Probabilidade alunos

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16/05/2023
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Probabilidade
INTRODUÇÃO
• A Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de 
experimentos são calculadas. 
• É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a 
chance de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda até a chance de 
erro em pesquisas. 
• Então, quando investigamos algum fenômeno, verificamos também a 
necessidade de descrevê-lo por um modelo matemático, de maneira a explicá-lo 
da melhor forma possível. 
• Nesse contexto, a teoria das probabilidades permite construir modelos 
matemáticos que explicam um grande número de fenômenos e fornecem 
estratégias para a tomada de decisões. 
• Entende-se por fenômeno como sendo qualquer acontecimento natural. 
• Quanto a seus possíveis resultados, os fenômenos são classificados em dois 
tipos:
• a) Fenômenos determinísticos;
• b) Fenômenos aleatórios.
INTRODUÇÃO
• a) Fenômenos determinísticos: São aqueles que repetidos nas mesmas condições 
iniciais conduzem sempre a um mesmo resultado. 
• Ex.: Deixar uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma superfície e 
anotar tempo t de queda livre. 
• b) Fenômenos aleatórios: São aqueles que repetidos sob as mesmas condições 
iniciais podem conduzir a mais que um resultado. 
• Ex.: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, o tempo de vida útil de uma 
lâmpada, número de clientes que vão a um banco em um determinado dia etc. 
• Em outras palavras, trata-se de qualquer experiência cujo resultado não seja 
conhecido. 
• Outros exemplos: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível 
saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a 
moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente)
INTRODUÇÃO
• Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. 
• Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório. 
• Portanto, o objetivo do estudo da teoria das probabilidades são fenômenos 
aleatórios, chamados experimentos, os quais possuem as seguintes características: 
• a) repetitividade - o fenômeno pode ser repetido quantas vezes quisermos;
• b) regularidade - possibilidade de ocorrência do fenômeno (dá origem à probabilidade). 
• Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas 
definições mais básicas: Conceitos Básicos; Operações com Eventos Cálculo das 
Probabilidades Probabilidade de um Evento; Axiomas da Probabilidade Teoremas 
Fundamentais; Probabilidade Condicional e Eventos Independentes; Probabilidade 
Condicional e Eventos Dependentes; Teorema da Probabilidade Total; Teorema de 
Bayes; etc.
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CONCEITOS BÁSICOS
• Como o objetivo do nosso estudo são os experimentos e eles admitem mais do que um 
resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.
• Espaço amostral (S ou Ω ) 
• O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento 
aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. 
• Geralmente representaremos esse conjunto por S ou por Ω. 
• Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, 
sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. 
• Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as 
representações de conjuntos para esses espaços. 
• Exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de um dado” é o 
conjunto S (Lembrando que esta representação varia de autor para autor), tal que: 
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
• Obs: Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo 
do experimento, por alguma lei de formação.
CONCEITOS BÁSICOS
• O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(S). 
• No caso do exemplo anterior, n(S) = 6. 
• Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou 
seja, resultados possíveis de um experimento aleatório. 
• Em outras palavras, o espaço amostral representa o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento, podendo ser denotado por S. 
• Dessa forma, considere os experimentos a seguir: 
• a) Lançar uma moeda e anotar a face superior. 
• - Espaço amostra é: S= {ca, co} 
• b) Lançar um dado e anotar o número de pontos da face superior. 
• - Espaço amostra é: S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
• c) Retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas e anotar o naipe da carta 
selecionada. 
• - Espaço amostra é: S= {paus, copas, ouro, espadas}.
CONCEITOS BÁSICOS
• d) Lançar duas moedas e observar as faces viradas para cima. 
• - Espaço amostra é: S= { ca,ca; co, co; ca; co; co; ca} 
• e) Em um experimento para contar o número de pessoas com diabetes na cidade 
de Sobral, obtemos como espaço amostral S = {0, 1, 2, 3, ... }. 
• Dessa forma, podemos associar eventos como: 
• A={entre 15 e 20 pessoas com diabetes} = {15,16,17,18,19,20}
• ou o evento F = {nenhuma pessoa} = {0}. 
• Observação: Notem que, neste caso, projetamos nosso experimento, formulando 
uma pergunta ou conjecturando sobre algo. 
• Estas perguntas são denominadas eventos.
• f) Considere um experimento no qual classificamos um produto em defeituoso ou 
não defeituoso. 
• Neste caso, o espaço amostral é S = {defeituoso, não defeituoso}. 
• Podemos definir como eventos D = {defeituoso} e E = {não defeituoso}, ou seja: 
• - S={defeituoso, não defeituoso}={Di, Ei}
CONCEITOS BÁSICOS
• Para evitar recursos matemáticos mais sofisticados, estudaremos apenas os 
espaços amostrais finitos e poderemos utilizar a representação gráfica 
chamada "diagrama de árvore".
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CONCEITOS BÁSICOS
• Evento
• Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral e são estudados do ponto 
de vista de sua "ocorrência" (o próprio espaço amostral) ou "não ocorrência" 
(evento vazio, denominado de conjunto ). 
• Exemplos de eventos possíveis de acontecer: 
• a) No lançamento de um dado o evento A representa o conjunto cujo número 
da face superior é par. A= { 2, 4, 6} 
• Note que A é um subconjunto de S (ver subitem anterior). 
• A seguir, apresentamos um modelo matemático adequado à representação da 
relação entre o espaço amostral e o evento:
CONCEITOS BÁSICOS
• b) No lançamento de uma moeda e um dado o evento B representa o conjunto cujo 
número da face superior do dado é maior que 4. 
• B= {(ca, 5); (ca, 6); (co, 5); (co, 6)} 
• Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio 
espaço amostral. 
• No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível.
• Já o segundo caso é chamado de evento certo. 
• Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes 
eventos: 
• A = Obter um número par: A = {2, 4, 6} e n (A) = 3; 
• B = Sair um número primo: B = {2, 3, 5} e n (B) = 3; 
• C = Sair um número maior ou igual a 5: C = {5, 6} e n (C)= 2; 
• D = Sair um número natural: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n (D) = 6.
• Observação: Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto 
composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. 
• Este conjunto está contido em qualquer outro evento do espaço amostral.
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• Os eventos são estudados do ponto de vista de sua "ocorrência" ou 
"não ocorrência". 
• Por exemplo, o evento impossível de ocorrer é o evento vazio, 
enquanto que o evento certo de ocorrer é o próprio espaço amostral, 
vistos anteriormente. 
• Podem ser formuladas estratégias para manipularmos os eventos, 
através de três operações lógicas básicas: 
• União (ꓴ): 
• A união de dois conjuntos quaisquer A e B conterá todos os 
elementos de A e de B, incluindo os elementos que são e os que não 
são comuns aos dois conjuntos. 
• Um elemento se ω ϵ (A ꓴ B), e só se, ω ϵ A e/ou ω ϵ B.
OPERAÇÕES COM EVENTOS
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OPERAÇÕES COM EVENTOS
• EXEMPLO: Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento 
de umdado: 
• A = {sair número par} = {2, 4, 6};
• B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5};
• C = {sair número maior que 3} = {4, 5, 6}. 
• Com isso temos que:
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• Observações:
• (i) Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o conjunto 
composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. 
• Este conjunto está contido em qualquer outro evento do espaço amostral.
• (ii) Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) são aqueles cuja 
ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. 
• Ou seja, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ꓵ B = Ø.
OPERAÇÕES COM EVENTOS
• Observações (continuação):
• (iii) A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das operações de 
união, interseção e complementar:
• (iv) O evento simples ocorre quando o mesmo possui apenas um elemento. Por 
outro lado, o evento composto se dá quando um evento possui mais de um 
elemento. 
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
• As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados 
favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja: 
• Essa é a definição clássica de probabilidade. 
• EXEMPLO: Considerando o lançamento de um dado, qual é a probabilidade de 
sair o número 1 (Um)? 
• Lembremos de que o espaço amostral desse experimento contém seis elementos:
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
• Logo, o número total de casos possíveis é 6: n=6. 
• Além disso, ao sair o número 1 (um), o número de casos favoráveis será: n(ai) = 1. 
• Assim, a probabilidade será dada por:
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PROBABILIDADE DE UM EVENTO
• A probabilidade de ocorrência de um evento A, denominado P(A), é a soma 
das probabilidades dos elementos que pertencem a A ocorrerem. 
• Exemplo: O experimento consiste no lançamento de um dado e na observação 
da face superior. Determine a probabilidade de cada um dos eventos abaixo: 
• a) Sair face 2 ou face 3; 
• b) Sair face ímpar; 
• c) Sair face maior do que 1; 
• d) Sair face 5; 
• e) Sair face 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6; 
• f) Sair face múltiplo de 9. 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
• a) A={2,3} 
• Por definição: P(A) = P(2) + P(3)= 
• b) B={1,3,5} 
• P(B) = P(1) + P(3) + P(5)= 
• c) C={2,3,4,5,6} 
• P(B) = P(1) + P(3) + P(5)=
• d) D={5} 
• P(D)=P(5)= 
• e) E={1,2,3,4,5,6} 
• P(B) = P(1) + P(2)+P(3) + P(4)+ P(5) + P(6)= 
• f) F={ } 
• P(F)=0 (ZERO)
AXIOMAS DA PROBABILIDADE
AXIOMAS DA PROBABILIDADE
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TEOREMAS FUNDAMENTAIS TEOREMAS FUNDAMENTAIS
TEOREMAS FUNDAMENTAIS
• Se A e B são eventos quaisquer, então:
• Prova: Observe o diagrama!
• Verificamos que:
• Eventos iguais possuem os mesmos elementos e, portanto, a mesma 
probabilidade de ocorrência:
TEOREMAS FUNDAMENTAIS
• Com relação ao segundo membro, A - B e B são eventos mutuamente exclusivos 
e, pelo axioma (3):
• Substituindo este valor na expressão anterior ,
obtém-se: 
• Por outro lado, . Eventos iguais possuem os mesmos 
elementos e, portanto, a mesma probabilidade de ocorrência: 
• Com relação ao primeiro membro, A - B e A ꓵ B são eventos mutuamente 
exclusivos e, pelo axioma (3):
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TEOREMAS FUNDAMENTAIS
• Substituindo-se este valor na expressão 
anterior , obtém-se:
• Então: 
• Portanto:
• Reorganizando, teremos:
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EVENTOS INDEPENDENTES
• Na teoria da probabilidade, a independência entre dois eventos constitui 
mais um conceito importante. 
• Na prática, dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um 
evento não interfere na ocorrência do outro evento. 
• Do ponto de vista probabilístico, dois eventos e são ditos independentes se:
• Ex.: O lançamento de uma moeda por duas vezes consecutivas. 
• O resultado obtido com o lançamento de uma moeda não interfere no 
resultado da outra. 
EVENTOS INDEPENDENTES
• Caso 1: Um lote contém peças, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos 
duas peças, ao acaso e com reposição, para inspeção. Qual a probabilidade de 
se obter duas peças defeituosas? 
• Espaço amostral da primeira retirada: 
• Espaço amostral da segunda retirada: 
• Onde: significa que retiramos uma peça defeituosa na i-ésima retirada e significa que 
retiramos uma peça boa na i-ésima retirada, em que i assume os valores 1 e 2. 
• Devemos lembrar de que as duas peças são retiradas ao acaso e repostas em 
seguida. 
• Em outras palavras, ao retirarmos a primeira peça para inspeção, esta mesma peça é 
colocada de volta no lote e, depois, efetuamos a segunda retirada.
EVENTOS INDEPENDENTES
• Em termos de probabilidade, temos que: 
• (i) A probabilidade de selecionarmos uma peça ruim na primeira retirada é igual 
a da segunda retirada:
• pois cada vez que extraímos peças do lote, sempre existirão peças defeituosas 
num total de . 
• (ii) A probabilidade de selecionarmos uma peça boa na primeira retirada é igual 
a da segunda retirada:
• pois cada vez que extraímos peças do lote, sempre existirão 7 peças boas num 
total de .
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EVENTOS INDEPENDENTES
• (iii) Dessa forma, ao associamos os experimentos de retirar duas peças ao acaso 
e com reposição, teremos os seguintes resultados possíveis: 
• (iv) Agora, queremos calcular a probabilidade de se obter duas peças 
defeituosas. 
• Em outras palavras, desejamos obter a probabilidade de que das peças sejam defeituosas 
em ambas as retiradas. 
• Considerando que esses eventos ocorram de forma independentes (dada a possibilidade 
de reposição), probabilisticamente, temos que: 
EVENTOS INDEPENDENTES
• Caso 2: Entretanto, qual seria a diferença em termos de resultados extrair 
uma peça de um lote, ao acaso, com reposição ou sem reposição? 
• No caso anterior, vimos a retirada sendo feita com reposição, apresentando 
as seguintes probabilidades:
• pois cada vez que extraímos peças do lote, sempre existirão 3 peças 
defeituosas e 7 peças boas num total de 10. 
• Em qual momento, observamos a mudança no mesmo problema, porém, 
considerando que estamos extraindo sem reposição? 
• Naturalmente, o resultado será diferente! 
EVENTOS INDEPENDENTES
• Note que os resultados para a primeira retirada serão:
• Observação: Lembre-se!!! No caso 1, com reposição, as probabilidades de 
retirar peças defeituosas na primeira e na segunda retirada eram iguais (3/10). 
• O mesmo era observado para a extração de peças boas na primeira e na 
segunda retiradas (7/10), ou seja:
• Como seriam os resultados para a segunda retirada, considerando a não 
reposição de peças no lote? 
• Por exemplo, a probabilidade de obtermos uma peça defeituosa na segunda retirada 
(D2), sem reposição, sabendo que na primeira retirada a peça selecionada foi 
defeituosa, teríamos:
EVENTOS INDEPENDENTES
• Por outro lado, qual seria a probabilidade de obtermos uma peça defeituosa 
na segunda retirada (D2), sem reposição, sabendo que na primeira retirada
a peça selecionada foi boa (B1)? 
• Neste caso, chamamos de eventos dependentes, pois a ocorrência ou não de 
um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro. 
• Ex.: Retirada de duas cartas de um baralho, sem reposição.
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Probabilidade Condicional
• Consideremos o lançamento de um dado equilibrado. Já vimos que o espaço 
amostral desse experimento é Ω = {1, 2, 3, 4, 56, } . 
• Considere o evento A = “sair face 2”. 
• Se não temos qualquer informação além de o dado ser equilibrado, vimos que P(A) 
=1/6.
• Suponhamos, agora, que o dado tenha sido lançado e a seguinte informação 
fornecida: “saiu facer par”. 
• Qual é a probabilidade de ter saído face 2? 
• Note a diferença: agora nós temos uma informação parcial sobre o 
experimento e devemos usá-la para reavaliar a nossa estimativa. 
• Mais precisamente, sabemos que ocorreu o evento B = “face par”. 
Probabilidade Condicional
• Com essa informação, podemos nos concentrar no evento B = {2, 4, 6}, uma vez que 
as faces 1,3,5 ficam descartadasem função da informação dada. 
• Dentro dessas três possibilidades, a probabilidade do evento A passa a ser 1/3 .
• Calculamos, assim, a probabilidade do evento A, sabendo que ocorreu o evento B. 
• Essa probabilidade será denotada P(A|B) (lê-se: probabilidade de A dado B).
• Consideremos, agora, o lançamento de dois dados equilibrados e os eventos:
• A = “soma das faces é par”;
• B = “soma das faces é maior ou igual a 9”. 
• Se sabemos que ocorreu B, qual é a probabilidade de ter ocorrido A? 
• Queremos calcular P(A|B). 
• Temos que:
Probabilidade Condicional
• Se ocorreu B, a única chance de ter ocorrido A é que tenha ocorrido o evento:
• A ∩ B = {(4, 6),(5, 5),(6, 4),(6, 6)}
• E, nesse caso, a probabilidade é 4/10 , ou seja:
• Esses dois exemplos ilustram o fato geral que está exibido na Figura:
Se sabemos que aconteceu o evento B, esse evento
passa a ser o “novo espaço amostral” e, nesse novo
espaço amostral, a única parte de A presente é A ∩
B - parte sombreada mais clara.
Probabilidade Condicional
• É a probabilidade de ocorrer um evento A sabendo-se que já ocorreu um 
evento B. 
• Assim, o evento B é certo, enquanto que o evento A é incerto. 
• Esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço 
amostral finito.
• Definição: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de ocorrer o 
evento A sabendo que ocorreu o evento B é denotado por P(A|B) e definido 
por:
• Note que, nessa definição, temos que supor que o evento B é um evento 
possível, já que ele ocorreu. Logo, é óbvio que P(B) > 0.
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Exemplo:
Exemplo:
Probabilidade Condicional
• Exemplo: Um grupo de 100 alunos foi classificado quanto ao sexo e à atividade 
de lazer preferida, obtendo-se a distribuição dada na tabela abaixo.
• 1. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso neste grupo ser 
do sexo masculino? 
• 2. Se a pessoa escolhida prefere a praia como atividade de lazer, qual é a 
probabilidade de que seja um homem? 
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• Solução: 
• Vamos definir os seguintes eventos: 
• M = “masculino”; 
• F = “feminino”; 
• C = “cinema”; 
• P = “praia”; 
• E = “esporte”. 
• 1. O problema pede Pr(M). Como há 20 homens dentre as 100 pessoas, temos 
que:
1. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida 
ao acaso neste grupo ser do sexo masculino? 
• Pergunta 2: Se a pessoa escolhida prefere a praia como atividade de lazer, 
qual é a probabilidade de que seja um homem? 
• O problema pede Pr(M|P). Por definição:
• Note que a probabilidade do evento “aluno do sexo masculino” se modifica 
quando sabemos que a pessoa prefere a praia como atividade de lazer, isto 
é: Pr(M|P) ≠ Pr(M).
Probabilidade Condicional
• Exemplo: De um baralho de 52 cartas, extrai-se 1 (Uma) ao acaso. Defina os 
eventos:
• C = “carta é de copas”;
• R = “carta é um rei”. 
• Calcule Pr(C), Pr(R), Pr(C ∩ R), Pr(C|R). 
• Neste caso, a probabilidade do evento C não se modifica quando sabemos 
da ocorrência do evento R, isto é, Pr(C|R) = Pr(C).
Solução:
Probabilidade Condicional
• Exemplo: De um total de 500 empregados, 200 possuem plano pessoal de 
aposentadoria complementar, 400 contam com o plano de aposentadoria 
complementar oferecido pela empresa e 200 empregados possuem ambos os 
planos. Sorteia-se aleatoriamente um empregado dessa empresa. 
• 1. Qual é a probabilidade de que ele tenha algum plano de aposentadoria complementar? 
• 2. Qual é a probabilidade de que ele não possua qualquer plano de aposentadoria 
complementar? 
• 3. Se o empregado conta com o plano de aposentadoria complementar oferecido pela 
empresa, qual é a probabilidade de que ele tenha plano pessoal de aposentadoria 
complementar? 
• 4. Se o empregado tem plano pessoal de aposentadoria complementar, qual é a 
probabilidade de que ele conte com o plano de aposentadoria complementar da 
empresa?
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Probabilidade Condicional
• Solução: 
• Vamos denotar por E o evento “empregado tem o plano aposentadoria 
complementar da empresa” e por P o evento “empregado possui plano pessoal de 
aposentadoria complementar”. 
• O problema diz que:
• Note que essas informações podem ser dispostas no formato de tabela da seguinte 
forma:
• Os números em negrito são as informações dadas no problema; o restante é calculado 
observando-se os totais de linha e de coluna.
Probabilidade Condicional
• O problema pede:
• 1. Qual é a probabilidade de que ele tenha algum plano de aposentadoria complementar? 
• 2. Qual é a probabilidade de que ele não possua qualquer plano de aposentadoria 
complementar? 
• 3. Se o empregado conta com o plano de aposentadoria complementar oferecido pela 
empresa, qual é a probabilidade de que ele tenha plano pessoal de aposentadoria 
complementar? 
• 4. Se o empregado tem plano pessoal de aposentadoria complementar, qual é a 
probabilidade de que ele conte com o plano de aposentadoria complementar da empresa?
Probabilidade condicional e independência Probabilidade condicional e independência
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Probabilidade condicional e dependência
Para resolver:
Regra geral da multiplicação
• A definição de probabilidade condicional leva a um resultado importante, conhecido 
como regra da multiplicação.
• Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. 
• Então:
• Esse resultado nos permite:
• Calcular a probabilidade da interseção de dois eventos;
• Modelar experimentos que têm caráter seqüencial, isto é, que são executados em etapas, uma 
seguida da outra;
• Desenhar um diagrama de árvore para ilustrar os eventos em questão. 
• Regra Geral da Multiplicação
• Seja A1, A2,...,An uma sequência de eventos de um espaço amostral Ω. 
• Então:
Pr (A1 ∩ A2 ∩ ··· ∩ An) = Pr (A1) × Pr (A2|A1) ×···× Pr (An|A1 ∩ A2 ∩ ··· ∩ An−1)
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
• Nesta parte, estudaremos dois importantes teoremas de probabilidade e 
verá suas aplicações em diversas situações envolvendo a tomada de 
decisão. 
• Esses teoremas, conhecidos como teorema da probabilidade total e 
teorema de Bayes, resultam diretamente da definição de probabilidade 
condicional e das propriedades vistas para a probabilidade. 
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TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
• Considere ao lado, onde cada evento A1, 
A2,...,An é uma partição do espaço amostral Ω e 
B um evento qualquer em Ω.
A1 ∪ A2 ∪ A3... ∪ An = Ω.
• Como a união de todos os Ai’s é o espaço 
amostral, segue que o evento B é definido por:
B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ ··· ∪ (An ∩ B)
• Devemos levar em consideração os seguintes 
aspectos: 
• i) possibilidade de ocorrerem B∩Ai = ∅, mas que não 
invalida a análise, uma vez que A ∪ ∅ = A.
• ii)Por definição de partição, os Ai’s são mutuamente 
exclusivos dois a dois; 
• Logo, os eventos Ai ∩ B também o são.
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
• Então, pela lei da probabilidade de eventos disjuntos (mutuamente exclusivos), 
podemos escrever:
B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ ··· ∪ (An ∩ B) 
• Dessa forma, a probabilidade de ocorrência do evento B será dada por:
Pr (B) = Pr [(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) ∪ ···(An ∩ B)] = 
Pr (B) = Pr (A1 ∩ B) + Pr (A2 ∩ B) + ··· + Pr (An ∩ B)
• e a regra da multiplicação nos dá que:
Pr(B) = Pr(A1) Pr(B|A1) + Pr(A2) Pr(B|A2) + ··· + Pr(An) Pr(B|An) 
• Esse resultado é conhecido como Teorema da Probabilidade Total.
• Exemplo: Um piloto de Fórmula Um tem 50% de probabilidade de vencer 
determinada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova 
durante a corrida, sua probabilidade de vitória é de 25%. 
• Se o serviço de Meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova 
durante a corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar esta corrida?
• Exemplo: A experiência com testes psicotécnicos para habilitação de motoristas 
indica que 90% dos candidatos a habilitação aprovados no primeiro leste tornam-
se excelentes motoristas. 
• 70% dos candidatos reprovados no primeiro teste tornam-se péssimos 
'motoristas. 
• Admitindo-se a classificação dos motoristas apenas em excelentes ou péssimos, 
responda: 
a) Um candidato acaba de ser reprovadoem seu 
primeiro teste psicotécnico. Qual é a probabilidade de 
que se torne um excelente motorista? 
b) Um candidato acaba de ser aprovado em seu 
primeiro teste psicotécnico. Qual é a probabilidade de 
que se torne um péssimo motorista? 
c) Um indivíduo acaba de fazer um teste psicotécnico. 
Se 80% dos candidatos são aprovados neste teste, qual 
é a probabilidade de que se torne um excelente 
motorista?
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• a) Um candidato acaba de ser reprovado em seu primeiro teste psicotécnico. 
Qual é a probabilidade de que se torne um excelente motorista? 
• b) Um candidato acaba de ser aprovado em seu primeiro teste psicotécnico. 
Qual é a probabilidade de que se torne um péssimo motorista? 
• c) Um indivíduo acaba de fazer um teste psicotécnico. Se 80% dos candidatos 
são aprovados neste teste, qual é a probabilidade de que se torne um 
excelente motorista?
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
• Exemplo: Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça 
é produzida em duas máquinas. 
• A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35% da produção e os 65% restantes vêm 
da máquina 2. 
• A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estima-se 
em 5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em 2,5% a 
proporção de defeituosas produzidas pela máquina 2. 
• As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de 
armazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual máquina a 
produziu. 
• Pergunta-se:
• 1. Qual é a proporção de peças defeituosas colocadas no mercado por essa fábrica? 
• 2. Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha 
sido produzida pela máquina 2?
• Na Figura a seguir, representa-se a situação descrita no exemplo. 
• Nosso experimento aleatório é o sorteio de uma peça produzida por essa 
fábrica e nosso espaço amostral, representado pelo retângulo, é o conjunto de 
todas as peças produzidas em determinado período. 
• Podemos ver que o espaço amostral está dividido em 2 eventos mutuamente 
exclusivos: 
• M1, peças produzidas pela máquina 1;
• M2, peças produzidas pela máquina 2. 
• Mais precisamente, Ω = M1 ∪M2 − isso significa que M1 e M2 formam uma par ção do espaço 
amostral
• Um outro evento de interesse é o evento D = “peça é defeituosa”. 
• Podemos ver que esse evento tem interseção com os eventos M1 e M2, ou seja, 
há peças defeituosas produzidas na máquina 1 e na máquina 2.
• Pelos dados do problema, temos uma estimativa a 
priori das proporções de peças produzidas em cada 
máquina, ou seja, as probabilidades a priori dos 
eventos M1 e M2 são: 
• Pr(M1)=0,35 
• Pr(M2)=0,65
• Sabemos também a proporção de peças defeituosas 
produzidas por cada máquina:
• Essa proporção se traduz em uma probabilidade condicional: 
• se a peça foi produzida pela máquina 1, existe 5% de chance de ser defeituosa; 
• para a máquina 2, essa chance reduz-se a 2,5%. 
• Em termos de probabilidade, temos:
• Pr(D|M1)=0,05;
• Pr(D|M2)=0,025.
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• Como M1 e M2 formam uma partição de Ω, podemos escrever:
D = (D ∩ M1) ∪ (D ∩ M2)
• Mas M1 e M2 são mutuamente exclusivos; 
• E (D ∩ M1) e (D ∩ M2) também o são. 
• Assim, pelo Axioma 3 da probabilidade, resulta que:
Pr(D) = Pr [(D ∩ M1) ∪ (D ∩ M2)] = Pr(D ∩ M1) + Pr(D ∩ M2)
• Pela regra da multiplicação, sabemos que:
Pr(A∩B) = Pr(A) Pr(B|A). 
• Portanto: Pr(D) = Pr(M1) Pr(D|M1) + Pr(M2) Pr(D|M2) = 
Pr(D) = 0, 35 × 0, 05 + 0, 65 × 0, 025 = 
Pr(D) = 0, 03375
• Note que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é uma média ponderada das 
probabilidades de defeito em cada máquina; 
• Os pesos são definidos de acordo com o nível de produção de cada máquina.
1. Qual é a proporção de 
peças defeituosas colocadas 
no mercado por essa 
fábrica? 
• Na segunda parte do exemplo, temos uma informação sobre a peça: ela é 
defeituosa, ou seja, sabemos que ocorreu o evento D. 
• O que o problema pede é que, com essa informação, reavaliemos a 
probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina 2. 
• Essa probabilidade é chamada probabilidade a posteriori, ou seja, é a 
probabilidade que calculamos depois de realizado o experimento de sorteio e 
teste da peça. 
• Em notação matemática, temos que calcular Pr(M2|D). 
• Por definição, temos:
• Usando a regra da multiplicação e o resultado encontrado no item anterior, resulta 
que:
• Compare os resultados: 
• Sem qualquer informação sobre o resultado do experimento, nossa estimativa para a 
probabilidade de ocorrência de M2 − peça ser produzida pela máquina 2 − era 0,65;
• Pr(M2)=0,65
• Com a informação de que a peça é defeituosa, a probabilidade de ter sido produzida pela 
máquina 2 diminui para 0,4815.
2. Se um cliente identifica uma peça 
defeituosa, qual é a probabilidade de que 
ela tenha sido produzida pela máquina 2?
TEOREMA DE BAYES
• Note que, no caso da determinação de P(B), usamos o 
teorema da probabilidade total:
• Seja A1, A2,...,An uma partição do espaço amostral Ω e seja B 
um evento qualquer em Ω. Então:
• Como visto, a probabilidade Pr(Ai) é denominada probabilidade 
a priori do evento Ai. 
• Continuando no contexto da Figura ao lado, suponhamos
agora que B tenha ocorrido. 
• Precisamos obviamente conhecer as probabilidades 
condicionais Pr(Ai|B).
• Então, vamos calcular Pr(Ai|B), que, por definição, é dada por: 
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TEOREMA DE BAYES
• Usando a regra da multiplicação e o teorema da probabilidade total, resulta 
que:
• Regra da multiplicação: 
• teorema da probabilidade total:
Pr(B) = Pr(A1) Pr(B|A1) + Pr(A2) Pr(B|A2) + ··· + Pr(An) Pr(B|An)
• Essa particular combinação resulta no conhecido como Teorema de Bayes.
Obs.: É importante que identificar os eventos de interesse, os 
eventos que definem a partição do espaço amostral e quais são as 
probabilidades a priori. Em geral, são essas probabilidades que 
identificam a partição de Ω. 
• Exemplo: As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40% respectivamente, 
da produção de uma empresa. 
• Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7% 
respectivamente. 
• Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a 
probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B?
• Exemplo: Uma empresa de material cerâmico está desenvolvendo um modelo 
de caneca para chope e deverá lançá-la numa tradicional festa do chope em 
Santa Catarina. 
• Esta empresa sabe que uma concorrente está desenvolvendo um projeto similar com as 
mesmas intenções e acredita que a probabilidade de o concorrente lançar o produto 
ainda este ano é de 40%. 
• Um fornecedor comum se oferece para bisbilhotar a concorrente para saber ao certo se 
o lançamento será ou não efetuado este ano. 
• A empresa acredita que se ele confirmar o fato, há 60% de probabilidade dele estar 
correto. 
• Caso o fornecedor não confirme o lançamento, a probabilidade de estar correto é de 
90%. 
• Avalie a nova expectativa da empresa: 
• a) No caso de o fornecedor confirmar o evento. 
• b) No caso de o fornecedor negar o evento
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a) No caso de o fornecedor 
confirmar o evento. 
b) No caso de o fornecedor negar o 
evento
• Exemplo: Em uma turma de Administração, 65% dos alunos são do sexo 
masculino. Sabe-se que 30% dos alunos têm carro, enquanto que essa proporção 
entre as alunas se reduz para 18%. Sorteia-se ao acaso um estudante dessa 
turma usando o seu número de matrícula e constata-se que possui um carro. 
Qual é a probabilidade de que a pessoa sorteada seja do sexo feminino? 
• Solução: 
• Os eventos em questão envolvem o sexo do aluno e a posse de um carro. 
• Vamos definir os eventos de interesse da seguinte forma:
• No entanto, as probabilidades a priori dadas referem-se a H e M; 
• Logo, a partição de Ω será definida em termos desses eventos. 
• Os dados do problema nos dão que:
• O problema pede Pr(M|C) e, para calcular essa probabilidade, temos que 
calcular Pr(C). 
• Pelo teorema da probabilidade total, sabemosque:
• Logo: