ELEMENTOS DE EUCLIDES n147

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EUCLIDES
pelo plano AGHC das diagonais AG, CH dos planos opostos ALGF, CBHD, o 
mesmo sólido AH ficará dividido em duas partes iguais (Pr. 28.11.). Logo, o 
sólido AK é o dôbro do prisma, que tem os triângulos opostos ALG, CBH. Pela 
mesma razão por que o sólido AK é cortado pelo plano LGHB, que passa pelas 
diagonais LG, BH dos planos opostos ALNG, CBKH, será o sólido AK o dôbro do 
mesmo prisma compreendido entre os triângulos opostos ALG, CBH. Logo, o 
sólido AH é igual ao sólido AK.
Não tenham agora os paralelogramos DM, EN algum lado comum (Figs. 
36 e 37.). Como as figuras CH, CK são paralelogramos, será o lado CB igual 
(Pr. 34.1.) tanto ao lado DH, como ao lado EK. Logo, será DH = EK. Ajunte-se, 
ou tire-se de uma e outra parte a mesma reta RE. Será DE = HK, e o triângulo 
CDE igual (Pr. 38.1.) ao triângulo BHK, e o paralelogramo DG igual (Pr. 36.1.) 
ao paralelogramo HN. Pela mesma razão será o triângulo AFG igual ao 
triângulo LMN. Mas os paralelogramos CF, CG são respectivamente iguais (Pr. 
24.11.) aos paralelogramos BM, BN, por estarem opostos entre si. Logo, o 
prisma formado pelos triângulos AFG, CDE, e pelos paralelogramos AD, DG, 
GC é igual (Pr. C .11.) ao prisma compreendido pelos triângulos LMN, BHK, e 
pelos paralelogramos BM, MK, KL. Tirando :pois o prisma LMNBHK do sólido, 
que está entre a base AB o plano oposto FDKN, e também tirando do mesmo 
sólido o outro prisma AFGCDE, os restos que ficarem, isto é os sólidos AH, AK, 
serão iguais entre si.
PROP. XXX. TEOR.
Os sólidos paralelepípedos postos sôbre a mesma base, e 
que têm a mesma altura, e cujos lados, isto é, aquêles que se 
levantam sôbre a base, não se, terminam nas mesmas linhas. 
retas, são iguais (Fig. 38.).
Estejam postos sôbre a mesma base AB, e tenham a mesma altura os 
paralelepípedos CM, CN; e nã9 se terminem nas mesmas retas os lados dêles, 
que se levantam sôbre a base comum AB, isto é, os lados AF, AG, LM, LN, CD, 
CE, BH, BK. Digo que também neste caso são iguais entre si os 
paralelepípedos CM, CN.
Produzam-se as retas FD, MH, NG, KE, até se encontrarem nos pontos 
O, P, Q, R, e tirem-se as retas AO, LP, BQ, CR. Como o plano LBHM é paralelo 
ao plano oposto ACDF, e no plano LBHM existem as duas retas paralelas LB, 
MHPQ juntamente com a figura BLPQ, e no plano ACDF existem as outras 
paralelas AC, FDOR, e também a figura CAOR, as figuras BLPQ, CAOR devem 
existir em dois planos paralelos entre si. Do mesmo modo por que o plano 
ALNG é paralelo ao plano oposto CBKE, e no plano ALNG existem as paralelas 
AL, OPGN juntamente com a figura AOPL, e no plano CBKE existem as outras 
paralelas CB, QREK, e também a figura CRQB, as figuras AOPL, CRQB existirão 
em planos, paralelos entre si. Mas, os planos ACBL, ORQP são paralelos. Logo, 
o sólido CP será um paralelepípedo. Mas o sólido CM, existente entre a base 
ACBL e o paralelogramo oposto FDHM, é igual (Pr. 29.11.) ao sólido CP 
existente entre a mesma base ACBL, e o paralelogramo oposto ORQP, por 
estarem ambos êstes sólidos sôbre a mesma base ACBL, e se terminarem nas 
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