3 - ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL - MÉTODOS ITERATIVOS RESOLUÇÃO SISTEMAS LINEARES

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introdução
Introdução
ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONALÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL
MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
RESOLUÇÃO SISTEMASRESOLUÇÃO SISTEMAS
LINEARESLINEARES
Autor: Dr. Ricardo Igarashi
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
Nesta unidade, reforçaremos o conteúdo do módulo II, apresentando a solução geométrica de
sistemas lineares e . Esse conceito nos fornecerá uma visão espacial do signi�cado de
um sistema linear. Posteriormente, trabalharemos a resolução de forma iterativa para sistemas
lineares. Esse fato é de muita importância, pois, muitas vezes, sistemas lineares não são
resolvidos de forma analítica, e dessa forma, teremos de usar métodos numéricos. Nesta
unidade, apresentaremos o método de Jacobi e método de Gauss Seidel. Esses métodos usarão
como base um “chute” inicial, e, após, serão usados métodos de recorrência, para a resolução do
sistema.
2x2 3x3
Recordando:
Dizemos que ( é solução de um sistema linear com equações quando (
 é solução de cada uma das equações do sistema linear.
Vamos ver um exemplo:
Dado o sistema linear a seguir, mostre que é solução do sistema linear:
Veri�cando:
Como pudemos veri�car, o trio é solução do sistema linear, pois satisfez as três
equações.
Em estudos anteriores, vimos dois métodos de resolução de um sistema linear e , que
foram a regra de Crammer e o método de Gauss-Jordam.
Neste modulo, veremos a interpretação geométrica dos sistemas lineares e dois métodos
iterativos, para a resolução do sistema.
InterpretaçãoInterpretação
Geométrica dosGeométrica dos
Sistemas LinearesSistemas Lineares
,   ,   … ,   )  ∈ Rα1 α2 αn n
,   ,   … ,   )α1 α2 αn
(2,   − 1,  4)
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
2x + 3y + 5z = 21
3x − 1y + 4z = 23
−4x + 2y − 6z = −34
2. (2) + 3. (−1) + 5. (4) = 4 − 3 + 20 = 21    
3. (2) − 1. (−1) + 4. (4) = 6 + 1 + 16 =  23   
−4. (2) + 2. (−1) − 6. (4) = −8 − 2 − 24 = −34
(2,   − 1,  4)
2x 3x3
Interpretação Geométrica de um Sistema
Linear 2x2
Os pares ordenados de números reais que são solução de uma equação linear com duas
incógnitas determinam, no grá�co, uma reta. A intersecção das retas das equações do sistema
determina sua solução, se existir.
Veja, a seguir, a representação geométrica dos três sistemas lineares e, analisando os grá�cos,
classi�que como SI (Sistema Impossível) SPD (Sistema Possível e Indeterminado) ou SPI (Sistema
Possível e Indeterminado).
Para representar cada uma das retas no plano cartesiano, basta determinar pares ordenados que
satisfaçam cada uma das equações:
Na Figura 3.1, as retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado, que é a solução
do sistema solar, e essa solução é indicada na intersecção das duas retas.
Na Figura 3.2, as retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução
do sistema linear (SI).
{
3x − y = 10  → (4, 2) ,   (2,   − 4)    
2x + 5y = 1  → (−2, 1) ,   (3, −1)
Figura 3.1 - Retas concorrentes
Fonte: Elaborada pelo autor.
{
x − 2y = 5  → (1, −2) , (−1, −3)
2x − 4y = 2  → (1, 0) , (3, 1)               
Veja a Figura 3.3:
Na Figura 3.3, as retas coincidentes indicam que existem in�nitos pares ordenados, que são
soluções do sistema linear (SPI).
praticar
Vamos Praticar
Figura 3.2 - Retas paralelas
Fonte: Elaborada pelo autor.
{
2x − 6y = 8  → (4, 0) , (1, −1)   
3x − 9y = 12  → (4, 0) , (1, −1)
Figura 3.3 - Retas coincidentes
Fonte: Elaborada pelo autor.
Usando os conceitos apresentados até aqui, resolva o sistema linear 2x2 a seguir, usando o método da
adição. Classi�que-os quanto ao número de soluções e veri�que a solução encontrada, fazendo a
representação grá�ca do sistema linear.
a) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das
retas, cujas soluções gerais são: e .
Feedback: alternativa correta , pois você provavelmente resolveu o sistema linear por adição e
encontrou e . O grá�co dessas duas funções será retas, que vão se cruzar nesse
ponto.
b) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das
retas, cujas soluções gerais são: e .
c) O sistema tem solução única: e . A solução é representada pela intersecção das
retas, cujas soluções gerais são: e .
d) O sistema não admite solução.
e) O sistema possui in�nitas soluções.
{     3x − 2y = −12
5x + 6y = 8              
x = −2 y = 3
3x − 2y = −12 5x + 6y = 8
x = −2 y = 3
x = 2 y = −3
3x − 2y = −12 5x + 6y = 8
x = 3 y = 1
3x − 2y = −12 5x + 6y = 8
Considerando um sistema linear com três equações e três incógnitas, geometricamente, cada
uma das equações de�ne um plano. O termo ordenado pertence à intersecção entre
os três planos.
Existem oito possibilidades para as posições relativas dos três planos que vamos nomear de
 no espaço.
1ª possibilidade : os três planos coincidentes
Nesse caso, todos os pontos de são solução do sistema; há, portanto, in�nitas
soluções (SPI).
Veja o exemplo a seguir:
Nesse caso, analisando o plano formado pelas três equações, podemos usar qualquer uma das
três equações para determinar uma solução genérica. Usaremos a equação 1.
Algumas possíveis soluções para o sistema que representam
um plano na �gura:
InterpretaçãoInterpretação
Geométrica de umGeométrica de um
Sistema Linear 3x3Sistema Linear 3x3
(x,  y,  z)
,    e π1 π2 π3
P (x,  y,  z) π1
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − 4z = 4
x + y − z = 1      z = x + y − 1Solução = (x,  y,  x + y − 1)
(1,  1,  1) ,   (1,  2,  2) ,   (2,  5,  6) ,
• 2ª possibilidade : dois planos coincidem, e o terceiro é paralelo a eles
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI).
Veja o exemplo a seguir, cuja solução é apresentada na Figura 3.5:
3ª possibilidade: dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta,
como mostrado na Figura 3.6. Nesse caso, todos os pontos da reta
formada pela intersecção dos três planos é solução do sistema linear (SPI).
Como as duas primeiras equações formam o mesmo plano, analisaremos a primeira e a terceira
equações, para determinar a equação da reta e uma solução genérica para o sistema.
   então 
Solução genérica 
Exemplos de solução do sistema , 
Figura 3.4 - Plano formado pela 1ª equação
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − 4z = 7
Figura 3.5 - Dois planos coincidentes e outro paralelo
Fonte: Elaborada pelo autor.
P (x,  y,  z)
     {   
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1   
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − z = 4  
x + y − z = 1. (−4)
4x + 4y − z = 4           
{−4x − 4y + 4z = −4          
4x + 4y − z = 4            
3z = 0    z = 0 4x + 4y = 4    y = 1 − x
(x,  1 − x,  z)
(1,  0,  0) (2,   − 1,  0)
4ª possibilidade : os três planos são paralelos
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI),
como mostrado na Figura 3.7:
Veja o exemplo:
5ª possibilidade: dois planos são paralelos, e o outro os intersecta, formando duas
retas, como mostrado na Figura 3.8.
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI).
Veja o exemplo:
Figura 3.6 - Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 3
4x + 4y − 4z = 7
Figura 3.7 - Três planos paralelos
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − z = 1  
2x + 2y − 2z = 3
4x + 4y − 4z = 4
6ª possibilidade : os três planos são distintos e têm uma reta em comum, como
mostrado na Figura 3.9:
Nesse caso, todos os pontos da reta formada pela intersecção dos três planos são
solução do sistema linear (SPI).
A terceira equação é uma combinação entre a primeira e a segunda equações. Para veri�car,
basta multiplicar a primeira equação por dois e somar com a segunda.
Para determinar uma solução genérica, faremos combinações entre as duas primeiras equações:
Exemplos de solução do sistema 
Figura 3.8 - Dois planos são paralelos, e o outro os intersecta formandoduas retas
Fonte: Elaborada pelo autor.
P (x,  y,  z)
   
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y + z = 1
2x − y + z = 5  
4x + y + 3z = 7
{     3x + 2z = 6    z =  x + y + z = 1
2x − y + z = 5
6 − 3x
2
{        {      − x + 2y = −4    y =x + y + z = 1          
2x − y + z = 5. (−1)
x + y + z = 1
−2x + y − z = −5
x − 4
2
Solu  o   gen  rica (x,   ,   )a~ é x − 4
2
6 − 3x
2
(0,   − 2,  3) (2,   − 1,  0)
7ª possibilidade : os três planos se intersectam, dois a dois, formando três retas
paralelas, como mostrado na Figura 3.10.
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos (SI).
Veja o exemplo:
8ª possibilidade : os três planos têm um único ponto em comum, como mostrado na
Figura 3.11.
Nesse caso, o sistema é possível e determinado, pois existe um único ponto em comum aos três
planos.
Vamos ver um exemplo
Figura 3.9 - Três planos são distintos e têm uma reta em comum
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + y − 3z = 1  
5x + 2y + z = 2  
9x + 3y + 5z = 5
Figura 3.10 - Três planos se intersectam, dois a dois, formando três retas paralelas
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução 
praticar
Vamos Praticar
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Dessa forma, os três planos acima que
vamos designar como e são os planos de�nidos pelas equações do sistema. Assim, as
soluções do referido sistema pertencem à intersecção desses planos.
Usando esses conceitos, assinale a alternativa que corresponda à solução geométrica do seguinte
sistema linear:
             
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + 2y − 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y − z = 13
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x + 2y − 3z = 4
  − y + 10z = −3
             − z = 0
z = 0,  y = 3,  x = −2
(−2,  3,  0)
Figura 3.11 - Três planos têm um único ponto em comum
Fonte: Elaborada pelo autor.
⎡
⎣
⎢
+ + =a11x1 a12x2 a13x3 b1
+ + =a21x1 a22x2 a23x3 b2
+ + =a31x1 a32x2 a33x3 b3
,  π1 π2 π3
a) Os três planos coincidem. Nesse caso, o sistema é indeterminado e qualquer ponto dos planos
é uma solução do sistema.
b) O sistema é impossível. Nesse caso, dois planos coincidem, e o terceiro plano é paralelo a eles.
c) Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Nesse caso, o sistema é
indeterminado, e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
d) Os três planos são paralelos. Nesse caso, o sistema é impossível.D.
Feedback: alternativa correta , pois você encontrou os vetores normais dos planos formados pelas
três equações. Isso pode ser veri�cado pelos vetores normais das três equações: (1,2,-1), (2,4,-2) e
(3,6,-3).
e) Os planos formados pelas duas primeiras equações são paralelos, e o plano formado pela
terceira equação os intersecta segundo duas retas paralelas. Nesse caso, o sistema é impossível.
⎡
⎣
⎢
x + 2y − z = 3
2x + 4y − 2z = 4
3x + 6y − 3z = 5
Nesta seção, apresentaremos os métodos iterativos para a resolução de sistemas lineares.
Faremos uma pequena introdução aos métodos iterativos e, após, apresentaremos os métodos
de Gauss Jacobi e Gauss Seidel.
Introdução dos Métodos Iterativos
Os métodos iterativos consistem em transformar um sistema linear em que:
 matriz dos coe�cientes do sistema linear, 
 matriz das variáveis, 
 matriz dos termos constantes, 
Solução
Em um sistema do tipo em que é matriz e matriz 
Observamos que é uma função de iteração dada na forma matricial.
E, dessa forma, podemos iniciar o esquema iterativo.
Partindo de (aproximação inicial) podemos construir a seguinte sequência:
Métodos IterativosMétodos Iterativos
Ax = b
A = n x n
x = n x 1
b = n x 1
x = Mx + c M n x n c n x 1
φ (x) = Mx + c
x(0)
A próxima iteração é sempre calculada usando o valor da iteração anterior.
Teste de Parada
O processo iterativo é repetido até que a matriz solução do sistema linear seja
su�cientemente próxima da matriz 
Medimos essa distância por 
Assim, dada uma precisão , a matriz será escolhida como resposta aproximada da solução
exata do sistema linear se 
Podemos, também, efetuar o cálculo utilizando o teste do erro relativo:
Método de Gauss – Jacobi
A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear em um sistema
 é a seguinte:
Vamos pegar um sistema genérico n x n
Primeira
Iteração
x (1) = C.x(0) + g = φ(x (0))
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x(k)
x(k−1)
=   −d(k) max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(k)
i x
(k−1)
i
∣
∣
ε x(k)
< εd(k)
=d(k)r
d(k)
 max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(k)
i
∣
∣
Ax = b
x = Mx + c
Inicialmente, temos de supor isolamos o da diagonal principal
Para fazer os passos da iteração, usaremos o valor determinado no passo anterior e, portanto,
teremos:
Condição de Convergência
Considere o sistema linear
Vamos ver três critérios para analisar a convergência do sistema por método iterativo. Esses
critérios estabelecem apenas condições su�cientes.
1. Critério da soma por linha
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições
não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
+ + … + =a11x1 a12x2 a1nxn b1
+ + … + =a21x1 a22x2 a2nxn b2
    ⋮           ⋮                 ⋮          ⋮             ⋮ 
+ + … + =an1x1 an2x2 annxn bn
A =                      x =                      b =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
a11
a21
⋮
an1
a12
a22
⋮
an2
… a1n
… a2n
⋮
…
⋮
ann
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
x1
x2
⋮
xn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
b1
b2
⋮
bn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
≠ 0 ,  i = 1, … ,  naii x
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= . ( − − − … − )x1 1a11 b1 a12x2 a13x3 a1nxn
= . ( − − − … − )x2 1a22 b2 a21x1 a23x3 a2nxn
⋮           ⋮           ⋮           ⋮           ⋮
= . ( − − − … − )xn 1ann bn an1x1 an2x2 an,n−1xn−1
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= . ( − − − … − )x1(k+1) 1a11 b1 a12x2
(k) a13x3
(k) a1nxn
(k)
= . ( − − − … − )x2(k+1) 1a22 b2 a21x1
(k) a23x3
(k) a2nxn
(k)
⋮                 ⋮                  ⋮           ⋮              ⋮
= . ( − − − … − )xn(k+1) 1ann bn an1x1
(k) an2x2
(k) an,n−1xn−1
(k)
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
+ + =a11x1 a12x2 a13x3 b1
+ + =a21x1 a22x2 a23x3 b2
+ + =a31x1 a32x2 a33x3 b3
  ≥ +                    ≥ +                   ≥ +  a11 a12 a13 a22 a21 a23 a33 a31 a32
2. Critério da soma por colunas
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições
não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
3. Critério de Sassenfeld
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das condições
não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
Exemplo: mostre que, mesmo permutando a ordem das equações, o critério da soma por linhas e
por colunas não garante a convergência do sistema, mas o critério de Sassenfeld satisfaz a
condição de convergência.
Vamos permutar as equações, para tentar deixar os maiores valores de cada equação na posição
Critério da soma por linha não satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
Critério da soma por colunas não satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
O critério de Sassenfeld satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
1. Determine a solução do sistema linear a seguir, com :
  ≥ +                    ≥ +                   ≥ +a11 a21 a31 a22 a12 a32 a33 a13 a23
= + < 1          = . + < 1          = . + . < 1β1
∣
∣
∣
a12
a11
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a13
a11
∣
∣
∣ β2
∣
∣
∣
a21
a22
∣
∣
∣ β1
∣
∣
∣
a23
a22
∣
∣
∣ β3
∣
∣
∣
a31
a33
∣
∣
∣ β1
∣
∣
∣
a32
a33
∣
∣
∣ β2
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
3 + 3 − 5 = 2   x1 x2 x3
10 + 3 + 2 = −20x1 x2 x3
2 + 5 − 3 = 10 x1 x2 x3
,   ,  a11 a22 a33
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
10 + 3 + 2 = −20   x1 x2 x3
2 + 5 − 3 = 10    x1 x2 x3
3 + 3 − 5 = 2      x1 x2 x3
10 > 3 + 2  (v)        5 > 2 + 3  (f)     5 > 3 + 3  (f)
10 > 2 + 3  (v)     5 > 3 + 3  (f)     5 > 3 + 2  (f)
= + =     <  1                                                         = . + = < 1β1
∣
∣
∣
3
10
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2
10
∣
∣
∣
1
2
β2
∣
∣
∣
2
5
∣
∣
∣
1
2
∣
∣
∣
−3
5
∣
∣
∣
4
5
= . + . = < 1β3
∣
∣
∣
3
−5
∣
∣
∣
1
2
∣
∣
∣
3
−5
∣
∣∣
4
5
39
50
ε < 0, 05
Inicialmente, veri�caremos as condições de convergência:
O sistema atende à condição da soma por linha.
Inicialmente, devemos isolar na primeira equação, na segunda equação e na terceira
equação.
Se adotarmos como solução inicial teremos:
Para pularmos essa primeira iteração, podemos sempre adotar a solução inicial como sendo:
Prosseguindo vamos fazer a segunda iteração
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
10 + 2 + = 7x1 x2 x3
+ 5 + = −8x1 x2 x3
2 + 3 + 10 = 6x1 x2 x3
10 > 2 + 1          5 > 1 + 1          10 > 2 + 3
x1 x2 x3
= . (7 − 2 − )   x1
1
10
x2 x3
= . (−8 − − )x2
1
5
x1 x3
= . (6 − 2 − 3 )   x3
1
10
x1 x2
= ,x(0)
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2.0 − 0) = 0, 7 x1
(1) 1
10
= . (−8 − 0 − 0) =   − 1, 6x2(1)
1
5
= . (6 − 2.0 − 0) = 0, 6 x3(1)
1
10
=x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 6
0, 6
⎤
⎦
⎥
=     = =           = =          =   =  x(0)
bi
aii
x
(0)
1
b1
a11
7
10
x
(0)
2
b2
a22
−8
5
x
(0)
3
b3
a33
6
10
= . (7 − 2. (−1, 6) − 0, 6) =  0, 96x1(2)
1
10
Teremos de fazer mais uma iteração:
Teremos de fazer mais uma iteração:
= . (−8 − 0, 7 − 0, 6) =   − 1, 86x2(2)
1
5
= . (6 − 2.0, 7 − 3. (−1, 6)) = 0, 94x3(2)
1
10
=               =      −   =  x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 6
0, 6
⎤
⎦
⎥ x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 96
−1, 86
0, 94
⎤
⎦
⎥ ∣∣x(2) x(1)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 26
0, 26
0, 34
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 1827 > 0, 05d(2)r
d(2)
 max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(2)
i
∣
∣
0, 34
1, 86
= . (7 − 2. (−1, 86) − 0, 94) =  0, 978  x1
(3) 1
10
= . (−8 − 0, 96 − 0, 94) =   − 1, 98x2
(3) 1
5
= . (6 − 2.0, 96 − 3. (−1, 86)) =  0, 966x3(3)
1
10
=               =      −   =  x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 96
−1, 86
0, 94
⎤
⎦
⎥ x(3)
⎡
⎣
⎢
0, 978
−1, 98
0, 966
⎤
⎦
⎥ ∣∣x(3) x(2)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 018
0, 12
0, 026
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 06O6 > 0, 05d(3)r
d(3)
 max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(3)
i
∣
∣
0, 12
1, 98
= . (7 − 2. (−1, 98) − 0, 966) =  0, 9994  x1(4)
1
10
= . (−8 − 0, 978 − 0, 966) =   − 1, 9888 x2(4)
1
5
= . (6 − 2.0, 978 − 3. (−1, 98)) = 0, 9984 x3(4)
1
10
=                =     −   =  x(3)
⎡
⎣
⎢
0, 978
−1, 98
0, 966
⎤
⎦
⎥ x(4)
⎡
⎣
⎢
0, 9994
−1, 9888
0, 9984
⎤
⎦
⎥ ∣∣x(4) x(3)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 0214
0, 0088
0, 0324
⎤
⎦
⎥
= =     ≅0, 01629 < 0, 05d(4)r
d(4)
 max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(4)
i
∣
∣
0, 0324
1, 9888
Portanto, a solução aproximada do sistema linear é .
praticar
Vamos Praticar
Vimos que um dos métodos de resolução de sistemas lineares são os métodos iterativos. Nessa
metodologia, devemos escolher valores iniciais para fazer a convergência do cálculo iterativo. Também,
devemos levar em conta a convergência do sistema linear.
Pelo critério de linhas, assinale a alternativa que indica o intervalo de k, para que exista a convergência
do sistema apresentado:
a) .
b) .
c) .
d) .
Feedback: alternativa correta , pois provavelmente, você utilizou a condição de convergência nas
linhas para encontrar a solução.
e) .
x =
⎡
⎣
⎢
0, 9994
−1, 9888
0, 9984
⎤
⎦
⎥
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
k + 3 + = 1x1 x2 x3
k + 6 = 2x1 x2
+ 6 + 8 = 3x1 x2 x3
1 < k < 3
2 < k < 4
3 < k < 7
4 < k < 6
8 < k < 10
Inicialmente, o método de Gauss-Seidel é exatamente igual ao método de Gauss-Jacobi, ou seja, o
processo iterativo consiste em sendo uma aproximação inicial, calcular
 até atingir uma resposta em que o erro relativo seja menor do que o erro
estipulado.
A diferença no processo iterativo de Gauss-Seidel consiste em usar valores já conhecidos de ,
portanto, no momento de se calcular usamos todos os valores que já
foram calculados e os valores restantes.
Vamos pegar como exemplo o mesmo problema proposto anteriormente e resolvido pelo
método de Gauss-Jacobi.
Exemplo: determine a solução do sistema linear a seguir, com 
Inicialmente, devemos isolar na primeira equação, na segunda equação e na terceira
equação.
Método de Gauss-SeidelMétodo de Gauss-Seidel
x(0)
,    , … ,  x(1) x(2) x(k)
x(k)
x
(k+1)
j ,   … ,  x
(k+1)
1 x
(k+1)
j−1
,   … ,  x(k)j+1 x
(k)
n
ε < 0, 05 :
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
10 + 2 + = 7x1 x2 x3
+ 5 + = −8x1 x2 x3
2 + 3 + 10 = 6x1 x2 x3
x1 x2 x3
= . (7 − 2 − )   x1
1
10
x2 x3
= . (−8 − − )x2
1
5
x1 x3
= . (6 − 2 − 3 )   x3
1
10
x1 x2
Se adotarmos como solução inicial teremos:
Agora vem a diferença no método de Gauss-Seidel, pois para calcular já usaremos o
 já encontrado no passo anterior.
Para calcular o , vamos utilizar os valores já calculados acima e
.
Portanto, essa é a diferença do método de Gauss-Seidel: os valores que já foram calculados são
usados na própria iteração.
Vamos fazer mais uma iteração:
Teremos de fazer mais uma iteração:
= ,x(0)
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2.0 − 0) = 0, 7 x1(1)
1
10
x2
(1),
= 0, 7,x1(1)
= . (−8 − 0, 7 − 0) =   − 1, 74x2(1)
1
5
x3
(1) = 0, 7x1(1)
=   − 1, 74x2(1)
= . (6 − 2.0, 7 − 3. (−1, 74)) = 0, 982  x3(1)
1
10
=x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 74
0, 982
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2. (−1, 74) − 0, 982) =  0, 9498x1(2)
1
10
= . (−8 − 0, 9498 − 0, 982) =   − 1, 98636x2(2)
1
5
= . (6 − 2.0, 9498 − 3. (−1, 98636)) = 1x3(2)
1
10
=               =      −   =  x(1)
⎡
⎣
⎢
0, 7
−1, 74
0, 982
⎤
⎦
⎥ x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 9498
−1, 98636
1, 005948
⎤
⎦
⎥ ∣∣x(2) x(1)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 2498
0, 24636
0, 023948
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 1258 > 0, 05d(2)r
d(2)
 max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(2)
i
∣
∣
0, 2498
1, 98636
Portanto, a solução aproximada do sistema linear é 
Para concluir, o método de Gauss-Seidel e o método de Gauss-Jacobi são algoritmos utilizados
para determinar soluções aproximadas para um sistema linear tão próximas quanto for desejado.
O método de Gauss-Seidel foi criado para convergir mais rapidamente, pois na própria iteração já
utiliza os valores calculados. Isso acontece com a grande maioria dos sistemas, mas não sempre.
=x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 9498
−1, 98636
1, 005948
⎤
⎦
⎥
= . (7 − 2. (−1, 98636) − 1, 005948) =  0, 9966772  x1(3)
1
10
= . (−8 − 0, 9966772 − 1, 005948) =   − 2, 000525x2(3)
1
5
= . (6 − 2.0, 9966772 − 3. (0, 9966772)) =  1, 0008221x3
(3) 1
10
=               =      −   =  x(2)
⎡
⎣
⎢
0, 9498
−1, 98636
1, 005948
⎤
⎦
⎥ x(3)
⎡
⎣
⎢
0, 9966772
−2, 000525
1, 0008221
⎤
⎦
⎥ ∣∣x(3) x(2)∣∣
⎡
⎣
⎢
0, 0468772
0, 014165
0, 0051259
⎤
⎦
⎥
= =   ≅0, 023 < 0, 05d
(2)
r
d(2)
 max1 ≤ i ≤ n ∣∣x
(2)
i
∣
∣
0, 0468772
2, 000525
x =
⎡
⎣
⎢
0, 9966772
−2, 000525
1, 0008221
⎤
⎦
⎥
saiba mais
Saiba mais
Os métodos iterativos são vastamente investigados na
área de computação para a veri�cação de qual método
pode ser mais e�ciente do ponto de vista computacional.
Para ter um entendimento melhor, você pode ler o artigo
“Paralelização e comparação de métodos iterativos na
solução de sistemas lineares grandes e esparsos”.
Fonte: Adaptado de Barroso (1987).
ACESSAR
http://www.forscience.ifmg.edu.br/forscience/index.php/forscience/article/view/18
Vamos ver mais um exemplo de resolução do sistema linear usando o método de Gauss-Seidel.
Exemplo: veri�que a convergência e, caso seja satisfeita, obtenha a solução pelo método de
Gauss-Seidel com erro absoluto inferior a .
Critério da soma por linha não satisfaz.
Critério da soma por colunas não satisfaz.
Critério de Sassenfeld:
Critério de Sassenfeld é satisfeito, pois 
O sistema converge:
reflita
Re�ita
Tente aplicar essa técnica de método iterativo
para resolver os sistemas lineares do bloco 2. Veja
se encontra as mesmas soluções com os outros
métodos diretos e re�ita sobre a resolução.
10−3
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
5x + y + z = 5     
3x + 4y + z = 6  
3x + 3y + 6z = 0
5 > 1 + 1                4 > 3 + 1  (f)
5 > 3 + 3  (f)
= + = 0, 4  < 1                                           = .0, 4 + = 0, 55  < 1         β1
∣
∣
∣
1
5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
5
∣
∣
∣ β2
∣
∣
∣
3
4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
∣
∣
∣
= .0, 4 + .0, 55 = 0, 475 < 1β3
∣
∣
∣
3
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3
6
∣
∣
∣
< 1      < 1      < 1β1 β2 β3
            =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x = . (5 − y − z)      15
y =   . (6 − 3x − z)  14
z =   . (−3x − 3y)   16
x̄(0)
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
E assim sucessivamente, até que o erro absoluto seja menor do que .
Lembrando que o erro absoluto é calculado por .
Vamos, agora, utilizar o Excel para resolver oproblema proposto.
Inicialmente, devemos escrever o sistema linear da seguinte forma:
Agora, passemos ao Excel:
1° passo – criar a tabela a seguir no Excel, em que é o chute inicial:
         =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
= . (5 − 0 − 0) = 1                       x(1) 15
=   . (6 − 3.1 − 0) = 0, 75            y(1) 14
=   . (−3.1 − 3.0, 75) = −0, 875  z(1) 16
x̄(1)
⎡
⎣
⎢
1
0, 75
−0, 875
⎤
⎦
⎥
         =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
= . (5 − 0, 75 − (−0, 875)) = 1, 025  x(2) 15
=   . (6 − 3.1, 025 − (−0, 875)) = 0, 95 y(2) 14
=   . (−3.1, 025 − 3.0, 95) = −0, 9875    z(2) 16
x̄(2)
⎡
⎣
⎢
1, 025
0, 95
−0, 9875
⎤
⎦
⎥
10−3
−x̄(k) x̄(k−1)
= . (5 − − )x(k+1) 15 y
k zk
=   . (6 − 3 − )y(k+1) 14 x
(k+1) zk
=   . (−3 − 3 )z(k+1) 16 x
(k+1) y(k+1)
k = 0
Figura 3.12 - Chute inicial para o processo iterativo
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 3.13 - Digitar 
Fonte: Elaborada pelo autor.
= . (5 − − )x(k+1) 15 y
k zk
Figura 3.14 - Digitar 
Fonte: Elaborada pelo autor.
=   . (6 − 3 − )y(k+1) 14 x
(k+1) zk
Figura 3.15 - Digitar 
Fonte: Elaborado pelo autor.
=   . (−3 − 3 )z(k+1) 16 x
(k+1) y(k+1)
Aqui, já podemos veri�car a primeira iteração e comparar com o resultado obtido acima:
Na sexta linha, já é possível obter a resposta com um erro absoluto menor do que , como
proposto no exercício.
Figura 3.16 - Primeira iteração
Fonte: Elaborada pelo autor.
         =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
= . (5 − 0 − 0) = 1                       x(1) 15
=   . (6 − 3.1 − 0) = 0, 75            y(1) 14
=   . (−3.1 − 3.0, 75) = −0, 875  z(1) 16
x̄(1)
⎡
⎣
⎢
1
0, 75
−0, 875
⎤
⎦
⎥
Figura 3.17 - Digitando o erro 
Fonte: Elaborada pelo autor.
−∣∣xk+1 xk ∣∣
Figura 3.18 - Arrastar toda a linha 1 para as outras linhas
Fonte: Elaborada pelo autor.
10−3
praticar
Vamos Praticar
Resolva o sistema linear a seguir no Excel, usando o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com erro
absoluto , determinando o número de iterações para cada método.
a) Gauss-Jacobi = 10 ; Gauss-Seidel= 9
b) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 9
c) Gauss-Jacobi = 13 ; Gauss-Seidel= 7
d) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 7
Feedback: alternativa correta , pois você provavelmente deve ter usado o Excel e encontrado a
resposta do item. Lembrando que, no método de Gauss-Seidel, o cálculo converge muito mais
rápido.
e) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 8
ε <    10−4
               =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
7x + 3y + 2z + w = 13, 5        
2x + 10y + 3z − 2w = −24, 5
x − y + 11z − 3w = 16        
−x + 2y − 3z + 8w = 3            
x̄(0)
⎡
⎣
⎢⎢⎢
0
0
0
0
⎤
⎦
⎥⎥⎥
indicações
Material
Complementar
FILME
O jogo da imitação
Ano: 2015
Comentário: Filme que conta a história de Alan Turing, um cientista
que ajudou a decifrar os códigos que os alemães usam para se
comunicarem com os submarinos. O mais interessante é como ele
programava o computador, para tentar decifrar esses códigos.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer , disponível.
TRA ILER
LIVRO
Guia Mangá. Álgebra Linear
Shin Takahashi
Editora: Novatec
ISBN: 8575222937
Comentário: Uma maneira divertida para aprender álgebra.
Basicamente, nesse mangá, um personagem que conhece Matemática
tem de ensinar álgebra para uma menina. Se ele conseguir fazer isso,
poderá entrar para o clube de caratê.
conclusão
Conclusão
Neste capítulo, aprendemos a resolver e a interpretar as soluções de sistemas lineares 2x2 e 3x3 .
Lembrando que no sistema 2x2 teremos duas retas e no sistema 3x3 , três planos. Também,
apresentamos o método de resolução do sistema linear pelo método iterativo. Nesses métodos,
temos de começar com um “chute” inicial e, depois, fazemos as iterações, até a convergência.
Vimos dois métodos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Veri�camos que o método de Gauss-Seidel é
mais rápido de convergir do que o de Gauss-Jacobi.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
DORNELLES FILHO, A. A. Fundamentos de cálculo numérico . Porto Alegre: Editora Bookman,
2016.