Intervalo Confiança Teste de Hipótese

Prévia do material em texto

Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Considere a distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X:
Histograma
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Se tomarmos os pontos médios das bases superiores dos retângulos e os ligarmos por uma curva, chega-se a X uma variável aleatória contínua, uma função contínua f(X):
Uma variável aleatória X é contínua em se existir a função f(x):
 
VARIÁVEL REDUZIDA OU PADRONIZADA: muito útil para comparar distribuições e detectar dados atípicos – evento aleatório
Define-se um dado atípico quando Z > 3 
Z = 1,5 significa que a observação está 1,5 desvios padrões para cima da média
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
	X	Y	Z(X)	Z(Y)
	10	2	-1,05391	-1,66601
	23	5	0,076056	-0,97662
	45	7	1,988308	-0,51704
	12	10	-0,88007	0,172345
	32	9	0,858341	-0,05745
	10	12	-1,05391	0,631933
	18	17	-0,35855	1,780903
	27	12	0,423738	0,631933
VARIÁVEL REDUZIDA OU PADRONIZADA - Exemplo
Média de X= 22,12
Desvio Padrão de X = 11,50
Média de Y= 9,25
Desvio Padrão de Y = 4,35
Média de Z(X) e Z(Y)?
Desvio Padrão de Z(X) e Z(Y)?
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
A Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal padrão é uma distribuição com forma normal, de média 0 e desvio padrão igual a 1. Essa e outras características, permite comparar valores de amostras diferentes, valores de uma mesma amostra e muito mais. 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
EXEMPLO – USO DA NORMAL PADRONIZADA
Média do teste de QI é 100 com desvio padrão de 15. Se você tem um valor médio de 135. Como você está posicionado?
= 135-100/15 = 2,33
1
2
2,33
Mais que dois desvios acima da média
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Assim, após convertemos para os valores z, pode-se utilizar a distribuição normal de vária maneiras, pois a distribuição normal é uma distribuição de probabilidade. Com isso, tem-se a associação com cada valor da distribuição. 
EX: Sabe-se que um aluno alcançou as seguintes notas nas provas de física, português e história, respectivamente, 4,9; 6,3; 7,0. Conhecendo a média e o desvio padrão das notas das três matérias indicadas e sabendo que a distribuição das notas formam uma curva normal, onde esse aluno teve um melhor desempenho. 
Física: média = 4,5 Desvio Padrão = 1,8
Português: média = 6,8 Desvio Padrão = 1,2
História: média = 6,5 Desvio Padrão = 0,7 
Importante: Usar a tabela de probabilidade Normal
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
= 4,9-4,5/ 1,8= 0,22 - FÍSICA
1
2
0,22
0,087
0,500
0,413
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
= 6,3-6,8/ 1,2= -0,42 - Português
-1
-2
-0,42
0,500
0,163
0,337
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
= 7,0-6,5/ 0,7= 0,71 - História
1
2
0,71
0,500
0,261
0,239
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Voltando no caso do teste do QI – z = 2,33 
2,33
?
Percentagem da população apresenta escores abaixo de 135? 
0,9901
0,0099
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
O uso da tabela associado ao gráfico da função acumulada da probabilidade, considerando a variável Z.
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Possibilidades de expressar as probabilidades:
P(a < Z < b) = probabilidade de o valor z estar entre “a” e “b”.
P(Z < a) = probabilidade de o valor z ser menor que “a”.
P(Z > a) = probabilidade de o valor z ser maior que “a”.
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Como se chegar ao valor da probabilidade?
Função densidade da distribuição normal:
Função densidade da distribuição normal reduzida:
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Z=1
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Todas as distribuições são NORMAIS?
O que fazer quando a distribuição não é NORMAL?
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Logo que você nasceu seu pai começou a jogar um dado não viciado e a anotar o resultado. Essa pratica passou para o seu filho, então, primeiramente seu pai e após o seu filho, jogou o dado a cada dois segundos ao longo de 80 anos. Como será representada a distribuição de todos os lances de dados? 
Supor que a distribuição amostral é sempre igual a distribuição da população?
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Distribuição Uniforme ~ Distribuição Normal
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Vamos escolher aleatoriamente 10 amostras de 10 lances de dados da população de lances de dados de toda a sua vida
1,5,1,2,6,6,4,1,4,6 = média = 3,6
1,2,2,2,6,5,3,3,6,4 = média = 3,4
4,2,1,6,6,5,3,5,5,2 = média = 3,9
3,5,2,4,2,2,1,4,3,4 = média = 3,0
4,2,1,1,2,6,6,5,3,4 = média = 3,4
6,3,1,2,5,6,1,4,3,3 = média = 3,4
1,1,6,2,4,3,5,2,1,4 = média = 2,9
2,3,4,4,6,1,5,3,2,1 = média = 3,1
3,1,5,4,1,6,6,2,2,3 = média = 3,3
2,3,4,2,6,1,5,2,3,4 = média = 3,2
 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
EX: A distribuição de probabilidade da variável resultante do lançamento de um dado segue a distribuição uniforme, ou seja, qualquer valor (1,2,3,4,5,6) tem a mesma probabilidade (1/6) de ocorrer. 
No entanto, se ao invés de lançar um dado, sejam lançados dois dados e calculada a média, a média dos dois dados seguirá uma distribuição aproximadamente Normal.
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
1,0
1,5
3,5
2,5
2,0
3,0
6,0
4,0
4,5
5,0
5,5
1/36
2/36
3/36
x
f(x)
4/36
5/36
6/36
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Executável TLC
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
A distribuição amostral da média é normal, não obstante a forma de distribuição da população.
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL: Se
são variáveis
aleatórias independentes com média 
e variância 
, e se 
 e 
 são valores finitos, a distribuição de 
 tende a uma distribuição 
normal com média 
 e variância 
, a medida que 
n cresce, em outras palavras, a distribuição limite de 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
EXEMPLO:
1. Seja X: N(80,26). Dessa população retiramos uma amostra de n = 25. Calcular:
Como X: N(80,26) 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
2. Seja X: N(100,85). Dessa população retiramos uma amostra de n = 20. Calcular:
Neste caso a probabilidade já está definida, precisamos determinar o valor Z tal que 0,95 seja a probabilidade de que a média estar entre os dois limites: 
-Z
Z
0
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
Ou seja:
A probabilidade da média amostral pertencer no intervalo acima é de 95%, o que significa que temos uma confiança de 95% (95 para 100) de que, retirada uma amostra de n=20, a média dela estará entre 95,96 e 104,04, ou então há um risco de 5% de que está média seja < 95,96 ou > 104,04 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
De uma população normal com desvio padrão de 5, retiramos uma amostra de 50 elementos e obtemos uma média de 42
Fazer o intervalo de confiança para a média ao nível de 5%
Qual o erro da estimação ao nível de confiança de 5%?
Para que o erro seja < ou = 1, com probabilidade de 95%, qual deverá ser o tamanho da amostra?
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS E PROPORÇÕES
Não obstante, tenhamos conhecimento de que a média da amostra é uma aproximação da média da população, geralmente não temos muita certeza da precisão desta aproximação. Os intervalos de confiança podem nos ajudar nessa dúvida. 
Estimativa Pontual: a média representa um ponto da variável e por esse motivo não sabemos se a nossa média amostral é uma subestimação ou uma sobrestimação da média populacional.
Intervalo de Confiança: fornece um raio de valores em torno da média amostral dentro do qualpodemos, com determinada confiança , se ele contém a média da população. 
Probabilidade, Amostragem e Distribuição 
X P(X)
10,1
20,2
30,4
40,2
50,1
S
X
X
Z
-
=
)
1
,
0
(
~
N
X
1
.
0
1
.
1
1
.
2
1
.
3
1
.
4
0
.
8
4
1
3
0
.
8
6
4
3
0
.
8
8
4
9
0
.
9
0
3
2
0
.
9
1
9
2
0
.
8
4
3
8
0
.
8
6
6
5
0
.
8
8
6
9
0
.
9
0
4
9
0
.
9
2
0
7
0
.
8
4
6
1
0
.
8
6
8
6
0
.
8
8
8
8
0
.
9
0
6
6
0
.
9
2
2
2
0
.
8
4
8
5
0
.
8
7
0
8
0
.
8
9
0
7
0
.
9
0
8
2
0
.
9
2
3
6
0
.
8
5
0
8
0
.
8
7
2
9
0
.
8
9
2
5
0
.
9
0
9
9
0
.
9
2
5
1
0
.
8
5
3
1
0
.
8
7
4
9
0
.
8
9
4
4
0
.
9
1
1
5
0
.
9
2
6
5
0
.
8
5
5
4
0
.
8
9
6
2
0
.
9
1
3
1
0
.
9
2
7
8
0
.
8
7
7
0
0
.
8
5
7
7
0
.
8
7
9
0
0
.
8
9
8
0
0
.
9
1
4
7
0
.
9
2
9
2
0
.
8
5
9
9
0
.
8
8
1
0
0
.
8
9
9
7
0
.
9
1
6
2
0
.
9
3
0
6
0
.
8
6
2
1
0
.
8
8
3
0
0
.
9
0
1
5
0
.
9
1
7
7
0
.
9
3
1
9
0
.
0
0
0
.
0
1
0
.
0
2
0
.
0
3
0
.
0
4
0
.
0
5
0
.
0
6
0
.
0
7
0
.
0
8
0
.
0
9
Probabilidade de ocorrência de valores abaixo de Z
Z
1
.
0
1
.
1
1
.
2
1
.
3
1
.
4
0
.
8
4
1
3
0
.
8
6
4
3
0
.
8
8
4
9
0
.
9
0
3
2
0
.
9
1
9
2
0
.
8
4
3
8
0
.
8
6
6
5
0
.
8
8
6
9
0
.
9
0
4
9
0
.
9
2
0
7
0
.
8
4
6
1
0
.
8
6
8
6
0
.
8
8
8
8
0
.
9
0
6
6
0
.
9
2
2
2
0
.
8
4
8
5
0
.
8
7
0
8
0
.
8
9
0
7
0
.
9
0
8
2
0
.
9
2
3
6
0
.
8
5
0
8
0
.
8
7
2
9
0
.
8
9
2
5
0
.
9
0
9
9
0
.
9
2
5
1
0
.
8
5
3
1
0
.
8
7
4
9
0
.
8
9
4
4
0
.
9
1
1
5
0
.
9
2
6
5
0
.
8
5
5
4
0
.
8
9
6
2
0
.
9
1
3
1
0
.
9
2
7
8
0
.
8
7
7
0
0
.
8
5
7
7
0
.
8
7
9
0
0
.
8
9
8
0
0
.
9
1
4
7
0
.
9
2
9
2
0
.
8
5
9
9
0
.
8
8
1
0
0
.
8
9
9
7
0
.
9
1
6
2
0
.
9
3
0
6
0
.
8
6
2
1
0
.
8
8
3
0
0
.
9
0
1
5
0
.
9
1
7
7
0
.
9
3
1
9
0
.
0
0
0
.
0
1
0
.
0
2
0
.
0
3
0
.
0
4
0
.
0
5
0
.
0
6
0
.
0
7
0
.
0
8
0
.
0
9
Probabilidade de ocorrência de valores abaixo de Z
Z
(
)
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
-
=
2
2
.
2
.
.
2
1
)
(
s
m
p
s
X
e
X
f
(
)
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
=
2
2
.
.
2
1
)
(
Z
e
Z
f
p
á
r
e
a
=
1
área=0,5
área=0,5
(
)
1
.
.
2
.
1
)
(
2
2
.
2
=
=
ò
ò
¥
+
¥
-
¥
+
¥
-
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
-
dX
e
dX
X
f
X
s
m
p
s
(
)
5
,
0
.
.
2
1
0
2
2
=
ò
¥
-
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
dZ
e
Z
p
(
)
5
,
0
.
.
2
1
0
2
2
=
ò
¥
+
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
dZ
e
Z
p
á
r
e
a
=
1
área=0,5
área=0,5
Área=0,84
1,0
0,84
0,0
ò
¥
-
=
=
£
x
dx
x
f
x
F
x
X
P
 
)
(
)
(
)
(
{
}
Tabelado
 
 
)
(
Þ
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
£
=
£
Z
F
x
Z
P
x
X
P
s
m
Área=0,84
1,0
0,84
0,0
1
0
 dado
2
0
 dado
Soma
Média
1
0
 dado
2
0
 dado
Soma
Média
1
1
2
1,0
5
2
7
3,5
1
2
3
1,5
3
4
7
3,5
2
1
3
1,5
4
3
7
3,5
1
3
4
2,0
2
6
8
4,0
3
1
4
2,0
6
2
8
4,0
2
2
4
2,0
3
5
8
4,0
1
4
5
2,5
5
3
8
4,0
4
1
5
2,5
4
4
8
4,0
3
2
5
2,5
3
6
9
4,5
2
3
5
2,5
6
3
9
4,5
1
5
6
3,0
4
5
9
4,5
5
1
6
3,0
5
4
9
4,5
2
4
6
3,0
4
6
10
5,0
4
2
6
3,0
6
4
10
5,0
3
3
6
3,0
5
5
10
5,0
1
6
7
3,5
5
6
11
5,5
6
1
7
3,5
6
5
11
5,5
2
5
7
3,5
6
6
12
6,0
Média de
dois dados
Freqüência
1,0
1
1,5
2
2,0
3
2,5
4
3,0
5
3,5
6
4,0
5
4,5
4
5,0
3
5,5
2
6,0
1
n
n
n
n
n
X
X
X
X
,...,
,
,
3
2
1
m
2
s
å
=
i
X
Y
(
)
m
.
n
Y
E
=
(
)
2
.
s
n
Y
V
=
n
n
X
Z
i
.
.
s
m
å
-
=
n
x
Z
s
m
-
=
)
83
(
>
x
P
)
82
(
£
x
P
î
í
ì
=
=
=
1
,
5
26
80
s
m
80
=
x
m
02
,
1
25
1
,
5
=
=
x
s
02
,
1
80
-
=
-
=
x
n
x
Z
s
m
02
,
1
80
83
-
=
Z
94
,
2
=
Z
00164
,
0
)
94
,
2
(
=
³
Z
P
02
,
1
80
82
-
=
Z
96
,
1
=
Z
975
,
0
)
96
,
1
(
=
£
Z
P
95
,
0
)
.
.
(
=
+
<
<
-
x
x
Z
x
Z
x
P
s
m
s
a
a
96
,
1
475
,
0
=
=
Z
Z
a
95
,
0
)
06
,
2
.
96
,
1
100
06
,
2
.
96
,
1
(
=
+
<
<
-
x
x
P
04
,
104
100
06
,
2
.
96
,
1
<
Þ
<
-
x
x
x
x
<
Þ
+
<
96
,
95
06
,
2
.
96
,
1
100
95
,
0
)
04
,
104
56
,
95
(
=
<
<
x
P