E-Book Fundamentos da Estatística

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FUNDAMENTOS
DE ESTATÍSTICA
FUNDAMENTOS
DE ESTATÍSTICA
Fundam
entos de Estatística
Marco Alexandre Garcia Sandrini Marco Alexandre Garcia Sandrini 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Nos primórdios dos tempos, a Estatística teve um papel meramente descritivo e servia 
apenas para o registro de fatos do dia a dia, como levantamento da população e da pro-
dução agrícola na China. Suas primeiras atividades datam de 2000 a.C.
Nos tempos atuais, conhecemos como Estatística um conjunto de métodos de pesquisa 
que envolve o planejamento de um certo experimento que podemos realizar, bem como 
a coleta dos dados e o processamento e análise das informações desse experimento.
A Estatística é a parte da matemática que prima em coletar, analisar e organizar dados, 
e fazer a relações entre os fatos analisados. Com essas � nalidades em mãos, elaborar 
todo processo de relacionamento entre os dados para que possamos, no presente ou no 
futuro, de� nir estratégias para qualquer trabalho referente a nossa pesquisa.
Com o avanço da informática, a Estatística é uma ferramenta primordial para o de-
senvolvimento da Economia, da Medicina, da Psicologia, da Linguística etc., como 
você poderá observar no decorrer do curso.
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© Ser Educacional 2019
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Recife-PE – CEP 50100-160
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Jânyo Diniz 
Adriano Azevedo
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Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Introdução à Estatística
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Aspectos introdutórios ........................................................................................................ 13
Objetivos da Estatística .................................................................................................. 13
População e amostra ........................................................................................................... 14
Amostra aleatória ........................................................................................................... 14
Fases do método de análise estatística .......................................................................... 17
Distribuição de frequências ......................................................................................... 19
Intervalos de classe ....................................................................................................... 22
Histogramas e polígono de frequência ........................................................................... 23
Frequência acumulada e relativa ................................................................................ 25
Representação gráfica .................................................................................................. 28
Sintetizando ........................................................................................................................... 29
Referências bibliográficas ................................................................................................. 30
Sumário
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Unidade 2 - Introdução à estatística
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 32
Estatística descritiva ........................................................................................................... 33
Medidas de posição............................................................................................................. 33
Média aritmética ............................................................................................................. 34
Mediana e moda .............................................................................................................. 37
Medidas de dispersão ......................................................................................................... 38
Amplitude .......................................................................................................................... 38
Desvio médio .................................................................................................................... 39
Desvio padrão ................................................................................................................. 40
Variância e coeficiente de variação ........................................................................... 41
Outras estatísticas descritivas ......................................................................................... 41
Mínimo .............................................................................................................................. 42
Máximo ............................................................................................................................. 42
Quartis .............................................................................................................................. 42
Decis e percentis ............................................................................................................ 43
Teoria Elementar da Probabilidade ................................................................................. 44
Eventos independentes, dependentes e mutuamente exclusivos ......................... 47
Valor esperado ................................................................................................................ 50
Probabilidade condicional ................................................................................................ 51
Distribuição discreta e contínua .................................................................................. 51
Distribuição binomial ..................................................................................................... 52
Sintetizando ........................................................................................................................... 53
Referências bibliográficas ................................................................................................. 54
Sumário
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Unidade 3 - Análise combinatória: fundamentos
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 56
Análise combinatória .......................................................................................................... 57
Variáveis aleatórias ......................................................................................................... 63
Testes de hipóteses .............................................................................................................. 64
Teste de diferenças entre médias ................................................................................ 65
Determinação do tamanho da amostra ....................................................................... 69
Teste Qui-quadrado ............................................................................................................. 70
Distribuição T-student ................................................................................................... 73
Distribuição binomial ..................................................................................................... 75
Distribuição F .................................................................................................................. 76
Teste de diferença entre variâncias .............................................................. 78
Sintetizando ........................................................................................................................... 81
Referências bibliográficas ................................................................................................. 82
Sumário
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Unidade 4 - Construção de índices
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 84
Números índices................................................................................................................... 85
Construção de índices simples e compostos ............................................................. 86
Mudança de base de um número índice ..................................................................... 89
Índice de preço ao consumidor ......................................................................................... 89
Deflação ............................................................................................................................ 91
Regressão e correlação ................................................................................................. 93
Teoria da correlação ............................................................................................................ 95
Medidas de correlação ................................................................................................. 96
Mínimos quadrados ....................................................................................................... 98
Erro padrão .................................................................................................................... 101
Variação explicada e não explicada ......................................................................... 102
Equação de regressão ....................................................................................................... 102
Diagrama de dispersão ............................................................................................... 105
Análise de correlação e regressão ........................................................................... 108
Sintetizando ......................................................................................................................... 110
Referências bibliográficas ............................................................................................... 111
Sumário
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Nos primórdios dos tempos, a Estatística teve um papel meramente descri-
tivo e servia apenas para o registro de fatos do dia a dia, como levantamento da 
população e da produção agrícola na China. Suas primeiras atividades datam 
de 2000 a.C.
Nos tempos atuais, conhecemos como Estatística um conjunto de métodos 
de pesquisa que envolve o planejamento de um certo experimento que pode-
mos realizar, bem como a coleta dos dados e o processamento e análise das 
informações desse experimento.
A Estatística é a parte da matemática que prima em coletar, analisar e orga-
nizar dados, e fazer a relações entre os fatos analisados. Com essas fi nalidades 
em mãos, elaborar todo processo de relacionamento entre os dados para que 
possamos, no presente ou no futuro, defi nir estratégias para qualquer traba-
lho referente a nossa pesquisa.
Com o avanço da informática, a Estatística é uma ferramenta primordial 
para o desenvolvimento da Economia, da Medicina, da Psicologia, da Linguísti-
ca etc., como você poderá observar no decorrer do curso.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 9
Apresentação
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Aos meus pais, que apesar de pouca escolaridade sempre me ensinaram a 
sonhar. Aos meus mestres, que sempre me ensinaram como conquistar meus 
sonhos e à minha esposa, que sempre me ajudou a realizar meus sonhos.
O Professor Marco Alexandre Garcia 
Sandrini é especialista em Matemáti-
ca. Graduado em 1996 pela Universida-
de de São Paulo, especialista em Física 
graduado pela FAI. Possui ênfase em 
Estatística pela Faculdade de Matemá-
tica da USP. Elaborador de atividades 
para várias editoras nas áreas de Mate-
mática, Estatística e Física.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 10
O autor
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INTRODUÇÃO À 
ESTATÍSTICA
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Levar o aluno a coletar dados para pesquisa de forma 
correta para produção de dados que retratem a realidade do 
evento;
 Desenvolver seu senso crítico para a realidade
dos eventos;
 Ser capaz de aplicar medidas qualitativas e
quantitativas do evento;
 Desenvolver seu raciocínio lógico.
 Aspectos introdutórios
 Objetivos da Estatística
 População e amostra
 Amostra aleatória
 Fases do método de análise 
estatística
 Distribuição de frequência
 Intervalos de classe
 Histogramas e polígono 
de frequência
 Frequência acumulada e relativa
 Representação gráfica
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Aspectos introdutórios
Nesta parte da Estatística, estudaremos aspectos importantíssimos, 
principalmente para coleta de dados, fazendo a distinção de dados quali-
tativos e quantitativos. Mas, antes de qualquer coisa, precisamos entender 
quais são os objetivos da Estatística enquanto ciência.
Objetivos da Estatística
Para determinar ou estimar uma certa quantidade ou estabelecer uma 
hipótese, utiliza-se métodos estatísticos, que devem ser ao mesmo tempo 
qualitativos e quantitativos, e devem destacar de forma segura o potencial 
da pesquisa, usando técnicas confiáveis e seguras.
Literalmente, a Teoria Estatística é definida em função de uma amos-
tra em que a função por si mesma é única em relação à distribuição que 
gerou o evento. Esse termo é utilizado usualmente tanto para a função 
quanto para o valor numérico da função utilizada a uma dada amostra.
Na parte de estatística descritiva, preocupa-se em fazer a dissertação 
de dados obtidos através da pesquisa, formando, assim, uma tabela ou 
tabulação de todas as informações obtidas durante a fase de coleta.
Quando falamos sobre gráficos, que são uma forma de apresentação 
dos dados e suas respectivas consequências, devemos ressaltar que são a 
forma mais rápida de apresentar o objeto em estudo.Na estatística, temos três grandes divisões: 
1. ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA
DIAGRAMA 1. DIVISÕES
2. ESTATÍSTICA 
INFERENCIAL
3. ESTATÍSTICA DE 
PROBABILIDADE
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 13
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Amostra aleatória
Podemos dizer que a amostragem aleatória é um dos principais méto-
dos usados nas técnicas estatísticas e de probabilidade. Esse método é um 
dos mais populares e serve como base para todos outros métodos de cole-
ta de dados para uma amostragem real e compatível com o fato estudado.
Podemos também definir outro tipo de amostragem, onde to-
dos os elementos que fazem parte do conjunto amostral e estão 
interligados no espaço amostral têm a mesma probabilidade 
de serem usados para o evento.
Dessa forma, o objetivo primaz da estatística é nos fornecer informações 
e modos diferentes de trabalhar com dados coletados (completos ou incom-
pletos), de forma que possamos extrair as informações necessárias para um 
bom estudo da situação apresentada.
População e amostra
Neste tópico, estudaremos as características principais de individualiza-
ção entre população e amostra e suas técnicas de ensaio, além de entender 
mais sobre a amostra aleatória, método muito importante para a Estatísti-
ca. Para isso, vamos introduzir dois conceitos:
POPULAÇÃO
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
AMOSTRA
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
cimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis.
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
AMOSTRA
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão 
compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhe-
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
AMOSTRA
São os subconjuntos de uma população, que são adequados para estudar a 
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
AMOSTRA
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
POPULAÇÃO
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
estudado. Essas pessoas ou itens precisam ter ao menos uma característica 
em comum, para que possamos delimitar nossa pesquisa.
POPULAÇÃO
É o conjunto de pessoas ou itens quaisquer que compõe o universo a ser 
POPULAÇÃO
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 14
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Seria como realizar um sorteio entre os funcionários de um escritório: 
dar a cada funcionário um bilhete com um número de série, colocar os nú-
meros em uma roleta e sortear um número ao acaso. Todos funcionários 
possuem esse bilhete dentro da urna-roleta e formam uma amostra. Na 
verdade, esses métodos podem ser realizados com o uso de computado-res (Figs. 1 e 2).
Figura 1. Diferença entre população e amostra simples. 
Fonte: Saber Matemática, 2014. 
Figura 2. Representação visual da seleção de uma amos-
tra aleatória simples.Fonte: Netquest, 2015.
Devemos levar em consideração que os elementos de uma amostra po-
dem ser usados mais de uma vez. Estamos avaliando com repetição ou sem 
repetição. Ao utilizarmos a forma com repetição, se eu escolho um indivíduo 
ao acaso em um sorteio, isso não me impede de selecioná-lo novamente em 
um sorteio seguinte. Seria igual a dizer que toda vez em que vou sortear um 
número de minha urna ao acaso, eu reponho novamente este número para o 
próximo sorteio. Mas, se nós não usamos a repetição, um número selecionado 
para a amostra só poderá ser usado ou sorteado uma única vez.
O que é melhor, usar a reposição ou não?
 É uma questão lógica. Olhando do ponto de vista de que a técnica nos dá 
dados mais precisos, também permite ter a mesma precisão se utilizamos uma 
amostra menor. Concluímos, então, que a amostragem aleatória e sem reposi-
ção é sempre melhor. Portanto, o tamanho da amostra utilizada quando não 
usamos reposição é sempre menor em relação ao com reposição. 
Se estamos utilizando a reposição e, por acaso, sorteamos um indivíduo mais 
de uma vez na mesma amostra, o fato é igual ao da redução do tamanho da 
amostra, onde vemos uma menor probabilidade de sortearmos indivíduos dife-
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 15
Fundamentos_da_estatística_Uni_01_A5.indd 15 24/09/19 15:33
rentes. Do mesmo jeito, se o nosso conjunto de dados é infinito, 
os dois métodos terão o mesmo valor, uma vez que a chance 
de selecionar o mesmo indivíduo duas vezes no mesmo evento 
tende a ser muito pequena ou quase infinita.
EXEMPLIFICANDO
Imagine uma pesquisa para sabermos o time mais popular do estado de 
São Paulo. Se usarmos como base a pesquisa real, teremos de entrevistar 
todas as pessoas residentes no estado de São Paulo, o que, convenha-
mos, não é impossível, mas a dificuldade que teríamos seria enorme em 
relação à quantidade de pessoas entrevistadas. Portanto, apesar de não 
ser 100% confiável, devemos criar um espaço ou quantidade que possa 
representar com confiança nossa pesquisa, a fim de que possa represen-
tar uma grande porcentagem da realidade do fato a ser estudado.
Por todos esses motivos, podemos ter a plena convicção de que o melhor 
para uma amostragem real é o uso da amostragem sem repetição, para que 
possamos ter cálculos estatísticos que demonstrem bem melhor a realidade 
do evento estudado.
Usando amostra aleatória simples
Com o uso de computadores cada vez mais avançados, é possível retratar uma 
amostra aleatória simples de forma rápida e totalmente confiável. A 
geração de números aleatórios mediante softwares (são 
números estritamente aleatórios) é cada vez mais con-
fiável. Desta forma, ao utilizar MAS (mostra aleatória 
simples), asseguramos a obtenção de amostras re-
presentativas, de modo que uma das únicas chan-
ces de erro que poderá alterar nossos resultados 
será o azar adverso. 
Aspectos negativos da amostra aleatória simples
Um dos aspectos negativos é a dificuldade de se 
aplicar nas pesquisas reais. Por essa técnica ser probabilística, é necessário 
um universo amostral considerando todos os participantes, 
em que todos possam ser selecionados para a amostra. 
O objetivo é de alto grau de dificuldade a ser cumprido, 
pois, na maioria dos estudos reais, nos obrigam a apli-
car outros métodos.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 16
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Fases do método de análise estatística
Para termos um bom trabalho estatístico, devemos ter em mente a seguinte 
problemática: a defi nição do problema visa determinar como a escolha de dados 
pode solucionar um problema, e a coleta de dados busca reunir dados após o 
planejamento do trabalho pretendido, bem como estabelecer a defi nição da pe-
riodicidade da coleta (contínua, periódica, ocasional ou indireta).
As fases do método estatístico devem ser:
1. DEFINIÇÃO DO 
PROBLEMA 
DETERMINAR COMO 
A RECOLHA DE DADOS 
PODE SOLUCIONAR UM 
PROBLEMA.
2. PLANEJAMENTO
ELABORAR COMO FAZER 
O LEVANTAMENTO
 DOS DADOS.
3. COLETA 
DE DADOS
REUNIR DADOS APÓS 
O PLANEJAMENTO DO 
TRABALHO PRETENDIDO, 
BEM COMO DEFINIR A 
PERIODICIDADE 
DA COLETA.
4. CORREÇÃO DOS 
DADOS COLETADOS
CONFERIR DADOS PARA 
AFASTAR ALGUM ERRO 
POR PARTE DA PESSOA 
QUE OS COLETOU.
6. DEMONSTRAÇÃO 
DOS DADOS
MONTAGEM DE 
TABELAS OU GRÁFICOS 
QUE DEMONSTREM O 
RESULTADO DA 
COLETA DOS DADOS.
7. ANÁLISE DOS 
DADOS
VISTA DETALHADA 
QUALITATIVA, 
QUANTITATIVA 
E INTERPRETAÇÃO 
DOS DADOS
5. CONFERÊNCIA 
DOS DADOS
ORGANIZAÇÃO E 
CONTAGEM DOS DADOS.
Para um melhor entendimento, devemos estudar alguns dos itens apresen-
tados de forma um pouco mais efetiva.
Coleta de dados
Por meio de análises feitas para um certo evento, vamos organizar os dados 
obtidos por meio de tabelas.
O passo principal para um procedimento estatístico é o trabalho que envol-
ve os dados de um estudo. Os dados que podemos usar precisam estar defi ni-
dos, sejam eles primários ou secundários.
Para qualquer tipo de levantamento de dados, devemos ter o máximo de cui-
dado durante a coleta de informações. São cometidos grandes erros quando se 
realiza uma coleta de dados e é dada a defi nição errada do público-alvo, como 
distorções nas perguntas e dados insufi cientes.
Dados de pesquisa são os materiais comumente registrados e aceitos na 
comunidade científi ca como necessários para validar os resultados de pesqui-
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 17
Fundamentos_da_estatística_Uni_01_A5.indd 17 24/09/19 15:33
sas. Eles incluem fatos e estatísticas 
recolhidas para posterior referência 
ou análise.
 Recenseamento
Pesquisa que determina o número 
de habitantes de uma região, cidade, 
país etc., especificando-os por sexo, ida-
de, religião, estado civil. Também pode 
ser a relação das pessoas que possuem 
as condições previstas pela lei para pos-
suir certos cargos ou funções (como re-
censeamento eleitoral e recenseamento 
militar). É a ação de listar ou enumerar 
um tipo de população, podendo ser 
também gado ou outros animais.
Organização de dados
Coletar dados é o ato de pesquisar, 
juntar documentos e provas, procurar 
informações sobre um determinado 
tema ou conjunto de temas correlacionados e agrupá-los de forma a facilitar 
uma posterior análise. Dados são itens primordiais do sistema de pesquisa. 
São fatos científicos que tem como finalidade os resultados de pesquisa, publi-
cados ou não. 
Após escolhermos os dados, é necessária uma revisão crítica de modo a eli-
minar valores não necessários ou eliminar erros que possam provocar enganos 
futuros de análise. Valores não necessários possam vir de erros na recolha ou 
do não entendimento da pessoa que está analisando esses dados. Para isso, 
nossa base de dados deve ser totalmente confiável.
Conjunto de dados é um depósito de informação relacionado com certo assun-
to a ser pesquisado, ou seja, é uma coletânea de dados ou tópicos de informação 
arranjados de determinado modo que nos permita sua consulta e atualização. 
Organizar os dados é uma atividade que tem como finalidade a melhor com-
preensão desses dados, dando-lhes, ao mesmo tempo, uma finalidade de ser e 
uma análise correta. É analisar os dados de um problema e identificá-los.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 18
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Variável
São características comuns aos elementos de uma população à qual atri-
buímos um número ou categoria, assumindo valores diferentes de unidade. 
Podemos chamar essa população como a variável que vamos estudar, pelo fato 
de que a população é formada pelos valores que a variável pode assumir ou ter.
A esse método, que consiste em reconhecer uma observação de uma variá-
vel, damos o nome de experimento aleatório. Por exemplo, suponhamos que 
pretendemosestudar o número de celulares de cada família dos alunos que 
frequentam a escola XXX, no ano letivo 2017/2018. Podemos dizer que a nossa 
população é constituída por todos os resultados obtidos para o número de 
celulares das famílias dos referidos alunos. Quando se considera um desses 
alunos e se questiona quanto ao número de celulares, estamos a realizar uma 
experiência aleatória.
Por esse fato, a variável tomará uma forma quantitativa, pois poderá ser 
medida, ou seja, poderá ser contada. Podemos ainda ter uma variável que 
poderá ser medida e contada, chamada de variável contínua. A variável será 
qualitativa se não for passível de medição ou contagem, mas unicamente 
de uma classifi cação, podendo assumir várias modalidades ou categorias.
Distribuição de frequências
Vamos calcular, agora, o tamanho amostral, ou seja, o número de ob-
servações obtidas na amostra.
Após uma coleta de dados, temos um conjunto de informações e devemos 
colocá-las em uma tabela de distribuição de frequência, ou simplesmente uma 
tabela de frequência. Todos os dados dessa tabela serão divididos em classes pre-
determinadas, colocando-se a frequência de cada classe. Portanto, uma tabela de 
frequência é um conjunto de dados agrupados de forma organizada e sequencial, 
a fi m de que os dados sirvam de base para a construção de futuros gráfi cos. 
Vamos, agora, estudar cada item em separado.
• Frequência absoluta: é a frequência que leva em consideração a quantida-
de de eventos que temos em uma classe.
• Frequência relativa: é o quociente entre a frequência absoluta e a 
soma de todas as frequências.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 19
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• Frequência percentual: é a multiplicação da frequência relativa por 100.
• Frequência acumulada: é a somatória de todas as classes.
• Distribuição de frequência pontual: são os dados quantitativos. 
A construção de uma tabela de frequência pontual é feita da mesma forma 
que a construção de uma tabela simples, em que se organizam todos os dife-
rentes valores anotados da variável com suas respectivas frequências absolu-
tas, representadas por ƒi (em que i corresponde ao número de linhas da tabela) 
como é mostrado na Tabela 1 a seguir. Usamos a distribuição de frequência 
pontual quando se trabalha com dados discretos. O melhor tipo de gráfi co uti-
lizado para representar esse tipo de distribuição de frequência é o gráfi co de 
barras. Considere os dados do exemplo.
Em uma cidade, foram totalizados o número de pessoas com diabetes em 
20 grupos de 1.000 pessoas cada. Nesse caso, obtemos os seguintes dados: 10, 
12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10. Um possível resumo dos 
dados é desenvolvido na Tabela 1:
Pessoas com diabetes Apuração dos grupos Nº de grupos
7 / 1
8 / / 2
9 / / / / / 5
10 / / / / / / / / 8
11 / / / 3
12 / 1
7
8
9
11
12
/
/ /
/ / / / // / / / /
/ / / / / / / // / / / / / / /
/ / /
/
1
2
3
1
TABELA 1. RESUMO DE DADOS
Portanto, a variável “quantidade de pessoas com diabetes” assume 
valores discretos, ou seja, inteiros: ...,7, 8, 9,... .
Cuidado: ao construir sua tabela, tenha plena certeza da ordem de 
todos os dados colocados em suas respectivas células de localização para 
que um mesmo dado não apareça mais de uma vez em sua tabela.
Com o exemplo da Tabela 2, temos a distribuição de frequências para 
esse conjunto de dados e o gráfico de barras. 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 20
Fundamentos_da_estatística_Uni_01_A5.indd 20 24/09/19 15:33
TABELA 2. FREQUÊNCIA DE PESSOAS COM DIABETES
Número de pessoas 
com diabetes
Frequência 
(ƒi)
Frequência 
relativa (ƒri)
Frequência 
percentual
Frequência 
acumulada
7 1 0,05 5 5
8 2 0,1 10 15
9 5 0,25 25 40
10 8 0,4 40 80
11 3 0,15 15 95
12 1 0,05 5 100
9
10
1
11
12
0,05
8
0,1
3
0,25
1
0,25
5
0,4
10
0,15
25
0,05
40
15
15
40
5
80
95
100100
Observe como os dados dessa tabela são transferidos para o gráfi co de bar-
ras (Gráfi co 1), e como fi ca muito mais fácil de constatar visualmente os dados. 
Seja para uma pesquisa rápida ou apenas a constatação de um certo dado, se 
torna muito melhor visualmente do que uma tabela repleta de dados.
GRÁFICO 1. HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
Fonte: Portal Action, 2018.
Apenas como exemplo para a construção de uma distribuição de frequên-
cia, temos os seguintes itens que farão parte de nosso estudo.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 21
Fundamentos_da_estatística_Uni_01_A5.indd 21 24/09/19 15:33
• Dados brutos: 24-23-22-28-35-21-23-33-34-24-21-25-
36-26-22-30-32-25-26-33-34-21-31-25-31-26-25-35-33-31.
A primeira coisa que fazemos é ordenar os dados do 
menor para o maior, formando o rol de dados:
• Rol de dados: 21-21-21-22-22-23-23-24-25-25-25-25-26-
26-26-28-30-31-31-31-32-33-33-33-34-34-34-35-35-36.
Em seguida, calculamos a amplitude total, ou seja, o maior valor obtido na 
amostra subtraído do menor valor obtido na amostra.
Intervalos de classe
Intervalo de classe é a medida do intervalo que defi ne a classe. A amplitude 
de uma classe é a diferença entre o maior e o menor valor de uma classe. Para 
um melhor entendimento, vamos estudar o assunto atra-
vés de um exemplo.
Foram coletas as alturas de 20 atletas de voleibol 
de um certo clube e os dados foram colocados em 
um rol aleatório.
1,91-1,78-1,69-1,82-1,80-1,72-1,73-1,76-1,77-1,94-
1,84-1,87-1,85-1,89-1,70-1,91-1,86-1,70-1,71-1,94
O ideal agora será colocar todas essas alturas em um rol crescente. Vamos 
agora calcular os intervalos da seguinte forma:
 Realizamos a subtração entre a maior e a menor altura: 1,94 – 1,69 = 0,25.
Para um melhor estudo e cálculos, devemos escolher um número de clas-
ses maior que quatro. Nesse exemplo, vamos escolher cinco intervalos de clas-
se, dessa forma dividimos o intervalo total de alturas por cinco:
0,25:5 = 0,05. Veja os intervalos:
1,69 1,74 (1,69+0,05)
1,74 1,79 (1,74+0,05)
1,79 1,84 (1,79+0,05)
1,84 1,89 (1,84+0,05)
1,89 1,94 (1,89+0,05)
Importante: o símbolo signifi ca fechado à esquerda e aberto à direita, 
isto é, as alturas, 1,74 – 1,79 – 1,84 – 1,89, serão usadas apenas uma vez. 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 22
Fundamentos_da_estatística_Uni_01_A5.indd 22 24/09/19 15:33
TABELA 3. TABELA DE FREQUÊNCIAS
ALTURAS
FREQUÊNCIAS RELATIVA 
PERCENTUALABSOLUTA RELATIVA
1,69 1,74 6 6/20 = 0,30 30%
1,74 1,79 3 3/20 = 0,15 15%
1,79 1,84 2 2/20 = 0,10 10%
1,84 1,89 4 4/20 = 0,20 20%
1,89 1,94 5 5/20 = 0,25 25%
TOTAL 20 100%
1,69 
1,74 
1,79 
 1,74
 1,79
1,79 
1,84 
 1,79
 1,84
1,84 
1,89 
 1,84
 1,89
TOTAL
 1,89
 1,94
TOTAL
3
2
4
20
6/20 = 0,306/20 = 0,30
3/20 = 0,15
2/20 = 0,10
6/20 = 0,30
3/20 = 0,15
2/20 = 0,10
4/20 = 0,20
3/20 = 0,15
2/20 = 0,10
4/20 = 0,20
5/20 = 0,25
2/20 = 0,10
4/20 = 0,20
5/20 = 0,255/20 = 0,25
30%
15%
10%10%
20%
25%
100%
Você pode também calcular o número de classe através de “K”, em que:
 
K = n
E em que n é a quantidade de dados coletados.
No nosso exemplo, a quantidade de dados foi 20. A raiz de 20 é igual a 
4,472. Devemos arredondar para 5.
Histogramas e polígono de frequência
O histograma e o polígono de frequência são alguns dos meios de representar 
os dados recolhidos. Estes são os gráfi cos de melhor visualização de dados, que 
serão melhor abordados agora.
Histograma
Um histograma é uma representação das distribuições de frequências 
através de uma forma gráfi ca, no formato de colunas ou de barras retangula-
res, de um conjunto de dados já divididos em classes. A base de cada retân-
Fonte: Portal Action. Acesso em: 19/12/2018.
gulo irá representar uma classe e a altura de cada retângu-
lo irá representar a frequência absoluta ou quantidade 
com o valor de sua respectiva classe, que ocorre no 
conjunto de dados.
É de suma importância ressaltar que esse tipo de 
gráfi co é uma ferramenta primordial para análises rápi-
das de dados em uma pesquisa.FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 23
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GRÁFICO 2. GRÁFICO DE BARRAS VERTICAIS
Retomando, o histograma é um conjunto de retângulos juntos, sabendo 
que cada um deles representa um intervalo de classes e sua área representa a 
respectiva frequência.
Na elaboração de um histograma, devemos ficar atentos ao seguinte: 
1. Os dados devem ser agrupados por classes;
2. No eixo horizontal são representados os intervalos de classe;
3. No eixo vertical são representadas as frequências de classe;
4. As barras são desenhadas verticalmente e não há qualquer espaço entre elas;
5. A área de cada uma das barras é proporcional à respectiva frequência.
Polígono de frequências 
GRÁFICO 3. HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
No DE ESTUDANTES Histograma
Polígono de 
frequências simples
1,52 1,57 1,62 1,67 1,72 1,77 1,82 1,87
2 A
ALTURA
B
4
6
8
10
12
14
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Também podemos representar os dados agrupados em classes na forma 
de polígono de frequência, que é uma outra forma gráfi ca. Os polígonos de 
frequências são usados, normalmente, para comparar duas distribuições de 
dados semelhantes. Para construirmos um polígono de frequência, primei-
ramente devemos construir o histograma, onde vamos achar o ponto médio 
do lado superior dos retângulos e uni-los.
Atenção: para que a área do polígono de frequências seja igual à somató-
ria das áreas dos retângulos do histograma, parte-se do extremo esquerdo 
do polígono (ponto B) com o ponto médio (A) do dado anterior, de frequên-
cia nula, e procede-se do mesmo modo para o extremo direito do polígono.
Frequência acumulada e relativa
Em estatística, a frequência absoluta corresponde ao nome dado ao nú-
mero de vezes que um valor aparece em um determinado conjunto de dados. 
A frequência acumulada é diferente: ela representa a soma de todas as fre-
quências até o ponto atual no conjunto de dados.
Classifi cando um conjunto de dado
Primeiro passo
Vamos iniciar fazendo um rol de 
todos os dados coletados, colocan-
do todos esses dados em ordem 
crescente.
 Exemplo: o conjunto de dados representam a quantidade de livros lidos 
por 8 alunos no decorrer do ano de 2017. Depois de classifi car os valores, ele 
fi cará da seguinte maneira: 3, 3, 5, 6, 6, 6, 8.
Segundo passo
Calcule a frequência absoluta de cada valor. A frequência absoluta é a que 
representa quantas vezes ele aparece em seu rol (não confundir frequência ab-
soluta com frequência acumulada). Coloque no início da primeira coluna uma 
descrição para o que esse termo representa. Agora, escreva “frequência” no 
topo da segunda coluna. Complete a tabela com cada dado correspondente.
Exemplo: escreva “número de livros” no alto da primeira coluna e “frequên-
cia” no topo da segunda coluna. Na linha seguinte, escreva o primeiro valor 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 25
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sob “número de livros”: 3. Veja quantos 3 existem nos dados. Já que há dois 3, 
escreva 2 abaixo de “frequência”, na mesma linha. Esse procedimento deve ser 
repetido para cada valor, até o final da tabela.
3 ] F = 2
5 ] F = 1
6 ] F = 3
8 ] F = 1
Terceiro passo
Calcule a frequência acumulada do valor inicial. Essa frequência acumula-
da nos aponta a quantidade de vezes que aparece esse mesmo valor (ou um 
valor menor). Comece sempre com o valor menor dos dados. Se por acaso 
não tivermos valores menores, a solução sempre será igual a frequência 
acumulada do mesmo valor.
Exemplo: o nosso valor mais baixo é 3. A quantidade de livros lidos foram 
3 que é igual a 2. Ninguém leu menos do que isso, deste modo a frequência 
acumulada será 3. Coloque esse valor na primeira linha da tabela:
3 ] F = 2 | CF = 2
Quarto passo
Calcule a frequência acumulada do valor seguinte. Acabamos de achar 
quantas vezes os menores aparecem. Para calcularmos a frequência acumu-
lada desse valor, precisamos somar sua frequência absoluta ao total, ou seja, 
pegue a última frequência acumulada que você encontrou e some com a fre-
quência absoluta do respectivo valor.
Exemplo:
3 ] F = 2 | CF = 2
5 ] F = 1 | CF = 2 + 1 = 3
Quinto passo
Vamos repetir todos os procedimentos para os valores seguintes, calculando 
sempre os valores seguintes em ordem crescente. Para cada um desses valores, 
some a última frequência acumulada à frequência absoluta do valor seguinte.
Cuidado com os cálculos. Nessa fase é quando acontece o maior índice de 
erros de uma pesquisa.
Exemplo:
3 ] F = 2 | CF = 2
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 26
Fundamentos_da_estatística_Uni_01_A5.indd 26 24/09/19 15:34
5 ] F = 1 | CF = 2 + 1 = 3
6 ] F = 3 | CF = 3 + 3 = 6
8 ] F = 1 | CF = 6 + 1 = 7
Sexto passo
Faça uma conferência de seu trabalho. Quando fi nalizar, você terá somado 
o número de vezes que cada valor apareceu. A frequência acumulada fi nal deve 
ser exatamente igual ao número total de pontos de valores em seu total de 
dados. Há dois modos de conferir o que foi feito:
• Some todas as frequências individuais: 2 + 1 + 3 + 1 = 7, que é a nossa fre-
quência acumulada.
• Calcule a quantidade de pontos de dados. Como nosso rol era 3, 3, 5, 6, 6, 
6, 8, temos 7 itens, sendo esse valor nossa frequência acumulada.
Frequência relativa
A frequência relativa é o quociente (divisão) da frequência absoluta da va-
riável e o número de vezes que ela aparece. Deste modo, chamamos de fre-
quência relativa de certa classe, calculando a frequência dessa classe através 
da soma das frequências das demais classes.
Para que tenhamos certeza que os dados sejam representativos, vamos usar 
a frequência relativa já calculada em nosso estudo, através dos percentuais cal-
culados, como a divisão da frequência absoluta e o número total de ocorrências.
Em uma empresa foi realizada uma pesquisa a fi m de saber a quantidade de fi lhos 
de cada funcionário. Os dados da pesquisa foram organizados na seguinte tabela:
TABELA 4. TABELA DE FREQUÊNCIA
NÚMERO DE FILHOS FREQUÊNCIA ABSOLUTA FREQUÊNCIA RELATIVA
0 30 30/160 = 0,1875 = 18,75%
1 36 36/160 = 0,225 = 22,5%
2 60 60/160 = 0,375 = 37,5%
3 24 24/160 = 0,15 = 15%
4 10 10/160 = 0,0625 = 6,25%
TOTAL 160 100%
0
4
TOTAL
30
36
60
24
160
30/160 = 0,1875 = 18,75%30/160 = 0,1875 = 18,75%
36/160 = 0,225 = 22,5%
30/160 = 0,1875 = 18,75%
36/160 = 0,225 = 22,5%
60/160 = 0,375 = 37,5%
30/160 = 0,1875 = 18,75%
36/160 = 0,225 = 22,5%
60/160 = 0,375 = 37,5%
24/160 = 0,15 = 15%
30/160 = 0,1875 = 18,75%
36/160 = 0,225 = 22,5%
60/160 = 0,375 = 37,5%
24/160 = 0,15 = 15%
10/160 = 0,0625 = 6,25%
30/160 = 0,1875 = 18,75%
36/160 = 0,225 = 22,5%
60/160 = 0,375 = 37,5%
24/160 = 0,15 = 15%
10/160 = 0,0625 = 6,25%
36/160 = 0,225 = 22,5%
60/160 = 0,375 = 37,5%
24/160 = 0,15 = 15%
10/160 = 0,0625 = 6,25%
100%
60/160 = 0,375 = 37,5%
24/160 = 0,15 = 15%
10/160 = 0,0625 = 6,25%
100%
10/160 = 0,0625 = 6,25%
A melhor interpretação, é feita através da frequência relativa, os dados 
percentuais mostram de forma melhor a comparação de cada caso:
18,75% dos funcionários não tem filhos;
22,5% tem somente um filho;
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 27
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DICA
Leia o livro Introdução à história da matemática, de Howard Eves, traduzi-
do por Hygino H. Domingues e editado pela Editora UNICAMP, em 2004. 
37,5% tem dois filhos;
15% tem três filhos;
6,25% tem quatro filhos.
TABELA 5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
i Classes fi xi fri % Fi Fri xifi Fri
1 150| — 160 4 155,00 0,20 20,00 4 20,00 620 20,00
2 160| — 170 5 165,00 0,25 25,00 9 45,00 825 45,00
3 170| — 180 6 175,00 0,30 30,00 15 75,00 1050 75,00
4 180| — 190 4 185,00 0,20 20,00 19 95,00 740 95,00
5 190| — 200 1 195,00 0,05 5,00 20 100,00 195 100,00
∑ 20 ∑ 100,00 ∑ 3430 ∑
1
2
150| — 160
3
150| — 160
160| — 170
4
150| — 160
160| — 170
170|— 180
160| — 170
170| — 180
180| — 190
190| — 200
170| — 180
180| — 190
190| — 200
155,00
6
190| — 200
∑
155,00
165,00
4
0,20
165,00
175,00
1
0,25
185,00
195,00
20
20,00
0,30
195,00
20,00
25,00
0,20
4
30,00
0,05
9
20,00
20,00
15
5,00
100,00
45,00
19
100,00
620
75,00
20
825
95,00
100,00
20,00
1050
100,00
20,00
45,00
740
45,00
75,00
195
3430
95,00
3430
100,00
GRÁFICO 4. GRÁFICOS DE FREQUÊNCIA
Representação gráfica
A representação gráfi ca nos permite uma visão e conclusão mais rápida 
de nossa pesquisa.
Agora é a hora de sintetizar tudo o que você aprendeu nessa unidade. Vamos lá?
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Sintetizando
Caro aluno, nesse primeiro momento temos como objetivo a introdução da 
Estatística de modo geral e seus primeiros parâmetros.
Não podemos esquecer nunca dos primeiros passos para que nosso es-
tudo seja bem realizado, como: uma boa e confiável escolha da população 
de onde vamos tirar nossa amostra e os questionamentos (perguntas) para 
montagem de nossos dados, perguntas que demonstrem ao máximo a reali-
dade do fato em questão.
 A tabulação correta de todos os dados obtidos é importante, assim como a 
realização dos cálculos de todas as frequências de forma harmônica e correta, 
além da construção perfeita das tabelas e gráficos para que, quando apresentada 
a totalidade do trabalho, eles retratem a mais pura realidade do estudo pedido.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 29
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Referências bibliográficas
BONJORNO, J. Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 2008.
CENTURION, M. Conteúdo e metodologia da matemática. São Paulo: Scipio-
ne, 1994.
CAsSTELNUOVO, E. Didáctica de la matemática moderna: números y opera-
ciones. México: Trilhas, 1993.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Editora Unicamp, 
2004.
NETQUEST. Amostragem probabilística: amostra aleatória simples. Disponí-
vel em: <https://www.netquest.com/blog/br/blog/br/amostra-probabilistica-
-aleatoria-simples>. Acesso em: 14 dez. 2018.
PORTAL ACTION. Distribuição de frequências. Disponível em: <http://www.
portalaction.com.br/estatistica-basica/16-distribuicao-de-frequencias>. Aces-
so em: 14 dez. 2018.
SABER MATEMÁTICA. A diferença entre população e amostra. Disponível 
em: <https://sabermatematica.com.br/diferenca-entre-populacao-e-amostra.
html>. Acesso em: 14 dez. 2018.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 30
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INTRODUÇÃO À 
ESTATÍSTICA
2
UNIDADE
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 31 24/09/19 15:31
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Levar o aluno a coletar dados para pesquisa de forma correta 
e para a produção de dados que retratem a realidade do evento.
 Desenvolver seu senso crítico para a realidade
dos eventos;
 Ser capaz de aplicar medidas qualitativas e
quantitativas do evento;
 Desenvolver seu raciocínio lógico.
 Apresentar o conceito de probabilidade.
 Estatística descritiva
 Medidas de posição
 Média aritmética
 Mediana e moda
 Medidas de dispersão
 Amplitude
 Desvio médio
 Desvio padrão
 Variância e coeficiente de variação
 Outras estatísticas descritivas
 Mínimo
 Máximo
 Quartis
 Decis e percentis
 Teoria Elementar da Probabilidade
 Eventos independentes, depen-
dentes e mutuamente exclusivos
 Valor esperado
 Probabilidade condicional
 Distribuição discreta e contínua
 Distribuição binomial
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Estatística descritiva
Estatística descritiva é a parte da estatística que tem como objetivo resumir 
e descrever todo e qualquer grupo de dados coletados. De outra forma, é a es-
tatística que tem como função primordial, sintetizar os dados de modo direto, 
não se preocupando tanto com variações de confi ança dos dados. Podemos 
ter como exemplos de estatísticas descritivas: média, desvio padrão, mediana.
A estatística descritiva, como já enunciada, se preocupa em descrever os 
dados. A tabela é um modo que resume um conjunto de dados, enquanto os 
gráfi cos são as apresentações dos dados, que têm como objetivo produzir uma 
impressão mais rápida e viva do fato estudo.
Quando temos muitos dados, é necessário acharmos um modo de relacio-
ná-los. Podemos reduzir a quantidade de dados, mas corremos o risco de ocor-
rer uma falta de informação. Essa suposta falta de dados pode ser suprida pelo 
uso de outras medidas que nos per-
mitam o cruzamento de informações. 
Por esse motivo, a média (medida de 
tendência central) é apresentada em 
junção com o valor do desvio padrão 
(medida de dispersão). As medidas 
da estatística descritiva são, também, 
a base para a estatística inferencial – 
aquela que relaciona os dados da nos-
sa distribuição. A estatística descritiva, 
como o próprio nome diz, descreve a amostra, e a estatística inferencial permi-
te ir além dos resultados calculados. Isso nos permite chegar a variadas conclu-
sões sobre o conjunto em estudo.
Medidas de posição
As medidas de posição são valores que representam a tendência de concen-
tração dos dados observados. Dentre as medidas de posição, as mais utilizadas 
são as medidas de tendência central. São três medidas de tendência central 
mais utilizadas: média aritmética, moda e mediana.
 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 33
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 33 24/09/19 15:32
Média aritmética
Média aritmética, ou amostral, é a simples somatória de todos os valores 
coletados divididos pela quantidade de valores da soma.
A média aritmética é calculada somando os valores que foram coletados da 
amostra e dividindo o resultado pelo número de valores. Desse modo, a média 
amostral é calculada através da seguinte fórmula:
Exemplo:
Em uma fábrica de parafusos que são vendidos em pacotes por quilogra-
ma, foram retirados 5 pacotes para serem pesados da linha de produção e 
seus pesos foram medidos. Os valores foram: 4,5; 4,6; 4,5; 4,4; 4,5. Desta 
forma, a média é dada por:
Veja os valores e a frequência das faixas salariais em uma escola, na Tabela 1:
Salário Média dos salários Frequência
0 500 250 14
500 1000 750 4
1000 1500 1250 2
1500 2000 1750 2
2000 2500 2250 6
0 500 500
500 1000
1000 
 1000
1500 
 1500
1500 2000
2000 
 2000
250
 2500
750
1250
17501750
2250
14
4
2
2
6
TABELA 1. MÉDIA SALARIAL
Média aritmética ponderada
Quando calculamos a média aritmética simples, todos os dados têm exatamente 
a mesma importância ou o mesmo peso. Portanto, todos têm o mesmo peso relativo.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 34
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Porém, há casos em que os dados 
têm importância específica diferen-
te. Nesses casos, o cálculo da média 
deve levar em conta a importância 
específica ou o peso relativo. Este 
tipo de caso se chama média aritmé-
tica ponderada.
No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por 
seu “peso”, isto é, por sua importância específica.
A média aritmética ponderada xp de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn 
cuja importância relativa (“peso”) é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn, é calculada 
da seguinte maneira:
Σ (pi * xi)k = 0n
Devemos somar os produtos dos valores pelos seus pesos e dividirmos o 
resultado pela soma dos pesos. Exemplo:
Giovanna participou de um exame final, no qual foram realizadas as seguintes 
provas: Português, Matemática, Biologia e História. Os pesos dessas provas são 
respectivamente 3, 3, 2 e 2. Sabendo que Giovanna tirou nota 8,0 em Português, 
7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média final obtida?
 8,0 * 3 + 7,5 * 3 + 5,0 * 2 + 4,0 * 2 
 3 + 3 + 2 + 2
= 6,45
Portanto, a média de Giovanna foi de 6,45.
Vamos calcular a nota final de um aluno em uma disciplina da faculdade 
com a média ponderadadas notas A, B e C, cujos pesos são 1, 2 e 3, respectiva-
mente. Flávio obteve A = 3,0 e B = 6,0. Quanto ele precisa obter em C para que 
sua nota final seja 6,0?
Vamos usar a média ponderada colocando os valores conhecidos. Devemos 
também substituir a nota final pelo resultado e calcularemos a nota que falta. Veja:
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 35
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 35 24/09/19 15:32
A.1 + B.2 + C.3
1 + 2 + 3
MP = 
3,0.1 + 6,0.2 C.3
1 + 2 + 3
6,0 = 
3,0 + 12,0 + C.3
6
6,0 = 
6.6,0 = 3,0 + 12,0 + C.3
36,0 = 15,0 + 3C
36,0 - 15,0 = 3C
3C = 21,0
C = 7,0 
C =
21,0
3
A média geométrica é usada, para números positivos, com a raiz enésima 
do produto dos n elementos de um conjunto de dados. Assim como a média arit-
mética, a média geométrica também é uma medida de tendência central. Essa é 
usada de forma mais eficiente com valores que aumentam de forma sucessiva.
Se tivermos os números 2, 4 e 8 para calcularmos o valor médio aritmético 
deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 64. Pega-
mos, então, o produto e extraímos sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 4.
Calculamos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se 
fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Nesse exemplo, teríamos a seguinte solução:
x = 2*4.8 64 = 43 3
Aplicação prática da média geométrica
Quando devemos trabalhar com variações de percentuais em sequência, 
a média geométrica também é de grande ajuda para simplificarmos nossos 
cálculos. Veja o exemplo:
 Vamos supor que você recebeu um aumento salarial da seguinte forma: 
20% no primeiro mês, 12% no segundo mês e 7% no terceiro mês. Qual foi a 
média de seu percentual de aumento?
Devemos multiplicar nosso salário por: 1,2, 1,12 e 1,07. Deste modo, calcula-
mos a média geométrica:
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 36
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 36 24/09/19 15:32
Assim, nosso fator é de 1,128741, que é o mesmo que 12,8741%. Logo, esse é 
o percentual médio de seu aumento.
Mediana e moda
Quando temos um conjunto de valores, ordenados em ordem crescente ou 
decrescente, o valor que ocupa a posição central é chamado de mediana. Se 
tivermos uma distribuição com um número ímpar de valores, a moda será o 
valor central da distribuição. Exemplo: foram anotadas as medidas dos com-
primentos de alguns rolos de tecidos. Considerando que os valores medidos 
foram (1,54 m; 1,67 m; 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m), 
qual é o valor da mediana do comprimento desses rolos?
Vamos colocar os valores em ordem. Nesse caso, colocaremos em ordem 
crescente. Assim, o conjunto de dados será: 1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 
1,69; 1,75; 1,78.
Sendo nosso rol formado por 9 elementos, e sendo este um número ímpar, 
então a mediana será igual ao 5º elemento. Ou seja:
Md = 1,65 m
Se a distribuição tiver um número de dados, não teremos um valor 
central, mas dois valores centrais. Por esse motivo, a mediana será calculada 
pela média dos dois valores centrais. Exemplo:
Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: 32, 27, 15, 44, 15, 32.
Primeiro, precisamos colocar os dados em ordem. Assim, temos:
15, 15, 27, 32, 32, 44
Como essa amostra é formada por 6 elementos, que é um número par, 
a mediana será igual a média dos elementos centrais. Ou seja:
X = 
27 + 32 
= 29,5
2
Em um conjunto de valores, o valor que aparece o maior número de vezes 
é chamado de moda, ou seja, é o valor de maior frequência absoluta. Exemplo:
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 37
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Em uma loja de calçados durante um certo período foram vendidas as se-
guintes numerações de tênis: 34, 39, 35, 35, 37, 40, 36, 38, 35, 38 e 41. Calcule o 
valor da moda desta amostra?
Observando os números vendidos notamos que o número 35 foi o que 
apresentou maior frequência (3 pares). Portanto, a moda é igual a:
Mo = 35 
Medidas de dispersão
As medidas de dispersão são usadas para obter o grau de variabilidade 
dos elementos de um conjunto de informações. Amplitude e desvio são os mais 
fundamentais desses cálculos.
Existem ainda outras medidas responsáveis para demonstrar o grau de va-
riação entre os dados do conjunto. São elas: amplitude, desvio, variância e 
desvio padrão.
Amplitude
Para iniciarmos nosso estudo de amplitude, vamos considerar a Tabela 2 
para entender de modo mais fácil os conceitos de amplitude total, amplitude 
de classe, limite superior da classe e limite inferior da classe.
Classe Frequência
15 |-- 20 8
20 |-- 30 4
30 |-- 50 3
15 |-- 2015 |-- 20
20 |-- 30
15 |-- 20
20 |-- 30
30 |-- 50
20 |-- 30
30 |-- 5030 |-- 50
8
4
3
TABELA 2. RELAÇÃO CLASSE-FREQUÊNCIA
Tendo como base a Tabela 2, note que todas as classes possuem o mesmo 
tamanho. A primeira é 15 |-- 20. O limite inferior da primeira classe é 15. O 
limite superior da primeira classe é 20. A amplitude de classe corresponde à 
diferença entre o limite superior e inferior. Ou seja: amplitude de classe = 
20 - 15 = 5.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 38
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 38 24/09/19 15:32
Limite inferior sempre será o valor da esquerda. Vamos chamar o limite 
inferior por LI. Na primeira classe, temos que LI = 15. Na segunda classe, temos 
LI = 20. E na terceira classe, temos LI = 30.
Limite superior sempre será o valor da direita. Vamos chamar o limite su-
perior por LS. Na primeira classe, temos que LS = 20. Na segunda classe, temos 
LS = 30. E na terceira classe, temos LS = 50.
Amplitude de classe é o tamanho equivalente ao intervalo da clas-
se. A amplitude de classe, que chamamos de h, será a diferença entre o li-
mite superior e inferior: h = LS - LI. Na primeira classe, a amplitude é 20 - 15 
= 5. Na segunda, h = 30 - 20 = 10. E na terceira, h = 50 - 30 = 20.
Para a amplitude total, vamos observar os extremos da Tabela 2. O míni-
mo é 15, enquanto o máximo vale 50. Não nos interessa se o intervalo é aber-
to ou fechado (no caso, é aberto em 50). Portanto, a amplitude total da Tabela 
2 é calculada como AT = mín - máx. Ou seja, AT = 50 - 15 = 35.
Em um rol de dados numéricos, a amplitude será a diferença entre o maior 
e o menor valor da amostra.
Ela mostra a dispersão dos valores de uma série. Se a amplitude for um nú-
mero alto, signifi ca que os valores estão afastados. Se a amplitude for um valor 
baixo, então signifi ca que os valores estão aproximados. Exemplo: na coleta de 
dados sobre as medidas de camisetas de um grupo de jovens, temos os seguin-
tes valores: 38, 42, 44, 40, 46, 38, 48, 50, 52. Devemos achar a maior medida (52) 
e a menor medida (38).
OBS.: Para melhor visualizarmos, é preferível colocar as medidas em 
ordem crescente
Agora, fazemos a subtração entre a maior medida e a menor medida.
52 - 38 = 14
Pronto, nossa amplitude é 14.
Em estatística, o conceito de desvio médio corresponde ao conceito 
de distância. É a diferença dos dados obtidos com a média desses dados, 
que pode ser calculada através dos desvios de cada elemento da sequên-
cia em relação à média da sequência. O desvio médio é definido como 
Desvio médio
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 39
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sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para 
a média da série.
DM = 
Σfi * lxi - xl
 n
Exemplo:
 Tomemos os números 2, 8, 5, 6. Determine o desvio médio.
 Primeiro, calculamos a média:
X = 
2 + 8 + 5 + 6 
= 5,25
4
Agora, calculamos o desvio médio, lembrando que fi = 1, visto que cada 
um dos quatro valores apareceu uma única vez.
DM = 
Σf1 |x1 - xl|
 n
 
(2 - 5,25) + (8 - 5,25) + (5 - 5,25) + (6 - 5,25) 
= 1,75
4
OBS.: Todas as medidas são calculadas em módulo, pois se trata de distância
Desvio padrão
Desvio padrão é um cálculo que representa o grau de separação numérica 
de um conjunto de dados. O desvio padrão nos mostra o quanto um conjunto 
dedados é uniforme. Quanto mais esse valor se aproximar de 0, mais confi ável 
será o desvio padrão.
O valor correspondente à média aritmética dos quadrados dos desvios 
em relação à média, recebe o nome de variância. A raiz quadrada dessa 
variância recebe o nome de desvio padrão.
Para calcularmos o desvio padrão (DP), fazemos o seguinte:
Exemplo:
Σ = 1 (Xi - Ma)2
n
i = 1
n
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 40
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 40 24/09/19 15:32
As alturas de três irmãos são as seguintes: 1,55 m; 1,75 m e 1,80 m. Qual é o 
valor da média e do desvio padrão da altura desses irmãos?
Cálculo da média, sendo n = 3:
Ma = 
1,55 + 1,70 + 1,80 
= 1,68
3
Cálculo do desvio padrão:
DP = (1,55 - 1,62)2 + (1,70 - 1,68)2 + (1,80 - 1,68)2
3
DP = 
0,0317
3
DP = 
0,01005
1
 = 0,1027
Variância e coeficiente de variação
A variância é a medida que indica, em função de uma média aritmética, a 
regularidade de desvio de um rol de dados.
O coefi ciente de variação (CV), que também pode ser chamado de desvio 
padrão (DP), é simplesmente uma medida padronizada de uma distribuição de 
dispersão de uma probabilidade ou de frequências.
Outras estatísticas descritivas
Por meio da estatística descritiva – que nos leva a entender todos os dados cole-
tados –, podemos descrever, entender e resumir os dados de uma amostra usando 
vários tipos de medidas como: medidas de tendência central (média, mediana e 
moda), medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância), 
percentis, quartis e decis.
Os tópicos a seguir vão nos ajudar a resolver alguns problemas que podem vir a 
aparecer em nosso estudo. Por exemplo: em uma casa com duas pessoas, uma come 
dois chocolates e a outra nenhum, mas na média da casa cada pessoa comeu um.
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 41
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Mínimo
É o menor valor que encontramos em uma série. Exemplo: 9, 8, 12, 7, 5, 11, 
4, 15. O valor mínimo é 4.
Máximo
É o maior valor que encontramos em uma série. Exemplo: 9, 8, 12, 7, 5, 11, 
4, 15. O valor máximo é 15.
Quartis
Quartis nada mais são que divisões de um conjunto de observações coloca-
das em ordem crescente e divididas em quatro partes iguais. Cada quartil terá 
sua numeração: Q1, Q2 e Q3.
O quartil Q1 é o valor que deixa 25% dos valores para baixo e 75% dos valores 
para cima. O quartil Q2 é o valor que será a mediana, ou seja, 50% dos valores para 
baixo e 50% dos valores para cima. O quartil Q3 é o valor que deixa 75% dos valo-
res para baixo e 25% dos valores para cima.
Vamos calcular os quartis.
Qi = 
i
 = (n + 1) 
4
Dados: 1,0; 2,0; 2,3; 2,5; 3,0; 3,2; 3,3; 3,6; 6,2; 6,8.
Nesse exemplo, temos n = 10. Ou seja, temos 10 dados em nosso rol.
Q1 = 
i
 (n + 1) 0,25 (10 + 1) = 2,75
4
Com o valor achado acima, sabemos que devemos usar o 2º e 3º elemen-
tos. Agora, calculamos a média entre o 2º e 3º elementos.
Q1 = 
2,0 + 2,3 
= 2,15
2
Q1 = 2,15
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 42
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 42 24/09/19 15:33
Agora, o Q2:
Q2 = 
i
 (n + 1) 
1
 (10 + 1) = 5,5
4 2
Com o valor achado acima, sabemos que devemos usar o 5º e 6º elemen-
tos. Agora, calculamos a média entre o 5º e 6º elementos:
3 + 3,2
2
 = 3,1
Q2 = 3,1
 Agora, o Q3:
Q3 = 
i
 (n + 1) 0,75 (10 + 1) = 8,25
4
Com o valor achado acima, sabemos que devemos usar o 8º e 9º elemen-
tos. Agora, calculamos a média entre o 8º e 9º elementos.
3,6 + 6,2 
= 4,9
2
Q3 = 4,9
Decis e percentis
Decis e percentis são valores que dividem o rol na décima rol. Com eles, 
achamos o valor correspondente. Vamos usar o rol do item anterior como 
exemplo. Dados: 1,0; 2,0; 2,3; 2,5; 3,0; 3,2; 3,3; 3,6; 6,2; 6,8. Número de elemen-
tos “n” = 10.
D1
 
= 
n 
 
10 
= 1
10 10
Ou seja, D1 será o primeiro elemento 1.
D2
 
= 
2n 
 
20 
= 2
10 10
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 43
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Caso o resultado da divisão seja um número decimal, arredondamos o 
valor para cima.
Trata-se do mesmo cálculo feito no item anterior. Apenas dividimos por 100. 
Vamos usar o rol do item anterior como exemplo. Seguem os mesmos dados: 
1,0; 2,0; 2,3; 2,5; 3,0; 3,2; 3,3; 3,6; 6,2; 6,8. Número de elementos “n” = 10.
P1
 
= 
n 
 
10 
= 0,1
100 100
Teoria Elementar da Probabilidade
A Teoria Elementar da Probabilidade nasceu no século XVII por um inte-
resse comum de Blaise Pascal e Pierre Fermat.
Na Teoria Elementar da Probabilidade, também chamada de processo 
aleatório, quando os diferentes tipos 
de fatos do acaso podem ocasionar 
interferências na ocorrência de um 
dos resultados do evento que esta-
mos querendo testar. Tendo em vista 
o alinhamento de um determinado 
número de condições, os resultados 
aleatórios podem ou não ocorrer.
Por meio de um conjunto de téc-
nicas numéricas, temos uma ideia inicial da distribuição de frequências 
da variável em questão, porém, as medidas de posição, dispersão e assi-
metria são simples estimativas de quantidades desconhecidas, enquanto 
as frequências calculadas são das probabilidades de ocorrência de certos 
eventos. Ao tirarmos conclusões de uma amostra de dados que sejam úteis 
à tomada de decisões no planejamento e projeto de sistema, será preciso 
estabelecer modelos matemáticos que contenham os principais elementos 
do processo. Como já visto, tal modelo deve ser probabilístico pela não pos-
sibilidade de podermos resumir as equações e uma lei que representem as 
variáveis de um evento. 
Para um certo modelo probabilístico, embora seja incapaz de prever com 
exatidão datas de eventos, proporções ou consequências deles, é de muita uti-
Figura 1. Blaise Pascal (1623-1662), à esquerda, e Pierre 
Fermat (1601-1665), à direita. 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 44
Fundamentos_da_estatística_Uni_02_A5.indd 44 24/09/19 15:33
lidade o estudo das principais características do evento, especificando com que pro-
babilidade o fato poderá ocorrer. Esta Unidade tem por objetivo mostrar os princípios 
da teoria de probabilidades, necessários à construção de modelos probabilísticos.
Nos eventos aleatórios, a teoria de probabilidades trabalha com a concreti-
zação de experimentos – naturais ou planejados –, sendo que seus resultados 
não podem ser previstos com exatidão. Apesar de os resultados de um experi-
mento, realizado sob condições normais e imparciais, não possam ser anteci-
pados. Será possível elaborar um conjunto que contenha todos os resultados 
possíveis ou esperados de tal experimento. 
Nem sempre fatos que damos como certezas poderão acontecer. O acaso 
estará sempre presente em nosso dia a dia, e muitas pessoas têm medo que 
acontecimentos ruins apareçam por acaso. No início das navegações, alguns 
achavam que o oceano acabaria em um grande abismo.
Se pensarmos no fato de um meteorito nos atingir na Terra, devemos saber 
que uma quantidade mínima de meteoritos chega ao solo, já que se desinte-
gram em nossa atmosfera. Deste modo, a probabilidade de atingir uma pessoa 
é bastante reduzida.
É sabido que há milhares de anos atrás, vários meteoritos chegaram ao solo 
terrestre, fazendo grandes estragos e mudando, de certa forma, as caracte-
rísticas do solo terrestre; como exemplo, temos grandes crateras no planeta. 
Estudiosos dizem, inclusive, que esses meteoritos foram os responsáveis pela 
extinção de vários animais na Terra, como os dinossauros.
Muitos fatos podem acontecer em nosso dia a dia, como uma queda, per-
dermos um objeto, sofrermos um assalto, esquecermos um compromisso etc. 
Porém, se prestarmos atenção em nossos atos e tivermos cuidado em tudo 
que fizermos, a probabilidade de um evento ruim acontecer será minimizada. 
Vamos entender um pouco mais com o texto do prof. Kiber Sitherc:
Em dias de trovoada, será que a probabilidade de nos 
cair um raio é grande? Será quedevemos temer tan-
to e orar pela santa Bárbara e por todos os santos 
do Céu? Na realidade, não é muito vulgar ouvirmos 
notícias de pessoas que sejam atingidas pelos raios, 
por isso a probabilidade de sermos atingidos é muito 
reduzida. As probabilidades de se morrer fulminado 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 45
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por um raio são, durante um ano, conforme a estatís-
tica, uma em um milhão.
Muitas pessoas entram em pânico só de pensarem 
que terão que viajar de avião, amedrontam-se quan-
to aos noticiários dos aviões que se despenham ou 
que têm acidentes. Assim mais se confirmam no seu 
receio, mas na verdade milhões de pessoas viajam 
diariamente, e nem todos os dias cai um avião, se-
gundo as estatísticas o avião ainda é o meio de trans-
porte mais seguro do mundo.
As companhias de seguros, ganham milhões de eu-
ros, com a preocupação de coisas que raramente 
acontecem. As seguradoras apostam com as pes-
soas em como as catástrofes que as preocupam ja-
mais acontecerão. Na verdade, não chamam a isso 
apostas; mas sim seguros. Mas a verdade é que não 
passa de uma aposta, baseada na lei das probabili-
dades. No entanto, os seguros fazem-se de coisas 
incríveis: desde grandes navios até pormenores do 
corpo como coxas e seios femininos. Tudo é assegu-
rado, por vezes contra calamidades e derrotas que, 
segundo a lei das probabilidades, não acontecem 
com a frequência que se imagina.
Segundo a lei das probabilidades todos estamos 
condenados à morte, tanto os jovens como os 
idosos, e na verdade a maioria faz uma vida nor-
mal, como se durassem toda a vida Na verdade a 
probabilidade de um idoso morrer é muito maior 
que uma criança ou um jovem, o idoso poderá 
cessar de existir dentro de um ano ou uma déca-
da! No entanto ele poderá sentir-se feliz e realizá-
vel. Como poderá ser isso? Temos o segredo: vi-
ver um dia de cada vez, o mais positivo possível.
Com a lei das probabilidades podemos ajudar-nos 
FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA 46
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a manter a mente tranquila. Será que acontece isso 
frequentemente? É provável que aconteça? Será que 
acontece mesmo? Segundo as probabilidades pode-
mos analisar todos os factos racionalmente. As más 
notícias, espalham-se rapidamente, porém as boas, 
demoram, e às vezes lamentavelmente não chegam 
a ser reveladas. Se desenvolver a sua auto-estima 
e confi ança, sentirá que nada o poderá afetar.(SI-
THERC, 2010).
Eventos independentes, dependentes e mutuamente 
exclusivos
Em probabilidade, eventos independentes são eventos distintos de um 
único espaço amostral, ou seja, dois eventos diferentes usando os mesmos 
dados. Quando temos um certo espaço amostral e calculamos dois eventos 
independentes, calculamos sua probabilidade de forma separada.
P (B/A) = P (B) e P (B/A) = P (A)
Exemplo:
Um baralho é composto de 52 cartas, no qual temos a presença de quatro 
naipes: copas, ouro, paus e espadas. Deste modo, cada naipe é representado por 
13 cartas. Calcule a probabilidade de escolhermos ao acaso e, sucessivamente, 
três cartas de um mesmo naipe sem reposição.
1a retirada = 13 / 52
2a retirada = 12 / 51
3a retirada = 11 / 50
 P
 
= 
13 
 . 
12 
.
 11 
= 0,0129 = 1,29%
52 51 50
Exemplo:
Ao lançarmos uma moeda duas vezes, qual é a probabilidade de ob-
termos cara no segundo lançamento? Vamos indicar C para cara e K para 
coroa. Assim, temos as seguintes possibilidades:
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E = {(C,C), (C,K), (K,K), (K,C)}
A probabilidade é de aproximadamente 1,29%.
Total de probabilidades 4 ou n (E) = 4
As possibilidades de cara são:
A = {(C,C), (K,C)}, n (A) = 2 
Então:
P (A)
 
= 
P (A) 
 = 
2 
=
 1 
ou seja, 50%
n (E) 4 2
Vamos, agora, calcular a probabilidade de obtermos no segundo lançamen-
to, também, cara, sabendo que já tivemos cara no primeiro lançamento. Como 
temos dois eventos – cara no primeiro e cara no segundo –, e já tendo ocorrido o 
evento A, temos que o evento B só pode ter acontecido na intersecção de A e B.
P A = n (A B) = 1
B n (B) 2
Então, temos:
P A = P (A) = 1
 B 2 
Por esse motivo, dizemos que A e B são eventos independentes. Eventos 
dependentes são aqueles que, para acontecerem, dependem necessariamen-
te um do outro. Vamos utilizar a fórmula de probabilidade independente.
P A = p (A B)
B p (B)
Agora, vamos desenvolver a fórmula da probabilidade de dois even-
tos simultâneos:
p (A B) = p (A/B) * p (B)
Para que tenhamos a probabilidade de dois eventos dependentes, ou 
seja, simultâneos, devemos fazer o produto da probabilidade de o primeiro 
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evento acontecer pela probabilidade de o segundo evento acontecer, isto é, 
p (A B). 
Veja o exemplo: uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. 
Qual é a probabilidade de ocorrer coroa e número par? 
Devemos achar primeiro o espaço amostral S, o conjunto com todas as 
possibilidades. Iremos estabelecer C para cara e K para coroa. Dessa forma, 
S = {(C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (K, 1); (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 
6)} n (S) = 12.
Temos os eventos A e B. A indica que temos coroa, B indica que temos número par.
P (A B) = p (A) * p (B)
Em p (A) = ½, ao lançarmos uma moeda, há metade de chance de sair cara 
e metade de sair coroa. Em p(B) = 3/6 = ½, há 6 possíveis resultados no lança-
mento de um dado, e três deles são números pares. 
Logo:
P (A B) = ½ * ½ = 
1
 
4
Serão denominados eventos mutuamente exclusivos aqueles que não po-
dem ocorrer ao mesmo tempo. Um exemplo disso é o lançamento de um dado, 
no qual podemos ter como resultado o número 2 ou 5, mas não ambos juntos.
Para que dois eventos sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade de 
que um dos dois eventos ocorra é igual à soma das probabilidades de que cada 
um deles ocorra, ou seja, os elementos desses eventos não vão se repetir.
P (A U B) = P (A) + P (B)
Se considerarmos dois eventos A e B que pertençam a um mesmo espaço 
amostral, haverá a presença de elementos repetidos. Desse modo:
P (A U B) = P (A) + P(B) - P (A B)
Veja o exemplo: 
Vamos imaginar que você tem três vasos diferentes. Vamos chamá-los de 
A, B e C. Você quer colocá-los um ao lado do outro em uma mesa que está pre-
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parando para um jantar. Qual será a probabilidade que a ordem em que eles 
sejam colocados na mesa seja ABC?
Primeiro, vamos determinar o espaço amostral para o evento. Como esses 
vasos podem ser colocados em qualquer ordem, e cada uma das possibilidades 
de ordem corresponde a um evento di-
ferente – pois a ordem importa neste 
caso –, o espaço amostral será {ABC, 
ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}. Percebam 
que o espaço amostral é formado por 
seis elementos, a permutação entre os 
três vasos. Portanto, a probabilidade de 
que os vasos tenham sido colocados na 
sequência ABC é de P (ABC) = 1/6.
Isso se deve pela junção de todas 
as teorias de probabilidade. Essa jun-
ção foi feita em 1933 pelo matemático 
russo A. N. Kolmogorov.
Valor esperado
Na estatística, ou Teoria das Probabilidades, o valor esperado – também 
chamado de esperança matemática de uma variável – é a soma do produto de 
cada probabilidade do evento pelo seu valor nominal.
 
Figura 2. Andrey Kolmogorov (1903-1987). 
Uma fabricante de bicicletas está participando de três licitações públicas, 
para fornecimento de bikes para as ciclovias de uma cidade. Seus possíveis 
lucros são: 30, 50 e 60 mil reais, respectivamente. Como a probabilidade desse 
fabricante vencer as licitações são de 0,3; 0,7 e 0,2, respectivamente,