videoaula_18_REVISADO_FINAL - Física Geral - FFG501 Univesp

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FÍSICA GERAL
Cinemática e dinâmica de rotações 
Equilíbrio de corpos rígidos 
Conceitos básicos e exercícios II
DINÂMICA DA ROTAÇÃO
Sabemos que uma força causa aceleração 
no movimento cotidiano de corpos. Mas, 
o que causa aceleração no movimento 
angular?
Para compreender melhor a dinâmica do 
movimento angular, vamos considerar a 
abertura de uma porta.
Uma porta é livre para girar em torno 
de um eixo que passa por O.
Para que possamos abrir ou fechar a 
porta, é necessário aplicar uma força 
sobre ela.
Existem três fatores que determinam 
a eficácia da força na abertura da 
porta:
• A intensidade da força;
• A posição da aplicação da força;
• O ângulo em que a força é aplicada.
O
F
r
y
x
Denominamos Torque, a tendência de uma 
força para girar um corpo sobre algum eixo.
O
𝑭	
𝒓	
𝝉 = 𝑭. 𝒓
A unidade de torque no SI é N.m;
Torque é uma quantidade vetorial.
Consideremos uma força 𝑭	agindo em 
um corpo, e que 𝒓		seja um vetor 
posição de um centro rotacional até o 
ponto de aplicação da força, com 𝑭	
perpendicular a 𝒓	. A intensidade do 
torque é dada por:
Torque é uma quantidade vetorial.
Torque tem direção:
• Se a tendência de giro da força for no 
sentido anti-horário, o torque será 
positivo;
• Se a tendência de giro for no sentido 
horário, o torque será negativo.
Distância Força
Torque
A força aplicada nem sempre é 
perpendicular ao vetor posição. 
O que faz com que o corpo gire 
é a componente da força 
perpendicular a ele.
Quando a força é paralela ao 
vetor posição, não ocorre 
rotação;
Quando a força está em algum 
ângulo, a componente 
perpendicular causa a rotação.
𝑭	𝑭	 𝜃
𝑭	𝒔𝒆𝒏𝜃
Consideremos uma força 𝑭		 agindo em 
um corpo, e que 𝒓		 seja um vetor 
posição de um centro rotacional até o 
ponto de aplicação da força. 
A intensidade do torque é dada por:
q = 0° ou q = 180 °: torque são iguais a zero;
q = 90° ou q = 270 °: intensidade do torque máxima.
𝝉 = 𝑭𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒓
Consideremos duas forças 𝑭𝟏	 e 
𝑭𝟐	agindo em um corpo, e que 
𝒓𝟏	e 𝒓𝟐	sejam os vetores posição 
de um centro rotacional O até os 
pontos de aplicação da força. 
A força 𝑭𝟏	tenderá a causar uma 
rotação no sentido horário em 
relação ao ponto O, enquanto a
𝒓𝟐
𝑭𝟐
𝒓𝟏
𝑭𝟏
𝜽𝟐
𝜽𝟏
𝑶
força 𝑭𝟐	tenderá a causar uma rotação no sentido anti-horário 
em relação a O.
𝝉𝑹 = 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐
𝝉𝑹 =1𝝉𝒊
𝑵
𝒊4𝟏
O torque resultante 
será dado por:
De uma 
forma geral:
Se
𝒓𝟐
𝑭𝟐
𝒓𝟏
𝑭𝟏
𝜽𝟐
𝜽𝟏
𝑶o corpo gira.
𝝉𝑹 =1𝝉𝒊
𝑵
𝒊4𝟏
≠ 𝟎
A taxa de rotação de um corpo não muda, a menos que o 
corpo seja acionado por um torque resultante.
Se
o corpo não gira.
𝝉𝑹 =1𝝉𝒊
𝑵
𝒊4𝟏
= 𝟎
PRODUTO VETORIAL
A última das operações de multiplicação de vetores é o 
Produto Vetorial. 
Vamos considerar dois 
vetores 𝑨 e 𝑩:
𝑨
𝑩
q
Definimos o produto vetorial 
destes dois vetores, como 
sendo o produto do módulo de 
𝑨 pelo módulo da componente 
de 𝑩 perpendicular a 𝑨. Então:
𝑨×𝑩 = 𝑨 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽
Se os vetores forem paralelos, o ângulo q entre eles é zero e o 
produto vetorial é nulo (sen0° = 0).
O produto vetorial é máximo para vetores perpendiculares, 
pois o ângulo q entre eles é 90° (sen90° = 1);
Vamos então aplicar esta definição aos vetores 
unitários (versores) :̂, <̂ e 𝒌>:
:̂×:̂ = :̂ :̂ 𝒔𝒆𝒏𝟎° = 𝟏. 𝟏. 𝟎 = 𝟎
:̂×<̂ = :̂ <̂ 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎°𝒌> = 𝟏. 𝟏. 𝟏𝒌> = 𝒌>
:̂×𝒌> = :̂ 𝒌> 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎°<̂ = 𝟏. 𝟏. (−𝟏)<̂ = −<̂
<̂×<̂ = <̂ <̂ 𝒔𝒆𝒏𝟎° = 𝟏. 𝟏. 𝟎 = 𝟎
<̂×𝒌> = <̂ 𝒌> 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎°:̂ = 𝟏. 𝟏. 𝟏:̂ = :̂
𝒌>×𝒌> = 𝒌> 𝒌> 𝒄𝒐𝒔𝟎° = 𝟏. 𝟏. 𝟎 = 𝟎
𝑨×𝑩 = 𝑨𝒙𝑩𝒙:̂×:̂ +𝑨𝒙𝑩𝒚:̂×<̂ + 𝑨𝒙𝑩𝒛:̂×𝒌> + 𝑨𝒚𝑩𝒙<̂×:̂	+
𝑨𝒚𝑩𝒚<̂×<̂ + 𝑨𝒚𝑩𝒛<̂×𝒌> + 𝑨𝒛𝑩𝒙𝒌>×:̂	+ 𝑨𝒛𝑩𝒚𝒌>×<̂ +
𝑨𝒛𝑩𝒛𝒌>×𝒌>
𝑨×𝑩 = (𝑨𝒚𝑩𝒛 − 𝑨𝒛𝑩𝒚):̂ + (𝑨𝒛𝑩𝒙 − 𝑨𝒙𝑩𝒛)<̂ + (𝑨𝒙𝑩𝒚 − 𝑨𝒚𝑩𝒙)𝒌>
Portanto:
𝒌> - <̂ - 𝒌>0
:̂ <̂
- :̂
0
0
𝑨 = 𝑨𝒙:̂ + 𝑨𝒚<̂ + 𝑨𝒛𝒌> 𝑩 = 𝑩𝒙:̂ + 𝑩𝒚<̂ + 𝑩𝒛𝒌>
𝑨×𝑩 =
𝑨×𝑩 = 𝑨𝒙:̂× 𝑩𝒙:̂ + 𝑩𝒚<̂ + 𝑩𝒛𝒌> +𝑨𝒚<̂× 𝑩𝒙:̂ + 𝑩𝒚<̂ + 𝑩𝒛𝒌>
+𝑨𝒛𝒌>×(𝑩𝒙:̂ + 𝑩𝒚<̂ + 𝑩𝒛𝒌>)
(𝑨𝒙:̂ + 𝑨𝒚<̂ + 𝑨𝒛𝒌>) ×(𝑩𝒙:̂ + 𝑩𝒚<̂ + 𝑩𝒛𝒌>)
Em componentes:
Vamos considerar dois 
vetores 𝑨 e 𝑩 que formam um 
ângulo q entre eles.
A quantidade ABsenq é a área 
do paralelogramo formado por 
A e B;
A direção de 𝑪 é perpendicular 
ao plano formado por 𝑨 e 𝑩;
O produto vetorial não é 
comutativo:
𝑨
𝑩
q
𝑪 	= 𝑨×𝑩
𝑨×𝑩
𝑨×𝑩 = −𝑩×𝑨
−	𝑪 	= 𝑩×𝑨
Vimos anteriormente que o torque em uma dimensão é dado pela 
componente vertical da força na direção do raio de rotação ou 
ainda, pela componente vertical do raio de rotação na direção da 
força:
𝝉 = 𝑭. 𝒓. 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝑭K. 𝒓 = 𝒓K. 𝑭
De uma forma geral, se tivermos uma 
força 𝑭 aplicada a uma distância 𝒓	do 
eixo de rotação, formando um ângulo q
entre eles, o torque devido a esta força 
em relação ao eixo de rotação será:
𝝉 = 𝒓×𝑭
z
x
y
O
P
𝒓
q 𝑭
𝝉 = 𝒓×𝑭
O vetor torque é perpendicular ao plano 
formado pelo vetor posição e pelo vetor 
força.
Podemos encontrar uma situação onde várias forças são 
aplicadas em vários pontos, com direções diferentes. O 
torque resultante é a soma vetorial dos torques devido a 
cada uma das forças individualmente. Então:
𝝉L =1𝝉𝒊 =
𝑵
𝒊4𝟏
1𝒓𝒊
𝑵
𝒊4𝟏
×𝑭𝒊
A direção do torque resultante é o eixo da aceleração 
angular.
MOMENTO ANGULAR
Consideremos um corpo rígido com 
momento de inércia I, em rotação com 
uma velocidade angular w. O momento 
angular do corpo é definido por:
𝑳 = 𝑰𝝎
z
x
yO
𝝎
𝑳O momento angular tem a mesma direção que a velocidade angular;
É positivo quando o corpo gira no sentido 
anti-horário;
É negativo quando o corpo gira no sentido 
horário;
Unidade no SI: kg.m²/s
Consideremos uma partícula de massa m, movendo-
se com velocidade 𝒗, a uma distância 𝒓 do centro de 
um sistema de eixos. A velocidade 𝒗	faz um ângulo f
com a direção do vetor posição 𝒓. 
O momento angular desta partícula é: 
z
x
yO
Mas, o momento de inércia de uma 
partícula de massa m, a uma 
distância r da origem é:
m𝒓 𝒗
f
𝑰 = 𝒎𝒓²
𝑳 = 𝑰𝝎
A velocidade angular se relaciona 
com a velocidade linear por:
𝒗 = 𝒓𝝎
Então:
𝑳 = 𝑰𝝎 = 𝒎𝒓S
𝒗
𝒓
= 𝒎𝒓𝒗
Mas, a componente da 
velocidade responsável pela 
rotação é a componente 
perpendicular a r. Então:
𝑳 = 𝒎𝒓𝒗𝒔𝒆𝒏∅
De uma forma geral, o momento angular para uma 
partícula é: 
z
x
yO
𝒓 é o vetor posição para a partícula;
𝒑 é seu momento linear.
m𝒓 𝒗
f
𝑳 = 𝒎𝒓×𝒗 𝑳 = 𝒓×𝒑
Apenas a componente tangencial da velocidade (perpendicular à 
direção do vetor posição) contribui para o momento angular.
Tomando um plano formado pelos vetores 𝒓 e 𝒑, o momento angular 
𝑳 é perpendicular a este plano.
𝑳 = 𝒓×𝒑
Para um sistema de N partículas, o momento angular resultante é dado 
por:
𝑳L =1𝑳𝒊 =
𝑵
𝒊4𝟏
1𝒓𝒊
𝑵
𝒊4𝟏
×𝒑𝒊
Mas: 
𝝉𝑹 = 𝒓×𝑭 = 𝒓×
𝒅𝒑
𝒅𝒕
O torque resultante agindo em um corpo é igual à taxa de 
variação no tempo do momento angular do corpo. 
=
𝒅
𝒅𝒕
(𝒓×𝒑) =
𝒅
𝒅𝒕
(𝑳)
𝝉𝑹 =
𝒅𝑳
𝒅𝒕
Portanto: 
Movimento de Translação: Rotação em torno de um 
eixo fixo:
𝑣 𝑡 = 𝑣Z + 	𝑎𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑥Z + 𝑣Z𝑡 +	
𝑎
2
𝑡²
𝑣S = 𝑣ZS + 2𝑎∆𝑥
𝜔 𝑡 = 𝜔Z + 	𝛼𝑡
𝜃 𝑡 = 𝜃Z + 𝜔Z𝑡 +	
𝛼
2
𝑡²
𝜔S = 𝜔ZS + 2𝛼∆𝜃
𝑭𝑹 = 𝑚𝒂 𝝉𝑹 = 𝒓×𝑭
𝒑 = 𝑚𝒗 𝑳 = 𝒓×𝒑
EXERCÍCIO 1
Duas forças são aplicadas à uma porta de 
2,0 m de comprimento. A primeira, com 
intensidade de 150 N é aplicada ao longo do 
eixo da porta e a segunda, com 300 N, 
forma um ângulo de 30° com o eixo da 
porta. Suponha que uma cunha seja 
colocada a 1,5 m das dobradiças do outro 
lado da porta. Qual a força mínima a cunha 
deve exercer para que as forças aplicadas 
não abram a porta? 
Solução:
Vamos considerar a 
situação do problema: 150 N
300 N
30°
2,0 m
1,5 m
F
Para que a porta não abra, o torque resultante 
em relação ao ponto O deve ser nulo. Então:
𝝉𝑹 = 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 + 𝝉𝟑
= 𝒓𝟏𝑭𝟏𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒓𝟐𝑭𝟐𝒔𝒆𝒏	𝜽𝟐+𝒓𝟑𝑭𝟑𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟑
Vamos considerar o sentido positivo para cima. Então:
+
0 = (𝟐, 𝟎)(𝟑𝟎𝟎)	𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎 − (𝟏, 𝟓)(𝑭)
𝟔𝟎𝟎𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎 = 𝟏, 𝟓𝑭
Portanto:
𝑭 = 𝟐𝟎𝟎	𝑵
EXERCÍCIO 2
Um carretel cilíndrico sólido e sem atrito de 
massa 3,0 kg e raio 0,4 m é usado para 
extrair água de um poço. Um balde de massa 
2,0 kg é anexado a uma corda que está 
enrolada ao redor do cilindro. Encontre a 
tensão na corda e aceleração do balde. Se o 
balde estiver parado no topo do poço e cair 
3,0 s antes de bater na água, qual é a 
profundidade do poço? 
Solução:
Vamos considerar a situação 
do problema, fazendo os 
diagramas de força: PB
T
PC
T
N
Vamos considerar a direção positiva para baixo. Então:
𝑭𝑹 = 𝒎𝑩𝒂
Vamos calcular o torque no cilindro em relação a seu 
eixo. Assim, tanto o peso do cilindro como a força 
normal não produzem torque, pois estão aplicadas 
no eixo. Então:
(𝑷𝑩 − 𝑻) = 𝒎𝑩𝒂
(𝒎𝑩𝒈 − 𝑻) = 𝒎𝑩𝒂 𝑻 = 𝒎𝑩(𝒈 − 𝒂)
𝝉𝑹 = 𝐓. 𝐫
No texto-base, em seu Cap. 9, na pág. 298, encontramos uma 
Tabela com os valores do momento de inércia para diversos 
sólidos em rotação. No caso do cilindro maciço de massa M e raio 
R, o momento de inércia em relação a seu eixo é:
𝑰 =
𝟏
𝟐
𝐌𝐑²
Então:
Mas,
𝒎𝑩 𝒈 − 𝒂 𝒓 =
𝟏
𝟐
𝒎𝑪𝐫²𝜶𝝉𝑹 = 𝐓. 𝐫 = 𝐈𝜶
Substituindo os valores, obtemos:
𝒂 = 𝜶𝒓 Então: 𝒎𝑩 𝒈 − 𝜶𝒓 𝒓 =
𝟏
𝟐
𝒎𝑪𝐫²𝜶
(𝟐, 𝟎) 𝟗, 𝟖 − 𝜶 𝟎, 𝟒 =
𝟏
𝟐
(𝟑, 𝟎)(𝟎, 𝟒)𝜶
𝟏𝟗, 𝟔 − 𝟎, 𝟖𝜶 = 𝟎, 𝟔𝜶 𝜶 = 𝟏𝟒	𝒓𝒂𝒅/𝒔²
Mas, 𝒂 = 𝜶𝒓 Então: 𝒂 = (𝟏𝟒)(𝟎, 𝟒) 𝒂 = 𝟓, 𝟔	𝒎/𝒔²
A tensão na corda é: 𝑻 = (𝟐, 𝟎)(𝟗, 𝟖 − 𝟓, 𝟔) 𝑻 = 𝟖, 𝟒	𝑵
Mas:
Portanto,
𝑻 = 𝟖, 𝟒	𝑵
𝒙 = 𝒙𝒊 + 𝒗𝒊𝒕 +	
𝒂
𝟐
𝒕² 𝒙 = 𝟎 + 𝟎(𝟑, 𝟎) +	
𝟓, 𝟔
𝟐
(𝟑, 𝟎)²
𝒙 = 𝟐𝟓, 𝟐	𝒎
𝒙 = 𝟐𝟓, 𝟐	𝒎
EXERCÍCIO 3
Uma força 𝑭 = (𝟐, 𝟎:̂ + 𝟑, 𝟎<̂)	𝑵 é aplicada 
a uma distância 𝒓 = (𝟒, 𝟎:̂ + 𝟓, 𝟎<̂)	𝒎	do 
ponto de giro. Obtenha o torque devido 
a esta força em relação ao ponto de 
giro. 
Solução:
Vamos considerar a 
situação do problema:
𝑭𝒓
𝑶
O torque é dado por: 𝝉𝑹 = 𝒓×𝑭
𝝉𝑹 = (𝟒, 𝟎:̂ + 	𝟓, 𝟎<̂)×(𝟐, 𝟎:̂ + 	𝟑, 𝟎<̂)
= (𝟒, 𝟎)(𝟐, 𝟎):̂×:̂ + 	(𝟒, 𝟎)(𝟑, 𝟎):̂×<̂)
+ (𝟓, 𝟎)(𝟐, 𝟎)𝚥̂×:̂ +	(𝟓, 𝟎)(𝟑, 𝟎)𝚥̂×𝚥̂
0
0
k
-k
𝝉𝑹 = 𝟏𝟐, 𝟎𝑘v − 𝟏𝟎, 𝟎𝑘v = 𝟐, 𝟎𝑘v	𝑁.𝑚
Portanto: 𝝉𝑹 = 𝟐, 𝟎𝑘v	𝑁.𝑚
EXERCÍCIO 4
Considere um disco homogêneo com 
massa de 10 kg e raio de 9,0 cm. 
Obtenha o momento angular do disco, 
se ele estiver girando com velocidade 
angular de 320 rad/s. 
Solução:
Vamos considerar a 
situação do problema:
9 cm
320 rad/s
O momento angular do disco é dado por:
𝑳 = 𝑰𝝎
No texto-base, em seu Cap. 9, na pág. 
298, encontramos uma Tabela com os 
valores do momento de inércia para 
diversos sólidos em rotação. 
𝑳 = 𝑰𝝎 =
𝟏
𝟐𝐌𝐑²𝝎
No caso de um disco homogêneo de 
massa M e raio R, o momento de inércia 
em relação a seu eixo é:
𝑰 =
𝟏
𝟐
𝐌𝐑²
Então:
Substituindo os valores:
𝑳 =
𝟏
𝟐 𝟏𝟎, 𝟎 𝟎, 𝟎𝟗
S 𝟑𝟐𝟎 = 𝟏𝟑	𝒌𝒈.𝒎S/𝒔
Portanto: 𝑳 = 𝟏𝟑	𝒌𝒈.𝒎S/𝒔
REVISÃO
Torque é a tendência de uma força para girar um corpo 
sobre algum eixo;
Torque é uma quantidade vetorial;
A taxa de rotação de um corpo não muda, a menos que o 
corpo seja acionado por um torque resultante;
Quando um corpo rígido está sujeito a um torque 
resultante, ele está sob a ação de uma aceleração angular;
O momento angular de um corpo rígido é definido como seu 
momento de inércia multiplicado pela aceleração angular;
O torque resultante agindo em um corpo é igual à taxa de 
variação no tempo do momento angular do corpo.