introducao a mecanica das estruturas

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2019
Introdução à MecânIca 
das estruturas
Prof. Lucas Onghero
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof. Lucas Onghero
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
ON58i
 Onghero, Lucas
 Introdução à mecânica das estruturas. / Lucas Onghero. – Indaial: 
UNIASSELVI, 2019.
 250 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0322-5
 1. Mecânica das estruturas. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo 
Da Vinci.
CDD 624.171
III
apresentação
Caros alunos, sejam bem-vindos ao curso de mecânica das estruturas, 
nesta disciplina busca-se capacitar os alunos a analisar as estruturas 
reticuladas no geral, sendo estas hiperestáticas, isostáticas ou hipostáticas. 
Será dada maior ênfase às estruturas planas, determinando suas reações de 
apoios e esforços internos pelos diferentes métodos existentes, aplicando 
cada um com sura devida particularidade.
Se define estrutura a parte da construção responsável pela estabilidade 
e pela resistência à esforços esternos aplicados. As estruturas devem 
apresentar estabilidade local e global de todos os seus elementos, assim 
como apresentar resistência mecânica para suportar os esforços, de maneira 
que não ocorra a ruptura dos materiais que a compõem. Além disso, outro 
fator que deve ser analisado nos sistemas estruturais é o seu desempenho 
relacionado com as deformações de durabilidade, o qual está diretamente 
ligado com a vida útil para a qual a estrutura foi planejada.
Uma vez definido o sistema construtivo e materiais a serem utilizados 
na construção, é então desenvolvida a análise estrutural da edificação, sendo 
a primeira parte de um projeto estrutural. Portanto, como objetivo desta 
disciplina é esperado que ao final do estudo o aluno possa avaliar uma 
estrutura, suas deformações e esforços à qual está submetida, partindo das 
suas características como: geometria, dimensões, características mecânicas, 
propriedades dos materiais utilizados, esforços externos aplicados.
Para atingir o objetivo proposto pela disciplina, a primeira unidade 
apresenta os conceitos básicos que envolvem a análise estrutural: a representação 
e redução dos esforços à um ponto; sua representação em uma estrutura, 
a formulação de sistemas equivalentes de forças para facilitar a análise da 
estrutura; os conceitos que envolvem o equilíbrio da estrutura e a estática dos 
sistemas materiais planos e espaciais. Além disso, serão abordadas, ainda nesta 
unidade, as definições dos tipos de apoios considerados durante a análise; como 
é realizada a determinação das reações que surgem nos apoios das estruturas.
Ainda na primeira unidade será abordado o conceito de tensão e como 
estas tensões são transmitidas pela estrutura, para então ser iniciada a análise 
das tensões/esforços solicitantes das estruturas, onde ocorre o primeiro contato 
do leitor com os teoremas fundamentais da estática para construções e um dos 
principais métodos de análises para estruturas isostáticas e hipostáticas.
A Unidade 2 tem como foco apresentar alguns dos modelos de 
estruturas isostáticas mais utilizados e suas particularidades, além das 
considerações a serem adotadas na análise na presença de rótulas ou engastes 
em estruturas. Além disso, serão apresentados alguns métodos de análise 
mais gerais, como o método de Cremona, método dos nós e revisado o 
método de Ritter (das seções). Juntamente com a apresentação dos métodos, 
será abordada a construção dos diagramas de esforços solicitantes para cada 
tipo de estrutura apresentado e para todos os métodos abordado na unidade.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Na terceira unidade, será dada continuidade na abordagem de 
métodos de análises para estruturas, porém nesta seção serão tradados 
os casos onde as estruturas apresentam grau de estaticidade maior que 0, 
ou seja, estruturas hiperestáticas. Os métodos abordados para este tipo de 
estruturas apresentados nesta apostila são o Método dos Deslocamentos, o 
Método das Forças e o Método de Cross.
Antes de tudo, é importante pontuar que esta disciplina é baseada 
nas leis da física, abordadas nas disciplinas de base do curso e que sempre 
estão dando suporte à engenharia. Portanto, apesar da primeira unidade 
desta apostila fazer uma breve revisão dos pontos mais importantes, é 
recomendado ao acadêmico que estiver com alguma dificuldade, retomar as 
disciplinas básicas para melhor aproveitamento deste conteúdo. 
Bons estudos!
Prof. Lucas Onghero
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS ....................................................1
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL .............................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS ..............................................................................................................4
2.1 REGRA DA MÃO DIREITA .............................................................................................................6
2.2 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EM UM PONTO ................................................ 10
2.3 SISTEMAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES .................................................................. 11
2.3.1 Método direto .......................................................................................................................... 14
2.3.2 Método indireto ...................................................................................................................... 14
2.4 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 15
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 17
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................18
TÓPICO 2 – ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS ............................................... 21
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 21
2 EQUILÍBRIO .......................................................................................................................................... 21
2.1 REVISÃO ........................................................................................................................................... 22
2.2 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 23
3 APOIOS ................................................................................................................................................. 23
4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ........................................................................... 28
4.1 ESTRUTURA APORTICADA ........................................................................................................ 29
4.2 PÓRTICO ISOSTÁTICO ................................................................................................................. 30
4.3 TRELIÇA ISOSTÁTICA .................................................................................................................. 31
4.4 PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO ............................................................................... 32
5 ESTÁTICA DOS SISTEMAS ESPACIAIS ...................................................................................... 33
5.1 PÓRTICO ESPACIAL ...................................................................................................................... 35
5.2 PÓRTICO ESPACIAL ...................................................................................................................... 36
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 38
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 40
TÓPICO 3 – O CONCEITO DE TENSÃO........................................................................................... 49
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 49
2 ANÁLISE DE TENSÕES DE ESTRUTURAS .................................................................................. 49
3 ESFORÇOS SOLICITANTES ............................................................................................................ 53
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES .................................... 56
5 RESUMO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE ........................................................................... 63
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 65
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 67
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 68
UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS .................................................. 75
TÓPICO 1 – ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ..................................................................................... 77
suMárIo
VIII
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 77
2 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS: ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS ............. 77
2.1 DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES ........................................................................ 78
2.2 GRÁFICOS DE ESFORÇOS SOLICITANTES .............................................................................. 82
3 ANÁLISE DE TRELIÇAS ................................................................................................................... 88
3.1 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS ................................................................ 90
4 MÉTODO DOS NÓS ........................................................................................................................... 90
5 MÉTODO DE CREMONA .................................................................................................................. 94
6 MÉTODO DE RITTER OU MÉTODO DAS SEÇÕES .................................................................. 99
6.1 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 99
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................103
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104
TÓPICO 2 – VIGAS ISOSTÁTICAS .................................................................................................115
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................115
2 MÉTODO DIRETO ............................................................................................................................115
2.1 VIGAS SIMPLES: MÉTODO DIRETO PARA DIAGRAMAS ..................................................115
2.2 VIGAS GERBER .............................................................................................................................121
2.2.1 Procedimento de análise .....................................................................................................121
2.3 VIGAS INCLINADAS ...................................................................................................................124
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................132
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133
TÓPICO 3 – PÓRTICOS .......................................................................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ........................................................................................................137
2.1 PÓRTICOS SIMPLES .....................................................................................................................138
2.2 PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE .......................................................................140
2.3 PÓRTICOS COMPOSTOS ............................................................................................................142
3 CABOS ..................................................................................................................................................147
3.1 REAÇÕES DE APOIO PARA CABOS ........................................................................................149
5 ARCOS ..................................................................................................................................................153
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................157
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................159
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................160UNIDADE 3 – ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ........................................................................167
TÓPICO 1 – MÉTODO DAS FORÇAS..............................................................................................169
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................169
2 MÉTODO DAS FORÇAS ..................................................................................................................170
2.1 HIPERESTÁTICOS E SISTEMAS PRINCIPAIS .........................................................................171
2.2 RESTABELECIMENTO DA COMPATIBILIDADE ...................................................................173
3 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DOS TERMOS DE CARGA ..................................178
3.1 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL .......................................................................................179
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................193
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................194
TÓPICO 2 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ ..................197
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................197
2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................................197
2.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO .........................................................................................................198
IX
2.1.1 Viga engastada-apoiada ......................................................................................................199
2.1.2 Viga biengastada ...................................................................................................................201
2.1.3 Viga contínua.........................................................................................................................205
2.1.4 Treliças – barra de material homogêneo e seção transversal constante
 submetida à carga axial .......................................................................................................210
2.1.5 Treliças – barra composta de duas hastes de materiais, comprimentos e seções 
diferentes submetidas a carregamento axial .....................................................................211
2.2 RESUMO DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARA ESTRUTURAS
 RETICULADAS DIVIDIDAS EM ELEMENTOS ......................................................................215
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ ......................................................................................216
2.4 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA ............................................................................................220
2.5 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO ...........................................................................................222
2.6 REGRA DA CORRESPONDÊNCIA ...........................................................................................228
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................234
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................235
TÓPICO 3 – MÉTODO DE CROSS....................................................................................................237
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................237
2 PROCESSO DE CROSS .....................................................................................................................237
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................244
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................245
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................246
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................249
X
1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO À ANÁLISE
DE ESTRUTURAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender como as forças agem em uma estrutura;
• utilizar programas básicos de resolução de análise estrutural;
• avaliar uma estrutura de qualquer grau de estaticidade;
• realizar a análise de diferentes configurações estruturais possíveis de 
serem utilizadas;
• avaliar o resultado obtido em programas computacionais de análise 
estruturais; 
• escolher entre os métodos existentes de análise de acordo com a estrutura 
ser avaliada.
Esta unidade está dividia em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
TÓPICO 2 – ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
TÓPICO 3 – O CONCEITO DE TENSÃO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
ESTRUTURAL
1 INTRODUÇÃO
A estabilidade de uma edificação se dá devido a um projeto estrutural 
bem elaborado, em que são apresentadas todas as partes resistentes de maneira 
otimizada para as cargas consideradas.
 
Ao elaborar os projetos são realizadas algumas simplificações para ser 
possível a verificação e análise do comportamento da estrutura, definindo o 
modelo estrutural e, assim, poder encontrar um modelo que melhor se adéqua à 
situação em estudo. Para isso, alguns fatores devem ser levados em consideração:
• projeto arquitetônico;
• aspectos funcionais (dimensões, iluminação, limitação do espaço);
• aspectos estéticos;
• carregamentos atuantes (permanentes ou acidentais);
• condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura;
• material estrutural a ser utilizado.
Dessa forma, essa disciplina tem como objetivo proporcionar aos alunos o 
conhecimento teórico necessário para dimensionar e analisar a concepção estrutural 
adotada em projeto. Nessa disciplina serão abordados os conceitos fundamentais, 
necessários para desenvolver a análise dos esforços e dos deslocamentos sofridos pela 
estrutura com o carregamento previsto. Portanto, esse livro didático busca apresentar 
estes conceitos de maneira prática e sistemática, apresentando um passo a passo. 
Para efetuar a análise serão apresentados os métodos mais conhecidos 
para a execução de estruturas hiperestáticas e isostáticas, dentre elas encontra-se 
o método cremona, o método das seções, método do deslocamento e método das 
forças, todos sendo detalhados no decorrer deste livro. Vale ressaltar que você, 
acadêmico, deve ter o conhecimento básico de resistências dos materiais para 
facilitar o entendimento da disciplina. Além disso, todos os cálculos apresentados 
nesse documento levam em consideração a teoria de Euller-Bernoulli. 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
4
Ressaltamos que todas as autoatividades propostas podem ser resolvidas 
através do uso do software FTOOL, desenvolvido pela PUC-RIO, podendo ser encontrado 
para download acessando o link: http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/.
ATENCAO
2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
Para efetuar a análise de estruturas é necessário ter o conceito de força 
bem assimilado. A força é definida pelo 3º Princípio da Mecânica Clássica: “em 
cada instante, a ação mecânica de um corpo sobre um ponto material pode ser 
representada por um vetor aplicada no ponto”. Desta forma, é possível afirmar 
que a força aplicada sobre um ponto em um corpo rígido pode ser representadapor vetores aplicados em pontos sólidos.
Esta ação entre sólidos pode se manifestar a distância ou por contato direto 
entre os corpos, podendo ser citado como exemplo a força gravitacional (ação de 
forças de volume) e a força que o asfalto exerce nas rodas do carro (ação por contato).
Se a superfície sobre a qual a força está sendo aplicada é muito pequena, 
pode-se considerá-la reduzida a um ponto, considerando assim a força 
concentrada; já quando esta superfície de contato é muito estreita, admite-se que 
ela seja uma linha, podendo assim considerar a força linearmente distribuída.
A consideração do ponto de aplicação da força é de extrema importância 
para a análise da ação entre sólidos, pois ao aplicar uma força de mesma intensidade 
em diferentes pontos de um mesmo sólido, produz efeitos totalmente distintos.
Matematicamente, as forças interativas são representadas por um par 
constituído por um vetor e um ponto. Uma força concentrada F

 aplicada a um ponto 
P é matematicamente representada por (P, F

), ou seja, pelo vetor aplicado (P, F

).
Outra definição importante é a linha de ação da força F

 quando é aplicada 
a um ponto P. Esta força age no ponto P, tendo uma linha de ação paralela à força 
F

nele aplicada, conforme pode ser visto na Figura 1.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
5
FIGURA 1 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA APLICADA EM UM PONTO
FONTE: Neto (1996, p. 2)
F
P
Lin
ha 
de 
açã
o (
P, F
)
O momento de ação de uma força (P, F

) em relação a um ponto O é um 
vetor passando por O e definido matematicamente por 0 0M P F= Λ
  
, e apresenta 
como característica as seguintes propriedades: 
• Direção: perpendicular ao plano determinado pela linha de ação da força e 
pelo ponto O; 
• Sentido: determinado pela regra da mão direita;
• Módulo ou intensidade: || . | || || si| | n| ||OM OP F α=
  
Para simplificar o entendimento, sempre será desenhado OM

 com origem 
no ponto O a ser analisado e, para não haver confusão entre força e momento, 
o vetor de momento é representado por setas duplas. Todas as propriedades 
citadas estão demonstradas na Figura 2.
FIGURA 2 – AÇÃO DE UMA FORÇA F EM UM PONTO O.
FONTE: Neto (1996, p. 2)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
6
De acordo com a Figura 2 é possível afirmar que sinOP α

 é igual a d 
(Figura 3a e b), ou seja, a distância do ponto O à linha de ação de força (P, F

) e, 
desta maneira, então é possível escrever a equação de momento sendo .=
 
OM F d 
e, para esta distância d se dá o nome de braço de momento (ou braço de alavanca).
FIGURA 3 – DETERMINAÇÃO DO BRAÇO DE ALAVANCA QUE COMPÕE O MOMENTO
DE (P, F

) EM RELAÇÃO A O
FONTE: <https://docplayer.net/docview/81/83229432/#file=/storage/81/83229432/83229432.
pdf>. Acesso em: 23 maio 2019.
a) b)
É possível observar que o momento de uma força em relação a um ponto 
possui a dimensão do produto de uma força por uma distância, sendo mensuradas 
em N.n, kgf.cm, tf.m, entre outras combinações possíveis.
Agora já é possível descobrir a intensidade do momento de força aplicado 
ao ponto estudado, mas para descrever exatamente os efeitos desse momento se 
faz necessário ainda descrever seu sentido e direção, para isso será explicada a 
seguir a regra da mão direita.
2.1 REGRA DA MÃO DIREITA
Sabe-se que o momento OM

 tem a direção da reta “r” (mostrada na 
Figura 4), passando por O e perpendicular ao plano definido pela linha de ação 
de (P, F

) e pelo ponto O (plano p).
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
7
FIGURA 4 – APLICAÇÃO DA REGRADA MÃO DIREITA
FONTE: Neto (1996, p. 3)
O sentido de momento F

 é determinado da seguinte maneira:
• No plano que contém a linha de ação de (P, F

) e é perpendicular a π, coloque a 
mão direita com a palma voltada para a reta “r” e com os dedos no sentido de F

.
• Deixe o polegar perpendicular aos demais dedos.
• O sentido de OM

 é então apontado pelo polegar da mão direita (ver Figura 4).
A equação .=
 
OM F d apresenta que a intensidade do momento de uma 
força (P, F

) em relação a um ponto O é o produto de duas grandezas, sendo a 
intensidade da força atuante e a distância entre a sua linha de ação e o ponto 
aplicado. Portanto, desta equação é possível obter as seguintes propriedades:
 0 0 0= = =
 
OM para F ou d
Essa propriedade trata que o momento é nulo em relação ao ponto de análise 
(no caso, ponto O) se, e somente se, a força F

 é nula, ou então se a distância entre 
o ponto O e a linha de ação for igual a 0, ou seja, a sua linha de ação passa pelo 
ponto O (Figura 5).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
8
FIGURA 5 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA PASSANDO PELO PONTO O
FONTE: <https://docplayer.net/docview/81/83229432/#file=/storage/81/83229432/83229432.pdf>. 
Acesso em: 23 maio 2019.
1- Se (P, F

) e (Q, F

) têm a mesma linha de ação, então seus momentos em relação 
a um mesmo ponto são iguais.
Dado um sistema de forças ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3P, , P, , P, , , P, nS F F F F= …    tem-
se que:
• A resultante S é a soma vetorial das forças que o compõe, essa resultante é 
indicada por R

, sendo calculado por:
1
n
i
i
R F
=
=∑

• O momento de S em relação a um ponto O é a soma vetorial dos momentos 
de cada uma das forças do sistema em relação a esse ponto. Dessa maneira, o 
momento de S em relação à O é indicado por:
M0 = Σ0P Λ F,
• Um binário é um sistema formado por duas forças que apresentam mesma 
intensidade e direção, porém com sentidos opostos e com diferentes linhas de 
ação, conforme mostrado na Figura 6.
n=1
n
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
9
FIGURA 6 – DEMONSTRAÇÃO DE UM SISTEMA BINÁRIO DE FORÇAS
FONTE: Neto (1996, p. 5)
• O momento de um binário é o mesmo, independentemente qual seja o ponto 
de análise, essa afirmação pode ser comprovada facilmente de maneira 
matemática (fica como dica para fixação dessa propriedade o desenvolvimento 
matemático).
• Como o momento de um binário em relação a um ponto independente, ele será 
simplesmente chamado de momento de binário e identificado por M

.
• Já que o momento de um binário independe do polo, qualquer ponto pode ser 
utilizado em sua determinação. Adotar os pontos P e Q conhecidos (Figura 6) facilita 
a obtenção de M

, já que em relação a eles, uma das forças do binário será nula. 
Da mesma maneira que o momento de uma força aplicada a um ponto, 
o momento de um binário apresenta características de intensidade, direção 
e sentido. Sendo que o método utilizado para determinar a direção e sentido 
do momento do binário é exatamente igual ao aplicado anteriormente para 
encontrar o momento da força em um ponto. A única diferença se dá no cálculo 
da intensidade, determinado por:
.=
 
M F b
Em que b é a distância entre as linhas de ação entre as duas forças (braço 
de alavanca de um binário). 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
10
FIGURA 7 – SISTEMA DE MOMENTO DE UM BINÁRIO
FONTE: Neto (1996, p. 6)
Portanto, como visto anteriormente, a intensidade do momento do 
binário é o produto da intensidade de uma das forças que constituem o binário 
pelo braço de alavanca.
2.2 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EM UM PONTO 
A Redução de um sistema de forças ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3P, , P, , P, , , P, nS F F F F= …
   
 
em um ponto A consiste em aplicar neste ponto dois vetores: R

 e AM

. Nota-se que 
R

 é a resultante do sistema de forças S e este componente independe do ponto 
de redução.
A redução de um mesmo sistema de forças S em dois pontos distintos A e B 
pode ainda levar aos momentos AM

 e BM

, tendo sua relação descrita pela fórmula:
MB = MA + BA Λ R
Essa fórmula mostra que o momento BM

 é a soma vetorial de AM

 com o 
momento que a resultante R

 aplicada em A tem em relação a B, ou seja, quando 
se reduz em B um problema previamente reduzido em A, consistemem aplicar 
em B uma força ( R

) e dois momentos ( AM

) e o momento de (A, R

).
 
Após o exposto acima, deve-se ressaltar outra propriedade dos vetores, 
quando a resultante R

 de um sistema de forças é nula, então o momento BM

 
independe da posição do ponto B de redução, e a recíproca dessa situação também 
se faz verdadeira, ou seja, sendo o momento BM

 independe do ponto B de redução 
(para qualquer ponto B), então a resultante R

 é nula. Essa afirmação pode ser 
mostrada matematicamente da seguinte maneira: 0= ⇔

BR M .
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
11
Outra propriedade importante e que deve ser lembrada é que, se a resultante 
R

 de um sistema de forças for nula, e seu momento em relação a um ponto A 
também é nulo, então a redução desse sistema para qualquer outro ponto B resulta 
em um momento BM

 nulo. Portanto: 0 0 0, A BR e M M B= = ⇔ = ∀
   
.
2.3 SISTEMAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES 
É possível afirmar que dois sistemas de forças (S e S’) são equivalentes 
quando suas reduções em um mesmo ponto genérico A levam aos mesmos 
esforços solicitantes. Ou seja, um ponto de redução qualquer, sempre a redução de 
dois sistemas de esforços mecânicos equivalentes em um mesmo ponto resultará 
nos mesmos esforços, qualquer seja o ponto de redução considerado. 
Inicialmente deve-se definir melhor o conceito de equivalente. É 
considerado sistema equivalente quando dois sistemas de esforços aplicados em 
um mesmo corpo rígido o levam a apresentar o mesmo movimento.
Como um exemplo, é possível considerar uma mesma barra rígida, 
homogênea e submetida a dois sistemas de esforços distintos, porém 
mecanicamente equivalentes. Imediatamente constata-se que os dois sistemas de 
forças da Figura 8 são equivalentes mecanicamente. Para realizar essa conferência, 
reduz-se os sistemas em um mesmo ponto qualquer.
Nesse caso será reduzido ao centro de massa da barra e, nos dois casos, será 
obtido que 2 0 R P j e M= =
  
; portanto o sólido passará a ter o mesmo movimento 
ao ser aplicado os esforços, desde que esse sólido apresente as mesmas condições 
no instante de aplicação da carga.
FIGURA 8 – EXEMPLOS DE SISTEMAS DE ESFORÇOS EQUIVALENTES
FONTE: Neto (1996, p. 9)
a)
b)
Sabe-se que após o sistema de esforços ser reduzido a um ponto, essa 
redução faz surgir uma força e um momento mecanicamente equivalente a esse 
sistema no ponto selecionado, como é apresentado no exemplo a seguir.
Exemplo 1: considerando a barra da Figura 9a, em que são aplicadas duas 
forças coplanares estabelecendo um sistema de esforços SI. Se reduzirmos esses 
esforços no ponto A as resultantes dessa redução são apresentadas na Figura 9b, 
formando um sistema de esforços SII.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
12
20 50 30R i i i= − = −
   
20.2 50.4 160AM k k k= − + =
   
FIGURA 9 – EXEMPLO DE REDUÇÃO DE ESFORÇOS PARA SISTEMAS
MECANICAMENTE EQUIVALENTES
FONTE: Neto (1996, p. 11)
a) b)
c)
Porém, caso a redução de SI ocorra no ponto B, leva a uma resultante de 
força 30= −

R i e momento dado por 20.4 50.2 20= − = −
   
BM k k k e, a redução 
do sistema SII no ponto B resulta em uma força 30= −

R i e ao momento dado por 
30.6 160 20= − + = −
   
BM k k k , comprovando que os sistemas SI e SII são sistemas 
equivalentes.
Deve-se ressaltar que essa equivalência de sistemas de forças só poderá ser 
considerada quando os esforços são aplicados em corpos rígidos e sob as mesmas 
condições iniciais. Portanto, é de extrema importância observar que dois sistemas 
de forças equivalentes podem produzir efeitos distintos em sólidos deformáveis, 
como pode ser observado na Figura 10.
A redução de ambos os sistemas de forças no centro de massa (G) leva a 
um valore de 0=

R e 30= −

R i . Porém se as barras se encontram em repouso no 
instante da solicitação dos esforços, elas irão se deformar, uma vez que se trata 
de elementos deformáveis e permanecerão com sua configuração deformada, em 
repouso, desde que seja mantida a configuração de carregamento nela aplicada.
Na Figura 10 são apresentados dois sistemas de aplicação de cargas 
equivalentes, porém com diferentes configurações (Figuras 10a e 10c) e 
suas respectivas deformações (Figuras 10b e 10d). É possível perceber que a 
concavidade da deformada dos casos apresentados são totalmente diferentes, 
mesmo os esforços sendo mecanicamente equivalentes.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
13
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DA DIFERENÇA DE DEFORMAÇÃO SOFRIDA NA ESTRUTURA
DE DOIS SISTEMAS DE CARREGAMENTO EQUIVALENTE
FONTE: O autor
a)
c) d)
b)
Portanto, como apresentado no exemplo da Figura 10, é mostrado 
claramente que dois sistemas de forças equivalentes só produzem os mesmos 
efeitos na estrutura quando ela for composta por um mesmo sólido rígido, sendo 
completamente distintos quando se tratar de um sólido deformável. 
Esse conceito de redução de sistema de esforços deve estar bem esclarecido 
para facilitar o processo de análise das estruturas.
NOTA
Deve-se ressaltar ainda que toda análise realizada abrangerá apenas 
forças coplanares, ou seja, que estejam atuando no mesmo plano de forças, 
sendo assim, possível a redução de seu sistema. Para a realização da redução 
do sistema serão apresentados dois métodos possíveis de serem utilizados: o 
método direto e o indireto.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
14
2.3.1 Método direto
Esse processo consiste na redução do sistema de forças em um ponto 
qualquer (Q) da barra e na determinação de qual deve ser a posição desse ponto 
para realizar o cálculo do momento de redução para que os esforços se anulem, 
conforme é mostrado na Figura 11.
O momento de redução é
( ). .QM P x P l x= − −
Em que o valor encontrado para x é a posição que resulta em um 
momento nulo do sistema, ou seja, encontrando o equilíbrio entre o sistema 
original e o sistema reduzido. 
FIGURA 11 – EXEMPLO DE REDUÇÃO DE SISTEMAS FORÇAS COPLANARES,
CONFIGURAÇÃO ORIGINAL (A) E CONFIGURAÇÃO REDUZIDA (B)
a) b)
FONTE: Neto (1996, p. 18)
Como se busca um valor de x para que o sistema entre em equilíbrio, tem-
se então:
( ). . 0QM P x P l x= − − =
2 . . 0P x P l− =
2
lx =
2.3.2 Método indireto
Esse método de solução se baseia no fato de que o sistema original e o 
reduzido sejam mecanicamente equivalentes, possibilitando que a determinação 
do ponto de redução procurada seja feita indiretamente, de modo a responder à 
pergunta que se faz: Qual deve ser o valor da posição x do ponto Q em que os dois 
sistemas se tornam equivalentes mecanicamente?
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE 
15
Por exemplo, reduzindo os sistemas apresentados na Figura 12 no ponto 
A, e impondo que os dois momentos sejam iguais, então é possível obter a posição 
do ponto Q de aplicação da força.
FIGURA 12 – REDUÇÃO DOS SISTEMAS APRESENTADOS NO PONTO A
FONTE: Neto (1996, p. 20)
. 2. .AM P l P x= − = −
2
lx =
É possível observar que os resultados encontrados pelo método direto e 
indireto resultam nos mesmos valores. A maior diferença entre os métodos é que 
pelo método indireto se tem maior liberdade da escolha do ponto de redução para 
comparar com o sistema original.
2.4 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
Exemplo: para o sistema mostrado na sequência, aplicar uma única carga 
equivalente ao sistema.
FIGURA 13 – EXEMPLO DE SISTEMA
FONTE: O autor
Reduzindo esse sistema em relação ao ponto A, encontra-se:
 30.2 40.3 180 .AM kN m=− − =−
O esforço resultante do sistema acima é:
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
16
FIGURA 14 – RESULTANTE DO SISTEMA
FONTE: O autor
Com a redução desse sistema no ponto A obtém-se 90.AM x= − .
Sabendo que para comprovar a equivalência dos sistemas utilizados, esses 
dois momentos encontrados são iguais. Portanto:
 180 . 90.AM kN m x=− =−
180 2 
90
x m−= =
−
Portanto:
FIGURA 15 – RESULTADO DO SISTEMA
FONTE: O autor
=17
Neste tópico, você aprendeu que:
• Toda força aplicada em um ponto possui módulo, direção e sentido.
• Toda força aplicada em um plano irá gerar um binário em outro ponto qualquer 
diferente do qual a força é aplicada.
• O momento gerado por uma força é igual ao produto da sua intensidade e a 
distância da força ao ponto analisado.
• O sentido do momento gerado obedece a regra da mão direita.
• Todo carregamento apresentado por uma estrutura pode ser reescrito em uma 
forma mais simplificada, formando um sistema equivalente.
• Ao montar um sistema equivalente de esforços, são facilitados o entendimento 
e a análise da estrutura.
RESUMO DO TÓPICO 1
18
1 Determinar a posição da força resultante para que o sistema reduzido seja 
mecanicamente equivalente ao sistema original:
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
a)
b)
c)
c)
c)
AUTOATIVIDADE
19
2 Substitua o sistema de forças que atua sobre a viga por uma força e um 
momento equivalente no ponto B.
3 Substitua as três forças atuantes no cano por uma única força resultante. 
Especifique onde a força atua, utilizando a extremidade B como referência.
4 Substitua as cargas por uma força equivalente e especifique a sua localização 
sobre a viga, a qual deve ser medida a partir do ponto B.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 149)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 149)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 159)
20
5 Substitua o carregamento distribuído por uma força equivalente resultante, 
especifique sua localização medida a partir do ponto A.
6 Substitua as cargas por uma força resultante e momento equivalente atuantes 
no ponto O.
7 O concreto molhado exerce uma pressão distribuída ao longo das paredes 
da fôrma. Determine a força resultante dessa distribuição e especifique a 
altura h em que a escora deve ser colocada para que se posicione na linha de 
ação da força resultante. O muro possui espessura de 5 m.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 159)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 160)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 160)
21
TÓPICO 2
ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
PLANOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A estática dos sistemas materiais planos estuda o equilíbrio das estruturas 
contidas no mesmo plano que as forças que atuam no sistema, através das 
equações de equilíbrio apresentadas adiante, no Quadro 1. 
Porém, uma exata análise da estrutura nunca poderá ser realizada, 
devido à estimativa de carregamento e das resistências dos materiais utilizados 
na estrutura. Outro fator que aumenta a imprecisão das análises é o ponto de 
aplicação dos carregamentos utilizados.
Portanto, neste tópico, serão abordados todos os mecanismos que 
envolvem o equilíbrio da estrutura, seus conceitos, classificação da estrutura 
quanto a seu grau de estaticidade para, então, iniciar os cálculos de análise.
2 EQUILÍBRIO
Um sistema estrutural se encontra em equilíbrio quando ele estiver em 
repouso em relação a um ponto de referência, ou seja, se qualquer ponto contido 
em seu sistema não varia de posição em relação a esse referencial adotado. 
Dessa forma, pode-se afirmar que para o corpo se encontrar em equilíbrio, 
a resultante das forças atuantes no corpo é nula, assim como o momento resultante 
dessas forças no ponto de análise também é nulo. 
A teoria da análise estrutural é baseada no princípio da superposição, o 
qual trata que: O deslocamento total ou cargas internas em um ponto de uma 
estrutura sujeita a várias cargas externas podem ser determinadas pela soma dos 
deslocamentos ou cargas internas causadas por cada uma das cargas externas 
atuantes separadamente.
Porém essa declaração só é válida para:
• Material com comportamento elástico-linear, ou seja, obedece à Lei de Hooke 
e, dessa maneira, a carga será proporcional ao deslocamento.
• A geometria da estrutura não pode passar por mudança significativa quando 
as cargas são aplicadas, ou seja, não pode haver grandes deslocamentos da 
estrutura de forma a mudar a orientação e posição das cargas.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
22
Portanto, através do exposto, para um ser possível afirmar que um corpo 
está em equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas:
QUADRO 1 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO
No plano No espaço
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣMx=0
ΣMy=0
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣFZ=0
ΣMx=0
ΣMy=0
ΣMz=0
FONTE: O autor
No Quadro 1, as componentes F representam as somas das forças em cada 
eixo (x,y e z) e M é o momento causado pelo carregamento, também podendo 
ocorrer nos três eixos (x, y e z).
Toda vez que essas equações são aplicadas, se faz necessário traçar o 
diagrama de corpo livre do sistema, o qual será abordado nos subtópicos a seguir.
2.1 REVISÃO
Equilíbrio: quando todas as forças que atuam sobre o ponto material 
têm força resultante nula, podendo este corpo estar em repouso ou se movendo 
com velocidade constante. Para realizar essa análise se faz necessário o estudo 
do diagrama de corpo livre, que nada mais é que o contorno da forma do ponto 
material, mostrando todas as forças com suas intensidades e sentidos conhecidos 
e desconhecidos.
Duas dimensões: em duas dimensões, basta realizar o somatório das 
forças nos dois eixos em que se encontra o corpo rígido e igualando-as a zero. Se 
o resultado obtido for negativo, então a força desconhecida possui sentido oposto 
àquela mostrada no diagrama de corpo livre.
Três dimensões: por ser um pouco mais difícil de visualizar, em sistemas 
espaciais (tridimensionais) a equação de equilíbrio pode ser aplicada utilizando 
a análise vetorial cartesiana, o que requer primeiro expressar cada força no 
diagrama de corpo livre e então soma-se as forças de cada componente vetorial 
(j, j, k). Quando somados e igualados a zero, esses componentes também devem 
ser nulos, de modo que o somatório das forças em cada eixo seja igual a zero.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
23
2.2 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
Os problemas de equilíbrio de forças, sejam eles no plano, são resolvidos 
usando o seguinte procedimento:
1- Diagrama de corpo livre:
• Definir os eixos x, y e z.
• Identificar todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das 
forças no diagrama.
• O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é suposto.
2- Equações de equilíbrio:
• Usar as equações escalares de equilíbrio ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Fz =0 nos casos em 
que seja fácil decompor cada força em seus componentes x, y, z.
• Se a geometria tridimensional parecer difícil, primeiro expressar cada força 
como vetores cartesianos e depois substituir pelos vetores na equação de ∑F=0, 
igualando a zero os componentes i,j,k.
• Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto 
ao mostrado no diagrama de corpo livre.
3 APOIOS 
Todos os esforços atuantes em um sistema podem ser classificados em 
esforços externos ativos e reativos, ou seja, as ações atuantes (peso próprio dos 
elementos, pressão de vento, cargas de uso da edificação etc.)
Portanto, os esforços ativos são todas as cargas que a estrutura das 
construções deve suportar, caso contrário, a estrutura perde seu funcionamento 
e não justifica o seu uso.
Já os esforços reativos são os esforços provindos dos apoios de ligação 
entre os sistemas da estrutura, criando vinculação entre eles e impedindo alguns 
movimentos da estrutura, de acordo com seu grau de rigidez.
Os principais tipos de apoios considerados nas análises estruturais, suas 
representações e restrições impostas aos movimentos estão apresentados na 
Quadro 2, sendo considerado o eixo de referência apresentado na Figura 16.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
24
FIGURA 16 – COORDENADAS DE REFERÊNCIAS CARTESIANAS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 3)
QUADRO 2 – RESUMO DOS TIPOS DE APOIOS UTILIZADOS NAS ANÁLISES DE ESTRUTURAS
Tipo de Apoio Representação Reações (impedimento do movimento) Plano
Apoio Simples ou de primeiro 
gênero Rx=0; Mz=0; Ry ≠ 0 X-Y
Articulação, rótula ou apoio do 
segundo gênero Rx ≠ 0; Mz=0; Ry ≠ 0 X-Y
EngasteRx ≠ 0; Mz≠0; Ry ≠ 0 X-Y
FONTE: O autor
As restrições impostas pelos apoios ao movimento da estrutura recebem 
o nome de vínculo, e o número de reações impostas pelos vínculos nos pontos 
vinculados é igual à quantidade de movimentos que são impedidos pelo apoio.
Uma vez conhecendo as diferentes maneiras que as ligações das estruturas 
podem ser idealizadas, serão apresentadas então algumas técnicas para elaborar a análise.
IMPORTANT
E
Inicialmente, quando as equações são aplicadas, se faz necessário traçar 
o diagrama de corpo livre da estrutura e seus elementos. Dessa forma, se um 
membro é escolhido para a análise, ele deve ser isolado dos suportes e adjacências, 
assim pode-se descobrir os valores das reações de apoio do sistema.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
25
O primeiro passo para iniciar a análise é estabelecer a determinação e 
estabilidade da estrutura, em outras palavras, definir o grau de estaticidade do 
sistema. Define-se determinação da estrutura sendo a condição que as equações 
de equilíbrio fornecem para a estrutura analisada. Ou seja, quando todas as 
forças podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio, a estrutura é 
conhecida como estaticamente denominada.
Quando esse fato não é permitido, ou seja, há mais forças desconhecidas 
do que equações de equilíbrio, a estrutura é chamada de estaticamente 
indeterminada.
Para facilitar o entendimento, é possível definir a estrutura como:
r = 3n, estaticamente determinada
r > 3n, estaticamente indeterminada
Em que: 
• r = número de componentes de reação;
• n = número de partes seletiva dos membros através do diagrama de corpo livre.
Em particular, em estruturas estaticamente indeterminadas, as equações 
adicionais necessárias para selecionar os sistemas de equações encontrados 
são obtidas relacionando as cargas aplicadas e reações aos deslocamentos das 
estruturas. A quantidade de equações que serão necessárias obter está relacionada 
diretamente com o grau de estaticidade (por grau de indeterminação) da estrutura. 
Nesse aspecto, a estrutura pode ser classificada como:
• ISOSTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é 
igual ao número de equações de equilíbrio do sistema.
• HIPERESTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas 
é superior ao número de equações de equilíbrio do sistema.
• HIPOSTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é 
inferior ao número de equações de equilíbrio do sistema.
Uma das formas de calcular o grau de estaticidade da estrutura é através 
da seguinte fórmula: 
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
Em que: 
• gh = grau de estaticidade ou hiperestaticidade
• C1 = número de vínculos da 1ª classe
• C2 = número de vínculos da 2ª classe
• C3 = número de vínculos da 3ª classe
• m = número de hastes presentes na estrutura
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
26
Através da fórmula apresentada é possível afirmar que quando gh=0, se 
trata de uma estrutura ISOSTÁTICA; para gh<0, uma estrutura HIPOSTÁTICA; 
e quando gh>0 trata-se de uma estrutura HIPERESTÁTICA, com seu grau de 
hiperestaticidade igual ao valor encontrado na equação. Alguns exemplos do 
cálculo do grau de hiperestaticidade serão apresentados a seguir:
Exemplos:
QUADRO 3 – ESTRUTURAS PLANAS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 10)
Quantidade de 
apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 1 + 2.(1) + 3.(0) – 3.(1)
gh = 1 + 2 – 3
gh = 0
Estrutura Isostática
Quantidade de 
apoios
C3=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 0 + 2.(0) + 3.(1) – 3.(1)
gh = 0
Estrutura Isostática
Quantidade de 
apoios
C1=2
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(0) + 3.(0) – 3.(1)
gh = –1
Estrutura Hipostática
Quantidade de 
apoios
C1=2; C2=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(1) + 3.(0) – 3.(1)
gh = 1
Estrutura Hiperestática
Existem situações em que há a presença de articulação ou uma rótula, 
neles a rótula representa mais uma restrição, no caso interna, para esses casos é 
considerado o tipo de ligação e o número de barras conectadas -1.
Exemplo: 
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
27
QUADRO 4 - ARTICULAÇÃO OU RÓTULA
A rótula é uma conexão do 
tipo C2 e, nesse caso, ligados 
por 2 barras.
Quantidade de 
apoios
C1=2; C2=1
Número de 
barras
m=2
Ligações internas
C2 = 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(2) + 3.(0) – 3.(2)
gh = 0
 
Estrutura Isostática
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 11)
Além da rótula, ainda é possível encontrar restrições internas como 
Tirantes e Ligações engastadas, conforme representado a seguir.
QUADRO 5 – LIGAÇÕES INTERNAS
Tirantes (C1)
Articulação ou
Rótula (C2)
Ligação engastada
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 12)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
28
Exemplos:
QUADRO 6 – PÓRTICOS E ARCOS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 12-13)
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=3
Ligações internas
C3= 2-1 = 1
C2 = 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 1 + 2.(2) + 3.(1) – 3.(3)
gh = 1 + 4 + 3 – 9
gh = –1
Estrutura Hipostática
Quantidade de apoios
C3=1; C2=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 0 + 2.(1) + 3.(1) – 3.(1)
gh = 0 + 2 + 3 – 3
gh = 2
Estrutura Hiperestática
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=2
Ligações internas
C1= 2-1 = 1
C2 = 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(2) + 3.(0) – 3.(2)
gh = 2 + 4 + 3 – 6
gh = 0
Estrutura Isostática
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=4
Ligações internas
C3= 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 1 + 2.(1) + 3.(4) – 3.(4)
gh = 1 + 2 + 12 – 12
gh = 3
Estrutura Hiperestática
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=3
Ligações internas
C1= 2-1 = 1
C2 = 2-1 = 1
C3= 2-1 =1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(2) + 3.(1) – 3.(3)
gh = 2 + 4 + 3 – 9
gh = 0
Estrutura Isostática
4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO 
Uma vez que é conhecido o sistema a ser analisado e suas equações 
(baseadas nas equações de equilíbrio já comentado anteriormente), então é 
possível realizar os cálculos para encontrar as forças de reações nos apoios devido 
à aplicação de carga, conforme exemplos a seguir.
Deve-se ressaltar que os somatórios de forças devem ocorrer no mesmo 
plano, sendo relacionados aos eixos dos planos, portanto um esforço inclinado 
deverá ser reduzido em duas componentes que o formaram.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
29
4.1 ESTRUTURA APORTICADA
FIGURA 17 – EXEMPLO DE ESTRUTURA APORTICADA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 16)
Primeiramente é necessário encontrar os esforços nas direções x e y. Para 
isso, o primeiro passo é decompor o esforço de 10 kN.
FIGURA 18 – ESTRUTURA APORTICADA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 16)
Uma vez encontrado o valor de cada componente, aplica-se as equações 
de equilíbrio da estrutura no plano:
I- ∑Fx=0
 
HA + 6kN = 0 . . HA = –6kN
II- ∑Fy=0
VA + VB – 8kN – (10.3) = . . VA + Vb = 38kN
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
30
III- ∑MA=0
7.VB – (30.5,5) – (6.1,5) = 0 . . 7.VB = 190kN . . VB = 27,14kN
Como VA + VB = 38 kN e VB = 27,14 kN, temos que VA = 38 -27,14 = 10,86 kN. 
A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório 
de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa 
necessariamente ser igual a zero.
4.2 PÓRTICO ISOSTÁTICO
FIGURA 19 – PÓRTICO ISOSTÁTICO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar Pillar (2013, p. 17)
I- ∑Fx=0
–HA + 40kN = 0 . . HA = 40kN
II- ∑Fy=0 
VA + VB = 60kN
III- ∑MA=0
8.VB + 80 – (40.6) – (60.4) = 0 . . 8VB = 400kN . . VB = 50kN
Como VA + VB = 60 kN e VB = 50 kN, temos que VA = 60 -50 = 10 kN. A verificação 
dos valores encontrados pode ser feita através do somatório de momentos em relação 
ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa, necessariamente, ser igual a zero.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
31
4.3 TRELIÇA ISOSTÁTICA
FIGURA20 – TRELIÇA ISOSTÁTICA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 17)
I- ∑Fx=0
–HB + 12 – 4 = 0 . . HB = 8kN
II- ∑Fy=0 
VA + VB = 14kN
III- ∑MA=0
( ) ( ) ( ) 44.4 8.1,5 12.2 3. 0 3 16 12 24 1,33 
3A A A
V V kN V kN + − − = ∴ = + − ∴ = = 
 
Como VA + VB = 14 kN e VA = 1,33 kN, temos que VB = 14 -1,33 = 12,67 
kN. A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório 
de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa, 
necessariamente, ser igual a zero.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
32
4.4 PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO
FIGURA 21 – PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 18)
I- ∑Fx=0
HA + HB + 20 – 12 . . HA + HB = –8kN
II- ∑Fy=0 
 VA + VB – (10.4) = 0 . . VA + VB = 40kN
III- ∑MA=0
4VB–(40.2) + (12.2) – (20.4) = 0 . . 4VB = 80 – 24 + 80 . . VB = 40 – 34 = 6kN
IV- ∑MC=0 
Por se tratar de uma rótula, nesse ponto da estrutura o momento fletor deve 
ser sempre nulo. Portanto é possível continuar a análise da estrutura separando-a 
em duas partes, passando o ponto de divisão pela rótula e escolhendo um dos 
lados para ser analisado, conforme exemplo a seguir.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
33
FIGURA 22 – ANÁLISE DA ESTRUTURA DO PÓRTICO TRIARTICULADO
À ESQUERDA DA RÓTULA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 18)
Mc – (6.2) + (20.1) + (HA.4) = 0
Como MC = 0 temos que 4HA= 12 – 20, logo, HA = -2kN. Se HA + HB = -8kN, 
então HB = -6kN.
A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório 
de momentos em relação ao ponto D, em que o valor dessa soma precisa, 
necessariamente, ser igual a zero. 
5 ESTÁTICA DOS SISTEMAS ESPACIAIS 
Os sistemas espaciais são aqueles que não possuem suas partículas e 
todos os esforços solicitantes situados no mesmo plano. Nesse sentido, existem 
dois tipos de sistemas espaciais:
• Quando todas as partículas estão situadas no mesmo plano, porém os esforços 
solicitantes não pertencem a esse plano (Figuras 23a e 23b).
• Quando nem todas as partículas estão situadas em um mesmo plano (Figuras 
23c e 23d).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
34
FIGURA 23 – SITUAÇÕES POSSÍVEIS DE SISTEMAS ESPACIAIS
FONTE: Neto (1996, p. 55)
Assim como nas estruturas contidas em um único plano, os vínculos que 
podem existir em uma estrutura podem ser de primeiro gênero, segundo gênero 
e engaste. Além desses conhecidos, ainda é necessário destacar a utilização 
de rótulas nos vínculos. As rótulas impedem qualquer movimento do ponto 
analisado, porém possibilita a rotação do sistema pelos eixos que passam pelo 
ponto de análise.
Dito isso, os esforços são encontrados através das equações de equilíbrio 
de um corpo no espaço: ∑Fx =0; ∑Fy =0; ∑Fz =0; Mx =0; ∑My =0; ∑Mz =0.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
35
5.1 PÓRTICO ESPACIAL
FIGURA 24 – TRELIÇA ESPACIAL
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 22)
Passo 1 – Verificação da estaticidade da estrutura:
r + b = 3n . . 9 + 3 = 3.4 . . 12 = 12
Portanto, trata-se de uma estrutura isostática.
Passo 2 – Cálculo de equilíbrio do nó D:
FIGURA 25 – EQUILÍBRIO DO NÓ
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 22)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
36
Nesse caso, temos três incógnitas (N1, N2, N3) e três equações (somatório das 
forças em x, y e z). Após conhecer os valores desses esforços, é possível selecionar 
os nós que possuem os apoios e calcular o valor das reações de cada apoio. 
5.2 PÓRTICO ESPACIAL
FIGURA 26 – EXEMPLO DE PÓRTICO ESPACIAL
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 23)
Na estrutura apresentada é possível perceber que se trata de um pórtico 
espacial engastado, que apresenta a seguinte configuração:
• 6 incógnitas;
• 6 equações de equilíbrio;
• restringida.
Dessa forma é possível resolver o sistema facilmente, conforme mostrado 
a seguir:
I- ∑Fx =0;
RAX – 2tf = 0; RAX =2tf
II- ∑Fy =0; 
RAy -4tf =0; RAy =4tf
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS 
37
III- ∑Fz =0; 
RAz – 1tf =0; RAz =1tf
IV- ∑Mx =0; 
MAx – (4.3) - (1.5) =0; MAx = 17tf.m
V- ∑My =0; 
MAy + (2.3) + (1.4) = 0; MAy =10tf.m
VI- ∑Mz =0;
MAz + (2.5) – (4.4) =0; MAz = 6tf.m
Portanto, encontrando assim os valores dos esforços de reação dos apoios 
da estrutura. É possível verificar se as reações encontradas nos cálculos estão 
corretas através do somatório dos momentos em cada eixo, utilizando os valores 
das reações encontradas e, esse somatório, necessariamente, deve ser nulo para 
satisfazer a condição de equilíbrio.
Porém, esse método de conferência não é infalível, pois essa é uma 
condição necessária para o equilíbrio, mas não suficiente para que as reações 
obtidas estejam corretas. 
38
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Ao analisar qualquer problema de equilíbrio, é necessário, antes de tudo, 
desenhar um diagrama de corpo livre. Isso significa realizar um esquema das 
forças e momentos atuantes na estrutura. Para isso, é importante lembrar que 
os apoios exercem uma força sobre o corpo em uma direção particular, de 
acordo com o tipo de vinculação.
• No caso de cargas e/ou apoios inclinados, a direção dos esforços deve ser 
indicada no diagrama de corpo livre.
• Em estruturas de corpos rígidos no plano (duas dimensões), as três equações de 
equilíbrios (somatórios de forças nas direções X e Y e somatório dos momentos 
igual a zero) são suficientes para encontrar os esforços solicitantes. Para isso, 
basta somar as forças em cada eixo, formando um sistema de equações e, para 
eliminar os esforços desconhecidos, basta realizar o somatório dos momentos 
no ponto onde essas forças são aplicadas.
• Para estruturas tridimensionais, em geral é vantajoso uma análise vetorial 
cartesiana, para então para aplicar as equações de equilíbrio. Para essa 
decomposição dos esforços é necessário expressar os momentos e as incógnitas 
mostrados no diagrama de corpo livre como um vetor cartesiano. Dessa 
forma, é possível realizar o somatório das forças de cada eixo e igualar a zero. 
Considerar o momento em relação a um ponto qualquer, desde que ele se 
encontre na linha de ação de tantos componentes de forças quanto possível.
• É preciso orientar os vetores de posição para cada força e usar o produto 
vetorial para determinar o momento de cada uma.
• Um corpo rígido no espaço necessita de seis equações de equilíbrio para poder 
ser determinado e igualar essas equações a zero.
• As cargas internas em um corpo consistem em uma força normal, uma força de 
cisalhamento, um momento fletor e um momento torçor. Elas representam as 
resultantes de uma distribuição de tensão normal e de tensão de cisalhamento 
que agem na seção transversal.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 4)
39
• Para encontrar os valores da resultante, utiliza-se o método das seções e as 
equações de equilíbrios:
 ◦ ∑Fy=0
 ◦ ∑Fx=0
 ◦ ∑Fz=0
 ◦ ∑My=0
 ◦ ∑Mx=0
 ◦ ∑Mz=0
40
1 Determine o grau de estaticidade das estruturas a seguir, classificando-as 
em ISOSTÁTICA, HIPOSTÁTICA E HIPERESTÁTICA:
a)
b)
c)
d)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
AUTOATIVIDADE
41
2 Determine as reações de apoio das seguintes estruturas:
a)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
e)
f)
g)
h)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
42
b)
c)
d)
e)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 21)
FONTE: Neto (1996, p. 97)
43
f)
g)
h)
i)
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
44
j)
k)
l)
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: Hibbeler (2010, p. 189)
3 A estante simétrica está submetida a uma carga uniforme de 4 kPa. O apoio 
é fornecido por um parafuso (ou pino) localizadoem cada extremo A e A' e 
pelos suportes simétricos que se apoiam na parede li a, em ambos os lados B 
e B'. Determine a força de resistência oferecida por cada parafuso na parede 
e a força normal em B para manter o equilíbrio.
45
FONTE: Hibbeler (2010, p. 218)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 218)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 218)
4 Determine a reações no apoio A e B para o equilíbrio da viga.
5 Determine o componente de reação x, y, z nos apoios esféricos B, C e na junta 
esférica A (não mostrada na figura) para a placa carregada uniformemente.
46
6 Determine o componente horizontal vertical da reação no pino A e a reação 
no rolete B, necessária para apoiar a treliça. Considere F = 600 kN.
7 Se o rolete em B é capaz de sustentar uma carga máxima de 3 kN, 
determine a maior intensidade cada uma das três forças que podem ser 
sustentadas pela treliça.
8 Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da 
reação do pino em A. A polia em D é sem atrito e o cilindro pesa 80 lb.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 217)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 217)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 191)
47
9 O anteparo AD está sujeito às pressões da água e do aterramento. Supondo 
que AD esteja ‘fixado por pinos’ ao solo em A, determine as reações horizontal 
e vertical nesse ponto e a força do reforço BC necessária para manter o 
equilíbrio da estrutura. Considere que o anteparo possui massa de 800 kg.
10 A lança AC é apoiada por uma junta esférica em A e por dois cabos BDC e CE. 
O cabo BDC é contínuo e passa pela polia em D. Calcule a força nos cabos e 
os componentes de reação x, y, z em A, se o engradado tem peso de 80 lb.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 193)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 215)
48
12 Determine os componentes x, y, z na parede fixa A. A força de 150 N é 
paralela ao eixo z e a força de 200 N é paralela ao eixo y.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 219)
49
TÓPICO 3
O CONCEITO DE TENSÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Até o presente momento, foram apresentadas e recordadas algumas 
noções de estática dos corpos rígidos. Agora, iremos adentrar no estudo dos 
sólidos utilizados na mecânica das estruturas, os sólidos deformáveis, ou seja, 
estruturas que mudam de forma quando solicitadas por esforços.
O comportamento dos sólidos deformáveis, no geral, é regido pela Lei 
de Hooke, como visto na disciplina de resistência dos materiais, onde define que 
a há uma relação entre a tensão aplicada na estrutura e a deformação que ela 
sofre. Portanto, o objetivo de realizar uma análise é verificar a segurança desta 
estrutura frente às tensões geradas pelos esforços, assim como as deformações 
obtidas não ultrapassem os limites suportados.
Desta forma, no decorrer deste tópico, serão abordados os tipos de tensões 
que podem surgir nos elementos estruturas, como devem ser considerados em 
uma uma análise, seus efeitos quanto ao deslocamento da estrutura e apresentado 
um método de análise.
2 ANÁLISE DE TENSÕES DE ESTRUTURAS
Ao projetar uma estrutura, se faz necessário considerar a deformabilidade 
do material que a constitui, e para ser possível então iniciar esse estudo, deve-se 
estar com o conceito de tensão bem consolidado. Portanto será apresentado uma 
primeira ideia mais informal do que são tensões e das tensões internas geradas 
em um sólido.
Se pensarmos nas edificações construídas, o que ocorre quando seu espaço 
é ocupado? Ou em uma ponte, quando um automóvel passa por ela?
 
Todas essas solicitações citadas são transmitidas pela estrutura até suas 
fundações, quando geram reações de apoios que, como visto anteriormente, são 
vínculos necessários para que a estrutura se mantenha em equilíbrio e assim 
possibilita sua utilização.
50
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 27 – ESQUEMA DE TRANSMISSÃO DOS ESFORÇOS EM UMA ESTRUTURA
FONTE: Neto (1996, p. 71)
Na Figura 27, a estrutura da ponte mostrada sofre a ação das forças P1 e 
P2 (contato das rodas do veículo com a ponte). Esse carregamento é transferido 
até as sapatas de fundação e, destas, transmitidos ao solo.
Mesmo não estando detalhado, o mecanismo de transferência de cargas, 
nesse exemplo, no geral é o fenômeno que ocorre em qualquer estrutura, 
mostrando a funcionalidade da estrutura, que é transmitir os esforços solicitantes 
externos, do ponto de aplicação até os apoios onde serão transmitidos para o solo.
Essa transferência do esforço pela estrutura resulta em deformação da 
estrutura, devido à modificação das posições relativas de suas moléculas. 
Além da deformação, a ruptura da estrutura também pode ser explicada 
por esse caminhamento dos esforços, em que a aplicação de uma carga muito 
elevada pode levar a estrutura à ruptura, uma vez que os esforços internos 
solicitantes também serão muito grandes, podendo romper a estrutura caso 
supere a resistência do material.
Dentro desse aspecto, deve-se ressaltar que um mesmo material apresenta 
resistência distinta a diferentes esforços internos. Uma peça de cerâmica apresenta 
diferente resistência quando submetida a esforços de tração, compressão e flexão. 
Deve-se acrescentar que o corpo se deforma com a aplicação da força, 
qualquer que seja a natureza dela (tração, compressão ou flexão), e essa deformação, 
para uma mesma carga, vai depender da rigidez que o material apresenta. 
Como exemplo é possível comparar duas réguas escolares com diferentes 
rigidezes e submetê-las a um mesmo carregamento. Se compararmos as duas, é 
possível verificar que a régua que apresenta menor rigidez irá deformar mais.
Portanto, é possível afirmar que corpos muito rígidos deformam pouco 
quando submetidos a um carregamento, muitas vezes, essa deformação será 
imperceptível.
Dessa maneira, como já comentado, as tensões nada mais são que os 
esforços internos que surgem em um sólido quando esforços externos são 
transmitidos de um ponto a outro, e esses esforços externos, quando resultam 
em tensões superiores ao suportado pelo material, ocorre a ruptura do material.
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
51
Uma vez entendendo como se transmite a tensão dentro da estrutura, é 
possível então defini-la fisicamente, sendo as forças distribuídas que atuam nos 
planos internos de um sólido. Matematicamente é possível definir a tensão em 
um ponto qualquer P contido no plano sendo:
m
F
Aρ
∆= ∆

Em que:
 = tensão média;
 = resultante da força distruída atuando na região;
 = área.
A tensão mρ

 é um vetor com direção e sentido de F∆

 e intensidade F∆

/ A∆ , comprovando o conceito físico apresentado, tendo sua dimensão de uma 
força dividida por uma área. No Sistema Internacional, a unidade de medida de 
tensão é o pascal (Pa), onde 1 Pa = 1 N/m².
É possível analisar que a unidade de medida de tensão e de pressão são as 
mesmas, isso ocorre pelo fato de serem grandezas de mesmas dimensões (força/área). 
Deve-se ressaltar ainda que na prática de engenharia não é comum 
representar as tensões em Pa, por se tratar de uma unidade muito pequena, sendo 
normalmente expressa em: MPa = 0,1 kN/cm².
Porém, para avaliar o nível de solicitação de um elemento é necessário 
considerar as tensões que ocorrem em todos os planos, isso porque dois 
carregamentos distintos podem levar à mesma tensão em um ponto escolhido P, 
porém, tensões totalmente diferentes em outros planos de análise, apesar de que 
o estado de tensão seja caracterizado pelo nível de solicitação de um ponto.
Dessa forma, em projetos estruturais deve-se comparar o estado de tensão 
em um ponto com os resultados experimentais, pois é o conjunto das tensões em 
um ponto que deve ser comparado com os estados de tensões limites, uma vez que 
tensões em planos particulares não caracterizam o nível de solicitação do ponto.
O conhecimento das tensões no ponto P permite que, utilizando apenas 
as equações de equilíbrio da estática, obtenham-se as tensões segundo todos 
os demais planos que passam por “P”. O trabalho de calcular infinitas tensões 
não existe, reduzindo-se ao trabalhode calcular três tensões em três planos 
perpendiculares entre si.
A influência da tensão na resistência do material pode ser melhor 
visualizada no exemplo a seguir. Considere que um prisma de concreto é 
submetido à compressão em uma prensa. A amostra acaba rompendo quando o 
seu limite de resistência é atingido.
m
F
Aρ
∆= ∆

m
F
Aρ
∆= ∆

m
F
Aρ
∆= ∆

52
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Se lançarmos uma amostra idêntica à anterior no fundo do mar, a uma 
distância de 20 km de profundidade (por exemplo), ela atinge o fundo sem ocorrer sua 
ruptura, apesar de ser solicitado por um esforço maior do que o aplicado pela prensa. 
O comportamento nas situações citadas é completamente diferente, devido 
aos estados de tensão dos pontos do prisma nos dois casos serem diferentes, 
resultando em resistências limites diferentes.
A Figura 28 mostra um pedaço desse prisma utilizado para demonstrar os 
estados de tensão da situação acima. É possível ver que, nesses casos, as tensões 
nas faces dos cubos são iguais às forças distribuídas que atuam nas faces dos 
prismas paralelas a elas.
O estado de tensões na compressão simples (prisma colocado na prensa) 
apresenta tensões nulas nas faces verticais do prisma e, nas faces horizontais, 
só atuam forças normais de compressão. Para a amostra jogada no mar, temos 
um estado hidrostático de compressão, em que todas as faces possuem apenas 
tensões normais de compressão, sendo estas iguais em todas as faces.
Então, como é possível ver, há uma distinção dos estados de tensões nas 
duas situações apresentadas, sendo submetido à compressão em uma direção no 
caso da prensa e nas três direções no caso submerso. 
Todo material apresenta resistência extremamente elevada quando 
submetido à compressão em todas as direções, esse comportamento é, de certa 
maneira, intuitivo, uma vez que, ao comprimir uma amostra em uma única 
direção, não há tensões nos planos verticais para impedir a desagregação da 
amostra e ter um efeito de confinamento. Portanto, é visível que a resistência do 
material está diretamente ligada ao estado de tensão em que o corpo se encontra.
FIGURA 28 – DIFERENTES CARREGAMENTOS E SEUS EFEITOS NO ESTADO
DE TENSÃO DE UM CORPO
FONTE: Neto (1996, p. 82)
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
53
3 ESFORÇOS SOLICITANTES 
Na análise e resistência de materiais são utilizados modelos idealizados 
constituídos por barras, e para conseguir caracterizar o estado de tensão dos 
pontos das estruturas, se faz necessário conhecer as tensões que atuam nos três 
planos perpendiculares entre si. No caso de barras, um dos planos é a seção 
transversal, que contém o ponto cujo o estado de tensão se pretende conhecer.
Os esforços solicitantes são os esforços obtidos pela redução das tensões 
no centro de gravidade da seção transversal em que atuam, ou seja, aplicar no 
ponto escolhido os esforços resultantes de tensão e momento.
Deve-se lembrar do princípio de ação e reação, em que diz: quando se 
divide uma barra em duas seções, os esforços solicitantes da seção à direita da 
divisão possuem intensidades e direção iguais aos esforços encontrados na seção 
à esquerda, porém irão apresentar sentidos opostos.
Devido a essa propriedade, os esforços solicitantes se tornam úteis, e como 
são de fácil determinação, tornam-se atrativos para executar a análise de estruturas.
Uma vez que se conhece os esforços externos atrativos e reativos, a 
determinação dos esforços solicitantes atuantes na seção transversal de uma barra 
é realizada com a utilização das equações de equilíbrio da estática, anteriormente 
discutidas, aplicadas no centro de gravidade da seção de corte. 
A seguir, serão exemplificados os efeitos dos diferentes esforços aplicados em 
uma barra e a aplicação de seções para determinar os esforços solicitantes internos.
FIGURA 29 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE TRAÇÃO (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 86)
54
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 30 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE COMPRESSÃO (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 87)
FIGURA 31 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO CORTANTE (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E 
DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO DE SEÇÃO E (C) 
DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 87)
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
55
FIGURA 32 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE TORÇÃO (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 88)
FIGURA 33 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO DE MOMENTO FLETOR (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 88)
56
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
Os esforços solicitantes atuantes na seção transversal são obtidos através do 
corte de uma seção (S) da barra e reduzindo no centro de gravidade, ou todos os 
esforços externos aplicados de um lado do corte ou todos os esforços externos aplicados 
no outro lado deste corte, conforme pode ser observado no exemplo a seguir:
FIGURA 34 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
FONTE: Neto (1996, p. 92)
Portanto, os esforços podem ser encontrados cortando a barra na seção S 
e reduzindo os esforços no centro de gravidade da barra e analisando os esforços 
externos aplicados tanto na direita como pela esquerda.
FIGURA 35 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE SECCIONADO NA SEÇÃO S
FONTE: Neto (1996, p. 92)
Dessa forma, aplicando as equações de equilíbrio da estática e fazendo 
a redução dos esforços externos à direita e à esquerda, estão representados da 
seguinte maneira:
FIGURA 36 - ANÁLISE DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE SECCIONADO NA SEÇÃO S
FONTE: Neto (1996, p. 93)
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
57
Através dos resultados encontrados é possível verificar que, na seção 
delimitada, há um esforço cortante de 40 kN, tendendo a girar a barra no sentido 
anti-horário, além da aplicação de um momento fletor de 120 Nm, tracionando as 
fibras inferiores da barra.
É importante lembrar que os esforços encontrados apresentam intensidades 
iguais e sentidos opostos, obedecendo ao princípio da ação e reação citada anteriormente.
ATENCAO
Tendo em vista isso, para encontrar os esforços solicitantes que atuam na 
estrutura, basta iniciar a análise dos esforços por apenas um dos lados da estrutura, 
tornando assim uma atividade simples de redução.
Na Unidade 2 iremos aprofundar a análise de diferentes estruturas 
isostáticas pelo método da seção, mas de maneira geral, a análise se dá de maneira 
sistemática, realizando uma seção entre cada tipo ou mudança de carregamento 
ou apoio, possibilitando encontrar equações para cada seção realizada, estando 
diretamente ligadas ao carregamento aplicado nessa parte da estrutura, assim é 
possível conhecer o valor dos esforços solicitantes ao decorrer da estrutura.
Exemplo: utilizando o conceito apresentado do teorema fundamental, 
determine os esforços solicitantes que atuam na seção S da viga a seguir:
FIGURA 37 – VIGA POLIGONAL
FONTE: Neto (1996, p. 97)
58
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Para encontrar os valores das reações de apoios, a parte direita da seção 
é analisada utilizando as equações de equilíbrio da estática. Como resultado, 
encontramos os valores a seguir: 
FIGURA 38 – VIGA POLIGONAL
FONTE: Neto (1996, p. 97)
Uma vez encontrados os esforços solicitantes com a utilização das equações 
de equilíbrio em casa seção, tem-se então:
• Esforço normal: será feito um somatório das forças em X.
• Esforço cortante: será feito