Aula10_13 10 2022_20221013104625

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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
ESTRUTURAS DE CONCRETO, OBRAS DE ARTE E 
PROJETOS VIÁRIOS 
Prof. Me. Iuri Fazolin Fraga 
Pouso Alegre 
2022
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Mas os que esperam no Senhor 
renovarão as suas forças; subirão com 
asas como águias; correrão, e não se 
cansarão; andarão, e não se fatigarão” 
(Isaías 40:31). 
 
 
2 
SÍMBOLOS E LETRAS 
cnom: cobrimento nominal em função da classe de agressividade ambiental (CAA) (NBR 6118, Tabelas 6.1 e 
7.1). Os valores de cnom são obtidos a partir da Tabela 7.2 do item 7.4 da NBR 6118; 
Eci: módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial do concreto, referindo-se sempre ao 
módulo cordal (NBR 6118, item 8.2.8); 
Ecs: módulo de elasticidade ou deformação secante do concreto (NBR 6118, item 8.2.8); 
Es: módulo de elasticidade do aço de armadura passiva (NBR 6118, item 8.3.5); 
fck: resistência característica à compressão do concreto (NBR 6118, item 8.2.4); 
fct,m: resistência média à tração do concreto (NBR 6118, item 8.2.5); 
fctk,inf: resistência característica inferior do concreto à tração (NBR 6118, item 8.2.5); 
Ic: momento de inércia da seção de concreto; 
t: tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2 e Tabela 17.1); 
t0: idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração (NBR 6118, item 17.3.2.1.2 e 
Tabela 17.1); 
yt: distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; 
α: fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta 
(NBR 6118, item 17.3.1); 
αE: parâmetro em função da natureza do agregado que influencia o módulo de elasticidade (NBR 6118, item 
8.2.8); 
η1: coeficiente de conformação superficial da armadura considerada (NBR 6118, item 9.3.2.1 e Tabela 8.3); 
ξ: coeficiente função do tempo (NBR 6118, item 17.3.2.1.2 e Tabela 17.1); 
ϕℓ: diâmetro das barras de armadura longitudinal de tração; 
ϕt: diâmetro das barras de armadura transversal (estribos). 
ψ1: fator de redução de combinação frequente para ELS (NBR 6118, Tabela 11.2); 
ψ2: fator de redução de combinação quase permanente para ELS (NBR 6118, Tabela 11.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
PROBLEMA 1 
Verificar os estados limites de serviço (ELS) para a viga biapoiada indicada na Figura 1. 
Dados: 
• Ação permanente característica: gk = 40 kN/m; 
• Ação variável característica: qk = 10 kN/m; 
• concreto C25, CAA II com controle de qualidade, agregado graúdo de origem granítica; 
• CA-50, ϕt = 6,3 mm; 
• bw = 22 cm, h = 40 cm, d = 35,9 cm, ℓ = 4,10 m; 
• As = 12,57 cm2 (4 ϕ 20 mm); 
• Edifício residencial. 
Figura 1: Viga biapoiada 
 
a) Estado limite de serviço de formação de fissuras (ELS-F) 
- Momento fletor de cálculo (combinação rara de serviço – NBR 6118, item 11.8.3.1 e Tabela 11.4): 
, , 1, 1, , 1
1 2
2 2
6
,
, com dado pela Tabela 11.2 da NBR 6118
40 10 50,0
50,0 4,10 105,1 105,1 10
8 8
m n
d ser gi k q k j qj k
i j
cr k k
cr
a cr
F F F F
p g q kN m
pM kNm Nmm
ψ ψ
= =
= + +
= + = + =
⋅
= = = ⇒ ⋅
∑ ∑

 
- Momento de fissuração no ELS-F (NBR 6118, item 17.3.1): 
,inf ,
2 3
,
1, 2 para seções T ou duplo T
, sendo 1,3 para seções I ou T invertido e 0,7
1,5 para seções retangulares
0,3 para concretos do Grupo I (C20 a C50)
2,12 ln 1 0,1
ct c
r ct ctk ct m
t
ck
ct m
f IM f f f
y
f
f
α α

= = = =


=
+( )
2 3
, ,inf
1 para concretos do Grupo II (C55 a C90)
25 (C25) 0,3 25 2,56 ; 0,7 2,56 1,792
Seção retangular 1,5
ck
ck ct m ct ctk
f
f MPa f MPa f f MPa
α



= ∴ = ⋅ = = = ⋅ =
∴ =
 
 
 
4 
( )
3 3
9 4
9
6
220 4000,5 0,5 400 200 ; 1,173 10
12 12
1,5 1,792 1,173 10
15,77 10
200
w
t c
r
b hy h mm I mm
M Nmm
⋅
= = ⋅ = = = = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅
 
- Verificação da formação de fissuras: 
( )
,
6 6
,
Se , há fissuras; caso contrário, não
 105,1 10 15,77 10 Há fissuras
a cr r
a cr r
M M
M M Nmm Nmm
>
> ⋅ > ⋅ ∴
 
Como há formação de fissuras no elemento, devemos verificar o estado limite de serviço 
de abertura de fissuras (ELS-W). 
b) Estado limite de serviço de abertura de fissuras (ELS-W) 
- Momento fletor de cálculo (combinação frequente de serviço – NBR 6118, item 11.8.3.1 e Tabela 
11.4): 
, , 1 1, 2, , 1 2
1 2
1
1
2 2
6
,
, com e dados pela Tabela 11.2 da NBR 6118
Edifício residencial 0,4
40 0,4 10 44,0
44,0 4,10 92,5 92,5 10
8 8
m n
d ser gi k q k j qj k
i j
cf k k
cf
a cf
F F F F
p g q kN m
p
M kNm Nmm
ψ ψ ψ ψ
ψ
ψ
= =
= + +
⇒ =
= + = + ⋅ =
⋅
= = = ⇒ ⋅
∑ ∑

 
- Segundo o item 17.3.3.2, o valor característico da abertura de fissuras, wk, determinado para cada 
parte da região de envolvimento, é o menor entre os obtidos pelas expressões a seguir: 
1 ,
1
3
12,5
4 45
12,5
i si si
si ct m
k
i si
si ri
E f
w
E
φ σ σ
η
φ σ
η ρ


≤ 
  +   
 
- Dados iniciais (ELS-W): 
1
20
Barras nervuradas 2,25 (NBR 6118, item 9.3.2.1 ou Tabela 8.3)
210 (NBR 6118, item 8.3.5)
i
si
mm
E GPa
φ
η
=
∴ =
=
 
- Tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II (NBR 
6118, item 17.3.3.2) – Cálculo simplificado proposto por Pinheiro (2016): 
6
, 92,5 10 256
0,80 0,80 359 1257
a cf
si
s
M
MPa
d A
σ ⋅= = =
⋅ ⋅
 
- Taxa de armadura (NBR 6118, item 17.3.3.2): 
Com base na Figura 2, há duas regiões de envolvimento a considerar: das barras externas, 
Acri,ext, e das barras internas, Acri,int. 
 
 
 
 
5 
Figura 2: Área Acr 
 
- O espaçamento horizontal das barras longitudinais é dado por: 
nom
nom
esp
CAA II com controle de qualidade 25 (NBR 6118, item 7.4.7.4 e Tabela 7.2)
2 2 220 2 25 2 6,3 4 20 25,8
3
w t
h
c mm
b c n
a mm
n
φφ φ
⇒ =
− − − − ⋅ − ⋅ − ⋅
= = =
 
- Área de envolvimento externa: 
( )( )
( ) ( )
,ext nom nom
64,2 191,3
3 2
,ext
0,5 0,5 7,5
25 6,3 20 0,5 25,8 25 6,3 0,5 20 7,5 20 12,28 10
cri t h t
cri
A c e c
A mm
φ φ φ φ φ= + + + + + +
= + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅
  
 
 
- Área de envolvimento interna: 
( )( )
( ) ( )
,int nom
45,8 191,3
3 2
,ext
0,5 0,5 0,5 7,5
0,5 25,8 20 0,5 25,8 25 6,3 0,5 20 7,5 20 8,76 10
cri h h t
cri
A e e c
A mm
φ φ φ φ= + + + + +
= ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅
  
 
 
- Adotando-se o menor dos dois valores, calcula-se a taxa de armadura: 
( )3 2 3 2 3 2,int ,ext
2
3
 8,76 10 12,28 10 8,76 10
0,25 20 0,0359 3,59%
8,76 10
cri cri cri
si
ri
cri
A A mm mm A mm
A
A
πρ
< ⋅ < ⋅ ∴ = ⋅
⋅ ⋅
= = = ⇒
⋅
 
- Verificação da abertura de fissuras (NBR 6118, item 17.3.3.2): 
3
1 ,
3
1
3 20 256 3 256 0,26
12,5 12,5 2,25 210 10 2,56
4 20 256 445 45 0,14
12,5 12,5 2,25 210 10 0,0359
0,14
Para concreto armado e CAA II, 0,3 (NBR
i si si
si ct m
k
i si
si ri
k
k
mm
E f
w
mm
E
w mm
w mm
φ σ σ
η
φ σ
η ρ
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅≤ 
    + = ⋅ ⋅ + =    ⋅ ⋅   
=
≤
( )
 6118, Tabela 13.4)
0,3 0,14 0,3 Okkw mm mm mm< < ∴
 
c) Estado limite de serviço de deformações excessivas (ELS-DEF) 
- Momento fletor de cálculo (combinação quase permanente de serviço – NBR 6118, item 11.8.3.1 
e Tabela 11.4): 
, , 2, , 2
1 1
2
, com dado pela Tabela 11.2 da NBR 6118
Edifício residencial 0,3
m n
d ser gi k j qj k
i j
F F Fψ ψ
ψ
= =
= +
⇒ =
∑ ∑ 
 
 
6 
2
2 2
6
,
40 0,3 10 43,0 43,0
43,0 4,10 90,4 90,4 10
8 8
cqp k k
cqp
a cqp
p g q kN m N mm
p
M kNm Nmm
ψ= + = + ⋅ = ⇒
⋅
= = = ⇒ ⋅

 
- Momento de fissuração no ELS-DEF (NBR 6118, item 17.3.1): 
( )
,
2 3
,
1, 2 para seções T ou duplo T
, sendo 1,3 para seções I ou T invertido e 
1,5 para seções retangulares
0,3 para concretos do Grupo I (C20 a C50)
2,12 ln 1 0,11 para c
ct c
r ct ct m
t
ck
ct m
ck
f IM f f
y
f
f
f
α α

= = =


=
+
( )
2 3
, ,
3 3
9 4
9
oncretos do Grupo II (C55 a C90)
25 (C25) 0,3 25 2,56 ; 2,56
Seção retangular1,5
220 4000,5 0,5 400 200 ; 1,173 10
12 12
1,5 2,56 1,173 10
22,5
200
ck ct m ct ct m
w
t c
r
f MPa f MPa f f MPa
b hy h mm I mm
M
α



= ∴ = ⋅ = = =
∴ =
⋅
= = ⋅ = = = = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ 610 Nmm
 
- Relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto (NBR 6118, item 17.3.2.1.1): 
1 3
3
, sendo e 0,8 0,2 1,0 
80
5600 para concretos do Grupo I (C20 a C50)
21,5 10 1,25 para concretos do Grupo II (C55 a C90)
10
1,2 para basalto e diabási
s ck
e cs i ci i
cs
E ck
ci ck
E
E
E fE E
E
f
E f
α α α
α
α
α
= = = + ≤


=   ⋅ +  
 
=
( )
3
3 3
o; 1,0 para granito e gnaisse; 0,9 para calcário; 
0,7 para arenito
granito 1,0 ; 25 (C25) 1,0 5600 25 28,0 10
250,8 0,2 0,863 1,0 ; 0,863 28,0 10 24,2 10
80
210
E E
E
E ck ci
i cs
cs
e
s
f MPa E MPa
E MPa
E
E
α α
α
α
α
α
= =
=
⇒ = = ∴ = ⋅ = ⋅
= + ⋅ = ≤ = ⋅ ⋅ = ⋅
= =
3
3
10 8,68
24,2 10
⋅
=
⋅
 
- Linha neutra no estádio II: 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
4
6
24 4 62
2 ' 2 ' ' 0
220
2 ' 2 8,68 1257 2,18 10
2 ' ' 2 8,68 1257 359 7,83 10
2,18 10 2,18 10 4 220 7,83 104
145,5
2 2 220
w II e s s II e s s
w
e s s
e s s
II
b x A A x A d A d
a b
b A A
c A d A d
b b a c
x mm
a
α α
α
α
+ + − + =
= =
= + = ⋅ ⋅ = ⋅
= − + = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅
− ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅− + −
= = =
⋅
 
 
 
7 
- Momento de inércia no estádio II: 
( ) ( )
3 3
2 2' '
12 4
w II w II
II s e II s e II
b x b xI A x d A d xα α= + + − + − 
( )
3 3
2 8 4220 145,5 220 145,5 0 1257 8,68 359 145,5 7,23 10
12 4II
I mm⋅ ⋅= + + + ⋅ ⋅ − = ⋅ 
- Rigidez equivalente (NBR 6118, item 17.3.2.1.1): 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
, 0
, ,
3 36 6
3 9 8
6 6, 0
13 2
1
22,5 10 22,5 1024,2 10 1,173 10 1 7,23 10
90,4 10 90,4 10
1,766 10 24,
r r
cs c II cs ceq t
a cqp a cqp
eq t
M MEI E I I E I
M M
EI
Nmm
       = + − ≤              
     ⋅ ⋅  = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =    ⋅ ⋅       
= ⋅ < ( ) ( )
( ) ( )
3 9
13 2 13 2
, 0
2 10 1,173 10
 1,766 10 2,84 10 Okcs ceq tEI E I Nmm Nmm
⋅ ⋅ ⋅
< ⋅ < ⋅ ∴
 
- Flecha imediata (Tabelas de vigas – Tabela 3.1a, caso 6, PINHEIRO, 2010): 
( )
4 4
13
, 0
5 5 43,0 4100 8,96
384 384 1,766 10
cqp
i
eq t
p
a mm
EI
⋅
= = ⋅ =
⋅
 
- Flecha diferida no tempo (NBR 6118, item 17.3.2.1.2): 
( ) ( )
( )
0
0
', sendo ' e 
1 50 '
Considerando que as cargas de longa duração são aplicadas após a desforma do concreto, tem-se:
Desforma aos 28 dias 1 mês 0,68 (NBR 6118, Tabela 17.1)
Carreg
s
f
w
A t t
b d
t
ξα ρ ξ ξ ξ
ρ
ξ
∆
= = ∆ = −
+
≈ ⇒ =
( )amento aplicado em um longo período de tempo 2 (NBR 6118, Tabela 17.1)
2 0,68 1,32 ; ' 0, pois a armadura é simples
1,32 1,32
1
1,32 8,96 11,83
f
f f i
t
a a mm
ξ
ξ ρ
α
α
⇒ =
∆ = − = =
= =
= = ⋅ =
 
- Flecha total (NBR 6118, item 17.3.2.1.2): 
( )1 8,96 11,83 20,8t i f i fa a a a mmα= + = + = + = 
- Verificação da flecha total (NBR 6118, Tabela 13.3): 
( )
Considerando aceitabilidade sensorial visual, tem-se:
250 4100 250 16,40
250 20,8 16,40 Inserir contraflecha
t
t
a mm
a mm mm
≤ = =
> > ∴


 
- Cálculo da contraflecha (NBR 6118, Tabela 13.3): 
1,321 8,96 1 14,87 15 de contraflecha
2 2
f
c ia a mm mm
α   = + = ⋅ + = ∴   
  
 
	SÍMBOLOS E LETRAS
	estados limites de serviço
	PROBLEMA 1