Estatistica

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ENSINO MÉDIO - 3ª SÉRIE
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Chamamos de ESTATÍSTICA a área da Matemática que se dedica a analisar, apresentar e interpretar dados numéricos.
Terminologia básica
População ou Universo Estatístico - Conjunto de todos os indivíduos que apresentam uma determinada característica que será objeto de estudo.
Amostra - Como nem sempre é possível estudar todos os indivíduos de uma População, precisamos eleger um subconjunto desta para ser estudado. Há muitas técnicas para se escolher uma Amostra que represente bem uma População.
Variável - Característica a ser estudada. Ela pode ser subdividida segundo o esquema abaixo.
Varável
Exemplos:
Qualitativa (adjetivos)
Quantitativa (números)
Nominais (sem ordenação) Ordinais (com ordenação) Discretas (Inteiros )
Contínuas (medidas)
A variável “cor dos olhos” é uma Variável Qualitativa Nominal
A variável “grau de instrução” é uma Variável Qualitativa Ordinal
A variável “número de irmãos” é uma Variável Quantitativa Discreta A variável “altura” é uma Variável Quantitativa Contínua
Rol - Toda sequência de dados numéricos colocados em ordem não decrescente ou não crescente
Exemplo:
Considere 10 estudantes com idades de 13, 14, 13, 14 ,14, 15, 16, 15, 14 e 15 anos.
O rol dessas idades é (13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16) ou (16, 15, 15, 15, 14,
14, 14, 14, 13, 13)
Frequência Absoluta (F.A.), Frequência Relativa (F.R.) e Tabela de Frequências
A Frequência Absoluta (F.A.) é a quantidade de repetições de determinado resultado.
No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.A. igual a 4.
A Frequência Absoluta Acumulada (F.A.A.) é a soma da Frequência Absoluta atual com as anteriores no rol.
No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.A.A. igual a 6.
A Frequência Relativa (F.R.) é a razão entre a Frequência Absoluta e o total de observações.
No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.R. igual a 4/10 = 0,4 ou 40%
A Frequência Relativa Acumulada (F.R.A.) é a soma da Frequência Relativa atual com as anteriores no rol.
No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.R.A. igual a 6/10 = 0,6 ou 60%
OBS. As Frequências Acumuladas são importantes para o cálculo da Mediana, como veremos em breve.
Tabela de Frequências
	Idade
	F.A.
	F.A.A.
	F.R.
	F.R.A.
	13
	2
	2
	0,2 ou 20%
	0,2 ou 20%
	14
	4
	6
	0,4 ou 40%
	0,6 ou 60%
	15
	3
	9
	0,3 ou 30%
	0,9 ou 90%
	16
	1
	10
	0,1 ou 10%
	1 ou 100%
	Total
	10
	*
	1 ou 100%
	*
Tabelas de Frequências com Intervalos de Classe
Quando estamos trabalhando com Variáveis Quantitativas Contínuas, normalmente não é possível (ou não é interessante para a compreensão) colocarmos uma linha da tabela para cada valor encontrado na amostra. Por exemplo, imagine que estivéssemos estudando as alturas de todos os alunos do Colégio Pedro II. Como as possibilidades são muitas, teríamos uma tabela com uma quantidade enorme de linhas e isso dificultaria muito sua compreensão.
Por isso, ao invés de criarmos uma linha para 1,60m, uma linha para 1,61m e assim por diante, faremos uma única linha para as alturas de 1,60m até 1,69m, uma outra linha para as alturas de 1,70m até 1,79m e assim por diante.
Neste caso, há perda de algumas informações. Elas precisarão ser aproximadas.
Exemplo:Nunca caiu no ENEM, mas é parte do programa
Considere as notas de 10 alunos numa prova: 4,5, 5,1, 5,6, 6,2, 6,4, 6,5, 6,8, 7,2 , 7,5,
8,2
Tabela de Frequências com Intervalos de Classe.
	Intervalo de Notas
	F.A.
	F.A.A.
	F.R.
	F.R.A.
	4,0 |— 5,0
	1
	1
	10%
	10%
	5,0 |— 6,0
	2
	3
	20%
	30%
	6,0 |— 7,0
	4
	7
	40%
	70%
	7,0 |— 8,0
	2
	9
	20%
	90%
	8,0 |—9,0
	1
	10
	10%
	100%
	Total
	10
	*
	100%
	*
OBS1.
As classes devem ter, preferencialmente, o mesmo tamanho. OBS2.
A notação a|— b significa [a,b) (ou [a,b[ ), isto é, que o número a pertence a esta classe mas o número b não.
OBS3.
Para determinar o número k de classes que serão necessárias para construir a tabela, usamos a Fórmula de Sturges.
𝑘 = 1 + 3,3∙𝑙𝑜𝑔(𝑛), onde n é o número de observações feitas.
Na tabela acima, temos n = 10 observações. Então 𝑘 = 1 + 3,3∙𝑙𝑜𝑔(10) = 1 + 3,3 = 4,3. Por isso usamos k = 5 classes.
Há várias outras fórmulas para determinar o número de classes. Cada uma delas é mais, ou menos adequada à quantidade total de dados com que estamos trabalhando.
Gráficos Estatísticos
Ao contrário do que se vê em Matemática Pura, na Estatística usamos vários tipos de gráficos. Cada um deles é usado para uma determinada finalidade.
–	Gráficos de Linhas
Normalmente usados quando queremos dar destaque ao crescimento/decrescimento de uma determinada variável no tempo.
Exemplo:
A tabela e o gráfico abaixo apresenta a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de um determinado ano.
Exemplo:
–	Gráfico de Colunas (vertical) e Barras (horizontal) Normalmente usados para representar Variáveis Qualitativas
A tabela e o gráfico abaixo apresentam o desempenho dos alunos de uma classe em Química.
–	Gráfico de Setores (ou Pizza)
Normalmente usado para representar uma repartição do todo. Pode vir em porcentagem ou em números absolutos.
Exemplos:
A tabela e os gráficos abaixo apresentam o número de espectadores em três salas de cinema de um Shopping em um determinado sábado.
OBS.
Neste tipo de gráfico o ângulo central de cada setor é proporcional à Frequência Relativa da unidade a que se refere. Por exemplo, a F.R. de A é 30%, então o setor do gráfico que corresponderá a A terá ângulo central de 30% de 360°, isto é 108°.
Os demais setores serão C, com 50% de 360° (igual a 180°) e B com 20% de 360° (igual a 72°)
Exemplo:
–	Histograma
Normalmente usado para representar Variáveis Quantitativas Contínuas que estão divididas em intervalos de classe.
A tabela e o histograma abaixo representam as alturas (em centímetros) dos alunos de uma determinada turma, agrupados em intervalos de classe.
Histograma com as classes relacionadas às Frequências Absolutas
Histograma com as classes relacionadas às Frequências Relativas
É comum também usarmos o valor médio de cada classe como representante da classe toda (por exemplo, 165 representa a classe 160|—170). Os segmentos que unem os pontos médios das bases superiores dos retângulos é chamado de Polígono de Frequências. Para formarmos o polígono devemos considerar também os pontos médios dos intervalos fictícios, um anterior e um posterior ao histograma.
Medidas de Tendencia Central
São valores que representam, de algum modo, o universo estudado. As mais importantes são a Média, a Moda e a Mediana.
I . Para Variáveis Discretas Média (𝒙)
Há diversos tipos de médias, cada uma delas é indicada para uma ocasião. 1 - Média Aritmética
Na maior parte das escolas é usada para calcular a nota final dos alunos
Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛 n valores.
Exemplo:
𝑀𝐴
= 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ... + 𝑥𝑛
𝑛
Num grupo de 5 pessoas, as idades são 22, 20, 21, 24 e 20 anos. A média das idades é
𝑀𝐴 = 𝑥 = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 = 21,4 𝑎𝑛𝑜𝑠5
2 - Média Aritmética Ponderada
É usada para calcular a nota final dos alunos do Colégio Pedro II, pois os trimestres têm pesos diferentes.
Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛 n valores e 𝑝1,𝑝2, 𝑝3,...,𝑝𝑛 n pesos.
Exemplo:
𝑀𝐴
= 𝑥 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ... + 𝑥𝑛𝑝𝑛
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ... + 𝑝𝑛
No Colégio Pedro II, os pesos dos trimestres são 3, 3 e 4. Um aluno teve notas 7,0 , 5,5 e 8,0 em matemática. Qual sua média final?
𝑥 = 7 × 3 + 5,5 × 3 + 8 × 4 = 69,5 = 6,95
3 + 3 + 4	10
3 - Média Geométrica
É útil quando os dados podem ser aproximados por uma P.G. Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛 n valores positivos𝑛
𝑥1 𝑥2 𝑥3...𝑥𝑛
𝑀𝑔 =
Exemplo:
A média geométrica dos números 2, 3 e 4 é 𝑀𝑔 =3 2.3.4
4 - Média Harmônica
=2,88
Usada quando estamos lidando com grandezas inversamente proporcionais
𝑀𝐻 =	𝑛	
 1 + 1 + ... + 1
Exemplo:
𝑥1
𝑥2
𝑥𝑛
Um carro fez a primeira parte de um percurso com velocidade de 60km/h, a segunda parte com velocidade de 70km/h e a terceira com velocidade de 80km/h. Qual foi a velocidade média?
𝑀𝐻 =	3	= 69,7𝑘𝑚/ℎModa (Mo)
É o valor com maior frequência. Exemplo:
 1 + 1 60	70
+ 1
80
Num grupo de 5 pessoas, as idades são 22, 20, 21, 24 e 20 anos. A Moda é Mo = 20 anos.
OBS.
Quando uma amostra tiver duas Modas, ela será chamada de Bimodal Quando uma amostra não tiver Moda, ela será chamada Amodal Exemplo:
(9; 9; 5; 7; 10; 22; 1; 10) é Bimodal, pois Mo = 9 e Mo = 10
(1; 3; 5; 7; 9) é Amodal
Mediana (Md)
Se a quantidade de termos for ímpar, será o termo central do Rol.
Se a quantidade de termos for par, será a média entre os dois termos centrais do Rol.
Exemplos:
(1, 2 , 3 , 4 , 5 ) Md = 3
(1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6) Md = (3+4)/2 = 3,5
Exemplo:
A tabela abaixo representa o número de irmãos de cada aluno de uma classe
	Número de Irmãos
	F.A.
	F.A.A
	0
	8
	8
	1
	12
	20
	2
	15
	35
	3
	5
	40
	total
	40
	*
𝑀 = 0 × 8 + 1 × 12 + 2 × 15 + 3 × 5 = 1,43 𝑖𝑟𝑚ã𝑜𝑠𝐴
40
Mo = 2 irmãos (maior frequência = 15)
Como há 40 observações, a mediana será a média aritmética do 20𝑜 e 21𝑜 termos. O 20𝑜 termo é o último da segunda classe, isto é, 1 irmão
O 21𝑜 termo é o primeiro da terceira classe, isto é, 2 irmãos Md = (1 + 2)/2 = 1,5 irmãos
II . Para Variáveis Contínuas
Para calcular a Média, a Moda e a Mediana de dados agrupados em intervalos de classe, vamos precisar do Valor Médio (V.M.) de cada classe. Vamos supor que V.M. representa toda a sua classe.
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta os pesos de 20 pessoas
	Peso (kg)
	F.A.
	F.A.A
	V.M.
	40|—44
	1
	1
	42
	44|—48
	3
	4
	46
	48|—52
	7
	11
	50
	52|—56
	6
	17
	54
	56|—60
	3
	20
	58
	Total
	20
	*
	*
𝑀 = 42 × 1 + 46 × 3 + 50 × 7 + 54 × 6 + 58 × 3 = 51,4 𝑘𝑔𝐴
20
A Classe Modal é a classe que tem maior frequência. Neste caso, é a classe 48|—52, cujo valor médio é V.M. = 50 kg. Portanto, a Moda será Mo = 50kg.
O cálculo da Mediana requer um pouco mais de atenção. Primeiramente, vamos precisar construir um Histograma para estes dados.
Agora vamos calcular a área total do Histograma. Como a base de cada retângulo mede 4 unidades, então
A = 4x1+4x3+4x7+4x6+4x3 = 80 unidades de área.
A mediana será a reta vertical que divide o Histograma em áreas iguais, cada uma delas medindo 40 unidades de área (80/2)
Como os três primeiros retângulos juntos têm área igual a 44 unidades de área, esta reta ficará em algum lugar dentro do terceiro retângulo.
Seja x a distância do inícios da terceira classe até o pé da reta mediana, como
4 + 12 = 16, o retângulo de base x e altura 7 deve ter área igual a 24 (pois 16+24
= 40). Então 7x = 24, isto é x = 3,43.
Portanto a Mediana será Md = 48 + 3,43 = 51,43kg.
Poderíamos também ter usado o ponto médio do intervalo 48|—52. Neste caso estaríamos calculando a Mediana Bruta. Ela seria Md = 50kg
OBS.
Até hoje no ENEM nunca caiu Mediana Bruta.