231GGR0899A_ Unidade 2 estatistica

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
ANÁLISE COMBINATÓRIA EANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Autor: Mestre Raimundo José Almeida Júnior
Revisor : Hugo Estevam De Sa les Câmara
IN IC IAR
introdução
Introdução
Agora começaremos nosso estudo sobre probabilidade . Para isso,
iniciaremos o material abordando um pouco sobre os métodos de resolução
de problemas de contagem, que é o objeto de estudo da análise
combinatória.
Após aprendermos a trabalhar com o Princípio Fundamental da Contagem e
com suas formulações subsequentes (permutação, arranjo e combinação),
iniciaremos o estudo da probabilidade, suas propriedades e técnicas de
cálculo. Fecharemos a unidade abordando o cálculo de probabilidade para
eventos complementares e de probabilidade condicional.
Todo o conteúdo desta unidade poderá ser aplicado na produção de
relatórios qualitativos e quantitativos, estudo de con�abilidade de um
processo de produção industrial, análise da qualidade de um serviço,
predição do comportamento de uma variável, dentre outras.
Bons estudos!
Nesta primeira seção, trabalharemos com os princípios de contagem, cujo
foco é determinar o número de possíveis ocorrências de determinado
fenômeno. Começaremos nosso estudo com o Princípio Fundamental da
Contagem e, em sequência, trabalharemos com as fórmulas e resultados que
nos ajudarão a resolver problemas de contagem de modo muito mais rápido
e prático. Vamos lá!
Princípio Fundamental da Contagem
Considere uma sequência de dois eventos. O evento 1 pode ocorrer de 
maneiras e o evento 2 de maneiras. Então, juntos, os eventos podem
ocorrer de maneiras.
Para ilustrar, considere o seguinte exemplo:
Um casal de pais deseja escolher duas atividades para que seu �lho realize no
turno oposto ao horário escolar. A primeira atividade deve ser um esporte e a
segunda deve ser uma atividade cultural ou de lazer. A Figura 2.1 ilustra as
Princípio Fundamental daPrincípio Fundamental da
ContagemContagem
m
n
m n
três opções de atividades ligadas ao esporte e as duas opções ligadas a
lazer/cultura.
Quantas possibilidades de pares de atividades o casal dispõe para
escolher?
A �gura a seguir corresponde a um diagrama, chamado de diagrama de
árvore, que indica todas as possibilidades para os pares de atividades
possíveis:
Figura 2.1 - Opções para esporte, cultura e lazer
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 2.2 podemos observar que existem 6 possibilidades de combinação
de pares de atividades. Uma outra forma de obter esse resultado consiste em
aplicarmos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Para isso, o primeiro
passo é veri�carmos o número de possibilidade para cada um dos 2 eventos
e, por �m, multiplicamos os números para obtenção do resultado �nal:
Figura 2.2 - Diagrama de árvore para contagem das possíveis combinações
entre esporte e cultura e lazer
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 2.3 - Contagem das combinações
Fonte: Elaborada pelo autor.
praticar
Vamos Praticar
EXERCÍCIO 1
Uma sala tem 5 portas:
1 - De quantas maneiras distintas é possível entrar e sair da sala?
Figura 2.4 - Quantidade de portas de uma sala
Fonte: Elaborada pelo autor.
2. De quantas maneiras distintas é possível entrar e sair da sala sem utilizar a
mesma porta?
praticar
Vamos Praticar
EXERCÍCIO 2
A partir de 2019, todas as placas veiculares brasileiras tiveram que ser atualizadas
para um novo padrão, formado por uma sequência de 3 letras, seguidas de 1
algarismo, mais 1 letra e mais 2 algarismos, conforme modelo a seguir.
Figura 2.7 - Modelo de uma placa de carro
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quantas placas podem ser feitas, assumindo que os três algarismos precisam ser
distintos e a quarta letra da placa precisa ser a uma das 3 primeiras letras do
alfabeto?
praticar
Vamos Praticar
Uma �la para atendimento num posto médico deve ser formada respeitando-se as
prioridades:
1. idosos, grávidas e pessoas com crianças de colo;
2. adultos com crianças (que não necessitam de colo);
3. demais pessoas.
Numa determinada manhã, 7 pessoas (três adultos sem �lhos, uma gestante, um
idoso, uma mulher com criança de colo e um homem com criança que não necessita
de colo) precisam ser atendidas. De quantas maneiras a �la pode ser formada,
respeitando-se as prioridades estabelecidas?
a)   42
b) 36.
c) 27
d) 64
e) 81
Figura - Pessoas para compor uma �la
Fonte: Elaborada pelo autor.
Antes de iniciarmos nosso estudo das permutações, combinações e arranjos,
vamos relembrar a de�nição de fatorial, que será muito utilizada nesta
unidade. O fatorial de um número $n$ (maior que 1) é dado pelo produto dos
 primeiros números naturais. Notação: .
Por exemplo:
Exercício Resolvido:
Calcule o valor de .
Solução:
Como estratégia, desenvolveremos o numerador da fração para obtermos um
fator que se cancele com o denominador:
Permutações,Permutações,
Combinações e ArranjosCombinações e Arranjos
n n!
3! = 3 × 2 × 1 = 6
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
7!
5!
Agora que você já sabe operar com o fatorial, vamos às de�nições principais
do capítulo.
= = 7 × 6 = 42.
7!
5!
7 × 6 × 5!
5!
1. PERMUTAÇÃO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de
possibilidades de formação de uma sequência
(�la).
Qual a fórmula?
Permutação de elementos:
Exemplo:
Nº de possibilidades de formação de uma �la de 5
pessoas: possibilidades   Nº de
anagramas da palavra RENATO: 
anagramas
2. ARRANJO
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de diferentes
�las que podem ser formadas com elementos
em um conjunto com elementos. Neste caso, a
ordem da escolha dos elementos importa.
Qual a fórmula?
Arranjo de elementos tomados a :
Exemplo:
Nº de possibilidades de formação de uma �la de 3
pessoas, extraídas de um conjunto de 5 pessoas:
 possibilidades
3. COMBINAÇÃO
n
= n!Pn
5! = 120
6! = 720
n
m
n p p
=Apn
n!
(n − p)!
= = 60A35
5!
2!
Quadro 2.2 - Técnicas de contagem
Fonte: Elaborado pelo autor.
Agora, observe os exemplos a seguir para �xação das de�nições de
permutação, arranjo e combinação.
Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados a partir da palavra NÚMEROS?
Resposta: A resposta consiste no número de permutações de um conjunto de
7 elementos, logo
Exemplo 2:
Quantos anagramas possui a palavra NÚMEROS, sendo que a primeira letra é
uma consoante?
Quando é
utilizado?
Quando queremos contar o número de
subconjuntos com elementos que podem ser
formados a partir de um conjunto com 
elementos. Neste caso, a ordem da escolha dos
elementos não importa.
Qual a fórmula?
Combinação de elementos tomados a :
Exemplo:
Nº de trios que podem ser formados por uma
turma de 8 estudantes: 
possibilidades
n
m
m n n
=Cnm
m!
n! (m − n)!
= = 56C38
8!
3!5!
= 7! = 5040 anagramas.P7
Resposta: Observe que existem 4 possibilidades para a primeira letra (N, M, R
e S). Uma vez escolhida a primeira letra, as demais devem ser permutadas
para formação dos anagramas ( ). Pelo PFC, temos:
Exemplo 3:
Quantas senhas de 4 dígitos podemos formar com os caracteres A, B, C, D, E e
F?
Resposta: Observe que a senha ABCD é diferente da senha DCBA, ou seja, a
ordem da sequência importa na contagem. Sendo assim, a resposta consiste
no arranjo de 6 tomados 4 a 4:
Exemplo 4:
Um torneio de tênis de mesa possui 18 competidores, no qual cada
competidor joga contra todos os outros. Sendo cada partida disputada por 2
jogadores, quantas partidas teremos no torneio?
Resposta: Sendo A um jogador e B outro jogador, a disputa A B e a disputa B
A deve ser computada como uma só. Dessa forma, a ordem de escolha não
interfere no resultado. Sendo assim, o número de disputas será dado pelo
número de combinações de 18 tomados 2 a 2:
P6
4 × = 4 × 6! = 4 × 720 = 2800 anagramas.P6
= = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 senhas.A46
6!
(6 − 4)!
6!
2!
×
×
= = = = 153 partidas.C218
18!
2! (18 − 2)!
18!
2!16!
18 × 17
2
praticar
Vamos Praticar
Anagramascorrespondem às palavras formadas a partir da permutação entre as
letras de uma outra palavra. Por exemplo, OLAMARE é um anagrama da palavra
AMARELO. Sendo assim, qual a quantidade de anagramas da palavra RAFAELA?
a) 760
b) 840.
c) 940
d) 1024
e) 556
reflita
Re�ita
Vários exercícios que podem ser solucionados pela análise
combinatória podem ser resolvidos pelo Princípio
Fundamental da Contagem OU pelas fórmulas de permutação,
arranjo e combinação. Cabe a você veri�car qual a forma mais
simples de resolver cada um deles.
Iniciaremos, agora, o nosso estudo sobre probabilidades. Começaremos a
trabalhar os conceitos iniciais vinculados a essa teoria. Na sequência, faremos
um resumo das principais propriedades decorrentes do conceito de
probabilidade. Na última seção, fecharemos nossa unidade com o conceito de
probabilidade condicional.
Conceito de Probabilidade
Ao trabalharmos com probabilidade, estaremos tratando de experimentos
nos quais desejamos mensurar a chance da ocorrência de algum fato. Nesse
contexto, direcionaremos nosso estudo para os eventos aleatórios.
Um experimento aleatório é aquele cujo resultado não pode ser previsto
antes da realização e qualquer um tem a mesma chance de acontecer. Por
exemplo, lançar um dado é um experimento aleatório (cada resultado tem
igual chance de acontecer). Já o experimento realizar uma prova sem estudar
não é aleatório (uma vez que a chance de passar é diferente da chance de
Conceito e Cálculo deConceito e Cálculo de
ProbabilidadesProbabilidades
perder). Experimentos que não são aleatórios são chamados de
experimentos determinísticos .
Antes de entrarmos no conceito de probabilidade, vamos precisar
compreender duas de�nições preliminares: espaço amostral e evento.
EVENTO
é qualquer subconjunto do espaço amostra.
Por exemplo:
Quadro 2.3 - Exemplo de espaço amostral e evento
Fonte: Elaborado pelo autor.
Dado um experimento, existem alguns tipos de eventos que possuem
nomenclatura especial. Por exemplo, no experimento do lançamento de um
dado, o evento sair número menor que 7 é dado por
 Nesse caso, dizemos que estamos tratando de
um evento certo . Por outro lado, o evento sair o número 9 é vazio,
, logo é chamado de evento impossível .
Em um experimento, dizemos que dois eventos e são complementares
se
1.  e
2. 
Por exemplo, no lançamento do dado, o evento sair número par e o evento
sair número ímpar são complementares, uma vez que a união dos dois
eventos resulta em todo o espaço amostral e que a interseção desses eventos
é vazia.
Dado um experimento, considere o evento contido no espaço amostral .
A probabilidade de ocorrência de é dada por
Experimento lançar um dado
Espaço amostral
Eventos
Sair um número par
Sair um número
menor que 5
Sair o número 6
Ω = {1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6}
A = {2 ,  4 ,  6}
B = {1 ,  2 ,  3 ,  4}
C = {6}
A = {1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6} .
B = {   }
A B
A ∪ B = Ω
A ∩ B = {   } .
A Ω
A
em que signi�ca o número de elementos de e signi�ca o
número de elementos de .
Exemplo:
Uma urna contém três bolas verdes, duas bolas azuis e cinco bolas cinzas. Ao
retirarmos, aleatoriamente, uma bola dessa urna, qual a probabilidade de não
sair uma bola verde?
Solução:
Logo, .
P (A) =  ,
# (A)
# (Ω)
# (A) A # (Ω)
Ω
Figura 2.9 - Possibilidades de bolas a serem sorteadas
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ω = {V 1 ,  V 2 ,  V 3 ,  A1 ,  A2 ,  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 ,  C5}
A = {A1 ,  A2 ,  C1 ,  C2 ,  C3 ,  C4 ,  C5}
P (A) = = = 0, 7 = 70%
#(A)
#(Ω)
7
10
Propriedades da Probabilidade
A seguir, seguem algumas propriedades da probabilidade, que podem ser
úteis em diversas situações e na resolução de problemas.
1. Se , então .
2. Se , então .
3. Para qualquer evento , temos: .
4. Se e são eventos complementares, então .
5. Regra da Adição: dados eventos e , temos sempre que
.
Exemplo resolvido:
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade que o número seja
par ou múltiplo de 3?
Solução:
Considere os dois eventos (sair um número par) e (sair um múltiplo de
3). Observe que   estamos procurando a probabilidade associado ao evento
. Sendo assim,
e
Logo, .
praticar
V P ti
A = {   } P (A) = 0
A = Ω P (A) = 1
A 0 ≤ P (A) ≤ 1
A B P (A) + P (B) = 1
A B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
A B
A ∪ B
A = {2 ,  4 ,  6 ,  8 ,  10 ,  12 ,  14 ,  16 ,  18 ,  20}
B = {3 ,  6 ,  9 ,  12 ,  15 ,  18}  .
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = + − =10
20
6
20
3
20
13
20
praticar
Vamos Praticar
Qual a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados diferentes, obter
soma igual a 8?
a) 5/36
b) 1/12
c) 5/12
d) 1/15
e) 1/4
A probabilidade condicional de um evento é a probabilidade obtida com a
informação adicional de que outro evento já tenha ocorrido. 
denota a probabilidade condicional de ocorrência do evento B, dado que já
ocorreu o evento . Para se calcular uma probabilidade condicional,
utilizamos a fórmula a seguir.
Exemplo resolvido:
Qual a chance de extrair uma carta de um baralho comum (de 52 cartas) e
obter um 3, sabendo que ela é uma carta de copas?
Solução:
Considere os eventos (sair 3) e (sair copas). A probabilidade procurada é
. Observe que a probabilidade , pois só existe um
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
P(A | B)
A
P(A | B) = .
P (A ∩ B)
P (B)
A B
P(A | B) P (A ∩ B) = 1
52
único 3 de copas dentre as 52 cartas. A probabilidade , pois
existem 13 cartas de copas dentre as 52. Sendo assim,
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a
probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário, os eventos são ditos
dependentes . Para o caso de eventos independentes, a fórmula da
probabilidade condicional pode ser reescrita como
uma vez que 
A fórmula anterior é bastante conhecida por Regra da Multiplicação. Ela deve
ser aplicada apenas quando estamos falando de eventos independentes.
Nesses casos, devemos calcular cada probabilidade separadamente e
multiplicar as suas respostas.
Exemplo resolvido:
Uma caixa tem 20 peças, sendo 8 delas peças do tipo X e 12 delas peças do
tipo Y. Se retirarmos duas peças, ao acaso e com reposição , qual a
probabilidade de se obter duas peças do tipo X?
Solução:
Como estamos tratando de um problema que envolve a reposição da primeira
peça sorteada (antes do sorteio da segunda peça), podemos a�rmar que
estamos trabalhando com eventos independentes. Dessa forma, a
probabilidade de que sejam retiradas duas peças do tipo X é dada pelo
produto da probabilidade de se retirar X no primeiro momento por ela
mesmo:
P (B) = 13
52
P(A | B) = = = .
P (A ∩ B)
P (B)
1
52
13
52
1
13
P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) ,
P(A | B) = P (A) .
P (A ∩ B) = P (A) ⋅ P (B) = ⋅ = = .
8
20
8
20
64
400
4
25
praticar
Vamos Praticar
Suponha que tenhamos um lote de 30 corpos de prova de concreto, dos quais 26
passaram pelo teste de tração e 4 foram reprovados. Se dois desses corpos de
prova forem selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que ambos tenham
sido aprovados no teste?
a) 75/87
b) 25/87
c) 45/87
d) 65/87
e) 55/87
saiba mais
Saiba mais
Para saber mais sobre o conteúdo desta
unidade, você pode assistir ao vídeo através
do link abaixo. Nele, o professor aparece
resolvendo uma sequência de exercícios
sobre cálculo de probabilidades, nos quais
são aplicados os métodos de contagem e as
fórmulas trabalhadas nesta unidade.
ASS I ST IR
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Introdução à Estatística - Atualização da
Tecnologia - Capítulo 4
Mario F. Triola
Editora: LTC
ISBN: 9788521622062
Comentário: Neste livro você encontrará outros
exemplos e aplicações de todo o conteúdo trabalhado
na unidade, além de inúmeros exercícios para
fortalecer e �xar seu aprendizado.
FILME
Quebrando a Banca
Ano: 2008
Comentário: Esse �lme conta a história de um grupo
de ex-estudantes do M.I.T. que se juntaram para
elaborar estratégias e truques utilizando a matemática
e a estatística como objetivo de trapacear em jogos de
cartas.
É um �lme muito interessante e enche os olhos de
qualquer pessoa que gosta de matemática.
conclusão
Conclusão
Parabéns por ter chegado até aqui! Isso mostra que você está com vontade de
aprender o conteúdo. Você já está apto a resolver problemas de análise
combinatória e cálculo de probabilidades, aplicar o Princípio Fundamental ou
as fórmulas de permutação, combinação e arranjo na solução de problemas
de contagem, além de aplicar as propriedades e as fórmulas da Regra da
Adição e da Regra da Multiplicação.
Agora é com você, não esqueça de exercitar todos os tópicos e tirar todas as
suas dúvidas. Boa sorte!
referências
Referências
Bibliográ�cas
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências . São
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade
para engenheiros . Rio de Janeiro: LTC, 2003.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia, v. único.
11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.