Matemática_para_Computação-UCA_EAD_c

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“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
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cultural da comunidade em que está inserida.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
SUMÁRIO
AULA 01 
AULA 02 
AULA 03 
AULA 04 
AULA 05 
AULA 06
AULA 07 
AULA 08 
AULA 09 
AULA 10 
AULA 11 
AULA 12
AULA 13 
AULA 14 
AULA 15 
AULA 16
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 4
TABELAS 10
GRÁFICO DE BARRAS 16
GRÁFICO DE SETORES 22
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MÉDIA, MEDIANA E MODA 28
MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO MÉDIO 35
MEDIDAS DE DISPERSÃO: VARIÂNCIA 40
MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO PADRÃO 46
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 51
PROBABILIDADE BÁSICA 55
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E NÃO EXCLUSIVOS E 
REGRAS DE PROBABILIDADE 62
EVENTOS INDEPENDENTES E EVENTOS DEPENDENTES 66
REGRA DA ADIÇÃO 72
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 77
PROBABILIDADE CONDICIONAL 80
DIAGRAMAS DE VENN 86
INTRODUÇÃO
A Estatística é uma área de estudo que analisa dados de uma determinada 
população. Além de analisar, fornece-nos ferramentas para representar e orga-
nizar esses dados, de forma que tais ferramentas são muito utilizadas na área de 
gestão para efetuar inferência e tomar decisão sobre diferentes situações. Logo, 
é de extrema importância o estudo da estatística para que possamos tomar as 
decisões corretas, refletir, controlar e utilizar corretamente as informações apre-
sentadas por meio de dados. 
Já a Probabilidade teve sua origem em jogos de azar, mas diariamente fazemos 
cálculos probabilísticos intuitivamente, por exemplo, verificar a possibilidade de 
chover, analisar quais são as combinações de roupas disponíveis, decidir se aposta 
ou não na loteria, empresas utilizam a probabilidade em processos de deliberação 
de tarefas, enfim a probabilidade é um ramo que estuda a tomada de decisão a 
partir de situações que ocorrem ao acaso.
Ementa: Introdução à Estatística. Estatística Descritiva: tabelas e gráficos, tabe-
las de distribuição de frequência, gráficos de barras, colunas e setores; medidas 
de posição, médias, mediana, moda, medidas de dispersão, desvio médio, desvio 
padrão, coeficiente de variação; introdução à teoria da amostragem. Probabilida-
des: definições básicas de probabilidade, eventos mutuamente exclusivos e não 
exclusivos, eventos independentes, dependentes e probabilidade condicional, 
teoremas de cálculo de probabilidade, teorema da soma, teorema do produto, 
diagrama de Venn. Variáveis aleatórias discretas. Variáveis aleatórias contínuas. 
Tabelas estatísticas.
INTRODUÇÃO 
À ESTATÍSTICA
AULA 01
5
Estatística é o ramo da Matemática que transforma dados em informações 
úteis para indivíduos responsáveis pela tomada de decisão. Sendo assim, nos aju-
da a apresentar e descrever corretamente dados e informações de uma empresa, 
tirar conclusões de grandes populações a partir de dados de amostras e realizar 
prognósticos confiáveis.
Vocabulário Básico de Estatística
Alguns termos são utilizados com frequência em Estatística, então vamos co-
nhecer quais são os principais termos adotados.
• Variável
Uma variável corresponde a uma característica de um item ou de um 
indivíduo. Está relacionada a alguma coisa que se modifica ou varia, por 
exemplo: vendas, lucro líquido, despesa, etc.
• População
Uma população consiste em todos os itens ou indivíduos em relação 
aos quais você deseja tirar uma conclusão.
• Amostra
Uma amostra corresponde à parcela da população selecionada para 
análise.
• Parâmetro
Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica 
de uma população.
Agora que você já conhece os principais termos utilizados em estatística, vamos 
conhecer quais são os tipos de variáveis utilizadas.
Variáveis Estatísticas
As variáveis estatísticas podem ser classificadas em dois grupos: variáveis qua-
litativas e variáveis quantitativas.
• Variáveis Qualitativas
As variáveis qualitativas são as que descrevem qualidades da amostra 
analisada. Elas podem ser classificadas em: Nominais e Ordinais.
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• Variáveis Qualitativas Nominais
As variáveis qualitativas nominais classificam os dados em categorias 
distintas, nas quais não está implícito nenhum tipo de classificação. Não 
existe ordenação dentro das categorias.
Por exemplo: a cor dos olhos de uma determinada população, não existe 
ordenação em relação à cor dos olhos, ou seja, não conseguimos classi-
ficar qual cor de olho vem primeiro em grau de importância.
• Variáveis Qualitativas Ordinais
As variáveis qualitativas ordinais classificam dados em categorias distin-
tas, nas quais está implícita uma classificação. Existe ordenação dentro 
das categorias. 
Por exemplo: o tipo de seleção de atendimento em pronto-socorro é 
feito a partir da análise de uma variável qualitativa ordinal, o estado de 
saúde do paciente, então os pacientes são classificados em ordem de 
prioridade, tem-se a classificação de riscos: casos leves, casos menos 
graves, casos de urgência, casos muito urgentes e casos de emergência.
• Variáveis Quantitativas
As variáveis quantitativas representam características que podem ser 
representadas numericamente. Tais variáveis também são classificadas 
em dois grupos: Discretas e Contínuas.
• Variáveis Quantitativas Discretas
As variáveis quantitativas discretas apresentam valores numéricos que 
surgem de um processo de contagem. 
Por exemplo: quantidade de pessoas que frequentam o ensino superior.
• Variáveis Quantitativas Contínuas
As variáveis quantitativas contínuas produzem respostas numéricas que 
surgem de um processo de mensuração. 
 Por exemplo: a taxa de açúcar presente no sangue pode ser obtida a 
partir de um processo de mensuração, ou seja, é preciso medir quanto 
tem de açúcar no sangue.
7
A Figura 1 apresenta a diferença entre os tipos de variáveis estatísticas.
Figura 1- Variáveis Estatísticas
Fonte: Canal Youtube: Ciência Exata
Exemplos:
1) Para cada uma das variáveis seguintes, determine se a variável é qualitativa 
ou quantitativa. Classifique-as.
• Número de telefones por domicílio.
• Para verificar a quantidade de telefones que os domicílios possuem é 
necessário efetuar um processo de contagem de telefones por casa, 
logo temos uma variável quantitativa discreta.
• Duração (em minutos) da chamada de longa distância mais demorada, 
a cada mês.
• Para determinar a duração em minutos de uma chamada precisamos 
de um instrumento de medida, logo temos uma variável quantitativa 
contínua.
• Se alguém no domicílio possui telefone celular.
• Esta resposta pode ser dada somente com sim ou não, logo é uma qua-
litativa nominal.
8
Exemplo:
2) Para cada uma das variáveis seguintes, determine se a variável é qualitativa 
ou quantitativa. Se a variável for quantitativa, determine se a variável é discreta 
ou contínua.
a) Número de telefones por domicílio.
b) Para verificar a quantidade de telefones que os domicílios possuem é 
necessário efetuar um processo de contagem de telefones por casa, 
logo temos uma variável quantitativa discreta.
c) Duração (em minutos) da chamada de longa distância mais demorada, 
a cada mês.
d) Para verificar a duração (em minutos) de uma chamada de longa dis-
tância, precisamos de um instrumento de medidas, logo a variável é 
quantitativa contínua.
e) Se alguém no domicíliopossui telefone celular.
f) Para responder a essa questão, podemos apenas dizer “sim” ou “não”, 
logo temos uma variável qualitativa nominal.
g) Se existe, no domicílio, uma conexão de internet de banda larga.
Para responder a essa questão, podemos apenas dizer “sim” ou “não”, logo 
temos uma variável qualitativa nominal.
3) As seguintes informações são coletadas de alunos na saída da livraria do 
campus universitário, ao longo da primeira semana de aulas:
• Quantidade de tempo gasto fazendo compras na livraria.
• Número de livros didáticos comprados.
• Área de especialização do aluno.
• Sexo do aluno.
Isto acontece 
na prática
Você já deve ter passado em um pronto atendimento e após a triagem 
foi classificado em um grupo de risco. As classificações de riscos são fei-
tas, na maioria das vezes, como: não urgente, pouco urgente, urgente, 
emergência. Como temos uma ordem de classificação, temos uma variá-
vel qualitativa ordinal. No seu cotidiano você está rodeado de variáveis 
aleatórias quantitativas e qualitativas.
9
Classifique cada uma dessas variáveis como qualitativas ou quantitativas.
• Quantidade de tempo gasto fazendo compras na livraria.
Variável quantitativa contínua, pois é feita a partir de um processo de 
mensuração.
• Número de livros didáticos comprados.
Variável quantitativa discreta, pois surge de um processo de contagem.
• Área de especialização do aluno.
Variável qualitativa nominal, pois dentro do grupo especialização, não 
há uma ordem de classificação das especializações.
• Sexo do aluno.
Variável qualitativa nominal, pois não existe uma ordem de classificação.
10
TABELAS
AULA 02
11
Porcentagem
Em estudos de Probabilidade e Estatística é imprescindível estudar o cálculo 
das porcentagens, pois nas duas áreas citadas tal conhecimento é muito impor-
tante e utilizado.
Há várias formas de calcular a porcentagem, vamos trabalhar o cálculo de 
porcentagens a partir da regra de três. 
Entendemos por porcentagem a razão centesimal utilizada para expressar 
situações envolvendo valores comparativos. É muito comum utilizar a regra de 
três simples para o cálculo de porcentagens. Quando utilizamos a regra de três 
simples, sempre conhecemos três valores e buscamos encontrar um quarto valor, 
porém em muitas situações é comum não conhecermos três valores e sim apenas 
dois, é muito comum isto acontecer no cálculo de porcentagens e um recurso 
muito utilizado é conhecer o total que estamos trabalhando, pois sabemos que o 
total sempre representa 100% em porcentagem.
Podemos representar porcentagem através de fração e número decimal. Veja 
a Tabela 1:
Tabela 1- Transformação de porcentagem em número decimal e fração irredutível
Porcentagem % Número Decimal Fração Irredutível
12% 0,12 12
:4
100:4 
3
25 
=
40% 0,40 = 0,4 40
:20
100:20 
2
5 
=
210% 2,10 = 2,1 210
:10
100:10 
21
10 
=
5% 0,05 5
:5
100:5 
1
20 
=
Fonte: Desenvolvido pela autora
Para escrever uma porcentagem em forma de número decimal, basta copiar o 
número representado pela porcentagem e “andar duas casas com a vírgula” para 
direita. Caso não tenham duas casas para andar com a vírgula, acrescente zeros. 
Para escrever a fração irredutível coloque no numerador o número referente à 
porcentagem e no denominador 100, pois porcentagem considera o todo dividido 
12
em 100 partes. Sempre que possível, simplifique a fração, dividindo o numerador 
e o denominador pelo mesmo número.
Exemplo:
1) Em uma promoção uma calça que custa 80 reais está sendo vendida com 
16 reais de desconto, qual a porcentagem de desconto dessa calça?
Neste caso temos apenas dois valores conhecidos, o preço da calça e o valor do 
desconto, porém iremos utilizar a informação do valor total da calça que corres-
ponde a 100% do preço da calça. Lembre-se que quando trabalhamos com regra 
de três, simples ou composta, precisamos analisar se as grandezas são diretas ou 
inversamente proporcionais. Neste caso, as grandezas são diretamente propor-
cionais, então precisamos apenas efetuar a multiplicação em cruz.
Preço Porcentagem
80 100
16 x
Multiplicando os valores em cruz, fazemos:
80x = 16.100
80x = 1600
x = 20 %
Logo, a porcentagem de desconto será de 20%.
2) Uma mercadoria custava R$300,00 e teve um aumento de 20%. Como as 
vendas caíram a mercadoria teve um desconto de 20%. Qual o preço da merca-
doria considerando o desconto?
Tenha cuidado nesse exercício para não dizer que o preço permaneceu 
R$300,00. Quando obtemos uma nova quantidade, a porcentagem se altera para 
essa nova quantidade. Então, vamos calcular quanto representa 20% de R$300,00 
e descobrir o valor em reais do aumento.
Preço Porcentagem
300 100
x 20
100x = 6000
x = 60 reais de aumento
Logo, o novo preço será de R$360,00.
13
Sobre os R$360,00 iremos calcular 20% e obter o valor em reais do desconto.
Preço Porcentagem
360 100
x 20
100x = 7200
x = 72 reais
Logo o novo preço do produto, considerando o desconto de R$72,00 será: 
360 – 72 = 288 reais.
Tabelas
As tabelas indicam cada valor distinto de uma variável, juntamente com uma 
contagem do número de vezes que esse valor ocorre, esta contagem é denomi-
nada de frequência. As tabelas de frequência podem apresentar as porcentagens 
relativas às frequências.
Regras para a construção de uma tabela
• Na construção de uma tabela os dados são apresentados em linhas e 
colunas.
• A tabela deve ser simples e autoexplicativa.
• Nenhuma casa da tabela deve ficar em branco.
• Os totais devem ser destacados.
• O título aparece sempre na parte superior da tabela e deve ser claro.
• Frequência absoluta: Frequência Absoluta de um valor é o número de 
vezes em que uma determinada variável assume um valor.
• A frequência relativa apresenta a porcentagem de observações.
Isto acontece 
na prática
Em artigos científicos as tabelas são muito utilizadas para demonstração 
de resultados e comprovação de teses através de dados numéricos, logo 
é importante saber construir uma tabela de forma clara e que transmita 
resumidamente os dados.
14
2) Numa faculdade pretende-se analisar a classificação de 80 alunos no 1º se-
mestre. Para isso, uma tabela de frequência e porcentagem foi construída.
Nível de classificação Frequência absoluta Frequência relativa
Nível 1 20
Nível 2 10
Nível 3 30
Nível 4 15
Nível 5 5
Total 80
Precisamos preencher a última coluna da frequência relativa. Lembre-se que 
frequência relativa representa a porcentagem.
Para calcular a porcentagem de cada frequência absoluta, vamos fazer regra 
de três.
Isto acontece 
na prática
Exemplo
A Tabela 2 apresenta os dados obtidos a partir do levantamento de vendas 
em uma concessionária e preencha os campos em branco na tabela.
Tabela 2: Vendas na concessionária
Veículos Frequência absoluta Frequência relativa
Carros 150
Motos 200
Caminhões 50
Fonte: Elaborada pela autora
Para a construção da tabela, você preencherá a coluna de frequência relati-
va utilizando regra de três. Lembre-se o total (100%) será 150+200+50 = 400.
15
Nível 1
Frequência Absoluta Porcentagem
80 100
20 x
80x = 2000
x = 25%
Nível 2
Frequência Absoluta Porcentagem
80 100
10 x
80x = 1000
x = 12,5%
Nível 3
Frequência Absoluta Porcentagem
80 100
30 x
80x = 3000
x = 37,5%
Nível 4
Frequência Absoluta Porcentagem
80 100
15 x
80x = 1500
x = 18,75%
Nível 5
Frequência Absoluta Porcentagem
80 100
5 x
80x = 500
x = 6,25%
16
GRÁFICO DE 
BARRAS
AULA 03
17
Os gráficos transmitem informações numéricas de forma simplificada, facilitan-
do a compreensão de tais informações. Os gráficos podem ser de: linha, colunas, 
barras, setores, áreas, em rede e pictogramas.
Os gráficos de barras representam os dados através de retângulos, com o 
intuito de analisar as projeções no período determinado. 
As barras podem ser verticais ou horizontais. Se as barras forem verticais, no 
eixo horizontal colocaremos as variáveis qualitativas e no eixo vertical as variáveis 
quantitativas.As variáveis quantitativas podem ser expressas a partir de porcen-
tagens (frequência relativa) ou quantidades numéricas (frequência absoluta). Se 
as barras forem horizontais, no eixo vertical colocaremos as variáveis qualitativas 
e no eixo horizontal, as variáveis quantitativas.
É importante que num gráfico de barras, as colunas tenham a mesma largura 
e a altura de cada barra, ou coluna, deve ser proporcional à frequência (relativa 
ou absoluta) à qual a variável se refere. O título, assim como na tabela, deve ser 
claro e representar corretamente a informação do gráfico.
É comum alguns gráficos de barras apresentarem mais de uma informação. 
Neste caso, as colunas são justapostas. Por este motivo é imprescindível a legenda 
em um gráfico.
O gráfico de barras a seguir, é um gráfico no qual as variáveis qualitativas são 
apresentadas no eixo vertical. 
Gráfico 1- Opinião de estudantes de Engenharia Civil sobre a extensão da prova ENADE
Fonte: MATTOS, Viviane Leite de, AZAMBUJA, Ana Maria de KONRATH, Andréa Cristina. Introdução 
à Estatística - Aplicações em Ciências Exatas
18
O Gráfico 2 exemplifica um gráfico de colunas justapostas.
Gráfico 2- Opinião de estudantes de Engenharia Civil sobre a extensão da prova ENADE, compa-
rativo entre respondentes da FURG e Brasil
Fonte: MATTOS, Viviane Leite de, AZAMBUJA, Ana Maria de, KONRATH, Andréa Cristina. Introdução 
à Estatística - Aplicações em Ciências Exatas.
O Gráfico 3 exemplifica um gráfico de barras horizontais.
Gráfico 3- Gráfico de barras horizontais
Fonte: Wikipedia
Isto está 
na rede
Segue um link para a construção de gráficos utilizando o Excel. Essa fer-
ramenta será muito útil para seus trabalhos. 
https://www.youtube.com/watch?v=ArjZJXEEa9o
19
Exemplo:
1) O Gráfico 4 mostra o resultado de uma pesquisa sobre a atividade de lazer 
preferida de um grupo de pessoas.
Gráfico 4- Atividade de Lazer Preferida
Fonte:Desenvolvido pela autora
A partir do Gráfico 4 podemos construir uma tabela com as informações. Va-
mos adicionar uma coluna extra com as porcentagens correspondentes de cada 
quantidade.
Para calcular as porcentagens, vamos fazer regra de três.
Esportes
Frequência Absoluta Porcentagem
39 100
12 x
39x = 1200
x = 30,76%
Leitura
Frequência Absoluta Porcentagem
39 100
6 x
39x = 600
x = 15,38%
20
Passeio
Frequência Absoluta Porcentagem
39 100
8 x
39x = 800
x = 20,51%
TV
Frequência Absoluta Porcentagem
39 100
5 x
39x = 500
x = 12,82%
Videogame
Frequência Absoluta Porcentagem
39 100
8 x
39x = 800
x = 20,51%
Agora que possuímos os valores das porcentagens podemos construir a tabela 
do Gráfico 4.
Atividade Frequência Absoluta Frequência Relativa
Esporte 12 30,76%
Leitura 6 15,38%
Passeio 8 20,51%
TV 5 12,82%
Videogame 8 20,51%
Total 39 100%
21
2) Uma mercadoria custava R$700,00 em maio. Em junho, sofreu um aumento 
de 10%.
Em julho, por causa de uma redução de impostos, o preço sofreu queda de 
10%. De acordo com as informações, responda:
a. Qual era o preço em junho?
R$ Porcentagem
700 100
x 10
100x = 7000
x = 70
Como 10% é referente ao aumento corresponde a R$70,00, o preço da merca-
doria passou a ser R$770,00.
b Qual era o preço em julho?
Frequência Absoluta Porcentagem
770 100
x 10
100x = 7700
X = 77
Logo a queda foi de R$77,00, então o preço em julho é de R$693,00.
22
GRÁFICO DE 
SETORES 
AULA 04
23
Gráfico de setores também conhecido como gráfico de pizza
Fonte: https://pixabay.com/pt
Nesta aula apresentaremos o gráfico de setores. Este tipo de gráfico é utilizado 
quando queremos representar as informações através de porcentagens. Para a 
construção do gráfico de setores, consideramos 100% como sendo 360° e então 
calculamos o ângulo correspondente à cada quantidade apresentada.
Veja abaixo o gráfico de setores referente ao Gráfico 1.
Gráfico 5- Opinião de estudantes de Engenharia Civil sobre a extensão da prova ENADE
Fonte: Desenvolvido pela autora
Temos um total de 4050 respondentes, sendo que 250 classificaram a prova 
como curta. Como 4050 representa 100% e 360º é a área total do setor, primeiro 
calculamos qual a porcentagem correspondente a 250.
24
Respondentes Porcentagem
4050 100
250 x
Logo, concluímos que é 6,17%. O que está representado, aproximadamente, 
no gráfico como 6%.
Respondentes Ângulo
4050 360°
250 x
Efetuando os cálculos concluímos que o ângulo correspondente aos respon-
dentes “Curto” é de 22°.
As pessoas que responderam que a prova é muito curta foram 1%, temos:
Ângulo %
360º 100%
x 1
100x = 360
x = 3,6°
Adequada: 56%
Ângulo %
360º 100%
x 56%
100x = 20160
x = 201,6°
Longa: 25%
Ângulo %
360º 100%
x 25%
100x = 9000
x = 90°
25
Muito longa: 12%
Ângulo %
360º 100%
x 12%
100x = 4320
x = 43,2°
Anote isso
Você pode também, a partir de um valor de ângulo dado, calcular a quan-
tidade ou porcentagem correspondente, estamos utilizando regra de três 
simples.
Vamos construir um gráfico de setores a partir do Gráfico 4. Temos tanto as 
porcentagens quanto as quantidades, vamos então calcular os valores dos ângulos 
correspondentes.
Esportes: 12 respondentes
Frequência Absoluta Ângulo
39 360°
12 x
39x = 4320
x = 110,7°
Leitura: 6 respondentes
Frequência Absoluta Ângulo
39 360°
6 x
39x = 2160
x = 55,3°
26
Passeio: 8 respondentes
Frequência Absoluta Ângulo
39 360°
8 x
39x = 2880
x = 73,8°
TV: 5 respondentes
Frequência Absoluta Ângulo
39 360°
5 x
39x = 1800
x = 46,1°
Videogame: 8 respondentes
Frequência Absoluta Ângulo
39 360°
8 x
39x = 2880
x = 73,8°
Atenção que a soma de todos os ângulos encontrados tem que ser aproxi-
madamente 360º, falamos aproximadamente, pois muitas casas decimais foram 
descartadas quando aproximamos os valores dos ângulos.
Então, somando os valores temos:
110,7°+ 55,3°+73,8°+46,1°+73,8° = 359,7°
Veja que tivemos uma pequena diferença entre o valor total de 360°, pois como 
citado anteriormente, desconsideramos várias casas decimais que causaram essa 
diferença numérica.
27
Atividade Frequência Absoluta Frequência Relativa Ângulo
Esporte 12 30,76% 110,7°
Leitura 6 15,38% 55,3°
Passeio 8 20,51% 73,8°
TV 5 12,82% 46,1°
Videogame 8 20,51% 73,8°
Total 39 100% 359,7°
Agora que temos os valores dos ângulos vamos construir o gráfico de setores.
Gráfico 6- Atividade de Lazer Preferidas
Fonte: Desenvolvido pela autora
Observe que as porcentagens de Passeio e Videogame deram diferentes (de-
veriam ser iguais), pois o Excel fez aproximações.
28
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL: MÉDIA, MEDIANA 
E MODA 
AULA 05
29
Em Estatísticas temos as medidas descritivas que nos permite analisar como 
os dados estão distribuídos ao longo da amostra, ou seja, podemos analisar a 
tendência de comportamento das variáveis. 
Média
A média aritmética (também conhecida como média) é a medida de tendência 
central mais comum. A média aritmética é a única medida comum na qual todos 
os valores desempenham igual papel. Calcula-se a média aritmética por meio 
da soma de todos os valores numéricos observados para uma variável em um 
conjunto de dados, seguida pela divisão desse total pelo número de valores no 
conjunto de dados.
(1)
Em que:
: média
: valor da variável
n = total de dados
Na Matemática, (somatório) é um símbolo utilizado para indicar a soma de 
todos os valores.
Exemplo:
1) Uma pessoa calculou o tempo necessário para chegar ao trabalho desde o 
momento que sai de sua casa. Para isso ela coletou os dados durante 14 dias, veja 
os dados na Tabela 3, os dados são apresentados em minutos:
Tabela 3- Tempo para chegar no trabalho
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Tempo 15 16 17 12 11 14 15 18 16 17 13 14 16 17
Fonte: Desenvolvido pela autora
Para calcular a média de tempo que a pessoa gasta para chegar ao trabalho, 
primeiramente, devemos somar todos os valores correspondentes ao tempo e 
depois dividir pelo total de valores disponíveis.
30
No nosso conjunto de dados, chamaremos o primeiro termodo conjunto de 
dados, ou seja, = 15, x2 o segundo termo do conjunto de dados, x2 = 16 e assim 
sucessivamente até o x14 = 17.
Concluímos que em média essa pessoa leva 15,07 minutos para ir de sua casa 
até o trabalho.
A média pode ser um valor diferente de todos os valores presente no conjunto 
de dados, isto se deve ao fato da média ser um valor representativo do conjunto 
de dados.
Observe o exemplo a seguir para o cálculo da média.
Exemplo:
2) Uma indústria fabrica parafusos. As caixas devem conter 100 parafusos cada. 
Porém, é tolerável que algumas caixas tenham parafusos a mais ou a menos que 
a quantidade esperada. A seguir são apresentados os dados referentes a uma 
amostra de 30 caixas e a quantidade de parafusos em cada.
Tabela 4- Quantidade de parafusos por caixa
Caixa Quantidade de Parafusos
1 100
2 99
3 101
4 100
5 100
6 98
7 102
8 101
9 100
31
Caixa Quantidade de Parafusos
10 99
11 102
12 100
13 103
14 99
15 99
16 100
17 100
18 103
19 95
20 98
21 100
22 101
23 100
24 102
25 99
26 98
27 100
28 100
29 101
30 99
Fonte: Desenvolvido pela autora
Nesse exemplo, percebemos que alguns valores se repetem com frequência, 
então somar todos os valores pode ser um trabalho mais complexo, neste tipo de 
conjunto de dados dizemos que os dados estão agrupados, logo, é mais simples 
verificar com que frequência cada dado aparece. Vamos construir uma tabela, 
adicionando uma coluna referente à frequência de cada dado.
32
No caso de caso de dados agrupados, calculamos a média de acordo com 
apresentado em (2):
(2)
Onde Fi representa a quantidade de vezes que o dado i aparece, logo o cálculo 
da média para dados agrupados ficará da seguinte forma:
Logo, em média, as caixas contêm 99,99 parafusos, ou seja, muito próximo da 
quantidade esperada de parafusos.
Moda
A moda é o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. 
Em um conjunto de dados podem existir várias modas, ou seja, se dois ou mais valo-
res aparecem com a mesma frequência no conjunto de dados, todos serão a moda.
Anote isso
Frequência é a quantidade de vezes que um determinado valor aparece 
no conjunto de dados.
Tabela 5- Quantidade de parafusos: frequência
Quantidade de Parafusos Frequência
95 1
98 3
99 6
100 11
101 4
102 3
103 2
Total 30
Fonte: Desenvolvido pela autora
33
Exemplo
1) Observe as séries de dados a seguir e indique qual é a moda:
a. 2, 3, 4, 7, 10
Observe que este conjunto de dados não existe valor que apareça mais de 
uma vez, logo, o conjunto de dados não possui moda, dizemos que o conjunto 
de dados é amodal.
b. 2, 3, 3, 5, 6, 7
Já neste conjunto de dados podemos perceber que o número 3 aparece com 
maior frequência que os outros dados, logo a moda é 3.
c. 6, 12, 12, 15, 17, 17
Neste conjunto de dados podemos ver que o número 12 aparece com frequên-
cia 2 e o número 17 também aparece com frequência 2, logo 12 e 17 representam 
a moda do conjunto de dados.
d. 1, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 10
Neste conjunto de dados os valores 4, 7 e 10 se repetem, porém, a moda é 
representada pelo valor ou pelos valores que aparecem com maior frequência, 
logo, o número 7 é a moda, pois aparece com frequência 3, enquanto 4 e 10 apa-
recem com frequência 2.
Mediana
A mediana é o valor central em um conjunto ordenado de dados.
Para calcular a mediana para um conjunto de dados você inicialmente ordena 
os valores do menor para o maior e, depois, utiliza as seguintes regras:
Regra 1: Se existir uma quantidade ímpar de valores no conjunto de dados, a 
mediana corresponde ao valor que está no meio na ordem de classificação.
Regra 2: Se existir uma quantidade par de valores no conjunto de dados, a 
mediana corresponde à média entre os dois valores que estão no meio da ordem 
de classificação.
Exemplo:
1) Calcule a mediana nos seguintes casos:
a. 54, 74, 21, 01, 12, 33, 03, 76, 40, 56, 89, 102, 04
Para calcular a mediana é importante que os dados estejam em ordem, então 
antes de iniciar o cálculo vamos ordenar os dados.
34
01, 03, 04, 12, 21, 33, 40, 54, 56, 74, 76, 89, 102.
Agora que os dados já estão ordenados, verificamos que temos 13 números, 
logo, uma quantidade ímpar de números, então utilizaremos a Regra 1. Portanto, 
a mediana é o número 40, pois separa o conjunto de dados ao meio, 6 termos 
para cada lado e o termo central é 40.
b. 45, 12, 100, 05, 34, 02, 09, 19, 29, 01.
Ordenando os dados, temos:
01, 02, 05, 09, 12, 19, 29, 34, 45, 100.
Como temos uma quantidade par de números utilizaremos a Regra 2. Os dois 
valores que estão no meio na ordem de classificação são 12 e 19, quatro termos 
para cada lado e 12 e 19 como termos centrais, então calculando a média entre 
12 e 19 temos:
Logo a mediana é 15,5.
Fonte: https://pixabay.com
35
 MEDIDAS DE DISPERSÃO: 
DESVIO MÉDIO 
AULA 06
36
Ainda na análise de tendência central, outro valor importante é o Desvio Mé-
dio. Ele nos informa a diferença entre cada número do conjunto de dados e a 
média. 
Calculamos o Desvio Médio a partir da fórmula apresentada em (3):
 (3)
Onde:
di representa o valor do desvio de cada valor xi em relação à média .
Anote isso
Os desvios xi baixos representam que temos pouca dispersão de dados, 
por outro lado se os desvios forem altos, a dispersão dos dados é grande, 
ou seja, quando há grande dispersão de dados, o conjunto de dados não é 
uniforme, porém para analisar essa dispersão, iremos estudar nas próxi-
mas seções as medidas de dispersão: variância e desvio padrão.
Exemplo: 
1) Dado o conjunto de dados:
2, 3, 7, 8, 14, 20 e 35
Calcule o desvio médio referente a cada dado.
Para calcular o desvio médio é necessário calcular a média do conjunto de 
dados.
Vamos adotar para a resolução do exemplo uma casa decimal, então 
Agora que já calculamos a média, vamos calcular cada desvio médio.
37
Analisando os desvios médios podemos perceber que x5 = 14 é o valor mais 
próximo da média, pois seu desvio médio é d5 = 1,3 e x7 = 35 é o valor mais distante 
da média, pois seu desvio médio d7 = 22,3. 
Propriedade da Média
 (4)
A propriedade apresentada em (4) nos mostra que o somatório dos desvios 
médios é nulo.
Observando o exemplo 1 podemos confirmar que a propriedade é verdadeira, 
veja:
O resultado que encontramos é 0,1 essa diferença ocorre porque na resolução 
do exemplo adotamos apenas uma casa decimal para 12,7142..., se utilizarmos 
mais casas decimais chegaremos a um resultado mais próximo de zero, que é o 
que a propriedade nos diz.
Os desvios médios medem quando um dado em específico se afasta da média. 
A seguir, vamos calcular os quartis que são dados não relacionados com a média, 
mas que mostram como o conjunto de dados está dividido.
Quartis
Quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais: Primeiro quar-
til,Q1 : 25% dos valores são menores ou iguais a Q1. Terceiro quartil, Q3 : 75% dos 
valores são menores ou iguais a Q3.
Figura 2- Distribuição dos quartis
Fonte: Desenvolvido pela autora
39
Vamos calcular a posição do primeiro quartil:
Logo, o primeiro quartil ocupa a posição 2; 75 do conjunto de dados, como essa 
posição não existe, calcularemos a média dos termos que ocupam a segunda e a 
terceira posição na distribuição numérica.
Logo, o primeiro quartil é 33, ou seja, abaixo do 33 estão 25% dos menores 
valores da distribuição de dados.
Agora, vamos calcular a posição do terceiro quartil:
Logo, o terceiro quartil ocupa a posição 8,25 do conjunto de dados, como essa 
posição não existe calcularemos a média dos termos que ocupam a oitava e a 
nona posição na distribuição numérica.
O terceiro quartil é o número 44, ou seja, acima do 44 estão 25% dos maiores 
valores da distribuição de dados.
Anote isso
Observe que a média entre os valores pode ser um número decimal, o que 
não pode ser um número decimal é a posição do quartil.
40
 MEDIDAS DE DISPERSÃO: 
VARIÂNCIA 
AULA 07
41
As medidas de tendência centralvistas: média, mediana e moda são impor-
tantes para analisar um conjunto de dados, porém não suficientes para retratar 
a homogeneidade ou heterogeneidade dos nossos valores. Dizer que a média de 
parafusos por caixa é 99,99 não nos fala o quanto esses parafusos estão dispersos 
por caixa, podem haver variações entre caixas com muitos parafusos e caixas com 
pouco parafusos. No exemplo que resolvemos sobre a média de parafusos na cai-
xa, vimos que há uma tolerância para maior quantidade de parafusos ou menor 
quantidade de parafusos por caixa, mas não foi dito qual é essa tolerância. Com 
a tolerância dada e as informações sobre a variação desses dados conseguiremos 
dizer quais dados são realmente importantes na análise.
Anote isso
Duas medidas de variação habitualmente utilizadas que levam em consi-
deração o modo como todos os valores nos dados estão distribuídos são a 
variância e o desvio padrão. Essas estatísticas medem a dispersão “média” 
em torno da média aritmética.
Neste capítulo dedicaremos atenção à análise da Variância e posteriormente à 
construção do gráfico boxplot ou diagrama da caixa como também é conhecido.
Dado um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mos-
tra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (médio). Quan-
to menor a variância, mais próximo os valores estão da média.
 (5)
Onde S² representa a variância.
Na variância utilizamos os dados dos desvios médios calculados no capítulo 
anterior.
Exemplo:
1) Calcule a variância dos dados a seguir:
5, 7, 8, 10, 15
Para calcular a variância, vamos construir uma tabela. Lembre-se que para 
calcular a variância necessitamos da média 
42
Tabela 6 - Cálculo da variância
Fonte: Desenvolvido pela autora
Agora que temos , vamos dividir o resultado por n-1. Lembre-se que 
n = 5.
Logo a variância é 14,5, dizemos que S² = 14,5.
Gráfico Boxplot
Na aula 6 você estudou sobre os quartis, que separam o conjunto de dados 
em quatro partes iguais. Usaremos esses cálculos para construir um gráfico de 
distribuição de dados, o gráfico boxplot. 
O boxplot ou diagrama da caixa é um gráfico utilizado para avaliar a distribui-
ção dos dados de um conjunto de dados. Para isso, precisamos de alguns valores 
importantes, eles são: valor mínimo do conjunto de dados, primeiro quartil, me-
diana, terceiro quartil e o valor máximo. A partir do boxplot podemos identificar 
os valores chamados de outliers, ou seja, os valores que estão fora do limite de 
mínimo e máximo do conjunto de dados.
43
Veja a Figura 3 que mostra um boxplot e os valores importantes para serem 
colocados nele:
Figura 3: Boxplot
Fonte: Desenvolvido pela autora
Veja a seguir um passo a passo para a construção do boxplot:
1. Calcule primeiro quartil, mediana e terceiro quartil.
2. Calcule a amplitude interquartil: AIQ = Q3 – Q2
3. Calcule a separação de valores atípicos: Q1 -1,5.AIQ e Q3 +1,5.AIQ
4. Construa uma linha vertical e localize estes valores em uma escala apro-
priada. 
5. Construa um retângulo que vá do primeiro ao terceiro quartil.
6. Dentro do retângulo trace uma linha na mediana.
7. Traçar uma linha do Q1 até o valor mínimo do conjunto de dados e do 
Q3 até o valor máximo do conjunto de dados.
8. Complete o boxplot com os valores atípicos.
44
Exemplos:
1) Dado o conjunto de dados
Construa o boxplot do conjunto de dados:
Seguindo os passos para a construção do boxplot precisaremos calcular: me-
diana, primeiro quartil, terceiro quartil, amplitude interquartil e a separação entre 
os valores atípicos.
Temos então os dados necessários:
Mediana: 5;
Primeiro quartil:4;
Terceiro quartil: 8;
Amplitude interquartil: AIQ = Q3 - Q1 = 8 - 4 = 4;
Agora vamos calcular a separação de valores:
Q1 – 1,5.AIQ = 4 – 1.5.4 = -2;
Q3 + 1,5.AIQ = 8 + 1,5.4 = 14;
Com os valores necessários calculados, podemos construir o gráfico boxplot.
Figura 4- Gráfico Boxplot
Fonte: Desenvolvido pela autora
45
Observe que quando encontramos a separação dos valores típicos, não que-
remos números menores que -2, olhando no conjunto de dados, não temos nú-
meros menores que -2, logo o valor mínimo será 3. E na separação de valores não 
queremos valores maiores que 14, no conjunto de dados dois valores são maiores 
que 14: 15 e 17, então excluímos estes valores e ficamos com o valor máximo 
do conjunto de dados: 10. Observe que apesar de 15 e 17 serem excluídos são 
registrados no gráfico boxplot.
Fonte: https://pixabay.com
46
MEDIDAS DE DISPERSÃO: 
DESVIO PADRÃO 
AULA 08
47
O Desvio Padrão indica a medida da variação dos dados em torno da média. 
Quando calculamos o desvio médio, verificamos o quão distante cada dado está 
da média, enquanto o desvio padrão indica a dispersão de todos os dados em 
torno da média, ou seja, analisa o conjunto de dados por inteiro.
Para calcular o desvio padrão você precisará calcular a variância, pois o desvio 
padrão é a raiz quadrada da variância. Ou utilizando a fórmula apresentada em (6):
 (6)
Em que S é o desvio padrão da amostra.
Os desvios padrões nunca indicarão números negativos. Caso o desvio padrão 
dê zero, significa que todos os valores são iguais, ou seja, não há variação. Quanto 
maior o desvio padrão, mais distantes os dados estão da média. Quanto menor 
o desvio padrão, mais perto os dados estão da média.
Exemplo:
1) No Capítulo 7 resolvemos um exemplo para o cálculo da variância. Vamos 
calcular o desvio padrão do mesmo conjunto de dados.
Para calcular o desvio padrão não precisamos efetuar todos os cálculos no-
vamente, como já temos o valor da variância, basta tirar a raiz quadrada desses 
valores.
S² = 14,5
Utilizando (6) temos:
2) Uma empresa fez uma pesquisa para analisar o perfil de seus trabalhado-
res. Um dos tópicos da pesquisa era analisar a idade de seus funcionários que 
trabalham no setor de logística. O responsável pelo RH da empresa apresentou 
os dados, representados na Tabela 7.
48
Tabela 7- Idades dos funcionários que trabalham no setor de logística
Idade Frequência
18 3
19 4
21 5
26 4
27 5
32 2
Fonte: Desenvolvido pela autora
Para calcular o desvio padrão precisamos calcular a variância. Antes observe 
que as idades se repetem, calcular a variância para cada dado a quantidade de 
vezes que ele se repete será um pouco extenso, então nos concentraremos em 
calcular apenas das idades diferentes. Apenas fique atento, pois todos os dados 
e suas frequências serão considerados.
Calculando a média, temos:
Vamos utilizar apenas uma casa decimal, portanto 23,3.
Agora, utilizando a fórmula (5) vamos calcular a variância.
49
Calculada a variância, calcularemos o desvio padrão.
A Figura 5 mostra um exemplo de amostras de duas populações com médias 
iguais e desvios padrões diferentes. A população representada em vermelho tem 
média 100 e desvio padrão 10. A população representada em azul tem média 100 
e desvio padrão 50.
Figura 5- Desvio padrão para uma amostra 
Fonte: Wikipédia
3) Calcule o desvio padrão do conjunto de dados:
Tabela 8- Dados para o desvio padrão
Dado Valor
x1 1
x2 2
x3 3
x4 4
x5 5
Fonte: Desenvolvido pela autora
50
Para calcular o desvio padrão, precisamos calcular a variância.
Primeiramente, devemos calcular a média:
Agora vamos calcular
Tabela 9- Cálculo de Variância e Desvio Padrão
Fonte: Desenvolvido pela autora
Observe neste exemplo que a soma dos desvios médios resultou em zero. Isto 
se deve ao fato de não aproximarmos a média, já que ela foi um número inteiro.
Agora, utilizando a fórmula (5) vamos calcular a variância.
Calculada a variância, calcularemos o desvio padrão.
51
COEFICIENTE 
DE VARIAÇÃO 
AULA 09
52
Quando calculamos o desvio padrão e a variância, analisamos a variação dos 
dados em torno da média. O coeficiente de variação, por sua vez, calcula a disper-
são relativa dos dados, ou seja, expressa a dispersão em forma de porcentagem. 
Calculamoso coeficiente de variação a partir da fórmula (7):
 (7)
Onde:
 : coeficiente de variação
S: desvio padrão
: média
Anote isso
Valor absoluto está relacionado à quantidade de vezes que uma variável 
aparece em um conjunto de dados e valor relativo está relacionado à por-
centagem que o valor absoluto representa. Por isso, que o coeficiente de 
variação representa uma porcentagem.
Exemplos:
1) Vamos calcular o coeficiente de variação do exemplo resolvido no capítulo 7.
Temos:
Aplicando a fórmula apresentada em (7):
53
De acordo com Martins, podemos analisar os resultados obtidos com os coe-
ficientes de variação da seguinte forma:
Se : há baixa dispersão
Se há média dispersão
Se : há elevada dispersão
Logo, o exemplo resolvido 1 há elevada dispersão.
2) Vamos calcular do exemplo 2 do capítulo 8.
Logo, a idade dos funcionários do setor de logística tem média dispersão.
3) Vamos calcular o coeficiente de variação do exemplo 3 do capítulo 8.
4) Calcule o coeficiente de variação do conjunto de dados:
2,4,6,8
54
Para calcular o coeficiente de variação precisamos do desvio padrão.
Calculando a média temos:
Tabela 10- Cálculo de Variância e Desvio Padrão
Fonte:Desenvolvido pela autora
Calculada a variância, calcularemos o desvio padrão.
55
PROBABILIDADE 
BÁSICA 
AULA 10
56
A teoria das probabilidades é muito ligada aos jogos, chance de ganhar ou 
perder
A probabilidade estuda a chance de determinado evento ocorrer: chance de 
chover, chance de nascer menino ou menina, chance de sair cara ou coroa, ou 
seja, Martins (2010) indica o quão provável é a ocorrência de determinado evento.
O campo de estudo das probabilidades tem sido amplamente utilizado por 
empresas, indústrias, medicina e as mais diversas áreas para analisar situações 
em que é desejável ter uma medida para prever um evento futuro: probabilidade 
de aumento de preço de determinada ação, de chover, uma unidade de produção 
fora dos padrões, lançamento de um produto, compra de ações, investimento em 
projetos, etc. (MARTINS, 2010).
Em cada exemplo a probabilidade envolvida corresponde a uma porção cujo 
valor se estende entre 0 e 1.
Em probabilidade consideramos o espaço amostral como sendo a amostra da 
população à qual iremos analisar. Por exemplo, se a população de uma cidade tem 
20.000 habitantes e vamos selecionar 200 pessoas para realizar uma pesquisa, 
então essas pessoas selecionadas constituirão o espaço amostral, ou seja, fazem 
parte da amostra de pessoas que realmente iremos consultar.
Dentro desse espaço amostral temos o evento. O evento é um subconjunto 
do espaço amostra e ele pode conter elementos ou não conter elementos, neste 
caso dizemos que o evento é vazio, ou improvável, pois não tem possibilidade de 
acontecer.
Um evento que não tem nenhuma probabilidade de ocorrer (impossível) pos-
sui probabilidade igual a zero. Um evento cuja ocorrência seja garantida (evento 
certo) possui probabilidade igual a 1.
Entendemos que se um evento tem pouca probabilidade de ocorrer, por exem-
plo, probabilidade 0,0002, este evento é chamado de “não usual”, segundo Triola 
(2008), pois sua chance de ocorrer é muito pequena, ou seja, o evento raramente 
ocorre, porém, não podemos descartar a possibilidade de sua ocorrência.
Em uma probabilidade básica, a probabilidade de sucesso (ocorrer o evento) é 
baseada no conhecimento prévio do processo envolvido. No caso mais simples, no 
qual cada um dos resultados é igualmente provável, ou seja, possuem a mesma 
chance de ocorrência.
57
Exemplo:
a. Jogar um dado e tirar um número ímpar.
Neste exemplo, o evento é tirar um número ímpar, é a característica que que-
remos que ocorra, logo os elementos favoráveis ao evento fazendo parte do con-
junto {1,3,5}.
b. Lançar uma moeda e sair face cara.
Neste exemplo, o evento é sair face cara, logo temos apenas uma possibilidade 
{cara}.
c. Lançar um dado e sair o número sete.
Note que o evento é sair sete no lançamento de um dado, porém esse evento 
não é possível.
Calculamos a probabilidade de ocorrência de determinado evento de acordo 
com a fórmula (8):
 (8)
Em que:
P = probabilidade de ocorrência do evento
X = corresponde ao número de maneiras por meio das quais um evento ocorre
T = total de resultados possíveis que esse evento pode ter
Exemplo
1) Um dado padronizado possui seis lados. Cada um dos lados contém um, 
dois, três, quatro, cinco ou seis pontos. Caso você jogue um dado, qual é a proba-
bilidade de que você consiga que o resultado seja a face com cinco pontos?
Resolução:
Para resolver um problema de probabilidade precisamos identificar qual é o 
evento que vai ocorrer. 
X que é a quantidade de maneiras que o evento desejado ocorra e T que re-
presenta o total de resultados possíveis desse evento.
Nesse caso, o evento desejado é que saia a face do dado com cinco pontos. 
58
Então, X = 1, pois no dado há apenas uma possibilidade de sair a face com cinco 
pontos e T = 6, pois o dado tem um total de seis faces possíveis para sair em uma 
jogada. Logo, utilizando (8), temos:
Observe que o resultado é um número compreendido entre 0 e 1, como foi 
abordado anteriormente. Esse valor deve ser multiplicado por 100 para obtermos 
o resultado em forma de porcentagem. Logo, 0,166666... .100 = 16,66%. Temos 
então que, a chance de jogar um dado e sair a face 5 é 16,66%.
2) Considere um baralho de cartas padrão que possui 26 cartas vermelhas e 
26 cartas pretas. Qual a probabilidade de selecionar uma carta preta?
Figura 6 - Cartas de um baralho
Fonte: Wikipedia
Resolução:
A probabilidade que queremos calcular é a de selecionar uma carta preta, 
então X deve representar o total de opções que contribuem para sair uma carta 
preta na seleção, observando a Figura 6, temos um total de 26 cartas pretas, logo 
X = 26. T representa o total de possibilidade que podem ocorrer durante a seleção 
de cartas do baralho, então T = 52.
59
Isto está 
na rede
Na área de Engenharia, a probabilidade tem aplicação no controle de 
qualidade de produção, em análises de distribuições de probabilidades, 
conhecendo dados da produção é possível decidir se ocorrerá ou não o 
descarte de certa peça produzida; tomadas de decisão através de mo-
delos probabilísticos; disponibilizar produtos em filas de solicitação de 
serviços, etc.
3) Uma empresa de produtos eletrônicos apresenta os resultados para a amos-
tra de 1.000 domicílios, em termos do comportamento de compra de aparelhos 
de televisão de tela grande.
Qual a probabilidade de selecionar um domicílio que tenha planejado comprar 
um aparelho de televisão de tela grande?
Resolução: 
Atenção para o fato de atentar ao que o exercício pede. Queremos selecionar 
um domicílio que tenha planejado comprar um aparelho de televisão de tela 
grande. Então, olharemos para o total da terceira linha que é a linha das pessoas 
que planejaram comprar um aparelho de televisão de tela grande. Veja que se a 
pessoa efetivamente comprou o aparelho de televisão não irá afetar o resultado 
final, o que importa para nós é que a pessoa tenha planejado comprar. As pessoas 
que planejaram comprar o aparelho de televisão de tela grande são 250 pessoas 
e o total de pessoas foi de 1000 respondentes, ou seja, a amostra corresponde a 
1000 pessoas.
60
Logo, a probabilidade de selecionar um domicílio que tenha planejado comprar 
um aparelho de televisão de tela grande será:
4) Algumas perguntas foram feitas a 300 domicílios que efetivamente compra-
ram aparelhos de televisão de tela grande. A tabela a seguir indica as respostas 
de consumidores em relação ao fato de o aparelho de televisão comprado ser 
de tela de plasma e de eles também terem comprado um gravador de DVD nos 
últimos 12 meses.
Qual a probabilidade de que, caso um domicílio tenha adquirido um aparelho 
de televisão de tela grande seja aleatoriamente selecionado,o aparelho de tele-
visão adquirido tenha tela de plasma?
Resolução:
A tabela deste exercício é chamada de tabela de contingência, na qual existe 
o cruzamento de informações. Apenas tome cuidado para o fato de não escolher 
informação errada no momento de resolver o exercício.
Estamos interessados em selecionar um domicílio que comprou um aparelho 
de televisão de tela grande e que essa televisão seja de tela de plasma.
Os domicílios que compraram um aparelho de televisão de tela grande com 
tela de plasma são 38 domicílios. Atenção para o cruzamento correto de informa-
ções. O total de domicílios que participaram da pesquisa é 300.
61
Logo, a probabilidade procurada é de:
Fonte: https://pixabay.com
62
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS E NÃO 
EXCLUSIVOS E REGRAS DE 
PROBABILIDADE 
AULA 11
63
O ato de lançar dois dados é um evento não exclusivo. O que sai na face de um 
dos dados não exclui nenhuma chance de sair qualquer número na outra face.
O estudo de probabilidade podemos classificar os eventos em algumas cate-
gorias, vamos conhecer algumas delas:
Eventos Mutuamente Exclusivos
Como o próprio nome diz, eventos mutuamente exclusivos se excluem auto-
maticamente, ou seja, a ocorrência de um evento impede a ocorrência de outro 
evento, ou seja, eventos mutuamente exclusivos não podem ocorrer simultanea-
mente.
Quando utilizamos diagramas de Venn, representamos eventos mutuamente 
exclusivos através de dois diagramas que não possuem elementos em comum, 
logo sua intersecção é vazia. Veja a Figura 7.
Figura 7- Conjuntos sem elementos em comum
A B
Fonte: Desenvolvido pela autora
Exemplo:
1) Em uma universidade existem os cursos de Engenharia Civil, Arquitetura e 
Sistemas de Informação. O evento de selecionar um aluno dentre os estudantes 
é um evento mutuamente exclusivo, pois se selecionarmos um aluno de Enge-
nharia Civil não poderemos selecionar um aluno de Arquitetura ou Sistemas de 
Informação. Logo, a seleção dos alunos não pode ocorrer simultaneamente.
Como não temos alunos comuns aos três cursos, podemos fazer a represen-
tação através de diagrama de Venn.
64
Figura 8- Organização dos alunos em diagramas de Venn
Engenharia 
Civil
Sistema de 
Informação
Arquitetura
Fonte: Desenvolvido pela autora
Eventos Não Exclusivos
Os eventos não exclusivos diferente dos eventos mutuamente exclusivos, são 
eventos que podem ocorrer simultaneamente. Perceba que eles têm a chance de 
ocorrer em conjuntos, porém não é necessário que ocorram ao mesmo tempo. 
Considere os eventos “mulher” e “estudante de Engenharia Civil”, estes even-
tos são não exclusivos, pois podemos em um processo de seleção escolher uma 
mulher que estuda Engenharia Civil.
Regras de Probabilidade
Vamos conhecer algumas regras importantes para o estudo de probabilidades.
Regra 1: Campo de variação das probabilidades
Como já citamos no capítulo 10, temos:
Para você compreender o que é um evento complementar, veja o exemplo.
65
Exemplo
2) Você tem uma urna para um sorteio. Dentro dessa urna há fichas numeradas 
do 1 ao 20. Vamos supor que o vencedor sairá quando forem sorteados números 
menores que 10. Logo o evento complementar são as fichas que não podem sair 
no sorteio, ou seja: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20.
Regra 2: Probabilidade do evento complementar
 
 (9)
Onde, representa o evento complementar.
Exemplo
3) Seja A = {número par no dado}, logo = {número ímpar no dado}.
Desta forma, a probabilidade de retirar um número ímpar em um lançamen-
to de dado será o total de possibilidades (que consideramos como 1, ou 100%) 
menos a probabilidade de retirar um número par no dado, ou seja, excluímos do 
total o evento que não queremos que ocorra.
Assim temos:
Logo, temos que há 50% de chance de sair um número ímpar no lançamento 
de um dado.
Fonte: https://pixabay.com
66
EVENTOS INDEPENDENTES 
E EVENTOS DEPENDENTES 
AULA 12
67
Você já deve ter participado de um sorteio, quando uma bolinha é retirada da 
urna há uma alteração na quantidade de bolinhas totais, logo a chance de retirar 
outra bolinha se altera em relação à chance inicial da retirada da primeira bolinha.
Estudamos no capítulo 11 a possibilidade de um evento excluir a ocorrência de 
outro ou a possibilidade desses eventos ocorrerem simultaneamente. No capítulo 
12 vamos estudar sobre eventos independentes e eventos dependentes.
Eventos Dependentes
Dois ou mais eventos são dependentes, quando a ocorrência de um evento é 
afetada pela ocorrência de outro evento. Por exemplo, em uma urna com fichas 
numeradas de 1 a 20, a retirada de uma ficha irá influenciar na probabilidade de 
retirada da outra ficha, pois a urna não terá mais a mesma quantidade de fichas 
que anteriormente. Você irá estudar probabilidade de eventos dependentes após 
estudar sobre probabilidade condicional.
Vamos aprender a utilizar o diagrama da árvore, ele é útil quando você quer 
analisar as possibilidades de ocorrência de determinado evento.
Vamos supor que você tenha em sua carteira moedas de 1 real e notas de 2 
reais e você saber de quantas formas você pode retirar 4 reais da sua carteira. No 
diagrama da árvore, colocaremos as possibilidades iniciais e em cada ramificação 
as próximas possibilidades.
Figura 9- Diagrama da árvore para eventos dependentes
Fonte:Desenvolvido pela autora
68
Observe que as possibilidades correspondem a eventos dependentes, se já 
retiramos uma nota de 2 reais e depois uma moeda de 1 real a única possibilidade 
que nos resta é retirar uma moeda de 1 real.
Eventos Independentes
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um deles 
não afetar a ocorrência do outro. Por exemplo, o lançamento de uma moeda. Sair 
cara no primeiro lançamento não irá influenciar sair cara ou coroa nos demais 
lançamentos.
Para eventos independentes também podemos construir o diagrama da árvo-
re. Vamos construir o diagrama para 4 lançamentos de uma moeda.
Figura 10- Diagrama da árvore para eventos independentes
Fonte:Desenvolvido pela autora
Observe que o exemplo desenvolvido mostra eventos independentes, sair cara 
ou coroa, não influenciou a possibilidade de saída de cara ou coroa nos próximos 
eventos.
69
Isto está 
na rede
Os termos “provável” e “probabilidade” e seus cognatos em outras línguas 
modernas derivam do latim medieval ensinado probabilis, derivando de 
Cícero e, geralmente, aplicado a um parecer plausível ou, geralmente, 
aprovado. O sentido matemático do termo é de 1718. No século XVIII, o 
termo oportunidade também foi usado no sentido matemático de “proba-
bilidade” (e a teoria da probabilidade foi chamada Doutrina das Chances). 
Esta palavra é, em última análise, originária a partir do termo cadentia do 
latim, ou seja, “uma queda”. O adjetivo Inglês provável é de origem germâ-
nica, provavelmente a partir do termo likligr do Old Norse (língua nórdica 
antiga) , enquanto no Inglês Antigo teve o termo geliclic com o mesmo 
sentido, significando originalmente “ter a aparência de ser forte ou capaz” 
ou “tendo a aparência ou qualidades semelhantes”, com um significado 
de “provavelmente” gravado a partir do final do século XIV. Da mesma 
forma, o substantivo derivado likelihood tinha um significado de “simila-
ridade, semelhança”, mas assumiu um significado de “probabilidade” em 
meados do século XV.
A “lei de evidências” antiga e medieval desenvolveu uma classificação 
dos graus de provas, probabilidades, presunções e meia prova (semi-
plena probatio) para lidar com as incertezas de evidências (provas) em 
tribunais. Nos tempos da Renascença, as apostas foram discutidas em 
termos de probabilidades (chances), como “dez a um” e prêmios de se-
guro marítimos foram estimados com base nos riscos intuitivos, mas não 
havia nenhuma teoria sobre a forma de calcular essas probabilidades ou 
prêmios. 
Os métodos matemáticos de probabilidade surgirá nacorrespondência 
de Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat e Blaise Pascal (1654) sobre ques-
tões como a divisão justa da participação em um jogo de azar interrompi-
do. Christiaan Huygens (1657) deu um tratamento abrangente do assunto.
Fonte: Wikipedia
70
Exemplo:
Paulo e José estão jogando cara e coroa. Eles combinaram que farão três lan-
çamentos e que se sair coroa seguida de cara, Paulo vence e se sair duas caras 
seguidas, José vence. Qual a probabilidade de José vencer?
Resolução:
Vamos construir uma árvore com as possibilidades de desenvolvimento do 
jogo, considerando as regras estipuladas por Paulo e José.
Figura 11- Diagrama da árvore do desenvolvimento do jogo
Fonte:Desenvolvido pela autora
Observando o diagrama do desenvolvimento do jogo, podemos perceber que 
existem 8 possibilidades do jogo se desenrolar, sendo que José vence em uma 
única possibilidade, Paulo vence em 5 possibilidades e em 2 possibilidades nin-
guém vence o jogo. 
Como queremos calcular a probabilidade de José vencer temos:
Logo, a probabilidade de José ganhar é de 12,5 %. 
Se quisermos determinar a probabilidade de Paulo ganhar podemos utilizar a 
fórmula do cálculo de probabilidade:
71
E para determinar a probabilidade desse jogo terminar sem nenhum ganhador 
podemos utilizar a fórmula de probabilidade:
Podemos ainda utilizar a fórmula para evento complementar:
Fonte: https://pixabay.com
72
REGRA 
DA ADIÇÃO 
AULA 13
73
Em alguns casos, precisamos analisar a probabilidade de ocorrência de um 
evento ou outro evento, para isso utilizamos a regra da adição de probabilidades. 
Para a adição de probabilidades vamos analisar dois casos: soma de probabilida-
des em eventos não exclusivos e em eventos mutuamente exclusivos.
Regra da adição para eventos não exclusivos
Quando consideramos eventos não exclusivos sabemos que eles têm a possi-
bilidade de ocorrer simultaneamente, logo a probabilidade de ocorrer o evento 
A ou o evento B é dada pela fórmula (10):
 (10)
Onde:
: probabilidade de ocorrer A ou B
: probabilidade de ocorrer A
: probabilidade de ocorrer B
: probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente
Exemplo:
1) Ao jogar baralho, determine a probabilidade de retirar uma carta preta ou 
um 2.
Atenção que é possível retirar um 2 que é uma carta preta. 
Vamos calcular as probabilidades de forma separadas.
A = retirar uma carta preta
B = retirar um 2
 : probabilidade de retirar um 2 preto
74
Utilizando (10) temos:
Figura 12- Representação de probabilidade através de conjuntos
A B
26
52
 2
52
 4
52
;
Fonte: Desenvolvido pela autora
Neste exemplo, há a possibilidade dos eventos ocorrerem simultaneamente, 
logo temos que excluir essa probabilidade para não somar o mesmo valor de 
probabilidade mais de uma vez.
Regra da adição para eventos mutuamente exclusivos
Quando os eventos são mutuamente exclusivos, sabemos que eles não podem 
ocorrer simultaneamente, logo, Então, o cálculo para a soma de 
probabilidades fica:
 (11)
Exemplo:
2) Qual a probabilidade de retirar um dois ou um reis no baralho?
Observe que não há a possibilidade de retirar um dois e um reis ao mesmo 
tempo, então precisamos utilizar (11) para calcular a probabilidade da soma.
A = retirar um dois
75
B = retirar um reis
Neste exemplo, não há possibilidade desses eventos ocorrerem em conjunto, 
logo basta apenas somar seus valores. Se representarmos esse exemplo através 
de diagramas teremos a seguinte representação:
Figura 13- Representação de probabilidades através de diagramas
A B
 4
52
 4
52
Fonte: Desenvolvido pela autora
Anote isso
Na regra da adição de probabilidades não significa que devemos adicionar 
as probabilidades de cada evento. Atente-se aos fatos dos conjuntos com 
os quais o exercício está trabalhando. Se os eventos forem não exclusivos, 
devemos excluir a probabilidade de ocorrência conjunta dos eventos.
76
3) Você jogou dois dados, qual a probabilidade de sair a face 5 em um dado e 
a face 6 no outro?
Observe que nesse exemplo não há a possibilidade desses eventos ocorrerem 
simultaneamente, então vamos apenas somar os valores das probabilidades.
Para tirar 5 no primeiro dado temos 1 possibilidade de sair o número 5 e um 
total de 6 possibilidades de sair as faces de um dado.
Para tirar a face 6 no outro dado temos 1 possibilidade de sair o número 6 e 
um total de 6 possibilidade de sair as faces de um dado.
Logo:
Probabilidade de sair 5: 
Probabilidade de sair 6:
Como queremos a probabilidade de sair 5 ou 6 temos:
77
REGRA 
DA MULTIPLICAÇÃO
AULA 14
78
A regra da multiplicação pode ser utilizada tanto para eventos independentes 
quanto para eventos dependentes. Quando utilizamos a regra da multiplicação 
para eventos dependentes precisamos estudar a probabilidade condicional que 
será vista no capítulo 15.
 (12)
Sendo A e B eventos independentes.
Onde:
: probabilidade de ocorrer A e B
: probabilidade de ocorrer A
: probabilidade de ocorrer B
Exemplo:
1) Ao jogar um dado, qual a probabilidade de sair 2 no primeiro dado e 5 no 
segundo dado?
Note que os eventos são independentes, pois sair 2 no primeiro dado não 
influencia no que vai sair no segundo dado.
Observe a diferença para este exemplo e o resolvido na aula 13. Na aula 13 
queríamos saber a probabilidade de tirar 5 no primeiro lançamento OU seis no 
segundo lançamento.
A = sair 2
B = sair 5
2) Calcule a probabilidade de sair duas caras em dois lançamentos de moedas.
A = sair cara
79
B = sair cara
Faremos agora o cálculo de probabilidade através do diagrama da árvore:
Figura 14- Diagrama da árvore
Fonte: Desenvolvido pela autora
Podemos perceber que temos uma opção de sair cara e depois coroa, dentre 
4 opções, logo 25% de chance.
Fonte: https://pixabay.com
80
PROBABILIDADE 
CONDICIONAL
AULA 15
81
Em probabilidade, nos casos de eventos dependentes, se o evento A e o evento 
B são dependentes, então se B já ocorreu e A for ocorrer, dizemos que B é condi-
cionado à ocorrência de A, ou seja, B é condição para que A ocorra. A probabili-
dade de ocorrer A dado que B já tenha ocorrido é dada pela fórmula (13):
 (13)
Onde: 
: probabilidade de ocorrer A, já que B ocorreu.
Em decorrência de (13) temos a fórmula da multiplicação para eventos depen-
dentes:
Exemplo:
1) Uma carta é retirada do baralho, qual a probabilidade de retirar um rei ver-
melho, dado que já foi retirada uma carta com figura?
A = evento que vai ocorrer: rei vermelho
B = evento que já ocorreu: carta com figura
 = probabilidade de retirar um rei vermelho com figura
2) Uma pesquisa foi feita com 100 pessoas sobre a preferência por canais de 
televisão, veja as informações na Tabela 13:
Tabela 11- Preferência por canais
Canal Quantidade
A 60
B 50
Os dois 10
Fonte: Desenvolvido pela autora
Foi selecionado um dos entrevistados sabendo que ele prefere o canal B, qual 
a probabilidade do próximo entrevistado preferir o canal A?
82
A = evento que vai ocorrer: preferir o canal A
B = evento que já ocorreu: preferir o canal B
Consideramos 50 que preferem somente o canal B adicionado dos 10 que 
gostam do A e do B.
 = probabilidade de preferir os dois canais
Anote isso
A probabilidade condicional indica que um evento já aconteceu, ou seja, 
teremos um evento condicionado a outro. Se de uma urna de bolinhas 
pretas e brancas foi sorteada uma bolinha preta, próximo sorteio fica con-
dicionado, pois a probabilidade de retirada de bolinha branca ou preta será 
alterada pelo fato de ter uma bolinha a menos na urna.
Distribuição de Probabilidade
Vamos estudar a distribuição binomial. Uma distribuição de probabilidades 
muito utilizada. Essa distribuição verifica quantos sucessos uma observação tem.
Exemplo:
Uma indústria produz parafusos e deseja-se saber quantos parafusos produ-
zidos são perfeitos, isto é, não são devolvidos para a produção.
Paraeste tipo de problema, utilizamos a distribuição binomial, em que que-
remos que ocorra produção de parafusos perfeitos, nesse caso, o sucesso do 
exercício.
Para estudarmos a distribuição binomial precisamos fazer uma breve revisão 
sobre fatorial. Seja n um número natural, tal que . Chamamos fatorial de n 
e representamos por n!, o produto de todos os números naturais de n a 1.
Exemplos:
a. 5! = 5.4.3.2.1 = 120
83
b. 4! = 4.3.2.1 = 24
c. 1! = 1
d. 0! = 1
Para calcular a distribuição binomial utilizamos a seguinte fórmula:
Onde:
P(X): probabilidade de ocorrer X sucessos.
n = tamanho da amostra.
p = probabilidade de sucessos.
1-p = probabilidade de insucessos.
X = número de sucessos da amostra.
Não confunda X com p, X é quantidade de sucessos, enquanto p é a probabi-
lidade de ocorrer um sucesso.
Exemplo:
1) Em uma amostra de tamanho 4, a probabilidade de ocorrência de sucesso 
é 0,1. Determine a probabilidade de que existam:
a. Exatamente 3 sucessos na amostra.
No exemplo temos que:
n = 4
p = 0,1
1-p = 0,9
X = 3
Vamos substituir esses valores na fórmula da distribuição binomial:
84
b. Exatamente 4 sucessos na amostra.
n = 4
p = 0,1
1-p = 0,9
X = 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da distribuição binomial:
c. Exatamente 1 sucesso na amostra.
n = 4
p = 0,1
1-p = 0,9
X = 1
Vamos substituir esses valores na fórmula da distribuição binomial:
85
d. Nenhum sucesso na amostra.
n = 4
p = 0,1
1-p = 0,9
X = 0
Vamos substituir esses valores na fórmula da distribuição binomial:
Fonte: https://pixabay.com
86
DIAGRAMAS 
DE VENN
AULA 16
87
Podemos representar elementos de um conjunto em forma de desenho, utili-
zando círculos e dentro destes círculos colocamos os elementos correspondentes. 
A esses círculos damos o nome de diagramas de Venn.
Isto está 
na rede
Os diagramas adotam o nome do seu criador John Venn, matemático e 
filósofo britânico do século XIX. Foi estudante e mais tarde professor no 
Caius College da Universidade de Cambridge, onde viria a desenvolver toda 
sua obra teórica.
Venn introduziu os diagramas em um trabalho de lógica formal publicado 
em Julho de 1880 na Philosophical Magazine and Journal of Science, intitula-
do Da representação mecânica e diagramática de proposições e raciocínios.
Figura 15- John Venn
Fonte: Wikipedia
88
Os diagramas de Venn podem ser:
1) Sem elementos em comum
Figura 16- Diagramas disjuntos
Fonte: Desenvolvido pela autora
Os diagramas da Figura 16 são disjuntos, pois não têm nenhuma área em 
comum, ou seja, não possuem elementos comuns. Em probabilidade estes con-
juntos representam os eventos mutuamente exclusivos, pois não podem ocorrer 
simultaneamente.
2) Com alguns elementos em comum
Figura 17- Diagramas de Venn com área em comum
Fonte: Desenvolvido pela autora
Os diagramas de Venn que possuem uma parte em comum, possuem a área 
de intersecção, chamados de . 
89
3) Conjuntos contidos em outros conjuntos
Figura 18- Conjunto contido
Fonte: Desenvolvido pela autora
Os conjuntos apresentados na Figura 18 são conjuntos contidos. Nesse caso, 
dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B, e representamos por Neste 
tipo de situação, todos os elementos do conjunto B também são elementos do 
conjunto A.
Exemplo:
1) Em uma escola de línguas 300 alunos fazem inglês, 200 espanhol e 150 as 
duas línguas. Quantos alunos têm na escola de línguas?
Vamos, a partir das informações, construir um diagrama de Venn. Perceba 
que o diagrama terá área em comum, pois têm alunos que fazem duas línguas 
ao mesmo tempo.
Figura 19- Alunos da escola de línguas
Fonte: Desenvolvido pela autora
90
Observe na Figura 19 que em vermelho foi feita a diferença entre a quantidade 
de alunos respondentes de cada língua e os alunos que fazem as duas línguas, 
isso pelo fato dos alunos que fazem inglês e espanhol ao mesmo tempo estarem 
repetidos no grupo dos alunos que fazem inglês e dos alunos que fazem espanhol. 
Sendo assim, 150 alunos estudam somente inglês e 50 alunos estudam somente 
espanhol. Logo o total de alunos na escola é 150+50+150 = 350.
2) Vamos construir o diagrama de Venn referente ao exemplo 2 do capítulo 15.
Figura 20- Preferência por canais
Fonte: Desenvolvido pela autora
A partir da análise da Figura 20 vemos que 50 entrevistados preferem somente 
o canal A, 40 entrevistados preferem somente o canal B e 10 entrevistados pre-
ferem os dois canais.
3) Um pesquisa foi feita sobre os esportes preferidos de alguns alunos.100 
responderam que preferem futebol, 60 preferem vôlei e 40 preferem natação. 
10 responderam que preferem futebol e vôlei, 12 preferem vôlei e natação, 10 
preferem futebol e natação e 5 alunos preferem os três esportes. Qual a proba-
bilidade de selecionar alguém que tenha respondido que prefere apenas vôlei?
91
Construindo o diagrama excluindo elementos simultâneos, temos:
Figura 21- Diagrama de Venn
Fonte: Desenvolvido pela autora
Como queremos selecionar uma pessoa que disse que prefere apenas vôlei, 
de acordo com o diagrama temos que 43 pessoas responderam que preferem 
apenas vôlei. O total de pessoas respondentes foi: 85+5+5+5+7+43+23 = 173.
Calculando a probabilidade temos:
92
CONCLUSÃO
Chegamos ao final do curso de Probabilidade e Estatística, a partir de tudo 
o que estudamos você está preparado para realizar pesquisa, analisar dados, 
analisar informações quantitativas em textos científicos e a partir desses dados 
realizar inferências, tomar decisões e tirar conclusões.
Você também será capaz de calcular as chances de ocorrências de eventos e 
analisar os riscos e pontos favoráveis à tomada de decisão.
93
ELEMENTOS COMPLEMENTARES
O Andar do Bêbado
Título: O Andar do Bêbado
Autor: Leonar Mlodinow
Editora: Zahar
Sinopse: O livro traz relatos e exemplos de como o aleatório pode influenciar 
na nossa vida.
Best-seller internacional e livro notável do New York Times. Um dos 10 Me-
lhores Livros de Ciência, segundo a Amazon.com. Não estamos preparados para 
lidar com o aleatório e, por isso, não percebemos o quanto o acaso interfere em 
nossas vidas. Num tom irreverente, citando exemplos e pesquisas presentes em 
todos os âmbitos da vida, do mercado financeiro aos esportes, de Hollywood à 
medicina, Leonard Mlodinow apresenta de forma divertida e curiosa as ferra-
mentas necessárias para identificar os indícios do acaso. Como resultado, nos 
ajuda a fazer escolhas mais acertadas e a conviver melhor com fatores que não 
podemos controlar. Prepare-se para colocar em xeque 
algumas certezas sobre o funcionamento do mundo 
e para perceber que muitas coisas são tão previsíveis 
quanto o próximo passo de um bêbado depois de 
uma noitada... “Um guia maravilhoso e acessível sobre 
como o aleatório afeta nossas vidas” Stephen Haw-
king “Mlodinow escreve num estilo leve, intercalando 
desafios probabilísticos com perfis de cientistas... O 
resultado é um curso intensivo, de leitura agradável, 
sobre aleatoriedade e estatística.” George Johnson, 
The New York Times.
94
REFERÊNCIAS
MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. 3 ed. São Paulo: Atlas, 2010.
MATTOS, Viviane Leite de; AZAMBUJA, Ana Maria de; KONRATH, Andréa Cristi-
na. Introdução à Estatística. Aplicações em Ciências Exatas. 1 ed. Rio de Janeiro, 
LTC, 2017.
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.