Livro Geometria com construções geométricas Unicesumar

Prévia do material em texto

GEOMETRIA COM 
CONSTRUÇÕES 
GEOMÉTRICAS
Professora Me. Regiane Aparecida Nunes de Siqueira
Professor Esp. Fernando Marcussi
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; SIQUEIRA, Regiane Aparecida Nunes de; MARCUSSI, 
Fernando. 
Geometria com Construções Geométricas. Regiane Apareci-
da Nunes de Siqueira; Fernando Marcussi. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. Reimpressão 2021.
152 p.
“Graduação - EaD”.
1. Geometria. 2. Construções Geométricas . EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-1005-3
CDD - 22 ed. 516
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Impresso por:
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor Executivo de EAD
William Victor Kendrick de Matos Silva
Pró-Reitor de Ensino de EAD
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Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Diretoria Executiva
Chrystiano Minco�
James Prestes
Tiago Stachon 
Diretoria de Graduação e Pós-graduação 
Kátia Coelho
Diretoria de Permanência 
Leonardo Spaine
Diretoria de Design Educacional
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Head de Produção de Conteúdos
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Tania Cristiane Yoshie Fukushima
Gerência de Produção de Conteúdo
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Gerência de Curadoria
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Supervisão de Produção de Conteúdo
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Designer Educacional
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Iconografia
Isabela Soares Silva
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Editoração
Robson Yuiti Saito
Qualidade Textual
Produção de Materiais
Ilustração
Bruno Cesar Pardinho
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. 
Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns 
e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das dis-
cussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe 
de professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
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Professora Me. Regiane Aparecida Nunes de Siqueira
Possui Graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual 
de Ponta Grossa (2002), Especialização em Educação Científica e Tecnológica 
pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná (2007), Mestrado em 
Ciências. Área de Concentração: Física pela Universidade Estadual de Ponta 
Grossa (2007) e Doutorado em Ciências. Área de Concentração: Física pela 
Universidade Estadual de Ponta Grossa (2015). Compõe o corpo docente das 
Faculdades Ponta Grossa - FacPG e Sagrada Família - FASF, da Universidade 
tecnológica Federal do Paraná - UTFPR e da Secretaria de Estado da Educação 
do Paraná - SEED.
Professor Esp. Fernando Marcussi
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 
(2010), Especialização em Auditoria e Controladoria pelo Centro Universitário 
Cesumar (2014) e Especialização em EAD e as Tecnologias Educacionais a 
Distância pelo Centro Universitário Cesumar (2017). Atualmente é Professor 
Mediador do Centro Universitário Cesumar e Professor com dedicação Parcial 
do Instituto Eficaz. Tem experiência na área de Matemática Aplicada, Cálculo 
e Matemática Financeira.
SEJA BEM-VINDO(A)!
O livro Geometria com Construções Geométricas é destinado aos alunos do Curso de Li- 
cenciatura em Matemática e visa ao ensino da Geometria com a utilização de materiais 
tais como régua, compasso e transferidor.
O objetivo deste livro é criar condições para que você, estudante, possa compreender 
as ideias básicas da Geometria atribuindo significado a elas, além de saber aplicá-las na 
reso- lução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos foram explorados de maneira instituível e compreensível. As 
re- ceitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém, foi mantido o rigor 
coerente com o nível superior para o qual o livro está sendo proposto.
Dessa forma, este livro foi desenvolvido a fim de apresentar a Geometria de maneira a 
atender aos seguintes aspectos:
• Definir a área de abrangência da Geometria.
• Apresentar os conceitos fundamentais de cada tema constante da área de 
abrangên- cia da disciplina.
• Indicar como os temas devem ser inseridos no Ensino da Matemática fazendo 
uso de materiais.
Para este fim, o livro foi organizado em 5 unidades e cada unidade composta por Intro-
du- ção, Conteúdos, Considerações Finais,Atividades de Autoestudo, Leitura Comple-
mentar e Material Complementar.
Antes de resolver as Atividades de Autoestudo, é necessário que você estude a teoria, 
ana- lise e refaça os exemplos. Também é importante refletir sobre as considerações 
propostas em cada unidade.
A Leitura Complementar está relacionada com a unidade e dá uma ideia do tema estu-
dado além de poder apresentar uma abordagem histórica sobre o assunto discutido.
O livro engloba todos os assuntos costumeiramente trabalhados no curso de Geome-
tria, além de auxiliá-lo(a) formação para o Ensino da Matemática fazendo uso dos mate-
riais. As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho ser ao sempre 
bem-vindas.
Os autores
APRESENTAÇÃO
GEOMETRIA COM CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A 
CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
15 Introdução
16 Conceitos 
17 Proposições 
19 Retas 
29 Ângulos 
38 Considerações Finais 
42 Gabarito 
UNIDADE II
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
47 Introdução
48 Construção de Retas 
51 Construção de Ângulos 
54 Triângulos 
62 Construção de Triângulos 
64 Quadriláteros 
67 Construção de Quadriláteros 
68 Considerações Finais 
73 Gabarito 
SUMÁRIO
10
UNIDADE III
REGIÕES POLIGONAIS, CIRCUNFERÊNCIAS E SEMELHANÇA DE 
FIGURAS
79 Introdução
80 Regiões Poligonais 
84 Construção de Polígonos 
87 Circunferências 
91 Construção de Circunferências 
93 Semelhança de Figuras 
94 Construção de Figuras Semelhantes 
96 Considerações Finais 
103 Gabarito 
UNIDADE IV
POLIEDROS, PRISMA, PIRÂMIDE
111 Introdução
112 Poliedros 
114 Prismas 
117 Pirâmide 
120 Considerações Finais 
126 Gabarito 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
CILINDRO, CONE E ESFERA
133 Introdução
134 Cilindro 
136 Cone 
139 Esfera 
142 Considerações Finais 
148 Gabarito 
151 Conclusão
152 Referências
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D
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Professora Me. Regiane Aparecida Nunes de Siqueira
Professor Esp. Fernando Marcussi
CONCEITOS ELEMENTARES 
DE GEOMETRIA ALIADOS A 
CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender os conceitos elementares da geometria: ponto, reta e plano
 ■ Determinar posições relativas entre os elementos fundamentais
 ■ Construir os elementos fundamentais
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Conceitos
 ■ Proposições
 ■ Retas
 ■ Ângulos
INTRODUÇÃO
A palavra Geometria vem do grego: geo - terra, metria - medida e indica o ramo 
da matemática destinado a resolver questões de forma, tamanho e posição rela-
tiva de figuras e ainda questões com propriedades do espaço.
A geometria teve início de forma independente em culturas antigas, como 
sendo um con- junto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e 
volume. Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axio-
mática por Euclides, cujo tratamento, cha- mado de geometria euclidiana, 
estabeleceu um padrão que perdurou por séculos.
A geometria é aplicada em diversas áreas da atividade humana. Uma evidên-
cia muito forte desse uso é encontrada na arquitetura. A geometria de posição 
é fundamental para viabilizar a elaboração de projetos estruturais cujas formas 
arquitetônicas situam-se entre o limite da Matemática e da Física.
A natureza desperta a admiração do homem por sua beleza, harmonia de cores 
e perfei- ção das formas, incentivando-o a estudar essas formas encontradas e com-
preender suas relações perfeitas. O homem começou a imitar a natureza em suas 
próprias construções, produzindo assim edificações cada vez mais rígidas e perfeitas.
A geometria desenvolve o pensar geométrico ou o raciocínio visual. Se essa 
matéria é deixada de lado, alguns transtornos podem ser causados no dia a dia 
do aluno, pois em seu cotidiano este deve ter noção de paralelismo, perpendicu-
larismo, medição (comprimento, perímetro, área, volume), simetria, seja pelo 
visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão ou na comunicação oral.
A importância da geometria na vida do homem é constante e hoje o seu 
estudo é inserido no ensino da Matemática desde os primeiros anos escolares. 
No entanto, são notórias a dificuldade no aprendizado e a falta de motivação no 
estudo da geometria. A utilização de materiais como régua e compasso no estudo 
da geometria pode auxiliar no desenvolvi- mento cognitivo, trazendo assim uma 
melhor aprendizagem e compreensão da geometria.
A seguir, serão apresentados alguns conceitos geométricos fundamentais 
que irão auxi- liar o(a) futuro(a) professor(a) de matemática a compreender a 
geometria e dessa forma trabalhar com seus alunos a fim de desenvolver o pen-
sar geométrico ou o raciocínio visual.
Introdução
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CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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CONCEITOS
Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. Os concei-
tos pri-mitivos são construídos sem definição. Serão adotados sem definir os 
conceitos de ponto, reta e plano. Para o ponto, a reta e o plano têm-se conhe-
cimentos intuitivos decorrentes da experiência e observação, são adotadas sem 
definição, ou seja, existe ponto, existe reta e existe plano.
Notação com letras:
Ponto - é concebido como algo sem dimensão, sem massa e sem volume, 
representado por letras maiúsculas latinas: A, B, C...
Reta - é concebida sem espessura, sem começo e sem fim e representadas 
por letras mi- núsculas latinas: a, b, c...
Plano - é concebido sem espessura e sem fronteiras, representado por 
letras gregas mi- núsculas: α, β, γ...
Proposições
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Notação gráfica:
Fonte: Dolce (1993).
PROPOSIÇÕES
As proposições geométricas são aceitas mediante demonstrações. As proposi-
ções primitivas, também denominadas postulados ou axiomas, são aceitas sem 
demonstrações.
Postulado da existência:
1. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
2. Num plano existem infinitos pontos.
A expressão infinitos pontos tem significado de tantos pontos quanto se queira.
GEOMETRIA DE POSIÇÃO NO PLANO
No estudo da Geometria é comum, e adequado, usar objetos do cotidiano como 
modelos aproximados para os conceitos geométricos. Por exemplo, para a ideia de 
ponto, costuma- se pensar em uma marca de giz na lousa ou em um ponto-final. 
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Para a ideia de reta, costuma-se usar um fio esticado. E para a ideia de plano é 
comum usar uma folha de papel.
POSTULADOS
POSTULADO DA DETERMINAÇÃO DA RETA
Dois pontos determinam uma única (uma, e só uma) reta que passa por eles.
Fonte: Souza (2013).
POSTULADO DA DETERMINAÇÃO DO PLANO
Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
Fonte: Souza (2013).
POSTULADO DA INCLUSÃO
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então essa reta está contida nesse 
mesmo plano.
Fonte: Souza (2013).
Retas
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DEFINIÇÕES
 ■ Pontos coplanares são pontos que pertencem ao mesmo plano.
 ■ Figura é qualquer conjunto de pontos.
 ■ Figura plana é qualquer figura que tem todos os seus pontos no mesmo plano.
 ■ A geometria plana estuda as figuras planas.
 ■ Duas retas são concorrentes, quando elas têm um único ponto comum.
 ■ Duas retas distintas num plano são paralelas quando não têm ponto em 
comum.
RETAS
RELAÇÃO ENTRE UM PONTO E UMA RETA
O ponto A pertenceà reta s.
Fonte: Souza (2013).
O ponto B não pertence à reta s.
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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RELAÇÃO ENTRE PONTOS
Dados os pontos A e B pertencentes a uma reta r, enquanto o ponto C não per-
tence à reta r. Indicamos que A ∈ r, B ∈ r e C ∉ r.
Dizemos que os pontos A e B estão alinhados e, portanto, são ditos colineares.
Da mesma forma, se os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que 
passa pelos três).
D
E
Fonte: Souza (2013).
Os pontos A, D e E não são colineares (não existe reta que passa pelos três 
simultaneamente).
Dois pontos são sempre colineares.
RELAÇÃO ENTRE DUAS RETAS DE UM PLANO
As retas c e m são distintas e paralelas.
Fonte: Souza (2013).
As retas b e c são concorrentes.
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Fonte: Souza (2013).
As retas p e n são concorrentes e perpendiculares, ou seja, são concorrentes 
entre si e formarem um ângulo reto.
p
n
Fonte: Souza (2013).
As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais).
Fonte: Souza (2013).
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Uma transversal a duas retas r e s, é uma reta que as interceptam em dois pon-
tos distintos, mas as retas r e s não precisam ser necessariamente paralelas para 
que uma reta seja transversal a outras duas retas, conforme é ilustrado abaixo, 
onde temos t interceptando r e s nos pontos P e Q, respectivamente, e r e s se 
interceptando no ponto R.
Fonte: Franco (2006)
Sejam r e t duas retas e A um ponto pertencentes a um plano a. Se essas retas 
estão contidas em a, então todos os seus pontos pertencem a a. Dessa forma, 
indicamos: A ∈ a, r ⊂ a e t ⊂ a. Neste caso, dizemos que r e t são coplanares.
Fonte: o Autor.
SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o 
conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.
A noção de “estar entre” é uma noção primitiva que obedece aos postula-
dos ou axiomas que seguem:
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Quaisquer que sejam os pontos A, B e P :
1. Se P está entre A e B, então A, B e P são colineares.
2. Se P está entre A e B, então A, B e P são distintos dois a dois.
3. Se P está entre A e B, então A não está entre P e B nem B está entre A e P .
4. Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe 
um ponto P que está entre A e B.
Fonte: Dolce (1993).
SEMIRRETA
Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta AB com o con-
junto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semirreta AB indicada por .
Fonte: Dolce (1993).
SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de 
um deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide 
com uma extremidade do outro).
Fonte: Dolce (1993).
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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SEGMENTOS COLINEARES
Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, estão numa mesma reta.
SEGMENTOS ADJACENTES
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, pos-
suem em comum apenas uma extremidade (não têm pontos internos comuns).
Fonte: Dolce (1993).
CONGRUÊNCIA DE SEGMENTOS
A congruência (símbolo ≡) de segmentos é uma noção primitiva que satisfaz os 
seguintes postulados:
1. Reflexiva: Todo segmento é congruente a si mesmo: AB ≡ AB. 
2. Simétrica: Se AB ≡ CD, então CD ≡ AB.
3. Transitiva: Se AB ≡ CD e CD ≡ EF , então AB ≡ EF .
POSTULADO DO TRANSPORTE DE SEGMENTOS
Dados um segmento AB e uma semirreta de origem A´, existe sobre esta semir-
reta um único ponto B´ tal que A´B´ seja congruente a AB.
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ADIÇÃO DE SEGMENTOS
Dados dois segmentos AB e CD, tomando-se numa semirreta qualquer de ori-
gem R os segmentos adjacentes RP e PT tais que 
RP ≡ AB e P T ≡ CD, (I.1)
o segmento RT é a soma de AB com CD.
O segmento RS, que é a soma de n segmentos congruentes a AB, é múlti-
plo de AB segundo n (RS = n. AB). Se RS = n.AB, então AB é submúltiplo de RS 
segundo n.
COMPARAÇÃO DE SEGMENTOS
Dados dois segmentos AB e CD, pelo postulado do transporte é possível obter na 
semirreta um ponto P tal que AP ≡ CD. Têm-se três hipóteses a considerar:
Fonte: Dolce (1993).
1ª) O ponto P está entre A e B. Neste caso, AB é maior que CD (AB > CD).
2ª) O ponto P coincide com B. Caso em que AB é congruente a CD (AB ≡ CD). 
3ª) O ponto B está entre A e P . Caso em que AB é menor que CD (AB < CD).
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Um ponto M é ponto médio do segmento AB se, e somente se, M está entre A 
e B e AM ≡ MB.
M ∈ AB e MA ≡ MB (I.2)
DISTÂNCIAS
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos, A e B, a distância entre A e B é a medida do seg-
mento AB.
Fonte: Paiva (2013)
Será adotada a notação AB para o segmento e AB para a medida do segmento.
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
Dados um ponto P e uma reta r, pode-se traçar uma reta que passa por P e é 
perpendicular a r no ponto A. A distância do ponto P à reta r é a distância entre 
os pontos P e A.
Fonte: Paiva (2013).
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DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO
Dados um ponto P e um plano a, é possível determinar P´, que é a projeção 
ortogonal de P sobre a. A distância do ponto P ao plano a é a distância entre 
os pontos P e P´.
Fonte: Paiva (2013).
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS DISTINTAS E PARALELAS
Segundo postulado de Euclides, por um ponto P fora de uma reta a, existe uma 
e uma só reta paralela à reta a.
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a distância entre r e s é a distância 
de qualquer ponto de uma delas à outra reta.
Fonte: Paiva (2013).
A distância entre duas retas concorrentes é nula, isto é, igual a zero.
DISTÂNCIA DE UMA RETA A UM PLANO QUANDO A RETA É PARA-
LELA AO PLANO E NÃO ESTÁ CONTIDA NELE
Dados a reta r e o plano α tais que r//α, a distância da reta r ao plano α é a dis-
tância de qualquer ponto de r ao plano α.
CONCEITOS ELEMENTARES DE GEOMETRIA ALIADOS A CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Fonte: Paiva (2013).
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS E PARALELOS
Dados dois planos distintos, α e β, tais que α//β, a distância entre esses dois pla-
nos é a distância de qualquer ponto de um deles ao outro plano.
Fonte: Paiva (2013).
OBSERVAÇÃO: Quando dois planos distintos não são paralelos (nem coinciden-
tes), então eles se interceptam segundo uma reta, e a distância entre eles é zero.
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS
Dizemos que duas retas são reversas entre si se não existe plano que as contenha.
Dadas duas retas reversas, r e s, considerando um ponto qualquer de r e o 
plano que contém s e é paralelo a r. A distância entre r e s é a distância desse 
ponto a esse plano.
Fonte: Paiva (2013).
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ÂNGULOS
DEFINIÇÃO
Um ângulo é a reunião de duas semirretas que têm a mesma origem, mas estão con-
tidas numa mesma reta. Se um ângulo é formado pelas semirretas e então as 
semirretas são chamadas lados do ângulo, e o ponto A é chamado vértice do ângulo.
Tal ângulo é denominado ângulo BAC ou ângulo CAB e representado por 
BÂC ou CÂB, respectivamente. Algumas vezes, quando está claro no texto, é 
simplesmente denominado ângulo A e representado por Â.
Fonte: Rezende (2008).
Na definição acima, ângulo é simplesmente um conjunto que é a união de duas 
semirretas de mesma origem não contidas na mesma reta. Esta definição é adequada 
para quase todo o desenvolvimento da Geometria Euclidiana. Os ângulos orienta-
dos, nos quais são destacados o lado inicial e final, definem um ângulo de medida 
zero quando os lados inicial e final são coincidentes ou um ângulo de medida 180, 
quando os lados são opostos. Ângulos orientados, ou mais geralmente, ângulos 
cuja medida é um número real qualquer, são usados também na trigonometria.
ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é também 
lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro). Assim, 
temos que os ângulos AÔB e AÔC são consecutivos.
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Fonte: o Autor.
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos inter-
nos comuns. Assim, os ângulos AÔC e CÔB são ângulos adjacentes.
Fonte: o Autor.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são 
as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
Temos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice, assim como 
AÔD e BÔC.
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Fonte: o Autor.
Note que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos 
pelo vértice.
ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E CORRESPONDENTES
Consideremos duas retas r e s cortadas por uma transversal t, nos pontos P e Q, 
respectivamente. Sejam A, B, C, D, E e F, conforme desenho abaixo. Os pares de 
ângulos (A F , E B) e (C F , E D) são denominados ângulos alternos internos. 
Os pares de ângulos (E A, E D), (E C, E B), (C F , B F ) e (A F , D F ) 
são denominados ângulos correspondentes.
Fonte: Franco (2006).
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IU N I D A D E32
CONGRUÊNCIA E COMPARAÇÃO
A congruência (símbolo ≡) entre ângulos é uma noção primitiva que satisfaz os 
seguintes postulados:
1. Reflexiva: Todo ângulo é congruente a si mesmo: Â ≡ Â. 
2. Simétrica: Se  ≡ , então ≡ Â.
3. Transitiva: Se  ≡ e ≡ , então  ≡ .
POSTULADOS DO TRANSPORTE DE ÂNGULOS
Dados um ângulo AÔB e uma semirreta de um plano, existe sobre este 
plano, e num dos semiplanos que permite determinar, uma única semir-
reta que forma com um ângulo A´Ô´B´ congruente ao ângulo AÔB.
COMPARAÇÃO DE ÂNGULOS
Dados ângulos AÔB e C D, pelo postulado do transporte é possível obter, no semi-
plano que tem origem em e contém B, uma semirreta ´ tal que AÔD´ ≡ C D.
Têm-se três hipóteses a considerar :
1ª) A semirreta ´ é interna a AÔB. Neste caso AÔB é maior que C D 
(AÔB > C D). 
2ª) A semirreta ´ coincide com . Neste caso AÔB é congruente a CÔD 
(AÔB ≡ CÔD).
3ª) A semirreta ´ é externa a AÔB. Neste caso AÔB é menor que CÔD 
(AÔB < CÔD).
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ADIÇÃO DE ÂNGULOS
Se a semirreta é interna ao ângulo AÔC, o ângulo AÔC é soma dos ângu-
los AÔB e BÔC.
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Fonte: o Autor.
AÔC = AÔB + AÔC 
Dados dois ângulos AÔB e CÔD, se existem RÛS ≡ AÔB e SÛT ≡ CÔD tais que 
US é interna a RÛT, diz-se que o ângulo RÛT é a soma de AÔB e CÔD. 
O ângulo RÛS que é a soma de n ângulos AÔB, se existir, é chamado múlti-
plo de AÔB segundo n (RÛS = n.AÔB). 
Se AÔB = n · CÔD, se diz que CÔD é submúltiplo de AÔB segundo n. 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Uma semirreta interna a um ângulo AÔB é bissetriz do ângulo AÔB se, e 
somente se, AÔC ≡ BÔC.
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem 
no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
PROPOSIÇÃO 1: Dois ângulos opostos pelos vértice são congruentes.
De fato, considerando o desenho apresentado acima, devemos mostrar que 
AÔD ≡ CÔB. 
Assim, como o ângulo CÔA é raso, então CÔB e BÔA são suplementares.
CÔB + BÔA = 180º
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Por outro lado, BÔD também é um ângulo raso, então BÔA e AÔD são 
suplementares.
BÔA + AÔD = 180º
Assim, pelas duas equações:
CÔB + BÔA = BÔA + AÔD
CÔB = AÔD
Obtendo assim o desejado.
MEDIDA DE UM ÂNGULO - AMPLITUDE
A medida de um ângulo AÔB será indicada por m(AÔB). A medida de um ângulo 
é um número real positivo associado ao ângulo de forma que:
1ª) Ângulos congruentes têm medidas iguais e, reciprocamente, ângulos que 
têm medidas iguais são congruentes.
AÔB ≡ CPD ⇔ m(AÔB) = m(CPD)
2ª) Se um ângulo é maior que outro, sua medida é maior que a medida deste outro.
AÔB > CPD ⇔ m(AÔB) > m(CPD)
Ângulos opostos pelo vértice
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, à 
demonstração desta proposição.
https://vimeo.com/253991180/52244d61da
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3ª) Se um ângulo corresponde soma de outros ângulos, a medida desse ângulo 
corresponde a soma das medidas desses ângulos.
AÔB ≡ AÔB + CPD ⇔ m(AÔB) = m(AÔC) m(CÔB)
À medida de um ângulo dá-se o nome de amplitude do ângulo. Em geral, asso-
cia-se um número a um ângulo estabelecendo a razão (quociente) entre este 
ângulo e outro ângulo tomado como unidade.
UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
Ângulo de um grau (1º) é o ângulo submúltiplo segundo 90 (noventa) de um 
ângulo reto.
ângulo de um grau 90
ângulo reto
=
Um ângulo reto tem 90 graus (90º).
A medida de um ângulo agudo é menor que 90º.
A medida de um ângulo obtuso é maior que 90º e menor que 180º.
Fonte: o Autor.
Ângulo de um minuto (1´) é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do 
ângulo de um grau.
 1´ 60
1º=
Um grau tem 60 minutos (60´).
Ângulo de um segundo (1´´) é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do 
ângulo de um minuto.
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 1´´ 60
1´=
Um minuto tem 60 segundos (60´´).
Ângulo de um grado (1gr) é o ângulo submúltiplo segundo 100 (cem) de 
um ângulo reto.
 
ângulo de um grado 100
ângulo reto
=
Dos submúltiplos do grado, dois se destacam:
 ■ o centígrado (0,01gr), também chamado minuto de grado, e
 ■ o decimiligrado (0,0001gr), também chamado segundo de grado.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas 
for 90º. Um deles é o complemento do outro.
Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas for 
180º. Um deles é o suplemento do outro.
ÂNGULO NULO E ÂNGULO RASO
Pode-se estender o conceito de ângulo para se ter o ângulo nulo (cujos lados são 
coincidentes) ou o ângulo raso (cujos lados são semirretas opostas).
Conversão de ângulos (graus, minutos, segundose 
grados)
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, à 
resolução deste exemplo.
https://vimeo.com/253992101/d97cee6614
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Plano Cartesiano - No plano cartesiano os pontos são localizados por meio 
de dois eixos perpendiculares, e cada ponto fica perfeitamente determi-
nado por sua posição. O princípio de representação dos pontos no plano 
cartesiano é que a cada posição no plano fica associado um ponto. René 
Descartes (1596-1650), filósofo famoso por sua frase: “Penso, logo existo”, 
estabeleceu relações entre curvas no plano e equações algébricas com duas 
incógnitas. As propriedades geométricas das curvas foram assim, “traduzi-
das” por meio de equações, e os resultados da Álgebra foram interpretados 
geometricamente. Descartes estava empenhado em descobrir uma fórmula 
que disciplinasse o raciocínio e unificasse o conhecimento.
Outro estudioso da Matemática que contribuiu para o desenvolvimento da 
Geometria analítica foi o francês Pierre de Fermat (1601-1665). Assim como 
Descartes, Fermat associou equações a curvas e superfícies. Embora seja 
comum a ideia de que a Geometria analítica é uma redução da Geometria 
à Álgebra, os escritos de Descartes mostram que sua preocupação era a 
construção geométrica e a possibilidade de encontrar um correspondente 
geométrico para as operações algébricas. Já com relação a Fermat, o uso 
de coordenadas surge da aplicação da Álgebra da Renascença a problemas 
geométricos da Antiguidade. Isso mostra que os caminhos percorridos por 
eles foram independentes.
A marca de giz na lousa ou o ponto-final no caderno têm dimensões (em-
bora sejam pequenas), enquanto o ponto geométrico não tem dimensões. 
Reflita sobre as limitações físicas do lápis como modelo de reta e da folha de 
papel como modelo de plano.
Fonte: o Autor.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
A geometria é o ramo da Matemática que trata do estudo da medida, forma, 
tamanho e posição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do 
espaço. Aqui foi possível conhecer alguns conceitos fundamentais da geometria 
para dar início ao seu estudo.
Neste capítulo foi possível conhecer a origem da geometria bem como, sua 
importância como conteúdo da disciplina de Matemática. Foram apresentados 
os conceitos elementares da geometria. Também foi abordado sobre retas sendo 
identificado as posições relativas entre os elementos fundamentais sendo eles o 
ponto, a reta e o plano. E finalmente foi abordado sobre ângulos.
Foram apresentadas proposições, que são aceitas mediante demonstrações e; 
proposições primitivas, também denominadas postulados, aceitas sem demons-
trações. Na sequência foi apresentado a geometria de posição o plano, sendo 
apresentada a relação entre um ponto e uma reta, a relação entre pontos, a rela-
ção entre duas retas e um plano.
Ainda foi definido segmento de reta e semirreta e apresentado os segmentos 
consecutivos, colineares e adjacentes. Também foi definido segmentos congruen-
tes, adição e compara- ção de segmentos. No estudo de distâncias foi abordado 
sobre distância entre dois pontos, distância de um ponto a uma reta, distância de 
um ponto a um plano, distância ente duas retas distintas paralelas, distância de 
uma reta a um plano quando a reta é paralela ao plano e não está contida nele, dis-
tância entre dois planos distintos e paralelos e distância entre duas retas reversas.
Ao tratar de ângulos foi abordado ângulos consecutivos, adjacentes e opos-
tos pelo vértice. Além de congruência e comparação de ângulos foi visto adição 
de ângulos, bissetriz de um ângulo. Também foi tratado de ângulos reto, agudo 
e obtuso; as unidades de medida de ângulos; ângulos complementares e ângu-
los suplementares e por fim ângulos nulo e ângulo raso.
No capítulo seguinte será discutido sobre a construção de retas e ângulos, além 
de ser definido triângulos e quadriláteros e apresentado exemplos de construção 
de triângulos e quadriláteros fazendo uso de materiais como régua e compasso.
39 
Das questões de 1 a 6, classifique as afirmações em verdadeira (V) ou falsa (F).
1. ( ) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares.
2. ( ) Por um ponto passa uma única reta perpendicular a um plano dado.
3. ( ) Se uma reta está contida em um plano, toda perpendicular a ela será per-
pendicular ao plano.
4. ( ) Se dois planos distintos, a e β, são paralelos, então toda reta r perpendicu-
lar a um deles é perpendicular ao outro.
5. ( ) Por um ponto passa um único plano perpendicular a uma reta dada.
6. ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, ela é perpendicular a todas as 
retas desse plano.
7. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Nessas condições, encontre a me-
dida do angulo 0, apresentando seus cálculos.
8. Dado um ângulo a = 42º, quais os valores dos ângulos complementar e suple-
mentar referente a esse ângulo a? Apresente e explique os passos utilizados.
9. Consideremos três ângulos AÔC, AÔB e BÔC, onde AÔB e BÔC medem 50º e 
60º, respectivamente. Determine a medida de AÔC.
10. Dados o angulo α = 60,18°. Determine seu respectivo representante em graus, 
minutos e segundos.
40 
A Geometria, ao longo de toda a sua história, acompanhou o ser humano na busca pelo 
co- nhecimento da natureza que o cerca. Quando a civilização grega chegou ao ápice, 
os gre- gos assumiram o desenvolvimento da Geometria. Passaram a privilegiar o co-
nhecimento dedutivo e não o empírico, como ocorria até então. E questões que sempre 
intrigaram a humanidade, como o tamanho do raio da Terra, a distância entre a Terra e 
a Lua ou entre Terra e o Sol, já estimadas em outras épocas por outros sábios, passaram, a 
partir de então, a ser tratadas com o auxílio dos conhecimentos geométricos.
Com o fim da hegemonia grega, o mundo passou por quase 15 séculos de trevas. Ape-
nas com a queda de Constantinopla e o início do Renascimento, os textos gregos vol-
taram à Europa, trazidos pelos que fugiam da invasão turca. E com o seu ressurgimento 
também voltaram as contribuições da Geometria aos outros campos do conhecimento 
científico.
O grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a. C.) foi brilhante em perceber como compa- 
rar as distâncias entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol usando triângulos retângulos, 
semelhança de triângulos e proporções. Eratóstenes (276 a.C. - 196 a. C.) não era grego, 
mas estudou em Atenas e viveu em Alexandria, importante centro cultural da época. Fi- 
cou conhecido por sua versatilidade e por uma engenhosa ideia para calcular o raio da 
Terra, baseado na proporcionalidade entre medida e comprimento de arcos, nos ângulos 
correspondentes em paralelas cortadas por transversais e na razão entre comprimento 
da circunferência e seu diâmetro.
O polonês Nicolau Copérnico (1473 - 1543) retomou as hipóteses heliocêntricas de Aris- 
tarco (que na época não vingaram) e elaborou toda uma teoria em que os planetas te-
riam órbitas circulares em torno do Sol, calculando os períodos de revolução dos plane-
tas e suas distâncias até o Sol, com base na proporcionalidade de arcos e semelhança 
de triângulos (já na forma de Trigonometria). O alemão Johannes Kepler (1571 - 1630) 
aperfeiçoou as ideias de Copérnico ao afirmar que as órbitas planetárias são na verdade 
elípticas e apre- sentou as três leis conhecidas hoje como “leis de Kepler”, repletas de 
proporcionalidades, áreas e elípses.
A Geometria estudada hoje é essencialmente a mesma que serviu de alicerce para que 
os estudiosos do passado conseguissem cada vez mais adquirir conhecimento e enten-
der melhor a natureza que nos cerca. Se hoje sabe-se muito sobre ela e seus fenômenos, 
isso é resultado do esforço e da dedicação de muitos sábios da Antiguidade,alguns dos 
quais considerados os maiores astrônomos, geômetras ou matemáticos de suas épocas. 
Fonte: Dante (2013).
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
Coleção Explorando o Ensino - Matemática - Ensino Médio: coletânea de artigos 
extraídos da Revista do Professor de Matemática (RPM) - uma publicação da Sociedade 
Brasileira de Matemática (SBM), com apoio da Universidade de São Paulo.
<http://portal.mec.gov.br>. Acesso em: 5 mar. 2018.
GABARITO
1. ( ) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são coplanares.
Verdadeiro, pois como as retas são perpendiculares a um mesmo plano, con-
sequentemente elas são paralelas, assim poderemos encontram um plano do 
qual as duas retas pertencem.
2. ( ) Por um ponto passa uma única reta perpendicular a um plano dado. 
Verdadeiro. Por definição, por dois pontos passa uma única reta, perpendicular 
ou não.
3. ( ) Se uma reta está contida em um plano, toda perpendicular a ela será per-
pendicular ao plano.
Falso. Dada a junção entre dois planos a e β onde a reta r ∈ a ∈ β, se esta junção 
não for perpendicular, poderemos ter uma reta s ∈ a ou s ∈ β perpendicular a r, 
porém não será perpendicular ao plano a ou β.
4. ( ) Se dois planos distintos, a e β, são paralelos, então toda reta r perpendicular 
a um deles é perpendicular ao outro.
Verdadeiro. Suponhamos que a reta r seja perpendicular a α e não seja perpen-
dicular a β, desta forma conclui-se que a e β são concorrentes. (ABSURDO!)
5. ( ) Por um ponto passa um único plano perpendicular a uma reta dada. 
Verdadeiro, pois seja um plano r que passa por um ponto e seja perpendicular 
a uma reta dada r. Tome um outro plano perpendicular a r e passando pelo mes-
mo ponto, assim os planos que seriam paralelos entre si se intersetam no ponto 
dado (ABSURDO!)
6. ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, ela é perpendicular a todas as retas 
desse plano.
Falso, pois tome uma reta r que é perpendicular ao plano π. Seja P o ponto de 
intersecção da reta r com o plano π. Tomando uma reta t pertencente ao plano π 
e que P ∈ t. Essa reta será reversa a reta r e não perpendicular à reta r.
7. Temos aqui retas paralelas cortadas por uma transversal. Assim, traçando um 
reta paralela a s pelo ponto onde as transversais se encontram, conseguimos 
dividir 0 em duas partes (a1 e a2). Assim, pela propriedade de ângulos alternos 
internos, temos a1 = 45º e a2 = 30º, portanto 0 = 45º + 30º = 75º.
8. Devemos obter ângulos de 48º e 138º. Temos que dois ângulos são complemen-
tares se, e somente se, a soma de suas medidas for 90º. Um deles é o comple-
mento do outro e dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de 
suas medidas for 180º. Um deles é o suplemento do outro. Assim o complemen-
tar de 42º é 48º e o suplementar de 42º é 138º.
GABARITO
GABARITO
43
9. Note que, uma semi-reta SÔB divide um ângulo AÔC, então a medida do ângulo 
AÔC é igual a soma das medidas dos ângulos AÔB e BÔC, ou seja, m(AÔC) = 
m(AÔB)+ m(BÔC) 0 = 50º + 60º = 110º.
10. Temos que a = 60, 18º = 60º + 0, 18º, assim 0, 18º = 10, 8´ = 10´ + 0, 8´. Por outro 
lado, 0, 8´ = 48´´. Reagrupando os termos temos: a = 60, 18º = 60º10´48´´.
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Professora Me. Regiane Aparecida Nunes de Siqueira
Professor Esp. Fernando Marcussi
CONSTRUÇÃO DE RETAS, 
ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, 
QUADRILÁTEROS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Conhecer as propriedades geométricas das figuras planas e suas 
representações grá- fica e algébrica.
 ■ Construir figuras planas fazendo uso de régua, compasso e demais 
ferramentas ma- temáticas.
 ■ Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas 
para solucionar problemas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Construção de retas.
 ■ Construção de ângulos.
 ■ Triângulos.
 ■ Construção de triângulos.
 ■ Quadriláteros.
 ■ Construção de quadriláteros.
INTRODUÇÃO
As construções geométricas apareceram na antiguidade e tiveram grande impor-
tância no desenvolvimento da Matemática. Há 2000 anos a palavra número 
significava somente número natural. Não havia números negativos e as frações 
não eram consideradas números, apenas razões entre números. Se não havia ainda 
a noção de número racional, os números reais estavam longe de ser definidos. 
Contudo os gregos tiveram uma grande ideia. A de representar uma grandeza 
qualquer por um segmento de reta. Esta ideia é equivalente a dizer que todo 
número real positivo está associado a um ponto de uma semirreta graduada.
Assim, as operações de adição e subtração de segmentos são inteiramente 
intuitivas e a multiplicação de dois segmentos podia ser visualizada como a área 
de um retângulo.
Nas construções geométricas são permitidos apenas a régua (não graduada) 
e o compasso. A régua serve apenas para desenhar uma reta passando por dois 
pontos dados e o com- passo serve apenas para desenhar uma circunferência 
cujo raio é dado por um segmento e cujo centro é um ponto dado. Estes instru-
mentos não podem ser utilizados de nenhuma outra maneira.
Sendo assim, as construções geométricas que utilizam uma régua não gra-
duada e um compasso devem seguir algumas regras básicas:
1. Conhecendo-se dois pontos distintos, é possível traçar uma reta utili-
zando a régua.
2. Com o compasso, é possível traçar uma circunferência com centro em 
um ponto conhe- cido e que passa por um segundo ponto determinado.
A pureza das construções com régua e compasso é a mesma da geometria analí-
tica que também resolve, de forma equivalente, problemas de geometria usando 
as coordenadas (pontos dados), a equação da reta (régua) e a equação da cir-
cunferência (compasso).
É permitido obter pontos que podem ser construídos através de uma sequ-
ência finita de operações: intersecções de retas, intersecções de circunferências 
e intersecções de retas com circunferências. Com esses pontos obtidos, é possí-
vel traçar novas retas e novas circunferências e assim sucessivamente.
Introdução
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CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
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IIU N I D A D E48
Para começar a desenhar, há dois problemas básicos que precisam ser aprendidos:
1- Traçar por um ponto dado uma reta perpendicular a uma reta dada.
2- Traçar por um ponto dado uma reta paralela a uma reta dada.
Será verificado como resolver estes problemas na sequência.
CONSTRUÇÃO DE RETAS
CONSTRUÇÃO DE RETAS PARALELAS
Para traçar por um ponto P uma reta paralela a uma reta r, é necessário traçar 
um círculo de centro em P cortando a reta r em A e B. Em seguida, traçar círcu-
los de mesmo raio com centros em A e B, obtendo, um dos pontos de interseção. 
A reta é perpendicular à reta r.
Fonte: Revista do Professor de Matemática (2014).
Construção de Retas
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CONSTRUÇÕES DE RETAS PERPENDICULARES
Para traçar por um ponto P uma reta perpendicular a uma reta r, é necessário pro-
ceder da seguinte forma: Traçar três círculos, sempre com o mesmo raio: o primeiro 
com centro em P , determinando um ponto A na reta r, o segundo com centro em 
A, determinando um ponto B na mesma reta e o terceiro com centro em B, deter-
minando um ponto B sobre o primeiro círculo. A reta é paralela a reta r.
CONSTRUÇÃO DA MEDIATRIZ
A mediatriz de um segmento de reta AB é a reta perpendicular a AB que passa pelo 
ponto médio de AB. Para construir a mediatriz usando régua e compasso, é neces-
sário traçar dois círculos de mesmo raio, com centros em A e B e abertura maior 
do que m(AB)/2, que se cruzam nos pontos P e Q. A reta é a mediatriz de AB.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do CódigoPenal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E50
Fonte: Revista do Professor de Matemática (2014).
QUARTA PROPORCIONAL
Denotamos por 4a proporcional de três segmentos dados, ao produto de dois 
deles dividido pelo 3º.
Conclui-se que, dados três segmentos a, b e c, existem três segmentos que 
são 4as proporcionais de a, b e c:
x c
a . b , y b
a . c e z a
b . c= = =
Portanto, quando se pede uma 4a proporcional deve-se especificar qual das três 
seguintes se deseja, fornecendo a respectiva expressão.
Assim, dados a, b e c, a 4a proporcional x c
a . b= é obtida após três passos. 
Como há vários modos de se obter uma 4a proporcional, evitamos qualquer equi-
voco procedendo sempre como apresentado a seguir:
1. Transforma-se a expressão dada x c
a . b= numa expressão do tipo (*)c
a
b
x= , 
tomando o cuidado de deixar a incógnita no 2º membro da equação, pois quando 
se usa esta regra, a incógnita não pode ficar adjacente ao vértice, como veremos 
a seguir.
Construção de Ângulos
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2. Colocam-se nos lados de um ângulo arbitrário os segmentos dados imi-
tando sua colocação na expressão (*). Esta é uma regra muito útil.
3. Uma paralela (determinada pelos processos já mencionados ou pelo 
transporte o ângulo α, tema que veremos a seguir) determina o seg-
mento procurado x.
Fonte: o Autor.
CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS
CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A bissetriz de um ângulo AÔB é a semirreta OC tal que m(AÔC) = m(CÔB), isto 
é, a semirreta que divide o ângulo AÔB em dois outros iguais. Para construir a 
bissetriz usando régua e compasso, é necessário traçar um círculo de centro em 
4ª Proporcional
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, à 
resolução deste exemplo.
https://vimeo.com/253992422/82628370d3
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E52
O que determina os pontos X e Y nos lados do ângulo AÔC. Em seguida, traçar 
dois círculos de mesmo raio com centros em X e Y de tal forma que eles se cru-
zem em ponto C. A semirreta é a bissetriz do ângulo AÔC.
Fonte: Revista do Professor de Matemática (2014)
TRANSPORTE DE ÂNGULOS
Dado um ângulo α, podemos transporta-lo a uma semi-reta Or qualquer.
De fato, com um raio arbitrário, traçam-se dois arcos: um com centro no 
vértice V de α, obtendo A e B, e o outro com o centro O, obtendo C. A seguir 
traça-se o arco ( ,AB), obtendo-se D que se liga com O.
Fonte: o Autor
Construção de Ângulos
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Podemos argumentar a veracidade desse fato, por construção, que OD = OC = VA = 
VB e CD = AB, logo os triângulos ADC e VAB são congruentes, e portanto α´ = α.
CONSTRUIR ÂNGULOS DE 30º, 45º E 60º
a) 60º e 120º
Dada uma reta r e uma circunferência com cento em O (sobre r) e raio arbitrário, 
ou seja, (O, arbitrário), a interseção entre a reta e a circunferência obtém-se A.
Agora dada outra circunferência com centro em A e raio AO, ou seja, (A, AO), 
obtemos B.
Ligando-se O com B, obtemos os dois ângulos procurados.
Fonte: o Autor
A justificativa que o ângulo formado seja de 60º é o fato do triângulo OAB ser 
equilátero.
b) 30º e 150º
Essa construção pode ser realizada bissecando um ângulo de 60º ou com uma cir-
cunferência de centro H e raio arbitrário sobre r, obtemos o ponto J e o ponto O.
Agora dada outra circunferência de centro em J e raio HO, obtemos K.
Ligando-se O e K obtemos os ângulos procurados.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E54
Fonte: o Autor.
Como o ângulo central J K = 60º, logo, o ângulo JÔK= 30º. Ou, basta notar que 
o triângulo HKO é isósceles com base em OK e ÔH = KH, onde, K O = 120º.
b) 45º e 135º
Essa construção pode ser realizada bissecando um ângulo de 90º ou construir 
um triângulo retângulo isósceles.
Fonte: o Autor.
TRIÂNGULOS
É possível afirmar que o triângulo é o polígono fundamental, pois qualquer outro 
polígono pode ser considerado uma composição de triângulos dispostos lado a lado.
Triângulos
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CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus ângulos e quanto aos 
seus lados.
Quanto aos ângulos: um triângulo pode ser classificado em: 
Triângulo retângulo: possuiu um ângulo interno reto.
Triângulo acutângulo: possui os três ângulos internos agudos. 
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo interno obtuso.
Triângulo retângulo: tem
um ângulo interno reto.
Triângulo acutângulo: tem os
três ângulos internos agudos.
Triângulo obtusângulo: tem
um ângulo interno obtuso.
Fonte: Dante (2013).
Quanto aos lados: um triângulo pode ser classificado em: 
Triângulo equilátero: tem o três lados congruentes entre si. 
Triângulo isósceles: tem dois lados congruentes entre si.
Triângulo escaleno: tem os três lados com medidas diferentes entre si.
Triângulo equilátero: tem
os três lados congruentes
entre si.
Triângulo isóceles: tem
dois lados congruentes
entre si.
Triângulo escaleno: tem os
três lados com medidas
diferentes entre si.
Fonte: Dante (2013).
ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO
Altura de um triângulo: é o segmento de reta que une, perpendicularmente, 
um vértice à reta que contém o lado oposto a esse vértice.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E56
B P N L
M
C H
A
Altura relativa ao
lado CB (ou relativa
ao vértice A)
Altura relativa
ao lado PN
(ou relativa
ao vértice M)
Fonte: Dante (2013).
Bissetriz interna de um triângulo: é o segmento de reta que está contido na bis-
setriz de um ângulo interno e liga um vértice ao lado oposto.
Bissetriz interna relativa ao
vértice A (ou relativa ao lado CB)
BC
A
I
Fonte: Dante (2013).
Mediana de um triângulo: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto 
médio do lado oposto.
Mediana relativa ao vértice A
(ou relativa ao lado CB)
BC
A
M
(ponto médio)
Fonte: Dante (2013).
Mediatriz em um triângulo: é a reta perpendicular a um dos lados pelo ponto 
médio desse lado.
Mediatriz relativa ao lado CB
(ponto médio)
A
BC M
Fonte: Dante (2013).
Triângulos
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ÂNGULOS EM UM TRIÂNGULO
Soma dos ângulos internos de um triângulo: considere um triângulo qualquer 
ABC, cujos ângulos internos Â, e têm medidas α, β e θ, respectivamente.
Traçando por B a reta , paralela a , determinam-se ângulos alternos 
congruentes. 
A
B
C A
B ED
C
Fonte: Dante (2013).
Como o ângulo D E é raso, pode-se concluir que: α + β + θ = 180º. 
Assim:
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º.
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO
Na figura seguinte, o ângulo DÂB é adjacente e suplementar de um ângulo interno 
do triângulo ABC; por isso DÂB é chamado de ângulo externo desse triângulo.
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, à 
resolução deste exemplo.
https://vimeo.com/253998048/d24a65a149
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E58
A
B
DC
Ângulo externo
relativo ao vértice A
Fonte: Dante (2013).
Há uma importante relação entre a medida de um ângulo externo e as medidas 
dos ângulos internos de um triângulo. Para obtê-la pode-se traçar por B a retar 
paralela a CA e indicar por α e β as medidas dos ângulos internos e , respec-
tivamente, e por e a medida do ângulo externo relativo ao vértice A.
A
BF r
e
DC
Fonte: Dante (2013).
Os ângulos B A e C F têm medidas iguais, por serem alternos internos forma-
dos por duas retas paralelas e uma transversal. Pelo mesmo motivo, os ângulos 
BÂD e A F também têm medidas iguais, isto é:
m(BÂD) = m(A F ) ⇒ e = α + β
Demonstrado assim o teorema:
A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medi-
das dos ângulos internos não adjacentes a ele.
PROPRIEDADE DOS TRIÂNGULOS
Triângulo isósceles: é todo triângulo que possui dois lados congruentes entre 
si. O extremo comum a esses lados é chamado de vértice do triângulo isósceles, 
e o lado oposto a esse vértice é a base do triângulo isósceles.
P1 - Se um triângulo apresenta dois lados com medidas iguais, os ângulos 
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internos opostos a esses lados têm medidas iguais.
P2 - Se um triângulo apresenta dois ângulos internos com medidas iguais, 
então os lados opostos a esses ângulos têm medidas iguais.
A
B C
Fonte: Dante (2013).
Pelas propriedades P1 e P2 tem-se: AB = AC ⇔ ≅ .
P3 - A mediana, a bissetriz e a altura relativas à base do triângulo isósceles 
são segmentos coincidentes e estão contidas na mediatriz relativa a essa base.
Se AB = AC e M é ponto médio de BC, então o segmento AM é a mediana, bis-
setriz e altura relativas ao vértice A e a reta é mediatriz relativa à base BC.
A
B CM
Ponto médio
Fonte: Dante (2013).
Triângulo equilátero: é todo triângulo que possui os três lados congruentes 
entre si. Assim, todo triângulo equilátero também é isósceles, pois tem dois 
lados congruentes entre si.
P1 - Cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60º.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E60
Fonte: o Autor.
P2 - A altura, a mediana a bissetriz relativa à base está representada pelo seg-
mento AH,que possui medida h 2
l 3= (pelo Teorema de Pitágoras).
Fonte: o Autor.
P3 - O baricentro (ponto de intersecção das medianas), o ortocentro (ponto 
de intersecção das alturas), o incentro (ponto de intersecção das bissetrizes 
internas) e o circuncentro (ponto de intersecção das mediatrizes) coincidem 
e está representado pelo ponto G.
Fonte: o Autor.
P4 - O baricentro divide cada mediana em duas partes, tais que a que contém 
o vértice é o dobro da outra (isto vale em qualquer triângulo).
Triângulo retângulo: é todo triângulo que possui um ângulo interno reto. 
Os lados do triângulo que formam esse ângulo reto são chamados de catetos, e 
o terceiro lado é a hipotenusa.
P1 - Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.
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+ = 90º
Fonte: Dante (2013).
P2 - Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede 
metade da hipote- nusa.
A C
M
B
(ponto médio)
AM =
BC
2
Fonte: Dante (2013).
Para justificar P2, imagine um retângulo ABCD, a partir da figura acima.
As diagonais de um retângulo são congruentes e o ponto comum às duas é 
o ponto médio de cada uma. Logo, M é o ponto médio da hipotenusa BC do tri-
ângulo ABC. Como
AM 2
AD= e AD = BC, conclui-se AM 2
BC= .
Portanto, a mediana AM divide o triângulo retângulo ABC em dois triân-
gulos isósceles.
ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR
A área de uma região triangular é metade da região limitada por um paralelo-
gramo de mesma base e mesma altura. Isto é,
2
.
2
1A B H B . H= =
a área de uma região triangular é a metade do produto da medida da base pela 
medida da altura correspondente.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E62
Fonte: o Autor.
ÁREA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO
No triângulo equilátero, todos os lados são congruentes (l), todos os ângulos 
internos são congruentes (60º) e toda altura é também mediana e bissetriz.
O triângulo AMC é retângulo em M e, portanto, vale a relação de Pitágoras 
2l h
l2 2 2= + b l , então h 2
l 3= .
Logo, a área do triângulo ABC é dada por 2 2
. 2
3
4
3A BC.h
l l l2= = =
Exemplo: Qual a área de um triângulo equilátero de lado 2 cm?
A área é dada por 4
3
4
2 3
4
4 3A l
2 2 2
= = = , assim 3A cm2= .
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
A primeira proposição do primeiro livro Elementos de Euclides ensina como 
construir um triângulo equilátero, dado um dos seus lados:
Construção de Triângulos
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Fonte: Dante (2013).
Com centro em A e raio AB construa o círculo C1. Com centro em B e raio BA, 
construa o círculo C2. Seja X um dos pontos de interseção entre os dois círcu-
los. O triângulo ABX é equilátero.
TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
Fonte: o Autor.
Com centro em A e raio AB construa o círculo C1. Com centro em B e raio BA, 
construa o círculo C2. Seja os pontos de interseção entre os dois círculos. O tri-
ângulo AXY é obtusângulo.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E64
QUADRILÁTEROS
Na Geometria Plana Euclidiana, quadrilátero é um polígono de quatro lados, 
cuja soma dos ângulos internos é 360º, e a soma dos ângulos externos, assim 
como de qualquer outro polígono, é 360º.
Alguns quadriláteros:
QUADRADO
É um quadrilátero regular, ou seja, uma figura geométrica 
com quatro lados de mesma medida e quatro ângulos retos.
A área de uma região quadrada Q cujo lado mede l é dada 
pelo quadrado de l, isto é, A = l2
Exemplo: Determine a área de um quadrado de lado 5 cm.
A = l2 = 52 = 25 cm2
PARALELOGRAMO
É um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são iguais e 
paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos iguais.
Fonte: Dante (2013).
A área da região limitada por um paralelogramo é igual ao produto da medida 
de uma de suas bases pela medida da altura correspondente a essa base esco-
lhida, isto é, A = bh.
Fonte: Dante (2013).
Quadriláteros
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A = 5·3 = 15 cm2
Exemplo: Determine a área de um paralelogramo de base 5 cm e altura 3 cm.
A =- 5.3 = 15 cm2
RETÂNGULO
É um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, 
possui dois lados paralelos verticalmente e os outros dois paralelos horizontal-
mente. Pode-se considerar o quadrado como um caso particular de um retângulo 
em que todos os lados têm mesma medida.
Fonte: o Autor.
A área da região limitada por um retângulo é igual ao produto da medida de 
uma de suas bases pela medida da altura correspondente a essa base escolhida, 
isto é, A = bh, assim como a área do paralelogramo, visto que um retângulo é 
um caso especial de um paralelogramo.
Exemplo: Determine a área de um retângulo de base 8 cm e altura 2 cm.
A = 8·2 = 16 cm2
TRAPÉZIO
É um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base 
maior e base menor.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E66
Fonte: Souza (2013).
A área de uma região trapezoidal é igual à semissoma das medidas das bases 
vezes a medida da altura, ou seja, 2
( ) .A B h h=
+ .
2
(8 3) . 4 22A cm2=
+
=
Exemplo: Determine a área de um trapézio de base maior 8 cm, base menor 3 
cm e altura 4 cm.LOSANGO
Losango ou rombo é um quadrilátero equilátero, ou seja, é 
um polígono formado por quatro lados de igual compri-
mento. Um losango é também um paralelogramo. Todo 
losango é um paralelogramo, e um losango com ângu-
los retos é um quadrado. Uma superfície cujos limites são 
um losango, ou semelhantes a um losango, designa-se por 
superfície rômbica.
A área da região limitada por um losango é dada pela metade 
do produto das medidas das diagonais, ou seja, 2
.A D d=
Exemplo: Determine a área de um losango de diago-
nal maior 8 cm e diagonal menor 3 cm.
2
(8 . 3) 12A cm2= =
Fonte: Souza (2013).
Construção de Quadriláteros
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67
Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos 
elementos de um círculo, relacionados com arcos e cordas. As propriedades 
dos ângulos centrais de uma circunferência eram conhecidas desde o tempo 
de Eudoxo - astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu no século IV 
a.C., que teria usado medidas de ângulos em diversos cálculos, como a de-
terminação das dimensões da Terra e a distância relativa entre o Sol e a Terra.
Sabendo que a área de um triângulo pode ser expressa por 2
. . (a)A a b sen= 
onde α é o ângulo formado pelos lados a e b do triângulo, o que se pode 
concluir quanto ao seno de 90º em um triângulo retângulo?
CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS
Construir um paralelogramo ABCD, dadas as medidas de dois lados consecuti-
vos e o ângulo formado por eles.
Fonte: Revista do Professor de Matemática (2014).
Sejam m1 e m2 as medidas respectivas dos lados AB e AD. Constroem-se as circun-
ferências de centro D e raio m1, e de centro B e raio m2. C é o ponto de interseção 
dessas duas circunferências. ABCD é o paralelogramo procurado.
CONSTRUÇÃO DE RETAS, ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E68
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, foi possível descobrir que as construções geométricas apare-
ceram na antiguidade e tiveram grande importância no desenvolvimento da 
Matemática. E ainda, que nas construções geométricas são permitidos apenas a 
régua (não graduada) e o compasso.
Foi possível conhecer métodos para construir retas perpendiculares e parale-
las fazendo uso de régua e compasso. Também foi possível construir a mediatriz 
de um segmento de reta. E na construção de ângulos, foi construída a bissetriz 
do ângulo.
No estudo de triângulos, foi vista a classificação dos triângulos quanto aos 
ângulos em retângulo, acutângulo e obtusângulo e também quanto aos lados em 
equilátero, isósceles e escaleno. Foi possível conhecer os elementos de um triân-
gulo, sendo eles: altura, bissetriz interna, mediana e mediatriz.
Também no estudo de triângulos foram abordados os ângulos de um tri-
ângulo, em que foi possível verificar que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é sempre 180º. E quanto a um ângulo externo qualquer de um triân-
gulo é sempre igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Ainda sobre triângulos foi possível estudar as propriedades dos triângulos 
e calcular a área de uma região triangular, com o caso especial da área de um 
triângulo equilátero.
Na sequência, foram verificados métodos para construção de triângulos 
fazendo uso de régua e compasso. Também foram abordados quadriláteros bem 
como a construção de quadriláteros fazendo uso de régua e compasso.
No estudo de quadriláteros, foi verificada a área de alguns quadriláteros 
sendo eles: qua- drado, paralelogramo, retângulo, trapézio e losango.
Sendo assim, nesta unidade foi possível conhecer as propriedades geométri-
cas das figuras planas e suas representações gráfica e algébrica. Também foram 
construídas figuras planas fazendo uso de régua e compasso. E, dessa forma, foi 
possível compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas 
para solucionar problemas.
69 
1. De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado 
20 cm. Qual é a área dessa região que foi recortada?
2. Um tetraedro regular é um sólido formado por quatro triângulos equiláteros. 
Qual é a área total da superfície do tetraedro regular abaixo?
Fonte: Souza (2013).
3. Qual é a área de toda a parte escura da figura? Qual é a área da região clara?
Fonte: Souza (2013).
4. Construir um losango a partir de uma diagonal AC.
a) Crie dois pontos A e C.
b) Construa uma circunferência c de centro A e de raio a maior que AC/2.
c) Construa uma circunferência c´ de mesmo raio que c e de centro C. As cir-
cunferências c e c´ interceptam-se nos pontos B e D. A reta BD é mediatriz do 
segmento
d) AC.
e) Construa o quadrilátero ABCD e demonstre que ABCD é um losango.
70 
5. Um terreno tem forma de um trapézio de bases 20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse 
terreno, foi construída uma piscina retangular de 8 m por 5 m. No restante do 
terreno, foram colocadas pedras minerais. Qual foi a área onde se colocou pedra?
6. Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos consi-
derando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa 
do número de pessoas presentes numa praça de 4000 m2 que tenha ficado lota-
da para um comício, segundo essa avaliação?
7. Mostre, por construção, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 
a 180º.
8. Construa, com auxilio de régua e compasso, os ângulos de 15º, 60º e 75º.
9. Construa as 4as proporcionais x c
a . b= , y b
a . c= e z a
b . c= , onde a = 1cm, b = 
2cm e c = 3cm.
10. Dado um segmento m, obter os segmentos 2m , 3m e 4m .
71 
O Origami, de origem desconhecida, tem etimologia japonesa e significa dobrar (ori) 
papel (kami). No Brasil, utiliza-se também a palavra dobradura, mas o termo Origami é 
mundial- mente conhecido e utilizado.
A aplicação de Origami no ensino da Geometria pode auxiliar no desenvolvimento cog-
nitivo, trazendo assim uma melhor aprendizagem e compreensão da Matemática por 
meio da manipulação de um pedaço de papel.
O origami é uma arte tradicional de origem japonesa que consiste na criação de figu-
ras geométricas representativas de objetos, seres humanos, animais, etc. sem o uso do 
com- passo, tesoura ou cola, apenas com dobraduras do papel. Esse tipo de artesanato 
é muito comum no Japão, porém se espalhou pelo mundo todo.
Por meio da técnica do origami modular, a qual se baseia na confecção de várias partes 
iguais ou módulos que são encaixados para formar cada peça, é possível construir os cin-
co poliedros de Platão e muitos outros.
Os poliedros de Platão somente podem ser construídos por meio de módulos de Origa-
mi que se encaixam uns nos outros, formando as faces. A designação desses poliedros 
deve- se ao filósofo grego Platão, que descobriu, por volta de 400 a.C., que há somente 
cinco poliedros cujas faces são todas polígonos regulares congruentes entre si.
Muitos conceitos geométricos estão presentes na arte da dobradura, como definição de: 
plano, ponto, retas paralelas, retas concorrentes, bissetriz, diagonal, entre outras, que 
po- dem ser compreendidas por meio da visualização dos ângulos e das linhas vincadas 
no papel.
O relacionamento entre a Geometria e o Origami se faz por meio da implementação de 
dobraduras para apresentação de resultados da Geometria e o uso da Geometria para 
justificar as construções. Com o Origami é possível trabalhar com mais uma metodo-
logia de ensino e estudo da Geometria Elementar, com o uso de uma técnica milenar, 
concreta e divertida, além de acessível a qualquer pessoa.
Fonte: Dante (2013).
MATERIAL COMPLEMENTAR
O Portal Só Matemática apresenta conteúdos matemáticos e sugestões de uso de 
tecnologias e jogos em sala de aula.
<www.somatematica.com.br>. Acesso em: 5 mar. 2018.
GABARITO
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1) 4
3
4
20 3
4
400 3A l
2 2
= = = . Assim 100 3A cm2=
2) Área de um triângulo equilátero: 43
4
6 3
4
36 3 9 3A l
2 2
= = = =
Como a área total é igual à área de quatro triângulos: 4 . 9 3 36 3A cm2T = =
3) 
Parte Escura Parte Clara
Área de um triângulo Seja X o lado da figura não colorida:
2A
b . h= a2 = b2 + c2
2
2 . 2A = x2 = 22 + 22
4
2A = x
2 = 4 + 4 = 8
A = 2 x2 = 8 = 2 2
Área Total Área Total
AT = 2 · 4 A = l2 = ( 2 2 )
AT = 8 cm
2 A = 4 . 2 = 8 cm2
4) 
4.1) •A •B
4.2) 
4.3) 
GABARITO
GABARITO
4.4) 
Demonstração: ABCD é um losango. De fato, os seguimentos, AB, BC e DA
possuem a mesma medida, pois AB = AD = r, onde r é o raio da circunferência 
c e CB = CD = r´, onde r´ é o raio da circunferência c´. Como r = r´ por cons-
trução então AB = AD = CB = CD.
Agora, vamos mostrar que AD é paralelo à BC e AB é paralelo à DC.
Note que, m(CÂB) = m(A B), pois o triângulo ABC é isósceles com AB = BC. E 
m(CÂD) = m(A D) porque o triângulo ADC é isósceles com AD = DC.
Como AC é comum aos triângulos ABC e ABC, e ainda, AB = BC = CB = CD. 
Os triângulos ABC e ADC são congruentes, assim m(DÂC) = m(A B). Pelo 
teorema de Tales temos que a reta que passa pelos pontos A e D é paralela a reta 
que passa pelos pontos B e C. Logo, AB é paralelo à BC.
Pelo mesmo raciocínio, temos que AB é paralelo à BC.Assim, ABCD é um losango.
5) 
Área do Trapézio Área retangular Restante do terreno
2
.A B b h
+
= ] g A = B · h Área do Trapézio - Área do retângulo
2
(20 14) . 11A =
+ A = 8 . 5 187 m2 - 40 m2
2
374A = A = 40 m2 147 m2
A = 187 m2
GABARITO
75
6) Como cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, em um total de 4000 m2, 
então:
4 x 4000 = 16.000 pessoas
ou
4 1
x 4000
x = 4 . 4000
x = 16.000 pessoas
7) Tome um triângulo ABC quaisquer e trace uma reta paralela r a um dos lados 
passando pelo vértice oposto a esse lado, ou seja, dado o lado AB, uma reta pa-
ralela passando por C. Tome os pontos C’ (a esquerda de C) e C” (a direita de C) 
que pertencem a r.
Como os lados AC e AB são transversais dessas retas paralelas, os ângulos BÂC ≡ 
A C´ e A C, pois são alternos internos.
Veja que o angulo C´´ CC´´´ é raso, ou seja, mede 180º, assim C´´ A + A B + B
C´´ = 180º, ou melhor, Â + + = 180º.
8) Iniciamos com o ângulo de 60º, traça-se um lado, posicionando-se o vértice. 
Centro no vértice, abertura qualquer, traça-se um arco que corta o lado já traça-
do, definindo o ponto 1. Centro em 1, com a mesma abertura, cruza-se o arco já 
traçado, obtendo-se o ponto 2.
Partindo do vértice e passando pelo ponto 2, traçamos o outro lado do ângulo.
Para o de 30º, traça-se um ângulo de 60º e em seguida a sua bissetriz.
Para um ângulo de 75º, somamos 15º e 60º, obtendo-o.
9) Use o conceito de quarta proporcional, apresentado na unidade, utilizando as 
medidas solicitadas.
10) Basta construir um triangulo retângulo com catetos medindo m, assim a hipote-
nusa terá medida m 2 . Agora utilizando a medida m 2 como um dos catetos 
do triângulo retângulo e m a medida do outro cateto, teremos m 3 . Por fim, 
utilizando a medida m 3 como um dos catetos do triângulo retângulo e m a 
medida do outro cateto, teremos m 4 .
U
N
ID
A
D
E III
Professora Me. Regiane Aparecida Nunes de Siqueira
Professor Esp. Fernando Marcussi
REGIÕES POLIGONAIS, 
CIRCUNFERÊNCIAS E 
SEMELHANÇA DE FIGURAS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Conhecer as características de figuras planas.
 ■ Identificar um polígono e reconhecer seus elementos.
 ■ Reconhecer figuras planas semelhantes.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Polígonos.
 ■ Construção de polígonos.
 ■ Circunferências.
 ■ Construção de circunferências.
 ■ Semelhança de figuras.
 ■ Construção de figuras semelhantes.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade serão abordados polígonos, circunferências e figuras semelhan-
tes. O estudo de circunferências é feito desde a antiguidade e pode ser aplicado 
a diversas áreas. Um importante exemplo da aplicação do estudo da circunferên-
cia é o cálculo do comprimento da circunferência da Terra feito por Eratóstenes.
Eratóstenes (276 - 195 a. C.) percebeu que em Siena a sombra de uma vareta 
vertical era invisível por coincidir com a base da vareta, mas no mesmo momento, 
em Alexandria, uma vareta vertical projetava uma sombra visível.
Em Siena, ao meio dia, a vareta não produzia sombra. Em Alexandria, nesse 
mesmo horário, a vareta produzia sombra. Então Eratóstenes verificou que a 
medida α do ângulo determinado pela vareta e pelo raio de Sol era 1/50 de um 
círculo e que o ângulo determinado pelas duas varetas tinha a mesma medida.
Como os ângulos eram congruentes e a distância entre as duas cidades, Siena 
e Alexandria era de 5000 estádios, Eratóstenes multiplicou essa distância por 
50 e obteve 250000 estádios como o comprimento da circunferência da Terra.
O valor encontrado por Eratóstenes foi apenas 15% maior do que o real, o 
que é bem razoável pelo método disponível na época. O erro ocorreu por duas 
razões: a distância entre as duas cidades não era exatamente 5000 estádios, nem 
as duas cidades se localizam no mesmo merediano. Se esses dois fatos fossem 
verdadeiros, o erro seria de aproximadamente 2%.
Neste exemplo é possível verificar que o estudo da Geometria teve início há 
muito tempo. A origem da Geometria é imprecisa, contudo há uma certeza: um 
marco histórico na construção da Geometria ocorreu no século III a. C., quando 
o matemático grego Euclides de Alexandria organizou todo o conhecimento geo-
métrico então disponível, grande parte de sua própria criação, em uma obra de 
treze volumes, denominada Os elementos.
Introdução
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Fonte: Franco (2006).
REGIÕES POLIGONAIS, CIRCUNFERÊNCIAS E SEMELHANÇA DE FIGURAS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIIU N I D A D E80
REGIÕES POLIGONAIS
Uma noção primitiva de região plana é estabelece-la como um objeto matemá-
tico que de termina área. Existe diferença entre região plana e subconjunto do 
plano. Por exemplo, uma reta é um subconjunto do plano mas não determina 
uma área, enquanto um paralelogramo determina uma região plana (e também é 
um subconjunto do plano). Assim toda região plana é um subconjunto do plano 
mas a recíproca não é verdadeira. As noções de interior e fronteira ficarão mais 
claras quando trabalharmos com regiões poligonais e circulares, pois são essen-
cialmente da topologia, o que não faz parte do conteúdo deste livro.
Definição: Seja P um ponto do plano e R uma 
região plana. Se P está no interior de R diremos 
que P é ponto interior de R. Se P está na fronteira 
de R diremos que P é ponto fronteira de R. Se P 
não é ponto interior e nem fronteira de R diremos 
que P é ponto exterior de R.
O desenho a seguir ilustra uma região plana 
com seu interior e sua fronteira.
Podemos definir uma região triangular como 
Regiões Poligonais
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81
a região plana determinada pelo triângulo e pelo conjunto dos pontos do plano 
formado por todos os segmentos cujas extremidades estão sobre os lados do tri-
ângulo. O triângulo é chamado fronteira da região triangular. O conjunto de 
pontos de uma região triangular que não pertencem a sua fronteira é chamado 
de interior da região triangular.
 Desta forma, um triângulo divide o plano em duas regiões: os pontos que 
pertencem à região triangular e os pontos que não pertencem.
 Você deve estar se perguntando: “onde estão os polígonos?”. De fato, todo 
polígono com n lados determina n-2 triângulos, onde nenhum desses triângulos 
possuem pontos interiores em comum e seus vértices são os vértices do polígono.
Dessa forma, podemos introduzir a definição de polígono:
DEFINIÇÃO: Um polígono é chamado fronteira da região