bx_19_CURSO_NV17_SEMI 04_MAT_D

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1
Polígonos regulares
Matemática
4D07
Aula 
 Introdução
Nesta aula, vamos estudar os chamados polígonos regulares que interessam em nossa programação. São eles: o 
triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular.
Essas figuras são de grande importância pois, além de possibilitarem a resolução de um grande número de ques-
tões específicas de geometria plana, serão indispensáveis para subsidiar a geometria dos sólidos, que trataremos na 
sequência do nosso programa.
 Triângulo equilátero
Como já foi visto na classificação dos triângulos, triângulo equilátero é aquele que apresenta os três lados con-
gruentes e os ângulos internos também congruentes.
Portanto, o triângulo equilátero é um polígono regular 
e, como todo polígono regular, admite uma circunferên-
cia inscrita, cujo raio r é denominado apótema, e uma 
circunferência circunscrita, de raio R.
60° 60°
60°
ℓ ℓ
ℓ
Na figura abaixo, temos todos esses elementos representados.
R
r
ℓ
ℓ
ℓh
As relações do triângulo equilátero são muito usadas. São elas:
Altura: h = N 3
2
Área: S = N
2 3
4
Raios: R h= 2
3
r h= 1
3
2 Semiextensivo
01. Deduza as fórmulas anteriores
02. (UFSC) – No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada 
por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a 
figura. Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a 
área do triângulo ABC é igual a 27 3 2cm , determine a medida do raio desta circunferência, 
em centímetros.
Situações para resolver
 Quadrado
O quadrado é o paralelogramo que apresenta os quatro lados congruentes e os quatro ângulos internos congruentes 
entre si.
Por ser um polígono regular, o quadrado admite uma circunferência inscrita, cujo raio r é chamado apótema, e 
uma circunferência circunscrita, de raio R.
Sendo ℓ o lado e d a diagonal, temos as relações abaixo:
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
d
Área: S = ℓ
2
Diagonal: d = ℓ 2
ℓ
R
ℓ
ℓℓ r
Raios: r = L
2
R = L 2
2
Aula 07
3Matemática 4D
04. (UP – PR) – Sendo o hexágono regular, abaixo representado, com lado ℓ = 1 cm, calcule, em cm2, a área da região 
hachurada:
a) 3
b) 2 3
c) 4 3
d) 
3 3
2
e) 
2 3
2
03. (UFSC) – Considere um triângulo equilátero, cujo lado mede 12 cm de comprimento, e um quadrado em que uma das 
diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo. Nessas condições, determine a área (em cm2) do quadrado.
Situações para resolver
Situações para resolver
1
1 1
 Hexágono regular
Hexágono regular é o polígono convexo que 
apresenta 6 lados congruentes e 6 ângulos internos 
congruentes entre si.
Propriedade
ℓ ℓ
ℓA B
o
60°
No triângulo OAB, pela Lei de Tales: 
 60° + + = 180° = 60° 
Ou seja: o hexágono regular é composto por 6 triân-
gulos equiláteros congruentes.
Como é um polígono regular, admite a circunferência 
inscrita de raio r, denominado apótema do hexágono, e 
a circunferência circunscrita de raio R.
ℓ
ℓ
ℓ
r
R R
60o
ℓ
Raios: R = ℓ r =
⋅L 3
2
 
(r = altura de um dos 
triângulos)
Área: s = ⋅6
3
4
2L
 (são 6 triângulos equiláteros)
4 Semiextensivo
Testes
Assimilação
Assimilação
07.01. Assinale V ou F, conforme cada afirmação seja verda-
deira ou falsa, respectivamente.
( ) Se os lados de um triângulo equilátero medem 6 cm, 
suas alturas medem 3 3 cm.
( ) Se os lados de um quadrado medem 10 cm, suas dia-
gonais medem 10 2 cm.
( ) Se os lados de um triângulo equilátero medem 
2 3 cm , esse triângulo tem 3 3 2cm de área.
( ) Se um quadrado tem 50 cm2 de área, suas diagonais 
medem 10 cm.
07.02. (UECE) – A razão entre a área de um triângulo equilá-
tero e a área da circunferência que lhe é circunscrita é
a) 
3
π
 b) 
2 3
π
c) 
3 3
2π
d) 
3 3
4π
 
05. (UFRGS) – Considere o hexágono regular ABCDEF, no qual foi traçado o segmento FD medindo 6 cm, representado 
na figura abaixo.
A área do hexágono mede, em cm2,
a) 18 3
b) 20 3
c) 24 3
d) 28 3
e) 30 3
A B
C
DE
F
07.03. (UFPE) – Seja ABCDEF um hexágono regular inscrito 
em uma circunferência de centro O. Nesse contexto, é correto 
afirmar que
( ) o triângulo ABO é equilátero.
( ) se o perímetro do hexágono ABCDEF mede 120 cm, 
então, o segmento EB mede 40 cm.
( ) ABEF é um paralelogramo.
( ) o ângulo DÊF mede 60°.
( ) BCDE é um trapézio isósceles.
Aula 07
5Matemática 4D
07.04. (UDESC) – Suponha que os quatro vértices de um 
quadrado estão situados sobre uma circunferência, conforme 
ilustra a figura.
A razão entre o comprimento dessa circunferência e o perí-
metro desse quadrado é dada por:
a) 
2
4
π
b) 
2
2
π
c) 
2
π
d) 
4
π
e) 2 2π
07.05. (UEL – PR) – Se um círculo de 5 cm de raio está ins-
crito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, 
em centímetros, é igual a:
a) 20 3 b) 18 3 c) 15 2 d) 12 3 e) 9 2
Aperfeiçoamento
07.06. (UNIOESTE – PR) – Uma empresa de cerâmica de-
senvolveu uma nova peça (de cerâmica) para revestimento 
de pisos. A peça tem formato de hexágono não regular, na 
forma do desenho da figura. Na figura, os segmentos AB e 
DC são paralelos entre si, bem como os segmentos AF e DE 
e os segmentos BC e EF. Também o ângulo BAF mede 90° e 
o ângulo DEF mede 45°. A empresa fabrica esta peça com 
todos os lados de mesma medida ℓ. 
A área desta peça, em função do lado ℓ, é:
a) 2 2N b) N 2 2 c) 6 2N d) 
N 2 2
2
e) 
N 2
2
A B
CD
E
F
07.07. (UDESC) – A altura do triângulo equilátero de vértices 
A, B, C, representado pela figura, é h = 3 3. Sejam D, E, F os 
pontos médios dos segmentos AB BC CA, , , respectivamen-
te; então a área do triângulo de vértices D, E, F é:
a) 
9 3
8
b) 
9 3
4
c) 
3 3
4
d) 
8 3
9
e) 
2 3
9
A C
B
ED
F
6 Semiextensivo
07.08. (PUCCAMP – SP) – Uma loja que vende rodas e pneus 
para automóveis resolveu fazer uma promoção. Para divulgá-
-Ia, o funcionário da loja montou, com seis pneus iguais e 
de raio de medida x cm, um desenho conforme aparece na 
Figura 1. Uma placa retangular, de altura h, com a palavra 
PROMOÇÃO será desenhada ao lado da imagem dos pneus 
de forma que ela ocupe exatamente a altura do desenho, 
conforme mostra a Figura 2.
h
P
R
O
M
O
Ç
Ã
O
 Figura 1 Figura 2
Adotando, no cálculo final, 3 1 7, , a altura h, em centí-
metros, é igual a
a) 3x b) 3,4x c) 4,2x d) 5,4x e) 6x
07.09. Analise as proposições abaixo e classifique-as em 
V – verdadeiras ou F – falsas.
( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 12 cm. 
Sabendo que temos uma circunferência inscrita e ou-
tra circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a 
área da circunferência inscrita e a área da circunferên-
cia circunscrita é 
1
4
.
( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num 
triângulo PRQ. Sendo RQ = 36 cm e a altura relativa 
a essa base igual a 24 cm, então, a região hachurada 
vale, aproximadamente, 225 cm2.
A B
CD
P
R Q
A sequência correta, de cima para baixo, é: 
a) V – V b) V – F c) F – V d) F – F
07.10. (FUVEST – SP) – Uma das piscinas do Centro de 
Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos 
regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de 
hexágonos tem um lado em comum, conforme representado 
na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada 
hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da 
piscina. 
a) 1.600 m2
c) 2.000 m2
e) 2.400 m2
b) 1.800 m2
d) 2.200 m2
07.11. (UFPR) – Considere a seguinte sequência de polígo-
nos regulares inscritos em um círculo de raio 2 cm:
3 lados 4 lados 5 lados
. . .
Sabendo que a área A de um polígono regular de n lados 
dessa sequência pode ser calculada pela fórmula 
A n sen
n
= ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
2π
, considere as seguintes afirmativas:
1. As áreas do triângulo equilátero e do quadrado nessa 
sequência são, respectivamente, 3 3 cm2 e 8 cm2.
2. O polígono regular de 12 lados, obtido nessa sequência, 
terá área de 12 cm².
3. À medida que n aumenta, o valor A se aproxima de 
4 cm2.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somenteas afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
Aula 07
7Matemática 4D
07.12. (FGV – SP) – Na figura, ABCDEF é um hexágono re-
gular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita 
a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a
A
B
Q
C
D
EF
a) 4 2
c) 6
e) 2 2 2+( )
b) 4 3
d) 4 5
Aprofundamento
07.13. (FGV – SP) – A figura indica uma circunferência de 
diâmetro AB = 8 cm, um triângulo equilátero ABC e os pon-
tos D e E pertencentes à circunferência, com D em AC e E 
em BC.
A B
D E
C
Em cm2, a área da região hachurada na figura é igual a: 
a) 64
b) 8
c) 8 3
3
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π
d) 4 3
3
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π
e) 4 3
2
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π
07.14. (FUVEST – SP) – O segmento AB é o lado de um 
hexágono regular de área 3 . O ponto P pertence à me-
diatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale 
2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual a:
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 3 e) 2 3
07.15. (UECE) – Se P é um ponto no interior de um triângu-
lo equilátero cuja medida de cada um dos lados é 
12 m, então, a soma das distâncias de P aos lados do triân-
gulo é:
a) 4,5 m b) 4,0 m c) 3,0 m d) 3,5 m
8 Semiextensivo
07.16. (UEL – PR) – Determine a área da região hachurada, 
que é a região delimitada por um hexágono regular, obtida 
pela intersecção das regiões delimitadas por dois triângulos 
equiláteros inscritos na circunferência cuja área é de 3π cm2.
Assinale a alternativa correta.
a) 
3 3
2
2cm
d) 
4 3
3
2cm
b) 3 3 2cm
e) 2 6 2cm
c) 2 6 2cm
07.17. (MACK – SP) – Unindo-se os pontos médios dos lados 
de um hexágono regular H1, obtém-se um hexágono regular 
H2. A razão entre as áreas de H1 e H2 é
a) 
4
3
b) 
6
5
c) 
7
6
d) 
3
2
e) 
5
3
Discursivos
07.19. Os vértices de um hexágono regular são os pontos médios das arestas de um cubo, conforme a figura.
Se a aresta do cubo mede a, calcule, em função de a, a área do hexágono.
07.18. (UEM – PR) – Considerando ABCD um quadrilátero 
convexo inscrito em uma circunferência de centro O, assinale 
o que for correto. 
01) Se ABCD é um paralelogramo, então necessariamente 
trata-se de um retângulo.
02) Se os ângulos ABC e BCD medem, respectivamente, 75° 
e 120°, os demais ângulos internos de ABCD são agudos. 
04) Se o raio da circunferência mede 2 cm e ABCD é um 
quadrado, a área do mesmo é 8 cm2.
08) Se o centro da circunferência pertence à diagonal BD, o 
ângulo BCD é reto.
16) Se a diagonal BD possui o mesmo comprimento do raio 
da circunferência, um dentre os ângulos BCD e BÂD
mede 150°.
Aula 07
9Matemática 4D
07.20. (FGV – SP) – Os pontos médios dos lados de um hexágono regular ABCDEF são os vértices do hexágono menor 
MNPQRS, conforme indica a figura.
B
D
A
F C
E
M
S
R
N
P
Q
a) Calcule o perímetro do hexágono menor, sabendo-se que o lado do hexágono maior mede 6 cm.
b) Calcule a porcentagem que a área do hexágono menor ocupa da área do hexágono maior.
Gabarito
07.01. V – V – V – V
07.02. d
07.03. V – V – F – F – V
07.04. a
07.05. a
07.06. b
07.07. b
07.08. d
07.09. a
07.10. a
07.11. e
07.12. b
07.13. c
07.14. e
07.15. c
07.16. a
07.17. a
07.18. 29 (01, 04, 08, 16)
07.19. S
a
H
3 3
4
2
07.20. a) 18 3 cm
b) 75%
Matemática
10 Semiextensivo
4DAula 08
Introdução à geometria euclidiana 
ou geometria de posição
 Breve histórico
Os registros históricos mais antigos a respeito do 
surgimento da Geometria na história da humanidade 
remontam aos povos da Mesopotâmia, em torno de 
aproximadamente 4 000 anos a.C., muito embora o 
homem neolítico já tenha manifestado, com desenhos 
e figuras deixados, preocupação com relações espaciais 
que abririam caminho para a Geometria.
Já Heródoto defendia a ideia de que a Geometria 
surgiu mais tarde, no antigo Egito, e resultava da neces-
sidade prática dos egípcios, dentre elas a de fazer novas 
medidas de terras após cada inundação do rio Nilo.
Foi em torno de 600 a 500 a.C., porém, que a Geome-
tria começou a ser sistematizada, na antiga Grécia, por 
matemáticos e filósofos gregos, dentre os quais se des-
tacaram Pitágoras e Tales, que, ao que indica a história, 
tinham conhecimento da geometria egípcia.
Em torno de 300 a.C., surge o grande matemático 
grego chamado Euclides, que, numa obra extraordinária 
chamada Os Elementos, sistematizou toda a Geometria 
existente até então.
Essa é considerada, por historiadores, uma das obras 
que mais influenciaram o pensamento humano. O seu nú-
mero de edições é inferior apenas ao número de edições 
da Bíblia. A parte da Geometria que vamos abordar nas 
próximas aulas está referenciada no volume XI dessa obra.
 Entes geométricos
A Geometria é uma ciência dedutiva e, como tal, 
admite alguns termos básicos e não definidos, a partir 
dos quais procuramos estabelecer outros.
Intuitivamente, temos a ideia do que vem a ser plano, 
reta e ponto. O cubo, na figura anterior, tem uma de suas 
faces apoiada num plano; qualquer uma das arestas, 
quando prolongadas indefinidamente, nos dá a ideia de 
reta; a intersecção de duas retas dá-nos a ideia de ponto.
Entretanto, plano, reta e ponto são entes geométri-
cos não definíveis, ou seja, são elementos primitivos na 
Geometria.
P
(ponto)
(reta)
(plano)
r
α
Ponto
O ponto não possui dimensão.
Sua representação geométrica pode ser indicada por 
uma letra maiúscula.
Reta
A reta é unidimensional e tem comprimento infinito. 
Sua representação geométrica costuma ser indicada por 
uma letra minúscula.
Plano
O plano é bidimensional, possui largura e compri-
mento infinitos e não possui espessura. Sua representa-
ção geométrica é convencionalmente indicada por uma 
letra minúscula do alfabeto grego.
Observações:
• O conjunto de todos os pontos denomina-se 
espaço. 
• O espaço é tridimensional.
Além desses entes primitivos, 
existem também as relações primi-
tivas entre entes primitivos: 
pertinência
continência
Aula 08
11Matemática 4D
Pertinência e continência
Para entender as relações de pertinência e continên-
cia, e diferenciá-las, observe os dois exemplos a seguir.
 • O ponto P pertence à reta r:
P
r
Simbolicamente: P r
 • O plano contém a reta r:
r
α
Simbolicamente: r
 Proposições geométricas
Por meio de atividades práticas, a humanidade 
descobriu propriedades geométricas. Constatou-se a 
possibilidade de se obter algumas propriedades a partir 
de outras, por dedução lógica.
Assim aparecem os axiomas (ou postulados) e os 
teoremas:
Axiomas ou postulados: são proposições aceitas 
como verdadeiras, não admitindo demonstrações for-
mais. Estabelecem relações entre os pontos, as retas e 
os planos.
Teoremas: são propriedades que podem ser dedu-
zidas a partir dos axiomas (ou postulados). Admitem 
demonstrações formais.
Observe, a seguir, alguns importantes axiomas (ou 
postulados) da Geometria.
 • Postulados da determinação:
(P.1) Dois pontos distintos determinam uma única 
reta que passa por eles.
A
B
r
r AB
� ��
(P.2) Três pontos não colineares determinam um 
único plano que passa por eles.
A
C
Bα = (A, B, C)
 • Postulado da inclusão:
(P.3) Se uma reta tem dois pontos distintos num pla-
no, então ela está contida no plano.
A
B
r
α
A ; B AB
� ��
 = r
 • Postulado de Euclides:
(P.4) Por um ponto não pertencente a uma reta exis-
te uma única reta paralela à primeira.
P
r
s
Ainda:
• Pontos colineares: são os pontos que pertencem 
a uma mesma reta.
• Pontos coplanares: são os pontos que perten-
cem a um mesmo plano.
• Espaço: é o conjunto de todos os pontos, todas 
as retas e todos os planos.
 Posições relativas / 
Paralelismos
Como foi visto na aula anterior, o ponto, a reta, o pla-
no e o espaço representam os objetos desta geometria.
Analisar os seus posicionamentos relativos é o princi-
pal objetivo do nosso estudo.
12 Semiextensivo
 Posições relativas entre 
retas
Observe a figura abaixo e o posicionamento dasretas que contêm as arestas indicadas.
β
t
α
r
s
As retas s e t estão contidas no plano . As retas r e t es-
tão contidas no plano . Por isso, são chamadas coplanares.
Retas coplanares
Duas retas são coplanares se, e somente se, admitem 
um mesmo plano capaz de contê-las simultaneamente. 
Duas retas coplanares podem ser paralelas, concorren-
tes ou coincidentes.
Retas paralelas
Retas paralelas são retas coplanares que não têm 
ponto em comum.
s
r
r s = 
Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes quando admitem um 
único ponto comum. Serão, então, sempre coplanares.
r
P
s
r s = {P}
Observação:
Duas retas concorrentes também podem 
chamar-se secantes ou incidentes.
Retas coincidentes 
Admitidas por alguns autores como um caso de retas 
ditas paralelas e iguais. Quando r é coincidente com s, 
escreve-se r s.
r ≡ s
Retas reversas
Observe agora, na figura inicial, as retas r e s. Note 
que é impossível imaginar um único plano capaz de 
contê-las. Temos então, nesse caso, as chamadas retas 
não coplanares ou reversas.
Duas retas são ditas reversas se, e somente se, não 
existe um único plano capaz de contê-las.
s
r
r s = 
Observação:
1. Se duas retas são paralelas a uma terceira, 
são paralelas entre si.
2. Dada uma reta r e um ponto P, não per-
tencente a r, pelo ponto P passa uma única reta 
paralela a r.
A afirmação número 2 é conhecida como Postulado 
de Euclides e representa um dos alicerces da Geometria 
Euclidiana.
 Determinação de um plano
A determinação de um plano constitui um estudo de 
grande importância na Geometria Euclidiana.
Um plano pode ser localizado no espaço, ou deter-
minado, de 4 diferentes maneiras. São elas:
1) Por três pontos não colineares:
A
B
Cα
Aula 08
13Matemática 4D
Reta contida no plano
α
A
B
r
r = r
Se r e possuem dois pontos em comum (possuirão 
infinitos), r está contida em .
Reta e plano concorrentes
r
P
α
 r = {P}
Se r e possuem um único ponto em comum, então 
são ditos concorrentes, secantes ou incidentes.
Uma condição para que uma reta seja paralela 
a um plano
A condição necessária e suficiente para que uma reta 
seja paralela a um plano é que, não estando contida 
nesse plano, seja paralela a uma reta desse plano.
r
s
α r//α
2) Por uma reta e um ponto fora dela:
r
A
α
3) Por duas retas concorrentes:
α
r
s
4) Por duas retas paralelas distintas:
s
r
α
Observe que a primeira maneira de localizar um pla-
no é uma decorrência do postulado P.4, da aula anterior, 
e, por sua vez, as três outras podem ser justificadas pela 
primeira.
Vamos estudar agora o posicionamento possível 
entre reta e plano.
 Posições relativas entre 
reta e plano
Considerando que nas dimensões respectivas ambos 
são infinitos, uma reta e um plano têm três posições 
relativas possíveis no espaço tridimensional.
Reta e plano paralelos
r
α
Se r e não possuem ponto em comum, são ditos 
paralelos.
r = 
14 Semiextensivo
 Posições relativas entre 
planos 
No espaço tridimensional um plano tem duas di-
mensões. Portanto existem, a rigor, duas possibilidades: 
dois planos podem ser paralelos ou concorrentes.
Planos paralelos
Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não 
têm ponto em comum.
α
β
 e são paralelos.
 = 
Planos concorrentes
Dois planos são ditos concorrentes se, e somente se, 
eles se intersectam.
A intersecção será sempre uma reta.
α
β
r
 = r
Observações:
1. Planos concorrentes também são chama-
dos de secantes ou incidentes.
2. Por uma reta r passam infinitos planos.
αγ
β
3. Planos coincidentes: 
Também admitido por alguns autores que os 
denominam planos paralelos e iguais. 
α ≡ β
 Perpendicularismos
Perpendicularidades na 
Geometria Euclidiana
Nesta aula discutiremos, dentro da Geometria de 
Posição, o ângulo de 90° nas suas várias nuanças.
(Nuanças = sutis diferenças.)
Perpendicularidade entre retas
Temos duas possibilidades:
Retas perpendiculares
É um caso particular de retas concorrentes que, ao se 
intersectarem, formam um ângulo reto.
r
s
r s
Retas ortogonais
Uma forma de medir o ângulo entre duas retas re-
versas r e s é traçando uma paralela a uma delas, por um 
ponto qualquer da outra, e medindo o ângulo formado 
por essas concorrentes. Se esse ângulo for reto, teremos 
que r e s são retas ortogonais.
Observação:
O ângulo das retas r e s é também chamado, 
por definição, ângulo das direções de r e s. Assim, 
as direções de r e s são ortogonais se, e somente 
se, r e s forem ortogonais. Portanto, essa definição 
atende também às retas perpendiculares.
Portanto, retas perpendiculares traduzem um 
caso especial de ortogonalidade. A recíproca não é 
verdadeira, pois as retas perpendiculares traduzem 
o ângulo de 90° entre duas retas concorrentes.
s s’
r
α
s //s’ e s’ r
s //s’ e s’ r
Se , então r e s 
são ortogonais 
Aula 08
15Matemática 4D
Vejamos outra ilustração:
r
s
s’
s //s’ e r s’ ⇒ r e s são ortogonais.
Perpendicularidade entre reta e 
plano
Uma reta é perpendicular a um plano se, e somente 
se, é concorrente com o plano e é perpendicular a todas 
as retas, contidas nesse plano, que passam pelo ponto 
de intersecção.
r
P
c
b
a
α
r ∩  = {P} e: r a; r b; ... 
Como consequência da definição de ortogonalidade 
entre retas, uma reta perpendicular a um plano será 
ortogonal a todas as retas do plano.
r’//r
r’’//r
r’
r r ”
α
Observação:
Ao contrário da perpendicularidade e ortogonali-
dade entre retas, para reta e plano os termos são sinô-
nimos. Ou seja, reta perpendicular a um plano ou reta 
ortogonal a um plano são expressões equivalentes.
Uma condição para que uma reta seja 
perpendicular a um plano
Uma condição necessária e suficiente para que uma 
reta seja perpendicular a um plano é que ela seja orto-
gonal a duas retas concorrentes desse plano.
Exemplo:
A reta é perpendicular a duas retas concorrentes do 
plano.
α
r
a
b
Perpendicularidade entre planos
Planos perpendiculares
Dois planos são ditos perpendiculares se, e somente 
se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
r
α
β
Em símbolos:
r e r
Dois planos perpendiculares também podem ser 
chamados de ortogonais, ou seja, nessa condição os 
termos são sinônimos.
01. (UFPR) – Se r é paralela ao plano , então:
a) r é paralela a qualquer reta de .
b) todas as paralelas a r pertencem a .
c) existe em apenas uma reta paralela a r.
d) existe em uma reta paralela a r.
e) existem em apenas duas retas paralelas a r.
02. (PUCPR) – Assinale a alternativa incorreta.
a) Uma reta paralela a um plano é paralela a infinitas retas desse plano.
b) Se dois planos são paralelos, toda reta contida em um deles é paralela ao outro.
c) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ao outro.
d) Se dois planos são paralelos, toda reta de um deles é paralela ou reversa a qualquer reta do outro.
e) Uma reta contida em um plano é paralela a infinitas retas desse plano.
03. (UFSC) – Some as afirmações corretas:
01) Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes.
02) Se duas retas r e s, no espaço, são ambas perpendiculares a uma reta t, então r e s são paralelas.
04) Duas retas concorrentes determinam um único plano.
08) Se dois planos A e B são ambos perpendiculares a um outro plano C, então A e B são planos paralelos.
16) Se duas retas r e s são paralelas a um plano A, então r e s são paralelas.
04. (UEL – PR) – Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere as afirmativas:
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano.
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único plano que contém r e é paralelo a s.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II b) I e IV c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV
16 SemiextensivoSituações para resolver
Testes
Assimilação
08.01. (VUNESP – SP) – Seja um plano e b uma reta não 
perpendicular a . Então,
a) não existe plano, passando por b, perpendicular a .
b) existem, no mínimo, dois planos passando por b e per-
pendiculares a .
c) existe um e um só plano passando por b e perpendicular 
a .
d) existe uma infinidade de planos passando por b e per-
pendiculares a .
e) todo plano passando por b não é perpendicular a .
08.02. (PUCSP) – Assinale a afirmação verdadeira.
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendi-
culares entre si.
c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas 
entre si.
d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpen-
diculares entre si.
08.03. (UFPR) – Dadas as afirmações abaixo:
I. Dois pontos distintos determinam uma reta.
II. Uma reta que tenha um ponto sobre um plano está 
contida nesse plano.
III. Três pontos não alinhados determinam um plano.
IV. Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente 
se, ela é perpendicular a uma reta de α que passe pelo 
ponto em que r intersecta .
são verdadeiras:
a) I e III
d) II e IV
b) I e IV 
e) III e IV
c) II e III
08.04. (ACAFE – SC) – Dadas as afirmações:
I. Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
II. Duas retas concorrentes são coplanares.
III. Duas retas distintas determinam um plano.
IV. Três pontos não colineares determinam um plano.
A alternativa contendo as afirmações verdadeiras é:
a) I e III
d) I, III e IV
b) I, II e IV
e) I, II, III e IV
c) II e III
08.05. (UEL – PR) – As retas r e s foram obtidas prolongan-
do-se duas arestas de um cubo, como está representado na 
figura a seguir.
r
s
Sobre a situação dada, assinale a afirmação incorreta.
a) r e s são retas paralelas.
b) r e s são retas reversas.
c) r e s são retas ortogonais*.
d) não existe plano contendo r e s.
e) r s = 
Aula 08
17Matemática 4D
Aperfeiçoamento
08.06. (PUCPR) – Dadas as afirmações:
I. Se duas retas r e s são reversas, então não existe plano 
paralelo a r e s.
II. Se uma reta é ortogonal a duas retas paralelas de um pla-
no, então ela é necessariamente perpendicular ao plano.
III. Quatro pontos não coplanares determinam exatamente 
quatro planos.
IV. Se dois planos são perpendiculares, toda a reta perpen-
dicular a um deles será paralela ao outro.
a) Apenas uma afirmativa é falsa.
b) Duas afirmativas são falsas.
c) Três afirmativas são falsas.
d) Todas as afirmativas são falsas.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
08.07. (UNESP – SP) – Considere o cubo da figura adiante.
O
A
D
B
C
GH
E F
Das alternativas a seguir, aquela correspondente a pares de 
vértices que determinam três retas, duas a duas reversas, é:
a) (A, D); (C, G); (E, H)
c) (A, H); (C, F); (F, H)
e) (A, D); (C, G); (E, F)
b) (A, E); (H, G); (B, F) 
d) (A, E); (B, C); (D, H)
08.08. (UEM – PR) – Sejam e dois planos (distintos) pa-
ralelos, e r uma reta qualquer. Assinale a alternativa incorreta.
a) Se r está contida em , então r é paralela a .
b) Se r é perpendicular a , então r é perpendicular a .
c) Se r é perpendicular a uma reta s em , então r é per-
pendicular a .
d) Se é um plano secante a , então é secante a .
e) Se r pertence a , então existem retas de reversas a r.
08.09. (UNIPAR – PR) – Analise as proposições abaixo:
I. Se duas retas distintas são paralelas entre si, então existe 
apenas um plano que as contém.
II. Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, 
então elas são coplanares.
III. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é 
perpendicular a qualquer reta do plano.
Podemos afirmar que
a) somente as proposições I e II estão corretas.
b) somente as proposições I e III estão corretas.
c) somente as proposições II e III estão corretas.
d) somente a proposição II está correta.
e) as proposições I, II e III estão corretas.
08.10. (VUNESP – SP) – Das afirmações abaixo: 
I. Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são 
coplanares.
II. Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas 
entre si.
III. Se um plano intercepta dois outros planos em retas 
paralelas, então os dois planos são paralelos.
temos que:
a) apenas uma é falsa.
b) apenas uma é verdadeira.
c) apenas duas são verdadeiras.
d) todas são falsas.
e) todas são verdadeiras
18 Semiextensivo
08.11. (UEM – PR) – Sabendo que r, s e t são três retas no 
espaço tridimensional, com r e s paralelas distintas, assinale 
o que for correto.
01) Se a reta r é perpendicular a um plano , então a reta s 
também é perpendicular ao plano .
02) Se a reta t é concorrente com a reta s, então t também 
é concorrente com a reta r.
04) Se um plano contém a reta s, então o plano tam-
bém contém a reta r. 
08) Se a reta t é perpendicular à reta r, então t é perpendicular 
ou ortogonal à reta s.
16) Se as três retas r, s e t são paralelas distintas, então exis-
te um plano que contém as três retas.
08.12. (UEM – PR) – Sobre as posições relativas entre 
pontos, retas e planos no espaço, assinale o que for correto.
01) Dadas duas retas, existe um único plano que contém 
ambas.
02) Dados dois planos não paralelos, existe uma reta per-
pendicular a ambos. 
04) Três pontos não colineares determinam um único pla-
no.
08) Se uma reta r é perpendicular a um plano , então 
qualquer reta perpendicular a r ou é paralela ao plano 
, ou está inteiramente contida nele. 
16) Dados uma reta r e um ponto P, fora de r, existe um 
único plano que é perpendicular a r e que contém o 
ponto P.
Aprofundamento
08.13. (FUVEST – SP) – Sejam r e s duas retas distintas. 
Podemos afirmar que sempre
a) existe uma reta perpendicular a r e a s.
b) r e s determinam um único plano.
c) existe um plano que contém s e não intercepta r.
d) existe uma reta que é paralela a r e a s.
e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.
08.14. (UFPR) – Com base nos estudos de Geometria, é 
correto afirmar:
01) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos 
são, necessariamente, paralelos entre si.
02) Se dois planos são paralelos entre si, então qualquer 
reta perpendicular a um desses planos é perpendicular 
ao outro plano.
04) Se uma reta r é perpendicular ao plano no ponto P, 
então qualquer reta de que passa por P é perpendicu-
lar a r.
08) Se uma reta r é paralela ao plano , então qualquer 
reta de é paralela a r.
16) Se o plano é perpendicular ao plano , então qual-
quer outro plano que seja perpendicular a é paralelo 
a .
08.15. (UEPG – PR) – Considerando a figura abaixo, onde 
a reta r é perpendicular ao plano e s é uma reta desse 
mesmo plano, assinale o que for correto. 
r
α
P M
θ1
θ2
N
s
01) r e s são perpendiculares. 
02) r e s determinam um plano perpendicular a . 
04) O triângulo PMN é equilátero. 
08) r pertence a . 
16) A soma dos ângulos 1 e 2 é 90°.
Aula 08
19Matemática 4D
08.16. (UNICAMP – SP) – Das afirmações abaixo, a única 
verdadeira é:
a) Se uma reta fura um plano, então existe mais que um 
ponto comum entre eles.
b) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é 
uma reta.
c) Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a 
um deles é perpendicular ao outro.
d) Dados dois planos paralelos, se um outro plano corta os 
dois dados, as intersecções são retas reversas.
e) Dados uma reta e um plano, é sempre possível traçar no 
plano uma paralela à reta dada.
08.17. (ITA – SP) – Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Três pontos distintos dois a dois determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal 
ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste 
plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano.
e) Se é o plano determinado por duas retas concorrentes 
r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, 
não será paralela à reta s.
08.18.(ITA – SP) – Quais as sentenças falsas nos itens 
abaixo?
I. Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles 
sempre interceptam o outro plano.
II. Sejam dois planos. Se em um deles existem duas retas 
distintas, paralelas ao outro plano, os planos são sempre 
paralelos.
III. Em dois planos paralelos, todas as retas de um são para-
lelas ao outro plano. 
IV. Se uma reta é paralela a um plano, neste existe uma 
infinidade de retas paralelas àquela reta.
V. Se uma reta é paralela a um plano, será paralela a todas 
as retas do plano.
a) I, II, III 
d) II, III, IV
b) I, II, V
e) n.r.a
c) I, III, IV
Discursivos
08.19. Dois segmentos são denominados reversos se, e somente se, não existir um plano que os contenha simultaneamente. 
Na figura a seguir está representado o tetraedro ABCD.
Determine quais são os pares de arestas reversas e quais são os pares de arestas concorrentes.
A
B
C
D
20 Semiextensivo
Gabarito
08.01. c
08.02. c
08.03. a
08.04. b
08.05. a
08.06. c
08.07. e
08.08. c
08.09. a
08.10. b
08.11. 09 (01, 08)
08.12. 28 (04, 08, 16)
08.13. a
08.14. 06 (02, 04)
08.15. 19 (01, 02, 16)
08.16. c
08.17. e
08.18. b
08.19. Os pares de arestas reversas são:
AB e CD AC e BD AD e BC; ; .
Os pares de arestas concorrentes são:
AB e AC AB e AD AB e BC AB e BD; ; ; ;
AC e AD AC e BC AC e CD AD e BD; ; ; ;
AD e CD BC e BD BC e CD BD e CD; ; ; ;
08.20. A afirmação é verdadeira. 
Podemos justificar utilizando o teorema que afirma que, dadas 
duas retas reversas, existe uma única reta perpendicular às duas. 
Observe a figura:
s
t
r
Sejam r e s retas reversas e t a perpendicular comum. Todos os planos 
perpendiculares à reta t serão paralelos às retas r e s, simultaneamente. 
Assim, existem infinitos planos paralelos às duas retas reversas.
08.20. Considere a seguinte afirmação:
“Se duas retas são reversas, existem infinitos planos paralelos às duas.”
A afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique, utilizando argumentos ou uma ilustração.
Aula 08
21Matemática 4D
22 Semiextensivo
 
Anotações