Estática dos fluidos 2

Prévia do material em texto

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 1/91
Estática dos �uidos
Prof. Fábio Cano
Descrição
A propriedade pressão na construção dos principais conceitos da
estática dos fluidos.
Propósito
Muitas aplicações e soluções de problemas de engenharia envolvem a
pressão, seus dispositivos de medida, forças hidrostáticas aplicadas em
corpos submersos e estabilidade de flutuadores. Dessa forma, o
entendimento dos balanços de forças em corpos em equilíbrio estático
é de fundamental importância para a formação de um bom engenheiro.
Objetivos
Módulo 1
Hidrostática
Determinar a variação de pressão em um fluido em repouso.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 2/91
Módulo 2
Força atuante em uma placa plana
Calcular as forças exercidas por um fluido em repouso em
superfícies submersas planas.
Módulo 3
Força atuante em uma superfície curva
Calcular as forças exercidas por um fluido em repouso em
superfícies submersas curvas.
Módulo 4
Centro de pressão e linha de ação
Analisar o movimento de corpo.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo sobre a estática dos
fluidos.

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 3/91
1 - Hidrostática
Ao �nal deste módulo, você será capaz de determinar a variação de pressão em um �uido em
repouso.
Vamos começar!
Variação de pressão em um �uido em
repouso
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos
que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
Princípios de Pascal e escalas de
pressão

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 4/91
Por definição, um fluido se deforma continuamente quando submetido a
uma tensão de cisalhamento de qualquer magnitude.
Para um fluido homogêneo e estático, a partícula de fluido retém a sua
identidade e não se deforma. Dessa forma, não se observa no fluido
movimentos relativos entre camadas, nem deformações angulares, o
que implica supor a ausência das tensões de cisalhamento. Ou seja, em
um fluido estático, somente as tensões normais são observadas.
Assim, a pressão é definida como a força atuante por unidade de área
da substância:
A mecânica dos fluidos é a ciência que estuda o comportamento físico
dos fluidos, bem como as leis que regem esse comportamento. O fluido
poderá estar em movimento, foco da dinâmica ou cinemática dos
fluidos, ou estático, foco da estática ou hidrostática dos fluidos.
Um fluido em repouso segue dois princípios, que foram formulados por
Pascal:
1º Príncipio
A pressão atua uniformemente em todas as direções de um pequeno
volume de fluido. Representação conforme a próxima imagem :
Uniformidade das pressões em todas as direções de um pequeno volume de fluido.
2º Príncipio
Em um fluido confinado, a pressão atua perpendicularmente sobre a
fronteira, conforme as representações da próxima imagem.
P =
F
A
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 5/91
Direção perpendicular da pressão do fluido sobre sua fronteira.
As espécies químicas (moléculas ou átomos) que compõem o fluido
têm movimento caótico incessante. Assim, fisicamente, a pressão é
gerada pelo bombardeamento molecular da parede do recipiente.
Então, podemos considerar duas escalas de pressão, saiba mais
detalhes sobre essas escalas a seguir.
Escala absoluta
Na escala absoluta, com fundamentação física, a pressão
absoluta atinge o valor zero quando um vácuo ideal é
estabelecido, ou seja, na ausência de matéria. Na escala
absoluta a menor pressão é zero, não existindo,
conceitualmente, pressões negativas.
Escala efetiva ou manométrica
A outra é a escala efetiva ou manométrica, em que a pressão é
medida em relação à pressão atmosférica local. Nessa escala
de pressão, as pressões são denominadas manométricas (ou
pressão relativa, ou ainda, pressão efetiva). Na escala
manométrica, as pressões podem assumir tanto valores
positivos (quando a pressão é maior que a pressão
atmosférica local) quanto valores negativos (quando a pressão
é menor que a pressão atmosférica local), também
denominadas pressões negativas ou vacuométricas.
A imagem a seguir ilustra as escalas de pressão absoluta e
manométrica e a relação entre elas. Nela, podemos observar pressão
absoluta, pressão manométrica (pontos e ), pressão atmosférica
local e pressão atmosférica padrão (que pode estar localizada acima ou
abaixo da local).
A B
Patm
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 6/91
Escalas de pressão absoluta e manométrica e a relação entre elas.
Podemos observar na imagem anterior que, independentemente da
pressão manométrica ser positiva ou negativa, a relação entre as
escalas de pressão absoluta e manométrica segue a expressão:
Pressão em um ponto
A pressão é uma grandeza escalar, ou seja, fica completamente
compreendida com a informação do seu módulo (valor numérico). Para
fundamentar esse fato, vamos considerar a próxima imagem, que
considera as forças de superfície (pressões) e a força de campo
gravitacional (peso) atuantes em um elemento de fluido em formato de
cunha triangular, contido em um fluido em repouso.
Força atuantes em um elemento de fluido em repouso.
Na imagem anterior, a cunha triangular com ângulo , apresenta
dimensões, conforme a orientação cartesiana da figura, e , e
um plano inclinado de aresta .
Pabsoluta  = Patmlocal  + Pmanométrica 
θ
δx, δy δz
δs
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 7/91
Na cunha da imagem anterior, o ângulo formado por duas
perpendiculares às bases da cunha equivale ao ângulo da cunha, uma
vez que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a ,
conforme observado na imagem a seguir.
Ângulo formado por uma reta normal ao plano inclinado da cunha.
Conforme visto na notação da imagem: Força atuantes em um elemento
de fluido em repouso, as pressões na cunha de fluido são normais e as
forças que atuam na cunha serão escritas como:
Na direção , sendo a pressão no plano , e a pressão no plano
 :
Na direção , com pressão no plano , e pressão no plano inclinado
 :
Na direção , com pressão no plano , pressão no plano inclinado
, e o peso específico do fluido:
No equilíbrio de forças em um fluido em repouso:
Para a configuração da cunha, temos:
180∘
x x, p|x
x + δx, p|x+δx
∑Fx = p|x ×
δzδy
2
− p|x+δx
δzδy
2
y y, p|y
s, p|s
∑Fy = p|y × δxδz − p|s × δxδs sen θ
z z, p|z
s, p|s γ
∑Fz = p|z × δxδy − p|s × δxδs cos θ − γ ×
δxδyδz
2
∑F = 0
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 8/91
Um ponto, ou um pequeno volume de fluido, fica matematicamente
definido considerando o limite, quando ,
Para a direção :
Para a direção :
Reescrevendo o valor de 
Para a direção :
Reescrevendo o :
Aplicando o limite:
Para outras configurações de cunha, valores equivalentes aos
apresentados acima são obtidos, e permitem escrever para a pressão
em um ponto:
δy = δs cos θ e δz = δs sen θ
δxδyδz → 0
x
p|x ×
δzδy
2
− p|x+δx
δzδy
2
= 0 ⇒ p|x = p|x+δx
y
p|y × δxδz − p|s × δxδs sen θ = 0
sen θ :
p|y × δxδz − p|s × δxδs ×
δz
δs
= 0 ⇒ p|y = p|s
z
p|z × δxδy − p|s × δxδs cos θ − γ ×
δxδyδz
2
= 0
cos θ
p|z × δxδy − p|s × δxδs ×
δy
δs
− γ ×
δxδyδz
2
= 0
p|z = p|s + γ
δz
2
⇒ lim
δxδyδz→0
p
z
= lim
δxδyδz→0
p
s
+ lim
δxδyδz→0
γ
δz
2
⇒ p
z
= p|s∣ ∣ ∣p = p|x = p|y = p|z = p|s
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 9/91
Ou seja, a pressão é a mesma em todas as direções, sempre no sentido
normal compressivo, indicando, dessa forma, que a pressãoé um
escalar.
Equação da estática dos �uidos
Para a estática dos fluidos, o fluido pode estar em repouso ou em
movimento de corpo rígido, onde todas as partículas mantêm as
mesmas posições relativas, apresentando movimento sem taxas de
deformação.
Dessa forma, temos para a segunda lei de Newton as seguintes
equações:
Fluido em repouso
Fluido em movimento de corpo rígido
Para a dedução da equação geral da estática dos fluidos, vamos
considerar a situação mais complexa, situação de corpo rígido, e a
notação da imagem a seguir.
Corpo rígido, submetido a uma aceleração a constante.
∑ →F = 0
∑ →F = m→a
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 10/91
As forças que atuam nesse elemento de volume de fluido de massa
específica constante são as forças de pressão, a força de campo
gravitacional e a força de contato. Ainda sobre a imagem anterior,
vamos considerar, como notação vetorial para os eixos cartesianos, os
vetores unitários na direção , na direção e na direção .
Assim, podemos determinar as forças a seguir.
Peso :
Forças de pressão :
Para a Segunda Lei de Newton:
Substituindo as forças e dividindo todos os termos por ,
temos:
Logo:
Aplicando o limite na equação acima, quando as dimensões do volume
tendem a zero:
Com o conceito matemático da derivada,
ρ
x,→l y,→ȷ z, →k
→W
→W = ρ(dxdydz)→g
→Fp
→Fp = (p|x − p|x+dx)dydz→ı + (p|y − p|y+dy)dxdz→ȷ + (p|z − pz+dz)dxdy→k
∑ →F = →W + →Fp = ρ(dxdydz)→a
(dxdydz)
ρ→g +
(p|x − p|x+dx)
dx
→ı +
(p|y − p|y+dy)
dy
→ȷ +
(p|z − pz+dz)
dz
→k = ρ→a
(p|x+dx − p|x)
dx
→ı +
(p|y+dy − p|y)
dy
→ȷ +
(p|z+dz − pz)
dz
→k = ρ(→g − →a)
lim
dx→0
(p|x+dx − p|x)
dx
→ı + lim
dy→0
(p|y+dy − p|y)
dy
→ȷ + lim
dz→0
(p|z+dz − pz)
dz
→k = ρ(→g − →a)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 11/91
temos:
Por definição, o gradiente de ou , é definido por:
Dessa forma, a equação básica da estática dos fluidos é escrita como:
Sessão 1 – Teorema de Stevin
Para um fluido incompressível, a modificação da pressão não altera a
sua massa específica. Assim, a pressão em uma distância h abaixo da
superfície livre (interface líquido-gás) de um fluido em repouso será
determinada pela equação básica da estática dos fluidos na situação de
repouso, ou seja, quando . Assim, podemos escrever:
Vamos considerar agora a representação na imagem a seguir.
Líquido em repouso. Demonstração do teorema de Stevin.
df
dx
= lim
Δx→0
f(x + Δx) − f(x)
Δx
∂p
∂x
→ı +
∂p
∂y
→ȷ +
∂p
∂z
→k = ρ(→g − →a)
p, →∇p grad p
→∇p =
∂p
∂x
→ı +
∂p
∂y
→ȷ +
∂p
∂z
→k
→∇p = ρ(→g − →a)
→a = 0
→∇p = ρ→g
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 12/91
Da análise da imagem anterior, podemos verificar que a pressão só varia
em relação à coordenada espacial . Portanto, a equação da estática
será escrita, sem notação vetorial, como:
Integrando da superfície livre, quando , até um ponto a uma
profundidade , quando :
Ou seja, na escala absoluta:
Ou ainda, na escala manométrica:
O teorema de Stevin permite calcular a variação da pressão em um
fluido incompressível em repouso. O seu enunciado pode ser escrito
como:
“A diferença de pressão entre dois pontos em um fluido em repouso é
igual ao produto do peso específico do fluido com a diferença de cotas
entre os pontos”.
Manômetros
Os manômetros são dispositivos utilizados na medição de pressões.
Nos textos acadêmicos, geralmente estão presentes os manômetros
com tubo em U e os manômetros metálicos.
Manômetros com tubo em U
y
dp
dy
= −ρg
y = 0
h y = −h
∫
p
patm
dp = −ρg∫
−h
0
dy
p − patm = ρgh = γh
p = ρgh = γh
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 13/91
Esses manômetros recebem essa denominação em função da
configuração em U do tubo de confinamento do fluido manométrico que
permite quantificar a pressão em função de sua deflexão . Os
manômetros em U são classificados conforme a próxima imagem.
Classificação dos manômetros em U.
A equação manométrica é aquela resultante de um sistema de
equações, que permite a quantificação da pressão, em qualquer ponto
de um sistema manométrico em repouso.
Como os manômetros com tubos em U são instrumentos que utilizam
colunas de fluidos para medir diferenças de pressão, as seguintes
regras são úteis para a obtenção da equação manométrica no sistema
composto por vários fluidos:
Regra 1
Quaisquer dois pontos na mesma elevação em um volume
contínuo de um mesmo fluido estão à mesma pressão
(princípio dos vasos comunicantes).
Regra 2
A pressão cresce à medida que se desce na coluna de fluido.
Para a obtenção da equação manométrica, devemos seguir o
procedimento composto pelas seguintes etapas:
h
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 14/91
Como exemplo, vamos determinar a equação manométrica para a
quantificação da diferença de pressão , para o sistema
estático da próxima imagem, em que os pontos e representam
pontos de tomada de pressão em tubulações distintas onde escoam um
 1
Marcar os pontos de interesse e as interfaces.
 2
Traçar paralelas pelos pontos selecionados na 1ª
etapa, buscando identificar os pontos de mesma
pressão.
 3
Enumerar os pontos selecionados nas 1ª e 2ª
etapas, de forma a estabelecer uma ordem,
crescente ou decrescente, entre os pontos.
 4
Relacionar os pontos dois a dois enumerados na 3ª
etapa, pelo teorema de Stevin, relacionando sempre
o ponto ao seu antecessor imediato.
 5
Proceder o somatório de todas as equações
obtidas na 4ª etapa, até o ponto de interesse na
quantificação da pressão.
PB − PA
A B
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 15/91
fluido de peso específico (ponto A) e um fluido de peso específico 
(ponto B).
Manômetro diferencial em U.
Para o entendimento do exemplo, vamos considerar os pontos
numerados de forma sequencial apresentados na imagem anterior
(antecipação da etapa 3ª).
Pontos e (pontos de interesse) e pontos 2 e 4 (interfaces).
Pontos 1, 3 e 5 (princípio dos vasos comunicantes).
Definir uma ordem para os pontos estabelecidos nas etapas 1 e
2, acompanhando a configuração do manômetro em U (etapa
antecipada nesse exemplo).
γ1 γ3
1ª Etapa 
A B
2ª Etapa 
3ª Etapa 
4ª Etapa 
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 16/91
Podemos determinar agora, a pressão em qualquer ponto do
sistema em repouso, somando as equações/até o ponto de
interesse. Como cada ponto foi relacionado com o ponto
anterior, as pressões intermediárias se cancelam, pois se
encontram à esquerda e à direita do sinal de igual. Assim, como
desejamos determinar , vamos até o ponto B:
Manômetros metálicos ou
manômetros de Bourdon
Os manômetros de coluna de fluido não são adequados para medir
pressões muito elevadas ou pressões que variem rapidamente com o
tempo. Para suprir essas pressões, empregamos os manômetros
metálicos, conforme a imagem ilustrativa a seguir.
p1 = pA
p2 = p1 + γ1h1
p3 = p2
p4 = p3 − γ2h2
p5 = p4 − γ3h3
pB = p5
5ª Etapa 
pB − pA
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 17/91
Manômetro metálico típico. Escala de pressão em megapascal (MPa).
Nos manômetros metálicos, a pressão é relacionada diretamente à
deformação de um tubo elástico curvado, denominado tubo de Bourdon,
que geralmente apresenta seção reta elíptica, conforme a imagem
ilustrativa a seguir.
Ilustração do fundo de escala de um manômetro metálico em e , e de seu tubo
de Bourdon.
Alguns tubos de Bourdon apresentam configurações conforme a
representação da imagem a seguir.
lbf/pol2 kgf/cm2
11/09/2023, 20:15Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 18/91
Figura 1. 12 – Diferentes tubos de Bourdon empregados em manômetros metálicos.
De uma maneira geral, os instrumentos para a medida de pressão
podem ser divididos nas seguintes categorias:
Barômetro (dispositivo empregado para medir a pressão
atmosférica), tubo piezométrico e tubo em U.
Tubos de Bourdon (metal ou quartzo), medidores de diafragma
ou de foles, transdutores de pressão extensiométrico (strain-
gage) e de deslocamento de feixe óptico.
Para condutividade térmica (medidor Pirani), de impacto
molecular (medidor Knudsen) e de ionização.
Manômetros baseados no efeito da gravidade 
Manômetros baseados na deformação elástica 
Manômetros baseados no comportamento de gases 
Manômetros baseados em saída elétrica 
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 19/91
Para resistência (medidor Bridgman), piezoelétrico (transdutor
piezoelétrico), potenciométrico, de indutância magnética e de
frequência de ressonância.
A imagem a seguir ilustra um transdutor piezoelétrico, cujo
funcionamento tem por base a piezoeletricidade que é a capacidade que
alguns cristais têm de gerar tensão elétrica como resposta a uma
pressão mecânica.
Figura 1.13 – Transdutor piezoelétrico de campainha.
Demonstração
Considere um manômetro em U aberto acoplado a uma tubulação de
óleo. Na tubulação escoa óleo e a densidade do líquido
manométrico é de 1,6. Determine a pressão manométrica do óleo, em
kPa.
Dado: 
Solução
(sg = 0, 82)
g = 10m/s2
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 20/91
A massa específica do ar ou de qualquer outro gás é muito pequena
quando comparada à massa específica de um líquido. Dessa forma, a
pressão de coluna, , é desprezível, o que nos permite estabelecer
que a pressão na coluna gasosa dos manômetros é a mesma em
qualquer ponto da região ocupada pelo gás.
Montando a equação manométrica para o sistema:
Agora, veja a equação:
Mão na massa
Questão 1
Em relação ao esquema abaixo, analise as asserções a seguir.
ρg ás gh
p1 = patm
p2 = p1
p3 = p2 − (1, 6 × 1000) × 10 × 0, 66
p4 = p3 ( sistema gasoso, pcoluna  desprezível )
p5 = p4
p6 = p5 − (0, 82 × 1000) × 10 × 0, 58
póleo  = p6
póleo  = patm  − 15316
póleo  − patm  = póleo,man  = −15kPa

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 21/91
I. O esquema representa um dispositivo para medir a pressão
atmosférica.
II. 2 representa a escala de pressão que pode apresentar leituras
como kPa, kgf, psi, slug/ft².
III. 3 representa o ponto de tomada de pressão.
IV. 2 representa o tubo de Bourdon que pode apresentar outras
configurações além dessa tipo “C”.
V. Nesse esquema, se o ponteiro indicar zero, temos a leitura do
vácuo absoluto.
Assinale a opção que contém somente asserções verdadeiras.
Parabéns! A alternativa D está correta.
O esquema representa um manômetro de Bourdon ou manômetro
metálico, utilizado para medir pressões em geral. O barômetro
mede pressão atmosférica.
1 - representa o tubo de Bourdon, geralmente com seção reta
elíptica, podendo apresentar-se como gancho (tipo “C”), helicoidal,
espiral e tubo torcido.
2 - representa as escalas de pressão (força/área).
3 - representa o ponto de conexão, ou seja, de tomada de pressão.
Se o manômetro indicar zero, significa que a pressão no sistema é
igual a pressão atmosférica local.
Questão 2
A I, III e IV
B I, II, V
C II, III e V
D III e IV
E II, III, IV e V
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 22/91
Adaptada de FCC-Analista Judiciário (TRF 3a Região)/Apoio
Especializado/Engenharia Mecânica/2014) A figura abaixo
representa um manômetro em U, em que o fluido manométrico é a
água, , e que está sendo utilizado para medir
a pressão de um gás em uma tubulação
Se a escala indicada está em centímetros, a pressão efetiva ou
manométrica do gás é igual a
Parabéns! A alternativa C está correta.
Calculando no SI:
Questão 3
com γ = 9810N/m3
A 39,2 Pa
B 196 Pa
C 392 Pa
D 19,6 Pa
E 2,0 kPa
pcoluna  = ρgh = γh = 9810 × (4 × 10−2) = 392, 4Pa
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 23/91
Pequenos roedores podem sobreviver em pressões reduzidas de
até 20,0 kPa (pressão absoluta). Considere um recipiente no qual o
manômetro indica uma pressão vacuométrica de –60,0 cmHg,
quando a pressão atmosférica local é de 102 kPa. Considerando as
informações acima, é correto afirmar que os roedores irão
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Escalas de pressão
Questão 4
Considere as alturas indicadas na figura abaixo, sendo os
reservatórios abertos para a atmosfera.
A
sobreviver e a pressão absoluta na câmara é igual a
–80 kPa.
B
sobreviver e a pressão absoluta na câmara é igual a
22 kPa.
C
morrer a pressão absoluta na câmara é igual a 22
kPa.
D
sobreviver e a pressão absoluta na câmara é igual a
80 kPa.
E
morrer e a pressão absoluta na câmara é igual a 102
kPa.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 24/91
Se , a massa específica do líquido é igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
Mesmo fluido, mesma altura, mesma pressão, desde que
conectados pelo mesmo fluido.
Portanto:
g = 10m/s2 A
A 842
B 890
C 945
D 966
E 990
p1 = p2
p1 = patm + ρA × g × 0, 95
p2 = patm + ρágua  × g × 0, 80
ρA × 0, 95 = ρágua  × 0, 80
ρA = 1000 × 0, 80/0, 95 = 842kg/m3
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 25/91
Questão 5
Um tanque fechado contém um líquido de densidade a 0,8 e um
manômetro indica uma pressão de , conforme a
figura abaixo.
Se , a altura , em metros, é igual a
4, 5 × 104N/m2
g = 10m/s2 h
A 2,8
B 3,5
C 4,9
D 5,7
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 26/91
Parabéns! A alternativa E está correta.
 
A massa específica do sistema gasoso é muito baixa. Portanto, a
pressão de coluna de gás é desprezível.
 man 
Questão 6
Qual é a pressão manométrica, em kPa, na tubulação de água?
Dados:
E 6,6
p1 = patm
p2 = p1 + ρliq × g × (h − 1) p3 = p2
p3 = patm + ρliq × g × (h − 1)
pmanômetro  = p3( ) = p3(abs) − patm
pmanômetro  = ρliq × g × (h − 1)
4, 5 × 104 = 0, 8 × 1000 × 10 × (h − 1)
h = 6, 6m
ρágua  = 1000kg/m
3, dHg = 13, 6eg = 9, 81m/s2
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 27/91
Parabéns! A alternativa B está correta.
A 3,0
B 6,1
C 7,5
D 8,2
E 9,7
p1 = patm
p2 = p1 + 13600 × 9, 81 × 0, 05
p3 = p2
p4 = p3
p5 = p4 + 850 × 9, 81 × 0, 12
p6 = p5
p7 = p6 − 1258 × 9, 81 × 0, 08
págua  = p7 − 1000 × 9, 81 × 0, 06
págua  − patm = 6096Pa = 6, 1kPa
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 28/91
Teoria na prática
Uma tubulação de gasolina está conectada a um manômetro duplo em
U, conforme a figura abaixo. A leitura do manômetro de Bourdon é 370
kPa. Monte a equação manométrica para o sistema e determine a
pressão manométrica na tubulação de gasolina.
Dado: g = 10 m/s²
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
_black
Mostrar solução
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 29/91
Considere o manômetro do tipo tubo em U abaixo que contém dois
líquidos imiscíveis e em repouso.
Se as duas extremidades do manômetro estão abertas para a
atmosfera, assinale a alternativa que se sustenta nessas condições.
Parabéns! A alternativaA está correta.
Assim:
Do manômetro: 
Portanto: 
A viscosidade é uma propriedade de movimento. Em um líquido
estático, não se observa efeitos viscosos.
A B
A
A densidade do líquido B é maior do que a do líquido
A.
B
A viscosidade do líquido B é maior do que a do
líquido A.
C As massas específicas dos líquidos são iguais.
D A densidade do líquido A é maior que a do líquido B.
E As viscosidades dos líquidos são iguais.
p1 = p2
p1 = patm + ρB × g × hB
p2 = patm + ρA × g × hA
patm + ρB × g × hB = patm + ρA × g × hA
hA > hB
ρB > ρA
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 30/91
Questão 2
No reservatório de abaixo, estão acoplados dois manômetros,
que estão funcionando adequadamente, um de pressão efetiva e
outro especial, de pressão absoluta.
Se a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa, a pressão indica
pelo o manômetro de pressão absoluta, em kPa, é igual a
CO2
A 25
B 75
C 100
D 175
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 31/91
Parabéns! A alternativa D está correta.
 local
2 - Força atuante em uma placa plana
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular as forças exercidas por um �uido em
repouso em superfícies submersas planas.
Vamos começar!
A distribuição de pressões sobre
superfícies planas submersas e as
forças que atuam sobre essas
superfícies
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos
que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
E 200
pabs = pman  + patm
pabs = 75 + 100 = 175kPa

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 32/91
Distribuição de pressões
A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas
submersas é um objetivo prático no cálculo das paredes de
reservatórios destinados ao armazenamento de líquidos, como
podemos observar na imagem a seguir, em que a distribuição de
pressões manométricas varia de zero na superfície livre do líquido até a
pressão máxima no fundo do reservatório.
Distribuição de pressões sobre uma superfície plana vertical e inclinada.
Se considerarmos a pressão atmosférica local, a distribuição de
pressões segue a representação da imagem a seguir, com variação de
 na interface ar-líquido até na profundidade máxima
do reservatório.
Distribuição de pressões absolutas e manométricas em parede vertical plana.
Patm Patm + ρgh
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 33/91
Forças sobre superfícies planas
submersas
A força real que atua na parede está distribuída sobre ela, mas,
analiticamente, esse efeito distribuído é equivalente ao efeito de uma
única força resultante atuando sobre um único ponto chamado
centro de pressão, conforme a representação na imagem a seguir.
Força resultante atuante no centro de pressão da superfície submersa inclinada.
A força resultante será calculada pela expressão:
em que é a pressão média sobre a parede de área .
Como a pressão variar linearmente com a profundidade, podemos
escrever:
em que é o peso específico do líquido e é a profundidade total do
reservatório.
Substituindo a equação da pressão média na equação de força
resultante, temos:
FR
FR = p̄A
p̄ A
p̄ = γ(S + h
2
)
γ h
FR = γA(S +
h
2
)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 34/91
De forma geral, a força resultante pode ser obtida pela integração da
distribuição de pressões sobre a superfície plana submersa. Para
exemplificar, vamos considerar a superfície plana submersa
apresentada na imagem a seguir e CP= Centro de pressão e CG= Centro
de gravidade (Centroide). O eixo S é um eixo tangente à superfície livre
do líquido e paralelo à superfície plana.
Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa inclinada de área A.
Para um pequeno elemento de área na superfície plana submersa,
existe uma força que atua perpendicularmente a esse elemento de
área, gerada pela pressão do fluido . Assim:
em que é o comprimento de coluna de líquido até o elemento de área
. Como a superfície plana é inclinada de um ângulo em relação à
superfície livre do líquido, é conveniente trabalhar no plano da superfície
inclinada, utilizando a cota y para indicar a posição sobre a superfície
plana inclinada de qualquer ponto em qualquer profundidade . Logo:
Portanto:
A magnitude da força resultante sobre a superfície plana submersa de
área será calculada pela expressão:
dA
dF
p
dF = pdA = γhdA
h
dA θ
h
h = y sen θ
dF = γ(y sen θ)dA
A
FR = ∫
A
dF = ∬ γ(y sen θ)dA = γ sen θ∬ ydA
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 35/91
Considerando o centro de gravidade , centro geométrico da área
 ou simplesmente centroide, podemos definir:
em que é a distância compreendida entre a superfície livre do
líquido e o centroide da área medida em relação ao plano da
superfície plana inclinada e a integral dupla representa o
primeiro momento de área.
Dessa forma, podemos escrever para a força resultante:
A força resultante não atua, em geral, no centroide. A força resultante
atua no centro de pressão e reproduz o mesmo efeito da força
distribuída de pressões sobre a superfície submersa inclinada como um
todo. Esse efeito é avaliado em função do momento de força em relação
ao Eixo S.
Considerando o momento angular gerado pela força resultante será
quantificado por:
em que é a distância compreendida entre a superfície livre do
líquido e o centro de pressão da área , medida ao longo do plano da
superfície inclinada e a integral dupla representa o segundo
momento de área em relação ao eixo (ou momento de inércia de
área).
Denominando o segundo momento de área em relação ao eixo como
, temos:
Portanto:
(CG)
A
LCG =
1
A
∬ ydA
LCG
A
∬ ydA
FR = γ sen θLCGA
FRLCP = yγ sen θ∬ ydA = γ sen θ∬ y2dA
LCP
A
∬ y2dA
S
S
IS
FRLCP = γ sen θ (IS)
LCP =
γ sen θ (IS)
FR
=
γ sen θ (IS)
γ sen θLCGA
=
IS
LCGA
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 36/91
Considerando o teorema do eixo paralelo, podemos relacionar o
segundo momento de área com o segundo momento de área em
relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade pela
expressão:
Assim, a relação entre e passa a ser escrita como:
Ou seja:
O segundo momento de área em relação ao eixo que passa pelo centro
de gravidade, , é conhecido na prática para diferentes áreas,
conforme as representações da próxima imagem.
Segundo momento de área em relação ao centro de gravidade, , para diferentes formas
geométricas.
Demonstração
Determine a posição do centro de pressão em uma parede plana
vertical, conforme a representação abaixo.
IS
(ICG)
IS = ICG + L
2
CGA
LCP LCG
LCP =
IS
LCGA
=
ICG + L
2
CGA
LCGA
LCP = LCG +
ICG
LCGA
ICG
ICG
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 37/91
Solução
A relação entre a distância da superfície livre e a linha centro de
gravidade, , e a distância da superfície livre até a linha do centro de
pressão, , considerando o segundo momento de área em
relação ao centro de gravidade, é dada pela expressão:
Para a parede retangular acima, considerando as informações da
imagem: Segundo momento de área em relação ao centro de gravidade,
, para diferentes formas geométricas, temos:
Logo:
Ou ainda, podemos estabelecer que, para essa situação, o centro de
pressão encontra-se a , em relação ao fundo do reservatório.
Mão na massa
LCG
LCP ICG
Lcp =
ICG
LCG ⋅ A
+ LCG
ICG
ICG =
bd3
12
LCP =
bd3/12
d/2 × (bd)
+
d
2
=
d
6
+
d
2
=
2
3
d
1/3d

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html#38/91
Questão 1
A força hidrostática resultante que atua sobre a superfície plana
vertical submersa, de largura , conforme a representação abaixo, é
igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
A força resultante é calculada com base na pressão média que atua
a meia altura da placa. O seu ponto de aplicação é o centro de
pressão .
Questão 2
A força hidrostática resultante que atua sobre a superfície plana
inclinada submersa, de largura abaixo, é igual a
FR
a
A FR = [p0 + ρfluido  × g × (s + b/2)] × ab
B FR = [p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × sen θ] × ab
C FR = [p0 + ρfluido  × g × h] × ab
D FR = p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × ab
E FR = p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × sen θ × ab
LCP
FR
a
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 39/91
Parabéns! A alternativa B está correta.
A força resultante é calculada com base na pressão média que atua
a meia altura da placa. O seu ponto de aplicação é o centro de
pressão .
Questão 3
A mínima força necessária para assegurar que a comporta
quadrada abaixo, de peso desprezível, se mantenha fechada
quando , é igual a
Dado: g=10 m⁄s²
A FR = [p0 + ρfluido  × g × (s + b/2)] × ab
B FR = [p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × sen θ] × ab
C FR = [p0 + ρfluido  × g × h] × ab
D FR = p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × ab
E FR = p0 + ρfluido  × g × (s + b) × sen θ × ab
LCP
F
H = 6, 0m
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 40/91
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Determinação do centro de pressão
Questão 4
Considere a força F concentrada na comporta retangular de largura
 a seguir.
Dados:
Massa específica do líquido: 
Aceleração da gravidade: 
Unidades no SI
A 18 kN
B 25 kN
C 37 kN
D 44 kN
E 55 kN
C
ρ
g
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 41/91
Para a comporta em questão, julgue as asserções a seguir:
.
A força atua no centro de gravidade.
Para o centro de gravidade, .
A pressão no centro de gravidade da comporta é igual a
.
.
Assinale a opção que contém somente asserções verdadeiras.
Parabéns! A alternativa D está correta.
A força resultante atua no centro de pressão.
Questão 5
Um tanque grande e exposto à atmosfera contém água e está
conectado a um duto com 154 mm de diâmetro interno conforme a
figura abaixo, onde a tampa circular sela o duto.
h = 1, 5 × b
x = 2/3b
FR
LCG = b
p̄ = ρg2b
FR = b
2Cρg
A I e III
B II e V
C II e III
D III e V
E IV e V
x = h − LCP
LCG = h − b + b/2 = 1, 5b − b + b/2 = b
p̄ = γLCG = ρgb
FR = p̄A = ρgb × (bC) = ρgb2C
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 42/91
O centro de pressão está localizado a uma distância em relação a
superfície livre da água de
Parabéns! A alternativa C está correta.
Questão 6
O peso mínimo da comporta retangular necessário para manter
a água confinada, quando a comporta é de de largura e
, é igual a
A 3,27 m
B 3,20 m
C 3,24 m
D 3,16 m
E 3,22 m
LCG = 3, 12 + R = 3, 12 +
0,154
2 = 3, 197m
Lcp =
ICG
LCG⋅A
+ LCG =
π×0,7704/4
3,197×(π×0,7702)
+ 3, 197 = 3, 24m
W
10m
γágua  = 9810N/m
3
A
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 43/91
Parabéns! A alternativa B está correta.
Pressão a meia altura da comporta:
O comprimento da comporta é de (triângulo retângulo). Então:
Cálculo dos momentos em relação à articulação:
 Peso 
Teoria na prática
1,00 MN
B 1,22 MN
C 1,53 MN
D 1,68 MN
E 1,90 MN
pman  = γh ⇒ h =
42000
9810 = 4, 28m
p̄ = 42000 − γágua  × (4, 28 − 32 ) = 14728Pa = 14, 7kPa
5m
Lcp =
ICG
LCG⋅A
+ LCG =
10×53/12
5/2×(5×10)
+ 52 = 3, 33m
( × cos θ) × 2, 5 = FR × LCP
W =
14,7×(5×10)×3,33
2,5×(4/5) = 1224kN = 1, 22MN
_black
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 44/91
A comporta da figura abaixo tem 1,50 m de largura, está articulada em
 e contém um limitador de movimento em . Qual é o valor da força 
, em kN, no limitador B quando a altura da água, com peso específico
, é igual a ?
Dado: 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A força hidrostática resultante que atua sobre a superfície plana
horizontal submersa, de largura abaixo, é igual a
A B F
γ = 9810N/m3 h = 4, 85m
g = 9, 81m/s2
Mostrar solução
FR
b
A FR = [p0 + ρfluido  × g × (s + b/2)] × ab
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 45/91
Parabéns! A alternativa C está correta.
A força resultante é calculada com base na pressão média que atua
a meia altura da placa. O seu ponto de aplicação é o centro de
pressão .
Questão 2
Seja o segundo momento de área em relação ao eixo tangente
à superfície que passa pelo centro de gravidade da superfície. A
relação entre as posições do centro de pressão e do centro de
gravidade na superfície é determinada por:
Parabéns! A alternativa E está correta.
B FR = [p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × sen θ] × ab
C FR = [p0 + ρfluido  × g × h] × ab
D FR = p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × ab
E FR = p0 + ρfluido  × g × (s + b/2) × sen θ × ab
LCP
ICG
LCP
LCG
A LCP = LCG
B LCG =
ICG
LCG⋅A
+ LCP
C LCP =
ICP
LCG
+ LCG
D LCP =
ICG⋅A
LCG
+ LCG
E LCP =
ICG
LCG⋅A
+ LCG
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 46/91
Relação estabelecida entre os segundos momentos de área
considerando o teorema do eixo paralelo.
3 - Força atuante em uma superfície curva
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular as forças exercidas por um �uido em
repouso em superfícies submersas curvas.
Vamos começar!
A distribuição de pressões sobre
superfícies curvas submersas e as
forças que atuam sobre essas
superfícies
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos
que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!

11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 47/91
Forças sobre superfícies curvas
A princípio, a força resultante sobre superfícies curvas submersas é
determinada pela integração das forças de pressão que mudam de
intensidade e de direção ao longo da superfície curva.
Uma abordagem alternativa a essa integração e bastante útil é
considerar o equilíbrio estático do volume de um bloco de líquido
formado pela superfície curva e suas projeções vertical e horizontal,
conforme a representação na imagem a seguir.
Força de pressão resultante sobre uma superfície curva e o diagrama de corpo livre do bloco líquido
de peso W.
Na imagem anterior, os módulos e as posições das forças sobre o bloco
líquido e são determinadas utilizando as relações aplicadas em
superfícies planas submersas. A força vertical e a força horizontal
 representam as componentes das forças que o reservatório curvo
exerce sobre o fluido e, pela terceira lei de Newton, em módulo, a força
do reservatório sobre o líquido é igual à força do líquido sobre o
reservatório.
Ainda na imagem anterior, considerando o equilíbrio estático do bloco
líquido, os balanços de força nas direções vertical e horizontal deverão
ser escritos como:
Equilíbrio vertical na superfície curva
Equilíbrio horizontal na superfície curva
→FR = ∬ pd →A
Fy Fx
FV
FH
FV = Fy + W
FH = Fx
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 48/91
Observação 1
Quando a superfície curva estiver localizada acima do bloco líquido,
conforme a próxima imagem, o equilíbrio da força vertical será escrito
como:
Representação da superfície curva acima do bloco de líquido.
Observação 2
Quando a superfície curvaé um arco circular, a força hidrostática
resultante que atua sobre a superfície curva, passa sempre através do
centro do círculo gerador do arco, uma vez que as forças de pressão são
normais à superfície e todas as linhas normais ao círculo são radiais.
Assim, as forças de pressão podem ser reduzidas a uma força
equivalente que passa pelo centro do círculo, conforme a representação
da imagem a seguir.
FV = Fy − W
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 49/91
Força resultante em superfície curva circular passando pelo centro do círculo.
Para a determinação da força resultante, devemos considerar a soma
vetorial (veja na imagem anterior):
Devemos considerar ainda alguns pontos importantes:
1º ponto
A componente horizontal da força resultante que atua sobre a
superfície curva é equivalente à força que atua sobre a área de projeção
vertical da superfície curva. A magnitude e a posição do ponto de
aplicação da força horizontal seguem a mesma determinação de uma
placa plana vertical submersa.
2º ponto
FR = √F 2H + F 2V
FH
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 50/91
A componente vertical da força resultante que atua sobre a
superfície curva é equivalente ao peso do volume líquido acima da
superfície. Essa componente atravessa o centro geométrico do volume
(também denominado centroide ou centro de gravidade). Se o líquido
estiver confinado abaixo da superfície curva, então a componente
vertical será igual, porém de sinal oposto, ao peso do líquido imaginário
acima da superfície que se estende até a superfície livre do líquido. Esse
líquido imaginário, conforme a representação da imagem a seguir, é
composto pelos líquidos imaginários e , que têm
seus respectivos centros de gravidade (CG) onde atuam as
componentes da força vertical e , respectivamente.
 equivalente ao peso do volume de líquido imaginário acima de uma superfície curva.
Agora análise a seguinte equação:
Com base nessa situação imaginária, a força vertical resultante
originada pelas pressões acima e abaixo da superfície curva AD é igual
a zero, permitindo estabelecer que a distribuição de pressões aplicadas
pela água à comporta é numericamente igual à distribuição de pressões
que existiria se a água estivesse sobre a comporta.
3º ponto
A pressão gerada por um gás é uniforme em todas as direções, uma vez
que o peso do gás é desprezível em função de sua reduzida massa
específica. Assim, as componentes vertical e horizontal das forças de
pressão que atuam na superfície curva são determinadas multiplicando-
se a pressão pelas áreas projetadas horizontal e vertical,
respectivamente. Essas componentes da força resultante atuam nos
centroides das áreas projetadas.
FV
EBCDE AEDA
FV 1 FV 2
FV ABCDA
LCP =
ICG
LCG × Aprojetada 
+ LCG
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 51/91
Aplicações práticas
Aplicação 1 – Barragem de per�l
parabólico
Uma barragem em formato parabólico, , destinada ao
confinamento de água com peso específico , tem
 e largura de conforme as próximas
imagens.
Determine as forças vertical e horizontal que atuam sobre a
barragem.
Vista lateral de uma barragem de perfil parabólico com a representação do centroide.
Representação do centroide.
Conforme o enunciado: e
largura .
A força horizontal atua na projeção vertical da superfície curva.
Portanto, temos:
z/z0(x/x0)
2
γ = 9810N/m3
x0 = 4m, z0 = 7, 6m 10m
FV FH
γágua  = 9810N/m
3,x0 = 4m, z0 = 7, 6m
= 10m
FH
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 52/91
Considerando a projeção vertical, a linha de ação da força está
localizada a em relação ao fundo do reservatório, ou seja:
A força vertical corresponde ao peso da coluna de água.
Considerando o centroide da área do perfil parabólico, temos:
Para o cálculo da força resultante , temos:
A linha de ação da força resultante segue a representação da imagem a
seguir.
Força resultante sobre a barragem que atua nas coordenadas: e .
O ponto tem por base as linhas de ação de ,
e de , . A força resultante tem como linha de
ação a reta que passa pelo ponto com inclinação determinada por
. O ângulo foi determinado com base nos
valores de e , em que . A interseção da reta
 com a parábola , fornece o ponto de
atuação da força resultante sobre a barragem: e
FH = γhCGAproj  = 9810 ×
7, 6
2
× (7, 6 × 10) = 2833128N = 2, 8MN
FH
1/3z0
z =
1
3
× 7, 6 = 2, 5m
FV
FV = γ × (
2x0z0
3
)× 10 = 9810 × ( 2 × 4 × 7, 6
3
)× 10 = 1988160N = 2, 0MN
FR
FR = √F 2H + F 2V = 3, 4MN
x = 2, 1m z = 2, 1m
A FV ,x = 3/8x0 = 1, 5m
FH z = 1/3z0 = 2, 5m
A
tg (180∘ − 36∘) θ = 36∘
FV FH θ = arctg(2/2, 8)
z = 3, 6 − 0, 73x z = 0, 475x2
FR x = 2, 1m
z = 2, 1m
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 53/91
Aplicação 2 – Comporta circular com
superfície curva acima do líquido
Determine a força necessária para manter a comporta fechada. A
comporta mede de largura e pesa 3500 N conforme a
representação da imagem a seguir.
Considere .
Comporta circular e seu diagrama de corpo livre.
Na imagem anterior, as forças e são as componentes horizontal e
vertical da força que atua sobre a articulação da comporta.
Considerando a projeção vertical da superfície curva, a força atua a
uma distância em relação à linha
horizontal que passa pela articulação.
O módulo de é determinado em relação à altura média da área
projetada vertical da comporta:
A força atua a uma profundidade igual a , a da
articulação:
O peso do volume de água associado ao diagrama de corpo livre será
determinado por:
F
5m
γágua  = 10000N/m
3
Fx Fy
F1
d1 = 1/3R = 1/3 × 2 = 0, 67m
F1
F1 = γágua  × hCG × A1 = 10000 × 1 × (2 × 5) = 100kN
F2 R d2 = 1m
F2 = γágua  × R × A2 = 10000 × 2 × (2 × 5) = 200kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 54/91
Para a determinação de , que é a distância da articulação até o
centroide do volume, vamos considerar os momentos das áreas em
relação à linha vertical que passa pela articulação, conforme a
representação da imagem a seguir.
Relação entre os momentos de área com base na linha vertical que passa pela articulação.
Considerando a imagem anterior, temos para os momentos das áreas:
Para a quantificação força , vamos considerar o equilíbrio dos
momentos das forças em relação à linha da articulação:
Portanto:
Aplicação 3 – Comporta cilíndrica
com abertura controlada pela ação
da gravidade
FW = γágua  × (Vquadrado de lado 2m − 1/4Vcírculo de raio 2m) ×  largura 
⇒ FW == 10000 × (4 −
π × 22
4
)× 5 = 43kN
dW
dW (A1 − A2) = x1A1 − x2A2
⇒ dW =
1 × 4 − (4 × 2/3π) × (π22/4)
(4 − π)
= 1, 55m
F
2, 5F = d2F2 + d1F1 − dWFW −  peso  × 1, 7
F =
1 × 200 + 0, 67 × 100 − 1, 55 × 43 − 3, 5 × 1, 7
2, 5
= 78kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 55/91
Considere um cilindro maciço e longo de raio com
dobradiças no ponto que é utilizado como uma comporta de abertura
automática, conforme a próxima imagem. Quando o nível de água
 no reservatório atinge 4,00 , a comporta se abre,
girando a dobradiça no ponto . Determine a força resultante que age
no cilindro e o peso do cilindro maciço por unidade de comprimento.
Comporta cilíndrica e diagrama de corpo livre da comporta.
Para a situação de cilindro maciço, vamos considerar como base de
cálculo, 1 m de comprimento. Assim, com base no diagrama de corpo
livre apresentado na imagem a seguir, temos para o equilíbrio de forças:
Para o diagrama de corpo livre da comporta, a força vertical é
determinada por:
Para o cálculo do peso de fluido no diagrama de corpo livre, temos:
Dessa forma, temospara a força vertical:
Para o cálculo da força resultante, temos:
R = 0, 600m
A
(γ = 9810N/m3) m
A
FH = Fx = γágua  × hCG × Aproj,y  = 9810 × (4, 00 −
0, 600
2
)× (0, 600 × 1) = 21, 8kN
Fy
Fy = γágua  × 4 × Aproj, x = 9810 × 4 × (0, 600 × 1) = 23, 5kN
W = γágua  × (Vquadrado de lado 0,6m − 1/4Vcírculo de raio 0,6m) × 1
W = 9810 × (0, 6002 − π0, 600
2
4
)× 1 = 0, 759kN
FV = Fy − W = 23, 5 − 0, 759 = 22, 7kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 56/91
Conforme a Figura , o ângulo será determinado por:
Assim, o peso do cilindro por unidade de comprimento na iminência da
abertura da comporta, quando o nível da água armazenada é de 4,00
metros, temos para o equilíbrio dos momentos em relação à linha de
articulação:
Demonstração
Determine a força resultante vertical sobre a superfície curva
semicircular submersa que tem largura em um fluido de peso
específico conforme a representação a seguir.
FR = √F 2H + F 2V = √21, 82 + 22, 72 = 31, 5kN
3.4 θ
θ = tan−1( FV
FH
) = tan−1( 22, 7
21, 8
) = 46∘
FR sen θ × R − Wcil  × R = 0
⇒ Wcil  = FR sen θ = 31, 5 × sen 46
∘ = 22, 6kN
FV
CDE b
γfluido, 
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 57/91
Solução
Para o setor circular , o fluido encontra-se sobre a superfície curva.
Nesse caso, a força vertical , de cima para baixo, é igual ao peso
do líquido , ou seja:
Para o setor circular , o fluido encontra-se abaixo da superfície
curva. Nesse caso, a força vertical , de baixo para cima, é igual ao
peso do líquido imaginário ABEDA:
Como , temos para o força vertical total:
BC
F
V ,B̂C
BCDEB
F
V ,B̂C
= γfluido  × (ABODEB − ABOCB) ×  largura 
F
V ,B̂C
= γfluido  × (ABODEB − ABOCB) × b
BA
F
V ,B̂A
F
V ,B̂A
= γfluido  × (ABODEB + ABOAB) × b
ABOCB = ABOAB
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 58/91
Sabendo que é a área do semicírculo:
Mão na massa
Questão 1
Considere a comporta articulada em com raio e
largura , que armazena água de peso específico
.
Para uma altura , a magnitude da componente horizontal
da força aplicada pela água à comporta circular é igual
aproximadamente a
FV = F
V ,BA
− F
V ,B̂C
FV = γfluido ABODEBb + γfluido ABOABb − γfluido ABODEBb + γfluido ABOABb

2ABOAB
FV = γfluido  ×
πR2
2
× b

A R = 2, 0m
6, 0m
γágua  = 9810N/m
3
H = 5m
A FH = 550kN
B FH = 630kN
C FH = 710kN
D FH = 820kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 59/91
Parabéns! A alternativa C está correta.
A força atua no centro de pressão da área de projeção vertical
da superfície curva. O seu módulo é determinado considerando a
pressão a meia altura da área projetada. Assim:
Com dois algarismos significativos: 
Questão 2
Considere a comporta circular articulada em , de largura e
que armazena água de peso específico .
A magnitude da componente vertical aplicada pela água à
comporta é igual a aproximadamente:
E FH = 970kN
FH
p̄ = γágua  (H +
R
2 )
FH = p̄Aproj  = 9810 × (5 + 22 ) × (2 × 6) = 706320N = 706kN
FH = 710kN
A 6, 0m
γágua  = 9810N/m
3
FV
A FV = 640kN
B FV = 730kN
C FV = 850kN
D FV = 910kN
E FV = 990kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 60/91
Parabéns! A alternativa A está correta.
A magnitude de é igual ao peso do líquido imaginário sobre a
comporta, que se estende da superfície curva da comporta até a
superfície livre da água.
Com dois algarismos significativos: 
Questão 3
Considere a comporta circular articulada em , de largura e
que armazena água de peso específico .
Qual é o valor da força F necessária para manter a comporta
fechada? Despreze o peso da comporta.
Parabéns! A alternativa E está correta.
FV
FV = γágua  × (Aretângulo, 7m×2m − 1/4Acírculo,R=2m) × largura
FV = 9810 × (7 × 2 − 14 × π × 2
2) × 6 = 639220N = 639kN
FV = 640kN
A 6, 0m
γágua  = 9810N/m
3
A F = 250kN
B F = 330kN
C F = 410kN
D F = 480kN
E F = 708kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 61/91
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Diagrama de corpo livre
Questão 4
Uma força deve ser aplicada sobre a comporta de largura
, com articulação em , para mantê-la fechada. A força
resultante da água sobre a comporta é igual a
aproximadamente
(Dado: )
Parabéns! A alternativa D está correta.
F
w = 5, 0m A
FR
γágua  = 10kN/m
3
A FR = 6000kN
B FR = 5000kN
C FR = 4000kN
D FR = 3000kN
E FR = 2000kN
FH = p̄ × Aproj = 10 × (8 + 2) × (4 × 5) = 2000kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 62/91
Questão 5
A comporta a seguir, com articulação no ponto , apresenta largura
. Desprezando o peso da comporta, a força 
necessária para manter a comporta na posição fechada é igual a
(Dado: )
Parabéns! A alternativa E está correta.
FV = γágua  × (Aretângulo, 4m×8m + 1/4Acírculo, R=4m) × w
FV = 10 × (4 × 8 + π44/4) × 5 = 2228kN
FR = √F 2H + F 2V = 2994kN ≅3000kN
A
w = 3, 0m F
γágua  = 9810N/m
3
A 73 kN
B 52 kN
C 44 kN
D 33 kN
E 21 kN
FH = p̄Aproj  = γágua  × R/2 × (R × w)
FH = γágua  × R/2 × (R × w) = 9810 × 0, 75 × (1, 5 × 3) = 33k
FV = γágua  × πR
2/4 × w = 9810 × 3, 14 × 1, 52/4 × 3 = 52kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 63/91
Para o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto de
articulação:
Questão 6
A força F necessária para manter o cilindro com 5,00 m de
comprimento estacionário é igual a(Dados: e
 )
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para o equilíbrio de forças na direção horizontal:
F(R + 0, 90) = FH × R/3 + FV × 4R/3π
F = 33×1,5/3+52×4×1,5/(3×3,14)1,5+0,90 = 20, 7kN
γágua  = 10kN/m
3
g = 10m/s2
A 496 kN
B 304 kN
C 250 kN
D 154 kN
E 96 kN
FH, água  = p̄ × Aprojetada  = γágua  × R × Aproj  = 10 × 2 × (4 × 5
FH, óleo  = p̄ × Aprojetada  = γóleo  × R/2 × (R × 5) = (960 × 10)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 64/91
Teoria na prática
A comporta AB abaixo, em forma de setor circular com raio de e
largura , é articulada em B. Determine a força F suficiente
para manter a comporta fechada, sabendo que seu peso da comporta é
 e o peso específico da água é igual a 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A comporta abaixo se mantém fechada pela aplicação da força .
A distância da linha de ação da componente horizontal da força
resultante aplicada pela água à comporta, com largura 
, em relação à superfície livre da água, é igual a
F + FH, óleo  = FH, água  ⇒ F = 400 − 96 = 304kN
_black
3, 00m
w = 4, 60m
Wcomp = 14500N 10, 0kN/m
3
Mostrar solução
F
w = 4, 00m
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 65/91
Parabéns! A alternativa B está correta.
Questão 2
A comporta abaixo se mantém fechada pela aplicação da força .
O módulo da força resultante aplicada pela água
 à comporta, com largura , é igual
a
A 5,80
B 5,84
C 5,95
D 6,07
E 6,22
LCP =
ICG
LCGAproj 
+ LCG
LCP =
wR3/12
(5 + R/2)(R ⋅ w)
+ (5 + R/2) =
4 × 1, 63/12
5, 8 × 1, 6 × 4
+ 5, 8
F
FR
(γ = 9810N/m3) w = 4, 00m
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 66/91
Parabéns! A alternativa C está correta.
A componente atua na área projetada vertical da comporta.
A componente é igual ao peso do líquido sobre a comporta
curva.
A 180kN
B 364kN
C 495kN
D 544kN
E 600kN
FH
FH = p̄Aproj  = γágua  × (5 + R/2) × (R × w)
FH = 9810 × (5 + 1, 6/2) × (1, 6 × 4) = 364kN
FV
FV = 9810 × (6, 6 × 1, 6 − π ×1, 62/4) × 4 = 336kN
FR = √F 2H + F 2V = √364
2 + 3362 = 495kN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 67/91
4 - Centro de pressão e linha de ação
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o movimento de corpo.
Vamos começar!
Análise da �utuação e estabilidade
vertical e quanto à rotação e do
movimento de corpo rígido
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos
que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
Flutuação e estabilidade vertical
Um corpo que está imerso em um fluido ou flutuando na superfície livre
de um líquido está submetido a uma força que tem origem na
distribuição de pressões ao redor desse corpo, chamada de força de
empuxo , ou força de flutuação . O valor da força de empuxo
é determinado pela quantificação da diferença entre as pressões
sentidas pelo corpo submerso em suas partes inferior e superior,
conforme a representação da imagem a seguir.

(FE) (FB)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 68/91
Diferentes pressões que atuam nas superfícies de um corpo submerso.
Na imagem anterior, o corpo cilíndrico tem área da base e altura . A
massa específica do corpo é e está imersa em um líquido de
massa específica . As pressões na parede lateral do corpo se
cancelam mutuamente e a força de empuxo é equivalente à força
vertical resultante sobre o corpo. Assim:
Mas,
Logo:
De forma genérica, temos a equação:
Agora vamos levar em consideração o princípio de Arquimedes:
“Em um corpo total ou parcialmente imerso em fluido,
atua uma força vertical de baixo para cima, chamada
força de empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do
volume de fluido deslocado”.
Vamos considerar agora algumas definições:
A H
ρcorpo 
ρ
FE = (P2 − P1)A
P2 − P1 = ρlíquido gH
FE = ρlíquido  ⋅ g ⋅ H ⋅ A
Volume Submerso
= ρlíquido  ⋅ g ⋅ Vsubmerso 
FE = γfluido  ⋅ Vimerso 
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 69/91
É qualquer corpo que apresenta equilíbrio de forças quando
parcial ou totalmente imerso em um líquido.
É o volume de fluido deslocado pela parte imersa do flutuador. O
peso do volume de carena é igual ao módulo (ou valor numérico)
do empuxo.
É o ponto de aplicação da força de empuxo.
As forças que atuam em um corpo total ou parcialmente submerso, em
repouso, são a força peso , cujo ponto de aplicação é o centro de
gravidade do corpo, e a força de empuxo , cujo ponto de
aplicação é o centro de carena .
Para que um flutuador esteja em equilíbrio, é necessário que essas duas
forças tenham a mesma intensidade, a mesma direção e sentidos
opostos.
Para a análise da estabilidade do equilíbrio, vamos partir da situação em
que o corpo se encontra em equilíbrio e vamos aplicar uma força de
forma que o corpo seja deslocado em relação a sua posição inicial. Com
a retirada da força, três eventos resposta podem ser esperados:
Corpo flutuante ou flutuador 
Volume de carena 
Centro de carena ou centro de empuxo 
(CG)
(CC)
 1º Evento
O corpo retorna à posição de equilíbrio inicial. Essa
reposta caracteriza um equilíbrio estável.
 2º Evento
O corpo se afasta cada vez mais da posição inicial.
Essa resposta caracteriza um equilíbrio instável.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 70/91
A análise da estabilidade em flutuadores se reduz basicamente à
estabilidade vertical e a estabilidade à rotação, pois, para os
deslocamentos horizontais, o equilíbrio é indiferente.
Para a estabilidade vertical, dois casos são possíveis.
Caso 1 - Corpo totalmente submerso
em equilíbrio
Analise a seguinte equação:
Analise a seguinte representação gráfica:
Corpo totalmente submerso em equilíbrio.
Com base na imagem anterior, se o corpo estiver totalmente submerso e
em equilíbrio, o volume deslocado será sempre o mesmo, qualquer que
seja o deslocamento vertical do corpo, ou seja, a força de empuxo não
se altera. Dessa forma, haverá sempre a manutenção da situação de
 3º Evento
O corpo permanece na nova posição, sem retornar
e sem se afastar mais da posição inicial. Essa
resposta caracteriza um equilíbrio indiferente ou
neutro.
 Força de empuxo  (FE) =  Peso (W)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 71/91
equilíbrio vertical, uma vez que o peso do corpo também não se altera.
Logo, esse caso caracteriza um equilíbrio indiferente ou neutro.
Caso 2 – Corpo parcialmente
submerso em equilíbrio
Veja a seguinte equação:
Força de empuxo 
Analise a seguinte representação gráfica:
Corpo parcialmente submerso em equilíbrio estável.
Conforme a representação da imagem anterior, ao se deslocar o corpo
para baixo, o volume de carena e o empuxo aumentam, levando a uma
situação em que . Ao se retirar a força que causou o
deslocamento vertical, o flutuador sobe, diminuindo o volume de carena
até que se obtenha novamente . Se o corpo for deslocado para
cima, o volume de carena diminui, então . Ao se retirar a força
aplicada, o corpo desce até que . Assim, esse caso caracteriza
um equilíbrio estável.
Flutuação e estabilidade à rotação
Para a estabilidade quanto à rotação, podem ocorrer três situações
distintas.
(FE) = Peso(W)
FE > W
FE = W
FE < W
FE = W
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 72/91
Situação 1 - Corpo totalmente
submerso com centro de gravidade
(CG) abaixo do centro de carena (CC)
Para a análise dessa situação, vamos fazer o flutuador abandonar a sua
posição inicial de equilíbrio pela ação de uma pequena força que o faça
girar de um pequeno ângulo em relação ao eixo que passa pelo CG e
pelo CC, conforme a representação da próxima imagem.
Figura 4.4 - Estabilidade à rotação: Equilíbrio estável.
Conforme a imagem anterior, para o corpo em equilíbrio cujo CG está
localizado abaixo do CC, uma pequena rotação promove o
desalinhamento entre o CG e o CC que têm localizações fixas no corpo
totalmente submerso, gerando assim, um momento conjugado
restaurador que tende a girar o corpo no sentido contrário à
perturbação. O corpo tenderá novamente à posição inicial,
caracterizando uma situação de equilíbrio estável.
Situação 2 – Corpo totalmente
submerso com centro de carena (CC)
abaixo do centro de gravidade (CG)
Vamos fazer o flutuador abandonar a sua posição inicial de equilíbrio
através de uma rotação em torno do eixo que passa pelo CG e pelo CC,
conforme a representação da imagem a seguir.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 73/91
Estabilidade à rotação: equilíbrio instável.
Podemos observar na imagem anterior que uma pequena rotação para o
corpo em equilíbrio totalmente submerso com CG localizado acima do
CC promove o desalinhamento entre o CG e o CC, que têm posições
fixas pois o corpo está totalmente submerso. Isso gera um momento
que tende a manter a rotação do corpo, afastando-o ainda mais da
posição inicial. Essa situação caracteriza um equilíbrio instável.
Assim, em um corpo totalmente submerso em
equilíbrio, para que haja a estabilidade à rotação, o
centro de gravidade deverá estar sempre abaixo do
centro de carena.
Para um corpo homogêneo em equilíbrio, totalmente submerso em um
fluido homogêneo, o centro de gravidade do corpo coincide com o
centro de carena. Dessa forma, o corpo estará sempre em equilíbrio
indiferente ou neutro.
A próxima imagem resume os tipos de equilíbrio associados a um corpo
totalmente submerso.
Estabilidade de um corpo totalmente submerso: (a) equilíbrio instável; (b) equilíbrio neutro; (c)
equilíbrio estável.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 74/91Situação 3 – Corpo parcialmente
submerso em equilíbrio
Nessa situação, a análise não é tão simples como no caso dos corpos
totalmente submersos. É óbvio que, se o centro de gravidade (CG)
estiver abaixo do centro de carena (CC), teremos a garantia do equilíbrio
estável. Entretanto, para corpos parcialmente submersos, existe uma
possibilidade extra.
Algumas vezes, a rotação do corpo pode causar uma variação no
formato do volume de carena, promovendo um deslocamento do centro
de carena, tal que, o equilíbrio pode ser estável, em função da geração
de momentos restauradores, mesmo com o CC localizado abaixo do CG,
conforme a representação da próxima imagem.
Alteração da posição do centro de carena com a rotação do corpo parcialmente submerso.
Devemos notar que se um corpo estiver totalmente submerso, o volume
deslocado com a rotação é constante, de forma que o CC acompanha o
movimento do corpo, mantendo-se fixo em relação a ele. Assim, como já
citado, quando o está abaixo do , a rotação irá gerar momento
conjugado a favor da manutenção da rotação, provocando o
afastamento da posição de equilíbrio.
Entretanto, para um corpo parcialmente submerso, conforme observado
na imagem anterior, a rotação em torno do eixo promove uma
alteração no volume de carena, de , inicialmente, para
, com consequente deslocamento do centro de carena para a
esquerda, em . Dessa forma, o corpo apresentará um equilíbrio
estável em função do momento conjugado restaurador gerado.
A estabilidade quanto à rotação na situação em que o centro de carena
 está localizado abaixo do centro de gravidade pode ser
analisada conforme a representação da proxima imagem. Nessa
imagem, o sentido do momento conjugado é definido pela posição do
metacentro , que é a interseção do eixo de simetria do flutuador (Eixo
CC CG
O
ABCDA
LBCIL
CC ′
(CC) (CG)
M
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 75/91
 ) com a direção do da força de empuxo que atua sobre o centro de
carena.
Estabilidade quanto à rotação para corpos parcialmente submersos.
Assim, da imagem anterior, temos:
Se o ponto M estiver acima do CG, o momento conjugado será
contrário à manutenção da rotação, e o equilíbrio será estável.
Se o ponto M estiver abaixo do CG, o momento conjugado será a
favorável à manutenção da rotação, e o equilíbrio será instável.
Se o ponto M coincidir com o CG, o equilíbrio será indiferente ou
neutro.
Ainda na imagem anterior, a altura metacêntrica é defina como a
distância, sobre o eixo de simetria do flutuador (Eixo ), compreendida
entre o centro de gravidade e o metacentro . Considerando como
sentido positivo, o sentido de baixo para cima sobre o eixo de simetria,
se for positivo, o equilíbrio é estável e se for negativo, o
equilíbrio é instável.
Movimento de corpo rígido
Nos fluidos com movimento de corpo rígido, as partículas de fluido
mantêm suas posições relativas. Dessa forma, não se observam no
fluido gradientes de velocidade, o que caracteriza a não existência de
tensões de cisalhamento. Assim, o fluido que apresenta movimento de
corpo rígido é enquadrado pela estática dos fluidos, que estuda as
forças aplicadas pelo fluido em repouso, em aceleração linear e em
aceleração giratória, conforme as representações da próxima imagem.
O
GM
–
O
CG M
GM
–
GM
–
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 76/91
Situações sob a análise da estática dos fluidos.
A equação geral da estática dos fluidos estabelece que:
Considerando essa equação, devemos observar que as equipotenciais
de pressão ou linhas de pressão constante devem ser perpendiculares à
aceleração resultante . Por exemplo, na imagem anterior, para o caso
do recipiente acelerado, as equipotenciais de pressão seguem a
representação da imagem a seguir.
Equipotenciais de pressão.
Podemos generalizar a situação de corpo rígido para um recipiente
acelerado na situação da imagem a seguir.
→∇p = ρ(→g − →a)
gR
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 77/91
Recipiente acelerado em rampa.
Podemos observar, na imagem anterior, que o emento de fluido está
submetido às acelerações em relação ao eixo e em relação ao eixo ,
segundo a orientação espacial em coordenadas cartesianas. Portanto,
nesse fluido, a pressão irá variar em relação a essas coordenadas
cartesianas. Considerando a diferencial total da pressão:
Integrando a expressão acima, e sabendo que:
Temos:
Para e na superfície livre do líquido que representa uma
equipotencial de pressão, . Assim:
Já na próxima imagem, ilustra a situação de um líquido submetido a
rotação. Podemos observar nessa situação que o elemento de fluido
está submetido a acelerações, em e em , considerando as
coordenadas cilíndricas.
Recipiente em movimento rotativo.
x z
dp = ( ∂p
∂x
)
z
dx + ( ∂p
∂z
)
x
dz
( ∂p
∂x
)
z
= −ρax
( ∂p
∂z
)
x
= −ρ (g + az)
dp = p2 − p1 = −ρax (x2 − x1) − ρ (g + az) (z2 − z1)
p2 p1
p2− p1 = 0
tgα =
z1 − z2
x2 − x1
=
ax
g + az
r z
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 78/91
Então, podemos escrever para a pressão:
Sabemos que:
Logo:
Integrando a equação acima:
Para e na superfície livre do líquido e
considerando o ponto 1 no vértice , temos:
Essa é a equação da superfície livre do líquido e, por ser uma função do
segundo grau, representa um paraboloide de revolução.
Demonstração
Para a situação de corpo rígido em sistemas rotativos, algumas
correlações de uso geral são apresentadas na próxima imagem.
dp = ( ∂p
∂r
)
z
dr + ( ∂p
∂z
)
r
dz
( ∂p
∂r
)
z
= ρacentrípeta  = ρ
V 2
r
= ρ
(ωr)2
r
= ρω2r
( ∂p
∂z
)
r
= −ρg
dp = ρω2rdr − ρgdz
p2 − p1 =
ρω2
2
(r22 − r
2
1) − ρg (z2 − z1)
p2 p1 (p2 − p1 = 0)
(r1 = 0)
ω2r22
2
= g (z2 − z1)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 79/91
Para o recipiente cilíndrico que contém água e que apresenta
 e , determine:
A velocidade de rotação, .
A pressão no ponto .
(Dados: e 
Solução
A superfície livre com perfil parabólico em que o vértice da parábola
representa o ponto 1 apresenta o seguinte perfil:
b) A equação geral para determinação da diferença de pressão entre
dois pontos no sistema de corpo rígido rotativo é dada por:
Logo:
R = 0, 15m.h = 0, 22m M = 0, 05m
ω
A
ρágua  = 1000kg/m
3 g = 10m/s2)
ω2r22
2
= g (z2 − z1)
ω = √ 2gh
r22
= √ 2 × 10 × 0, 22
0, 152
= 14rad/s
p2 − p1 =
ρω2
2
(r22 − r
2
1) − ρg (z2 − z1)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 80/91
Mão na massa
Questão 1
Considere o flutuador a seguir.
Esse flutuador apresenta estabilidade vertical
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para o corpo parcialmente submerso em equilíbrio, a força de
empuxo é igual ao peso. No deslocamento vertical, o peso do
pA − p1 =
ρω2
2
(r2A − r
2
1) − ρg (zA − z1)
pA − p1 =
1000 × 142
2
(0, 152 − 0) − 1000 × 10 × (−0, 05)
pA(man) = 2705Pa = 2, 7kPa

A indiferente
B instável
C estável
D dependente a altura metacêntrica (overline{G M})
E neutra
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 81/91
flutuador não se altera e o valor da força de empuxo vai depender
do volume submerso. O valor constante do peso irá promover o
reestabelecimento do equilíbrio inicial após a soltura do flutuador,
pois no deslocamento para cima, , e o flutuador desce; no
deslocamento para baixo, \(W
Questão 2
Considere o flutuador a seguir.
Quanto à rotação, podemos dizer que a estabilidade desse flutuador
é:
Parabéns! A alternativa E está correta.
O flutuador parcialmente submerso apresenta estabilidade à
rotação quando o metacentro está acima do centro de gravidade
(CG) ou quandoa altura metacêntrica é positiva.
W > FE
A
Instável se o centro de carena (CC) estiver abaixo do
centro de gravidade (CG).
B
Estável somente quando o centro de gravidade (CG)
estiver abaixo do centro de carena (CC).
C
Instável quando o metacentro estiver acima do
centro de gravidade (CG).
D
Estável quando o metacentro estiver abaixo do
centro de gravidade (CG).
E Estável quando a altura metacêntrica for positiva.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 82/91
Questão 3
Uma esfera de bronze com de diâmetro e densidade 13,5 é
utilizada como peso para manter um cilindro flutuando na água do
mar . cilindro tem comprimento de 2,0 m, diâmetro
 e densidade 0,45. A altura que deverá ser preenchida com
água do mar para que âncora esférica fique na iminência do
descolamento do fundo é igual a
(Dados: , Volume da esfera )
Parabéns! A alternativa A está correta.
Considerando o equilíbrio de forças:
30cm
(d = 1, 03) O
50cm h
g = 10m/s2 = π ⋅ D3/6
A 1,45 m
B 1,55 m
C 1,65 m
D 1,75 m
E 1,85 m
Wesfera  = 135000 × π × 0, 33/6 = 1, 91kN
Wcilindro  = 4500 × π × 0, 52/4 × 2 = 1, 77kN
FE, esfera  = 10300 × π × 0, 33/6 = 0, 146kN
FE, cilindro  = 10300 × π × 0, 52/4 × (h + 0, 3)
FE, cilindro  + FE, esfera  = Wesfera  + Wcilindro 
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 83/91
Logo:
Questão 4
Um tanque pressurizado a contendo gasolina
 é acelerado para a direita a 6,00 m/s . A
força que a gasolina exerce sobre a tampa circular de diâmetro 5,00
cm é igual a
(Dado: )
Parabéns! A alternativa C está correta.
Da equação geral para um recipiente linearmente acelerado:
No problema em questão:
10, 3 × π × 0, 52/4 × (h + 0, 3) = 1, 91 + 1, 77 − 0, 146
h = 1, 45m
15, 0kPa
(ρgasolina  = 667kg/m3) 2
g = 10m/s2
A F = 15N
B F = 28N
C F = 43N
D F = 51N
E F = 66N
p2 − p1 = −ρax (x2 − x1) − ρ (g + az) (z2 − z1)
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 84/91
Portanto:
Questão 5
O recipiente cilíndrico abaixo com e
 promove o movimento da água em corpo rígido com
uma velocidade angular de .
Se a altura total do cilindro é igual a 0,30 m, a velocidade de rotação
em que a água fica na iminência de ser derramada é igual a
z1 = z2
az = 0
p2 − p1 = −ρax (x2 − x1)
p1 = ptampa  = p2 + ρax (x2 − x1) = 15 +
667×5×2
1000 = 21, 7kPa
ptampa  =
F
Atampa 
⇒ F = ptampa  ×
πD2
4
F = 21, 7 × 103 × 3,14×0,05
2
4 = 42, 6N
R = 0, 15m.h = 0, 22m
M = 0, 05m
14rad/s
A ω = 16rad/s
B ω = 20rad/s
C ω = 25rad/s
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 85/91
Parabéns! A alternativa A está correta.
Na iminência do derramamento de água, a quantidade de água não
se altera, o volume do recipiente é fixo, portanto o volume de ar
também é fixo. Assim:
Logo:
Portanto:
Questão 6
Considere o manômetro em U, aberto para a atmosfera, que contém
água em repouso inicialmente. Em seguida, esse dispositivo é
submetido a rotação em uma perna do manômetro de forma que a
água fica na iminência de transbordar na outra perna, conforme a
representação abaixo.
Nessas condições, a velocidade de rotação emprega ao dispositivo
é igual a
D ω = 32rad/s
E ω = 40rad/s
Var,inicial  = Var, final 
π
2 R
2 × 0, 22 + πR2(0, 30 − 0, 27) = π2 R
2 × hfinal 
hfinal  = 0, 22 + 2 × 0, 03 = 0, 28m
ω = √ 2gh
r22
= √ 2×10×0,28
0,152
= 15, 8rad/s
A 20rad / s
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 86/91
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Corpo livre rotatório
Teoria na prática
Um tanque contendo água, de largura e inicialmente em repouso, é
acelerado para a direita, sem transbordar a água.
B 13rad / s
C 50rad / s
D 60rad / s
E 80rad / s
_black
w
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 87/91
Determine as pressões nos pontos e B, considerando .
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Com respeito à representação abaixo podemos dizer que
Parabéns! A alternativa D está correta.
O flutuador A apresenta momento conjugado restaurador: equilíbrio
estável.
A g = 10m/s2
Mostrar solução
A os flutuadores A e B apresentam equilíbrio estável.
B os flutuadores A e B apresentam equilíbrio instável.
C
os flutuadores A e B apresentam equilíbrios
indiferentes.
D
o flutuador A apresenta equilíbrio estável e o
flutuador B, equilíbrio instável.
E
o flutuador A apresenta equilíbrio instável e o
flutuador B, equilíbrio estável.
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 88/91
O flutuador B apresenta momento conjugado favorável à
manutenção da rotação: equilíbrio instável.
Questão 2
O tanque abaixo é acelerado para a direita com movimento de
corpo rígido.
Qual é o valor de ? Considere 
Parabéns! A alternativa B está correta.
De forma geral, para o movimento de corpo rígido acelerado:
Nesse caso: 
ax g = 10m/s
2
A 0,77 m⁄s²
B 1,25 m⁄s²
C 2,29 m⁄s²
D 5,44 m⁄s²
E 9,81 m⁄s²
tgα = z1−z2
x2−x1
= ax
g+az
az = 0
tgα =
0, 33 − 0, 18
1, 2
=
ax
10
ax = 1, 25m/s
2
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 89/91
Considerações �nais
Você acabou de fundamentar seus conhecimentos de mecânica dos
fluidos e acrescentou novos conceitos em seu cabedal de informações
acadêmicas.
Podemos destacar os seguintes entendimentos: pressão em um ponto,
equação da estática dos fluidos, escalas de pressão, manômetros,
forças hidrostáticas em corpos submersos, força de flutuação e
estabilidade e movimento de corpo rígido por aceleração linear e
rotação.
Esses conhecimentos poderão ser empregados em outros estudos ou
em sua vida profissional.
Podcast
Agora, encerramos o tema com um breve resumo dos principais tópicos
que foram abordados ao longo dos módulos.

Explore +
Pesquise no Google acadêmico o artigo Reflexões sobre o conceito de
centro de gravidade nos livros didáticos, que traz uma revisão sobre o
conceito matemático do centro de gravidade.
Referência:
ASSIS, A. K. T.; DE MATOS RAVANELLI, F. M.. Reflexões sobre o conceito
de centro de gravidade nos livros didáticos. Ciência & Ensino (ISSN
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 90/91
1980-8631), v. 2, n. 2, 2008.
Referências
COELHO, J. C. M. Energia e Fluidos: Mecânica dos Fluidos. São Paulo:
Blucher, Vol 2.  2016.
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos - Fundamentos e
aplicações. 3 ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
ELGER, D. F. Mecânica dos Fluidos para Engenharia. 11. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2019.
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MICHTELL, J. W.
Introdução à Mecânica dos Fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2016.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Um Texto para
Cursos Básicos. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
MOTT, R. L. Applied Fluid Mechanics. 6. ed. New Jersey: Pearson
Pretince Hall, 2006.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica
dos fluídos. São Paulo: Blucher, 2004.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecânica dos Fluídos..
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2014.
WHITE, F. M. Mecânica dos Fluidos. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2018.
Material para download
Clique no botão abaixo para fazer o download do
conteúdo completo em formato PDF.
Download material
javascript:CriaPDF()
11/09/2023, 20:15 Estática dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04387/index.html# 91/91
O que você achou do conteúdo?