Física Mecânica - 6 Momento linear

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Introdução ao momento linear
Até agora, estudamos basicamente situações envolvendo apenas um 
corpo. 
Vimos várias ferramentas para analisar seu movimento e interações, 
como as equações da cinemática, leis de Newton e energia. 
Porém, muitas vezes nosso interesse é entender situações envolvendo 
mais de uma partícula. Para isso, precisaremos de uma nova 
ferramenta, que é o que vamos estudar nesta unidade
Essa ferramenta é chamada de momento linear.
Além disso, em algumas situações, a energia mecânica não é 
conservada. 
Durante uma colisão, por exemplo, parte da energia mecânica é 
transformada em outros tipos de energia, como térmica e sonora. 
Mesmo não havendo conservação da energia, veremos que é possível 
analisar a conservação do momento linear. 
Dessa forma, seremos capazes de entender e analisar 
uma variedade bem mais ampla de situações físicas. 
Momento linear na reta
O momento linear é uma grandeza física vetorial, também chamado de 
quantidade de movimento ou de momentum, e que pode ser 
representada pelas letras Ԧ𝑝 ou Ԧ𝑞.
O módulo do momento linear é dado pelo produto da massa pela 
velocidade de um objeto:
𝑝 = 𝑚𝑣
Unidade de momento linear: kg · m/s
Devemos considerar o sinal do momento linear.
Ex: Qual é a ordem de grandeza do momento linear de uma pessoa de 
80 kg caminhando, em kg · m/s?
a) 100
b) 101
c) 102
d) 103
e) 104
R: alternativa (c)
Ex: Qual é a ordem de grandeza do momento linear de um carro de 
passeio se movendo na cidade, em kg · m/s?
a) 102
b) 103
c) 104
d) 105
e) 106
R: alternativa (c)
Ex: Quando o semáforo fica verde, uma motociclista parte do repouso e 
acelera a uma taxa constante de 3,0 m/s². Se a massa da motociclista 
com a moto é de 200 kg, qual é a intensidade do momento linear dela 
após 5,0 s?
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑣 = 0 + 3,0 ⋅ 5,0
𝑣 = 15 m/s
𝑝 = 𝑚𝑣
𝑝 = 200 ⋅ 15
𝑝 = 3.000 kg ⋅ m/s
Ex: Um projétil de massa 90 g é disparado com velocidade inicial de 
400 m/s, formando um ângulo com a horizontal de 60°. Qual é o 
momento linear do projétil no ponto mais alto da trajetória?
A velocidade no ponto mais alto da trajetória é igual à componente 
horizontal da velocidade inicial:
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃
𝑣0𝑥 = 400 ⋅ cos 60° = 400 ⋅ 0,5
𝑣0𝑥 = 200 m/s
𝑝 = 𝑚𝑣
𝑝 = 0,090 ⋅ 200
𝑝 = 18,0 kg ⋅ m/s
Ex: Um objeto de massa 𝑚 = 3,0 kg se move ao longo de um eixo 𝑥, no 
sentido negativo do eixo. Ele passa pelo ponto 𝑥 = 65,0 cm no instante 
𝑡 = 4,7 s e pelo ponto 𝑥 = 55,0 cm no instante 𝑡 = 4,9 s. Determine o 
momento linear desse objeto, sabendo que ele se move com 
velocidade constante.
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
𝑣 =
0,55 − 0,65
4,9 − 4,7
=
−0,10
0,2
= −0,5 m/s
𝑝 = 𝑚𝑣 = 3,0 ⋅ −0,5
𝑝 = −1,5 kg ⋅ m/s
Momento linear no espaço
A velocidade é um vetor, e por isso ela possui módulo, direção e 
sentido.
O momento linear é dado pelo produto da massa pela velocidade. 
Como a massa é um escalar e a velocidade é um vetor, então o 
momento linear também é um vetor.
Logo, o momento linear também possui módulo, direção 
e sentido, sendo que estes dois últimos são iguais ao da 
velocidade.
Ex: Um pássaro bravo de 70 g é lançado por uma catapulta com velocidade de 100 
m/s, formando um ângulo 𝜃 com a horizontal. Sabe-se que sen 𝜃 = 0,60 e cos 𝜃 =
0,80. Quais são as componentes horizontal e vertical do momento linear do 
pássaro no instante do lançamento?
𝑝0 = 𝑚𝑣0 = 0,070 ⋅ 100 = 7,0 kg ⋅ m/s
𝑝0𝑥 = 𝑝0 cos 𝜃 = 7,0 ⋅ 0,80
𝑝0𝑥 = 5,6 kg ⋅ m/s
𝑝0𝑦 = 𝑝0 sen 𝜃 = 7,0 ⋅ 0,60
𝑝0𝑦 = 4,2 kg ⋅ m/s
Outra forma de fazer seria decompondo primeiro a velocidade:
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 = 100 ⋅ 0,80 = 80 m/s
𝑝0𝑥 = 𝑚𝑣0𝑥 = 0,070 ⋅ 80 = 5,6 kg ⋅ m/s
Ex: A bola de cristal da bruxa gigante rola de uma mesa de 6,4 m de 
altura e cai em direção ao chão. A bola, que possui 9,0 kg, sai da mesa 
com velocidade inicial de 6,0 m/s. Qual será o vetor momento linear da 
bola de cristal quando ela tiver percorrido metade da altura na queda? 
Considere 𝑔 = 10 m/s2 e a resistência do ar desprezível.
Impulso de uma força constante
Quando uma força constante 𝐹 é aplicada sobre um corpo durante um 
intervalo de tempo Δ𝑡, dizemos que o impulso 𝐼 que atua nesse corpo 
é dado por
𝐼 = 𝐹Δ𝑡
Unidade de impulso: N ⋅ s ou kg ⋅ m/s
Como a força é um vetor, então o impulso também é um vetor e 
podemos escrever
Ԧ𝐼 = Ԧ𝐹Δ𝑡
No dia-a-dia, associamos a ideia de impulso a interações de curta 
duração, como, por exemplo, dar um chute numa bola.
Porém, na física, o conceito de impulso também pode ser aplicado a 
interações com duração mais longa.
Ex: Uma criança empurra um carrinho aplicando uma força constante 
de 20 N durante 5 segundos. Qual é o impulso aplicado sobre o 
carrinho?
𝐼 = 𝐹Δ𝑡
𝐼 = 20 ⋅ 5
𝐼 = 100 kg ⋅ m/s
Ex: Um projétil sofre um impulso de 12 kg ⋅ m/s durante um intervalo 
de tempo de 80 ms. Qual é a força média que atuou sobre o projétil?
𝐼 = 𝐹Δ𝑡
𝐹 =
𝐼
Δ𝑡
𝐹 =
12
0,080
𝐹 = 150 N
Impulso e momento linear
Outra forma de definir o impulso é através do momento linear:
𝐼 = Δ𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖
Ou seja, o impulso que atua sobre um corpo é responsável por 
provocar uma variação do momento linear desse corpo.
Da mesma forma, para que o momento linear de um corpo varie, é 
necessário que atue um impulso sobre ele.
Juntando as duas definições de impulso, temos que 
𝐹Δ𝑡 = Δ𝑝
Ex: Uma criança chuta uma bola de 400 g massa, inicialmente parada, 
imprimindo-lhe uma velocidade de 54 km/h. Se o pé da criança fica em 
contato com a bola durante 500 ms, qual é a força média exercida pela 
criança sobre a bola?
𝐼 = 𝐹Δ𝑡 = Δ𝑝
𝐹 =
Δ𝑝
Δ𝑡
Δ𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝑚𝑣𝑓 −𝑚𝑣𝑖 = 0,4 ⋅ 15 − 0 = 6,0 kg ⋅ m/s
𝐹 =
6,0
0,5
𝐹 = 12 N
Podemos tirar algumas conclusões a partir da fórmula 𝐹Δ𝑡 = Δ𝑝:
1. Para o mesmo intervalo de tempo, quanto maior a força, maior será 
a variação do momento linear;
2. Para a mesma força, quanto maior o intervalo de tempo em que ela 
é aplicada, maior será a variação do momento linear;
3. Para a mesma variação do momento linear, quanto 
maior o intervalo de tempo da interação, menor será 
o valor da força atuante.
Ex: Uma pedra de 80 g é solta de uma altura de 1,8 m. Ao bater no 
solo, ela para imediatamente. Qual é o impulso que o chão faz sobre a 
pedra? Considere 𝑔 = 10 m/s2.
𝑣 = 2𝑔𝑑 = 2 ⋅ 10 ⋅ 1,8 = 6,0 m/s
Vamos adotar um eixo vertical como positivo para cima. Imediatamente 
antes da colisão, temos
𝑝𝑖 = 𝑚𝑣𝑖 = 0,080 ⋅ −6,0 = −0,48 kg ⋅ m/s
𝑝𝑓 = 0
𝐼 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 0 − −0,48
𝐼 = 0,48 N ⋅ s
Ex: Uma “bolinha maluca” de 80 g é solta a partir do repouso de uma altura de 1,80 
m. Após bater no solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de 1,25 m. Qual é 
o impulso que o chão realiza sobre a bolinha na primeira colisão? Considere 𝑔 =
10 m/s2.
A velocidade da bolinha imediatamente antes do impacto com o chão é
𝑣𝑖 = 2𝑎𝑑 = 2 ⋅ 10 ⋅ 1,80 = 6,0 m/s
Imediatamente após o impacto, a velocidade da bolinha é
𝑣𝑓 = 2 ⋅ 10 ⋅ 1,25 = 5,0 m/s
Considerando um eixo positivo para cima:
𝐼 = Δ𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = 0,080 ⋅ +5,0 − −6,0
𝐼 = 0,88 N ⋅ s
Demonstração da 
equação do impulso
Definimos o impulso inicialmente como o produto de uma força 
constante pelo tempo em que ela é aplicada
𝐼 = 𝐹Δ𝑡
Da segunda lei de Newton, temos 𝐹 = 𝑚𝑎, ou seja:
𝐼 = 𝑚𝑎 ⋅ Δ𝑡
A aceleração é definida como 𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
, portanto
𝐼 = 𝑚
Δ𝑣
Δ𝑡
⋅ Δ𝑡
Cancelando os termos Δ𝑡, ficamos com
𝐼 = 𝑚Δ𝑣
que pode ser reescrito como
𝐼 = 𝑚 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = 𝑚𝑣𝑓 −𝑚𝑣𝑖
ou seja,
𝐼 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖
e, dessa forma,
𝐼 = Δ𝑝
Segunda lei de Newton
e momento linear
A segunda lei de Newton estabelece que
𝐹 = 𝑚𝑎
Se a aceleração for constante e apenas em um eixo, então 𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
e
𝐹 = 𝑚
Δ𝑣
Δ𝑡
que pode ser reescrita como
𝐹 =
Δ 𝑚𝑣
Δ𝑡
O termo entre parêntesis corresponde ao momento linear. Portanto, a 
segunda lei de Newton podeser expressa como
𝐹 =
Δ𝑝
Δ𝑡
Ou seja, a força resultante que atua sobre um corpo faz com que ele 
sofra uma variação do momento linear em função do tempo.
Em outras palavras, a taxa de variação do momento linear 
de uma partícula no tempo é igual à força resultante 
aplicada sobre ela.
Esse raciocínio pode ser generalizado para as três dimensões de um 
eixo coordenado.
Assim, temos que
Ԧ𝐹 =
Δ Ԧ𝑝
Δ𝑡
ou seja, o vetor força que atua sobre um corpo é igual à taxa de 
variação do seu vetor momento linear.
Momento linear de um sistema
Quando temos um sistema (ou seja, um conjunto de corpos), o 
momento linear total do sistema é a soma vetorial dos momentos 
lineares de cada objeto:
𝑃 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2 + Ԧ𝑝3 + … + Ԧ𝑝𝑁
Ex: Dois objetos, um de massa 𝑚1 = 2,5 kg e outro de massa 
𝑚2 = 4,0 kg, se movem ambos no sentido positivo de um eixo 𝑥, com 
velocidades constantes de 𝑣1 = 2,0 m/s e 𝑣2 = 3,0 m/s, 
respectivamente. Qual é o módulo, direção e sentido do momento 
linear total do sistema?
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,5 kg se move com velocidade 
constante de 𝑣1 = 2,0 m/s no sentido positivo do eixo 𝑥, enquanto 
outro objeto de massa 𝑚2 = 4,0 kg se move com velocidade constante 
de 𝑣2 = 3,0 m/s no sentido negativo do mesmo eixo. Qual é o módulo, 
direção e sentido do momento linear total do sistema?
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,5 kg se move com velocidade 
constante de 𝑣1 = 2,0 m/s no sentido positivo do eixo 𝑥, enquanto 
outro objeto de massa 𝑚2 = 4,0 kg se move com velocidade constante 
de 𝑣2 = 3,0 m/s no sentido positivo eixo 𝑦. Qual é o módulo do 
momento linear total do sistema?
Conservação do momento linear
Forças externas são aquelas realizadas por agentes que estão fora do 
sistema.
Forças internas são aquelas realizadas por agentes que estão dentro do 
sistema.
Se a resultante das forças externas que atuam em um sistema for nula, 
então o momento linear total do sistema se conserva:
𝑃𝑖 = 𝑃𝑓
Este é o princípio de conservação do momento linear.
Ex: Uma pessoa com patins está parada e em pé segurando um 
carrinho de supermercado. A pessoa dá um empurrão no carrinho, que 
adquire uma velocidade de 3,0 m/s. Sabendo que a massa da pessoa é 
de 50 kg e a massa do carrinho é de 10 kg, qual é a velocidade que a 
pessoa adquire após dar o empurrão? Desconsidere os atritos.
Centro de massa
Como você explicaria o funcionamento do passarinho equilibrista?
Im
agem
: A
m
azo
n
O centro de massa é definido como o ponto que se 
move como se toda a massa do objeto estivesse 
concentrada nesse ponto e como se todas as forças 
estivessem aplicadas nesse ponto.
Se jogarmos um bastão no ar, seu movimento é 
complexo pois ele se move e gira ao mesmo tempo. 
Porém, se analisarmos o movimento do seu centro de 
massa, sua trajetória é parabólica, como se fosse um 
objeto pontual.
Muitas vezes, a simetria nos ajuda a identificar facilmente o centro de 
massa de um objeto. 
Por exemplo, o centro de massa de um bastão homogêneo está 
localizado no encontro de seus eixos principais.
O objeto pode ter simetria em relação apenas a um dos eixos.
O centro de massa pode estar em um ponto em que não 
haja nenhuma massa. O centro de massa de um anel, 
por exemplo, está no meio dele.
Posição do centro de massa
de dois corpos na reta
Considere dois objetos pontuais posicionados ao longo de um eixo 𝑥.
A posição do centro de massa 𝑥𝐶𝑀 desses dois corpos é dada pela 
média ponderada pelas massas das posições dos objetos.
Portanto, 
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está na origem, enquanto outro 
objeto, de massa idêntica 𝑚2 = 2,0 kg, está em 𝑥2 = 1,0 m. Em que 
posição está o centro de massa do sistema?
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
𝑥1 = 0m
𝑥𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 1,0
2,0 + 2,0
=
2,0
4,0
𝑥𝐶𝑀 = 0,5 m
Note que o centro de massa está exatamente no meio
dos dois corpos, já que eles possuem massas iguais.
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está na origem, enquanto outro 
objeto, de massa 𝑚2 = 3,0 kg, está em 𝑥2 = 1,0 m. Em que posição 
está o centro de massa do sistema?
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
𝑥1 = 0m
𝑥𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ 0 + 3,0 ⋅ 1,0
2,0 + 3,0
=
3,0
5,0
𝑥𝐶𝑀 = 0,6 m
Observe que, neste caso, o centro de massa está mais 
próximo do objeto de massa maior.
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está em 𝑥1 = 1,2 m, enquanto 
outro objeto, de massa 𝑚2 = 3,0 kg, está em 𝑥2 = 2,2 m. Em que 
posição está o centro de massa do sistema?
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
𝑥𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ 1,2 + 3,0 ⋅ 2,2
2,0 + 3,0
=
2,4 + 6,6
5,0
=
9,0
5,0
𝑥𝐶𝑀 = 1,8 m
O centro de massa continua a uma distância de 0,6 m do
corpo de massa 𝑚1. O sistema apenas foi transladado ao
longo do eixo.
Posição do centro de massa
de vários corpos na reta
Se tivermos três objetos posicionados ao longo do eixo 𝑥, a posição do 
centro de massa será dada por 
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 +𝑚3𝑥3
𝑚1 +𝑚2 +𝑚3
Da mesma forma, para 𝑁 corpos, temos
𝑥𝐶𝑀 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑚𝑖𝑥𝑖
σ𝑖=1
𝑁 𝑚𝑖
=
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑁
𝑚𝑖𝑥𝑖
em que 𝑀 = σ𝑖=1
𝑁 𝑚𝑖 é a soma de todas as massa.
Ex: Considere três corpos e suas respectivas localizações: 𝑚1 = 1,0 kg
em 𝑥1 = 0,5 m; 𝑚2 = 0,8 kg em 𝑥2 = 1,4 m; e 𝑚3 = 2,5 kg em 𝑥3 =
2,0 m. Qual é a posição do centro de massa do sistema?
Posição do centro de massa
de dois corpos no espaço
Considere dois corpos posicionados no espaço, de forma que cada um 
deles possui coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 
As coordenadas do centro de massa podem ser calculadas de forma 
análoga ao que foi feito no eixo 𝑥, ou seja:
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
𝑦𝐶𝑀 =
𝑚1𝑦1 +𝑚2𝑦2
𝑚1 +𝑚2
𝑧𝐶𝑀 =
𝑚1𝑧1 +𝑚2𝑧2
𝑚1 +𝑚2
Velocidade do centro de massa
Quando calculamos a posição do centro de massa de dois objetos, 
assumimos implicitamente que eles permaneciam parados. 
Entretanto, pode ser que um ou os dois deles estejam em movimento.
Nesse caso, o centro de massa também vai ser mover.
A velocidade do centro de massa é dada por
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
𝑚1 +𝑚2
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está parado na origem, enquanto um outro 
objeto, de massa idêntica 𝑚2 = 2,0 kg, se move a partir do ponto 𝑥2 = 1,0 m com 
velocidade constante de 3,0 m/s no sentido positivo do eixo. 
a) No instante 𝑡 = 0, qual é a posição do centro de massa do sistema?
𝑥𝐶𝑀 𝑡 = 0 =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
=
2,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 1,0
2,0 + 2,0
=
2,0
4,0
= 0,5 m
b) Em 𝑡 = 1 s, qual é a posição do centro de massa do conjunto?
𝑥𝐶𝑀 𝑡 = 1 s =
𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2
𝑚1 +𝑚2
=
2,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 4,0
2,0 + 2,0
=
8,0
4,0
= 2,0 m
c) Qual foi a velocidade com que o centro de massa se moveu?
𝑣𝐶𝑀 =
𝑥𝐶𝑀 𝑡 = 1 s − 𝑥𝐶𝑀 𝑡 = 0
Δ𝑡
=
2,0 − 0,5
1,0 − 0
= 1,5 m/s
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está parado na origem, enquanto 
um outro objeto, de massa idêntica 𝑚2 = 2,0 kg, se move a partir do 
ponto 𝑥2 = 1,0 m com velocidade constante de 3,0 m/s no sentido 
positivo do eixo. Qual é a velocidade do centro de massa do sistema?
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
𝑚1 +𝑚2
𝑣1 = 0
𝑣𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 3,0
2,0 + 2,0
=
6,0
4,0
𝑣𝐶𝑀 = 1,5 m/s
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está inicialmente na origem, 
enquanto um outro objeto, de massa idêntica 𝑚2 = 2,0 kg, está 
inicialmente em 𝑥2 = 1,0 m. Os dois corpos se movem com velocidade 
constante de 3,0 m/s no sentido positivo do eixo. Qual é a velocidade 
do centro de massa do sistema?
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
𝑚1 +𝑚2
𝑣𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ 3,0
2,0 + 2,0
=
12,0
4,0
𝑣𝐶𝑀 = 3,0 m/s
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está inicialmente na origem e se 
move com velocidade de 3,0 m/s no sentido positivo do eixo, enquanto 
um outro objeto, de massa idêntica 𝑚2 = 2,0 kg, está inicialmente em 
𝑥2 = 1,0 m e se move com velocidade de 3,0 m/s no sentido negativo 
do eixo. Qual é a velocidade do centro de massa do sistema?
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
𝑚1 +𝑚2
𝑣𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ +3,0+ 2,0 ⋅ −3,0
2,0 + 2,0
=
+6,0 − 6,0
4,0
=
0
4,0
𝑣𝐶𝑀 = 0m/s
Ex: Um objeto de massa 𝑚1 = 2,0 kg está inicialmente na origem e se 
move com velocidade de 3,0 m/s no sentido negativo do eixo, 
enquanto um outro objeto, de massa idêntica 𝑚2 = 2,0 kg, está 
inicialmente em 𝑥2 = 1,0 m e se move com velocidade de 3,0 m/s no 
sentido positivo do eixo. Qual é a velocidade do centro de massa do 
sistema?
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
𝑚1 +𝑚2
𝑣𝐶𝑀 =
2,0 ⋅ −3,0 + 2,0 ⋅ +3,0
2,0 + 2,0
=
−6,0 + 6,0
4,0
=
0
4,0
𝑣𝐶𝑀 = 0 m/s
Demonstração da equação da 
velocidade do centro de massa
A velocidade é a variação da posição no tempo, e isso se aplica também 
para o centro de massa. Assim, se a velocidade é constante, temos
𝑣𝐶𝑀 =
Δ𝑥𝐶𝑀
Δ𝑡
A variação da posição do centro de massa é 
Δ𝑥𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀,𝑓 − 𝑥𝐶𝑀,𝑖
Logo, 
Δ𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1,𝑓 +𝑚2𝑥2,𝑓
𝑚1 +𝑚2
−
𝑚1𝑥1,𝑖 +𝑚2𝑥2,𝑖
𝑚1 +𝑚2
Ou seja, 
Δ𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1𝑥1,𝑓 −𝑚1𝑥1,𝑖 +𝑚2𝑥2,𝑓 −𝑚2𝑥2,𝑖
𝑚1 +𝑚2
que é igual a 
Δ𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑥1,𝑓 − 𝑥1,𝑖 +𝑚2 𝑥2,𝑓 − 𝑥2,𝑖
𝑚1 +𝑚2
Portanto
Δ𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1Δ𝑥1 +𝑚2Δ𝑥2
𝑚1 +𝑚2
Dividindo os dois lados da equação pelo tempo, temos:
Δ𝑥𝐶𝑀
Δ𝑡
=
𝑚1Δ𝑥1+𝑚2Δ𝑥2
𝑚1+𝑚2
Δ𝑡
Reorganizando os termos,
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1
Δ𝑥1
Δ𝑡
+𝑚2
Δ𝑥2
Δ𝑡
𝑚1+𝑚2
Portanto, a velocidade do centro de massa é
𝑣𝐶𝑀 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
𝑚1 +𝑚2
Podemos generalizar para três ou mais corpos: 
𝑣𝐶𝑀 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑚𝑖𝑣𝑖
σ𝑖=1
𝑁 𝑚𝑖
Caso a velocidade do centro de massa não seja constante, podemos 
fazer o limite quando Δ𝑡 → 0 e transformar a razão 
Δ𝑥
Δ𝑡
em uma 
derivada, de forma que
𝑣𝐶𝑀 =
𝑑𝑥𝐶𝑀
𝑑𝑡
=
𝑚1
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
+𝑚2
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
𝑚1+𝑚2
=
𝑚1𝑣1+𝑚2𝑣2
𝑚1+𝑚2
Aceleração do centro de massa
Assim como no caso da posição e da velocidade, podemos determinar 
a aceleração do centro de massa de um sistema. 
A aceleração do centro de massa também é obtida como a média 
ponderada pelas massas das acelerações de cada objeto.
Para dois corpos, temos
𝑎𝐶𝑀 =
𝑚1𝑎1 +𝑚2𝑎2
𝑚1 +𝑚2
	Introdução ao momento linear
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	Momento linear na reta
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	Slide 10
	Momento linear no espaço
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	Impulso de uma força constante
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	Slide 17
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	Slide 19
	Impulso e momento linear
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	Slide 23
	Slide 24
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	Demonstração da equação do impulso
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	Segunda lei de Newton e momento linear
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	Momento linear de um sistema
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	Slide 37
	Conservação do momento linear
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	Slide 40
	Centro de massa
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	Slide 42
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	Posição do centro de massa de dois corpos na reta
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	Posição do centro de massa de vários corpos na reta
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	Slide 52
	Posição do centro de massa de dois corpos no espaço
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	Velocidade do centro de massa
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	Slide 56
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	Demonstração da equação da velocidade do centro de massa
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	Aceleração do centro de massa
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