Cálculos de Integrais e Fluxos

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UTFPR � MA73A � Turma S11 � SUB (P1) � 13/12/2023
1. Calcule
∫
C
y sen z ds, onde C é a hélice dada por x = cos t, y = sen t, z = t, com 0 ≤ t ≤ 2π.
A curva C é dada por:
r(t) = ⟨cos t, sen t, t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π.
Pela de�nição: ∫
C
y sen z ds =
∫ 2π
0
(sen t)(sen t)
√
2 dt =
∫ 2π
0
√
2 sen2 t dt =
√
2π.
2. Calcule
∮
C
F · dr, onde F(x, y) =
〈
y + e
√
1+x2
,−x2 + ln(
√
1 + y2)
〉
e C é o triângulo de vértices
(0, 0), (1, 0) e (0, 2), percorrido no sentido anti-horário.
A curva C é simples, fechada e com orientação positiva e Dom(F) é uma região simplesmente conexa.
Pelo teorema de Green: ∮
C
F · dr =
∫∫
D
(−2x− 1) dA.
A região D é limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ −2x+ 2. Logo:∮
C
F · dr =
∫ 1
0
∫ −2x+2
0
(−2x− 1) dy dx = −5
3
.
3. Calcule o �uxo de F através de S, onde F(x, y, z) = ⟨y, x, z⟩ e S é o paraboloide z = 1 − x2 − y2,
com x2 + y2 ≤ 1 e orientação para cima.
A superfície S é dada por r(x, y) = ⟨x, y, 1 − x2 − y2⟩ ⇒ rx = ⟨1, 0,−2x⟩ e ry = ⟨0, 1,−2y⟩
⇒ rx × ry = ⟨2x, 2y, 1⟩, que tem orientação para cima.
Pela de�nição:∫∫
S
F · dS =
∫∫
D
⟨y, x, 1− x2 − y2⟩ · ⟨2x, 2y, 1⟩ dA =
∫∫
D
(1 + 4xy − x2 − y2)dA.
A região D é o disco com centro na origem e raio 1 no plano xy. Logo, em coordenadas polares:∫∫
S
F · dS =
∫ 2π
0
∫ 1
0
(1 + 4r2 cos θ sen θ − r2) r dr dθ =
π
2
.
4. Calcule o �uxo de F através de S, onde F(x, y, z) = ⟨ex sen y, ex cos y, yz2⟩ e S é a caixa delimitada
pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2, com orientação positiva.
A superfície S é a fronteira do sólido E e div F = 2yz.
Pelo teorema de Gauss:∫∫
S
F · dS =
∫∫∫
E
div F dV =
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 1
0
2yz dx dy dz = 2.
UTFPR � MA73A � Turma S25 � SUB (P1) � 15/12/2023
1. Calcule
∫
C
F · dr, onde F(x, y, z) = ⟨x2, y2, z2⟩ e C é o segmento de reta de (1, 2,−1) até (3, 2, 0).
A curva C é dada por:
r(t) = ⟨1 + 2t, 2,−1 + t⟩, 0 ≤ t ≤ 1.
Pela de�nição:∫
C
F · dr =
∫ 1
0
〈
(1 + 2t)2, 22, (−1 + t)2
〉
· ⟨2, 0, 1⟩dt =
∫ 1
0
(9t2 + 6t+ 3) dt = 9.
2. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = ⟨6xz + y senxy, x senxy, 3x2⟩ ao mover
um objeto ao longo da curva C dada pelo segmento de reta de (2, 0, 5) até (0, 3, 7).
Como o campo F é conservativo, o trabalho realizado W é independente do caminho C de (2, 0, 5)
até (0, 3, 7). A função potencial é:
f(x, y, z) = 3x2z − cosxy +K.
Pelo teorema fundamental das integrais de linha:
W =
∫
C
F · dr = f(0, 3, 7)− f(2, 0, 5) = −1− 59 = −60.
3. Determine a área da parte da superfície z = xy que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
A superfície é dada por r(x, y) = ⟨x, y, xy⟩ ⇒ |rx × ry| =
√
1 + x2 + y2.
Pela de�nição:
A =
∫∫
D
√
1 + x2 + y2 dA.
A região D é limitada por x2 + y2 ≤ 1. Logo, em coordenadas polares:
A =
∫ 2π
0
∫ 1
0
√
1 + r2 r dr dθ =
4
√
2− 2
3
π.
4. Calcule
∮
C
F · dr, onde F(x, y, z) = ⟨−z2, x2 − cos(sen y), exy + sen(cos z)⟩ e C é o triângulo que sai
da origem, vai para (1, 0, 2), depois (1, 0, 0) e volta para a origem.
Seja S a parte do plano xz limitada pelo triângulo, ou seja, S é dada por r(x, z) = ⟨x, 0, z⟩. Como
rx × rz = ⟨0,−1, 0⟩, a orientação correta é ⟨0, 1, 0⟩ e rotF(x, y, z) = ⟨xexy,−yexy − 2z, 2x⟩.
Pelo teorema de Stokes:∮
C
F · dr =
∫∫
S
rotF · dS =
∫∫
D
⟨x,−2z, 2x⟩ · ⟨0, 1, 0⟩ dA =
∫∫
D
−2z dA.
A região D é limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 2x. Logo:∮
C
F · dr =
∫ 1
0
∫ 2x
0
−2z dz dx = −4
3
.
∫
C
f ds =
∫ b
a
f(r(t)) |r′(t)| dt
∫
C
F · dr =
∫ b
a
F(r(t)) · r′(t) dt
∫∫
S
f dS =
∫∫
D
f(r(u, v)) |ru × rv| dA
∫∫
S
F · dS =
∫∫
D
F(r(u, v)) · (ru × rv) dA
∫
C
∇f · dr = f(r(b))− f(r(a))
∮
C
P dx+Q dy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA
∫
C
F · dr =
∫∫
S
rotF · dS
∫∫
S
F · dS =
∫∫∫
E
divF dV