Ejercicios universitarios de Analisis real 6

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22.𝑆𝑒𝑎𝑛 (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ, (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ ⊂ ℝ
𝑛 𝑦 (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ ⊂ ℝ
𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑧2𝑘−1 = 𝑥𝑘 , 𝑧2𝑘 = 𝑦𝑘 . ¿ (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ 
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ, (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠? 
⟹) 
Como (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ es convergente , supongamos que lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = 𝐿 
 𝑠𝑒𝑎 𝜖 > 0; ∃𝑘1 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑘 ≥ 𝑘1 ⇒ ||𝑧𝑘 − 𝐿|| < 𝜖 
𝑣𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 ; 𝑠𝑖 𝑘 ≥ 𝑘1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚 ≔ 2𝑘 − 1 ≥ 𝑘1 𝑦 𝑝 ≔ 2𝑘 ≥ 𝑘1 
Sabemos que: 
 (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ = (𝑧2𝑘−1)𝑘∈ℕ 𝑦 (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ = (𝑧2𝑘)𝑘∈ℕ , así tenemos: 
𝜖 > 0; ∃𝑘1 ∈ ℕ ⇒ ||𝑧2𝑘−1 − 𝐿|| = ||𝑥𝑘 − 𝐿|| < 𝜖 ; ∀𝑚 ≥ 𝑘1 
𝜖 > 0; ∃𝑘1 ∈ ℕ ⇒ ||𝑧2𝑘 − 𝐿|| = ||𝑦𝑘 − 𝐿|| < 𝜖; ∀𝑝 ≥ 𝑘1 
Por lo tanto: 
(𝑥𝑘)𝑘∈ℕ 𝑒 (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
⟸) 
Sean (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ = ({1}, {1}, {1}, … , {1}) 𝑦 (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ = ({0}, {0}, {0}, … , {0}) 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ 
lim
𝑘→∞
(𝑥𝑘) = (1,1,1, … ,1) 𝑦 lim
𝑘→∞
(𝑦𝑘) = (0,0,0, … ,0) 
h.a: (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ es convergente ⇒ ∃ 𝑧 = (𝑧𝑘1, 𝑧𝑘2, … , 𝑧𝑘𝑛) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = 𝑧 
𝑆𝑒𝑎 (𝑧2𝑘)𝑘∈ℕ 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 (𝑧2𝑘)𝑘∈ℕ = (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ 
→ lim
𝑘→∞
(𝑦𝑘) = lim
𝑘→∞
(𝑧2𝑘) = lim
𝑘→∞
(𝑧𝑘) = 𝑧 ⇒ lim
𝑘→∞
𝑦𝑘
𝑖 = 0 → lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = (0,0,0, … ,0) … (1) 
𝑆𝑒𝑎 (𝑧2𝑘−1)𝑘∈ℕ 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 (𝑧2𝑘−1)𝑘∈ℕ = (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ 
→ lim
𝑘→∞
𝑥𝑘 = lim
𝑘→∞
𝑧2𝑘−1 = lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = 𝑧 ⇒ lim
𝑘→∞
𝑥𝑘
𝑖 = 1 → lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = (1,1,1, … ,1) … (2) 
De (1) y (2) tenemos: (0,0,0, … ,0) = lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = (1,1,1, … ,1) ⇒ (0,0,0, … ,0) = (1,1,1, … ,1) (⇒⇐) 
Considerando que (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ 𝑦 (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 ∶ 
Sean (𝑥𝑘)𝑘∈ℕ 𝑦 (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, entonces supongamos que : 
lim
𝑘→∞
𝑥𝑘 = lim
𝑘→∞
𝑦𝑘 = 𝐿 
Por definición para cada caso tenemos: 
𝑠𝑒𝑎 𝜖 > 0; ∃𝑘2 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ||𝑥𝑘 − 𝐿|| < 𝜖; ∀ 𝑘 ≥ 𝑘2 
𝑠𝑒𝑎 𝜖 > 0; ∃𝑘3 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ||𝑦𝑘 − 𝐿|| < 𝜖; ∀ 𝑘 ≥ 𝑘3 
Si consideramos un 𝑁 = max{𝑘2, 𝑘3} entonces tenemos: 
||𝑥𝑘 − 𝐿|| < 𝜖 𝑦 |
|𝑦𝑘 − 𝐿|| < 𝜖, ∀𝑘 ≥ 𝑁 
Pero si consideramos: 
(𝑥𝑘)𝑘∈ℕ = (𝑧2𝑘−1)𝑘∈ℕ 𝑦 (𝑦𝑘)𝑘∈ℕ = (𝑧2𝑘)𝑘∈ℕ 
𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 
𝑠𝑒𝑎 𝜖 > 0 ; ∃𝑁 ∈ ℕ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ||𝑧2𝑘−1 − 𝐿|| < 𝜖 𝑦 |
|𝑧2𝑘 − 𝐿|| < 𝜖; ∀𝑘 ≥ 𝑁 
⇒ lim
𝑘→∞
𝑧𝑘 = 𝐿 
∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 (𝑧𝑘)𝑘∈ℕ 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.