Exercícios de Álgebra Linear

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Matemática
Mestrado Integrado em Ciências Farmacêuticas
Ano Lectivo 2025/2026 – 1o Semestre
Exerćıcios propostos para as aulas teórico-práticas
IV. Álgebra Linear
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemática - MICF IV. Álgebra Linear
1 Matrizes
1. Considere as matrizes A =
 1 2 3
2 3 1
3 1 2
 e B =
 −1 0 −1
2 3 1
1 2 0
 .
Calcule a matriz 2(A+B)−AB.
2. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:
(a) A =
 1 2 −1
2 0 2
3 1 3
 e B =
 2 1
0 3
4 2
 , (b) A =
[
1 0 −1
]
e B =
 3
2
1
 ,
(c) A =
 1 2 −2
−2 1 2
−2 −4 4
 e B =
 6 3 2
2 1 2/3
5 5/2 5/3
 .
3. Considere as matrizes
A =
[
1 0 1
−1 1 1
]
, B =
[
−1 1
1 −1
]
, C =
[
1
2
]
, D =
 1 0
0 1
1 1
 .
Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja
definido e calcule esse produto.
4. Sejam α e β números reais, calcule o produto
[
cosα − sinα
sinα cosα
][
cosβ − sinβ
sinβ cosβ
]
.
5. Verifique que as identidades algébricas (A+B)2 = A2 +2AB+B2, (A−B)2 = A2−2AB+B2,
(A + B)(A − B) = A2 − B2 e (AB)2 = A2B2 nem sempre são verdadeiras quando A e B são
matrizes.
6. Ache todas as matrizes permutáveis com A, sendo:
(a) A =
[
2 0
0 3
]
; (b) A =
[
1 2
−1 −1
]
; (c) A =
[
1 1
0 1
]
; (d) A =
 1 0 0
0 1 0
3 1 2
 .
7. Em cada uma das aĺıneas dê exemplos de matrizes reais 2× 2 com a propriedade indicada:
(a) A2 = −I;
(b) A2 = 0, sendo A não nula;
(c) AB = 0, não tendo A nem B nenhum elemento nulo.
8. (a) Ache a inversa da matriz
[
2 3
5 7
]
.
(b) Calcule
[
17 −6
35 −12
]5
usando a igualdade
[
17 −6
35 −12
]
=
[
2 3
5 7
][
2 0
0 3
][
−7 3
5 −2
]
.
1
Matemática - MICF IV. Álgebra Linear
9. Sejam A =
[
1 −1 2
0 3 4
]
, B =
[
4 0 −3
−1 −2 3
]
e C =
 2
−1
3
.
(a) Indique AT , BT e CT .
(b) Calcule 3A− 4B, BC, (AC)T e CTC.
(c) É posśıvel calcular AB? Justifique.
10. Considere as matrizes A =
[
1 0
0 2
]
, B =
[
1 1
0 −2
]
e C =
1 0 0
2 3 0
1 1 2
.
(a) Determine a matriz D que verifica a equação matricial A−1DB−1 = AT .
(b) Calcule a inversa de C.
11. Anualmente, numa certa cidade divorciam-se 30% das mulheres casadas e 20% das mulheres
solteiras casam-se. Suponhamos que existem 8.000 mulheres casadas e 2.000 mulheres solteiras.
(a) Assumindo que a população feminina se mantém constante, quantas mulheres casadas e
quantas mulheres solteiras existirão na cidade passado um ano? E passados dois anos?
(b) Escreva na forma matricial uma fórmula que lhe permita calcular quantas mulheres casadas
e quantas mulheres solteiras existirão na cidade passados um número qualquer de anos.
2 Sistemas de equações lineares
12. Resolva pelo método de eliminação de Gauss o sistema de equações{
x− y = 0
x+ 2y = 6
e desenhe no plano xy as duas rectas cujas equações são as indicadas. Desenhe também a recta
que aparece depois da eliminação.
13. Resolva os seguintes sistemas, quando posśıveis, usando o método de eliminação. Registe os
pivots utilizados e as operações que efectuou com as equações.
(a)

x1 + x2 + x3 = 0
x1 + x2 + 3x3 = 0
3x1 + 5x2 + 7x3 = 0
(b)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 3
3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4 = 0
(c)

x1 + x2 + x3 = 11
x1 + x2 + 3x3 = 23
3x1 + 5x2 + 7x3 = 30
(d)

x1 + x2 + x3 = 10
x1 + x2 + 3x3 = 23
3x1 + 5x2 + 7x3 = 30
(e)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 3
3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4 = 0
3x1 + 5x2 + 9x3 + 4x4 = 3

x1 +x2 = 1
x1 +x2 +x3 = 4
x2 +x3 +x4 = −3
x3 +x4 +x5 = 2
x4 +x5 = −1
2
Matemática - MICF IV. Álgebra Linear
(f)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 3
3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4 = 0
3x1 + 5x2 + 9x3 + 4x4 = 2
(g)

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2
x1 + 2x2 − x3 − x5 = −3
x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 10
x2 − x3 + x4 − 2x5 = −5
2x1 + 3x2 − x3 + x4 + 4x5 = 1
14. Determine os valores de α para os quais o sistema{
αx+ y = 1
x+ αy = 1
(i) não tem solução; (ii) tem uma solução; (iii) tem uma infinidade de soluções.
15. Considere o sistema de equações onde β é um parâmetro real:
x+ βy + βz = 0
βx+ y + z = 0
x+ y + βz = β2
(a) Discuta o sistema em função de β.
(b) Considere o sistema homogéneo associado a β = 0 e determine a solução (ou soluções) do
sistema.
16. Determine o parâmetro α ∈ R de modo que o sistema
x+ y + αz = 2
2x+ y + z = α
x+ 2y − z = 1
seja imposśıvel.
17. Em função do parâmetro real p, discuta a natureza do sistema
x+ y + z = p+ 1
x+ py + z = 1
px+ y = p+ 2p2
18. Podemos misturar, sob certas condições, tolueno C7H8 e ácido ńıtrico HNO3 para produzir
trinitrotolueno C7H5O6N3 (vulgarmente conhecido por TNT) juntamente com água H2O. Em
que proporções devem os componentes ser misturados? (Nota: O número de átomos presentes
mantém-se constante ao longo da reacção).
19. Numa fábrica são produzidos chocolates do tipo X,Y e Z. Pretende-se saber os números x, y
e z de chocolates do tipo X,Y e Z, respectivamente, produzidos por dia, sabendo que:
(a) A produção diária de chocolates é de 10.000 unidades.
(b) Metade da produção diária de chocolates é do tipo X.
(c) O custo da produção de um chocolate do tipo X é de 1e, do tipo Y é de 2e e do tipo Z
é de 3e. O custo total da produção diária é de 17.000e
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Matemática - MICF IV. Álgebra Linear
20. Um cientista colocou três estirpes de bactérias (denotadas I,II e III) num tubo de teste, onde são
colocados três tipos diferentes de alimentos (denotados A,B e C). Em cada dia, 2300 unidades
de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C são colocadas no tubo de teste e cada bactéria
consome uma certa quantidade de unidades de cada um dos alimentos dispońıveis, de acordo
com a seguinte tabela:
Estirpe I Estirpe II Estirpe III
Alimento A 2 2 4
Alimento B 1 2 0
Alimento C 1 3 1
Indique a quantidade mı́nima de bactérias de cada estirpe que deve existir no tubo de teste de
modo a que a comida seja totalmente consumida.
21. Um farmacêutico tem duas soluções que contêm diferentes concentrações de um certo medica-
mento. Numa das soluções, a concentração é de 12,5%, e na outra a concentração é de 5%. Use
o método de eliminação de Gauss para determinar quantos cent́ımetros cúbicos de cada uma
das soluções devem ser misturados para se obter 20 cent́ımetros cúbicos de solução a 8% de
concentração.
3 Método dos mı́nimos quadrados
22. (a) Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema
x1 = 1
x2 = 1
x1 + x2 = 0.
(b) Designando por A a matriz do sistema, por b o vector dos segundos membros, e por x a
solução encontrada, calcule o erro ‖Ax− b‖.
23. Mesmo exerćıcio para o sistema 
x1 + 2x2 = 1
2x1 + 5x2 = 0
3x1 + 7x2 = 2.
24. Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema (com m equações e uma
incógnita) x = β1, x = β2, . . . , x = βm.
25. Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados, e o respetivo erro, dos seguintes siste-
mas:
(a)

x1 + 8x2 + 6x3 = −2
x1 + 7x2 + 5x3 = 3
−2x1 − 9x2 + 5x3 = 7
x1 + 12x2 + 20x3 = 0
. (b)

x+ y + z = 1
x+ 2y + 2z = 2
y − z = 0
x = 1
.
26. Determine a linha recta que melhor se ajusta, no sentido dos mı́nimos quadrados, aos seguintes
pontos (e represente graficamente):
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Matemática - MICF IV. Álgebra Linear
(a) (0, 0), (1, 0), (3, 12);
(b) (−1, 2), (1,−3), (2,−5), (0, 0);
(c) (0, 0), (5, 0), (2, 1), (3,−1);
(d) (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1);
(e) (0, 3), (1, 5), (2, 8), (3, 9), (4, 12).
27. Ache uma fórmula geral para o declive e a ordenada na origem da recta que melhor se ajusta,
no sentido dos mı́nimos quadrados, aos pontos (α1, β1), . . . , (αm, βm).
28. Determine a parábola y = α + βx + γx2 que melhor se aproxima no sentido dos mı́nimos
quadrados aos pontos (−1, 1), (0,−1), (1,0) e (2, 2).
29. A pressão arterial sistólica p (em miĺımetros de mercúrio) de uma criança saudável com peso w
(em quilogramas) é dada, de forma aproximada, pela equação
p = a+ b lnw.
Use os seguintes dados experimentais
w 20 28 37 51 59
p 91 99 104 108 111
para estimar a pressão arterial sistólica de uma criança de 45 quilogramas.
30. Numa farmácia pretende-se comprar 70 caixas no conjunto de dois medicamentos, A e B, que
têm o mesmo prinćıpio ativo, de tal modo que as caixas de B sejam o dobro das caixas de A.
Cada caixa de A custa 1 euro, cada caixa de B custa 2 euros e a Farmácia pretende gastar
105 euros. Determine, no sentido dos mı́nimos quadrados, quantas caixas de cada medicamento
deve a Farmácia comprar.
31. A tabela mostra a evolução ao longo do tempo (t) do comprimento de uma mancha de óleo (x).
t 0 1 2 3
x 1 2 3 3
Calcule a reta que permite estimar a evolução do comprimento da mancha de óleo em função
do tempo, no sentido dos mı́nimos quadrados.
32. Numa farmácia pretende-se comprar 70 caixas no conjunto de dois medicamentos, A e B, que
têm o mesmo prinćıpio ativo, de tal modo que as caixas de B sejam o dobro das caixas de A.
Cada caixa de A custa 1 euro, cada caixa de B custa 2 euros e a Farmácia pretende gastar
105 euros. Determine, no sentido dos mı́nimos quadrados, quantas caixas de cada medicamento
deve a Farmácia comprar.
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