Propriedades dos fluidos 1

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11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Propriedades dos �uidos
Prof. Fábio Bicalho Cano
Descrição
A interpretação dos conceitos básicos e das propriedades dos fluidos
na análise de escoamentos.
Propósito
Os conceitos da mecânica dos fluidos e o conhecimento dos princípios
básicos são importantes em diversas aplicações da engenharia, como a
sustentação aerodinâmica, o projeto e a operação de bombas, as
turbinas, os motores de combustão interna, os equipamentos de
controle de poluição, os sistemas de tubulação e as operações unitárias
de separação mecânica, de transferência de energia e de transferência
de massa.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma
calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
Objetivos
Módulo 1
Dimensões e unidades
Identificar os principais sistemas de unidades.
Módulo 2
Acurácia e algarismos signi�cativos
Analisar a acurácia e os algarismos significativos.
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Módulo 3
Análise dimensional
Reconhecer a homogeneidade dimensional.
Módulo 4
Propriedades termodinâmicas dos �uidos
Analisar as propriedades termodinâmicas dos fluidos.
Introdução
Neste vídeo, o especialista listará os conceitos que serão
desenvolvidos ao longo dos módulos: dimensões fundamentais e
derivadas, sistemas de unidades, acurácia, precisão e algarismos
significativos, homogeneidade dimensional, teorema Π de
Buckingham, parâmetros adimensionais comuns à mecânica dos
fluidos e principais propriedades termodinâmicas dos fluidos.
1 - Dimensões e unidades
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os principais sistemas de unidades.

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Vamos começar!
O conceito de dimensão e unidades
Neste vídeo, o especialista apresentará as definições de dimensões
fundamentais e derivadas, os principais sistemas de unidades: SI, CGS,
BG, EA e MKS* e a importância da constante gravitacional na aplicação
correta da segunda lei de Newton.
Conceito de dimensão e de unidade
Na Engenharia, devemos ser capazes de nos expressarmos não só com
palavras, mas também com expressões numéricas adequadas, uma vez
que as quantidades físicas requerem descrições quantitativas. Por
exemplo, a grandeza física “massa específica" de uma substância mede
a massa dessa substância contida em uma unidade de volume.
O que é uma dimensão?
A dimensão é a expressão quantitativa definidora da grandeza física. De
forma mais abrangente, podemos dizer que a dimensão é uma
necessidade de medida. Logo, se existe a necessidade de medir a
massa, o volume, o tempo, o comprimento, a pressão, a velocidade, a
viscosidade etc., então esses mesmos elementos são dimensões.
O que é uma unidade?
A unidade é a expressão numérica da dimensão. Por exemplo, a
dimensão "comprimento" pode ser numericamente expressa em várias
unidades: metros, centímetros, quilômetros, angstrons, pés, polegadas
etc. Assim, o valor numérico da dimensão está intimamente relacionado
à unidade empregada, que deve ser compatível com o objeto em análise.
Ou seja, não tem sentido prático, por exemplo, medir o comprimento de
uma mesa de jantar em quilômetros e, muito menos, em angstrons
Dimensões fundamentais e derivadas
As dimensões podem ser divididas em dois grupos:

(1Å× 10−10m).
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Geralmente, as dimensões são escritas entre colchetes ou entre chaves
e com letras maiúsculas. As dimensões fundamentais comumente
empregadas na mecânica dos fluidos estão relacionadas na tabela a
seguir:
Força ou 
Massa ou 
Comprimento (termo em inglês: Length) ou 
Tempo ou 
Temperatura ou 
Tabela: Dimensões fundamentais adotadas na mecânica dos fluidos.
Fábio Bicalho Cano.
As dimensões derivadas, que são escritas como combinações das
dimensões fundamentais, seguem a formulação física mais simples
possível da propriedade, conforme as definições apresentadas na tabela
a seguir.
Grandezas
físicas Expressão matemática Dimensõ
Velocidade
(média)
Aceleração
Energia
(trabalho)
 Força Deslocamento
Área (de
quadrado) Lado Lado 
Volume (de
cubo)
 Lado Lado
 Lado 
Tensão Tensão Tensão 
Pressão
Potência Pot 
Massa
específica
Peso
específico
Quantidade
de
movimento
 Massa 
Velocidade 
Impulso Força Tempo 
Capacidade
calorífica
Viscosidade
Dimensões fundamentais, primárias ou básicas 
Dimensões derivadas ou secundárias 
[F ] {F}
[M] {M}
[L] {L}
[T ] {T}
[θ] {θ}
→V =  Espaço percorrido 
 Intervalo de tempo  [
→V ] =
→a =  Variação de velocidade 
 Intervalo de tempo 
[→a] =
E = ⋅(
)
[E] = F
A = ( ) × ( ) [A] =
V = ( ) × (
) × ( )
[V ] =
=  Força 
 Área  [ ]
P =  Força normal compressiva 
 Área  [P ] =
=
 Energia 
 Tempo  [Pot] =
ρ = Massa
 Volume 
[ρ] =
γ = ρ× g [γ] =
→Q = ( ) × (
)
[ →Q] = M
I = ( ) × ( ) [I] = F
C =  Quantidade de calor 
 Variação de tempertura  [C] =
F
μ =
 Tensão de cisalhamento 
d →V /dy
[μ] =
F/L2
(L/T )/L
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Grandezas
físicas Expressão matemática Dimensõ
Viscosidade
cinemática
Vazão
volumétrica
Vazão
mássica
Tabela: Dimensões derivadas.
Fábio Bicalho Cano.
Principais sistemas de unidades –
sistemas métricos
Os sistemas de unidades foram criados para padronizar as unidades
utilizadas na quantificação das grandezas físicas.
Quando se define um sistema de unidades, automaticamente, são
eleitas algumas dimensões como fundamentais, junto com suas
unidades. Essas dimensões fundamentais, quando combinadas, irão
gerar as demais dimensões do sistema, ou seja, as dimensões
derivadas.
v =  viscosidade absoluta  massa específica  [v] =
M/(L⋅T
M/L3
V̇ =  Volume transferido  Intervalo de tempo  [V̇ ] =
ṁ =  Massa transferida 
 Intervalo de tempo  [ṁ] =
 Sistema Internacional de Unidades (SI)
É o mais importante, pois existe uma tendência na
comunidade científica de convergência para esse
sistema.
 Sistema CGS de Unidades
É um sistema obsoleto, mas com unidades de
viscosidade ainda em prática.
 Sistema Gravitacional Britânico de Unidades
(BG)
É um sistema utilizado em alguns países, onde
diversas grandezas se encontram representadas no
mesmo
 Sistema Americano de Unidades de
Engenharia (EA)
É equivalente ao Sistema Inglês de Engenharia (EE).
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Os sistemas métricos são aqueles em que as unidades estão
relacionadas por uma potência de 10.
Vejamos, a seguir, as definições dos principais sistemas de unidades
métricos.
Sistema Internacional de Unidades (SI)
O sistema SI é formado pelas seguintes dimensões fundamentais e
unidades:
Dimensões
Fundamentais
M
(Massa)
L
(Comprimento)
T
(Tempo)
Unidades kg m s
Fábio Bicalho Cano.
Com essas definições, podemos dizer que o Sistema Internacional (SI) é
um sistema MLT uma vez que essas dimensões fundamentais
formam a base do sistema de unidades.
Devemos observar que no SI a Força é uma dimensão derivada,
pois não está relacionada no rol das dimensões fundamentais.
Qual é a dimensão de força?
Para responder a essa pergunta, precisamos identificar uma equação
que relacione a força às dimensões fundamentais. Essa equação é a
Segunda Lei de Newton, que no SI é escrita como:
Assim, temos:
Qual é a unidade de força?
Considerando a dimensão de força:
Em que o símbolo [=] significa "têm unidade de" e 1 (um) 
unidade intrínseca do SI, é a força necessária para que uma massa de
 seja deslocada com uma aceleração de 
Como unidades intrínsecas do SI, temos as seguintes unidadespara:
 Sistema MKS Técnico Híbrido (MKS*)
É um sistema de unidades de medidas físicas, onde
o metro é a unidade-base para comprimento.
θ,
(F)
→F =
d(m ⋅ →V )
dt
= m
d →V
dt
= m ⋅ →a
[F ] = [m ⋅ a] =
M ⋅ L
T 2
F [=]
kg ⋅m
s2
= N(newton)
newton,
1kg 1m/s2.
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Pressão 
Energia 
Potência 
Viscosidade 
Sistema CGS de Unidades
O sistema CGS (sigla para centímetro, grama, segundo) é formado pelas
seguintes dimensões fundamentais e unidades:
Dimensões
Fundamentais
M
(Massa)
L
(Comprimento)
T
(Tempo)
Unidades g cm s
Fábio Bicalho Cano.
O sistema CGS de unidades é um sistema MLT Como unidades
intrínsecas do CGS, temos:
Força 
Viscosidade 
Viscosidade cinemática 
P
P [=]
N
m2
= Pa( pascal )
E
E[=]N ⋅m = J  (joule) 
Pot
Pot[=]
N ⋅m
s
=
J
s
= W(watt)
μ
μ[=]
N ⋅ s
m2
= Pa ⋅ s =
kg
m ⋅ s
θ.
F
F [=]
g ⋅ cm
s2
= dina
μ
μ[=]
dina ⋅ s
cm2
=
g
cm ⋅ s
= P(poise)
v
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Sistema MKS técnico-híbrido de unidades (MKS*)
O sistema MKS* é formado pelas seguintes dimensões fundamentais e
unidades:
Dimensões
Fundamentais
F
(Força)
M
(Massa)
L
(Compriment
Unidades
kgf
(quilograma-
força)
kg m
Fábio Bicalho Cano.
O sistema MKS* é um sistema FMLT 
Uma pergunta importante aqui é: para esse sistema, podemos escrever:
 ?
Não. Como esse sistema apresenta as dimensões fundamentais
 e qualquer uma dessas dimensões não pode ser escrita
como combinação das demais. Assim, supondo 
poderíamos escrever para a dimensão de força:
O que não é permitido nesse sistema de unidades.
Na verdade, a segunda lei de Newton, aplicável a qualquer sistema de
unidades, deve ser escrita como:
Em que é a constante gravitacional que possui a seguinte dimensão:
A denominação de constante gravitacional se deve ao fato de que,
numericamente, a constante gravitacional tem o mesmo valor da
aceleração normal da gravidade. Logo, para o MKS*:
Geralmente, adota-se o arredondamento:
[v] =
μ
ρ
=
M/(L ⋅ T )
M/L3
=
L2
T
[=]
cm2
s
= St(stokes)
θ.
F = m ⋅ a
F ,M,L,T , θ,
F =m ⋅ a,
[F ] =
M ⋅ L
T 2
→F =
1
gc
d(m ⋅ →V )
dt
=
1
gc
m
d →V
dt
=
m ⋅ →a
gc
gc
[gc] =
M ⋅ L
T 2 ⋅ F
g = 9, 80665m/s2
gc = 9, 80665
kg ⋅m
s2 ⋅ kgf
gc = 9, 81
kg ⋅m
s2 ⋅ kgf
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Com esse valor numérico de o valor numérico da massa é igual ao
valor numérico do peso, ou seja:
Portanto, no sistema MKS*, se a massa corporal de uma pessoa é igual
a 79kg, o seu peso correspondente é de 79kgf.
Observação
Nos sistemas SI e CGS, temos para a constante gravitacional :
Os prefixos comumente empregados na mecânica dos fluidos são
apresentados na tabela a seguir.
Fator de multiplicação Prefixo Símbolo
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro μ
10-9 nano n
10-12 pico p
Tabela: Prefixos mais empregados na engenharia.
Fábio Bicalho Cano.
Principais sistemas de unidades –
sistemas britânico e americano
Sistema Gravitacional Britânico de Unidades (BG)
O sistema BG é formado pelas seguintes dimensões fundamentais e
unidades:
gc,
Peso =
m ⋅ g
gc
N
= m
gc
gc = 1
kg ⋅m
s2 ⋅N
= 1
gc = 1
g ⋅ cm
s2 ⋅ dina
= 1
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Dimensões
Fundamentais
F
(Força)
L
(Comprimento)
T
(Tempo)
Unidades (libra-
força)
ft (foot) s
Fábio Bicalho Cano.
Dessa forma, o sistema BG é um sistema FLT 
Para esse sistema, qual é a dimensão de massa?
Para a determinação da dimensão de massa, devemos empregar uma
equação geral que relaciona a massa com as dimensões fundamentais.
Essa relação é descrita pela segunda lei de Newton:
No sistema BG, Assim:
Ou seja, 1 (um) slug é a massa que, quando submetida a uma força de
 desloca-se com uma aceleração de 
Sistema Americano de Unidades de Engenharia (EA) ou Sistema
Inglês de Engenharia (EE)
O sistema EA é formado pelas seguintes dimensões fundamentais e
unidades:
Dimensões
Fundamentais
F
(Força)
M
(Massa)
L
(Comprimento)
Unidades (libra-
massa)
ft (foot)
Fábio Bicalho Cano.
O sistema EA é um sistema FMLT portanto:
Em que é denominada constante gravitacional e tem a seguinte
dimensão:
Assim, podemos observar a consistência dimensional da segunda lei de
Newton:
lbf
θ.
⇀
F =
d(m ⋅
⇀
V )
dt
= m
d
⇀
V
dt
= m ⋅ ⇀a
gc = 1.
[m] =
F
L/T 2
m[=]
lbf ⋅ s
2
ft
= slug
1lbf , 1ft/s
2.
lbf
lbm
θ,
⇀
F =
1
gc
d(m ⋅
⇀
V )
dt
=
1
gc
m
d
⇀
V
dt
=
m ⋅
⇀
a
gc
gc
[gc] =
M ⋅ L
T 2 ⋅ F
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Neste sistema:
Portanto:
Então, no sistema EA, se a massa corporal de uma pessoa é igual a
 o seu peso correspondente é de 
Conversão de unidades
As operações matemáticas entre as grandezas físicas são consistentes
quando realizadas em um único sistema de unidades. Assim, se as
operações envolvem grandezas quantificadas em sistemas de unidades
distintos, devemos converter as unidades para um único sistema.
Na execução dos cálculos, para qual sistema devo
converter as unidades?
A princípio, podemos executar os cálculos em qualquer sistema de
unidades, mas é aconselhável trabalhar nos sistemas em que 
ou seja, no SI, preferencialmente, ou no gravitacional britânico (BG).
Para as devidas conversões entre os sistemas de unidades, devemos
empregar uma tabela de conversão de unidades, como exemplificado na
imagem a seguir:
Fatores de conversão de unidades.
[
⇀
F ] = [m ⋅
⇀
a
gc
] = M ⋅ L/T
2
M ⋅ L/ (T 2 ⋅ F)
= F
g = 32, 174ft/s2
gc = 32, 174
lbm ⋅ ft
s2 ⋅ lbf
Peso =
m ⋅ g
gc
N
= m
174lbm, 174lbf .
gc = 1,
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Demonstração
Vamos desenvolver uma expressão geral, aplicável em qualquer sistema
de unidades, que relaciona a viscosidade dinâmica com a viscosidade
cinemática.
Vamos considerar a equação de fluido newtoniano:
Considerando a segunda lei de Newton, essa equação, em termos
dimensionais, passa a ser escrita como:
Ou seja:
Reagrupando as dimensões, temos:
Reescrevendo agora a equação acima com base nas grandezas físicas
equivalentes, temos:
Finalmente, temos:
Mão na massa
Questão 1
Que tipo de sistema é o Sistema Internacional de Unidades (SI)?
μ =
τ
d
⇀
V /dy
[μ] =
F
L2
L/T
L
=
1
[gc]
M⋅L
T 2
× 1
L2
1
T
[μ] =
1
[gc]
M ⋅ L
T 2
×
1
L2
× T = ( L
L
)× 1
[gc]
M ⋅ L
T 2
×
1
L2
× T
[μ] =
1
[gc]
×
M
L3
×
L2
T
μ =
1
gc
× ρ× v
v =
μ
ρ
× gc

A FMLTθ
B FLTθ
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENo%20SI%2C%20as%20dimens%C3%B5es%20fundamentais%20s%C3%A3o%3A%20massa%2C%20compri
Questão 2
Para qualquer sistema de unidades, podemos escrever para a
energia cinética :
Sabendo que um carro de passeio de massa 1800kg trafega em
uma rodovia com uma velocidade de , a energia cinética
em é aproximadamente igual a:
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3De64b80120b374b70a166aa91
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Para qualquer sistema de unidades, podemos escrever paraa
energia potencial :
Sabendo que um drone de massa 4,7kg se localiza a uma altura de
 em relação ao solo e que , a energia
C MLTθ
D FMTθ
E FMLθ
(Ec)
Ec =
1
2
m
⇀
V
2
gc
12mi/h
lbf ⋅ ft
A 52001lbf ⋅ ft
B 47701lbf ⋅ ft
C 33000lbf ⋅ ft
D 28200lbf ⋅ ft
E 19101lbf ⋅ ft
(Ep)
Ep =
mgh
gc
120m g = 9, 81m/s2
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potencial desse drone no sistema BG é aproximadamente igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20sistema%20BG%20%C3%A9%20um%20sistema%20%5C(F%20L%20T%20%5Ctheta%5C)%20com%20
paragraph%20u-text--
medium'%3E%20No%20BG%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24E_%7Bp%7D%3D%5Cfrac%7Bm%20g%20h%7D%7Bg_%7Bc%7D%7D%3D%5Cfrac%7B0%2C322%20%5Ctimes
Questão 4
O ângulo em radianos é quantificado pela razão entre comprimento
de um arco e seu raio. Qual é a dimensão da velocidade angular?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Comega%20%5Cequiv%20%5Ctext%20%7B%20Velocidade%20angular%20%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%
paragraph%20u-text--
medium'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5B%5Comega%5D%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5CDelta(%7B%20arco%20%7D%20%2F%20%7B%20raio%
Questão 5
Qual é a massa de um galão de gasolina que pesa ?
A 4079slug ⋅ ft2/s2
B 2049slug ⋅ ft2/s2
C 4079lbm ⋅ ft2/s2
D 2049lbf ⋅ ft
E 3333lbf ⋅ ft
A L/T
B 1/T
C L/T 2
D 1/T 2
E 1
5, 61lbf
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELibra-
for%C3%A7a%20%C3%A9%20a%20unidade%20de%20for%C3%A7a%20no%20Sistema%20Americano%20de%20Engenhar
paragraph%20u-text--
medium'%3EPara%20o%20sistema%20EA%2C%20o%20valor%20num%C3%A9rico%20do%20peso%20%C3%A9%20igual%
paragraph%20u-text--
medium'%3EPara%20o%20sistema%20BG%2C%20a%20massa%20%C3%A9%20medida%20em%20slug%20e%20%5C(g_%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24m%3D%5Cfrac%7BF%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B5%2C61%7D%7B32%2C174%7D%3D0%2C174%20%5Cte
Questão 6
Em um escoamento, a taxa representa a quantidade da grandeza
física transferida em um intervalo de tempo. Sabendo que o fluxo é
a taxa por unidade de área transversal ao escoamento, qual é a
dimensão do fluxo de massa em um sistema ?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cdot%7Bm%7D%7D%7B%7B%20%C3%81rea%20%7D%7D%5Cright%5D%3D%5C
paragraph%20u-text--
medium'%3ENo%20sistema%20%5C(F%20L%20T%20%5Ctheta%5C)%2C%20a%20massa%20%C3%A9%20uma%20dimens
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Bmassa%5D%3D%5Cfrac%7B%5B%20%7B%20For%C3%A7a%20%7D%5D%7D%7B%5B%20%7B%20aceler
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cdot%7Bm%7D%7D%7B%20%7B%20%C3%81rea%20%7D%7D%5Cright%5D%3D%
paragraph%20u-text--
A 0, 174lbm
B 1, 74lbm
C 3, 49slug
D 5, 61lbm
E 5, 61slug
FLTθ
A MT −1
B ML−2T −1
C FL−2T −1
D FTL−3
E FL−1T −1
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medium'%3ESendo%20assim%3A%20%5C(F%20T%20L%5E%7B-
3%7D%5C)%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
A viscosidade absoluta de um líquido pode ser determinada
considerando o escoamento laminar em um tubo capilar de diâmetro
interno e comprimento , por meio da equação:
Em que é a queda de pressão no escoamento para
uma vazão , conforme a representação a seguir.
Queda de pressão em escoamento laminar.
 
Para um escoamento laminar, em um tubo capilar de comprimento
0,082ft e diâmetro interno 0,158in, a queda de pressão em função da
vazão segue o gráfico a seguir.
Gráfico queda de pressão versus vazão volumétrica.
 
Nessas condições de escoamento, qual é a viscosidade do líquido?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
_black
μ
D L
μ =
πD4ΔP
128LQ
ΔP = P1 − P2
Q
Mostrar solução
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Questão 1
Qual é o valor da constante gravitacional no Sistema
Gravitacional Britânico de Unidades (BG)?
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20sistema%20BG%20%C3%A9%20um%20sistema%20%5C(F%20L%20T%20%5Ctheta%5C)%2C%20em%
Questão 2
Sabe-se que o fluxo de calor é a quantidade de energia na forma de
calor transferida por unidade de tempo e por unidade de área.
Qual é a unidade do fluxo de calor no Sistema Internacional de
Unidades (SI)?
gc
A 32, 174lbm ⋅ ft/s
2 ⋅ lbf
B 32, 174slug ⋅ ft/s2 ⋅ lbf
C 1lbmft/s
2lbf
D 1slug ⋅ ft/s2 ⋅ lbf
E 9, 81slug ⋅ ft/s2 ⋅ lbf
A kJ/ (h ⋅m2)
B W/m2
C N/m2
D N ⋅ s/m2
E J/s
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComent%C3%A1rio%3A%20%5C(O%5C)%20sistema%20SI%20%C3%A9%20um%20sistema%20%5C(M%20L
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cdot%7Bq%7D%7D%7B%5Ctext%20%7B%20%C3%81rea%20%7D%7D%5Cright%
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cfrac%7B%5Cdot%7Bq%7D%7D%7B%5Ctext%20%7B%20%C3%81rea%20%7D%7D%5B%3D%5D%20%5Cf
2 - Acurácia e algarismos signi�cativos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar a acurácia e os algarismos signi�cativos.
Vamos começar!
Os conceitos de acurácia, precisão e
as operações com algarismos
signi�cativos
Neste vídeo, o especialista apresentará os conceitos de acurácia,
precisão e algarismos significativos com suas respectivas as operações
algébricas.
Exatidão e precisão
Um engenheiro deve sempre se preocupar em apresentar respostas
acuradas, ou seja, exatas ou próximas o bastante do valor verdadeiro.
Existem inúmeras formas de introduzir erros nos cálculos. Assim, a
capacidade de eliminá-los ou reduzi-los é um atributo importante do
bom engenheiro.

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Ao executar os cálculos, independentemente do
sistema de unidades empregado, os engenheiros
devem trabalhar com os números, considerando os
conceitos da acurácia (ou exatidão), de precisão e dos
algarismos significativos.
Podemos, fazer a seguinte associação:
Exatidão
Veracidade das
medidas.
A exatidão de uma
medida define o quão
próximo o valor medido
está do valor verdadeiro
da grandeza.
Precisão
Reprodutibilidade dasmedidas.
Está relacionada com a
concordância das
medidas entre si, isto é,
quando maior a
dispersão dos valores
obtidos, menor é a
precisão.
A acurácia e a precisão podem ser diferenciadas considerando a
ilustração dos resultados de lançamentos dardos, conforme as imagens
a seguir:
Na imagem, podemos observar a dispersão dos dardos no alvo,
representando resultados não precisos.
Na imagem, podemos observar um resultado exato. O
resultado desejado, ou verdadeiro, é alcançado quando o dardo
atinge o centro do alvo. Portanto, os resultados apresentados
também são inexatos.
Devemos observar que a precisão não implica, obrigatoriamente, a
acurácia ou a exatidão, uma vez que um conjunto de medidas pode ser
preciso, mas inexato, indicando que os valores ou resultados obtidos
concordam entre si, mas discordam do valor verdadeiro. A imagem a
seguir ilustra possíveis combinações para a acurácia e a precisão.

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Os erros que acompanham uma medida podem ser dos seguintes tipos:
Erros determinados ou sistemáticos
São erros que possuem valores definidos e, de forma geral, podem ser
medidos e quantificados no resultado. Os erros sistemáticos mais
importantes são:
Erros indeterminados
São erros que não possuem valor definido, não são mensuráveis e
flutuam de modo aleatório. Portanto, não podem ser corrigidos e devem
ser tratados estatisticamente, de forma a determinar o valor mais
provável para esse erro e a precisão de uma série de medidas.
Notação cientí�ca e algarismos
signi�cativos
Todas as medidas físicas apresentam um certo grau de incerteza. A
importância dos algarismos significativos surge quando é necessário
expressar o valor de uma grandeza determinada experimentalmente,
através de medida direta ou indiretamente, por manipulação algébrica, a
partir dos valores de outras grandezas medidas.
Quando pensamos no número de algarismos significativos de uma
grandeza, raciocinamos com os dígitos que representam o resultado, de
modo que apenas o último algarismo seja o algarismo duvidoso. Assim:
O número de algarismos significativos expressa a
precisão de uma medida.
Uma forma conveniente de expressar números muito grandes ou
números muito pequenos, juntamente com seus algarismos
significativos, é por meio da notação científica, em que o valor numérico
é expresso como um produto de um número (comumente entre 0,1 e 10)
e uma potência de 10. Veja os exemplos:
Erros de método 
Erros operacionais 
Erros pessoais 
Erros devido a instrumentos e materiais 
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 Número: 6243
Notação cientí�ca: 6,243 × 103 (ou 0,6243 × 104)
Número de algarismos significativos: 4 algarismos.
 Número: 96500
Notação cientí�ca: 9,65 × 104 (ou 0,965 × 105)
Número de algarismos significativos: 3 algarismos.
 Número: 0,001285
Notação cientí�ca: 1,285 × 10-3 (ou 0,1285 × 10-2)
Número de algarismos significativos: 4 algarismos.
 Número: 602214000000000000000000
Notação cientí�ca: 6,02214 × 1023
Número de algarismos significativos: 6 algarismos.
 Número: 0,0000098600
Notação cientí�ca: 9,8600 × 10-6 (ou 0,98600 × 10-5)
Número de algarismos significativos: 5 algarismos.
 Número: 1013005000
Notação cientí�ca: 1,013005 × 109
Número de algarismos significativos: 7 algarismos.
 Número: 36000,0
Notação cientí�ca: 3,60000 × 104
Número de algarismos significativos: 6 algarismos.
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Observação: Os algarismos significativos de um número são os dígitos
a partir do:
primeiro dígito diferente de zero à esquerda; ou
último dígito diferente de zero à direita, se não existe vírgula
decimal; ou
último dígito, zero ou diferente de zero, à direita, se existe uma
vírgula decimal.
Veja agora as regras para o número de algarismos significativos de uma
propriedade determinada mediante a álgebra matemática:
Multiplicação ou divisão
Quando duas ou mais grandezas físicas são combinadas por
multiplicação ou divisão, o número de algarismos significativos do
resultado deve ficar restrito ao menor número de algarismos
significativos dentre os fatores ou divisores envolvidos na operação.
Por exemplo, o escoamento de gasolina em um duto de seção reta
circular nas seguintes condições:
massa específica (dois algarismos significativos)
viscosidade (três algarismos
significativos)
diâmetro (quatro algarismos
significativos)
velocidade (três algarismos significativos)
O número de Reynolds para esse escoamento será calculado por:
Com base nos algarismos significativos dos fatores e dos divisores, o
número de Reynolds deverá ser escrito com dois algarismos
significativos, ou seja, considerando o fator de menor precisão.
Portanto:
Soma ou subtração
Quando duas ou mais grandezas físicas são somadas ou subtraídas, a
posição dos algarismos significativos de cada grandeza deve ser
comparada. Dentre essas posições, aquela mais afastada à esquerda é
a posição do último algarismo significativo do resultado.
Por exemplo, vamos considerar a soma das pressões abaixo, em que as
setas indicam a posição do último algarismo significativo em cada uma
das parcelas e na soma:
ρ = 680kg/m3
μ = 2, 87 × 10−4Pa ⋅ S
D = 5, 574 × 10−4m2
v = 3, 65m/s
Re =
ρvD
μ
=
680 × 3, 65 × 5, 574 ⋅ 10−4
2, 87 ⋅ 10−4
= 4820, 441812
Re =
ρvD
μ
=
680 × 3, 60 × 5, 574 ⋅ 10−4
2, 87 ⋅ 10−4
= 4800
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Observação:
No arredondamento de resultados:
Se o dígito a ser rejeitado é maior que 5, devemos aumentar de 1 o
dígito do número arredondado; caso contrário, mantemos o dígito.
Por exemplo: , ou ainda, .
Se o dígito a ser rejeitado é igual a 5, o dígito do número
arredondado deve ser par. Por exemplo: , ou ainda,
.
Analisando uma demonstração
A válvula de uma panela de pressão sobe, liberando o vapor de água de
cocção, quando a pressão interna da panela for ligeiramente
superior à soma da pressão atmosférica local com a pressão
exercida pelo peso da válvula sobre a área do furo de abertura na tampa
da panela :
Para uma panela de pressão com massa da válvula de e área
transversal do furo de abertura de determine a pressão
interna mínima na panela necessária para a abertura da válvula.
Dados: e Patm 
Solução
Com base nas informações fornecidas e adotando o SI, temos:
Considerando o número de algarismos significativos:
Portanto:
Mão na massa
3, 64 ⇒ 3, 6 3, 66 ⇒ 3, 7
3, 65 ⇒ 3, 6
3, 75 ⇒ 3, 8
(Pinterna )
 (Patm) 
(Afuro )
Pinterna  ≥  Patm  +
mválvula  × g
Afuro 
42, 6g
4, 5mm2,
g = 9, 807m/s2 = 101325Pa.
Pinterna ≥  Patm  +
mválvula ×g
Afuro 
= 101325 +
0, 0426 × 9, 807
4, 5 × 10−6
Pinterna ≥ 194000Pa = 194kPa

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Questão 1
Esse conjunto de lançamento de flechas pode ser classificado
como:
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAcur%C3%A1cia%2C%20ou%20exatid%C3%A3o%2C%20traduz%20a%20proximidade%20do%20valor%20ob
Questão 2
Considere a operação:
Assinale a opção que apresenta o resultado com o correto número
de algarismos significativos.
A Exatos e imprecisos
B Exatos e dispersos
C Inexatos
D Dispersos
E Exatos e precisos
8, 351 × 103
55, 0
A 151,8363636
B 151,8
C 1,5184 × 103
D 1,52×102
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENas%20opera%C3%A7%C3%B5es%20de%20divis%C3%A3o%20e%20de%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%2paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%20%5Cfrac%7B8%2C351%20%5Ctimes%2010%5E%7B3%7D%7D%7B55%2C0%7D%3D152%20%5Ctext%20
paragraph%20u-text--
medium'%3EOu%20seja%3A%201%2C52%20%C3%97%2010%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
Questão 3
Considere a operação:
Assinale a opção que apresenta o resultado com o correto número
de algarismos significativos.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20posi%C3%A7%C3%A3o%20mais%20%C3%A0%20esquerda%20do%20algarismo%20
image%20src%3D%22img%2Fq03.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22F%C3%A1bio%20Bicalho%20Cano%22%20lo
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Um corpo pesa na Terra, onde . Qual é o
peso desse corpo em Marte, onde ?
E 150
6, 28 × 104 − 7, 44 × 103 + 8, 314 × 102
A 56191,4
B 56200
C 56191
D 56190
E 56000
572N g = 9, 807m/s2
g = 3, 72076m/s2
A 572N
B 216, 92N
C 217N
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3D98ff9222a22144bbbb4c6f3dd
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Considere os alvos dos atiradores esportivos A e B, conforme a
representação a seguir.
Podemos dizer que
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20precis%C3%A3o%20est%C3%A1%20relacionada%20%C3%A0%20concord%C3%A2ncia%20das%20me
Questão 6
Considere os cinco números reais:
D 58, 32N
E 58, 3N
A o atirador B é mais preciso que o atirador A.
B
o atirador B é menos exato e mais preciso que o
atirador A.
C o atirador A é mais exato que o atirador B.
D o atirador A é mais preciso que o atirador B.
E o atirador A tem a mesma precisão do atirador B.
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Esses números arredondados com três algarismos significativos
são escritos como:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EDe%20acordo%20com%20as%20regras%20de%20arredondamento%20com%20d%C3%ADgito%20a%20ser
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%202280%20%3B%2088%2C4%20%3B%203%2C66%20%5Ctimes%2010%5E%7B-
2%7D%20%3B%207480%20%5Ctext%20%7B%20e%20%7D%200%2C00230%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20
Teoria na prática
Nos escoamentos impulsionados por bombas centrífugas, o NPSH
disponível é um parâmetro empregado na análise da adequação da
bomba para o sistema de escoamento.
2285; 88, 35; 3, 665 × 10−2; 7475, 0 e 0, 002295
A 228; 88, 4; 3, 66 × 10−2; 748 e 0, 00230
B 228; 88, 4; 3, 67 × 10−2; 7480 e 0, 002
C 2280; 88, 4; 3, 66 × 10−2; 7480 e 0, 00230
D 2280; 884; 3, 66 × 10−2; 748 e 0, 002
E 228; 88, 4; 3, 67 × 10−2; 7480 e 0, 00230
_black
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Bombas centrífugas no escoamento.
 
Para o sistema de escoamento acima, o NPSH disponível será
determinado por:
Onde:
: pressão atmosférica local
: pressão de vapor do líquido transportado
: peso específico do líquido
: perda de carga na sucção quantificada em
comprimento de coluna de fluido
: diferença de cota entre o nível do reservatório de
bombeamento e a entrada bomba.
Para um sistema de escoamento de água em que:
,
Determine, considerando o número adequado de algarismos
significativos, o NPSH disponível.
NPSH
NPSH (Net Positive Suction Head) é um parâmetro fornecido
pelos fabricantes de bombas, definindo a carga exigida pela
bomba para aspirar o fluido.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Os resultados de lançamentos de flechas no alvo A apresenta
NPSH =
Patm− Pvapor
γ
− hL,sucção − h
Patm
Pvapor
γ
hL,sucção
h
γágua = 9770N/m
3
Pvapor,água = 4, 246kPa
hL,succção = 1, 745m
h = 3, 58m
Patm = 101kPa
Mostrar solução
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENa%20imagem%20A%2C%20observamos%20baixa%20acur%C3%A1cia%20(exatid%C3%A3o)%20e%20baix
Questão 2
A solução de um problema se reduz ao seguinte cálculo:
Sabe-se que 1 / 2 é um número puro. O valor de com o número
correto de algarismos significativos é igual a:
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ERealizando%20o%20c%C3%A1lculo%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20u-text--
medium'%3E%5C(Z%3D%5C)%207%2C619323163%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20u-text--
medium'%3E%20O%20fator%200%2C0820%20apresenta%20tr%C3%AAs%20algarismos%20significativos%2C%20o%20me
A baixa acurácia e baixa precisão.
B alta acurácia e baixa precisão.
C alta acurácia e alta precisão.
D baixa acurácia e alta precisão.
E inexatos e precisos.
Z =
1
2
×
0, 0820 ⋅ 724, 990 ⋅ 4, 648 × 104
3, 141516 ⋅ 0, 5772 × 105
Z
A 7,619323163
B 7,61932
C 7,6193
D 7,619
E 7,62
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3 - Análise dimensional
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a homogeneidade dimensional.
Vamos começar!
A homogeneidade dimensional
Neste vídeo, o especialista apresentará o conceito de homogeneidade
dimensional, a aplicação do teorema Π de Buckingham e a identificação
dos parâmetros adimensionais usualmente empregados na mecânica
dos fluidos.
Compreendendo a homogeneidade
dimensional
As equações que regem os fenômenos físicos têm como premissa
básica a lei matemática global e fundamental conhecida como lei da
homogeneidade dimensional, que estabelece:
Todos os termos de uma equação têm as mesmas
dimensões.
Isso significa, fisicamente, estabelecer que não é possível somar uma
pressão com uma viscosidade ou mesmo reduzir de uma força uma
velocidade, pois estas são dimensões diferentes. Entenda a seguir:

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Só é possível somar
pressão com pressão,
viscosidade com
viscosidade, força com
força, velocidade com
velocidade, e assim,
sucessivamente.
Da mesma forma, só
podemos igualar
termos que fisicamente
são equivalentes, ou
seja, apresentam as
mesmas dimensões.
Para ilustrar, vamos considerar uma equação dimensionalmente
homogênea, a equação de Bernoulli:
Nessa formulação da equação de Bernoulli, cada termo da equação tem
dimensão de comprimento, daí as denominações: carga de pressão
 carga cinética e carga de elevação Veja a
igualdade dimensional de cada uma dessas cargas:
Comentário
Se a dimensão derivada apresenta em sua composição a dimensão
força, mantenha essa dimensão e simplifique-a, caso possível, nas
operações algébricas. Após as devidas simplificações, se houver
interesse, e a dimensão força ainda estiver presente, substitua-a com
base na segunda lei de Newton.
A equação de Bernoulli também pode apresentar a seguinte formulação:
Em que cada termo dessa equação tem dimensão de pressão:
pressão estática 
pressão dinâmica 
pressão de coluna 
Podemos verificar a homogeneidade dimensional da equação acima por
meio da igualdade dimensional dos termos somados e igualados:

P1
γ
+
v212g
+ z1 =
P2
γ
+
v22
2g
+ z2
(P/γ), (v2/2g) (z).
[z] = [z1] = [z2] = L
[ v
2
2g
] = [
v21
2g
] = [
v22
2g
] =
( LT )
2
1 × L
T 2
=
L2
T 2
×
T 2
L
= L
[ P
γ
] = [ P1
γ
] = [ P2
γ
] =
F
L2
F
L3
=
F
L2
×
L3
F
= L
P1 +
ρv21
2
+ γZ1 = P2 +
ρv22
2
+ γZ2
(P)
(ρv2/2)
(γz)
[P ] = [P1] = [P2] =
F
L2
SI
=
M ⋅ L
T 2
×
1
L2
=
M
L ⋅ T 2
[ ρv
2
2
] = [
ρv21
2
] = [
ρv22
2
] =
M
L3
× ( L
T
)2
1
=
M
L ⋅ T 2
[γz] = [γz1] = [γz2] =
F
L3
× L =
F
L2
SI
=
M ⋅ L
T 2
×
1
L2
=
M
L ⋅ T 2
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Equações inconsistentes
Muitas equações empíricas, cujas expressões são determinadas por
ajustes dos dados experimentais, podem apresentar parâmetros
(números) adimensionais ou dimensionais. Nos casos dos parâmetros
de ajuste dimensionais, geralmente, seus valores numéricos são
apresentados sem unidades, acarretando, em uma análise inicial, a não
observância da homogeneidade dimensional. Essas equações de cunho
prático são denominadas de equações dimensionalmente
inconsistentes.
As equações inconsistentes podem ser utilizadas, respeitando o
sistema de unidades em que foram geradas. No caso do ajuste da
equação para um outro sistema de unidades, devemos atribuir à
constante uma dimensão e, consequentemente, uma unidade, que pode
ser convertida conforme o interesse.
Para exemplificar o caso de uma equação inconsistente, vamos
considerar o escoamento em canal aberto, conforme as ilustrações a
seguir:
Canal aberto sem escoamento, fora de
operação
Canal aberto com escoamento, em
operação
Para canais abertos com escoamentos sujeitos ao efeito do campo
gravitacional, foi proposta a seguinte equação para a determinação da
velocidade de escoamento, , com unidades conforme o sistema
Gravitacional Britânico (BG):
Onde:
V
V = 1, 49
R
2/3
H S
1/2
n
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: a inclinação do canal
: a rugosidade relativa do material de construção do canal (razão
entre a profundidade média das imperfeições superficiais e um
comprimento de referência)
: o raio hidráulico definido pela razão entre a área da seção reta
de escoamento e o dobro do perímetro molhado pela água.
Devemos observar para a equação:
Em que:
, uma vez que a inclinação é um parâmetro adimensional,
pois se o ângulo for medido em graus, cateto oposto/cateto
adjacente, ou se o ângulo for medido em radianos, arco / raio.
, pois é uma razão entre comprimentos.
Supondo, inicialmente, a constante com dimensão 1, temos:
Portanto, a equação não é dimensionalmente homogênea, pois os
termos igualados não apresentam a mesma dimensão.
Como determinar a dimensão da constante?
Refazendo a análise dimensional.
Assim, temos:
Essa equação pode ser empregada, sem preocupação, se as unidades
dos parâmetros estiverem no sistema BG.
Mas podemos trabalhar com essa equação do SI?
Sim, realizando a conversão da unidade para o SI. Veja:
Agora, a equação empírica no sistema internacional de unidades (SI)
passa a ser escrita como:
S
n
RH
[V ] = [1, 49
R
2/3
H S
1/2
n
]
[RH ] = L.
[S] = 1
tg S =
S =
[n] = 1
[V ] = L
T
.
[1, 49
R
2/3
H S
1/2
n
] = 1 × L
2/3 ⋅ 11/2
1
= L2/3
L
T
= [1, 49] × L2/3
⇒ [1, 49] =
L1/3
T
1, 49
ft1/3
s
(0, 3048m)1/3
s
= 1, 00
m1/3
s
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Em que a todos os parâmetros são expressos no SI.
Teorema Π de Buckingham
A análise dimensional é uma metodologia de redução de complexidade
e de redução do número de variáveis experimentais empregadas no
estudo do fenômeno físico de interesse.
As variáveis e constantes que interferem em um experimento, ou no
fenômeno sob investigação, podem ser divididas nas seguintes
categorias:
Os trabalhos experimentais demandam muito tempo e dinheiro. Com o
objetivo de se obter o máximo de informações com o mínimo de
experimentos, a análise dimensional apresenta-se como uma
ferramenta poderosa, capaz de agrupar as variáveis que interferem no
fenômeno em grupos adimensionais.
A principal abordagem empregada na análise
dimensional é o teorema Π de Buckingham, ou de
Vaschy-Buckingham, fundamentado no método das
variáveis repetidas que organiza os passos
V = 1, 00
R
2/3
H S
1/2
n
 Variáveis dimensionais
São grandezas dimensionais que variam ou podem
ser alteradas no experimento ou fenômeno.
 Variáveis adimensionais
São grandezas adimensionais que variam ou
podem ser alteradas no experimento ou fenômeno.
 Constantes dimensionais
São parâmetros que apresentam dimensão, mas
são mantidos constantes durante o experimento.
 Constantes puras
São parâmetros decorrentes da manipulação
matemática e que não têm dimensão.
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metodológicos para assegurar a homogeneidade
dimensional.
Assim, com algum conhecimento do fenômeno investigado, podemos
supor a existência de uma função que relaciona a dependência de uma
variável das demais variáveis independentes relacionadas ao
fenômeno, ou seja:
Em que representa o número total de variáveis intrínsecas do
fenômeno sob investigação.
Demonstra-se que existe uma outra função do tipo:
Rigorosamente equivalente à anterior, onde são observados 
grupos adimensionais independentes, formados, respectivamente,
pelas variáveis em que, é o número dimensões
fundamentais presentes nos agrupamentos independentes gerados pela
dimensionalização das variáveis que afetam o fenômeno sob
investigação.
Para ilustrar a aplicação do teorema Π de Buckingham, vamos
considerar a queda de pressão em uma válvula gaveta quando
submetida a um escoamento de fluido, conforme a representação a
seguir.
Válvula gaveta em corte
Válvula gaveta instalada na tubulação
x1
x1 = f (x2,x3,⋯ ,xn)
n
Π1 = ϕ (Π2, Π3,⋯ ,Πn−m)
(n−m)
Π
x1,x2,x3,… ,xn, m
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Condição de escoamento através da
válvula gaveta
Para esse problema, podemos supor que a queda de pressão na válvula
é uma função da velocidade média na tubulação, da massa
específica do fluido, da viscosidade do fluido, , do diâmetro interno
da tubulação, e da altura da abertura, 
Nessa metodologia, adotamos o sistema MLTθ (SI) ou o sistema FLTθ
(BG). Considerando o SI, temos:
Número total de variáveis: 
Variáveis/Dimensões
Variáveis
Dimensões
Fábio Bicalho Cano
Dessa forma, o número de grupos adimensionais independentes, , para
esse problema será dado por:
Para que o sistema seja possível e determinado, o número de equações
(traduzidas pelas equações de homogeneidade dimensional associada
a cada dimensão fundamental no número adimensional independente)
deve ser igual ao número total de incógnitas do problema. Assim, para
esse problema, devemos fixar 3 (três) variáveis, ou seja, devemos
considerar a repetição de três variáveis.
Quais variáveis, dentre as que interferem no fenômeno,
devemos fixar?
A princípio, com exceção da variável dependente, a escolha sensata dos
parâmetros repetidos, para a maioria dos problemas de escoamento em
mecânica dos fluidos, recai sobre um comprimento, uma velocidade e
uma massa (ou massa específica).
Assim, vamos fixar para esse problema: e 
Logo, podemos escrever os seguintes números adimensionais
independentes, 
V ,
ρ, μ
D, h.
ΔP = f(V , ρ,μ,D,h)
n = 6
m = 3(M,L,T )
ΔP V ρ μ D
M
L⋅T 2
L
T
M
L3
M
L⋅T
L
k
k = n−m = 6 − 3 = 3
D, V ρ.
Π :
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Considerando a homogeneidade dimensional, temos:
Considerando os expoentes das dimensões fundamentais
determinamos para cada número adimensionalindependente, são
gerados os seguintes sistemas de equações:
Logo, podemos escrever a seguinte relação de dependência:
Parâmetros adimensionais usuais no
escoamento de �uidos
Alguns números adimensionais independentes aparecem
frequentemente na análise do escoamento de fluidos. Esses grupos
adimensionais têm significado físico relacionado diretamente com a
razão entre as seguintes forças:
Π1 = D
aV bρc ×ΔP
Π2 = D
dV eρf × μ
Π3 = D
gV iρj × h
M 0L0T 0 = La( L
T
)
b
(M
L3
)
c
M
L ⋅ T 2
M 0L0T 0 = Ld( L
T
)
e
(M
L3
)
f
M
L ⋅ T
M 0L0T 0 = Lg( L
T
)
i
(M
L3
)
j
L
Para Π1 : Π1 =
ΔP
ρV 2
⎧⎪⎨⎪⎩M : 0 = c+ 1 ⇒ c = −1L : 0 = a+ b− 3c− 1 ⇒ a = 0T : 0 = −b− 2 ⇒ b = −2Para Π2 : Π2 = μρVD = 1Re⎧⎪⎨⎪⎩M : 0 = f + 1 ⇒ f = −1L : 0 = d+ e− 3f − 1 ⇒ d = −1T : 0 = −e− 1 ⇒ e = −1 Para Π3 : Π3 = hD⎧⎪⎨⎪⎩M : 0 = j ⇒ j = 0L : 0 = g+ i− 3j+ 1 ⇒ g = −1T : 0 = −i ⇒ i = 0ΔPρV 2 = ψ(Re, hD)
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Dessa forma, podemos identificar os seguintes grupos adimensionais
de grande importância para a mecânica dos fluidos:
Força de pressão 
Força viscosa 
Força gravitacional 
Força inercial 
Força centrífuga 
Força de tensão superficial 
 Número de Reynolds 
Grupo adimensional relevante nos escoamentos
in�uenciados por efeitos viscosos:
(Re)
Re =
 Força inercial 
 Força viscosa 
≡
ρℓ2V 2
μV ℓ
=
ρV ℓ
μ
 Número de Euler 
Grupo adimensional relevante nos escoamentos em
que a queda de pressão é signi�cativa:
(Eu)
Eu =
 Forçade pressão 
 Força inercial 
≡
Δpℓ2
ρℓ2V 2
=
Δp
ρV 2
 Número de Froude 
Grupo adimensional relevante nos escoamentos
in�uenciados pela ação da gravidade:
(Fr)
Fr =
 Força inercial 
 Força gravitacional 
≡
ρℓ2V 2
ρℓ3g
=
V 2
ℓg
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Demonstração
A massa específica de um fluido pode ser quantificada pela seguinte
equação empírica:
Em que é a massa específica em e é a pressão em 
Determine:
As unidades de 1130 e 
A equação para a massa específica em em função da
pressão em 
Solução
O cálculo de exponenciais e logaritmos é realizado com números puros,
ou seja, sem dimensões e, consequentemente, sem unidades. Dessa
forma, temos para a exponencial da equação:
Considerando a homogeneidade dimensional:
Assim, temos para as constantes:
 Número de Strouhal 
Grupo adimensional relevante nos escoamentos com
uma componente não permanente, mas que se
repete periodicamente:
(St)
St =
 Força centrífuga 
 Força inercial 
≡
ρℓ4ω2
ρℓ2V 2
≡
ρℓ4ω
ρℓ2(ωℓ
 Número de Weber 
Grupo adimensional relevante nos escoamentos em
que a tensão super�cial do �uido tem efeito
signi�cativo no escoamento:
(We)
We =
 Força inercial 
 Força de tensão superficial 
≡
ρℓ2V
σℓ
ρ = 1130 exp (1, 20 × 10−7P)
ρ kg/m3 P kPa.
1, 20 × 10−7.
lbm/ft
3
lbf/in
2.
[1, 20 × 10−7] =
L2
F
SI
=
LT 2
M
[ρ] = [1130]
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a) e 
Convertendo as unidades das constantes, temos:
b) 
Em que:
Mão na massa
Questão 1
A permeabilidade de um escoamento laminar em meio poroso
pode ser determinada pela expressão:
Em que é a vazão volumétrica do fluido, é a viscosidade do
fluido, é o comprimento do meio poroso, é a área de
escoamento e é a queda de pressão no escoamento. Qual é a
dimensão da permeabilidade ?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20homogeneidade%20dimensional%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5B%5Cphi%5D%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7BQ%20%5Cmu%20L%7D%7BA%20%5CDelta%20P%7D%5Cright%
1330kg/m3 1, 20 × 10−7kPa−1
1330kg/m3 ×
1lbm/ft3
16, 0185kg/m3
= 83, 0lbm/ft
3
1, 20 × 10−10
1
kPa
×
6, 895kPa
1lbf/in2
= 8, 27 × 10−7lbf/in
2
ρ = 83, 0 exp (8, 27 × 10−7P)
P [=]lbf/ in 
2 e ρ[=]lbm/ft
3

ϕ
ϕ =
QμL
AΔP
Q μ
L A
ΔP
ϕ
A L4
B L2
C ML−3
D ML2
E MLT −1
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Questão 2
Considere a equação empírica de medida de vazão volumétrica 
Em que área, raio e inclinação.
A dimensão da constante 75 é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20homogeneidade%20dimensional%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5BQ%5D%3D%5Cleft%
paragraph%20u-text--
medium'%3EAssim%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%2
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7BL%5E%7B3
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B75%5D%3D%5Cfrac
1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%
Questão 3
Seja a expressão matemática que apresenta consistência física:
Em que é dado em quilogramas, em metros e em segundos.
As unidades de e , são iguais, respectivamente, a:
Q :
Q = 75AR1/3S 1/2
A ≡ R ≡ S ≡
A L2/3T −1
B ML2/3T
C ML1/3T −1
D ML−2/3T
E 1
m
d2y
dt2
+ κ
dy
dt
+ εy = ϕ(t)
m y t
κ, ε ϕ(t)
A e kg,m/s s
B e kg ⋅ s,m/s s
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%20quest%C
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Findex.html%3Ftoken%3Db24aa299b8304178ba71255b
VID2%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fyduqs-
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 4
Considere a propriedade determinada pela expressão
dimensionalmente homogênea:
Em que representa um número puro, uma variação de
pressão e a massa específica. Fisicamente, representa uma:
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20equa%C3%A7%C3%A3o%20dimensionalmente%20homog%C3%AAnea%20%C3%A9%3A%3C%2Fp%3E
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5BX%5D%3D%5Bc%5D%2
Questão 5
Seja a expressão para o cálculo da taxa de transferência de calor 
C e m/s, kg ⋅ s kg
D e kg/s, kg/s2 kg ⋅m/s2
E e kg/s2, kg/s kg ⋅m/s2
X
X = c√ΔP
ρ
c ΔP
ρ X
A Força
B Aceleração
C Vazão
D Tensão
E Velocidade
q̇ :
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Em que fluxo de massa e diâmetro.
A unidade da constante 0,026 no SI, é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20homogeneidade%20dimensional%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5B%5Cdot%7Bq%7D%5D%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B0%2C026%20G%5E%7B0%2C6%7D%7D%7BD%5E%7
paragraph%20u-text--
medium'%3EAinda%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5B%5Cdot%7Bq%7D%5D%3D%5Cfrac%7BF%20L%7D%7BT%7D%24%24%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20
paragraph%20u-text--
medium'%3EPortanto%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5B0%2C026%5D%3D%5Cfrac%7BF%20L%7D%7BT%7D%20%5Ctimes%5Cleft(%5Cfrac%7BL%5E%7B1%2C2
paragraph%20u-text--
medium'%3EAssim%2C%20a%20constante%20deve%20ser%20escrita%20no%20SI%20como%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%240%2C026%20kg%20%5E%7B0%2C4%7D%20m%20%5E%7B3%2C6%7D%20%2F%20s%20%5E%7B2%2C4%7D
Questão 6
O número de Reynolds é um grupo adimensional definido pela
razão:
O número de Weber definido por Força inercial/Força de tensão
superficial, o número de Euler definido por Força de pressão/Força
inercial, e o número de Froude definido por Força inercial/Força
gravitacional, podem ser expressos, respectivamente, por:
q̇ =
0, 026G0,6
D0,4
G ≡ D ≡
A kg0,4m3,6/s2,4
B kg0,4m2,6/s1,4
C kg3,6m0,4/s2,4
D kg2,4m3,6/s0,4
E kg1,4m2,6/s0,4
(Re)
Re =
 Força inercial 
 Força viscosa 
≡
ρL2V 2
μVL
=
ρVD
μ
A Lω/V ,ΔP/ρV 2, ρLV 2/σ
B ΔP/ρV 2, ρLV 2/σ,Lω/V
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20os%20termos%20da%20defini%C3%A7%C3%A3o%20do%20n%C3%BAmero%20de%20Re
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
Teoria na prática
A força de arrasto , que atua em uma partícula esférica de
diâmetro , e que se desloca lentamente com velocidade constante
 em um líquido com viscosidade , é determinada pela equação:
a. Essa equação é dimensionalmente homogênea?
b. Qual é a dimensão de 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o parâmetro , determinado por:
Em que é a pressão atmosférica local, é a pressão de
vapor do fluido, é a velocidade de escoamento do fluido e é a
massa específica do fluido.
A dimensão de , com base no , é igual a:
C ρLV 2/σ,ΔP/ρV 2,V 2/Lg
D V 2/Lg,ΔP/ρV 2, ρLV 2/σ
E ΔP/ρV 2,V 2/Lg, ρLV 2/σ
_black
FD
D
V μ
FD = 3πμDV
3π?
Mostrar solução
σc
σc =
Patm − Pvap
1/2ρV 2
Patm Pvap
V ρ
σc SI
A 1
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EConsiderando%20a%20homogeneidade%20dimensional%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%
P_%7Bv%20a%20p%7D%7D%7B1%20%2F%202%20%5Crho%20V%5E%7B2%7D%7D%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7BF%20%2
Questão 2
O número adimensional é definido pela razão:
Se é a tensão superficial, pode ser escrito como:
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComent%C3%A1rio%3A%20Temos%2C%20que%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cpsi%3D%5Cfrac%7B%5
B L2
C ML−1T −1
D ML−2T
E ML−2T −2
ψ
ψ =
 Força de pressão 
 Força de tensão superficial 
σ ψ
A ψ = ΔP/σ
B ψ = ΔPℓ2/σ
C ψ = ΔPℓ/σ
D ψ = ΔPℓ3/σ
E ψ = ΔPℓ4/σ
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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4 - Propriedades termodinâmicas dos �uidos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as propriedades termodinâmicas dos
�uidos.
Vamos começar!
As principais propriedades
termodinâmicas dos �uidos
Neste vídeo, o especialista conceituará as propriedades termodinâmicas
dos fluidos: massa específica, densidade, peso específico, gravidade
específica, viscosidade, tensão superficial e ascensão capilar,
coeficientes de compressibilidade e de expansão térmica.
O �uido como meio contínuo
Na maioria das aplicações de engenharia, estamos interessados nos
efeitos médios ou macroscópicos de muitas moléculas, e não no
comportamento microscópico caracterizado pelo movimento molecular
individualizado. São justamente os efeitos macroscópicos que
geralmente percebemos e medimos. Assim, na quantificação das
propriedades dos fluidos, vamos considerar o fluido como uma
substância infinitamente divisível e contínua, pois a quantidade de
moléculas é grande o suficiente para manter a média estatística das
propriedades reprodutíveis. Nesse contexto, vamos considerar a
medição da pressão.
O que gera a grandeza física pressão?
O bombardeamento molecular da parede do recipiente, conforme pode
ser observado na imagem a seguir.

11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Bombardeamento molecular da parede do recipiente por um gás.
Na imagem acima, quando a molécula choca perpendicularmente com a
parede do recipiente, ela sofre uma variação de quantidade de
movimento e, pela segunda lei de Newton, temos:
Existe uma forma quando existe uma variação na quantidade de
movimento. Considerando a terceira lei de Newton, no choque, a
molécula empurra a parede, comprimindo-a, e a parede reage
empurrando a molécula de volta. Para um intervalo de tempo em uma
determinada área de parede, considerando o número total de choques,
podemos quantificar a pressão:
Vamos considerar, agora, um ponto de tomada de pressão no
reservatório de um gás, conforme a imagem a seguir, que apresenta um
manômetro acoplado.
Ponto de tomada de pressão de um manômetro instado em um recipiente contendo gás.
Considerando a imagem acima, a pressão medida pelo manômetro
(acoplado em uma pequena área da parede do recipiente) é igual à
pressão total sentida por toda a área do reservatório de confinamento?
Resposta
⇀
F =
d(m
⇀
V )
dt
P =
 Força total normal compressiva 
 Área de bombardeamento 
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Sim. Quando diminuímos a área, diminuímos a quantidade de choques,
mantendo constante a razão Força/Área. Como a quantidade de
espécies químicas que chocam com a parede é muito grande, a média
estatística da razão Força/Área se mantém, definindo um valor
constante para a pressão, independentemente da área considerada.
Quando a área em questão, atinge medidas microscópicas, os
movimentos individualizados das espécies químicas devem ser
considerados, fazendo com que a média estatística da razão Força/Área
não seja mais mantida. O limite onde a média estatística da propriedade
é reprodutível é denominado limite do contínuo 
O limite onde a média estatística da propriedade é reprodutível é
denominado limite do contínuo conforme a representação da
imagem a seguir.
Representação do limite do contínuo para a pressão.
Assim, podemos definir a pressão, considerando o limite do contínuo:
Como o limite do contínuo tende a zero, podemos escrever ainda:
As demais grandezas físicas apresentam comportamento semelhante
ao observado para a pressão, apresentando média estatística do valor
da propriedade reprodutível, no domínio do contínuo.
Massa especí�ca, densidade e
gravidade especí�ca
A massa específica é definida como a massa da substância que
preenche um volume unitário. Essa propriedade permite associar uma
massa conhecida a um volume, ou ainda, a um volume conhecido com
uma massa.
Considerando os efeitos médios macroscópicos das muitas moléculas
que compõem a matéria, em que o comportamento microscópico
caracterizado pelo movimento molecular individualizado da matéria não
é considerado, podemos definir a massa específica com base na
representação a seguir:
(δA).
(δA),
δA
P = lim
ΔA→δA
ΔFNormal 
ΔA
P = lim
ΔA→0
ΔFNormal 
ΔA
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Limite do contínuo para a massa específica.
A densidade é uma propriedade adimensional definida pela razão de
massas específicas, ou seja:
Usualmente, a massa específica de referência é a massa específica da
água a 4oC, que equivale a:
A densidade é uma função da temperatura. Assim, geralmente, os dados
tabelados são reportados com indicação da temperatura da substância,
conforme o exemplo do mercúrio :
Na indústria do petróleo, a densidade relativa do óleo cru (e seus
derivados) é normalmente determinada em termos de uma escala
chamada (graus API), definida pela relação:
No caso especial da densidade °API, devemos observar que a
temperatura de referência da água é de 60°F (15,56°C) e não 4°C, como
usualmente considerado.
O peso específico é definido como o peso do fluido por unidade de
volume. Assim, temos:
No SI, Portanto:
ρ = lim
ΔV→δV
Δm
ΔV
δV
(d)
d =
ρ
ρreferência 
=
ρ
ρH2o (4
∘C)
1000kg/m3 = 62, 43lbm/ft
3 = 1g/cm3 = 1, 940slug/ft3
(Hg)
dHg =
ρHg(T )
ρH2O (4
∘C)
= 13, 546
20∘C
4∘C
∘API
∘API =
141, 5
d 60
∘F
60∘F
− 131, 5
γ
γ =
m
g
gc
V
= ρ
g
gc
gc = 1.
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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A gravidade específica tradução do termo em inglês specific
gravity (sg), é a razão entre o peso específico da substância e o peso
específico de referência:
Viscosidade
Os estados de agregação líquido e gasoso são enquadrados na
mecânica dos fluidos como fluido, com base na definição:
Fluido é a matéria que se deforma continuamente
quando submetido a uma tensão de cisalhamento.
Conforme a representação da imagem a seguir, quando uma força 
aplicada a uma placa que se desloca suavemente com um velocidade
constante sobre a superfície de um fluido inicialmente em repouso,
gera, na superfície desse fluido, uma tensão de cisalhamento 
Área da placa), que promove uma deformação angular no fluido que
progride no tempo, tempo inicial, etc. Em termos práticos, a
taxa de deformação angular é proporcional à tensão de cisalhamento
aplicada, o que nos permite escrever:
A imagem a seguir apresenta a deformação angular de um elemento
de fluido como resposta à ação de uma tensão de cisalhamento 
gerada pela aplicação de uma força tangente à superfície do elemento
de fluido.
Deformação angular de um elemento de fluido.
Vamos considerar, agora, a notação vetorial em coordenadas
cartesianas. Um plano ou é denominado como tal, quando todos
os pontos desse plano apresentam o mesmo valor da coordenada 
para o plano da coordenada para o plano e da coordenada 
para o plano Dessa forma, produz:
Tensão normal 
γ = ρg
(GE),
GE =
γ
γreferência 
=
ρ
g
gc
ρreferência 
g
gc
=
ρ
ρH2o (4
∘C)
= d
→F
→V
τ = →F/(
t0, t1, t2,
τ ∝
dθ
dt
θ
τ,
θ
x, y, z
x,
x, y, y z,
z.
σ
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04386/index.html# 51/67
Gerada por uma força normal ou perpendicular à superfície dividido pela
área de atuação, representada por 
Em que:
o primeiro subscrito indica o plano de atuação da força normal.
o segundo subscrito indica a direção da força.
Tensão de cisalhamento 
Gerada pela divisão entre força tangente e a área de atuação,
representada por 
Em que:
o primeiro subscrito indica o plano de atuação da força tangente.
o segundo subscrito indica a direção da força.
A imagem a seguir apresenta as notações das tensões normais e de
cisalhamento em seus respectivos planos de atuação.
Notações vetoriais para as tensões normais σ_ii e para as tensões de cisalhamento τ_ij em
coordenadas cartesianas.
Pelo princípio da aderência ou do não-escorregamento, temos:
O fluido em contato íntimo com a superfície apresenta
a mesma velocidade da superfície.
Dessa forma, vamos considerar um fluido, confinado entre placas,
conforme a imagem a seguir. Nesta imagem, temos a orientação
cartesiana indicada, um perfil de velocidades estacionário no fluido, que
apresenta velocidade máxima , igual à velocidade da placa superior e
que se apresenta de forma linear, perfil observado quanto menor for o
espaçamento entre as placas.
σii.
i
i
τ
τij.
i
j
U
b
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Cisalhamento de um fluido com geração de um perfil de velocidades.
Com base na imagem acima, considerando variações infinitesimais,
após um intervalo de tempo a placa superior irá deslocar em
relação a placa inferior, o que nos permite estabelecer:
Para variações infinitesimais, temos pequenos ângulos, em que:
Como:
Temos:
Sabendo que:
Podemos eliminar a proporcionalidade associando uma constante de
proporcionalidade que é denominada de viscosidade absoluta, ou
viscosidade dinâmica ou, somente, viscosidade. Assim, com base nas
coordenadas cartesianas:
A viscosidade representa, fisicamente, uma resistência ao
escoamento, em que quanto maior a viscosidade maior é a resistência
ao escoamento.
Os fluidos podem ser classificados, de um modo geral, de acordo com a
relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação
observada. Para vários fluidos, a tensão de cisalhamento é diretamente
proporcional à taxa de deformação, independentemente do nível de
tensão aplicada, conferindo-lhes a denominação de fluidos
newtonianos. Já os não-newtonianos, em menor quantidade, não
apresentam esse comportamento.
δt, δs,
tg δθ =
δs
b
tg δθ ≅δθ
U =
δs
δt
δθ =
Uδt
b
⇒
δθ
δt
=
U
b
=
U − 0
b
=
du
dy
=
dVx
dy
τ ∝
dθ
dt
μ,
τyx = μ
dVx
dy
μ
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Fluidos newtonianos
Fluidos não-newtonianos
A imagem a seguir apresenta os comportamentos dos diferentes tipos
de fluidos.
Comportamento para os diferentes tipos de fluidos: (a) tensão de cisalhamento versus taxa de
deformação; (b) efeito transiente sobre a tensão de cisalhamento aplicada para uma taxa de
deformação constante.
Quando cisalhados, os fluidos:
Plásticos e pseudoplásticos
Apresentam redução de viscosidade.
Dilatantes
Apresentam aumento de viscosidade.
As denominações reopético e tixotrópico referem-se a efeitos
observados com o tempo de cisalhamento. Sendo assim, os fluidos:
Ropéticos
Apresentam aumento de viscosidade ao longo do tempo de
cisalhamento
Tixotrópicos
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Apresentam redução de viscosidade ao longo do tempo de
cisalhamento.
Um fato importante que devemos observar é que o efeito da
temperatura na viscosidade de líquidos não é igual ao observado em
gases, sendo estes efeitos antagônicos.
Resumindo
Nos líquidos, o aumento da temperatura diminui a viscosidade,
enquanto nos gases, o aumento da temperatura aumenta a viscosidade.
O gráfico a seguir ilustra o efeito da temperatura em óleos, líquidos
viscosos, em solventes, líquidos menos viscosos e, em gases,
substâncias menos viscosas ainda.
Gráfico: Efeito da temperatura na viscosidade em vários tipos de fluidos.
Devemos observar na imagem a tendência dos perfis de viscosidade
versus temperatura, em que para os líquidos as funções são
decrescentes, indicando uma redução na viscosidade com o aumento
da temperatura, e para os gases, as funções são crescentes, indicando
para o aumento da temperatura um aumento na viscosidade.
Coe�cientes de compressibilidade e
de expansão térmica
Todos os fluidos, quando submetidos a um aumento de pressão, são
comprimidos, promovendo um aumento em sua massa específica.
Assim, esse efeito de compressibilidade pode ser quantificado pelo
coeficiente de compressibilidade isotérmico que é um parâmetro
sempre positivo, definido com base na variação do volume ou do
volume específico com a pressão pela expressão:
β,
V
v P ,
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidoshttps://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04386/index.html# 55/67
Como pela regra de diferenciação temos, ainda, para
o coeficiente de compressibilidade isotérmico:
Os fluidos também têm seu volume afetado pela temperatura em um
processo a pressão constante. Assim, o efeito da temperatura no
volume ou no volume específico pode ser determinado pelo
coeficiente de expansão térmica definido por:
Como considerando as regras de diferenciação, temos para o
coeficiente de expansão térmica:
Tensão super�cial e efeito de
capilaridade
A tensão superficial, geralmente representada pela letra é uma
grandeza física associada com as forças atrativas entre as moléculas
que compõem a matéria. Esta propriedade é, geralmente, observada nas
interfaces líquido-gás como resultado de um desequilíbrio de forças
intermoleculares, promovendo uma força resultante na direção do corpo
líquido, conforme a representação a seguir:
Tensão superficial na interface líquido-gás.
β = −
1
V
( ∂V
∂P
)
T
= −
1
v
( ∂v
∂P
)
T
v = V /m = 1/ρ,
β =
1
ρ
( ∂ρ
∂P
)
T
T
V , v,
α
α =
1
V
( ∂V
∂T
)
P
=
1
v
( ∂v
∂T
)
P
v = 1/ρ,
α = −
1
ρ
( ∂ρ
∂T
)
P
σ,
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04386/index.html# 56/67
Ainda considerando a imagem acima, no seio do fluido, as forças
atrativas intermoleculares atuam igualmente em todas as direções,
estabelecendo um equilíbrio de forças, tornando a força resultante igual
a zero.
A tensão superficial é o trabalho necessário para modificar a
superfície de um corpo de prova, de uma grandeza Assim, temos:
Considerando a homogeneidade dimensional da expressão acima,
podemos escrever:
Para a determinação da tensão superficial, vamos considerar a imagem
a seguir.
Tensão superficial associada ao estiramento de um filme líquido.
Assim, temos para o cálculo do trabalho necessário ao estiramento do
filme líquido:
Em que o valor 2 decorre do fato de que, no estiramento do filme, o
aumento de área é dobrado, uma vez que a película apresenta duas
faces, a da frente e a detrás.
Logo:
O efeito da tensão superficial pode ser ilustrado considerando o
equilíbrio de forças na metade de uma gotícula e na metade de uma
bolha livre de outras e livre do campo gravitacional, em que o arame
corrediço imaginário corresponde, agora, a uma circunferência de
comprimento conforme a representação das imagens a seguir.
σ δw
ΔS.
σ = lim
ΔS→δS
δW
ΔS
[σ] =
F ⋅ L
L2
=
F
L
δW = ∫
x+Δx
x
Fdx = ∫
x+Δx
x
2lσdx
σ =
δW
2lΔx
2πR,
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Meia gota
Equilíbrio de forças em meia gota, apresenta uma interface
líquido-gás externa.
Meia bolha
Equilíbrio de forças em meia bolha, apresenta duas interfaces
líquido-gás, uma externa e uma interna.
Uma consequência da tensão superficial é o efeito de capilaridade,
responsável pela subida ou descida de um líquido contido em um tubo
de pequenas dimensões. Há duas situações possíveis: uma na qual o
fluido molha a superfície e, outra na qual o fluido não molha a superfície.
O fato de molhar ou não molhar depende do ângulo de contato, θ, que é
o ângulo que a interface líquido-ar faz com a superfície de apoio. Veja a
seguir.
Superfície molhada
Quando 0° ≤ θ ≤ 90°, o líquido mola a superfície.
p ⋅ πR2 = 2πR ⋅ σ ⇒ p =
2σ
R
p ⋅ πR2 = 2 × 2πR ⋅ σ ⇒ p =
4σ
R
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Superfície não molhada
Quando 90° < θ ≤ 180°, o líquido não molha a superfície.
A ascensão capilar e a depressão capilar têm relação direta com o
ângulo de contato. Os líquidos que molham a parede interna do capilar
apresentam ascensão capilar e os que não molham a parede interna do
capilar apresentam depressão capilar, conforme observado na imagem
a seguir.
Ascensão capilar
Depressão capilar
Demonstração
(θ < 90)
(θ > 90)
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Determine uma expressão para a altura alcançada pela água em um
tubo capilar vertical pelo efeito de capilaridade em função do diâmetro
 do tubo, do ângulo de contato da tensão superficial e do peso
específico da água conforme a representação a seguir.
Determinação de altura em capilaridade.
Solução
No equilíbrio vertical, a força devido ao efeito capilar, projetada na
direção vertical, deve ser equilibrada com o peso da coluna de água.
Assim, temos:
Portanto:
Ou seja:
Mão na massa
Questão 1
Considere como referência o perfil de velocidades associado ao
escoamento de isotérmico de um fluido viscoso, conforme a
representação a seguir:
Com alterações na temperatura do fluido, o perfil de velocidades
passa a ser representado por I ou por II.
h
D θ, σ
γ,
σπD× cos θ = ρ( πD
2
4
× h)× g
h =
4σπD× cos θ
ρgπD2
=
4σ cos θ
ρgD
h =
4σ cos θ
γD

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Assinale a alternativa que lista corretamente o perfil de velocidades
para sequência de fluidos: Líquido aquecido, líquido resfriado, gás
aquecido e gás resfriado.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
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list-ul%20color-neutral-70%20mb-4%20mt-
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listas%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph%20u-text--
medium'%3EPara%20gases%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cydu
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listas%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
A viscosidade de um líquido pode ser medida no dispositivo a
seguir:
Nesse dispositivo, um cilindro de peso igual a 15N com 8,0cm de
diâmetro e 10,0cm de comprimento, desce verticalmente no interior
do tubo pela ação do campo gravitacional com velocidade
constante de 1,0m/s. Para um filme de óleo de 0,30mm entre o
cilindro e a parede interna do tubo, a viscosidade desse óleo no SI é
igual a:
A I, II, II, I.
B I, I, II, II.
C I, II, I, II.
D II, II, I, I.
E II, I, II, I.
A 0,010
B 0,018
11/09/2023, 20:17 Propriedades dos fluidos
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Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EIdentificando%20o%20perfil%20de%20velocidades%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%
image%20src%3D%22img%2Fq05.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22F%C3%A1bio%20Bicalho%20Cano%22%20lo
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%2
0)%20%2F%200%2C00030%7D%3D0%2C17914%20%5Ctext%20%7B%20Pa.s%20%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%
Questão 3
Um líquido de densidade 1,59 ocupa um volume. Se a massa total
do líquido de preenchimento é de 145,94kg, qual é o valor desse
volume em litros?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%3A%3C%2Fp%3E%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0
paragraph%20u-text--medium%20c-table%20u-centered%20my-
4'%3E%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
Questão 4