ELEMENTOS DE EUCLIDES n195

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EUCLIDES
A proposição 26. do livro 6. não vem enunciada com tôda aquela 
generalidade que podia ter. Porque não somente dois paralelogramos 
semelhantes e semelhantemente postos, e que têm um ângulo comum, 
existem ao redor da mesma diagonal; mas também dois paralelogramos 
semelhantes e semelhantemente postos, tôdas as vêzes que um ângulo de um 
dêles é verticalmente oposto a outro ângulo do outro, têm as diagonais em 
direitura uma de outra. Parece pois que a demonstração dêste segundo caso 
devia ser diferente, direta, porém, e deduzida da proposição 32., a qual se 
pode demonstrar com maior brevidade, e do modo seguinte: . 
PROP. XXXII. DO LIV. VI.
Se dois triângulos, nos quais dois lados de um são proporcionais a dois 
lados do outro, se dispuserem entre si de maneira que, tocando-se com dois 
ângulos, os lados homólogos sejam respectivamente paralelos; os outros lados 
dos mesmos triângulos estarão em direitura um com outro (Fig. 9).
Sejam os dois triângulos GAP, HFO, e sejam os lados AG, GF do 
primeiro proporcionais aos lados FH, HC do segundo, isto é, seja 
AG:GF::FH:HC. Suponhamos também serem paralelas tanto as retas GA, HF, 
como as retas GF, HO. Digo que o lado AF está em direitura do lado FC.
Tire-se a reta CK paralela (Pr. 31.1.) a FH, e que encontre a outra GF 
produzida no ponto K. Como cada uma das retas AG, KC é paralela à mesma 
FH, serão paralelas (Pr. 30.1.) entre si também as duas AG, KC, e por 
conseqüência serão iguais os ângulos AGF, FKC, por serem êstes ângulos 
alternos. Mas temos suposto ser AG:GF::FH:HC, e é também FH:HC::CK:KF, 
visto ser FH = CK, e HC = KF (Pr. 34. 1.), e assim temos AG:FG::CK :KF; e de 
mais são iguais os ângulos formados pelos lados AG, GF, e pelos outros CK, 
KF. Logo, os triângulos AGF, CKF são eqüiângulos (Pr. 6.6.), e por 
conseqüência deve ser o ângulo AFG = CFK. Mas GFK é uma só linha reta. 
Logo, o lado AF deve estar em direitura (Pr. 14.1.) do lado FC.
Pode-se pois demonstrar a proposição 26, pela dita proposição 32, 
dêste modo.
Se dois paralelogramos semelhantes e semelhantemente postos 
tiverem um ângulo comum, ou tiverem ângulos verticalmente opostos, as 
diagonais dos ditos paralelogramos existirão em uma só e a mesma linha reta 
(Fig. 9).
Tenham em primeiro lugar os paralelogramos ABCD, AEFG o ângulo 
comum BAD, e sejam os mesmos paralelogramos semelhantes e 
semelhantemente postos. Digo que as diagonais dos paralelogramos ABOD, 
AEFG existem em uma mesma linha reta.
Considerem-se produzidos os lados EF, GF até. os pontos H, K, e sejam 
tiradas as retas FA, FC. Sendo pela hipótese semelhantes os paralelogramos 
ABCD, AEFG, será DA:AB::GA:AE, e por conseqüência será também 
DG:EB::GA:AE (Cor. 19.5.). Mas é DG = FH, e EB = HC, e AE = GF. Logo, será 
FH:HC::AG:GF. Mas tanto os lados FH, AG, como os lados HC, GF são 
paralelos entre si; e os triângulos AGF, FHC se tocam pela parte dos ângulos 
AFG, CFH no ponto F. Logo, a reta AF está em direitura (Pr. 32.6.) da reta FC, 
ELEMENTOS DE GEOMETRIA 195