
respeito do número de atestados médicos protocolados pelos funcionários ao longo do ano de 
2020. Determine a variância amostral para esse conjunto de dados.
Tabela 19 – Número de atestados médicos protocolados pelos funcionários da ALPHA.
Fonte: O autor.
Solução: Para o cálculo da variância amostral, montamos a Tabela 20. 
Tabela 20 – Valores calculados para determinação da variância amostral.
Fonte: O autor.
Assim, a variância amostral é
Logo, a variância da amostra é 1,05 atestado2.
Vejamos agora o cálculo da variância para o caso em que os dados estão agrupados com 
intervalo de classe. Nesse caso, a equação da variância é dada por:
Eq. (17)
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Na Eq. (17), é o ponto médio da classe considerada, n é o número de elementos da 
amostra, e é a frequência absoluta da classe.
Exemplo 23
A Tabela 21 apresenta a distribuição de frequência do percentual de redução da carga bacteriana, 
empregando um novo desinfetante desenvolvido por um engenheiro químico. Determine a 
variância amostral desse conjunto de dados.
Tabela 21 - Percentual de redução da carga bacteriana.
Fonte: O autor.
Solução: para o cálculo da variância amostral, montamos a Tabela 22.
Tabela 22 – Cálculo de valores para determinação da variância amostral.
Fonte: O autor.
Assim, a variância amostral é:
Logo, a variância é 250,42 %2.
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5.3 Desvio-Padrão
Vimos que a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvios em relação à média 
e que ela é um número cuja unidade está ao quadrado em relação à variável estudada, o que, sob o 
aspecto prático, é inconveniente. O desvio-padrão é definido como a raiz quadrada da variância, 
o que, do ponto de vista prático, é mais conveniente, pois, assim, a medida de dispersão tem a 
mesma unidade da média. O desvio-padrão populacional e amostral é definido pelas Eq. (18) e 
(19):
Eq. (18)
Eq. (19)
Nelas, é desvio-padrão populacional, é a variância amostral, é o valor da variável, 
 é a média aritmética dos elementos da população, é a média aritmética dos elementos da 
amostra, N é o número de elementos da população, e n é o número de elementos da amostra.
O desvio-padrão apresenta as seguintes propriedades:
(i) Adicionando (ou subtraindo) uma constante k de todos os valores da variável em 
estudo, o desvio padrão não se altera.
(ii) Multiplicando todos os valores da variável em estudo por uma constante k, tal que 
, o desvio-padrão fica multiplicado por essa constante.
Exemplo 24
No exemplo 21, verificamos que a variância foi . Assim, o desvio-padrão é 
 m3. Já, no exemplo 22, mostramos que a variância foi semanas2 
e, daí, o desvio-padrão é igual a semanas. Finalmente, no exemplo 23, 
verificamos que a variância foi %2 e, daí, o desvio-padrão é igual a %.
Quando todos os valores são iguais, o desvio-padrão é 0. Do contrário, o desvio-
padrão tem de ser positivo. 
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O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, o qual é definido 
como sendo a razão entre o desvio-padrão e a média aritmética. O coeficiente de variação, 
definido pela Eq. (20), é empregado na comparação do grau de concentração em torno da média 
para duas ou mais séries estatísticas distintas. Dizemos que uma série é mais homogênea que 
outra quando apresentar menor coeficiente de variação. 
Eq. (20)
Nela, s é o desvio-padrão, e é a média aritmética.
Exemplo 25
Na Tabela 23, são apresentados os valores da concentração de partículas poluentes em duas 
regiões distintas de uma grande cidade brasileira.
Tabela 23 – Concentração de partículas, em partes por bilhão (ppb).
Fonte: O autor.
Qual das regiões apresenta mais homogeneidade nos dados?
Solução: vamos calcular os coeficientes de variação das concentrações das partículas poluidoras 
das regiões A e B.
Como o coeficiente de variação da região A é menor que o da região B, segue que a concentração 
de partículas poluidoras na região A é mais homogênea que a da região B.
Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros é elaborado para atender 
aos estudantes de Engenharias, Física ou Química. Seus autores, Douglas 
C. Montgomery e George C. Runger, usaram exemplos reais para lidar com a 
variabilidade dos dados.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao final da Unidade 1. Nela, estudamos como organizar os dados em tabelas 
e gráficos. Estudamos, também, as medidas de posição, que são valores que representam a 
tendência de concentração dos dados observados. Na unidade, tratamos das seguintes medidas 
de posição: média, moda e mediana. Aprendemos, também, sobre as medidas de dispersão, 
que são utilizadas para indicar o grau de variação dos elementos de um conjunto numérico em 
relação à sua média. Abordamos quatro medidas de dispersão: amplitude, desvio, variância e 
desvio-padrão. Assim, chegamos ao fim da unidade e podemos dar início à próxima, na qual 
vamos discutir sobre probabilidade. 
Até lá!
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................................40
1. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE .......................................................................................................................... 41
2. AS REGRAS DA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO PARA O CÁLCULO DE PROBABILIDADE ..................................... 51
3. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE .............................................................................................66
3.1 A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL ............................................................................................76
3.2 A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISON .........................................................................................79
3.3 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL PROBABILIDADE ...................................................................................................82
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................93
ESTUDO DA PROBABILIDADE E DAS 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
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INTRODUÇÃO 
Athanasios Papoulis, um engenheiro e matemático grego, que escreveu o livro Probability, 
Random Variables and Stochastic Processes, usado nas principais escolas de engenharia do mundo, 
disse: “As teorias científicas lidam com conceitos, não com a realidade. Embora elas sejam 
formuladas para corresponder à realidade, esta correspondência é aproximada e a justificativa 
para todas as conclusões teóricas é baseada em alguma forma de raciocínio indutivo”. 
Desde o período dos primeiros estudos matemáticos sobre probabilidades até a metade do 
século XX, surgiram várias aplicações da Teoria das Probabilidades, aplicações que chamamos de 
clássicas, tais como: cálculo associado aos seguros de vida (cálculos atuariais); cálculos referentes 
aos estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação, como o caso recente 
do COVID-19 (estudos demográficos); teoria de jogos, como loteria, carteados etc. Todas essas 
teorias estão baseadas em probabilidades.Há registros históricos de censos para fins de alistamento militar e de coleta de impostos, 
realizados há mais de 4.000 anos, como é o caso do censo do imperador Yao, na China. Em todo 
esse tempo, a estatística era usada meramente para o trabalho de exibição e síntese dos dados 
colhidos pelo censo, ou seja, tratava-se da Estatística Descritiva, a qual não envolvia nenhum 
trabalho probabilístico, pois todos os objetos do universo envolvido (a população) eram apenas 
observados e medidos. 
A primeira pessoa a pensar em medir/observar uma amostra e, a partir de análise 
probabilista, estender os resultados dessa amostra para todo o universo foi Adolphe Quételet, 
no ano de 1850. A partir dele, rapidamente surgiu a ideia de dar consistência mais rigorosa ao 
método científico a partir de uma fundamentação probabilista para as etapas da coleta e análise 
indutiva de dados científicos. Essa ideia é usada até hoje para a tomada de decisões.
Nesta unidade, serão abordados os conceitos básicos de probabilidade e alguns casos de 
distribuição de probabilidade. Esperamos que você aproveite. Bons estudos.
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1. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Ao estudar probabilidade, deparamo-nos com uma série de novos conceitos. A fim de 
relembrar e elucidar esses conceitos, para melhor entendimento do estudo de probabilidade, 
acompanhe as definições que seguem.
Definição 1 - Um experimento é um processo que permite ao pesquisador realizar 
observações. Um evento é o conjunto de resultados de um dado experimento. Dizemos que 
esse evento é um evento simples quando o evento, ou o resultado desse evento, não pode ser 
decomposto em componentes mais simples. Por outro lado, um evento composto ocorre quando 
o mesmo combina dois ou mais eventos simples.
Definição 2 - O espaço amostral, denotado por S, é o conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento. Vamos denotar o número de resultados possíveis do espaço 
amostral por n(S).
Definição 3 - Um evento aleatório é qualquer subconjunto de um espaço amostral, ou 
seja, trata-se de um resultado possível de um experimento aleatório e que não é previsível. 
Acompanhe o exemplo que segue.
Exemplo 1
a) Considere o lançamento de uma moeda honesta. Nesse caso, o experimento é o lançamento 
da moeda. Os resultados do experimento, sair cara ou sair coroa, são caracterizados como 
eventos simples. O espaço amostral é S = {cara, coroa}.
b) Considere o lançamento simultâneo de três moedas honestas. Nesse caso, o experimento 
é o lançamento da moeda. Denotando c por cara e k por coroa, segue que o espaço amostral 
é . Os resultados desse experimento não são caracterizados como eventos 
simples. Mas por quê? Com o lançamento simultâneo de três moedas, o evento sair duas caras 
e uma coroa pode ser decomposto em eventos mais simples, como: , ou . Por 
outro lado, o resultado é um evento simples uma vez que não pode ser decomposto em 
resultados individuais. Aí, você poderia se perguntar: o evento não pode ser decomposto 
em resultados individuais, tais como c, c e k? A pergunta é ótima, mas a forma de pensar 
é incorreta, porque c, c e k não são resultados individuais do lançamento das três moedas. 
Lembre-se: com o lançamento de três moedas, n(S) = 8, ou seja, há exatamente 8 resultados 
possíveis de eventos simples que já foram listados em S.
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Vamos continuar com as definições.
Definição 4 - Admita um evento A qualquer, dentro de um espaço amostral S. O evento 
complementar de A, denotado por , é o evento que acontece caso o evento A não aconteça.
Definição 5 - Um evento equiprovável é aquele no qual cada ponto amostral tem a 
mesma chance de ocorrência.
Exemplo 2
No lançamento simultâneo de três moedas honestas, o espaço amostral tem 8 elementos e é 
igual a . Seja A o evento sair duas caras e uma coroa, ou seja,
 , . Dessa forma, o evento complementar de A é
 . Observe que, no espaço amostral S, todos os eventos 
têm iguais chances de saírem, isto é, as chances de sair o evento é idêntica às chances de 
saírem quaisquer outros eventos desse espaço amostral.
Definição 6 - Considere dois eventos distintos e quaisquer de um espaço amostral S, 
digamos A e B. Dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se, quando o evento 
A acontece, o evento B não acontece, ou vice-versa. Em outras palavras, a ocorrência de um dos 
eventos implica a não ocorrência do outro.
Definição 7 - Considere dois eventos distintos e quaisquer de um espaço amostral S, 
digamos A e B. Dizemos que a união dos eventos A e B é formada pelos pontos amostrais que 
pertencem a, pelo menos, um dos eventos. Em outras palavras, se o evento A ocorre ou se o 
evento B ocorre ou se ambos os eventos ocorrem.
Definição 8 - Considere dois eventos distintos e quaisquer de um espaço amostral S, 
digamos A e B. Dizemos que a interseção dos eventos A e B é formada pelos pontos amostrais que 
pertencem simultaneamente aos dois eventos. Em outras palavras, os eventos A e B acontecem 
nos dois eventos.
Na abordagem clássica de probabilidade, admitimos que um experimento seja constituído 
de N eventos simples, distintos e equiprováveis, a que denominados de elementos do espaço 
amostral. Seja A um evento qualquer desse espaço amostral S, tal que o número de modos que 
o evento A possa ocorrer seja n. A probabilidade de o evento A ocorrer em n das N maneiras 
possíveis é obtida pela razão entre o número de maneiras em que A pode ocorrer e o número 
de elementos distintos de eventos simples de S. A Eq. (1) ilustra a definição de probabilidade em 
abordagem clássica.
Eq. (1)
 
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Exemplo 3
O baralho francês de 52 cartas, ilustrado na Figura 1, é constituído de 13 cartas de cada um dos 
naipes franceses: paus, ouros, espadas e copas.
Figura 1 – Baralho francês de 52 cartas. Fonte: O autor.
Ao escolher aleatoriamente uma carta do baralho, qual a probabilidade de sair:
a) uma carta de paus?
b) uma figura?
c) uma figura de paus?
Solução: 
a) Seja X o evento de sair uma carta de paus. Observe que ele pode ocorrer 13 vezes. Assim:
Portanto, a probabilidade de sair uma carta de paus é de 25%.
b) Seja Y o evento de sair uma figura (reis, damas e valetes). Observe que ele pode ocorrer 12 
vezes. Assim: 
Portanto, a probabilidade de sair uma figura é, aproximadamente, de 23,1%.
c) Seja Z o evento de sair uma figura de paus. Observe que ele pode ocorrer 3 vezes. Assim: 
Portanto, a probabilidade de sair uma figura de paus é, aproximadamente, de 5,8%.
Ao efetuar cálculo de probabilidade, fique atento ao fato de que:
• a probabilidade de um evento impossível é nula.
• a probabilidade de um evento certo é igual a 1 (ou 100%).
• para qualquer evento X, a probabilidade de X está entre 0 e 1, inclusive.
• se P(X) denota a probabilidade de o evento X ocorrer, então, a probabilidade do 
evento complementar de X é igual a 
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Exemplo 4
Considere o experimento do lançamento simultâneo de três moedas honestas para responder 
às questões seguintes. 
a) Qual a probabilidade de saírem três caras?
b) Qual a probabilidade de saírem duas coroas?
c) Qual a probabilidade de saírem duas coroas consecutivas?
d) Qual a probabilidade de não saírem duas coroas consecutivas?
Solução: o espaço amostral para esse experimento contém 8 elementos, a saber: 
, em que c denota cara, e 
k, coroa.
a) Seja A o evento de saírem três caras, isto é, . Observe que ele pode ocorrer 1 vez. 
Assim: 
Portanto, a probabilidade de saírem três caras é de 12,5%.
b) Seja B o evento de saírem duas coroas. Observe que ele pode ocorrer 4 vezes, a saber: 
 e . Assim: 
Portanto, a probabilidade de saíremduas coroas é de 12,5%.
c) Seja C o evento de saírem duas coroas consecutivas. Observe que ele pode ocorrer 3 vezes. A 
saber, e . Assim: 
Portanto, a probabilidade de saírem duas coroas consecutivas é de 37,5%.
d) Observe que o evento de não saírem duas coroas consecutivas é o complemento do evento C, 
isto é, trata-se de . Observe que ele pode ocorrer 5 vezes, a saber: 
e . Assim: 
Portanto, a probabilidade de não saírem duas coroas consecutivas é de 62,5%.
Note, nos itens (c) e (d), que .
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Exemplo 5
Dois dados idênticos, honestos e com seis faces cada, são lançados simultaneamente. Com base 
nessa informação, determine a probabilidade de que:
a) saia, pelo menos, um número 3.
b) a soma dos dois resultados seja igual a 5.
c) saia, pelo menos, um número 3 e a soma dos dois resultados seja igual a 5.
Solução: o espaço amostral contém 36 elementos, e a Tabela 1 o ilustra.
Tabela 1 – Espaço amostral para o lançamento de dois dados honestos e idênticos.
Fonte: O autor.
a) Seja X o evento de sair, pelo menos, um número 3. Observe que ele pode ocorrer 11 vezes. 
Assim: 
b) Seja Y o evento de a soma dos dois resultados ser igual a 5. Observe que ele pode ocorrer 4 
vezes. Assim: 
c) Observe, nesse caso, que o evento saia, pelo menos, um número 3 e a soma dos dois resultados 
seja igual a 5 é a intersecção dos eventos X e Y dos itens (a) e (b). Observe que ele pode ocorrer 
2 vezes, a saber: (3,2) e (2,3). Assim: 
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Exemplo 6
Em uma fábrica, existem 3 máquinas, A, B e C, que produzem diariamente 10.000 peças. Sabe-
se que A, B e C produzem, respectivamente, 2000, 5000 e 3000 peças. Da produção de A, B e 
C, respectivamente, 5%,10% e 20% são defeituosas. Seleciona-se uma peça ao acaso e verifica-
se que é defeituosa. Determine a probabilidade de essa peça defeituosa ser proveniente da 
máquina C.
Solução: segue do enunciado que o número de peças com defeitos das máquinas A, B e C são, 
respectivamente, 100, 500 e 600, totalizando 1200. Seja X o evento de selecionar uma peça ao 
acaso e essa ser proveniente da máquina C, temos que:
Portanto, a probabilidade de essa peça defeituosa ser proveniente da máquina C é de 50%.
Exemplo 7
Determine a probabilidade de que, quando um casal tem três filhos, exatamente dois deles 
sejam meninas. Admita que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o gênero de 
uma criança não seja influenciado pelo gênero de qualquer outra criança.
Solução: primeiramente, vamos construir o espaço amostral e vamos denotar por X o evento 
de virem a nascer exatamente 2 meninas. O espaço amostral para esse experimento contém 8 
elementos, a saber: ,
em que A denota menina, e O denota menino. Observe que o espaço amostral contém 8 
possibilidades, 3 correspondem a exatamente 2 meninas de modo que:
Portanto, é esperada a probabilidade de 37,5% de que, se um casal tem 3 filhos, exatamente 2 
sejam meninas.
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Exemplo 8
Uma urna contém de bolas brancas e de bolas pretas, sendo que somente metade das bolas 
brancas e das bolas pretas contêm um prêmio em seu interior. Uma bola dessa urna é sorteada 
aleatoriamente e, quando aberta, verifica-se que tem um prêmio em seu interior. Na situação 
descrita, determine a probabilidade de que essa bola seja branca.
Solução: seja N o número de bolas no interior da urna. Dessas, são brancas e pretas. 
De acordo com o enunciado, metade das bolas brancas contém prêmio, ou seja, . 
Analogamente, das bolas pretas contêm prêmio, isto é, . Assim, temos 
de bolas premiadas. Seja S o espaço amostral das bolas premiadas, segue que . Seja A 
o evento de sorteio de bola branca, dentre as que contêm um prêmio, aplicando a Eq. (1)
Portanto, a probabilidade de que a bola sorteada seja branca e contenha prêmio é de 60%. 
No cálculo de probabilidade, é comum fazermos uso dos diagramas 
de Venn para nos auxiliarem na resolução de situações-problema. 
Assista ao vídeo Diagramas de Venn, do canal Brasil Escola, para 
relembrar esse procedimento. 
O vídeo está disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=4OzeSbLNUqg . 
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Exemplo 9
Foi observado que uma loja de departamentos recebe, por hora, cerca de 250 clientes. Desses,
(i) 120 se dirigem ao setor de vestuário;
(ii) 90, ao setor de cosméticos;
(iii) 80, ao setor cinevídeo;
(iv) 50 se dirigem aos setores de vestuário e de cosméticos;
(v) 30 aos setores de cosméticos e de cinevídeo
(vi) 30, aos setores de vestuário e cinevídeo.
Observou-se, ainda, que 50 clientes se dirigem a outros setores, que não vestuário ou 
cosméticos ou cinevídeo. Observou-se, ainda, que 50 clientes se dirigem a outros setores, que 
não vestuário ou cosméticos ou cinevídeo. Qual a probabilidade de um cliente entrar nessa loja 
de departamentos e se dirigir aos setores de vestuário, de cosméticos e de cinevídeo?
Solução: primeiramente, montamos o Diagrama de Venn, como ilustrado na Figura 2. Assim, 
em seguida, determinamos o valor de x. 
Figura 2 - Diagrama de Venn. Fonte: O autor.
Daí,
 
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Assim, o diagrama de Venn fica como apresentado na Figura 3.
Figura 3 – Diagrama de Venn. Fonte: O autor.
Logo, se P(A) é a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir 
aos setores de vestuário, de cosméticos e de cinevídeo, então, segue que 
A revista SUPERINTERESSANTE publicou, em agosto de 2012, uma matéria dedicada 
à sorte. Os autores da reportagem, Alexandre de Santi e Cristine Kist, afirmam 
que “Tudo é uma questão de probabilidade”. Leia essa reportagem, disponível 
em http://super.abril.com.br/cotidiano/sorte-manual-instrucoes-701027.shtml. 
Consulte, também, no site da Caixa Econômica Federal as probabilidades de você 
ganhar na Mega Sena (disponível em http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/
megasena/probabilidades.asp).
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Outra maneira de se abordar a definição de probabilidade é por meio da frequência 
relativa. Nessa situação, observamos (ou realizamos) um dado experimento e quantificamos o 
número de vezes em que o evento X, por exemplo, ocorreu. Assim, a probabilidade de ocorrência 
do evento X é aproximada por meio da Eq. (2).
Eq. (2)
Exemplo 10
A Tabela 2 apresenta dados de sobrevivência (em dias) de uma corte de animais acometidos 
por uma doença aguda. Na primeira coluna, t corresponde aos dias, sendo t = 0 o dia em que a 
contagem começou a ser feita. vt, na segunda coluna, é a quantidade de animais vivos no início 
do dia t. dt, na terceira coluna, indica quantos animais morreram no decorrer do dia t.
Tabela 2 – Dados de sobrevivência de animais acometidos por uma doença aguda.
Fonte: O autor.
Com referência a essas informações, julgue os itens que se seguem. 
A) Se um animal que estivesse vivo no início do dia t = 4 fosse escolhido ao acaso, a probabilidade 
de ele ter chegado vivo no dia t = 7 seria superior a 60%. 
Solução: seja A o evento de o animal estar vivo. Assim, no dia 4, temos, inicialmente, 7.200 
animais vivos. Do dia 4 até o início do dia 7, o número de animais que vieram a morrer foi de 
3.150 (1.080 + 720 + 1.350). Aplicando a Eq. (2):
Daí, , ou seja, a probabilidade de o 
animal estar vivo no dia 7 é de 56,25%, que é inferior a 60% e, portanto, a afirmação está errada.
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B) Se um animal que estivesse vivo no início do dia t = 3 fosse escolhido ao acaso, a probabilidadede ele ter morrido até o dia t = 6 seria superior a 50%. 
Solução: seja A o evento de o animal estar vivo. Assim, no dia 3, temos, inicialmente, 8.000 
animais vivos. Do dia 3 até o início do dia 7, o número de animais que vieram a morrer foi de 
3.950 (800 + 1.080 + 720 + 1.350). Aplicando a Eq. (2):
Ou seja, a probabilidade de o animal que estava vivo no dia 3 vir a morrer até o dia 6 é de 
49,375% e, portanto, a afirmação está errada.
C) Se um animal que estivesse vivo no início do dia t = 4 fosse escolhido ao acaso, a probabilidade 
de ele morrer nesse dia seria igual a 15%.
Solução: seja B o evento de o animal vir a morrer no dia 4. Note que o número de animais que 
morrem nesse dia é igual a 1.080, enquanto o número de animais no início desse dia é igual a 
7.200. Assim, aplicando a Eq. (2):
Logo, a probabilidade de o animal vir a morrer no dia 4 é de 15%, e a afirmação está correta.
2. AS REGRAS DA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO PARA O CÁLCULO DE 
PROBABILIDADE
Discutimos até agora o cálculo de probabilidade de eventos simples, ou seja, calculávamos 
a probabilidade de um evento A qualquer, contando o número de possibilidades dentro de um 
espaço amostral S. Agora, vamos dar atenção aos eventos compostos, ou seja, vamos examinar 
situações de contar resultados em “experimentos”. Isso significa que empregaremos as técnicas da 
adição e da multiplicação para calcular a probabilidade desse evento.
Vamos começar com a técnica da adição. Suponha um experimento que seja composto 
por dois eventos simples, tal que possamos realizar um evento 1 de p maneiras e o evento 2 de 
q maneiras. Assim, podemos realizar o evento 1 OU o evento 2 (mas não os dois) de 
maneiras. Por exemplo: se, em uma lista, há 5 vogais e 20 consoantes, então, podemos escolher 
uma letra de 5 + 20 = 25 maneiras.
Considere um experimento que seja constituído por dois eventos simples que ocorrem 
simultaneamente, digamos X e Y. Estamos interessados em determinar a probabilidade da 
ocorrência do evento X ou da ocorrência do evento Y, isto é, ou, ainda, . A 
Eq. (3) ilustra o procedimento de cálculo nessas situações.
Eq. (3)
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Na Eq. (3), (ou ) denota a probabilidade de que os eventos X e Y 
ocorram ao mesmo tempo na execução do experimento. 
Podemos, ainda, estar interessados em determinar a probabilidade de três eventos simples 
que ocorram simultaneamente, isto é, determinar a probabilidade de ocorrência do evento X ou 
do evento Y ou do evento Z, isto é, A Eq. (4) ilustra o procedimento de cálculo 
nessas situações:
Eq. (4)
 
Para facilitar a compreensão do tópico da adição de probabilidade, considere os exemplos 
que seguem.
 
Exemplo 11
Considere um baralho convencional com 52 cartas, do Exemplo 3. Ao selecionar uma carta ao 
acaso, qual a probabilidade de sair uma carta de paus ou uma figura?
Solução: já vimos, no Exemplo 3, que a probabilidade de sair uma carta de paus é , 
a probabilidade de sair uma figura é , e a probabilidade de sair uma figura de paus é 
 . Volte lá e confira! Observe que o evento Z, que fora definido no Exemplo 3, é 
tal que . Daí, a probabilidade de sair uma carta de paus ou figura é calculada empre-
gando-se a Eq. (3):
Portanto, ao selecionar uma carta ao acaso, a probabilidade de sair uma carta de paus ou uma 
figura é de 42,3%.
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Exemplo 12
Considere o experimento do lançamento simultâneo de três moedas honestas. 
Qual a probabilidade de saírem duas caras consecutivas ou exatamente uma coroa?
Solução: o espaço amostral para esse experimento contém 8 elementos, a saber: 
. Seja A o evento de 
saírem duas caras consecutivas. Observe que ele pode ocorrer 4 vezes, a saber: e 
. Assim, aplicando a Eq. (1):
Seja B o evento de sair exatamente uma coroa. Observe que ele pode ocorrer 3 vezes, a saber: 
 e . Assim, aplicando a Eq. (1):
Seja C o evento obtido da intersecção dentre os eventos A e B, isto é, . O evento C 
consiste em saírem duas caras consecutivas e uma coroa. Note que isso ocorre 2 vezes, a saber: 
 e . Assim, aplicando a Eq. (1):
Daí, a probabilidade de saírem duas caras consecutivas ou exatamente uma coroa é calculada 
empregando-se a Eq. (3):
Portanto, no lançamento simultâneo de três moedas honestas, a probabilidade de lançamento 
simultâneo de três moedas honestas é de 50,0%. 
Agora, vamos para a técnica da multiplicação. Suponha um experimento que seja 
composto de dois eventos simples, tal que possamos realizar um evento 1 de maneiras e o 
evento 2 de maneiras. Assim, podemos realizar o evento 1 e o evento 2 de maneiras. Por 
exemplo: se, em uma lista, há 5 vogais e 20 consoantes, então, podemos escolher uma consoante 
seguida de uma vogal para compor uma sílaba, e isso pode ser feito de maneiras.
Considere um experimento que seja constituído por dois eventos simples que ocorram 
simultaneamente, digamos X e Y. Estamos interessados em determinar a probabilidade da 
ocorrência do evento X e da ocorrência do evento Y, isto é, ou, ainda, . A Eq. 
(5) ilustra o procedimento de cálculo nessas situações:
Eq. (5)
Quando aplicamos a Eq. (5), temos de ter em mente que os eventos X e Y são independentes, 
isto é, a ocorrência de um não afetará a ocorrência do outro. Na prática, essa observação manifesta-
se com a reposição dos elementos sorteados. O resultado da Eq. (5) pode ser estendido para N 
eventos independentes e simples. 
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Exemplo 13
Em uma avaliação, um aluno deve responder às duas questões seguintes.
1) Verdadeiro ou Falso: “Intenção significa propósito/desejo enquanto intensão significa 
intensidade/força”.
2) Numa quarta-feira, André foi à caça. Numa quinta, matou o coelho. Numa sexta, levou 
o coelho para casa e, no dia seguinte, comeu-o. Em qual dia da semana André comeu 
o coelho?
(a) quarta-feira
(b) quinta-feira
(c) sexta-feira
(d) sábado
(e) domingo
Admitindo que o aluno que responderá ao questionário o faça de forma aleatória em ambas as 
questões, qual a chance de ele acertar as duas?
Solução: a primeira questão é verdadeira e, na segunda, é correta a alternativa (c). Observe que 
o espaço amostral para a primeira questão é R = {V, F}, e a probabilidade de essa pessoa acertar 
a questão é . Já, na segunda questão, temos 5 possibilidades de alternativas 
(o espaço amostral é W = {(a), (b), (c), (d), (e)}) para uma possibilidade de a alternativa estar 
correta. Assim, a probabilidade de a pessoa acertar a segunda questão é . 
Logo, a probabilidade de acertar ambas as questões é calculada por meio da Eq. (5):
Outra maneira de resolver essa questão é considerar o espaço amostral desse experimento: 
 e, agora, considerar que X seja o evento de acertar ambas 
as questões. Daí, .
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Exemplo 14
Uma bomba centrífuga, que opera em uma refinaria, tem 60% de chances de não cavitar e 80% 
de chances de não apresentar problemas mecânicos em seu rotor. Qual a probabilidade de 
essa bomba centrífuga não desenvolver nenhum dos problemas citados (cavitação e problema 
técnico no rotor)?
Solução: sejam X e Y os eventos de a bomba centrífuga não entrar em cavitação e apresentar 
algum problema mecânico no rotor, respectivamente. Assim, P(X) = 0,60 e P(Y) = 0,80. A 
probabilidade de que essa bomba centrífuga não desenvolva as duas falhas é calculada pela Eq. 
(5):
Portanto, a probabilidade de essa bomba centrífuga não desenvolver nenhum dos problemas 
citados é de 48%.
Exemplo 15
De um baralho francês com 52 cartas, são retiradas, com reposição, três cartas. Qual a 
probabilidade de que as três cartas sejam de paus?
Solução: seja B o evento de sortear aleatoriamente uma carta de paus do baralho. Assim, P(B)