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Blog do Prof. Gilberto Apostila Slides PROFs. GILBERTO, EDIVALDO e HELOISA NÚMEROS *** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** SUMÁRIO 1. NÚMEROS NATURAIS .......................................... 1 1.1 Representação geométrica do conjunto dos números naturais ................................................................ 1 1.2 Limitação do conjunto dos números naturais ......... 1 2. NÚMEROS INTEIROS ........................................... 2 2.1 Representação em diagramas do conjunto dos números inteiros .................................................... 2 2.2 Representação geométrica do conjunto dos números inteiros ................................................................. 2 2.3 Números simétricos .......................................... 2 2.4 Limitação do conjunto dos números inteiros .......... 2 2.5 Definição de potenciação ................................... 3 2.6 Propriedades fundamentais da potenciação ........... 3 2.6.1 Multiplicação de potências com a mesma base .... 3 2.6.2 Divisão de potências com a mesma base ........... 3 2.6.3 Potência de potência ....................................... 3 2.6.4 Potência com expoente negativo ...................... 3 2.6.5 Potência com expoente fracionário .................... 3 2.6.6 Potência de produto ....................................... 3 2.6.7 Potência de quociente ..................................... 4 2.6.8 Potenciações de base negativa ......................... 4 2.7 Definição de radiciação ...................................... 4 2.7.1 Nomes dos termos na radiciação ...................... 4 3. NÚMEROS RACIONAIS ......................................... 7 3.1 Representação em diagramas do conjunto dos números racionais .................................................. 7 3.2 Representação geométrica do conjunto dos números racionais ............................................................... 7 3.3 Limitação do conjunto dos números racionais ........ 7 3.4 Potenciações de base 10 ...................................10 3.4.1 Com expoente positivo ...................................10 3.4.2 Com expoente negativo .................................10 3.5 Notação científica ............................................10 3.5.1 Cálculos com notação científica .......................11 4. NÚMEROS IRRACIONAIS .....................................12 4.1 Representação geométrica dos números irracionais ..........................................................................12 4.2 Representação em diagramas do conjunto dos números irracionais ...............................................12 5. NÚMEROS REAIS ...............................................12 5.1 Representação em diagramas dos números reais ..12 5.2 Representação geométrica do conjunto dos números reais ...................................................................13 6. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM-ODA ........13 7. REFERÊNCIAS ...................................................13 1. NÚMEROS NATURAIS A necessidade de contar surgiu com o início da civilização dos povos. Povos primitivos conta- vam apenas um, dois e muitos. Esses três concei- tos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sen- do incorporadas. A ideia do zero só surgiu mais tarde. Os números utilizados para contar formam hoje o que chamamos de conjunto dos números naturais, simbolizado por ℕ e definido assim: ℕ = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} 1.1 Representação geométrica do con- junto dos números naturais 1.2 Limitação do conjunto dos números naturais A soma de dois números naturais quaisquer tem como resultado sempre um número natural, mas a diferença de dois números naturais quais- quer nem sempre tem como resultado um número natural. Por exemplos: ✓ 5 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ e (5 + 2) ∈ ℕ, ainda (2 + 5) ∈ ℕ. ❖ 5 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ e (5 – 2) ∈ ℕ, mas (2 – 5) ∉ ℕ. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule: a) 2 700 + 2 660 b) 33 603 + 2 896 2) Vamos somar os números 272 e 339 em duas ordens diferentes. Calcule e compare os resulta- dos: a) 272 + 339 b) 339 + 272 Propriedade comutativa da adição: A or- dem das parcelas não altera a soma. 3) Quanto é? a) 1 990 + 0 b) 0 + 1 990 Zero é chamado é chamado elemento neu- tro da adição. 4) Calcule as diferenças: a) 749 – 638 b) 87 528 – 6 458 c) 99 003 – 88 043 d) 1 138 – 909 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 5) Calcule o valor da expressão numérica: 75 – (20 – 8 + 18) – 20 + 4 Em seguida, assinale a alternativa CORRETA. (a) 18 (b) 29 (c) 32 (d) 44 EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 6) Quando Sueli nasceu, o pai dela tinha 25 anos de idade. Hoje Sueli tem 17 anos. Qual é a idade do seu pai? 7) Diego foi ao bingo com uma quantia de R$ 50,00. A cartela custava R$ 2,00. Na 1ª rodada comprou 5 cartelas, mas não ganhou nenhum prêmio. Na 2ª rodada comprou 7 cartelas e tam- https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 2 Blog do Prof. Gilberto bém não ganhou. Já na 3ª rodada, comprou ape- nas 3 cartelas, no qual fez uma quina, recebendo como prêmio uma quantia de R$ 15,00. A quantidade de dinheiro que Diego ficou, ao retornar para casa, foi (a) R$ 26,00. (c) R$ 35,00. (b) R$ 30,00. (d) R$ 50,00. 8)(SEAPE) Resolva a conta abaixo. 3 242 – 876 O resultado dessa conta é (a) 2 366 (c) 3 634 (b) 3 476 (d) 4 118 2. NÚMEROS INTEIROS (2 – 5) ∉ ℕ Subtrações como essa somente tem res- posta com a introdução dos números negativos: – 1, – 2, – 3, – 4, ... A união dos números naturais com os nú- meros negativos forma o conjunto dos números inteiros, simbolizado por ℤ e definido assim: ℤ = {..., – n, ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} Podemos separar os números inteiros em três categorias: • Os positivos: 1, 2, 3, 4, ... • O zero: 0. • Os negativos: – 1, – 2, – 3, – 4, ... Observação: Os conjuntos numéricos podem vir acompa- nhados de certos símbolos, que tem a função de excluir, deles, determinados números: • O símbolo asterisco (*) exclui o zero; • O símbolo mais (+) exclui os negativos; • O símbolo menos (–) exclui os positivos. Exemplos: • ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} • ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} • ℤ− = {..., – 3, – 2, – 1, 0} 2.1 Representação em diagramas do con- junto dos números inteiros ℕ é subconjunto de ℤ 2.2 Representação geométrica do con- junto dos números inteiros 2.3 Números simétricos • De maneira geral, se k é um número inteiro, o número –k também é número inteiro. • Dizemos que k e –k são números simétricos ou opostos (as bibliografias de nível superior os chamam de inversos aditivos). • A geometria dos números simétricos: simetria em relação ao zero: 2.4 Limitação do conjunto dos números inteiros A soma, a subtração e multiplicação de dois números inteiros quaisquer têm como resultado sempre um número inteiro, mas a divisão de dois números inteiros quaisquer nem sempre tem como resultado um número inteiro. Por exemplos: ✓ +5 ∈ ℤ, – 2 ∈ ℤ e [(+5) + (– 2)] ∈ ℤ. ✓ +7 ∈ ℤ, +3 ∈ ℤ e [(+7) – (+3)] ∈ ℤ. ✓ +6 ∈ ℤ, – 4 ∈ ℤ e [(+6)∙(– 4)] ∈ ℤ. ❖ – 10 ∈ ℤ, +5 ∈ ℤ e [(– 10):(+5)] ∈ ℤ, mas [(+5):(– 10)] ∉ ℤ. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9) Usando os sinais > ou <, compare os números inteiros: a) – 6 e – 4 d) 12 e 21 b) – 8 e 8 e) – 4 e 0 c) – 1 e – 10 f) 0 e – 1 10) Efetue as adições algébricas: Jogo de sinal da soma e adição ➢ Números com sinais iguais: Soma-se e con- serva-se o mesmo sinal; ➢ Números com sinais diferentes: Subtrai-se e conserva-se o sinal do número de valor ab- soluto maior. a) – 7 – 8 f) – 2 + 2 b) + 7 + 8 g) 50 – 20 c) – 7 + 8 h) – 500 + 300 d) + 7 – 8 i) 60 + 90 e) – 2 – 2 j) – 3 000 + 4 000 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/3 Blog do Prof. Gilberto 11) Calcule, utilizando a tabela abaixo para elimi- nar os parênteses: a)(+ 5) + (+ 7) g)(+ 30) + (+ 20) b)(– 8) + (– 9) h)(+ 30) + (– 20) c)(– 37) + (+ 35) i)(– 30) + (+ 20) d)(+ 10) + (– 9) j)(– 30) – (+ 20) e)(– 15) + (+ 15) k) 0 – (– 75) f)(+ 5) + (+ 7) l) 0 + (– 75) 12) Calcule, utilizando a tabela abaixo para jogo de sinal da multiplicação de números inteiros: a)(+ 5) × (+ 10) f)(– 25)(– 4) b)(– 5) × (– 10) g)(– 25)(+ 4) c)(+ 5) × (– 10) h)(+ 4)(+ 1) d)(– 5) × (+ 10) i)(+ 4) ∙ 0 e)(+ 25) × (– 4) j)(– 4) ∙ 0 13) Calcule, utilizando a tabela abaixo para jogo de sinal da divisão de números inteiros: a)(+ 36) : (+ 9) c)(+ 55) : (– 5) b)(– 36) : (– 9) d)(– 27) : (+ 3) EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 14) Seu pai tem um saldo positivo de R$ 75,00 no banco. Use números inteiro para representar esse saldo, se ele: a) depositar R$ 32,00. b) retirar R$ 40,00. c) pagar uma despesa de R$ 81,00 com cheque desse banco. 2.5 Definição de potenciação Dado um número real a e um número natu- ral n diferente de zero, a potência an é definida como: 𝐚𝐧 = 𝐚 ∙ 𝐚 ∙ 𝐚…𝐚⏟ 𝐧 𝐟𝐚𝐭𝐨𝐫𝐞𝐬 ou seja, o produto de n fatores iguais ao número a. Exemplos: a) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 e) 31 = 3 b) 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 f) 32 = 3 ∙ 3 c) 22 = 2 ∙ 2 g) 52 = 5 ∙ 5 d) 21 = 2 Observações: • Para n = 1, considera-se por definição que 𝐚𝟏 = a. • Convenciona-se que 𝐚𝟎 = 1. • Nomes dos termos na radiciação: a: base; 2.6 Propriedades fundamentais da po- tenciação Para a, b ∈ ℝ e m, n ∈ ℕ∗, vale: 2.6.1 Multiplicação de potências com a mesma base Conserva-se a base e soma-se os expoen- tes: 𝐚𝐦 ∙ 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦+𝐧 2.6.2 Divisão de potências com a mesma base Conserva-se a base e subtrai-se os expoen- tes: 𝐚𝐦 ∶ 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦 − 𝐧 ou 𝐚𝐦 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦 − 𝐧 2.6.3 Potência de potência Conserva-se a base e multiplicam-se os ex- poentes: (𝐚𝐦)𝐧 = 𝐚𝐦𝐧 2.6.4 Potência com expoente negativo É igual ao oposto da potência e o inverso do expoente da potência: 𝐚−𝐧 = 𝟏 𝐚𝐧 ; a ≠ 0 2.6.5 Potência com expoente fracionário 𝐚 𝐦 𝐧 = √𝐚𝐦 𝐧 2.6.6 Potência de produto É igual ao produto das potências dos fato- res, utilizando-se o mesmo expoente: (𝐚 ∙ 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧 ∙ 𝐛𝐧 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 4 Blog do Prof. Gilberto 2.6.7 Potência de quociente É igual ao quociente das potências, utili- zando-se o mesmo expoente e na mesma ordem: ( 𝐚 𝐛 ) 𝐧 = 𝐚𝐧 𝐛𝐧 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15) Calcule as potências com expoente real: a) 34 m) ( 2 3 ) −2 b) (−2)3 n) 100 c) (−2)6 o) 101 d) 15 p) 102 e) 05 q) 103 f) 51 r) 10−1 g) 50 s) 10−2 h) (2,5)2 t) 10−3 i) ( 2 3 ) 4 u) 9 1 2 j) 6−2 v) 4 1 2 k) 2−3 w) 250,5 l)(−2)−3 x) 0 1 2 16) Reduza a uma só potência: a) 74 ∙ 72 i) 5(2 3) b) 3 ∙ 32 j) 23 2 c) 23 ∙ 27 ∙ 2 k) 27∙23 2−4 d) 59: 52 l) (34 ∙ 3)−2 e) 107: 10 m) 4x+1 ∙ 4x−1 f) 310 34 n) 10 x+2: 10x−2 g) a6 a , com a ≠ 0 o) e x: ex+2 h) (25)3 p) x x−1 2.6.8 Potenciações de base negativa Em potenciações com bases negativas, se: • O expoente for par, o resultado será positivo; • O expoente for ímpar, o resultado terá o mes- mo sinal da base. Verifique fazendo o exercício abaixo. EXERCÍCIO PROPOSTO 17) Calcule as potências: a) (−2)2 h) (−5)3 o) (−1)6 b) (−2)3 i) (−1)2 p) (−1)100 c) (+2)3 j) (−1)3 q) (−1)101 d) (−3)2 k) (−1)4 r) (−1)1000 e) (−3)3 l) (+1)3 s) (−1)1001 f) (+3)3 m) (+1)4 g) (−5)2 n) (−1)5 2.7 Definição de radiciação Observe • 22 = 4, logo √4 = 2 • 53 = 125, logo √125 3 = 5 • 24 = 16, logo √16 4 = 2 De modo geral, segue que, √𝐚 𝐧 = 𝐛 ⟺ 𝐛𝐧 = 𝐚 Observação: • Quanto é √−4? Seguindo a definição de poten- ciação: √−4 = ⟺ 2 = −4, que número é esse? Qual é a sua conclusão? 2.7.1 Nomes dos termos na radiciação Em √𝐚 𝐧 = 𝐛, os nomes dos termos são: a: radicando; n: índice; b: raiz; √ : radical. EXERCÍCIO PROPOSTO 18) Calcule as raízes: a) √16 f) √81 k) √196 b) √25 g) √100 l) √8 3 c) √36 h) √121 m) √27 3 d) √49 i) √144 n) √32 5 e) √64 j) √169 o) √625 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 19)(PROVA BRASIL) Na correção de uma prova de um concurso, cada questão certa vale +5 pon- tos, cada questão errada vale – 2 pontos, e cada questão não respondida vale – 1 ponto. Das 20 questões da prova, Antônio acertou 7, errou 8 e deixou de responder as restantes. O número de pontos que Antônio obteve nessa prova foi: (a) 14 (b) 22 (c) 24 (d) 30 20)(PROVA BRASIL) Numa cidade da Argenti- na, a temperatura era de 12°C. Cinco horas de- pois, o termômetro registrou – 7°C. A variação da temperatura nessa cidade foi de: (a) 5 °C (b) 7 °C (c) 12 °C (d) 19 °C https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 5 Blog do Prof. Gilberto 21) Um comerciante fez três vendas e teve preju- ízo de R$ 16,00 na primeira venda, prejuízo de R$ 23,00 na segunda e lucro de R$ 45,00 na tercei- ra. Podemos calcular o saldo resultante dos três negócios efetuados desta maneira: (a) 16 – 23 + 45 = 84. (b) –16 – 23 – 45 = – 84. (c) –16 + 23 – 45 = – 38. (d) –16 + (–23) + 45 = 6. 22) Na reta numérica da figura abaixo, o ponto G corresponde ao número inteiro 1 e o ponto H, ao número inteiro 2. Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro 5 é: (a) a letra K (c) a letra L (b) a letra B (d) a letra I 23) Jeremias plantou uma fileira de cinco árvores frutíferas distanciadas 3 metros uma da outra. Veja abaixo a representação dessas árvores. Qual é a distância entre a quinta árvore e a porteira? (a) 15 m (b) 12 m (c) 9 m (d) 6 m 24)(SIMAVE) Luísa desenhou uma reta numéri- ca, em que as distâncias entre duas marcas con- secutivas são todas iguais. Ela marcou nessa reta um número entre 23 e 63. O número que Luísa marcou é igual a: (a) 27 (b) 39 (c) 40 (d) 43 25)(SAEPE) Os primeiros Jogos Olímpicos foram realizados na Grécia em 1896. Dessa data em di- ante, os Jogos aconteceram de 4 em 4 anos, regu- larmente. A reta numérica abaixo, representa a linha do tempo, indicando os nomes dos países onde e quando foram realizados os Jogos abaixo. De acordo com essa representação, em que anos foram realizados Jogos Olímpicos, nos Esta- dos Unidos e na Suécia? (a) 1902 e 1910 (c) 1905 e 1914 (b) 1904 e 1912 (d) 1906 e 1915 26)(SARESP – 2010) O número escrito no último quadro é (a) – 20 (b) – 18 (c) 18 (d) 34 27)(PROVA BRASIL) Cíntia conduzia um carri- nho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o con- trole. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas. Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre ela e o carrinho era de (a) – 11 m (b) 11 m (c) – 27 m (d) 27 m 28) Em uma cidade do Alasca, o termômetro marcou – 15° pela manhã. Se a temperatura des- cer mais 13°, o termômetro vai marcar: (a) – 28° (b) – 2° (c) 2° (d) 28° 29) Os termômetros, abaixo, indicam as tempe- raturas registradas, em um mesmo dia, em duas cidades brasileiras. Qual é a diferença de temperatura entre essas duas cidades? (a) – 25 °C (b) – 30 °C (c) 40 °C (d) 55 °C https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 6 Blog do Prof. Gilberto 30) Veja a temperatura de algumas cidades em determinado dia do ano. Essa tabela pode ser representada pela reta: (a) (b) (c) (d) 31)(PROVA BRASIL) Na reta numérica da figura abaixo, o ponto E corresponde ao númerointeiro - 9 e o ponto F, ao inteiro –7. Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará: (a) sobre o ponto M. (b) entre os pontos L e M. (c) entre os pontos I e J. (d) sobre o ponto J. 32) Observe os pontos localizados na reta numé- rica abaixo. O ponto que tem coordenada – 2 está re- presentado pela letra (a) L (b) M (c) Q (d) R 33)(SPAECE) Na reta numérica abaixo, M e N representam números inteiros. Os números correspondentes a M e N, são, respectivamente, (a) – 3 e 4. (c) – 6 e 4. (b) – 3 e 6. (d) – 6 e 6. 34) Num dia muito frio, em Porto Alegre, a tem- peratura foi de 5°C. À noite, a temperatura dimi- nuiu 7°C. Em que ponto da reta numérica se en- contra a temperatura atingida? (a) A (b) B (c) C (d) D 35)(SAERJ) Os submarinos têm um radar que indica a posição de objetos acima e abaixo do ní- vel do mar. O desenho abaixo mostra posições representadas no painel de navegação do subma- rino. Observe. No ponto destacado com , o radar identi- ficou um objeto. De acordo com os dados apresen- tados, qual é a posição desse objeto? (a) – 600 (b) + 500 (c) – 400 (d) + 400 36)(SAVEAL) Em determinados lugares do nosso planeta a temperatura pode variar de 40º graus positivos a 60º graus negativos em um mesmo dia. Veja a representação que alguns alunos fize- ram das temperaturas na reta numérica. Qual aluno representou corretamente as temperaturas na reta numérica? (a) Carlos (c) Mateus (b) Marcos (d) Victor 37) Observe a reta a seguir: Os números correspondentes às letras M e N são respectivamente https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 7 Blog do Prof. Gilberto (a) –2 e +3 (c) +2 e –3 (b) –2 e –3 (d) +2 e +3 38) Na reta numérica, o número –5 fica entre os números. (a) – 6 e – 7 (c) – 4 e + 6 (b) – 4 e – 6 (d) –6 e – 10 39)(SPAECE) Veja a reta numérica abaixo. Nessa reta, o ponto P corresponde ao número (a) 5 (b) 4 (c) – 3 (d) – 6 40)(SAEPE) Na reta numérica abaixo, estão re- presentados alguns números inteiros. Qual o número correspondente ao ponto X? (a) – 7 (b) – 1 (c) 1 (d) 3 41)(SAEMS) Veja a reta numérica abaixo. O número correspondente ao ponto M é (a) – 1 (b) – 2 (c) – 4 (d) – 5 3. NÚMEROS RACIONAIS [(+5):(– 10)] ∉ ℤ Divisões como essa somente tem resposta com a criação dos números fracionários: 3 5 , 8 7 , 1 10 , etc Para que também a divisão fosse sempre possível foi criado um conjunto numérico mais amplo que o conjunto dos números inteiros, o conjunto dos números racionais, simbolizado por ℚ e definido assim: ℚ = {𝐱; 𝐱 = 𝐚 𝐛 , 𝐜𝐨𝐦 𝐚, 𝐛 ∈ ℤ 𝐞 𝐛 ≠ 𝟎} Exemplos: • – 3 = – 3 1 ; – 2 = – 2 1 ; – 1 = – 1 1 ; 7 = 14 2 ; ... (números inteiros); • 3 7 ; 13 5 ; 84 56 ; … (frações); • 0,5 = 1 2 ; 2,5 = 5 2 ; 0,01 = 1 100 ; ... (nºs decimais exa- tos); • 0,333 ... = 1 3 ; 0,525252 ... = 52 99 ; ... (dízimas periódi- cas). 3.1 Representação em diagramas do con- junto dos números racionais ℤ é subconjunto de ℚ 3.2 Representação geométrica do con- junto dos números racionais Podemos representar os números racionais por pontos pertencentes a uma reta orientada. Veja alguns poucos exemplos de números racio- nais abaixo: Representação do conjunto dos números racionais em uma reta: Observações: • O conjunto dos números racionais é denso na reta. • Entre dois números racionais quaisquer exis- tem infinitos números racionais. 3.3 Limitação do conjunto dos números racionais A figura a seguir mostra um triângulo re- tângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o cálculo para encontrar a sua hipotenusa, utilizando o Teorema de Pitágoras: x2 = 12 + 12 x2 = 1 + 1 x2 = 2 Que número que elevado ao quadrado dá 2? Essa foi a indagação dos pitagóricos, tam- bém! A cerca de 2.000 anos atrás. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 8 Blog do Prof. Gilberto Resposta: x = 1,41421356237309 ... A resposta x = 1,41421356237309 ... é um número decimal que não pode ser escrito em for- ma de fração, portanto, é um número não- racional – números desse tipo os pitagóricos os chamaram de incomensuráveis. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 42) Simplifique as frações até a forma irredutível: a) 2 12 e) 6 18 b) 3 12 f) 18 6 c) 4 24 g) 18 9 d) 5 25 h) 12 2 43) Some as frações com denominadores iguais: a) 5 4 + 2 4 c) 11 6 + 1 6 + 5 6 b) 11 3 – 7 3 d) 17 4 – 13 4 44) Some as frações com denominadores diferen- tes: a) 3 2 + 2 3 c) 1 2 + 1 3 b) 3 2 – 2 3 d) 3 2 – 1 4 45) Multiplique as frações: a) 9 . 1 9 d) 5 9 ∙ 24 55 ∙ 11 48 b) 13 60 ∙ 72 12 e) 33 121 ∙ 55 25 c) 28 9 ∙ 81 14 f) 60 120 ∙ 40 8 46) Efetue as divisões de frações: a) 6 2 7 c) 2 3 ∶ 4 5 5 3 ∶ 2 3 b) 6 5 2 d) 4 15 ∶ 2 3 12 24 ∶ 3 8 47) Some os números decimais: a) 0,0718 + 1,4765 b) 5,6 + 0,07895 c) 5,612 + 437,98 + 99,9 48) Efetue as subtrações de números decimais: a) 7,56 – 1,42 b) 7,92 – 6,854 c) 486,1 – 11,786 49) Calcule os quocientes dos números decimais: a) 63 : 2 d) 30 : 25 g) 76 : 8 b) 75 : 4 e) 45 : 4 c) 73 : 8 f) 98 : 20 50) Calcule o valor aproximado por falta de cada quociente, com aproximação de duas casas deci- mal: a) 1 : 3 d) 214 : 3 g) 10 : 6 b) 10 : 3 e) 8 : 3 c) 13 : 6 f) 9 : 7 Há divisões não exatas em que conseguimos obter apenas valores aproximados (por falta) para o quociente, porque nunca obtemos resto zero. Nesse caso, pelo fato de haver algarismos que se repetem periodicamente no quociente, o quociente é chamado de dízima periódica. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 51) Fazendo-se as operações 1,8 + 1,35 + 2,1 – 0,8, obtém-se: (a) 4,45 (b) 6,05 (c) 17,2 (d) 15,6 52)(SARESP) Qual é o resultado de 𝟏 𝟖 + 𝟓 𝟔 ? (a) 1/4 (b) 1/8 (c) 3/7 (d) 23/24 53) O valor da seguinte expressão numérica 2/5 – 1/10 + 0,2 é: (a) 7/10 (b) 1/2 (c) 3/10 (d) 23/10 54) Na loja “Bom de bola”, o preço da bola oficial de vôlei está em promoção. Veja. Fonte: www.jogo.com.br Pedro aproveitou essa promoção e comprou uma bola. Ele pagou com uma nota de 100 Reais. Quanto Pedro recebeu de troco? (a) R$ 3,65 (c) R$ 5,45 (b) R$ 4,55 (d) R$ 3,55 55) O número 0,075 é melhor representado pela fração irredutível: (a) 75/100 (c) 25/100 (b) 3/40 (d) 9/8 56) A fração 2/5 pode ser representada pelo nú- mero decimal: (a) 0,2 (b) 2,4 (c) 0,4 (d) 0,6 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 9 Blog do Prof. Gilberto 57)(PROVA RIO) Num campeonato de arco e flecha, Paulo totalizou 2,25 pontos em três lan- çamentos. Observando a pontuação no alvo acima, podemos afirmar que ele pode ter obtido os se- guintes pontos: (a) 2; − 0,5 e – 0,25 (c) 1; 1 e – 0,25 (b) 3; − 0,5 e – 0,25 (d) 2; 1 e – 0,5 58) Pesquisas mostram que a altura média do homem, nos anos 1 000, era cerca de 1,68 m e, nos anos 2 000, passou para cerca de 1,75 m. Fonte: Revista Época 20/12/1999. Com base nessas pesquisas, a altura média do homem teve um aumento, em cm, de (a) 0,07 (b) 0,7 (c) 7 (d) 70 59) Janis, Maija e a mãe estavam comendo um bolo. Janis comeu 1/2 do bolo. Maija comeu 1/4 do bolo. A mãe comeu 1/4 do bolo. A parte do bolo que restou foi (a) 1/2 (c) 2/3 (b) nenhuma (d) 1/3 60) A fração 3/5 pode ser representada pelo nú- mero decimal: (a) 0,35 (b) 0,53 (c) 0,6 (d) 3,5 61) Observe a reta numérica a seguir: Assinale a alternativa que apresenta a letra que correspondeao número 5/4. (a) M (b) N (c) P (d) Q 62)(SAERS) Observe a reta numérica abaixo. Nessa reta, que número corresponde ao ponto P? (a) 5,4 (b) 5,5 (c) 5,6 (d) 5,9 63) A dízima periódica 2,555... pode ser represen- tada pela fração: (a) 2/5 (c) 25/9 (b) 23/9 (d) 25/10 64) Observe os números que aparecem na reta abaixo. O número indicado pela seta é (a) 0,9 (b) 0,54 (c) 0,8 (d) 0,55 65)(PROVA BRASIL) A figura abaixo mostra os pontos P e Q que correspondem a números racio- nais e foram posicionados na reta numerada do conjunto dos racionais. Os valores atribuídos a P e Q, conforme su- as posições na reta numérica abaixo são: (a) P = – 0,2 e Q = – 0,3 (b) P = – 0,3 e Q = – 0,2 (c) P = – 0,6 e Q = – 0,7 (d) P = – 0,7 e Q = – 0,6 66)(PROVA BRASIL 2009) Em uma aula de Matemática, o professor apresentou aos alunos uma reta numérica como a da figura a seguir. O professor marcou o número 4 11 nessa re- ta. Esse número foi marcado entre que pontos da reta numérica? (a) – 4 e – 3 (c) 0 e 1 (b) – 3 e – 2 (d) 3 e 4 67) Observe a reta numérica abaixo. Nessa reta, que número corresponde ao ponto P? (a) 2,4 (b) 2,5 (c) 2,6 (d) 2,7 68)(Imenes & Lellis) Colocamos os números na reta, como se fosse a escala de um termômetro. Nessa representação, os pontos A e B correspon- dem, respectivamente, aos números: (a) – 1,8 e 0,5 (c) – 1,8 e – 0,5 (b) – 2,2 e – 0,5 (d) –2,2 e 0,5 69) Veja a reta numérica abaixo. A letra T corresponde ao número (a) 0,8 (b) 1,8 (c) 2,5 (d) 2,8 https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 10 Blog do Prof. Gilberto 70) Observe os números que aparecem na reta abaixo. O número indicado pela seta é: (a) 0,5 (b) 0,14 (c) 0,4 (d) 0,15 71) Observe a reta numerada abaixo. Nessa reta, o ponto P corresponde ao número (a) 1/2 (b) 2/3 (c) 3/2 (d) 7/3 72) Artur é arquiteto. Ele está verificando as me- didas de um projeto. No desenho abaixo, podemos ver a linha que Artur está medindo. A medida desta linha, em centímetros, é (a) 3,0 (b) 3,4 (c) 3,8 (d) 4,0 73) Na reta numérica abaixo, há quatro valores assinalados pelas letras A, B, C e D. Qual delas pode estar indicando a localização do número 1,2? (a) A (b) B (c) C (d) D 74) A receita de bolo de Ana Maria diz que é pre- ciso usar 3 4 de xícara de farinha. O valor correspondente a 3 4 , na reta numerada, é a letra (a) A (b) B (c) C (d) D 75) Veja a reta numérica abaixo. O ponto correspondente a fração é 2/5 (a) P (b) Q (c) R (d) S 76)(SARESP) Abaixo, representamos na reta numérica os números x, y, z e zero. É correto dizer que: (a) y > z (c) x > 0 (b) y < x (d) z é um número positivo. 77)(SARESP) Observe a reta numérica: A letra M está assinalando o número 80,458. Qual é o número que a letra R está marcando? (a) 80,469 (c) 80,475 (b) 80,466 (d) 80,476 78)(SARESP) A letra L está assinalando, na reta numérica, o número 45,477. Qual é o número que a letra J está assinalando? (a) 45,456 (c) 45,435 (b) 45,454 (d) 45,404 3.4 Potenciações de base 10 3.4.1 Com expoente positivo a) 100 = 1 b) 101 = 10 c) 102 = 100 d) 103 = 1 000 e) 104 = 10 000 f) 105 = 100 000 g) 106 = 1 000 000 3.4.2 Com expoente negativo a) 10−1 = 0,1 b) 10−2 = 0,01 c) 10−3 = 0,001 d) 10−4 = 0,0001 e) 10−5 = 0,00001 f) 10−6 = 0,000001 g) 10−7= 0,000001 3.5 Notação científica Notação científica é um padrão utilizado pa- ra expressar números demasiadamente grandes ou pequenos. Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: 𝐚 ∙ 𝟏𝟎𝐧 em que: • a: é denominado mantissa, 1 ≤ a < 10; • n: é chamado ordem de grandeza, n é número inteiro. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 11 Blog do Prof. Gilberto Exemplos: • A massa do Sol é estimada em 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg = 1 989 ∙ 1027 kg = 1,989 ∙ 1030 kg; • Uma molécula de açúcar (sacarose) tem massa de 0,000000000000000000000057 g = 57 ∙ 10−24 g = 5,7 ∙ 10−23 g; • A maior distância observável pelo homem no universo 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m = 74 ∙ 10 000 000 000 000 000 000 000 000 m = 74 ∙ 1025 m = 7,4 ∙ 1026 m • A massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 kg = 167 ∙ 10−29 kg = 1,67 ∙ 10−27 Kg • A massa de um elétron é de cerca de 0,00000000000000000000000000000091093822 kg = 91093822 ∙ 10−38 kg = 9,1093822 ∙ 10−31 kg Para valores como esses, a notação científi- ca é mais adequada para representá-los, do que utilizar números com excessivas quantidades de zeros ou números decimais com excessivas casas decimais. EXERCÍCIO DE TEMAS TRANSVERSAIS 79) Observe a mensagem: Agora, a) Escreva o “peso” (massa) da Terra em potência de base 10. b) Escreva em notação científica. EXERCÍCIO INTERDISCIPLINAR 80) Uma molécula de açúcar (sacarose) tem massa de 5,7 ∙ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 g e uma de água, 3 ∙ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 g. Qual das moléculas tem massa maior? Mostre. EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 81)(Enem-2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012. Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago 2012. A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de (a) 4,129 ∙ 103 (d) 4,129 ∙ 1012 (b) 4,129 ∙ 106 (e) 4,129 ∙ 1015 (c) 4,129 ∙ 109 3.5.1 Cálculos com notação científica Seja um número qualquer em notação cien- tífica, 𝐚 ∙ 𝟏𝟎𝐧, podemos realizar as seguintes ope- rações: • Multiplicação: multiplica-se as mantissas a e soma-se as ordens de grandezas n; • Divisão: divide-se as mantissas a e subtrai-se as ordens de grandezas n. Exemplos: a) (6 ∙ 1012 ) ∙ (2 ∙ 105) = (6 ∙ 2) ∙ 1012+5 = 12 ∙ 1017 b) (6 ∙ 1012 ) : (2 ∙ 105) = (6 : 2) ∙ 1012−5 = 3 ∙ 107 EXERCÍCIO PROPOSTO 82) Calcule e dê as respostas em notação científi- ca: a)(4 ∙ 1012) ∙ (2,5 ∙ 109) https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ http://www.noticiasagricolas.com.br/ 12 Blog do Prof. Gilberto b)(3,6 ∙ 10−4) ∙ (5,5 ∙ 10−5) c)(1,2 ∙ 108) ∙ (8,2 ∙ 10−5) d)(8 ∙ 1015) ∙ (4 ∙ 1010) e)(8 ∙ 1015) : (4 ∙ 1010) f) (4 ∙ 1015) : (8 ∙ 1010) EXERCÍCIO INTERDISCIPLINAR 83) Uma molécula de sal de cozinha tem massa de 9,7 ∙ 10−23 g. Quantas moléculas existem em 1 kg de sal? (Responda em notação científica) 4. NÚMEROS IRRACIONAIS x2 = 12 + 12 x2 = 2 x = √2 = 1,41421356… ∉ ℚ Equações como essa não tem resposta em ℚ, a resposta foi possível pela descoberta de um novo conjunto numérico, o conjunto dos núme- ros irracionais, simbolizado por 𝕀, representado por números decimais que são dízimas aperiódi- cas (casas decimais infinitas e sem período). Exemplos: • √2 = 1,41421356 ... • √3 = 1,73205080 ... • √5 = 2,23606797 ... • √6 = 2,44948974 ... • √7 = 2,64575131 ... • π = 3,141592653589 ... 4.1 Representação geométrica dos núme- ros irracionais Existem mais números irracionais que nú- meros racionais. Veja uma mostra: √0 = 0 ∈ ℚ √1 = 1 ∈ ℚ √2 = 1,41421356 ... ∈ 𝕀 √3 = 1,73205080 ... ∈ 𝕀 √5 = 2,23606797 ... ∈ 𝕀 √6 = 2,44948974 ... ∈ 𝕀 √7 = 2,64575131 ... ∈ 𝕀 √8 = 2,828427124 ... ∈ 𝕀 √9 = 3 ∈ ℚ √10 = 3,1622776601 ... ∈ 𝕀 Então, assim como os números racionais é denso na reta, os números irracionais são densos na reta. Representação de todos os números irra- cionais em reta: 4.2 Representação em diagramas do con-junto dos números irracionais EXERCÍCIOS PROPOSTOS 84) O número irracional √7 está compreendido entre os números: (a) 2 e 3 (c) 3 e 4 (b) 12 e 15 (d) 6 e 8 85) Observe as setas (Z, Y, X e W) na reta numérica abaixo. A seta que aponta para localização aproximada de π é (a) W (b) X (c) Y (d) Z 5. NÚMEROS REAIS Da união do conjunto dos números racio- nais com o conjunto dos números irracionais surge o conjunto dos números reais, simbolizado por ℝ e definido assim: ℝ = {𝐱; 𝐱 é 𝐧º 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐨𝐮 𝐱 é 𝐧º 𝐢𝐫𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥} 5.1 Representação em diagramas dos números reais ℚ é subconjunto de ℝ. 𝕀 é subconjunto de ℝ. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ 13 Blog do Prof. Gilberto 5.2 Representação geométrica do con- junto dos números reais O conjunto dos números reais é denso na reta. 6. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZA- GEM-ODA • Slides das aulas de Números • Apostila de Números – Eletiva de Matemática do Novo Ensino Médio (12 páginas, 83 ques- tões) • Apostila de Álgebra – Eletiva de Matemática do Novo Ensino Médio (8 páginas, 21 questões) • Apostila de Potenciação e Radiciação (7 pági- nas, 31 questões) • Apostila de Função e Função do 1º Grau (10 páginas, 35 questões) com Habilidades da BNCC • Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 questões) • Apostila de Função do 2º Grau (9 páginas, 56 questões) com gabarito • Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 questões) com gabarito • Apostila de Função Logarítmica (7 páginas, 43 questões) • Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 questões) • Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge- bra (4 páginas, 10 exercícios) • Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge- bra (3 páginas) • Laboratório de Funções com planilhas eletrôni- cas (7 páginas, 10 exercícios) • Apostila de Matemática Financeira (9 páginas, 62 questões) • Apostila de Matemática Financeira (20 páginas, 140 questões) com gabarito • Todas as apostilas de Matemática de Ensino Médio do Prof. Gilberto • Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do Prof. Gilberto 7. REFERÊNCIAS GIOVANNI, J. Matemática: Pensar e Descobrir. São Paulo: FTD, 2000. (6ª Série). IEZZI, G.; DOCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Reali- dade: Ensino Fundamental. 4. Ed. São Paulo: Atual, 2000. (5ª Série). Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo Atualizada em 10/3/2023 Gostou da apostila? Você encontra várias apostilas como essa no blog do Professor Gilberto Santos, no endereço https://professorgilbertosantos.blogspot.com / ou siga pelo QR code ao lado. https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/02/aulas-em-slides-os-conjuntos-dos.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/02/apostila-de-numeros-eletivas-12-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/02/apostila-de-numeros-eletivas-12-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/02/apostila-de-numeros-eletivas-12-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/03/apostila-de-algebra-eletiva-de.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/03/apostila-de-algebra-eletiva-de.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/02/apostila-de-potenciacao-e-radiciacao-7.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/02/apostila-de-potenciacao-e-radiciacao-7.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/videos-de-matematica-do-prof-gilberto.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/videos-de-matematica-do-prof-gilberto.html https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/ https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
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