Sinais e Sistemas-02

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<p>SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS</p><p>CONVOLUÇÃO E TRANSFORMADA DECONVOLUÇÃO E TRANSFORMADA DE</p><p>LAPLACELAPLACE</p><p>Au to r ( a ) : E s p . C l óv i s Tr i s t ã o</p><p>R ev i s o r : G i a n c a r l o M i c h e l i n o G a e t a L o p e s</p><p>Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora.</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 1/27</p><p>Introdução</p><p>Prezado(a) estudante, é com entusiasmo que o(a) convido para a leitura desse material. Durante</p><p>nosso estudo, discutiremos, dentro do escopo de sinais e sistemas , as ferramentas</p><p>matemáticas da convolução , um assunto com forte ênfase em modelos matemáticos e</p><p>analíticos . Faz-se necessário um estudo introdutório que compreenda as ferramentas de</p><p>modelagem e de análise dos sistemas lineares contínuos e discretos , passando pelos</p><p>teoremas da transformada de Laplace e suas aplicações. Os sistemas lineares também</p><p>envolvem projetos e processamentos. O objetivo deste estudo, portanto, é o de fundamentar o</p><p>estudante que lidará, ao longo de sua vida acadêmica e pro�ssional, com a disciplina de</p><p>Sistemas e Sinais, em diversas áreas do conhecimento, tais como processamento de sinais,</p><p>robótica, circuitos elétricos, sistemas de comunicação, sistemas de controle etc. Bons estudos</p><p>a todos. Iniciaremos o estudo teórico sobre convolução, e seguiremos com os teoremas da</p><p>transformada de Laplace.</p><p>Nos estudos sobre sinais e sistemas, elencamos um conjunto de ferramentas matemáticas ,</p><p>necessárias para a resolução da análise dos sinais capturados e processados pelos sistemas</p><p>lineares. Para tanto, a convolução é uma ferramenta matemática utilizada para o cálculo da</p><p>saída de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT). A saída de um SLIT pode ser calculada</p><p>através da convolução entre a entrada e a resposta do sistema ao impulso unitário.</p><p>Convolução e suas</p><p>propriedades</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 2/27</p><p>Segundo Lathi (2006), para a análise de sinais e sistemas, essas propriedades são de extrema</p><p>importância, pois representam os processos no campo físico , que podem ser modelados com</p><p>(SLIT). Este sistema pode ser analisado de forma detalhada , de forma a facilitar o</p><p>entendimento, pois possui diversas ferramentas matemáticas que auxiliam sua análise .</p><p>Segundo Sovierzoski (2010), podemos aplicar as operações de convolução em diversas</p><p>situações, da matemática à engenharia, dispondo de formas analíticas diversas para solucionar</p><p>um problema.</p><p>Sinais de impulso unitário, tanto de tempo discreto, quanto de tempo contínuo,</p><p>podem ser representados por combinações lineares. Juntamente com as</p><p>propriedades de superposição e invariância no tempo, permitem o desenvolvimento</p><p>de um completo sistema de análise SLIT. Essa representação, chamamos de</p><p>convolução, que nos fornece um extenso ferramental analítico, para solução de um</p><p>problema. Convolução, nada mais é que a soma de duas funções, que se transforma</p><p>em uma terceira, que calcula o produto dessas duas funções ao longo do tempo</p><p>(OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 2010, p. 47).</p><p>Para esse estudo analítico, lançamos mão de ferramentas de análise no campo dos sistemas</p><p>lineares diferenciais, para os quais a entrada de e a saída de estão relacionadas. A</p><p>convolução trabalha com duas funções, e , para a geração da saída . A função</p><p>é uma resposta a um impulso unitário SLIT, ou seja, um modelo matemático que descreve</p><p>as características de um sistema . Conhecendo a resposta de um SLIT para uma entrada</p><p>impulso unitário, é possível determinar a saída para qualquer entrada . Na Figura 2.1, a</p><p>seguir, temos dois sistemas lineares que representam a ideia da convolução. Vamos analisá-los</p><p>para entender melhor:</p><p>x(t) y(t)</p><p>x(t) h(t) y(t)</p><p>h(t)</p><p>h(t)</p><p>y(t) x(t)</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 3/27</p><p>Vimos que o sistema de convolução de sinais é bem complexo e possui algumas propriedades</p><p>necessárias para a resolução de equações diferenciais e integrais, e de seus sistemas lineares.</p><p>Na próxima seção, iremos estudar o sistema de equações diferenciais.</p><p>Convolução: equações diferenciais e integrais</p><p>Segundo Lathi (2006), na equação de tempo contínuo , apresentamos a convolução de x(t) e</p><p>seu impulso h(t), em:</p><p>, sendo * (asterisco) a representação grá�ca da operação de convolução .</p><p>Percebemos a sobreposição da função  de entrada , com a função impulso . Podemos</p><p>reescrever a equação da convolução desta forma:</p><p>Figura 2.1 - Sistemas de Sinais em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : sistemas de Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto são apresentados em</p><p>duas �guras. Na �gura a) sistema de sinais em tempo contínuo; e na �gura b) sistema de sinais em</p><p>tempo discreto temos dois sistemas de sinais, com entrada, processamento e saída. Os sistemas são</p><p>nomeados com a letra (a), que representa um sistema contínuo ao longo do tempo (t), com entrada de</p><p>dados na função , processamento em e saída em ; e com a letra (b), em que temos um</p><p>sistema discreto, que varia os valores ao longo do tempo (n), com entrada na função x(n),</p><p>processamento em h(n) e saída em (y).</p><p>x(t) h(t) y(t)</p><p>y(t) = x(t) ∗ h(t)</p><p>x(t) h(t)</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 4/27</p><p>Onde representa a integral da convolução, e   a variável de tempo, para o cálculo da</p><p>convolução. A seguir, apresento a Figura 2.2, onde temos a equação , da</p><p>convolução no tempo contínuo. Na �gura, podemos perceber a função impulso atuando no</p><p>intervalo -1 a 3, com a soma da entrada da função , há um deslocamento do impulso nesse</p><p>intervalo. Podemos observar que, abaixo da �gura, há duas colunas, a da esquerda representa o</p><p>, sendo a entrada do impulso, deslocando-se discretamente no eixo horizontal-vertical; na</p><p>coluna da direita, a saída do impulso em desloca-se discretamente no tempo.</p><p>y(t) = x(τ)h(t− τ)dτ∫</p><p>−∞</p><p>∞</p><p>y(t) τ</p><p>(t) = x(τ)h(t− τ)vτ</p><p>h(t)</p><p>x(t)</p><p>(t)pn</p><p>(t)vn</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 5/27</p><p>Segundo Lathi (2006), o tema da convolução nos remete a dois momentos de captura dos</p><p>sinais, referentes ao domínio do tempo:</p><p>Convolução no tempo discreto</p><p>Um sinal é dito discreto quando há um conjunto de números reais ou complexos , que são</p><p>coletados em um certo domínio do tempo . Essa sequência de números, por ser discreto , adota</p><p>a regra de , onde n é o índice associado a cada número que foi coletado ao longo do intervalo</p><p>de tempo, por exemplo, , sendo , e assim</p><p>Figura 2.2 - Representação grá�ca da Equação de Convolução</p><p>Fonte: Haykin e Van Veen (2001, p. 103).</p><p>#PraCegoVer : na imagem acima, apresentamos grá�cos no plano cartesiano XY, em preto e branco,</p><p>que descrevem exemplos de convoluções. Esse conjunto de imagens possui, na primeira linha, um</p><p>grá�co no plano cartesiano XY, que representa gra�camente a função impulso que, no seu eixo y,</p><p>possui a função impulso h(t), variando de -0,5 a 1,0. Da linha 2 à linha 5, dividimos a folha em duas</p><p>colunas: na coluna da direita, temos representações grá�cas da função impulso com pontos</p><p>discretos; e na coluna da esquerda, temos grá�cos com a saída desses impulsos convoluídos. Na</p><p>coluna 1, linhas 2 a 5, temos representações grá�cas dos impulsos discretos que são plotados no</p><p>eixo XY, nos postos (-0,5,-1,0), (0, 0,5), (1,1), (2,1), (3,0,5). Na coluna 2, temos as saídas desses pontos,</p><p>na função impulso h(t), deslocando-se no eixo XY, no intervalo de tempo de -1 a 4 no eixo X; a função</p><p>desloca-se no intervalo, formando uma onda senoidal.</p><p>xn</p><p>= {0, 1, 2, 3, . . . }xn = 0, = 1x1 x2</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq…</p><p>6/27</p><p>sucessivamente, podendo ser aplicado a , que é a saída e/ou resultado de um sistema linear.</p><p>Podemos usar algumas funções para a extração desses números, tais como: função impulso</p><p>de Dirac, função degrau unitário,  função trigonométrica e função exponencial .</p><p>A seguir, temos um exemplo de uma convolução discreta no tempo, onde dada a função</p><p>, onde e é a função unitária e ,</p><p>a função é a função impulso.</p><p>Dada a equação da convolução no tempo discreto , analisamos a</p><p>função , para o intervalo e  temos:</p><p>se ,   , temos a representação grá�ca, em função de , da</p><p>convolução discreta.</p><p>Convolução no tempo contínuo</p><p>A convolução contínua é representada por um sistema SLIT , que coleta informações ao longo</p><p>do tempo. São utilizadas regras, tais como: se o sistema possui um impulso no tempo , a sua</p><p>saída será um impulso no tempo. Caso o sistema receba um deslocamento no tempo, a sua</p><p>saída também será o deslocamento no tempo.</p><p>Convolução em sinais analógicos e digitais</p><p>yn</p><p>y(n) = u(n) ∗ u(n− 3) x(k) = u(n) u(n) h(k) = u(n− 3)</p><p>h(k)</p><p>= x(k) ⋅ h(n− k)xn ∑</p><p>k=−∞</p><p>∞</p><p>y(n) = u(n) ∗ u(n− 3) n = [−4, . . , 4] k = [0,… , 1]</p><p>n− 3 < 0 n < 3, y(n) = 0 x(k) h(k)</p><p>Figura 2.3 - Convolução discreta no tempo</p><p>Fonte: Haykin e Van Veen (2001, p. 153).</p><p>#PraCegoVer : a �gura apresenta dois grá�cos sobre convolução discreta, representados por pontos</p><p>no eixo y, de 0 a 1, no intervalo de tempo -2 a 4, em x.</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 7/27</p><p>Essa convolução de sinais analógicos exige que o sinal esteja de�nido no mesmo instante de</p><p>tempo em que é analisado, exigindo o emprego de algumas funções, para essa extração e</p><p>análise, as quais já vimos anteriormente, tais como: função impulso de Dirac, função degrau</p><p>unitário, função trigonométrica e função exponencial.</p><p>Já a convolução de sinais digitais parte de um processo de �ltragem, com quantização e</p><p>eliminação de ruídos,   bem como a multiplicação de valores da entrada pelas constantes, e</p><p>realizando somas e produtos até a obtenção dos resultados, além do uso de técnicas</p><p>matemáticas para a extração dos dados, como a análise de Fourier, que será apresentada nos</p><p>próximos tópicos.</p><p>Convolução: propriedades</p><p>As operações de convolução possuem propriedades matemáticas de comutatividade,</p><p>distributividade e associatividade. Representadas pelas equações:</p><p>Essas propriedades representam a convolução de dois sinais contínuos �nitos, que resultarão</p><p>em um sinal convoluído . Se os sinais x(t) e y(t) estiverem contidos em um determinado</p><p>intervalo, aplicando as operações de re�exão e deslocamento, tem-se o resultado da</p><p>convolução de sinais contínuos �nitos dentro do mesmo intervalo .</p><p>Convolução: somatório</p><p>A convolução para sinais de tempo discretos possuem o mesmo ferramental analítico e</p><p>matemático utilizado no tempo contínuo. As variáveis envolvidas no tempo discreto e sua</p><p>integral transformam-se em um somatório , conforme a  equação citada em Lathi (2006):</p><p>, temos</p><p>, sendo k uma constante.</p><p>Convolução: grá�ica</p><p>Segundo Miyazaki (2018), o entendimento grá�co da convolução auxilia a compreensão e o</p><p>entendimento sobre como uma integral de convolução funciona. Tal entendimento se mostra</p><p>útil na determinação de sinais mais complexos. Além disso, nos permite visualizar de forma</p><p>grá�ca o resultado da integral da convolução.</p><p>Como relata Lathi (2006), vários sinais não possuem uma descrição matemática , mas podem</p><p>ser descritos gra�camente ; se esses tipos de sinais puderem ser concluídos, aplicamos a</p><p>convolução grá�ca.</p><p>A partir deste ponto, faz-se necessária uma explicação relativa à operação de convolução:</p><p>usando as funções x(t) e h(t), temos y(t), que é a convolução de x(t) e h(t). Segundo Lathi</p><p>y[n] = x[n] ∗ h[n]</p><p>y[N ] = x[n]h[n− k]∑</p><p>k=−∞</p><p>∞</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 8/27</p><p>(2006), temos a equação:</p><p>, sendo a variável de integração.</p><p>A representação grá�ca da de�nição da convolução é dada pela da Figura 2.4, a seguir:</p><p>Note que, em , é uma reversão do grá�co da Figura 2.4b, representada no resultado da</p><p>convolução de e , representado gra�camente na Figura 2.4c, com a saída em</p><p>cinza.</p><p>Como pudemos perceber, precisamos determinar a área sob o produto das funções x(t) e h(t),</p><p>para todos os valores de (t) no intervalo -∞ a ∞.</p><p>Assim, podemos resumir o procedimento da convolução grá�ca da seguinte forma:</p><p>y(t) = x(τ)h(t− τ)dτ∫</p><p>−∞</p><p>∞</p><p>τ</p><p>Figura 2.4 - Representação da integral da Convolução</p><p>Fonte: Lathi (2006, p.170).</p><p>#PraCegoVer : na �gura, há três grá�cos; da esquerda para a direita, na primeira linha, temos o grá�co</p><p>(a), que representa a função x(t), como um grá�co contínuo, com um degrau no ponto (-1,1). Na</p><p>primeira linha, ao lado do grá�co (a), temos o grá�co (b), que representa a função impulso h(t), que</p><p>sofre uma queda no ponto (-2,2), em linha contínua de semiparábola, tendendo a zero(0) no eixo x e y.</p><p>Na segunda linha, temos a sobreposição do grá�co (a) e (b), que representa a convolução grá�ca das</p><p>funções, o grá�co (a) permanece o mesmo, mas o grá�co (b) sofre uma inversão em seu eixo y e um</p><p>deslocamento, iniciando o impulso no ponto (2,2), com a semiparábola tendendo a zero em -x e y.</p><p>h(−t)</p><p>x(t) h(t) y(t)</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LWq… 9/27</p><p>1. mantenha a função x(t) �xa;</p><p>2. visualize a função h(t) e espelhamento no eixo vertical, quando t=0, para termos h(-t);</p><p>3. a área abaixo do produto de x(t) com h(t) é o resultado da integral da convolução, sendo</p><p>a intersecção das funções x(t) e h(t);</p><p>4. repita esse procedimento, deslocando a �gura, conforme os valores positivos e</p><p>negativos, em (t).</p><p>Esse procedimento foi apresentado na Figura 2.4.</p><p>En�m, a resposta para sistemas lineares é dada pela operação da convolução, na qual um valor</p><p>é �xado e o outro é invertido e deslocado. Onde a função impulso h(t) é revertida, e a função x(t)</p><p>é deslocada no eixo horizontal, há uma forma de visualizar uma operação de convolução,</p><p>interpretando gra�camente a integral de convolução, a �m de compreender visualmente e</p><p>mentalmente os resultados de saída da integral.</p><p>Esse procedimento pode ser usado em conjunto com a propriedade comutativa, apresentada na</p><p>seção anterior. Via de regra, o cálculo da convolução é simpli�cado, caso seja escolhida a</p><p>reversão da função mais simples, sendo possível fazer a resolução de , ou</p><p>; note que este símbolo (*) não é o sinal da multiplicação, e sim a representação da</p><p>convolução de duas funções.</p><p>h(t) ∗ x(t)</p><p>x(t) ∗ h(t)</p><p>Como podemos veri�car, a resolução de um exemplo com a representação grá�ca da</p><p>convolução é dada equação:</p><p>, esta é a primeira função x(t), que representa uma das equações do sistema</p><p>linear;</p><p>, esta é a segunda função e representa a função impulso h(t).</p><p>S A I B A M A I S</p><p>Prezado(a) estudante, podemos usar um software de computação cientí�ca para a resolução das</p><p>convoluções grá�cas, como o Wolfram Alpha, que possui um conjunto de bibliotecas. Para saber mais</p><p>sobre o assunto, acesse o link a seguir.</p><p>https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions</p><p>(x+ 2) cos(π)x2</p><p>xsin(π) + e−|xπ|</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 10/27</p><p>https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions</p><p>Equações da convolução: sendo , temos o resultado da convolução das duas</p><p>funções.</p><p>Temos o resultado , com a seguinte representação grá�ca, no</p><p>intervalo de -12 a 12.</p><p>Segundo Zill e Cullen (2009), sabemos que a convolução é a relação de duas funções,</p><p>resultando em uma terceira função (convolução), que atua em tempo discreto e contínuo.</p><p>x(t) ∗ h(t)</p><p>y(t) = − 2( +2 +6y+4)π2y3 π2y2</p><p>π3</p><p>Figura 2.5 - Representação grá�ca da convolução de duas funções</p><p>Fonte: Elaborada pelo</p><p>autor.</p><p>#PraCegoVer : no grá�co, temos a representação grá�ca da convolução, no intervalo -12 a 12 no eixo</p><p>x, variando a amplitude do impulso de -1000 a 1000 em y.</p><p>SAIBA MAIS</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 11/27</p><p>No próximo tópico, iremos estudar a transformada de Laplace, um ferramental analítico que</p><p>vem para auxiliar a resolução de sistemas lineares.</p><p>Conhecimento</p><p>Teste seus Conhecimentos</p><p>(Atividade não pontuada)</p><p>Sabemos que a convolução pode ser representada tanto analiticamente quanto gra�camente.</p><p>O uso de ferramental algébrico e analítico, em alguns casos, torna-se custoso, e recorrer ao</p><p>método de resolução grá�ca, lançando mão de recursos, tais como a integral da convolução, o</p><p>método analítico, que se baseia na análise do comportamento da função, que são projetadas</p><p>no plano cartesiano, pode ser aplicado para uma possível solução no campo grá�co.</p><p>LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares . Porto Alegre: Bookman, 2006.</p><p>Assinale a alternativa correta, que descreve o que acontece quando as funções convoluem no</p><p>plano cartesiano.</p><p>a) Soma de funções.</p><p>b) Divisão de funções.</p><p>c) Produto de funções.</p><p>d) Subtração de funções.</p><p>e) Exponenciação de funções.</p><p>Neste vídeo, podemos entender a interpretação grá�ca de uma</p><p>operação de convolução, em um sistema linear. A interpretação</p><p>dada apresenta, de forma didática, a utilização das</p><p>propriedades da convolução, e para elucidar essa questão, o</p><p>autor traz um exemplo bem simples e de fácil entendimento.</p><p>A S S I S T I R</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 12/27</p><p>Segundo Oppenheim, Willsky e Nawab (2010), a transformada de Laplace é uma ferramenta de</p><p>análise da disciplina de Sistemas e Sinais, sendo útil ao estudo de problemas relacionados a</p><p>sistemas lineares invariantes no tempo . Isso se deve ao fato de que sinais podem ser</p><p>representados como combinações lineares de funções em sistemas SLIT.</p><p>A transformada de Laplace, quando aplicada, transforma a variável de tempo (t) em uma</p><p>variável que atua no domínio da frequência (s), sendo necessária essa conversão para que</p><p>possamos realizar os cálculos e as análises. De uma forma geral, um grá�co no domínio do</p><p>tempo apresenta um sinal que varia ao longo do tempo; já um grá�co no domínio da frequência,</p><p>apresenta o quanto do sinal está na faixa de frequência.</p><p>Laplace possui uma propriedade que estuda o comportamento do sistema para diferentes</p><p>funções de entrada; a esse estudo temos uma função associada, que é a função de</p><p>transferência, sendo a representação matemática da entrada e da saída de um sistema físico. A</p><p>função de transferência é a representação matemática da relação entre a entrada e a saída de</p><p>um sistema físico. Normalmente, é empregada na análise de circuitos analógicos de entrada</p><p>única e saída única.</p><p>A transformada inversa de Laplace é a função que representa o oposto da função x(t). A inversa</p><p>de , indicação e apresentação da transformada inversa de Laplace, por exemplo, a</p><p>transformada de Laplace da função: Octave.</p><p>Os dois assuntos, transformada de Laplace e convolução, são abordados neste material, pois a</p><p>convolução trata da análise das funções e da sobreposição de funções e grá�cos enquanto se</p><p>desloca no tempo. Uma forma de analisar isso é utilizando ferramentas da transformada de</p><p>A transformada de</p><p>Laplace</p><p>x(tz)−1</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 13/27</p><p>Laplace, que traz um sistema de equação  diferencial e integral para a resolução em equações</p><p>polinomiais que, em tese, são mais fáceis de serem resolvidas.</p><p>A transformada é utilizada como um arsenal matemático para a resolução de inúmeros casos,</p><p>diminuindo a complexidade do problema em seu processo de análise e resolução do sistema,</p><p>resultando em um novo sistema com características especí�cas, criadas na utilização da</p><p>transformada.</p><p>A transformada de Laplace tem diversas propriedades e um ferramental analítico. Oferecendo</p><p>ferramentas e conhecimentos para a análise de sinais e sistemas. As transformadas podem ser</p><p>utilizadas em sistemas lineares , desempenhando um papel extremamente importante na</p><p>análise de sistemas estáveis e instáveis , levando a um conjunto de elementos matemáticos</p><p>que nos auxiliam na resolução de sistemas.</p><p>Com isso, temos que a transformada de Laplace de um sinal qualquer em x(t), é:</p><p>Em termos históricos, a transformada de Laplace foi pensada</p><p>e elaborada por um matemático francês chamado Pierre</p><p>Simon Laplace, que viveu de 1749 a 1827. Ele se utilizou de</p><p>um trabalho sobre a teoria das probabilidades para o</p><p>desenvolvimento da transformada de Laplace, cuja aplicação</p><p>era exclusivamente na área da engenharia e foi, a princípio,</p><p>usada na Segunda Guerra Mundial para cálculos de guerra.</p><p>Entretanto, mais tarde no século XX, foi estendida a outras</p><p>áreas do conhecimento, e veio substituir algumas técnicas</p><p>de cálculo antigas (TONIDANDEL; ARAÚJO, 2012).</p><p>x(s) = x(t) dt∫</p><p>−∞</p><p>∞</p><p>est</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Neste vídeo, você terá uma introdução sobre a transformada de</p><p>Laplace, suas de�nições, propriedades e aplicações. O autor</p><p>apresenta de forma didática as equações envolvidas na</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 14/27</p><p>Como vimos, a transformada de Laplace tem uma relação direta com outras ferramentas de</p><p>análise matemática, e suas descobertas trouxeram contribuições para o mundo das ciências</p><p>exatas e engenharias. Pode ser usada para a análise de sistemas lineares invariantes no tempo,</p><p>tais como: circuitos elétricos, dispositivos óticos, sistemas mecânicos, análise de imagens.</p><p>Essas aplicações, inclusive, podem ser interpretadas do domínio do tempo para o domínio da</p><p>frequência, tendo como vantagem a resolução de equações diferenciais e integrais.</p><p>No próximo tópico, veremos como são as propriedades da transformada de Laplace e o uso de</p><p>cada uma delas em equações diferenciais. Agora, convido você a realizar uma atividade para</p><p>praticar seus conhecimentos. Vamos lá?</p><p>transformada, alguns exemplos e a interação da transformada</p><p>de Laplace com outras ferramentas de análise matemática,</p><p>apresentando uma notação teórica e grá�ca, com exemplos ao</p><p>longo do vídeo.</p><p>Para assistir ao vídeo, acesse o link a seguir.</p><p>A S S I S T I R</p><p>REFLITA</p><p>Sabemos que o produto de duas funções, através da</p><p>transformada de Laplace, não é o mesmo que o produto de</p><p>duas funções, mas que existe uma operação entre funções que,</p><p>sofrendo a transformada de Laplace, gera uma terceira função</p><p>de saída, que chamamos de convolução. Essa função de</p><p>convolução é um importante instrumento matemático para a</p><p>resolução de equações diferenciais e integrais.</p><p>Qual a relação da transformada de Laplace com o sistema de</p><p>convolução, como eles se completam?</p><p>Fonte: Oppenheim, Willsky e Nawab (2010, p. 391).</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 15/27</p><p>Conhecimento</p><p>Teste seus Conhecimentos</p><p>(Atividade não pontuada)</p><p>Vimos que a transformada de Laplace consiste em ferramentas de análise de sistemas e</p><p>sinais, que são úteis para o estudo dos problemas relacionados a sistemas lineares invariantes</p><p>no tempo. Isso se deve ao fato de que sinais podem ser representados como combinações</p><p>lineares de funções em sistemas SLIT.</p><p>Calcule, pela de�nição de Laplace, a equação: . Assinale a alternativa, a seguir, que</p><p>representa o resultado correto.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>L[t ](s)eat</p><p>1</p><p>(s−a)2</p><p>t te2a</p><p>2 ∗ teat</p><p>2 ∗ te</p><p>at</p><p>∫ x2te</p><p>at</p><p>Transformada de</p><p>Laplace: propriedades e</p><p>tabela</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 16/27</p><p>Prezado(a)</p><p>estudante, nesse tópico iremos entender as propriedades envolvidas na</p><p>transformada de Laplace para a resolução de sistemas lineares. Também teremos contato com</p><p>uma tabela de funções, que nos auxilia na resolução das equações de forma mais rápida, sendo</p><p>um importante recurso.</p><p>A seguir, citaremos as principais propriedades , e um descritivo de cada uma, ao �nal,</p><p>apresentaremos uma tabela com todas as propriedades e regras de como utilizá-las.</p><p>Homogeneidade: , sendo a transformada de Laplace.</p><p>Aditividade: .</p><p>Linearidade: usando as propriedades de homogeneidade e aditividade, temos</p><p>.</p><p>Sinal transladado ou time shifting .</p><p>Sinal multiplicado por exponencial .</p><p>Derivadas.</p><p>Integral.</p><p>Mudança de escala do tempo.</p><p>Sinal multiplicado por t.</p><p>Sinal multiplicado por 1/t.</p><p>Segundo Oppenheim, Willsky e NawabSegundo Oppenheim, Willsky e Nawab</p><p>(2010), a transformada de Laplace(2010), a transformada de Laplace</p><p>conta com um conta com um conjunto deconjunto de</p><p>propriedades propriedades que auxilia na resoluçãoque auxilia na resolução</p><p>de sistemas lineares. de sistemas lineares.</p><p>L[kx(t)] = kL[x(t)] L</p><p>L[ (t) + (t)] = L[ (t)] + L[ (t)]x1 x2 x1 X2</p><p>L[a (t) + β (t)] = aL[ (t)] + Lβ[ (t)]x1 x2 x1 X2</p><p>tea</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 17/27</p><p>Convolução.</p><p>Para termos uma ideia de como funcionam as propriedades, apresentamos a Tabela 2.1, a</p><p>seguir, com todo o ferramental matemático necessário, que resume as propriedades da</p><p>transformada de Laplace.</p><p>Essa tabela apresenta funções e suas propriedades, que são exempli�cadas. Através dela,</p><p>podemos obter algumas transformadas de Laplace de forma mais efetiva, ao invés de usar a</p><p>de�nição diretamente, usando deduções e suposições .</p><p>Como vimos, a transformada de Laplace tem como entrada os números reais, mas pode</p><p>convergir para outros conjuntos numéricos; como descrito na coluna RDC (região de</p><p>convergência) não negativos, as entradas (coluna Sinal), todas no domínio do tempo, envolvem</p><p>um pequeno atraso, sendo considerado um sistema causal. Sistema causal é um sistema onde</p><p>a resposta a um impulso é zero no instante t=0.</p><p>Sinal - f (t) Transformada de Laplace - F (s)</p><p>Tabela 2.1 - Propriedades da transformada de Laplace</p><p>Fonte: Oppenheim, Willsky e Nawab (2010, p. 412).</p><p>#PraCegoVer : #PraCegoVer: na tabela, temos linhas e colunas que representam algumas</p><p>propriedades da transformada de Laplace. Temos duas colunas e seis linhas e cada linha representa</p><p>uma propriedade da transformada de Laplace. As colunas são nomeadas como coluna 1:  Sinal -- f(t)</p><p>e coluna 2: Transformada de Laplace -- F(s). Na linha 1, coluna 1, temos o número 1, que representa a</p><p>primeira regra da transformada de Laplace, que é a função f(1); na linha 1, coluna 2, temos a</p><p>transformada de Laplace de f(1), que é 1 dividido por s. Na linha 2, coluna 1, temos a letra t, que</p><p>representa a primeira regra da transformada de Laplace, que é a função f(t); na linha 2, coluna 2,</p><p>temos a transformada de Laplace de f(t), que é 1 dividido por s ao quadrado. Na linha 3, coluna 1,</p><p>temos a regra eat, que é a função ; na linha 3, coluna 2, temos a transformada de Laplace de</p><p>, que é 1 dividido por s menos a. Na linha 4, coluna 1, temos a regra tn, que é a função ;</p><p>na linha 4, coluna 2, temos a transformada de Laplace de , que é n vezes fatorial dividido por s</p><p>1 1</p><p>s</p><p>t 1</p><p>s2</p><p>eat 1</p><p>s−a</p><p>tn n!</p><p>sn+1</p><p>ta</p><p>Γ(a+1)</p><p>sa+1</p><p>f( t)ea</p><p>f( t)ea f( )tn</p><p>f( )tn</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 18/27</p><p>elevado a n mais 1. Na linha 5, coluna 1, temos a regra ta, que é a função ; na linha 4, coluna 2,</p><p>temos a transformada de Laplace de , que é vezes abre parênteses a mais 1 fecha</p><p>parênteses, dividido por s elevado a mais um.</p><p>A tabela é de grande auxílio em uma consulta rápida no momento de uma resolução algébrica e</p><p>de uma análise na resolução de um sistema linear. Isso não exime o uso de um ferramental</p><p>computacional para a resolução de sistemas lineares mais complexos.</p><p>O uso da tabela na resolução de uma equação torna o processo bem fácil e rápida. Abaixo,</p><p>apresentamos um exemplo:</p><p>Sendo a equação , qual sua ?</p><p>Aplicando a regra da tabela, temos que pode ser escrito em Laplace .</p><p>Suponha que , aplicando a regra acima, temos .</p><p>Como vimos, a transformada de Laplace possui um conjunto de regras e propriedades que</p><p>podemos aplicar na análise do sistema linear. Na próxima seção, vamos apresentar as</p><p>principais aplicações em que usamos a transformada.</p><p>atividade</p><p>Atividade</p><p>Analise a Tabela 2.1 e veja a propriedade da linearidade. Ela representa a junção da</p><p>aditividade e da homogeneidade. Um sistema linear é dito linear quando obedece a essa</p><p>regra. Teríamos alguma explicação plausível para ele ter que respeitar essa regra.</p><p>Qual a sua explicação sobre essa a�rmativa?</p><p>f( )ta</p><p>f( )ta Γ</p><p>f(t) = tn F(s) =</p><p>Tn F(s)  = n!</p><p>sn+1</p><p>f(t) = t3 F(s) ⇔3!</p><p>s3+1</p><p>6</p><p>s4</p><p>F E E D B A C K</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 19/27</p><p>As equações diferenciais são funções que se utilizam da derivada e integral . Temos uma gama</p><p>de problemas em que as equações diferenciais estão presentes, tais como, a movimentação</p><p>dos �uidos na engenharia mecânica, na química e suas reações, na área de circuitos elétricos,</p><p>na propagação de onda, nos abalos sísmicos, na bolsa de valores, na computação, en�m, em</p><p>diversos nichos de conhecimento encontramos aplicações para os modelos matemáticos que</p><p>envolvem equações diferenciais, e suas ferramentas de apoio a soluções, como as</p><p>transformadas de Laplace, Fourier e transformada Z.</p><p>No século XVIII, no auge do desenvolvimento da ciência, surgiram as equações , juntamente</p><p>com o desenvolvimento da física e da matemática . Naquela época, buscar ferramentas para a</p><p>solução de equações diferenciais foi um desa�o para matemáticos e cientistas, e Laplace foi</p><p>um matemático precursor nesse caminho.</p><p>Segundo Miyazaki (2018), métodos de resolução podem ser analíticos, computacionais ou</p><p>numéricos. A transformada de Laplace é um método analítico que se tornou uma importante</p><p>ferramenta na solução de equações diferenciais e lineares.</p><p>Transformada de</p><p>Laplace: aplicação</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 20/27</p><p>Vimos, nesta seção, as aplicações que envolvem a transformada de Laplace e seu uso no dia a</p><p>dia, para a resolução dos sistemas, em diversas áreas da engenharia.</p><p>atividade</p><p>#PraCegoVer : o infográ�co apresenta três quadrados interligados por uma corda. O primeiro</p><p>quadrado apresenta a numeração “1” e, em seguida, está escrito “Transformada de Laplace:</p><p>transforma equações diferenciais em modelos possíveis de serem calculados, a �m de encontrar uma</p><p>solução por meio de integrais e derivadas”. O segundo quadrado apresenta a numeração “2” e, em</p><p>seguida, está escrito “Aplicações: a transformada de Laplace está presente em diversas áreas do</p><p>conhecimento. O seu ferramental analítico está embutido em diversas aplicações, tanto em análises</p><p>analíticas quanto em software computacionais, por exemplo: sensoriamento remoto, sistemas de</p><p>controle etc. A teoria de Laplace está embutida na maioria das análises de sinais dos sistemas</p><p>apresentados na imagem”. O terceiro quadrado apresenta a numeração “3” e, em seguida, está escrito</p><p>“Computação cientí�ca: software utilizados para a resolução e a análise de sistemas por meio de</p><p>ferramentas matemáticas. O seu uso se dá em diversas áreas da indústria, da engenharia, da</p><p>computação, do processamento de imagens e da medicina”.</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 21/27</p><p>Atividade</p><p>Existem ferramentas computacionais que trabalham na resolução de equações diferenciais</p><p>e</p><p>sistemas lineares, como as séries de Fourier, transformada de Laplace, convolução. Faça a</p><p>instalação e a con�guração do software Octave, usado na computação cientí�ca, com o</p><p>Tutorial sobre o Octave, que tem ampla documentação na internet, dessa forma, você poderá</p><p>realizar testes com os comandos do software cientí�co. Utilizando a plataforma on-line</p><p>Wolfram Alpha, por sinal, bem completa e didática, que traz, além da resolução, como seria a</p><p>representação grá�ca da equação, convido-o, estudante, a praticar alguns exemplos</p><p>relacionados à transformada de Laplace e a equações, tais como: .( ), ( sen(y))Lx x3 Lx ex</p><p>F E E D B A C K</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 22/27</p><p>Material</p><p>Complementar</p><p>L I V R O</p><p>Sinais e Sistemas</p><p>Editora : Pearson Prentice Hall</p><p>Autores : Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky e S. Hamid Nawab</p><p>ISBN : 978-85-4301-380-0</p><p>Comentário : Este livro traz para os estudantes de engenharia e amantes</p><p>do tema um conjunto rico de informações sobre a disciplina de Sinais e</p><p>Sistemas, tendo em mente que o compêndio foi estruturado para</p><p>desenvolver, em paralelo, os métodos de análise para sinais e sistemas</p><p>de tempo contínuo e de tempo discreto. Sendo uma obra estruturada, de</p><p>forma pedagógica, com o intuito de aguçar o estudante a explorar o</p><p>assunto com profundidade.</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 23/27</p><p>W E B</p><p>Chaos</p><p>Ano : 2018</p><p>Comentário : Como disse Laplace, seria necessária uma inteligência</p><p>in�nita... e o determinismo cientí�co já parece mostrar seus limites</p><p>quando se coloca a questão da estabilidade do movimento dos planetas.</p><p>Se a questão é saber onde a Terra estará precisamente em um bilhão de</p><p>anos, parece realmente inacessível (e pode não ser tão interessante</p><p>assim...). Ela corre o risco de um dia ser ejetada do Sistema Solar? O</p><p>propósito do �lme é dar uma visão da teoria de Laplace, expressa pela</p><p>teoria do Chaos. Ele foi totalmente baseado na teoria de Laplace e em</p><p>outros matemáticos e físicos renomados.</p><p>ACESSAR</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 24/27</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 25/27</p><p>Conclusão</p><p>Prezado(a) estudante, chegamos ao �m do nosso estudo. Durante nossa leitura, pudemos entender</p><p>como funcionam os sistemas lineares , usando a convolução para a análise de sinais no tempo</p><p>contínuo e discreto .</p><p>Estudamos algumas ferramentas necessárias para tal análise e quais os sistemas indicados , bem</p><p>como suas propriedades , para cada caso. Além da convolução, lançamos mão de outra ferramenta</p><p>de análise de sinais, as transformadas de Laplace . Vimos que elas resolvem problemas que variam</p><p>conforme o tempo , e que possuem tabelas com regras e propriedades de uso, em  diversas</p><p>aplicações, principalmente na engenharia.</p><p>Referências</p><p>CHAOS1 Panta Rhei. [ S. l.: s. n .], 2013. 1 vídeo (13m20s).</p><p>Publicado pelo canal Jos Ley. Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?</p><p>v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9</p><p>. Acesso em: 27 maio 2021.</p><p>CONVOLUÇÃO: Interpretação Grá�ca (ELT007, ELT060, ELT088). [ S. l.: s. n. ], 2017. 1 vídeo (16m15s).</p><p>Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?</p><p>v=NuUO_XiaNxs . Acesso em: 27 maio 2021.</p><p>CONVOLUTION of two functions. Wolfram Alpha , c2021. Disponível em:</p><p>https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions . Acesso em: 27 maio 2021.</p><p>GRINGS - Transformada de Laplace Aula 1. [ S. l.: s. n. ], 2013. 1 vídeo (33m09s). Publicado pelo canal</p><p>omatematico.com. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iCcYh7U5jvs . Acesso em: 27</p><p>maio 2021.</p><p>HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas . Porto Alegre: Bookman, 2001. (Biblioteca Ânima).</p><p>LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares . Porto Alegre: Bookman, 2006. (Biblioteca Ânima).</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 26/27</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=q8yTCLoi6HU&list=PLw2BeOjATqruiCZzsvF0TTzN7oH6fqsdi&t=9s</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=NuUO_XiaNxs</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=NuUO_XiaNxs</p><p>https://www.wolframalpha.com/input/?i=convolution+of+two+functions</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=iCcYh7U5jvs</p><p>MIYAZAKI, C. K. Redes neurais convolucionais para aprendizagem e reconhecimento de objetos 3D .</p><p>2018. Monogra�a (Curso de Engenharia Elétrica com ênfase em Sistemas de Energia e Automação) -</p><p>Escola de Engenharia, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2018. Disponível em:</p><p>http://www.tcc.sc.usp.br/tce/disponiveis/18/180500/tce-22022018-121624/?&lang=b . Acesso em: 9</p><p>abr. 2021.</p><p>OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. H. Sinais e sistemas . 2. ed. São Paulo: Pearson</p><p>Prentice Hall, 2010.</p><p>SOVIERZOSKI, M. A. Convolução de Sinais: De�nição, Propriedades e Ferramentas. Revista Ilha Digital</p><p>, Florianópolis, v. 2, p. 81-95, 2010. Disponível em:</p><p>http://ilhadigital.�orianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/download/24/24 . Acesso em:</p><p>23 abr. 2021.</p><p>TONIDANDEL, D. A. V.; ARAÚJO, A. E. A. Transformada de Laplace: uma obra de engenharia. Rev. Bras.</p><p>Ensino Fís. , São Paulo,  v. 34, n. 2, p. 1-6, jun. 2012.   Disponível em: https://doi.org/10.1590/S1806-</p><p>11172012000200016 . Acesso em: 21  maio  2021.</p><p>ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Matemática avançada para engenharia . 3. ed. Porto Alegre: Bookman,</p><p>2009. v. 1.</p><p>25/09/2024, 10:56 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=kjKoB%2frNvaISeKYt0BJB6w%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=LW… 27/27</p><p>http://www.tcc.sc.usp.br/tce/disponiveis/18/180500/tce-22022018-121624/?&lang=b</p><p>http://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/download/24/24</p><p>https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016</p><p>https://doi.org/10.1590/S1806-11172012000200016</p>