Ejercicios universitarios de Analisis real 187

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PRÁCTICA DIRIGIDA N°09
32) Sea f : U → R diferenciable en el abierto U ⊂ Rm. Dada una base ortogonal {u1, u2, ..., um} de
Rm. Muestre que, para todo x ∈ U se tiene que:
gradf(x) =
m∑
i=1
1
‖ui‖2
∂f
∂ui
(x).ui
SOLUCIÓN
Tenemos que f : U → R es diferenciable en el abierto U ⊂ Rm y que además,
{u1, u2, ..., um} es una base ortogonal de Rm.
Como gradf(x) es un vector =⇒ gradf(x) =
m∑
i=1
αiui; con αi ∈ R para cada
i = 1, ...,m. .................(∗)
Además, si v ∈ Rm, entonces v =
m∑
i=1
βiui ; con βi ∈ R para cada i = 1, ...,m.
Ahora bien:
df(x).v = 〈gradf(x), v〉 = 〈
m∑
i=1
αiui,
m∑
i=1
βiui〉 =
m∑
i=1
αiβi‖ui‖2......(1)
Por otro lado:
df(x).v = df(x)
m∑
i=1
βiui =
m∑
i=1
df(x)βiui......(2)
Luego de (1) y (2):
df(x)βiui = αiβi‖ui‖2 =⇒ αi =
1
‖ui‖2
df(x)ui
=⇒ αi =
1
‖ui‖2
∂f
∂ui
(x)
Reemplazando en (*):
gradf(x) =
m∑
i=1
1
‖ui‖2
∂f
∂ui
(x).ui �
1