ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ / CENTRO DE ESTUDOS DO MAR 
 
SAMUEL HENRIQUE SBABO – GRR20180109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
PARANAGUÁ 
2021 
 
SÚMARIO 
 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................ 1 
2. ROLAMENTO .............................................................................................. 2 
2.1. A energia cinética ..................................................................................... 4 
3. TORQUE ..................................................................................................... 5 
3.1. Unidade do torque .................................................................................... 5 
4. MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7 
4.1. Momento angular de um sistema de partículas ........................................ 8 
4.2. Conservação do momento angular ......................................................... 12 
5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .................................................................... 13 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
A atividade consiste em apresentar o capítulo 11 do livro Halliday Resnick 
Volume 1, e os temas abordados são rolamento, torque e momento angular. 
Através de textos, desenhos, exemplos, análises etc., esclarecer os assuntos 
abordados de uma forma lúcida e de linguagem clara e objetiva. A presente 
análise do capítulo é para o curso de Engenharia Ambiental e Sanitária da 
Universidade Federal do Paraná, para a matéria de Física I. O documento tem 
como intuito firmar as atividades desenvolvidas academicamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
1. INTRODUÇÃO 
 
Através de pesquisas bibliográficas, foi realizado uma apresentação 
detalhada sobre o capítulo 11 do livro Halliday Resnick Volume 1, que aborda os 
temas sobre rolamento, torque e momento angular. 
O rolamento é a conciliação entre o movimento de translação do centro 
de massa e o movimento de rotação. Esse movimento sem deslizamento, os 
pontos acabam tocando o chão apenas uma vez e a translação acompanha a 
rotação. 
Podemos definir que o torque é a tendência da força de girar a estrutura 
aplicada a ela. É um vetor perpendicular ao plano, produzido pela força e pelo 
raio do vetor de rotação. O produto vetorial entre força e distância pode ser usado 
para calcular este vetor. 
Já o momento angular é uma propriedade da mecânica rotacional e está 
relacionada com a disposição do corpo em prosseguir com seu estado de 
movimento circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
2. ROLAMENTO 
 
Rolamento é a combinação do movimento de translação do centro de 
massa mais o movimento de rotação. Na rolagem sem deslizamento, os pontos 
tocam o chão apenas uma vez e a translação acompanha a rotação 
(GUIMARÃES, 2011). 
Considerando um aro de raio R, rolando sem deslizar sobre uma 
superfície plana e horizontal. Quando essa roda girar de um ângulo θ, o ponto 
de toque do aro com a face horizontal deslocou-se a uma distância s, assim 
como; 
 
S = R θ 
 
Figura 1. 
 
O centro de massa do aro deslocou-se da mesma distância. Sendo assim, 
a velocidade da deslocação do centro de massa do aro tem a forma: 
 
 
Figura 2. 
 
 
3 
De uma forma similar podemos encontrar a forma da aceleração do centro 
de massa do aro: 
 
O rolamento é apresentado como uma combinação de rotação e 
translação. 
 
Movimento puro e rotacional, os pontos da 
roda se movem com a mesma velocidade 
angular. 
 
Movimento puro e translacional , os pontos da 
roda se movem para a direita com a mesma 
velocidade. 
 
O movimento de rolagem da roda é uma 
combinação dos dois movimentos 
anteriormente citados. 
 
O rolamento é visualizado como uma rotação pura e pode ser 
compreendido como uma rotação pura se analisarmos que a cada momento o 
corpo está girando em torno de um eixo instantâneo, que passa pelo ponto de 
toque entre essa estrutura e a superfície que o suporta. Esse eixo é 
perpendicular à direção do movimento (SILVA, 2002). 
A velocidade do centro da roda é: 
VCM = W R 
 
4 
E a velocidade do topo da roda é: 
Vtopo = W (2r) = 2 VCM 
 
Figura 3. 
 
2.1. A energia cinética 
 
A energia cinética está associada à velocidade de um corpo. Se existe 
velocidade, haverá essa forma de energia. Para objetos que estão em repouso, 
a energia cinética é nula, portanto, a velocidade dessas estruturas é zero 
(JÚNIOR, 2021). 
Um corpo que rola sem deslizar pode ser observado a cada momento 
girando em torno de um eixo instantâneo que passa pelo ponto de toque desse 
corpo com a superfície que o suporta, e esse eixo é perpendicular à direção do 
movimento do corpo. Portanto, a sua energia cinética tem a forma (SILVA, 2002): 
 
Onde I é o período de inércia do corpo em relação ao eixo. Observa-se 
que esse movimento é consistindo apenas como rotação. 
Levando em conta o teorema dos eixos paralelos, temos: 
 
E essa energia terá a forma: 
 
 
5 
Desse modo, é possível observar esse movimento que é consistindo em 
uma composição rotação + translação. 
 
3. TORQUE 
 
O torque é a propensão que uma força tem de girar uma estrutura sobre 
o qual ela é aplicada. É um vetor perpendicular ao plano desenvolvido pelos 
vetores força e raio de rotação. Esse vetor pode ser calculado por meio do 
produto vetorial entre força e distância (HELERBROCK, 2021). 
Sempre que uma força é aplicada a uma certa distância do eixo de rotação 
do objeto, o objeto irá girar. Se o objeto não gira ou gira a uma velocidade angular 
constante, dizemos que ele está em equilíbrio rotacional. Balanço de rotação 
significa que a força resultante do torque agindo sobre o objeto é zero, então o 
objeto gira a uma velocidade constante ou zero. Em outras palavras, quando o 
torque gerado no objeto é zero, o objeto não tem aceleração angular. O torque 
pode ser entendido como a força de rotação. Dessa forma, é um movimento de 
rotação, assim como a força é um movimento de translação. Se quisermos que 
um objeto gire em torno de um determinado ponto, devemos girá-lo 
(HELERBROCK, 2021). 
 
3.1. Unidade do torque 
 
De acordo com o sistema internacional, a unidade de torque é o medidor 
de tempo de Newton (N.m). Por definição, quando um objeto gira no sentido 
horário, seu torque é negativo, caso contrário, o torque aplicado a ele tem um 
módulo positivo. Além disso, a direção e a direção do vetor de torque podem ser 
facilmente determinadas usando a regra da mão direita (HELERBROCK, 2021). 
Observe o seguinte esquema abaixo: 
 
6 
 
Figura 4. O torque pode ser determinado fechando a mão em direção à força (F). É determinado pela direção 
do polegar. 
 
As figuras 5 e 6 mostram uma partícula localizada pelo vetor posição , 
sob a ação de uma força . O torque exercido por essa força sobre a partícula 
é determinado como: 
 
 Simbolização de um vetor saindo perpendicular à uma folha. 
 Simbolização de um vetor entrando perpendicular à uma folha. 
 
 
7 
 
 Figura 5. Figura 6. 
 
4. MOMENTO ANGULAR 
 
O momento angular é uma propriedade básica da mecânica rotacional e 
está relacionada com a tendência do corpo em continuar seu estado de 
movimento circular (HELERBROCK, 2021). 
O momento angular é comparado a rotação do momento linear, conhecido 
também como quantidade de movimento, sendo assim, entendemos que o 
momento angular é a quantidade de movimento rotacional de um corpo ou 
sistema (HALLIDAY, 2009). 
O momento angular de uma partícula de massa M localizada pelo vetor 
posição , que tem momento linear é definido como: 
 
Existe uma união entre o momento angular de uma partículae o torque 
relacionado à força resultante que atua sobre ela. Consideramos a variação do 
momento angular no tempo: 
 
8 
 
Figura 6. 
 
Porém, 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. Momento angular de um sistema de partículas 
 
 Quando consideramos um sistema de N partículas, o momento angular 
total é dado pela equação abaixo: 
 
 De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos 
calcular a variação do momento angular total com o período: 
 
9 
 
 
Mas, 
 
Ou seja, 
 
 
 
Logo, 
 
 Observamos que o torque interno é nulo. As forças do interior aparecem 
aos pares como uma comunicação entre os pares de partículas, sendo assim: 
 
Mas, 
 
Ou seja, 
 
 Mas usando a terceira Lei de Newton, temos que , logo: 
 
 
10 
Onde (r
→ 
− r
→ 
) é um vetor contido nesta reta que unem as partículas i e j, e 
também contém a força fij . Sendo assim, o produto vetorial é nulo, pois os dois 
vetores são paralelos, e por fim podemos concluir que: 
 
 
Desse modo, concluímos que 
 
 
e essa equação tem equivalência no movimento de translação: 
 
 
 Para estimar o momento angular de um corpo rígido que está 
rotacionando em torno de um eixo (eixo z) com velocidade angular w, dividimos 
em pequenos volumes ∆Vi, com uma massa ∆mi, que tem momento linear pi e 
estão localizados pelo vetor posição r (SILVA, 2002). O momento angular desta 
massa é: 
 
 Observe que o ângulo entre os vetores ri e pi é 900. Dessa forma: 
 
 
11 
 
Figura 7. 
 
Para estimar a componente z do momento angular, temos que: 
 
 
Ou seja, 
 
Mas, 
 
 O ri⊥ é a componente do vetor posição da massa ∆m i perpendicular ao 
eixo de giro, isto significa que, essa é a distância da massa ∆mi ao eixo de 
rotação, e, sendo assim, temos a definição original de momento de inércia 
(HALLIDAY, 2009). Dessa forma: 
 
 Omitindo o índice z do momento angular, iremos abordar apenas 
situações em que o momento angular de um corpo rígido é paralelo ao eixo de 
rotação (analisamos as situações onde o momento de inércia é uma grandeza 
escalar) (SILVA, 2002). 
 Analisaremos as situações em que: 
 
12 
 
 
E, 
 
 
4.2. Conservação do momento angular 
 
 Quando passamos a considerar um sistema de partículas, a variação do 
momento angular total é igual ao torque externo. 
 
 
 
 
 Se o sistema estiver isolado, ou melhor dizendo, se o torque externo for 
nulo, o momento angular total será uma constante. 
 
 O resultado é o equivalente da conservação do momento linear total, e 
tem um significado e importância similar. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) 
 
2) 
 
 
 
 
 
14 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
4) 
 
5) 
 
 
16 
 
6) 
 
 
 
17 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
GUIMARÃES, Valdir. Rolamento e momento angular. São Paulo. 2011. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. 
8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2009 vol 4; 
SILVA, Romero Tavares. Notas de Física. 2002. 
JÚNIOR, Joab Silas da Silva. "O que é energia cinética?"; Brasil Escola. 
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-energia-
cinetica.htm. Acesso em 28 de junho de 2021. 
HELERBROCK, Rafael. "Torque"; Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/torque-uma-forca.htm. Acesso em 28 de 
junho de 2021.