Sinais e Sistemas

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SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS
CONVOLUÇÃO ECONVOLUÇÃO E
TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE
Au to r ( a ) : E s p . C l óv i s Tr i s t ã o
R ev i s o r : G i a n c a r l o M i c h e l i n o G a e t a L o p e s
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Introdução
Prezado(a) estudante, é com entusiasmo que o(a) convido para a leitura desse material. Durante nosso
estudo, discutiremos, dentro do escopo de sinais e sistemas , as ferramentas matemáticas da
convolução , um assunto com forte ênfase em modelos matemáticos e analíticos . Faz-se necessário
um estudo introdutório que compreenda as ferramentas de modelagem e de análise dos sistemas
lineares contínuos e discretos , passando pelos teoremas da transformada de Laplace e suas
aplicações. Os sistemas lineares também envolvem projetos e processamentos. O objetivo deste
estudo, portanto, é o de fundamentar o estudante que lidará, ao longo de sua vida acadêmica e
pro�ssional, com a disciplina de Sistemas e Sinais, em diversas áreas do conhecimento, tais como
processamento de sinais, robótica, circuitos elétricos, sistemas de comunicação, sistemas de controle
etc. Bons estudos a todos. Iniciaremos o estudo teórico sobre convolução, e seguiremos com os
teoremas da  transformada de Laplace.
Nos estudos sobre sinais e sistemas, elencamos um conjunto de ferramentas matemáticas ,
necessárias para a resolução da análise dos sinais capturados e processados pelos sistemas lineares.
Para tanto, a convolução é uma ferramenta matemática utilizada para o cálculo da saída de um
sistema linear e invariante no tempo (SLIT). A saída de um SLIT pode ser calculada através da
convolução entre a entrada e a resposta do sistema ao impulso unitário.
Segundo Lathi (2006), para a análise de sinais e sistemas, essas propriedades são de extrema
importância, pois representam os processos no campo físico , que podem ser modelados com (SLIT).
Convolução e suas
propriedades
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Este sistema pode ser analisado de forma detalhada , de forma a facilitar o entendimento, pois possui
diversas ferramentas matemáticas que auxiliam sua análise .
Segundo Sovierzoski (2010), podemos aplicar as operações de convolução em diversas situações, da
matemática à engenharia, dispondo de formas analíticas diversas para solucionar um problema.
Sinais de impulso unitário, tanto de tempo discreto, quanto de tempo contínuo, podem ser
representados por combinações lineares. Juntamente com as propriedades de
superposição e invariância no tempo, permitem o desenvolvimento de um completo
sistema de análise SLIT. Essa representação, chamamos de convolução, que nos fornece
um extenso ferramental analítico, para solução de um problema. Convolução, nada mais é
que a soma de duas funções, que se transforma em uma terceira, que calcula o produto
dessas duas funções ao longo do tempo (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010, p. 47).
Para esse estudo analítico, lançamos mão de ferramentas de análise no campo dos sistemas lineares
diferenciais, para os quais a entrada de e a saída de estão relacionadas. A convolução
trabalha com duas funções, e , para a geração da saída . A função é uma resposta
a um impulso unitário SLIT, ou seja, um modelo matemático que descreve as características de um
sistema . Conhecendo a resposta de um SLIT para uma entrada impulso unitário, é possível
determinar a saída para qualquer entrada . Na Figura 2.1, a seguir, temos dois sistemas
lineares que representam a ideia da convolução. Vamos analisá-los para entender melhor:
x(t) y(t)
x(t) h(t) y(t) h(t)
h(t)
y(t) x(t)
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Vimos que o sistema de convolução de sinais é bem complexo e possui algumas propriedades
necessárias para a resolução de equações diferenciais e integrais, e de seus sistemas lineares. Na
próxima seção, iremos estudar o sistema de equações diferenciais.
Convolução: equações diferenciais e integrais
Segundo Lathi (2006), na equação de tempo contínuo , apresentamos a convolução de x(t) e seu
impulso h(t), em:
, sendo * (asterisco) a representação grá�ca da operação de convolução .
Percebemos a sobreposição da função   de entrada , com a função impulso . Podemos
reescrever a equação da convolução desta forma:
Onde representa a integral da convolução, e   a variável de tempo, para o cálculo da convolução.
A seguir, apresento a Figura 2.2, onde temos a equação , da convolução no
tempo contínuo. Na �gura, podemos perceber a função impulso atuando no intervalo -1 a 3, com a
Figura 2.1 - Sistemas de Sinais em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : sistemas de Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto são apresentados em duas
�guras. Na �gura a) sistema de sinais em tempo contínuo; e na �gura b) sistema de sinais em tempo discreto
temos dois sistemas de sinais, com entrada, processamento e saída. Os sistemas são nomeados com a letra
(a), que representa um sistema contínuo ao longo do tempo (t), com entrada de dados na função ,
processamento em e saída em ; e com a letra (b), em que temos um sistema discreto, que varia os
valores ao longo do tempo (n), com entrada na função x(n), processamento em h(n) e saída em (y).
x(t)
h(t) y(t)
y(t) = x(t) ∗ h(t)
x(t) h(t)
y(t) = x(τ)h(t − τ)dτ∫
−∞
∞
y(t) τ
(t) = x(τ)h(t − τ)vτ
h(t)
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soma da entrada da função , há um deslocamento do impulso nesse intervalo. Podemos observar
que, abaixo da �gura, há duas colunas, a da esquerda representa o , sendo a entrada do impulso,
deslocando-se discretamente no eixo horizontal-vertical; na coluna da direita, a saída do impulso em
 desloca-se discretamente no tempo.
Segundo Lathi (2006), o tema da convolução nos remete a dois momentos de captura dos sinais,
referentes ao domínio do tempo:
Convolução no tempo discreto
Um sinal é dito discreto quando há um conjunto de números reais ou complexos , que são coletados
em um certo domínio do tempo . Essa sequência de números, por ser discreto , adota a regra de ,
onde n é o índice associado a cada número que foi coletado ao longo do intervalo de tempo, por
exemplo, , sendo , e assim sucessivamente, podendo ser
aplicado a , que é a saída e/ou resultado de um sistema linear. Podemos usar algumas funções para
a extração desses números, tais como: função impulso de Dirac, função degrau unitário,   função
trigonométrica e função exponencial .
x(t)
(t)pn
(t)vn
Figura 2.2 - Representação grá�ca da Equação de Convolução
Fonte: Haykin e Van Veen (2001, p. 103).
#PraCegoVer : na imagem acima, apresentamos grá�cos no plano cartesiano XY, em preto e branco, que
descrevem exemplos de convoluções. Esse conjunto de imagens possui, na primeira linha, um grá�co no
plano cartesiano XY, que representa gra�camente a função impulso que, no seu eixo y, possui a função
impulso h(t), variando de -0,5 a 1,0. Da linha 2 à linha 5, dividimos a folha em duas colunas: na coluna da
direita, temos representações grá�cas da função impulso com pontos discretos; e na coluna da esquerda,
temos grá�cos com a saída desses impulsos convoluídos. Na coluna 1, linhas 2 a 5, temos representações
grá�cas dos impulsos discretos que são plotados no eixo XY, nos postos (-0,5,-1,0), (0, 0,5), (1,1), (2,1), (3,0,5).
Na coluna 2, temos as saídas desses pontos, na função impulso h(t), deslocando-se noeixo XY, no intervalo
de tempo de -1 a 4 no eixo X; a função desloca-se no intervalo, formando uma onda senoidal.
xn
= {0, 1, 2, 3, . . . }xn = 0, = 1x1 x2
yn
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A seguir, temos um exemplo de uma convolução discreta no tempo, onde dada a função
, onde e é a função unitária e , a
função é a função impulso.
Dada a equação da convolução no tempo discreto , analisamos a função
, para o intervalo e  temos:
se ,   , temos a representação grá�ca, em função de , da
convolução discreta.
Convolução no tempo contínuo
A convolução contínua é representada por um sistema SLIT , que coleta informações ao longo do
tempo. São utilizadas regras, tais como: se o sistema possui um impulso no tempo , a sua saída será
um impulso no tempo. Caso o sistema receba um deslocamento no tempo, a sua saída também será o
deslocamento no tempo.
Convolução em sinais analógicos e digitais
Essa convolução de sinais analógicos exige que o sinal esteja de�nido no mesmo instante de tempo
em que é analisado, exigindo o emprego de algumas funções, para essa extração e análise, as quais já
vimos anteriormente, tais como: função impulso de Dirac, função degrau unitário, função
trigonométrica e função exponencial.
Já a convolução de sinais digitais parte de um processo de �ltragem, com quantização e eliminação de
ruídos,   bem como a multiplicação de valores da entrada pelas constantes, e realizando somas e
produtos até a obtenção dos resultados, além do uso de técnicas matemáticas para a extração dos
dados, como a análise de Fourier, que será apresentada nos próximos tópicos.
y(n) = u(n) ∗ u(n − 3) x(k) = u(n) u(n) h(k) = u(n − 3)
h(k)
= x(k) ⋅ h(n − k)xn ∑
k=−∞
∞
y(n) = u(n) ∗ u(n − 3) n = [−4, . . , 4] k = [0, … , 1]
n − 3 < 0 n < 3, y(n) = 0 x(k) h(k)
Figura 2.3 - Convolução discreta no tempo
Fonte: Haykin e Van Veen (2001, p. 153).
#PraCegoVer : a �gura apresenta dois grá�cos sobre convolução discreta, representados por pontos no eixo
y, de 0 a 1, no intervalo de tempo -2 a 4, em x.
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Convolução: propriedades
As operações de convolução possuem propriedades matemáticas de comutatividade, distributividade e
associatividade. Representadas pelas equações:
Essas propriedades representam a convolução de dois sinais contínuos �nitos, que resultarão em um
sinal convoluído . Se os sinais x(t) e y(t) estiverem contidos em um determinado intervalo, aplicando as
operações de re�exão e deslocamento, tem-se o resultado da convolução de sinais contínuos �nitos
dentro do mesmo intervalo .
Convolução: somatório
A convolução para sinais de tempo discretos possuem o mesmo ferramental analítico e matemático
utilizado no tempo contínuo. As variáveis envolvidas no tempo discreto e sua integral transformam-se
em um somatório , conforme a  equação citada em Lathi (2006):
, temos
, sendo k uma constante.
Convolução: grá�ica
Segundo Miyazaki (2018), o entendimento grá�co da convolução auxilia a compreensão e o
entendimento sobre como uma integral de convolução funciona. Tal entendimento se mostra útil na
determinação de sinais mais complexos. Além disso, nos permite visualizar de forma grá�ca o
resultado da integral da convolução.
Como relata Lathi (2006), vários sinais não possuem uma descrição matemática , mas podem ser
descritos gra�camente ; se esses tipos de sinais puderem ser concluídos, aplicamos a convolução
grá�ca.
A partir deste ponto, faz-se necessária uma explicação relativa à operação de convolução: usando as
funções x(t) e h(t), temos y(t), que é a convolução de x(t) e h(t). Segundo Lathi (2006), temos a
equação:
, sendo a variável de integração.
A representação grá�ca da de�nição da convolução é dada pela da Figura 2.4, a seguir:
y[n] = x[n] ∗ h[n]
y[N ] = x[n]h[n − k]∑
k=−∞
∞
y(t) = x(τ)h(t − τ)dτ∫
−∞
∞
τ
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Note que, em , é uma reversão do grá�co da Figura 2.4b, representada no resultado da
convolução de e , representado gra�camente na Figura 2.4c, com a saída em cinza.
Como pudemos perceber, precisamos determinar a área sob o produto das funções x(t) e h(t), para
todos os valores de (t) no intervalo -∞ a ∞.
Assim, podemos resumir o procedimento da convolução grá�ca da seguinte forma:
1. mantenha a função x(t) �xa;
2. visualize a função h(t) e espelhamento no eixo vertical, quando t=0, para termos h(-t);
3. a área abaixo do produto de x(t) com h(t) é o resultado da integral da convolução, sendo a
intersecção das funções x(t) e h(t);
4. repita esse procedimento, deslocando a �gura, conforme os valores positivos e negativos, em
(t).
Esse procedimento foi apresentado na Figura 2.4.
En�m, a resposta para sistemas lineares é dada pela operação da convolução, na qual um valor é
�xado e o outro é invertido e deslocado. Onde a função impulso h(t) é revertida, e a função x(t) é
Figura 2.4 - Representação da integral da Convolução
Fonte: Lathi (2006, p.170).
#PraCegoVer : na �gura, há três grá�cos; da esquerda para a direita, na primeira linha, temos o grá�co (a),
que representa a função x(t), como um grá�co contínuo, com um degrau no ponto (-1,1). Na primeira linha, ao
lado do grá�co (a), temos o grá�co (b), que representa a função impulso h(t), que sofre uma queda no ponto
(-2,2), em linha contínua de semiparábola, tendendo a zero(0) no eixo x e y. Na segunda linha, temos a
sobreposição do grá�co (a) e (b), que representa a convolução grá�ca das funções, o grá�co (a) permanece
o mesmo, mas o grá�co (b) sofre uma inversão em seu eixo y e um deslocamento, iniciando o impulso no
ponto (2,2), com a semiparábola tendendo a zero em -x e y.
h(−t)
x(t) h(t) y(t)
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deslocada no eixo horizontal, há uma forma de visualizar uma operação de convolução, interpretando
gra�camente a integral de convolução, a �m de compreender visualmente e mentalmente os resultados
de saída da integral.
Esse procedimento pode ser usado em conjunto com a propriedade comutativa, apresentada na seção
anterior. Via de regra, o cálculo da convolução é simpli�cado, caso seja escolhida a reversão da função
mais simples, sendo possível fazer a resolução de , ou ; note que este símbolo
(*) não é o sinal da multiplicação, e sim a representação da convolução de duas funções.
h(t) ∗ x(t) x(t) ∗ h(t)
Como podemos veri�car, a resolução de um exemplo com a representação grá�ca da convolução é
dada equação:
, esta é a primeira função x(t), que representa uma das equações do sistema linear;
, esta é a segunda função e representa a função impulso h(t).
Equações da convolução: sendo , temos o resultado da convolução das duas
funções.
Temos o resultado , com a seguinte representação grá�ca, no intervalo
de -12 a 12.
S A I B A M A I S
Prezado(a) estudante, podemos usar um software de computação cientí�ca para a resolução das
convoluções grá�cas, como o Wolfram Alpha, que possui um conjunto de bibliotecas. Para saber mais sobre o
assunto, acesse o link a seguir.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions
(x + 2) cos(π)x2
xsin(π) + e−|xπ|
x(t) ∗ h(t)
y(t) = −
2( +2 +6y+4)π2y3 π2y2
π3
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Segundo Zill e Cullen (2009), sabemos que a convolução é a relação de duas funções, resultando em
uma terceira função (convolução), que atua em tempo discreto e contínuo.
Figura 2.5 - Representaçãográ�ca da convolução de duas funções
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : no grá�co, temos a representação grá�ca da convolução, no intervalo -12 a 12 no eixo x,
variando a amplitude do impulso de -1000 a 1000 em y.
S A I B A M A I S
Neste vídeo, podemos entender a interpretação grá�ca de uma
operação de convolução, em um sistema linear. A interpretação
dada apresenta, de forma didática, a utilização das propriedades
da convolução, e para elucidar essa questão, o autor traz um
exemplo bem simples e de fácil entendimento.
A S S I S T I R
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No próximo tópico, iremos estudar a transformada de Laplace, um ferramental analítico que vem para
auxiliar a resolução de sistemas lineares.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Sabemos que a convolução pode ser representada tanto analiticamente quanto gra�camente. O uso
de ferramental algébrico e analítico, em alguns casos, torna-se custoso, e recorrer ao método de
resolução grá�ca, lançando mão de recursos, tais como a integral da convolução, o método analítico,
que se baseia na análise do comportamento da função, que são projetadas no plano cartesiano, pode
ser aplicado para uma possível solução no campo grá�co.
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares . Porto Alegre: Bookman, 2006.
Assinale a alternativa correta, que descreve o que acontece quando as funções convoluem no plano
cartesiano.
a) Soma de funções.
b) Divisão de funções.
c) Produto de funções.
d) Subtração de funções.
e) Exponenciação de funções.
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Segundo Oppenheim, Willsky e Nawab (2010), a transformada de Laplace é uma ferramenta de análise
da disciplina de Sistemas e Sinais, sendo útil ao estudo de problemas relacionados a sistemas lineares
invariantes no tempo . Isso se deve ao fato de que sinais podem ser representados como combinações
lineares de funções em sistemas SLIT.
A transformada de Laplace, quando aplicada, transforma a variável de tempo (t) em uma variável que
atua no domínio da frequência (s), sendo necessária essa conversão para que possamos realizar os
cálculos e as análises. De uma forma geral, um grá�co no domínio do tempo apresenta um sinal que
varia ao longo do tempo; já um grá�co no domínio da frequência, apresenta o quanto do sinal está na
faixa de frequência.
Laplace possui uma propriedade que estuda o comportamento do sistema para diferentes funções de
entrada; a esse estudo temos uma função associada, que é a função de transferência, sendo a
representação matemática da entrada e da saída de um sistema físico. A função de transferência é a
representação matemática da relação entre a entrada e a saída de um sistema físico. Normalmente, é
empregada na análise de circuitos analógicos de entrada única e saída única.
A transformada inversa de Laplace é a função que representa o oposto da função x(t). A inversa de
, indicação e apresentação da transformada inversa de Laplace, por exemplo, a transformada
de Laplace da função: Octave.
Os dois assuntos, transformada de Laplace e convolução, são abordados neste material, pois a
convolução trata da análise das funções e da sobreposição de funções e grá�cos enquanto se desloca
no tempo. Uma forma de analisar isso é utilizando ferramentas da transformada de Laplace, que traz
um sistema de equação  diferencial e integral para a resolução em equações polinomiais que, em tese,
são mais fáceis de serem resolvidas.
A transformada de
Laplace
x(tz)−1
Em termos históricos, a transformada de Laplace foi
pensada e elaborada por um matemático francês
chamado Pierre Simon Laplace, que viveu de 1749 a
1827. Ele se utilizou de um trabalho sobre a teoria das
probabilidades para o desenvolvimento da
transformada de Laplace, cuja aplicação era
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A transformada é utilizada como um arsenal matemático para a resolução de inúmeros casos,
diminuindo a complexidade do problema em seu processo de análise e resolução do sistema,
resultando em um novo sistema com características especí�cas, criadas na utilização da
transformada.
A transformada de Laplace tem diversas propriedades e um ferramental analítico. Oferecendo
ferramentas e conhecimentos para a análise de sinais e sistemas. As transformadas podem ser
utilizadas em sistemas lineares , desempenhando um papel extremamente importante na análise de
sistemas estáveis e instáveis , levando a um conjunto de elementos matemáticos que nos auxiliam na
resolução de sistemas.
Com isso, temos que a transformada de Laplace de um sinal qualquer em x(t), é:
exclusivamente na área da engenharia e foi, a princípio,
usada na Segunda Guerra Mundial para cálculos de
guerra. Entretanto, mais tarde no século XX, foi
estendida a outras áreas do conhecimento, e veio
substituir algumas técnicas de cálculo antigas
(TONIDANDEL; ARAÚJO, 2012).
x(s) = x(t) dt∫
−∞
∞
e
st
S A I B A M A I S
Neste vídeo, você terá uma introdução sobre a transformada de
Laplace, suas de�nições, propriedades e aplicações. O autor
apresenta de forma didática as equações envolvidas na
transformada, alguns exemplos e a interação da transformada de
Laplace com outras ferramentas de análise matemática,
apresentando uma notação teórica e grá�ca, com exemplos ao
longo do vídeo.
Para assistir ao vídeo, acesse o link a seguir.
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Como vimos, a transformada de Laplace tem uma relação direta com outras ferramentas de análise
matemática, e suas descobertas trouxeram contribuições para o mundo das ciências exatas e
engenharias. Pode ser usada para a análise de sistemas lineares invariantes no tempo, tais como:
circuitos elétricos, dispositivos óticos, sistemas mecânicos, análise de imagens. Essas aplicações,
inclusive, podem ser interpretadas do domínio do tempo para o domínio da frequência, tendo como
vantagem a resolução de equações diferenciais e integrais.
No próximo tópico, veremos como são as propriedades da transformada de Laplace e o uso de cada
uma delas em equações diferenciais. Agora, convido você a realizar uma atividade para praticar seus
conhecimentos. Vamos lá?
Conhecimento
A S S I S T I R
R E F L I T A
Sabemos que o produto de duas funções, através da transformada
de Laplace, não é o mesmo que o produto de duas funções, mas
que existe uma operação entre funções que, sofrendo a
transformada de Laplace, gera uma terceira função de saída, que
chamamos de convolução. Essa função de convolução é um
importante instrumento matemático para a resolução de equações
diferenciais e integrais.
Qual a relação da transformada de Laplace com o sistema de
convolução, como eles se completam?
Fonte: Oppenheim, Willsky e Nawab (2010, p. 391).
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Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Vimos que a transformada de Laplace consiste em ferramentas de análise de sistemas e sinais, que
são úteis para o estudo dos problemas relacionados a sistemas lineares invariantes no tempo. Isso se
deve ao fato de que sinais podem ser representados como combinações lineares de funções em
sistemas SLIT.
Calcule, pela de�nição de Laplace, a equação: . Assinale a alternativa, a seguir, que
representa o resultado correto.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Prezado(a) estudante, nesse tópico iremos entender as propriedades envolvidas na transformada de
Laplace para a resolução de sistemas lineares. Também teremos contato com uma tabela defunções,
que nos auxilia na resolução das equações de forma mais rápida, sendo um importante recurso.
L[t ](s)eat
1
(s−a)2
t te2a
2 ∗ teat
2 ∗ te
at
∫ x2te
at
Transformada de Laplace:
propriedades e tabela
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A seguir, citaremos as principais propriedades , e um descritivo de cada uma, ao �nal, apresentaremos
uma tabela com todas as propriedades e regras de como utilizá-las.
Homogeneidade: , sendo a transformada de Laplace.
Aditividade: .
Linearidade: usando as propriedades de homogeneidade e aditividade, temos
.
Sinal transladado ou time shifting .
Sinal multiplicado por exponencial .
Derivadas.
Integral.
Mudança de escala do tempo.
Sinal multiplicado por t.
Sinal multiplicado por 1/t.
Convolução.
Para termos uma ideia de como funcionam as propriedades, apresentamos a Tabela 2.1, a seguir, com
todo o ferramental matemático necessário, que resume as propriedades da transformada de Laplace.
Segundo Oppenheim, Willsky eSegundo Oppenheim, Willsky e
Nawab (2010), a transformada deNawab (2010), a transformada de
Laplace conta com um Laplace conta com um conjunto deconjunto de
propriedades propriedades que auxilia naque auxilia na
resolução de sistemas lineares. resolução de sistemas lineares. 
L[kx(t)] = kL[x(t)] L
L[ (t) + (t)] = L[ (t)] + L[ (t)]x1 x2 x1 X2
L[a (t) + β (t)] = aL[ (t)] + Lβ[ (t)]x1 x2 x1 X2
tea
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Essa tabela apresenta funções e suas propriedades, que são exempli�cadas. Através dela, podemos
obter algumas transformadas de Laplace de forma mais efetiva, ao invés de usar a de�nição
diretamente, usando deduções e suposições .
Como vimos, a transformada de Laplace tem como entrada os números reais, mas pode convergir para
outros conjuntos numéricos; como descrito na coluna RDC (região de convergência) não negativos, as
entradas (coluna Sinal), todas no domínio do tempo, envolvem um pequeno atraso, sendo considerado
um sistema causal. Sistema causal é um sistema onde a resposta a um impulso é zero no instante t=0.
Sinal - f (t) Transformada de Laplace - F (s)
Tabela 2.1 - Propriedades da transformada de Laplace
Fonte: Oppenheim, Willsky e Nawab (2010, p. 412).
#PraCegoVer : #PraCegoVer: na tabela, temos linhas e colunas que representam algumas  propriedades da
transformada de Laplace. Temos duas colunas e seis linhas e cada linha representa uma propriedade da
transformada de Laplace. As colunas são nomeadas como coluna 1:  Sinal -- f(t) e coluna 2: Transformada de
Laplace -- F(s). Na linha 1, coluna 1, temos o número 1, que representa a primeira regra da transformada de
Laplace, que é a função f(1); na linha 1, coluna 2, temos a transformada de Laplace de f(1), que é 1 dividido
por s. Na linha 2, coluna 1, temos a letra t, que representa a primeira regra da transformada de Laplace, que é
a função f(t); na linha 2, coluna 2, temos a transformada de Laplace de f(t), que é 1 dividido por s ao
quadrado. Na linha 3, coluna 1, temos a regra eat, que é a função ; na linha 3, coluna 2, temos a
transformada de Laplace de , que é 1 dividido por s menos a. Na linha 4, coluna 1, temos a regra tn,
que é a função ; na linha 4, coluna 2, temos a transformada de Laplace de , que é n vezes fatorial
dividido por s elevado a n mais 1. Na linha 5, coluna 1, temos a regra ta, que é a função ; na linha 4,
coluna 2, temos a transformada de Laplace de , que é vezes abre parênteses a mais 1 fecha
parênteses, dividido por s elevado a mais um.
A tabela é de grande auxílio em uma consulta rápida no momento de uma resolução algébrica e de
uma análise na resolução de um sistema linear. Isso não exime o uso de um ferramental
1 1
s
t 1
s2
eat 1
s−a
tn n!
sn+1
ta
Γ(a+1)
sa+1
f( t)ea
f( t)ea
f( )tn f( )tn
f( )ta
f( )ta Γ
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computacional para a resolução de sistemas lineares mais complexos.
O uso da tabela na resolução de uma equação torna o processo bem fácil e rápida. Abaixo,
apresentamos um exemplo:
Sendo a equação , qual sua ?
Aplicando a regra da tabela, temos que pode ser escrito em Laplace .
Suponha que , aplicando a regra acima, temos .
Como vimos, a transformada de Laplace possui um conjunto de regras e propriedades que podemos
aplicar na análise do sistema linear. Na próxima seção, vamos apresentar as principais aplicações em
que usamos a transformada.
atividade
Atividade
Analise a Tabela 2.1 e veja a propriedade da linearidade. Ela representa a junção da aditividade e da
homogeneidade. Um sistema linear é dito linear quando obedece a essa regra. Teríamos alguma
explicação plausível para ele ter que respeitar essa regra.
Qual a sua explicação sobre essa a�rmativa?
f(t) = tn F(s) =
Tn F(s)  = n!
sn+1
f(t) = t3 F(s) ⇔3!
s3+1
6
s4
F E E D B A C K
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As equações diferenciais são funções que se utilizam da derivada e integral . Temos uma gama de
problemas em que as equações diferenciais estão presentes, tais como, a movimentação dos �uidos
na engenharia mecânica, na química e suas reações, na área de circuitos elétricos, na propagação de
onda, nos abalos sísmicos, na bolsa de valores, na computação, en�m, em diversos nichos de
conhecimento encontramos aplicações para os modelos matemáticos que envolvem equações
diferenciais, e suas ferramentas de apoio a soluções, como as transformadas de Laplace, Fourier e
transformada Z.
No século XVIII, no auge do desenvolvimento da ciência, surgiram as equações , juntamente com o
desenvolvimento da física e da matemática . Naquela época, buscar ferramentas para a solução de
equações diferenciais foi um desa�o para matemáticos e cientistas, e Laplace foi um matemático
precursor nesse caminho.
Segundo Miyazaki (2018), métodos de resolução podem ser analíticos, computacionais ou numéricos.
A transformada de Laplace é um método analítico que se tornou uma importante ferramenta na
solução de equações diferenciais e lineares.
Transformada de Laplace:
aplicação
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Vimos, nesta seção, as aplicações que envolvem a transformada de Laplace e seu uso no dia a dia,
para a resolução dos sistemas, em diversas áreas da engenharia.
atividade
Atividade
Existem ferramentas computacionais que trabalham na resolução de equações diferenciais e
sistemas lineares, como as séries de Fourier, transformada de Laplace, convolução. Faça a instalação
e a con�guração do software Octave, usado na computação cientí�ca, com o Tutorial sobre o Octave,
#PraCegoVer : o infográ�co apresenta três quadrados interligados por uma corda. O primeiro quadrado
apresenta a numeração “1” e, em seguida, está escrito “Transformada de Laplace: transforma equações
diferenciais em modelos possíveis de serem calculados, a �m de encontrar uma solução por meio de
integrais e derivadas”. O segundo quadrado apresenta a numeração “2” e, em seguida, está escrito
“Aplicações: a transformada de Laplace está presente em diversas áreas do conhecimento. O seu
ferramental analítico está embutido em diversas aplicações, tanto em análises analíticas quanto em software
computacionais, por exemplo: sensoriamento remoto, sistemas de controle etc. A teoria de Laplace está
embutida na maioria das análises de sinais dos sistemas apresentados na imagem”. O terceiro quadrado
apresenta a numeração “3” e, em seguida, está escrito “Computação cientí�ca: software utilizados para a
resolução e a análise de sistemas por meio de ferramentasmatemáticas. O seu uso se dá em diversas áreas
da indústria, da engenharia, da computação, do processamento de imagens e da medicina”.
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que tem ampla documentação na internet, dessa forma, você poderá realizar testes com os
comandos do software cientí�co. Utilizando a plataforma on-line Wolfram Alpha, por sinal, bem
completa e didática, que traz, além da resolução, como seria a representação grá�ca da equação,
convido-o, estudante, a praticar alguns exemplos relacionados à transformada de Laplace e a
equações, tais como: .( ), ( sen(y))Lx x
3
Lx e
x
F E E D B A C K
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Material
Complementar
L I V R O
Sinais e Sistemas
Editora : Pearson Prentice Hall
Autores : Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky e S. Hamid Nawab
ISBN : 978-85-4301-380-0
Comentário : Este livro traz para os estudantes de engenharia e amantes do
tema um conjunto rico de informações sobre a disciplina de Sinais e Sistemas,
tendo em mente que o compêndio foi estruturado para desenvolver, em
paralelo, os métodos de análise para sinais e sistemas de tempo contínuo e de
tempo discreto. Sendo uma obra estruturada, de forma pedagógica, com o
intuito de aguçar o estudante a explorar o assunto com profundidade.
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W E B
Chaos
Ano : 2018
Comentário : Como disse Laplace, seria necessária uma inteligência in�nita... e
o determinismo cientí�co já parece mostrar seus limites quando se coloca a
questão da estabilidade do movimento dos planetas. Se a questão é saber
onde a Terra estará precisamente em um bilhão de anos, parece realmente
inacessível (e pode não ser tão interessante assim...). Ela corre o risco de um
dia ser ejetada do Sistema Solar? O propósito do �lme é dar uma visão da
teoria de Laplace, expressa pela teoria do Chaos. Ele foi totalmente baseado
na teoria de Laplace e em outros matemáticos e físicos renomados.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s
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Conclusão
Prezado(a) estudante, chegamos ao �m do nosso estudo. Durante nossa leitura, pudemos entender como
funcionam os sistemas lineares , usando a convolução para a análise de sinais no tempo contínuo e discreto
.
Estudamos algumas ferramentas necessárias para tal análise e quais os sistemas indicados , bem como
suas propriedades , para cada caso. Além da convolução, lançamos mão de outra ferramenta de análise de
sinais, as transformadas de Laplace . Vimos que elas resolvem problemas que variam conforme o tempo , e
que possuem tabelas com regras e propriedades de uso, em  diversas aplicações, principalmente na
engenharia.
Referências
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https://www.youtube.com/watch?
v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s
. Acesso em: 27 maio 2021.
CONVOLUÇÃO: Interpretação Grá�ca (ELT007, ELT060, ELT088). [ S. l.: s. n. ], 2017. 1 vídeo (16m15s).
Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=NuUO_XiaNxs .
Acesso em: 27 maio 2021.
CONVOLUTION of two functions. Wolfram Alpha , c2021. Disponível em:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions . Acesso em: 27 maio 2021.
GRINGS - Transformada de Laplace Aula 1. [ S. l.: s. n. ], 2013. 1 vídeo (33m09s). Publicado pelo canal
omatematico.com. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iCcYh7U5jvs . Acesso em: 27 maio
2021.
HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas . Porto Alegre: Bookman, 2001. (Biblioteca Ânima).
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares . Porto Alegre: Bookman, 2006. (Biblioteca Ânima).
https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s
https://www.youtube.com/watch?v=NuUO_XiaNxs
https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions
https://www.youtube.com/watch?v=iCcYh7U5jvs
29/08/23, 19:49 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=PLSqsJUw2FbTychghYxrjA%3d%3d&l=Tjq2B0LSTmJILacFL05fEw%3d%3d&cd=LWqRTE… 26/26
MIYAZAKI, C. K. Redes neurais convolucionais para aprendizagem e reconhecimento de objetos 3D . 2018.
Monogra�a (Curso de Engenharia Elétrica com ênfase em Sistemas de Energia e Automação) - Escola de
Engenharia, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2018. Disponível em:
http://www.tcc.sc.usp.br/tce/disponiveis/18/180500/tce-22022018-121624/?&lang=b . Acesso em: 9 abr.
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OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. H. Sinais e sistemas . 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
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Florianópolis, v. 2, p. 81-95, 2010. Disponível em:
http://ilhadigital.�orianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/download/24/24 . Acesso em: 23 abr.
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TONIDANDEL, D. A. V.; ARAÚJO, A. E. A. Transformada de Laplace: uma obra de engenharia. Rev. Bras. Ensino
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11172012000200016 . Acesso em: 21  maio  2021.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Matemática avançada para engenharia . 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1.
http://www.tcc.sc.usp.br/tce/disponiveis/18/180500/tce-22022018-121624/?&lang=b
http://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/download/24/24
https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016