AULA 1 Distribuições Amostrais e Estimação Pontual de Parâmetros

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Distribuições Amostrais e 
Estimação Pontual de Parâmetros 
Estimativa Pontual 
• A Inferência Estatística está focada em tirar conclusões acerca de um ou 
mais parâmetros de uma população. 
 
• Uma parte importante desse processo é obter estimativas dos 
parâmetros. 
 
• X é uma Variável Aleatória (VA). 
 
• X1, X2, …, Xn é uma Amostra Aleatória (AA) de tamanho n. 
Estimativa Pontual 
Estimativa Pontual 
• Parâmetro   
 Ex.:  (média) e 2 (variância) 
 
• Estimador Pontual de   
 Ex.: (média amostral) e S2 (variância amostral) 
 
 
 
 
 
 
• Estimativa Pontual de   (valor numérico) 
 Ex.: e 
Estimativa Pontual 
Exemplo: 
Suponha que a variável aleatória X seja normalmente distribuída, com uma 
média desconhecida . Se x1 = 25, x2 = 30, x3 = 29 e x4 = 31, então a 
estimativa pontual de  é 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
• Estatística: qualquer função das observações em uma Amostra Aleatória. 
 Ex.: se X1, X2, …, Xn é uma Amostra Aleatória (AA) de tamanho n, 
 então e S2 são estatísticas. 
 
• Distribuição Amostral: distribuição de probabilidades de uma estatística. 
 Ex.: a distribuição de probabilidades de é chamada de distribuição 
amostral da média. 
 
• A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição da 
população, do tamanho da amostra (n) e do método de seleção da 
amostra. 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
• Distribuição amostral da média da amostra: 
 Suponha que uma AA de tamanho n seja retirada de uma população 
normal com média  e variância 2. 
 
 Funções lineares de variáveis aleatórias distribuídas normal e 
independentemente são também distribuídas normalmente. 
 
 Então a média da amostra 
 
 Tem distribuição normal com média 
 
 e variância 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
• Outras distribuições amostrais e suas aplicações serão ilustradas 
extensivamente nas seções referentes a Intervalos Estatísticos e Testes de 
Hipóteses! 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
• Teorema Central do Limite (TCL): 
Se X1, X2, …, Xn é uma Amostra Aleatória (AA) de tamanho n, retirada de 
uma população (finita ou infinita), com média  e variância 2, e se for a 
média da amostra então a forma limite da distribuição de 
 
 
 
 
quando n   (na prática n ≥ 30), é a distribuição normal padrão. 
Se n < 30, o TCL se aplicará, se a distribuição da população não for muito 
diferente da normal. 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
Exemplo: 
Distribuições das pontuações médias obtidas em arremessos de dados. 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
Exemplo: 
Suponha que uma VA X tenha uma distribuição contínua uniforme 
 
 
 
 
Encontre a distribuição da média amostral de uma AA de tamanho n = 40. 
 
A média e a variância de são  = 5 e 2 = (6 – 4)2/12 = 1/3. 
 
O TCL indica que a distribuição de é aproximadamente normal com 
 média e variância . 
Distribuições Amostrais e 
Teorema Central do Limite 
Exemplo: 
 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
• Tendência de um Estimador: 
 
 
 
 
 Um estimador do parâmetro  é não tendencioso quando: 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
Exercício: 
Suponha que X seja uma VA com média  e variância 2. Seja X1, X2, …, Xn 
uma AA de tamanho n, de uma população representada por X. Mostre que a 
média da amostra e a variância da amostra S2 são estimadores não 
tendenciosos de  e 2, respectivamente. 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
• Consistência de um Estimador: 
 Um estimador é consistente se as seguintes propriedades são satisfeitas: 
 
 limn   E( ) =  
 
 limn   V( ) = 0 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
Exercício: 
Suponha que X seja uma VA com média  e variância 2. Seja X1, X2, …, Xn 
uma AA de tamanho n, de uma população representada por X. Seja a média 
da amostra um estimador de . Verifique a consistência de . 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
• Variância de um Estimador: 
 Se considerarmos estimadores não tendenciosos do parâmetro , o que 
tiver menor variância é o mais eficiente. 
 
 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
Exercício: 
Suponha que X seja uma VA com média  e variância 2. Seja X1, X2, …, Xn 
uma AA de tamanho n, de uma população representada por X. Seja a média 
da amostra um estimador de . Qual é a variância de ? 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
• Erro Padrão de um Estimador: 
 
 
 
 
 Erro Padrão de : 
 
 
 Erro Padrão estimado de : 
 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
• Erro Médio Quadrático (EMQ) de um Estimador: 
 
 
EMQ ( ) = E[( – )2] 
 
= V( ) + (tendência)2 
 
 
 Se considerarmos estimadores do parâmetro , o que tiver menor EMQ é 
o mais eficiente. 
 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
• Eficiência Relativa: 
Conceitos Gerais de Estimação Pontual 
Exercício: 
Suponha que X seja uma VA com média  e variância 2. Seja X1, X2, …, Xn 
uma AA de tamanho n, de uma população representada por X. Seja a média 
da amostra um estimador de . Qual é o EMQ de ? 
Método dos Momentos 
• Consiste em igualar os momentos populacionais aos correspondentes 
momentos amostrais. 
• Seja X1, X2, …, Xn uma AA de distribuição de probabilidades f(x), em que 
f(x) pode ser contínua ou discreta. 
• O k-ésimo momento da população é E(Xk), k = 1, 2, … 
• O correspondente k-ésimo momento da amostra é , k = 1, 2, … 
• Seja X1, X2, …, Xn uma AA de distribuição de probabilidades com m 
parâmetros desconhecidos . . 
• Os estimadores de momento são encontrados igualando os 
m primeiros momentos da população aos m primeiros momentos da 
amostra e resolvendo as equações resultantes para os parâmetros 
desconhecidos. 
Método dos Momentos 
Exercício: Estimador de Momento da Distribuição Exponencial 
Suponha que X1, X2, …, Xn seja uma AA proveniente de uma distribuição 
exponencial, com parâmetro l. Encontre o estimador de momento de l. 
Método dos Momentos 
Exercício: Estimativa de Momento da Distribuição Exponencial 
Suponha que o tempo de falha de um módulo eletrônico usado em um 
controlador de motor de automóvel seja testado em uma temperatura 
elevada, de modo a acelerar o mecanismo de falha. O tempo de falha é 
exponencialmente distribuído. Oito unidades são selecionadas 
aleatoriamente e testadas, resultando nos seguintes tempos (em horas) de 
falha: 
 
x1 = 11,96; x2 = 5,03; x3 = 67,40; x4 = 16,07; 
x5 = 31,50; x6 = 7,73; x7 = 11,10; x8 = 22,38 
 
Encontre a estimativa de momento de l. 
Método dos Momentos 
Exercício: Estimador de Momento da Distribuição Normal 
Suponha que X1, X2, …, Xn seja uma AA proveniente de uma distribuição 
normal, com parâmetros  e 2. Encontre os estimadores de momento de  e 
2. 
Método dos Momentos 
Exercício 7-39: 
Sejam X1, X2, …, Xn uniformemente distribuídos no intervalo 0 a a. Mostre 
que o estimador de momento de a é . Ele é um estimador não 
tendencioso? Discuta quão razoável é esse estimador. 
Método da Máxima Verossimilhança 
• A ideia geral do método da máxima verossimilhança é encontrar o valor do 
parâmetro para o qual a amostra observada é mais provável. 
• Suponha X uma variável aleatória com distribuição de probabilidades 
f(x|), em que  seja o parâmetro desconhecido. 
• Sejam X1, X2, …, Xn os valores observados na AA de tamanho n. 
• Então, a função de verossimilhança da amostra é: 
 
 
• O Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) de  é o valor de  
maximiza a função L(). 
• O EMV de  é obtido derivando L() em relação a  e igualando a 0. 
• Para facilitar a solução, pode-se utilizar a função de log-verossimilhança: 
ln L()Método da Máxima Verossimilhança 
Método da Máxima Verossimilhança 
Método da Máxima Verossimilhança 
Método da Máxima Verossimilhança 
• Propriedades do EMV: 
 Se for um EMV de θ, então: 
 
 1. é um estimador aproximadamente não tendencioso para θ 
 
 2. a variância de é aproximadamente tão pequena quanto a variância 
que poderia ser obtida com qualquer outro estimador 
 
 3. tem distribuição Normal aproximada 
 
 Assim, (1) e (2) garantem que o EMV é um estimador eficiente e (3) 
mostra porque é um método de estimação tão utilizado 
Método da Máxima Verossimilhança 
• Propriedade da invariância: 
 
Método da Máxima Verossimilhança 
Seja X distribuído uniformemente no intervalo 0 a a. Encontre o estimador de 
máxima verossimilhança de a.