exer_edb_respostas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
ICEx-Departamento de Matemática
Exerćıcios de EDB - 2021/1
Professora: Aniura Milanés
SEMANA 1
Exerćıcio 1.
Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada
equação linear é ou não homogênea.
(a) x2∂3yxxu+ y
2∂2yu− log(1 + y2)u = 0;
(b) ∂xu+ u
3 = 1;
(c) u∂4yyxxu+ e
x∂xu = y;
(d) u∂2xu+ ∂
2
yu− u = 0;
(e) ∂2xu+ ∂tu = 3u;
Solução 1.
(a) Linear de terceira ordem, homogênea.
(b) Não linear de primeira ordem.
(c) Não linear de quarta ordem.
(d) Não linear de segunda ordem.
(e) Linear de segunda ordem, homogênea.
Exerćıcio 2.
Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.
(a) u(x, y) = x+ y, ∂2xu+ ∂
2
yu = 0;
(b) u(x, t) = x2 + 2t, ∂2xu = ∂tu;
(c) u(x, y) = sen(x) cosh(y)1, ∂2xu+ ∂
2
yu = 0;
(d) u(x, y) = sen(x− ct), ∂2t u− c2∂2xu = 0, onde c é uma constante;
(e) u(x, y) = f(x) + g(y),
∂2u
∂y∂x
= 0, onde f e g são funções arbitrárias;
(f) u(x, y) = f(x+ y) + g(x− y), ∂2xu− ∂2yu = 0, onde f e g são funções arbitrárias.
Solução 2.
Calcular as derivadas necessárias e substituir nas equações.
Exerćıcio 3.
Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir
(a) ∂xu = 3x
2 + y2, u = u(x, y), (b) ∂3zyxu = 1, u = u(x, y, z),
1cosh(y) =
ey + e−y
2
2
Solução 3.
(a) u(x, y) = x3 + xy2 + f(y),
(b) u(x, y, z) = xyz + f(x, y) + g(x, z) + h(y, z),
Exerćıcio 4.
Verifique que as funções u1(x, y) = y, u2(x, y) = 2xy, u3(x, y) = x
3− 3xy2, u4(x, y) = ex sen y são soluções
da equação de Laplace bidimensional ∂2xu+ ∂
2
yu = 0. Construa quatro novas soluções desta equação usando
o Prinćıpio de Superposição.
Solução 4.
Calcular as derivadas e substituir nas equações. Para construir as novas soluções, você deve considerar 4
conjuntos de constantes c1, c2, c3 e c4 e definir
v(x, y) = c1u1(x, y) + c2u2(x, y) + c3u3(x, y) + c4u4(x, y)
= c1y + 2c2xy + c3(x
3 − 3xy2) + c4ex sen y.
Exerćıcio 5.
(a) Verifique que as funções u(x, t) = x e v(x, t) = x2 + 2t satisfazem a equação do calor.
(b) Como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?
Solução 5.
(a) Derivar e substituir.
(b) Montando combinações lineares, pois a equação é linear e homogênea, por exemplo, w(x, t) = 2x+3x2+6t.
Exerćıcio 6.
Escreva a forma geral das EDPs lineares de segunda ordem com função incógnita u = u(x, y). Quando a
equação será homogênea? Por que você acha que eu não escrevi ela nas notas de aula?
Solução 6.
a(x, y)∂2xu+ b(x, y)∂
2
xyu+ c(x, y)∂
2
yu+ d(x, y)∂xu+ e(x, y)∂yu+ f(x, y)u = g(x, y).
Não escrevi nas notas de aula porque ela é bem grande .
Exerćıcio 7.
Verifique que para cada n ∈ N, a função
un(x, t) = e
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
satisfaz a equação do calor ∂tu = k∂
2
xu.
Solução 7.
∂tun(x, t) = ∂t[e
−(nπ
L
)2kt] sen
(nπ
L
x
)
= −
(nπ
L
)2
ke−(
nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
e
∂xun(x, t) = e
−(nπ
L
)2kt∂x[sen
(nπ
L
x
)
] =
nπ
L
e−(
nπ
L
)2kt cos
(nπ
L
x
)
∂2xun(x, t) =
nπ
L
e−(
nπ
L
)2kt∂x[cos
(nπ
L
x
)
] = −
(nπ
L
)2
e−(
nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
Portanto, ∂tun = k∂
2
xun.
Exerćıcio 8.
Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer
as funções X e T para obtermos soluções fatoradas da forma u(x, t) = X(x)T (t).
3
(a) ∂tu = ∂
2
xu− 3∂xu.
(b) ∂2xu+ ∂
2
yu = 0.
(c) ∂tu = k∂
4
xu.
(d) ∂2t u = c
2∂2xu, c > 0.
Solução 8.
(a)
∂tu = ∂
2
xu− 3∂xu⇒ X(x)T ′(t) = X ′′(x)T (t)− 3X ′(x)T (t)⇒
T ′(t)
T (t)
=
X ′′(x)
X(x)
− 3X
′(x)
X(x)
⇒ para alguma constante λ, T
′(t)
T (t)
=
X ′′(x)
X(x)
−3X
′(x)
X(x)
= λ⇒ as EDOs são T ′ = λT,X ′′−3X ′−λX = 0.
(b)
∂2xu+ ∂
2
yu = 0⇒ X ′′(x)Y (y) +X(x)Y ′′(y) = 0⇒
X ′′(x)
X(x)
= −Y
′′(y)
Y (y)
⇒ X
′′(x)
X(x)
= −Y
′′(y)
Y (y)
= λ para alguma constante λ,⇒ as EDOs são X ′′ = λX, Y ′′ = −λY
(c)
∂tu = k∂
4
xu⇒ X(x)T ′(t) = kX(4)(x)T (t)⇒
T ′(t)
kT (t)
=
X(4)(x)
X(x)
⇒ para alguma constante λ, T
′(t)
kT (t)
=
X(4)(x)
X(x)
= λ⇒ as EDOs são T ′ = λkT,X(4) − λX = 0.
(d)
∂tu = c
2∂2xu⇒ X(x)T ′(t) = c2X ′′(x)T (t)⇒
T ′(t)
c2T (t)
=
X ′′(x)
X(x)
⇒ para alguma constante λ, T
′(t)
c2T (t)
=
X ′′(x)
X(x)
= λ⇒ as EDOs são T ′ = λc2T,X ′′ − λX = 0.
Exerćıcio 9.
Determine a solução do problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 < x < 3, t > 0;
CF u(0, t) = 0 u(3, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 3.
nos casos
(a) f(x) = 4 sen
(2πx
3
)
− sen
(5πx
3
)
(b) f(x) = 5 sen(4πx) + 2 sen(10πx)
(c) f(x) = −9 cos
(π
6
(2x+ 3)
)
(d) f(x) = 3 cos
(8πx
3
+
π
2
)
− 3 cos
(8πx
3
− π
2
)
+
sin(5πx)
4
Solução 9.
Neste problema temos que L = 3 e k = 2, portanto para construir as soluções devemos
� comprovar que f é combinação linear de funções da forma sen
(nπ
3
x
)
, n ∈ N;
� montar a solução u(x, t) multiplicando cada função sen
(nπ
3
x
)
pela exponencial e−(
nπ
3
)22t = e−
2
9
n2π2t, n ∈
N.
(a) u(x, t) = 4e−
8
9
π2t sen
(2πx
3
)
− e−
50
9
π2t sen
(5πx
3
)
(b) u(x, t) = 5e−32π
2t sen(4πx) + 2e−200π
2t sen(10πx)
(c) u(x, t) = 9e−
2
9
π2t sen
(π
3
x
)
(d) f(x) = 3 cos
(8πx
3
+
π
2
)
− 3 cos
(8πx
3
− π
2
)
+ sin(5πx) = −3 sen
(8πx
3
)
− 3 sen
(8πx
3
)
+ sin(5πx) =
−6 sen
(8πx
3
)
+ sin(5πx)⇒ u(x, t) = −6e−
128π2
9
t sen
(8πx
3
)
+ e−50π
2t sin(5πx).
Exerćıcio 10.
O aluno X acha que entendeu o prinćıpio de superposição e faz o seguinte racioćınio:
Como v(x, y) = x é solução da equação de Laplace bidimensional, então w(x, y) = xv(x, y) = x2 também é.
Mas a aluna Y substitui a função w na equação e obtém o seguinte.
∂2xw = 2, ∂
2
yw = 0⇒ ∂2xw + ∂2xw = 2.
w não é solução da equação!! Qual é o erro no racioćınio de X?
Solução 10.
X multiplicou a solução v por uma função não constante, a função x.
F Exerćıcio 11.
Considere a equação
∂xu∂yu− u (∂xu+ ∂yu) + u2 = 0.
(a) Esta EDP é não linear. Explique por quê.
(b) Verifique que as funções u1(x, y) = e
x e u2(x, y) = e
y são soluções desta equação.
(c) Verifique que para constantes arbitrárias c1 e c2, as funções c1u1 e c2u2 também são soluções da equação.
(d) Comprove que u = u1+u2 não é solução da equação. Sugestão: Verifique que ∂xu∂yu−u (∂xu+ ∂yu)+
u2 = (∂xu− u) (∂yu− u)
(e) Prove que u = c1u1 + c2u2 será solução somente se c1 = 0 ou c2 = 0.
F Solução 11.
(a) Aparecem potências quadráticas de u, produtos de derivadas parciais e produtos da função incógnita com
derivadas parciais.
(b) Derivar e substituir.
(c) Substituir na equação.
5
(d) Substituindo na equação,
(∂xu1 + ∂xu2 − u1 − u2)(∂yu1 + ∂yu2 − u1 − u2) = ex+y 6= 0
(e) Substituindo u = c1u1 + c2u2 na equação, obtemos
(c1∂xu1 + c2∂xu2 − c1u1 − c2u2)(c1∂yu1 + c2∂yu2 − c1u1 − c2u2) = c1c2ex+y = 0⇔ c1 = 0 ou c2 = 0.
6
SEMANA 2
Exerćıcio 12.
Verifique que a única função da forma X(x) = c1 + c2x satisfazendo X(0) = X(L) = 0 é a função nula,
calculando os coeficientes c1 e c2 e concluindo que eles devem ser nulos.
Solução 12.
Substituindo x = 0 e x = L obtemos
X(0) = c2 = 0⇒ c2 = 0
X(L) = c1L+ c2 = c1L = 0⇒ c1 = 0.
Como c1 = c2 = 0, X deve ser a função constante zero.
Exerćıcio 13.
Sem usar a fórmula obtida nas notas de aula, determine todas as soluções fatoradas da equação do calor
∂tu = 2∂
2
xu que se anulam quando x = 0 e quando x = 3.
Solução 13.
1. Encontrar as EDOs satisfeitas por X = X(x) e T = T (t) de forma que u(x, t) = X(x)T (t) seja solução
da equação:
T ′ = 2λT,X ′′ − λX = 0, para algum λ ∈ R
2. Achar a solução geral de cada uma dessas EDOs.
Para qualquer valor de λ, T (t) = Ce2λt. Além disto,
� para λ = 0, X(x) = c1 + c2x;
� para λ = α2 > 0, com α > 0, X(x) = c1e
αx + c2e
−αx;
� para λ = −α2 < 0, com α > 0, X(x) = c1 cosαx+ c2 senαx;
3. Como u(0, t) = u(3, t) = 0 para todo t ≥ 0⇒ X(0) = X(3) = 0, precisamos encontrar as soluções de
X ′′−λX = 0, X(0) = X(3) =0. Se λ ≥ 0, apenas a solução nula satisfaz essas condições de fronteira.
Obtemos soluções não necessariamente nulas satisfazendo essas condições de fronteira apenas no caso
λ = −
(
nπ
3
)2
, α = nπ3 , com n ∈ N.
Nesse caso, a fórmula dessas soluções é X(x) = c2 senαx, sendo c2 uma constante arbitrária.
Para n ∈ N, vamos denotar de bn uma constante real qualquer, de αn = nπ3 e λn = −
(
nπ
3
)2
.
Assim, as soluções procuradas são da forma un(x, t) = bne
−2α2nt senαnx.
Exerćıcio 14.
O problema a seguir
ED ∂tu = ∂
2
xu, 0 < x < 1, t > 0;
CF ∂xu(0, t) = 0 ∂xu(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1.
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas
termicamente.
(a) Se u(x, t) = X(x)T (t) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima,
qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?
(b) Para quais valores de λ esse problema tem solução? Determine essas soluções.
7
(c) Obtenha as soluções fatoradas que você precisaria usar para resolver esse problema usando o método de
separação de variáveis.
Solução 14.
Exerćıcio 15.
Determine a série de Fourier das funções a seguir.
(a) f(x) = x, −L ≤ x ≤ L;
(b) f(x) = 3x+ 1, −L ≤ x ≤ L;
(c) f(x) = |x|, estendida de forma 2L-periódica;
(d) f(x) = x2, −L ≤ x ≤ L;
(e) f(x) = x3, −L ≤ x ≤ L;
(f) f(x) = x3 − L2x, −L ≤ x ≤ L;
(g) f(x) = x cos(πx/L), −L ≤ x ≤ L.
(h) f(x) = ex, −L ≤ x ≤ L.
Solução 15.
(a) Sf(x) =
2L
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
(nπ
L
x
)
;
(b) Sf(x) = 1 +
6L
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
(nπ
L
x
)
;
(c) Sf(x) =
L
2
+
2L
π2
∞∑
n=1
(−1)n − 1
n2
cos
(nπ
L
x
)
;
(d) Sf(x) =
L2
3
+
4L2
π2
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos
(nπ
L
x
)
;
(e) Sf(x) =
L3
π3
∞∑
n=1
(12− 2π2n2)(−1)n
n3
sen
(nπ
L
x
)
;
(f) Sf(x) =
12L3
π3
∞∑
n=1
(−1)n
n3
sen
(nπ
L
x
)
;
(g) Sf(x) = − L
2π
sen
(π
L
x
)
+
2L
π
∞∑
n=2
n(−1)n
n2 − 1
sen
(nπ
L
x
)
.
(h) Sf(x) =
1
π
senh(π) +
2
π
senh(π)
∞∑
n=1
[
(−1)n
n2 + 1
cos(nx)− n(−1)
n
n2 + 1
sen(nx)
]
.
Exerćıcio 16.
Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].
(a) f(x) =
{
1, |x| ≤ π2 ;
0, caso contrário.
(b) f(x) =
{
1, 12π < |x| ≤ π;
0, caso contrário.
(c) f(x) =
{
1, 12π < x ≤ π;
0, caso contrário.
;
8
Solução 16.
(a) Sf(x) =
1
2
+
2
π
∞∑
n=1
sen
(
nπ
2
)
n
cos(nx)
(b) Sf(x) =
1
2
− 2
π
∞∑
n=1
sen
(
nπ
2
)
n
cos(nx)
(c) Sf(x) =
1
4
− 1
π
∞∑
n=1
[
sen
(
nπ
2
)
n
cos(nx) +
(−1)n − cos
(
nπ
2
)
n
sen(nx)
]
Exerćıcio 17.
Verdadeiro ou falso? Justifique
(a) A série de Fourier da função 2f(x) é obtida multiplicando cada termo na série de Fourier de f(x) por 2.
(b) Os coeficientes de Fourier de f(x) + g(x) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f(x) e
de g(x).
(c) Os coeficientes de Fourier de f(x) ·g(x) se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de f(x)
e g(x).
Solução 17.
(a) V
(b) V
(c) F
Exerćıcio 18.
Verifique as igualdades∫ L
−L
sen
(nπ
L
x
)
cos
(mπ
L
x
)
dx = 0, n = 1, 2, . . . ,m = 0, 1, 2, . . . ; (1)∫ L
−L
cos
(nπ
L
x
)
cos
(mπ
L
x
)
dx = 0, n = 1, 2, . . . ,m = 1, 2, . . . , n 6= m; (2)∫ L
−L
sen
(nπ
L
x
)
sen
(mπ
L
x
)
dx = 0, n = 1, 2, . . . ,m = 1, 2, . . . , n 6= m (3)
e ∫ L
−L
cos2
(nπ
L
x
)
dx = L; (4)∫ L
−L
sen2
(nπ
L
x
)
dx = L. (5)
9
utilizando as identidades trigonométricas a seguir
cos2(α) =
1 + cos(2α)
2
(6)
sen2(α) =
1− cos(2α)
2
(7)
sen(α) cos(β) =
sen(α+ β) + sen(α− β)
2
(8)
sen(α) sen(β) =
cos(α− β)− cos(α+ β)
2
(9)
cos(α) cos(β) =
cos(α+ β) + cos(α− β)
2
. (10)
Exerćıcio 19.
Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
(a) f(x) = sen(x)− cos(15x), −π ≤ x ≤ π;
(b) f(x) = sen3(x), −π ≤ x ≤ π;
(c) f(x) = cos(πx) sen(πx), −1 ≤ x ≤ 1;
(d) f(x) = sen(x)[sen(x) + cos(x)]2, −π ≤ x ≤ π;
Sugestão : Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
p(x) =
a0
2
+
N∑
n=1
[
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)]
?
Utilize as fórmulas da questão anterior.
Solução 19.
Os coeficientes de Fourier da função p são os números an para 0 ≤ n ≤ N e bn para 0 ≤ n ≤ N e valem
zero para n > N . Isto é consequência das fórmulas dos coeficientes de Fourier e das propriedades no exerćıcio
anterior. Portanto, a função p coincide com sua série de Fourier.
Precisaremos usar funções trigonométricas para escrever as funções dadas de forma similar à função p.
(a) f(x) = sen(x)− cos(15x), −π ≤ x ≤ π;
(b)
f(x) = sen3(x)
= sen(x)
1− cos(2x)
2
=
1
2
sen(x)− 1
2
sen(x) cos(2x)
=
1
2
sen(x)− 1
4
(sen(3x)− sen(x))
=
3
4
sen(x)− 1
4
sen(3x).
Neste caso b1 = 3/4, b3 = −1/4 e todos os demais coeficientes são nulos.
(c) f(x) = 12 sen(2πx). Portanto, b2 = 1/2 e todos os demais coeficientes são nulos.
10
(d)
f(x) = sen(x)[sen(x) + cos(x)]2
= sen(x)(1 + 2 sen(x) cos(x))
= sen(x) + sen(x) sen(2x)
= sen(x) +
1
2
(cos(x)− cos(3x))
= sen(x) +
1
2
cos(x)− 1
2
cos(3x)
Portanto, b1 = 1, a1 = 1/2, a3 = −1/2 e todos os outros coeficientes são nulos.
11
SEMANA 3
Teorema de convergência das séries de Fourier
Exerćıcio 20.
Para todas as funções cujas séries de Fourier você calculou nos exerćıcios 14 (a), (c) e (h) e 15 (a), (b) e (c) ,
(a) Explique por que estas funções satisfazem as hipóteses do teorema de convergência das séries de Fourier
estudado nesta semana.
(b) Em quais pontos x do intervalo [−L,L] vale que f(x) = Sf(x)?
(c) Esboce o gráfico de Sf(x) no intervalo [−3L, 3L].
Solução 20.
Exerćıcio 21.
Considere a igualdade
π
2
+
2
π
∞∑
n=1
[(−1)n − 1]
n2
cosnx = |x|.
Para quais valores de x ela é válida? Por quê?
Solução 21.
A expressão
π
2
+
2
π
∞∑
n=1
[(−1)n − 1]
n2
cosnx é a série de Fourier da função f(x) = |x|, estendida com peŕıodo 2π
fora do intervalo [−π, π]. Pelo teorema sobre a convergência das séries de Fourier, sabemos que ela coincide
com |x| sobre todo esse intervalo.
Série de Fourier de funções pares e ı́mpares
Exerćıcio 22.
As funções abaixo são pares, ı́mpares ou nenhuma das duas coisas?
(a) f(x) = x6
(b) f(x) = ex
(c) f(x) = x2 − 11x3
(d) f(x) =
1
x
(e) f(x) =
1
1 + x2
(f) f(x) = x cosx
Solução 22.
(a) Par
(b) Nem par nem ı́mpar
(c) Nem par nem ı́mpar
(d) Ímpar
(e) Par
(f) Ímpar
Exerćıcio 23.
Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [−π, π], obtenha sua série de Fourier e esboce seu
gráfico no intervalo [−3π, 3π].
12
(a) f(x) =
{
1, 0 ≤ x ≤ π;
−1, −π ≤ x < 0. (b) f(x) =
{
1− |x|, |x| < 1;
0, 1 ≤ |x| ≤ π.
Solução 23.
(a) Sf(x) =
2
π
∞∑
n=1
1− (−1)n
n
sennx (b) Sf(x) =
1
2π
− 2
π
∞∑
n=1
cosn− 1
n2
cosnx
Exerćıcio 24.
Assumindo que f e f ′ estão definidas em [−L,L], verifique que f ′ é ı́mpar se f é par e viceversa.
Solução 24.
Se f é par, f(x) = f(−x)⇒ f ′(x) = −f ′(−x) pela Regra da Cadeia e portanto, f ′ é ı́mpar.
Se f ′ é ı́mpar, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, f(x) = f(0) +
∫ x
0 f
′(τ)dτ . Então
f(−x) = f(0) +
∫ −x
0
f ′(τ)dτ = f(0)−
∫ x
0
f ′(−τ)dτ = f(0) +
∫ −x
0
f ′(τ̃)dτ̃ = f(x)
e assim, f é par.
Exerćıcio 25.
Prove a proposição 3.1 descrevendo as propriedades das funções pares e ı́mpares.
Solução 25.
Deixo para vocês
Série de Fourier de senos e de cossenos
Exerćıcio 26.
Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da
Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo [−3L, 3L].
(a) f(x) = cos(x), 0 ≤ x ≤ π.
(b) f(x) = x, 0 ≤ x ≤ L.
(c) f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ L.
(d) f(x) = x(L− x), 0 ≤ x ≤ L.
(e) f(x) = x3, 0 ≤ x ≤ L.
(f) f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ L/2;
L− x, L/2 < x ≤ L.
(g) f(x) =
{
sen
(
πx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L/2;
0, L/2 < x ≤ L.
Solução 26.
(a)
2
π
∞∑
n=2
n(1 + (−1)n)
n2 − 1
sennx
(b)
2L
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
(nπ
L
x
)
(c) −L
2
π3
∞∑
n=1
4 + (−1)n(2π2n2 − 4)
n3
sen
(nπ
L
x
)
(d)
4L2π3
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n3
sen
(nπ
L
x
)
(e)
L3
π3
∞∑
n=1
(−1)n 12− 2π
2n2
n3
sen
(nπ
L
x
)
(f)
4L
π2
∞∑
n=1
sen(nπ/2)
n2
sen
(nπ
L
x
)
13
(g)
1
2
sen
(π
L
x
)
− 2
π
∞∑
n=2
cos(nπ/2)
n2 − 1
sen
(nπ
L
x
)
Exerćıcio 27.
Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da
Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo [−3L, 3L].
(a) f(x) = sen(x), 0 ≤ x ≤ π.
(b) f(x) = x, 0 ≤ x ≤ L.
(c) f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ L.
(d) f(x) = x(L− x), 0 ≤ x ≤ L.
(e) f(x) = x3, 0 ≤ x ≤ L.
(f) f(x) =
{
1, 0 ≤ x ≤ h;
0, h < x ≤ π. ,
com h ∈ (0, π).
(g) f(x) =
{
cos
(
πx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L/2;
0, L/2 < x ≤ L.
Solução 27.
(a)
2
π
+
2
π
∞∑
n=2
(1 + (−1)n)
n2 − 1
cosnx
(b)
L
2
+
2L
π2
∞∑
n=1
(−1)n − 1
n2
cos
(nπ
L
x
)
(c)
L2
3
+
4L2
π2
∞∑
n=1
(−1)n
nn
cos
(nπ
L
x
)
(d)
L2
6
− 2L
2
π2
∞∑
n=1
(−1)n+1 − 1
n2
cos
(nπ
L
x
)
(e)
L3
4
+
6L3
π4
∞∑
n=1
2 + (−1)n(π2n2 − 2)
n4
cos
(nπ
L
x
)
(f)
h
π
+
2
π
∞∑
n=1
sennh
n
cos
(nπ
L
x
)
(g)
2
π
+
1
2
cos
(π
L
x
)
− 2
π
∞∑
n=2
cos(nπ/2)
n2 − 1
cos
(nπ
L
x
)
Exerćıcio 28.
Suponha que f é uma função cont́ınua com derivada cont́ınua por partes.
(a) Se f : [−L,L]→ R, sob quais condições f(x) coincide com sua série de Fourier para todo x satisfazendo
−L ≤ x ≤ L?
(b) Se f : [0, L] → R, sob quais condições f(x) coincide com sua série de Fourier em senos para todo x
satisfazendo 0 ≤ x ≤ L?
(c) Se f : [0, L] → R, sob quais condições f(x) coincide com sua série de Fourier em cossenos para todo x
satisfazendo 0 ≤ x ≤ L?
Solução 28.
(a) f(−L) = f(L)
(b) f(0) = f(L) = 0
(c) Não é necessária nenhuma condição.
14
SEMANA 4
Condução do calor na barra
Exerćıcio 29.
Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40 cm cujas extremidades são mantidas à
temperatura de 00C para todo t > 0.
Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição inicial
de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique.
Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1.
(a) u(x, 0) = 50, 0 ≤ x ≤ 40.
(b) u(x, 0) =

0, 0 ≤ x < 10;
50, 10 ≤ x ≤ 30
0, 30 < x ≤ 40.
.
(c) u(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ 40.
(d) u(x, 0) =
{
x, 0 ≤ x < 20;
40− x, 20 ≤ x ≤ 40. .
Solução 29.
Em todos os casos precisaremos expandir a temperatura inicial na sua série de Fourier em senos e a partir
dáı, construir a solução. Ela será uma solução formal porque está dada em forma de série e não chegamos a
estudar os resultados teóricos que fundamentam que de fato, essa série representa a solução e em que sentido.
Aqui, L = 40, k = 1.
(a) Série de Fourier em senos de f :
100
π
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n
sen
(nπ
40
x
)
Solução:
100
π
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n
e−
n2π2
1600
t sen
(nπ
40
x
)
A solução vale zero quando x = 0 e x = 40, por isso não satisfaz a condição inicial nesses pontos.
(b) Série de Fourier em senos de f :
100
π
∞∑
n=1
cos(nπ/4)− cos(3nπ/4)
n
sen
(nπ
40
x
)
Solução:
100
π
∞∑
n=1
cos(nπ/4)− cos(3nπ/4)
n
e−
n2π2
1600
t sen
(nπ
40
x
)
Pelo teorema de convergência das séries de Fourier que estudamos, sabemos que no instante inicial a
solução vale 25 quando x = 10 e x = 30, por isso não satisfaz a condição inicial nesses pontos.
15
(c) Série de Fourier em senos de f :
80
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
(nπ
40
x
)
Solução:
80
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
e−
n2π2
1600
t sen
(nπ
40
x
)
A solução vale zero quando x = 40, por isso não satisfaz a condição inicial nesse ponto.
(d) Série de Fourier em senos de f :
160
π2
∞∑
n=1
sen(nπ/2)
n2
sen
(nπ
40
x
)
Solução:
160
π2
∞∑
n=1
sen(nπ/2)
n2
e−
n2π2
1600
t sen
(nπ
40
x
)
A série de Fourier em senos de f coincide com f sobre todo o intervalo [0, 40]. Por isso, neste caso a
condição inicial é satisfeita em todos os pontos.
F Exerćıcio 30.
Considere o problema
ED ∂tu− ∂2xu− hu = 0, 0 < x < π, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = x(π − x), 0 ≤ x ≤ π.
onde h é uma constante real.
(a) Encontre a solução deste problema.
(b) A condição inicial é satisfeita?
(c) Determine para quais valores de h existe limu(x, t) quando t→∞, para todo x ∈ [0, π].
F Solução 30.
(a) Usando o método de separação de variáveis, chegaremos a que u(x, t) = X(x)T (t) satisfaz a equação e
as condições de fronteira se e somente se
X ′′ = λX, X(0) = X(π) = 0
T ′(t) = (h+ λ)T (t).
Portanto, as soluções que podemos usar para resolver este problema são
un(x, t) = bne
(h−n2)t sennx, n ∈ N.
Como un(x, 0) = bn sennx, precisaremos da série de Fourier em senos de f(x) = x(π − x), 0 ≤ x ≤ π
para construir a solução. Esta série é
4
π
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n3
sennx.
16
Portanto, a solução formal se escreve da forma
u(x, t) =
4
π
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n3
e(h−n
2)t sennx =
4eht
π
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n3
e−n
2t sennx.
(b) Sim, porque f coincide com sua série de Fourier em senos no intervalo [0, π].
(c) h ≤ 0
Barra com extremidades isoladas
Exerćıcio 31.
Resolva o problema
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 3, t ≥ 0;
CF ∂xu(0, t) = 0, ∂xu(3, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 3
nos casos seguintes:
(a) f(x) =
1
3
− 4 cos
(
2π
3
x
)
+
√
2 cos
(
5π
3
x
)
.
(b) f(x) = −13 cos (πx) + 25 cos(2πx)
(c) f(x) = − sen2
(
2π
3
x
)
.
Solução 31.
Neste caso, L = 3, k = 3 e na condição inicial f precisamos ter combinações lineares de funções da faḿılia
cos
(
nπ
3 x
)
, n ≥ 0.
(a) u(x, t) =
1
3
− 4e−
4
3
π2t cos
(
2π
3
x
)
+
√
2e−
25
3
π2t cos
(
5π
3
x
)
.
(b) u(x, t) = −13e−3π2t cos (πx) + 25e−12π2t cos(2πx)
(c) u(x, t) = −1 + e−
16
3
π2t cos
(
4π
3
x
)
.
Exerćıcio 32.
Verifique que todas as soluções fatoradas da equação do calor da forma u(x, t) = e−α
2kt[c1e
αx + c2e
−αx] que
satisfazem as condições de fronteira que representam extremidades isoladas devem ser nulas.
Solução 32.
ux(0, t) = αe
α2kt[c1 − c2] = 0⇒ c1 = c2
ux(L, t) = αe
α2kt[c1e
αL − c2e−αL]
= c1αe
α2kt[eαL − e−αL] = 0⇒ c1 = 0⇒ c2 = 0⇒ u ≡ 0.
17
Exerćıcio 33.
Uma barra metálica de comprimento L = 1 com constante de difusividade térmica k = 1 é isolada ter-
micamente, incluindo seus extremos. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é u(x, 0) = f(x)
onde
f(x) =

1, 0 ≤ x ≤ 14 ,
−4x+ 2, 14 ≤ x ≤
3
4 ,
−1, 34 ≤ x ≤ 1.
Escreva a expressão da temperatura no instante t.
Solução 33.
(a) Coeficientes de Fourier da série em cossenos de f :
a0 = 0
an =
8
π2
cos(3nπ/4)− cos(nπ/4)
n2
− 16
π2
sen(nπ/4) sen(nπ/2)
n2
.
Portanto, a2l = 0 e os coeficientes não nulos são
a2l−1 = −
16
π2
sen((2l − 1)π/4) sen((2l − 1)π/2)
n2
=
(−1)l16
π2
sen((2l − 1)π/4
(2l − 1)2
.
Assim, a solução pode ser escrita da forma
u(x, t) =
16
π2
∞∑
l=1
(−1)le−(2l−1)2π2t sen((2l − 1)π/4
(2l − 1)2
cos((2l − 1)πx)
Gráficos
Barra com um extremo isolado e o outro com temperatura nula
Exerćıcio 34.
Considere a equação diferencial ordinária
X ′′(x)− λX(x) = 0.
Determine os valores de λ ∈ R para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as
condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere L > 0.
(a) X ′(0) = 0, X(L) = 0. (b) X(0) = 0, X ′(L) = 0.
Solução 34.
Nos dois casos λ = −
(
(n+ 1/2)π
L
)2
, n = 0, 1, . . . .
(a) Xn(x) = cn cos
(
(n+ 1/2)π
L
x
)
, n = 0, 1, . . .
(b) Xn(x) = dn sen
(
(n+ 1/2)π
L
x
)
, n = 0, 1, . . .
18
Exerćıcio 35.
(a) Utilize o item (b) do exerćıcio anterior para determinar todas as soluções fatoradas não nulas da equação
do calor satisfazendo as condições de fronteira para o problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0, ∂xu(L, t) = 0 t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L.
(b) Descreva uma interpretação f́ısica posśıvel para o problema acima.
(c) Resolvao problema se f(x) =
N∑
n=0
dn sen
[
(n+ 1/2)π
L
x
]
para algum inteiro N ≥ 0.
(d) Você conseguiria resolver o problema se f(x) =
∞∑
n=0
dn sen
[
(n+ 1/2)π
L
x
]
?
Solução 35.
(a) un(x, t) = dne
−
(
(n+1/2)π
L
)2
kt
sen
(
(n+ 1/2)π
L
x
)
, n = 0, 1, . . .
(b) u(x, t) =
N∑
n=0
dne
−
(
(n+1/2)π
L
)2
kt
sen
[
(n+ 1/2)π
L
x
]
(c) Não, porque não estudamos como expandir uma função em série de senos da forma sen
[
(n+ 1/2)π
L
x
]
.
Se tiver curiosidade, pode dar uma olhada no livro do professor Reginaldo.
Condições de fronteira não homogêneas
Exerćıcio 36.
Determine a solução do problema de condução do calor
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 < x < 40, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(40, t) = −40, t > 0;
CI u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 40.
A solução obtida satisfaz a condição inicial?
Solução 36.
� Solução estacionária: v(x) = −x.
� Distribuição transiente de temperatura: w solução de
ED ∂tw = 3∂
2
xw, 0 < x < 40, t > 0;
CF w(0, t) = 0, w(40, t) = 0, t > 0;
CI w(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ 40.
� Solução do problema: u(x, t) = v(x) + w(x, t).
19
Exerćıcio 37.
Determine a solução estacionária do problema de condução do calor
ED ∂tu = ∂
2
xu− ∂xu, 0 < x < 1, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1.
Solução 37.
v deve satisfazer v′′ − v′ = 0 ⇒ v(x) = c1 + c2ex. A partir das condições de fronteira obtemos v(x) =
1
1− e
− e
x
1− e
.
Exerćıcio 38.
Determine a solução do problema
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 < x < π, t > 0;
CF ∂xu(0, t) = 4, ∂xu(π, t) = 4, t > 0;
CI u(x, 0) = sen(4x), 0 ≤ x ≤ π.
Solução 38.
� v(x) = 4x
� w: solução de
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 < x < π, t > 0;
CF ∂xu(0, t) = 4, ∂xu(π, t) = 4, t > 0;
CI u(x, 0) = sen(4x)− 4x, 0 ≤ x ≤ π.
� Solução do problema: u(x, t) = v(x) + w(x, t).
Exerćıcio 39.
Determine a solução de
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 1, ∂xu(1, t) = 1 t ≥ 0;
CI u(x, 0) = x+ sen(
3π
2
x) + 1, 0 ≤ x ≤ 1.
Sugestão: Determine a solução estacionária deste problema e utilize o exerćıcio 35 (a).
Solução 39.
u(x, t) = x+ e−
9
2
π2t sen
(
3π
2
x
)
− 1
Exerćıcio 40.
Resolva o problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = d, ∂xu(L, t) = c t ≥ 0;
CI u(x, 0) = cx+ d, 0 ≤ x ≤ L
onde c e d são constantes dadas.
Solução 40.
u(x, t) = cx+ d.
20
Exerćıcio 41.
Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com
ĺıquidos a temperaturas ge(t) e gd(t), respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é posśıvel
deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades
q(0, t) = −K∂xu(0, t) = −h[u(0, t)− ge(t)],
q(L, t) = −K∂xu(L, t) = h[u(L, t)− gd(t)],
onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade têrmica do material da barra e o
coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o ĺıquido e os extremos da barra.
Suponha que ge e gd são nulas, ou seja, ambos os ĺıquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.
(a) Escreva o problema de valor inicial com condições de fronteira para a equação do calor que corresponda
com a situação f́ısica descrita acima.
(b) Determine que condições de fronteira deve satisfazer X(x) para que uma solução fatorada u(x, t) =
X(x)T (t) da equação do calor satisfaça as condições de fronteira apresentadas acima.
(c) Qual seria a meior dificuldade para resolver o problema em (a)?
(d) Determine a solução estacionária do problema que você escreveu em (a).
Solução 41.
(a) 
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF ∂xu(0, t) =
h
K
u(0, t), ∂xu(L, t) = −
h
K
u(L, t), t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L.
(b) Além da equação X ′′ − λX = 0, para alguma constante λ, X deve satisfazer as condições de fronteira
X ′(0)− h
K
X(0) = 0,
X ′(L) +
h
K
X(L) = 0.
(c) O problema é que neste caso, encontrar as soluções expĺıcitas X = X(x).do problema anterior não é
posśıvel.
(d) A solução estacionária é a função v(x) = 0.
21
SEMANA 6
Exerćıcio 42.
Resolva o problema
∂2t u = c
2∂2xu, 0 ≤ x ≤ L, t > 0;
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0;
u(x, 0) = f(x) ∂tu(x, 0) = g(x).
nos casos seguintes:
(a) f(x) = 3 sen
(π
L
x
)
− sen
(4π
L
x
)
, g(x) = 0.
(b) f(x) = 0, g(x) =
1
2
sen
(2π
L
x
)
.
(c) f(x) = 3 sen
(π
L
x
)
− sen
(4π
L
x
)
, g(x) =
1
2
sen
(2π
L
x
)
.
(d) f(x) = sen3
(π
L
x
)
, g(x) = 0.
(e) f(x) = 0, g(x) = sen
(π
L
x
)
cos2
(π
L
x
)
.
(f) f(x) = sen3
(π
L
x
)
, g(x) = sen
(π
L
x
)
cos2
(π
L
x
)
.
Solução 42.
(a) u(x, t) = 3 cos
(πc
L
t
)
sen
(π
L
x
)
− cos
(4πc
L
t
)
sen
(4π
L
x
)
.
(b) u(x, t) =
L
4πc
sen
(2πc
L
t
)
sen
(2π
L
x
)
.
(c) u(x, t) = 3 cos
(πc
L
t
)
sen
(π
L
x
)
− cos
(4πc
L
t
)
sen
(4π
L
x
)
+
L
4πc
sen
(2πc
L
t
)
sen
(2π
L
x
)
.
(d) Usando identidades trigonométricas, podemos obter a igualdade
sen3 α =
3
4
senα− 1
4
sen 3α.
Portanto,
f(x) =
3
4
sen
(πx
L
)
− 1
4
sen
(3π
L
x
)
e assim,
u(x, t) =
3
4
cos
(πc
L
t
)
sen
(πx
L
)
− 1
4
cos
(3π
L
t
)
sen
(3π
L
x
)
(e)
senα cos2 α = senα− sen3 α = 1
4
senα+
1
4
sen 3α,
portanto,
g(x) =
1
4
sen
(πx
L
)
+
1
4
sen
(3πx
L
)
e assim,
u(x, t) =
L
4πc
sen
(πc
L
t
)
sen
(π
L
x
)
+
L
12πc
sen
(3πc
L
t
)
sen
(3π
L
x
)
.
22
(f) u(x, t) =
3
4
cos
(πc
L
t
)
sen
(πx
L
)
−1
4
cos
(3π
L
t
)
sen
(3π
L
x
)
+
L
4πc
sen
(πc
L
t
)
sen
(π
L
x
)
+
L
12πc
sen
(3πc
L
t
)
sen
(3π
L
x
)
..
Exerćıcio 43.
Resolva o problema
∂2t u = c
2∂2xu, 0 ≤ x ≤ L, t > 0;
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0;
u(x, 0) = f(x) ∂tu(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitudes dos dois primeiros harmônicos que
aparecem na solução.
(a) f(x) = x(L− x), g(x) = 0.
(b) f(x) = 0, g(x) = x cosx, L =
π
2
.
(c) f(x) = sen
(πx
L
)
, g(x) = x(L− x).
(d) L = 1, g(x) = 2, f(x) =

0, 0 ≤ x ≤ 13 ;
1
30
(
x− 1
3
)
, 13 ≤ x ≤
2
3 ;
1
30
(1− x), 23 ≤ x ≤ 1.
(e) L = 1, g(x) = 1, f(x) =

4x, 0 ≤ x ≤ 14 ;
1, 14 ≤ x ≤
3
4 ;
4(1− x), 34 ≤ x ≤ 1.
Solução 43.
(a) u(x, t) =
4L2
π3
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n3
cos
(nπc
L
t
)
sen
(nπ
L
x
)
(b) u(x, t) =
8
cπ
∞∑
n=1
(−1)n+1
(4n2 − 1)2
sen(2nct) sen(2nx)
(c) u(x, t) = cos
(πc
L
t
)
sen
(π
L
x
)
+
4L3
π4
∞∑
n=1
1 + (−1)n+1
n4
sen
(nπc
L
t
)
sen
(nπ
L
x
)
(d) u(x, t) =
2
15π2
∞∑
n=1
2 sen(2nπ/3)− sen(nπ/3)
n2
cos(nπct) sen(nπx)+
4
π2c
∞∑
n=1
1− (−1)n
n2
sen(nπct) sen(nπx).
(e) u(x, t) =
8
π2
∞∑
n=1
sen(3nπ/4) + sen(nπ/4)
n2
cos(nπct) sen(nπx)+
2
π2c
∞∑
n=1
1− (−1)n
n2
sen(nπct) sen(nπx).
23
Exerćıcio 44.
No problema da corda dedilhada com posição inicial f , verifique que
u
(
x, t+
L
c
)
= −u(L− x, t).
Isto mostra que posição inicial da corda é reproducida, primeiro como uma imagem espelhada invertida no
instante
L
c
(e nos múltiplos ı́mpares de
L
c
) e, depois na sua forma original no instante
2L
c
(e nos múltiplos
pares de
L
c
).
Solução 44.
A solução se escreve da forma
u(x, t) =
∞∑
n=1
An cos
(nπc
L
t
)
sen
(nπ
L
x
)
,
onde os An são os coeficientes de Fourier da série em senos da função f .
Depois de meio peŕıodo teremos
u
(
x, t+
L
c
)
=
∞∑
n=1
An cos
[
nπc
L
(
t+
L
c
)]
sen
(nπ
L
x
)
=
∞∑
n=1
An cos
(nπc
L
t+ nπ
)
sen
(nπ
L
x
)
=
∞∑
n=1
An cos
(nπc
L
t
)
cos(nπ) sen
(nπ
L
x
)
=
∞∑
n=1
(−1)nAn cos
(nπc
L
t
)
sen
(nπ
L
x
)
= −
∞∑
n=1
An cos
(nπc
L
t
)
sen
(nπ
L
(L− x)
)
= −u(L− x, t).
E assim chegamos ao resultado desejado
Exerćıcio 45.
Verifique que quando a corda é dedilhada na metade de seu comprimento, a razão entre as amplitudes de dois
harmônicos “consecutivos” satisfaz
R2j+1
R2j−1
=
(
1− 2
2j + 1
)2
.
Por exemplo,
R3
R1
=
1
9
. Ou seja, neste caso a amplitude do primeiro harmônico é nove vezes maior que a do
próximo harmônico que é escutado quando dedilhamos a corda (o terceiro).
Solução 45.
A amplitude destes harmônicos é inversamente proporcional ao quadrado de sua frequência. Podemoscalcular
a razão entre as amplitudes de dois harmônicos “consecutivos”.
R2j+1
R2j−1
=
∣∣∣ (−1)j+2(2j+1)2 ∣∣∣∣∣∣ (−1)j+1(2j−1)2 ∣∣∣ =
(2j − 1)2
(2j + 1)2
=
(
2j − 1
2j + 1
)2
=
(
1− 2
2j + 1
)2
.
24
Exerćıcio 46.
Na teoria musical, uma oitava corresponde a dobrar a frequência das ondas sonoras. No meu piano, a corda
do Dó central tem comprimento de 0.7 metros, enquanto a corda uma oitava mais aguda mede 0.6 metros.
Assumindo que as duas cordas tenham a mesma densidade, quanto mais apertada deverá estar a corda mais
curta para estar afinada?
Solução 46.
A frequência fundamental da corda mais comprida é
√
T1
2L1
√
ρ
=
√
T1
2 · 0.7√ρ
e a da outra corda é
√
T2
2L2
√
ρ
=
√
T2
2 · 0.6√ρ
.
Queremos que
2
√
T1
2 · 0.7√ρ
=
√
T2
2 · 0.6√ρ
⇒ T2
T1
=
144
49
≈ 2, 94.
portanto,
Exerćıcio 47.
Quanto mais longa deveria ser uma corda de um piano para fazer o mesmo som se ela foi apertada duas vezes
mais forte?
Solução 47.
O novo comprimento deve ser
√
2 vezes o comprimento anterior.
Exerćıcio 48.
Utilize a representação do n-ésimo harmônico na forma
un(x, t) = Rn cos
(nπc
L
t− αn
)
sen
(nπ
L
x
)
e a identidade
sen(α) cos(β) =
sen(α+ β) + sen(α− β)
2
para determinar uma função F tal que
un(x, t) = F
(nπ
L
(x− ct) + αn
)
+ F
(nπ
L
(x+ ct)− αn
)
.
Desta forma, representamos un como uma onda estacionária produzida pela interferência de duas ondas com
a mesma frequência, amplitude e comprimento de onda viajando em direções opostas.
Solução 48.
F (x) = senx.
25
SEMANA 7
Exerćıcio 49.
(a) Verifique que para qualquer valor de λ, a função u(x, t) = cos(λct) sen(λx) satisfaz a equação da onda
unidimensional ∂2t u = ∂
2
xu.
(b) Utilize a identidade cosβ senα =
1
2
[sen(α+β)+sen(α−β)] para escrever u como superposição de ondas
viajando à esquerda e à direita com velocidade c.
(c) Qual é a relação da fórmula que você obteve com a fórmula na solução geral?
Solução 49.
(a) Derivar e substituir na equação.
(b) u(x, t) =
1
2
[sen(λ(x+ ct)) + sen(λ(x− ct))]
(c) Se escrevermos a solução geral da forma u(x, t) = F (x + ct) + G(x − ct), neste caso temos F (x) =
sen(λx) = G(x).
Exerćıcio 50.
Determine as soluções de
∂2t u = c
2∂2xu, −∞ < x <∞, t > 0;
u(x, 0) = f(x), ∂tu(x, 0) = g(x),
nos casos seguintes,
(a) f(x) = x2, g(x) = x.
(b) f(x) = e−x
2
, g(x) = 2cxe−x
2
.
(c) f(x) = 0, g(x) = 1.
(d) f(x) = 1, g(x) = 0.
(e) f(x) = senx, g(x) = c cosx.
(f) f(x) = 0, g(x) = sen2 x.
Solução 50.
(a) u(x, t) = x2 + c2t2 + xt.
(b) u(x, t) = e−(x−ct)
2
.
(c) u(x, t) = t.
(d) u(x, t) = 1.
(e) u(x, t) = sen(x+ ct).
(f) u(x, t) =
t
4
− 1
8c
cosx sen(ct).
Exerćıcio 51.
Resolva o exerćıcio 46 da semana passada usando a fórmula de d’Alembert.
26
Solução 51.
F Exerćıcio 52.
Suponha que f : R → R é uma função com duas derivadas cont́ınuas e que g : R → R tem uma derivada
cont́ınua e que ambas são funções de peŕıodo 2L. Prove que se∫ L
−L
g(x)dx = 0,
então para cada x ∈ R, u(x, ·) é uma função periódica com peŕıodo 2L
c
.
F Solução 52.
Pela fórmula de d’Alembert
u(x, t+ 2L/c) =
f(x+ ct+ 2L) + f(x− ct− 2L)
2
+
1
2c
∫ x+ct+2L
x−ct−2L
g(r)dr
=
f(x+ ct) + f(x− ct)
2
+
1
2c
[∫ x−ct+2L
x−ct−2L
g(r)dr +
∫ x+ct+2L
x−ct+2L
g(r)dr
]
=
f(x+ ct) + f(x− ct)
2
+
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(r)dr = u(x, t).
F Exerćıcio 53.
Suponha que as funções f : R → R e g : R → R são pares. Prove que a função u dada pela fórmula de
d’Alembert define uma função que é par em relação a x para todo t fixado.
Prove também que se f e g forem ambas ı́mpares, u(·, t) será ı́mpar para todo t fixado.
Ou seja, na fórmula de d’Alembert, dados iniciais pares (́ımpares) produzem soluções pares (́ımpares) em cada
instante de tempo.
F Solução 53.
Suponhamos que as funções f e g são ambas funções pares. Então
u(−x, t) = f(−x+ ct) + f(−x− ct)
2
+
1
2c
∫ −x+ct
−x−ct
g(r)dr
=
f(−(x− ct)) + f(−(x+ ct))
2
− 1
2c
∫ x−ct
x+ct
g(−r)dr
=
f(x− ct) + f(x+ ct)
2
+
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(r)dr
= u(x, t).
Portanto, para cada t fixo, a função u(·, t) é par. O caso ı́mpar pode ser tratado de maneira semelhante.
F Exerćıcio 54.
Demonstre que se as funções f : R → R e g : R → R têm peŕıodo 2L, então a função u dada pela fórmula
de d’Alembert define uma função que é 2L-periódica em relação a x para todo t fixado.
F Solução 54.
Sejam f(x) e g(x) ambas funções 2L-periódicas, ou seja, para todo x ∈ R f(x) = f(x+2L) e g(x) = g(x+2L),
então
27
u(x+ 2L, t) =
f(x+ 2L+ ct) + f(x+ 2L− ct)
2
+
1
2c
∫ x+2L+ct
x+2L−ct
g(r)dr
=
f(x+ ct) + f(x− ct)
2
+
1
2c
∫ x+2L+ct
x+2L−ct
g(r + 2L)dr
=
f(x+ ct) + f(x− ct)
2
+
1
2c
∫ x+ct
x−ct
g(r)dr
= u(x, t).
Assim, u(·, t) é 2L-periódica para todo instante de tempo.
28
SEMANA 8
Exerćıcio 55.
(a) Verifique que todas as funções u que sejam polinômios de x e y de primeira ordem satisfazem a equação
de Laplace. (ou seja, são funções harmônicas)
(b) Verifique que qualquer função da forma U(x, y) = c0 + c1x + c2y + c3xy satisfaz a equação de Laplace.
Aqui c0, c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias.
(c) Determine condicões sobre as constantes a, b e c para que o polinômio homogêneo de segunda ordem
u(x, y) = ax2 + bxy + cy2 satisfaça a equação de Laplace.
Solução 55.
(a) u(x, y) = a0 + a1x+ a2y. Portanto ∂
2
xu = 0 e ∂
2
yu = 0.
(b) As funções 1, x e y são harmônicas pelo item anterior. Podemos verificar diretamente que xy também é
harmônica. Como a equação de Laplace é linear e homogênea, pelo Prinćıpio de Superposição, qualquer
combinação linear destas quatro funções também satisfará a equação.
(c) ∂2xu = 2a, ∂
2
yu = 2c. Portanto, u vai satisfazer a equação de Laplace se e somente se a+ c = 0.
Exerćıcio 56.
Sejam ul e u2 funções harmônicas (i.e., soluções da equação de Laplace).
(a) Prove que c1u1 + c2u2 também é uma função harmônica para quaisquer c1, c2 ∈ R.
(b) Se u é harmônica, prove que xu(x, y) é harmônica se e somente se u(x, y) = ay+b, para a e b constantes.
(c) Dê um exemplo de duas funções harmônicas cujo produto não seja uma função harmônica.
Solução 56.
(a) Prinćıpio de Superposição.
(b)
∂2
∂x2
xu(x, y) +
∂2
∂y2
xu(x, y) = 2∂xu+
(
∂2xu+ ∂
2
yu
)
= 2∂xu = 0⇔ u(x, y) = ay + b.
(c) u1(x, y) = x e u2(x, y) = xy são funções harmônicas. No entanto, u(x, y) = x
2y não é pois ∂2xu = 2y e
∂2yu = 0.
Exerćıcio 57.
Escreva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace satisfeito pela função u(x, y) = −1 + xy no
quadrado unitário [0, 1]2.
Solução 57.
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = −1, u(x, 1) = −1 + x, 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = −1, u(1, y) = −1 + y, 0 ≤ y ≤ 1.
29
Exerćıcio 58.
Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R = (0, 1)× (0, 2)
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
(a)
{
u(x, 0) = sen(πx), u(x, 2) = 3 sen(4πx)− 2 sen(6πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(b)
{
u(x, 0) = 3 sen(4πx)− 2 sen(6πx), u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(c)
{
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = x(1− x), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(d)
{
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = − sen
(3πy
2
)
, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(e)
{
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = y(2− y), 0 ≤ y ≤ 2.
(f)
{
u(x, 0) = sen(πx), u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = sen(πy), u(1, y) = sen(πy), 0 ≤ y ≤ 2.
Solução 58.
(a)
u(x, y) =
1
senh(2π)
sen(πx) senh(π(2− y)) + 3
senh(8π)
sen(4πx) senh(4πy)
− 2
senh(12π)
sen(6πx) senh(6πy)
(b)
u(x, y) =
3
senh(8π)
sen(4πx) senh(4π(2− y))− 2
senh(12π)
sen(6πx) senh(6π(2− y))
+
1
senh(2π)
sen(πx) senh(πy)
(c)
u(x, y) =
8
π3
∞∑
k=1
1
(2k − 1)3 senh(2(2k − 1)π)
sen((2k − 1)πx) senh((2k − 1)πy)
(d)
u(x, y) =
1
senh(2π)
sen(πx) senh(πy)− 1
senh
(
3π
2
) sen(3πy
2
)
senh
(3π(1− x)
2
)
(e)u(x, y) =
32
π3
∞∑
k=1
1
(2k − 1)3 senh
(
(2k−1)π
2
) sen((2k − 1)π
2
y
)
senh
(
(2k − 1)π
2
x
)
30
(f)
u(x, y) =
1
senh(2π)
sen(πx) senh(π(2− y)) + 1
senh(2π)
sen(πx) senh(πy)+
1
senh(π)
sen(πy) senh(π(1− x)) + 1
senh(π)
sen(πy) senh(πx)
31
Exerćıcios Adicionais para esta semana
Exerćıcio 59.
Determine todas as funções harmônicas na forma produto, ou seja, da forma u(x, y) = X(x)Y (y).
Tente arranjar os termos de forma a obter para X a equação X ′′(x) = λX(x) para que você possa utilizar as
soluções já obtidas em semanas anteriores.
Solução 59.
Caso 1 : λ = 0
X(x) = c1x+ c2, Y (y) = d1y + d2 ⇒ u(x, t) = (c1x+ c2)(d1y + d2),
Caso 2 : λ = α2 > 0
X(x) = c1e
αx + c2e
−αx, Y (y) = d1 cos(αy) + d2 sen(αy)
⇒ u(x, t) = (c1eαx + c2e−αx)(d1 cos(αy) + d2 sen(αy)),
ou u(x, t) = (a1 cosh(αx) + a2 senh(αx))(d1 cos(αy) + d2 sen(αy)).
Caso 3 : λ = −α2 < 0
X(x) = c1 cos(αx) + c2 sen(αx), Y (y) = d1e
αy + d2e
−αy
⇒ u(x, t) = (c1 cos(αx) + c2 sen(αx))(d1eαy + d2e−αy),
ou u(x, t) = (c1 cos(αx) + c2 sen(αx))(b1 cosh(αy) + b2 senh(αy)).
Exerćıcio 60.
A versão não homogênea da equação de Laplace é chamada de equação de Poisson
∂2xu+ ∂
2
yu = h(x, y),
nomeada assim em homenagem a Siméon-Denis Poisson, que foi aluno de Laplace. Se u representa a tem-
peratura estacionária de uma membrana, a função h corresponde a fontes de calor. Quando u representa a
posição de uma membrana, h corresponde a uma força externa.
(a) Determine a solução do problema ∂2xu + ∂
2
yu = 1 para x
2 + y2 < 1 e u(x, y) = 0 para x2 + y2 = 1.
Sugestão: A solução é um polinômio muito simples.
(b) A solução pode ser interpretada como a posição no equiĺıbrio de um tambor circular sujeito a uma força
gravitacional constante. Interprete o gráfico da solução obtida.
Figura 1: Gráfico da solução
32
https://en.wikipedia.org/wiki/Sim\unhbox \voidb@x \bgroup \let \unhbox \voidb@x \setbox \@tempboxa \hbox {e\global \mathchardef \accent@spacefactor \spacefactor }\let \begingroup \endgroup \relax \let \ignorespaces \relax \accent 19 e\egroup \spacefactor \accent@spacefactor on_Denis_Poisson
Solução 60.
(a) u(x, y) =
x2 + y2 − 1
4
(b) A deformação da membrana é a mesma em todos os pontos de cada circunferência centrada na origem e
aumenta a medida que nos afastamos das bordas.
Exerćıcio 61.
Usando a interpretação de distribuição de temperatura estacionária, descreva as diferenças entre o significado
f́ısico dos problemas homogêneos de Dirichlet e de Neumann para a equação de Laplace.
Solução 61.
� Problema homogêneo de Dirichlet: Procuramos a temperatura estacionária de uma placa cujas bordas
estão sendo mantidas a temperatura zero.
� Problema homogêneo de Neumann: Procuramos a temperatura estacionária de uma placa cujas bordas
foram isoladas termicamente.
Exerćıcio 62.
Considere o problema
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = 2 cos(7πx)− 4, u(x, 1) = 5 cos(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
∂xu(0, y) = 0, ∂xu(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
Se interpretarmos a solução u como a temperatura estacionária de uma placa quadrada, as condições de
fronteira dadas correspondem à situação em que as bordas laterais da placa foram isoladas e nas bordas
superior e inferior a temperatura é uma função dada.
(a) Decomponha o problema em dois para os quais você possa obter a solução usando o método de separação
de variáveis.
(b) Resolva um destes problemas.
(c) Resolva agora o outro aproveitando as soluções fatoradas que você achou no item anterior.
(d) Utilize o Prinćıpio de Superposição para obter a solução do problema original.
Solução 62.
(a) Precisamos decompor o problema em dois que tenham condições de fronteira nulas em três lados da placa.
OS problemas são
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = 2 cos(7πx)− 4, u(x, 1) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
∂xu(0, y) = 0, ∂xu(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
e
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 5 cos(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
∂xu(0, y) = 0, ∂xu(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
33
(b) Vamos resolver o segundo problema. Para isto procuramos as soluções fatoradas (u(x, y) = X(x)Y (y))
da equação que satisfazem as condições de fronteira nulas
u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
∂xu(0, y) = 0, ∂xu(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
Obtemos então que X ′′ = λX, X ′(0) = X ′(1) = 0 e Y ′′ = −λY , Y (0) = 0. Portanto,
X0(x) = c0;
Y0(y) = d0y;
Xn(x) = cn cos(nπx), n ∈ N;
Yn(y) = dn senh(nπy), n ∈ N.
As soluções fatoradas que podemos usar para construir a solução do problema são
u0(x, y) = B̃0y;
un(x, y) = B̃n cos(nπx) senh(nπy), n ∈ N.
Todas essas soluções satisfazem as três condicões de fronteira homogêneas. Para satisfazer u(x, 1) =
5 cos(πx), observamos que u1(x, 1) = B̃1 cos(πx) senh(π) e que portanto, se escolhermos B̃1 senh(π) = 5,
ou seja, B̃1 =
5
senh(π)
, teremos que u(x, y) =
5
senh(π)
cos(πx) senh(πy) é a solução que satisfaz a
equação de Laplace e todas as condições de fronteira deste problema.
(c) Para resolver o primeiro problema, aproveitamos o fato de que se u = u(x, y) satisfaz
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = 2 cos(7πx)− 4, u(x, 1) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
∂xu(0, y) = 0, ∂xu(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
então v(x, y) = u(x, 1− y) satisfaz
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
v(x, 0) = 0, v(x, 1) = 2 cos(7πx)− 4, 0 ≤ x ≤ 1;
∂v
∂x
(0, y) = 0,
∂v
∂x
(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
Para satisfazermos a condição de fronteira v(x, 1) = 2 cos(7πx) − 4, precisaremos utilizar as soluções
fatoradas obtidas com n = 0 e n = 7, ou seja
v(x, y) = B̃0y + B̃7 cos(7πx) senh(7πy).
Como v(x, 1) = B̃0 + B̃7 cos(7πx) senh(7π), obtemos que
v(x, y) = −4y + 2
senh(7π)
cos(7πx) senh(7πy).
Portanto, u(x, y) = v(x, 1− y) = −4(1− y) + 2senh(7π) cos(7πx) senh(7π(1− y)).
34
(d) Pelo Prinćıpio de Superposição a solução do problema original será
u(x, y) =
5
senh(π)
cos(πx) senh(πy)− 4(1− y) + 2
senh(7π)
cos(7πx) senh(7π(1− y)).
Exerćıcio 63.
Neste exerćıcio você irá determinar a solução do problema
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = −1 + x+ 2 sen(5πx), u(x, 1) = 2(x− 1), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = −1− y, u(1, y) = 3 sen(2πy), 0 ≤ y ≤ 1.
(a) Verifique que neste caso não podemos aplicar diretamente a proposição 8.1 das notas de aula pois a solução
não vale zero nos vértices do retângulo.
(b) Encontre uma função da forma U(x, y) = c0 + c1x + c2y + c3xy tal que U(0, 0) = u(0, 0), U(1, 0) =
u(1, 0), U(0, 1) = u(0, 1) e U(1, 1) = u(1, 1). Perceba que você deve apenas calcular as constantes.
(c) Chame de v à nova função incógnita v(x, y) = u(x, y)− U(x, y). Escreva o problema de Dirichlet que v
satisfaz e resolva este problema.
(d) Escreva a expressão para u.
Solução 63.
(a) Verifica-se que u(0, 0) = −1, u(0, 1) = −2, u(1, 0) = 0 e u(1, 1) = 0.
(b) U(x, y) = −1 + x− y + xy.
(c) O problema de Dirichlet satisfeito por v é
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
v(x, 0) = 2 sen(5πx), v(x, 1) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
v(0, y) = 0, v(1, y) = 3 sen(2πy), 0 ≤ y ≤ 1.
Daqui obtemos a solução
v(x, y) =
2
senh(5π)
sen(5πx) senh(5π(1− y)) + 3
senh(2π)
sen(2πy) senh(2πx).
(d) u(x, y) = v(x, y) + U(x, y), portanto
u(x, y) =
2
senh(5π)
sen(5πx) senh(5π(1− y)) + 3
senh(2π)
sen(2πy) senh(2πx)− 1 + x− y + xy.
35
SEMANA 9
Em todos os exerćıcios a seguir, você deverá exprimir a solução em coordenadas cartesianas caso as condições
de fronteira estejam dadas nessas coordenadas. Nos outros casos, a solução pode ser dada em coordenadas
polares.
Será bastante útil lembrar das identidades trigonométricas
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ
cos2 θ =
1
2
+
1
2
cos 2θ.
Exerćıcio 64.
Considere um anel centrado na origem, de raios interior e exterior Rint = 1 e Rext = 2. Determine a função
que satisfaz a equação de Laplace nesse anel e que coincide nas circunferências interior e exterior com as
funções g e f , respectivamente em cada um dos casos a seguir.
(a) F (θ) = a sen(3θ)
G(θ) = b sen(3θ),com a e b constantes.
(b) F (θ) = −2 + 6 cos(4θ)− 25 sen(7θ)
G(θ) = 0.
(c) f(x, y) = a, g(x, y) = b, com a e b constantes.
(d) f(x, y) =
x2
x2 + y2
, g(x, y) =
xy
x2 + y2
.
Solução 64.
(a) Como neste caso aparece apenas a função sen(3θ) nas condições de fronteira, buscaremos uma solução
da forma U(r, θ) = (b3r
3 + β3r
−3) sen(3θ).
Precisamos satisfazer
U(1, θ) = (b3 + β3) sen(3θ) = b sen(3θ) = G(θ)
U(2, θ) =
(
8b3 +
1
8
β3
)
sen(3θ) = a sen(3θ) = F (θ).
Obtemos o sistema de equações
{
b3 + β3 = b
8b3 +
1
8
β3 = a
cuja solução é b3 =
8a− b
63
, β3 =
64b− 8a
63
. Portanto,
U(r, θ) =
1
63
[
(8a− b)r3 + (64b− 8a)r−3)
]
sen(3θ).
(b) Como na função F aparecem as funções cos(4θ) e sen(7θ), proporemos uma solução onde apareçam os
somandos (a4r
4+α4r
−4) cos(4θ) e (b7r
7+β7r
−7) sen(7θ). Precisamos também de U0(r, θ) = a0+α0 ln r.
Perceba que de U0(1, θ) = a0, podemos concluir que a0 será o coeficiente constante da função G sempre
que Rint = 1. Portanto, neste caso a0 = 0 e por isso buscaremos uma solução da forma
U(r, θ) = α0 ln r + (a4r
4 + α4r
−4) cos(4θ) + (b7r
7 + β7r
−7) sen(7θ).
36
Precisamos satisfazer
U(1, θ) = (a4 + α4) cos(4θ) + (b7 + β7) sen(7θ) = G(θ) = 0
U(2, θ) = α0 ln 2 +
(
16a4 +
1
16
α4
)
cos(4θ) +
(
128b7 +
1
128
β7
)
sen(7θ) = F (θ)
= −2 + 6 cos(4θ)− 25 sen(7θ).
Obtemos que α0 = −
2
ln 2
e os sistemas de equações{
a4 + α4 = 0
16a4 +
1
16
α4 = 6
e
{
b7 + β7 = 0
128b7 +
1
128
β7 = −25
.
Após resolvermos estes sistemas e substituirmos na expressão de U(r, θ) obtemos que
U(r, θ) = − 2
ln 2
ln r +
32
85
(r4 − r−4) cos(4θ) + 25
16386
(r7 − r−7) sen(7θ).
(c) Neste caso F (θ) = a e G(θ) = b. Portanto, procuraremos a solução da forma U(r, θ) = a0 + α0 ln r.
Temos que
U(1, θ) = a0 = G(θ) = b
U(2, θ) = a0 + α0 ln 2 = F (θ) = a.
Portanto, a0 = b e α0 =
a− b
ln 2
e
U(r, θ) = b+
a− b
ln 2
ln r ⇒ u(x, y) = b+ a− b
2 ln 2
ln(x2 + y2).
(d) Nesta questão devemos começar exprimindo as funções que correspondem à solução na fronteira em
coordenadas polares.
F (θ) = f(2 cos θ, 2 sen θ) = cos2 θ =
1
2
+
1
2
cos 2θ
G(θ) = g(cos θ, 2 sen θ) =
1
2
sen 2θ.
Agora, procuraremos a solução da forma
U(r, θ) = α0 ln r + (a2r
2 + α2r
−2) cos(2θ) + (b2r
2 + β2r
−2) sen(2θ).
Precisamos satisfazer
U(1, θ) = (a2 + α2) cos(2θ) + (b2 + β2) sen(2θ) = G(θ) =
1
2
sen 2θ
U(2, θ) = α0 ln 2 +
(
4a2 +
1
4
α2
)
cos(2θ) +
(
4b2 +
1
4
β2
)
sen(2θ) = F (θ)
=
1
2
+
1
2
cos 2θ.
Após resolvermos os sistemas de equações{
a2 + α2 = 0
4a2 +
1
4
α2 =
1
2
e

b2 + β2 =
1
2
4b2 +
1
4
β2 = 0
37
e usando que α0 ln 2 =
1
2
, obtemos que α0 =
1
2 ln 2
, a2 =
2
15
, α2 = −
2
15
, b2 = −
1
30
e β2 =
16
30
.
Portanto,
U(r, θ) =
ln r
2 ln 2
+
2
15
(r2 − r−2) cos(2θ)− 1
30
(r2 − r−2) sen(2θ)
e voltando às coordenadas cartesianas,
u(x, y) =
1
4 ln 2
ln(x2 + y2) +
1
15
(2x2 − xy − 2y2)− 1
15
2x2 + xy − 2y2
(x2 + y2)2
.
Exerćıcio 65.
Determine a função que satisfaz a equação de Laplace no ćırculo de raio R = 2 e que coincide na circunferência
com a função dada em cada um dos casos a seguir.
(a) f(x, y) = a com a constante.
(b) F (θ) = −2 + 6 cos(4θ)− 25 sen(7θ) .
(c) F (θ) = θ2.
(d) f(x, y) =
x2
x2 + y2
.
Solução 65.
Para encontrar a solução destes problemas, pelo teorema ??, basta multiplicar o n-ésimo termo da série de
Fourier da função F pelo fator
( r
R
)n
.
(a) Neste caso F (θ) = a e a solução é a constante U(r, θ) = a.
(b) U(r, θ) = −2 + 3
8
r4 cos(4θ)− 25
128
r7 sen(7θ) .
(c) SF (θ) =
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos(nθ), portanto U(r, θ) =
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(
−r
2
)n 1
n2
cos(nθ).
(d) F (θ) =
1
2
+
1
2
cos(2θ), portanto U(r, θ) =
1
2
+
r2
8
cos(2θ) e u(x, y) =
1
2
+
x2 − y2
8
.
Exerćıcios Adicionais
Exerćıcio 66.
Verifique que uma função que satisfaça a equação de Laplace no anel Rint < r < Rext e que seja da forma
U(r, θ) = h(θ) deve ser constante.
Solução 66.
Se U(r, θ) = h(θ), substituindo na equação de Laplace em coordenadas polares obtemos que
∂2U
θ2
= 0,
portanto U(r, θ) = a+ bθ com a e b constantes. Como U deve ser uma função periódica de θ, b deve ser zero
e com isso obtemos que U é constante.
Exerćıcio 67.
Verifique que as soluções fatoradas Un(r, θ) da equação de Laplace
Urr +
1
r
Ur +
1
r2
Uθθ = 0, satisfazendo a condição de periodicidade U(r, θ) = U(r, θ + 2π) que são limitadas
fora do ćırculo com centro na origem de coordenadas e com raio R podem ser obtidas fazendo α0 = 0,
an = 0, bn = 0, n ≥ 1 nas expressões das soluções fatoradas (9.11) e (9.12) das notas de aula.
38
Solução 67.
De fato, as parcelas que são não limitadas quando r →∞ são α0 ln r, anrn e bnrn. Portanto, zerando esses
coeficientes, essas parcelas desaparecem.
Exerćıcio 68.
Utilizando o exerćıcio anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função
harmônica fora do ćırculo {r ≤ 2}, que é limitada e que coincide com a função F dada sobre a circunferência
r = 2.
(a) F (θ) = a, com a constante.
(b) F (θ) = 1 + 2 cos θ + cos(2θ).
(c) F (θ) = cos2 θ.
(d) F (θ) = θ2.
Solução 68.
Buscamos a solução como superposição das funções U0(r, θ) = a0 e Un(r, θ) = r
−n(αn cos(nθ)+βn sen(nθ)), n ∈
N. Portanto, a candidata a solução será da forma
U(r, θ) = a0 +
∞∑
n=1
r−n(αn cos(nθ) + βn sen(nθ)).
Se a função F tiver série de Fourier
SF (θ) =
A0
2
+
∞∑
n=1
(An cos(nθ) +Bn sen(nθ)),
então de U(R, θ) = a0+
∞∑
n=1
R−n(αn cos(nθ)+βn sen(nθ)) obtemos que a0 =
A0
2
, αn = R
nAn e βn = R
nBn,
portanto
U(r, θ) =
A0
2
+
∞∑
n=1
(
R
r
)n
(An cos(nθ) +Bn sen(nθ)).
Ou seja, para construirmos a solução precisamos apenas inserir o fator
(
R
r
)n
no n-ésimo somando da série
de Fourier de F .
(a) U(r, θ) = a.
(b) U(r, θ) = 1 +
(
2
r
)
2 cos θ +
(
2
r
)2
cos(2θ) = 1 +
4
r
cos θ +
4
r2
cos(2θ).
(c) F (θ) = cos2 θ =
1
2
+
1
2
cos 2θ, portanto U(r, θ) =
1
2
+
2
r2
cos 2θ.
(d) U(r, θ) =
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(
−2
r
)n 1
n2
cos(nθ).
39
SEMANA 11
Exerćıcio 69.
Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].
(a) f(x) = senx. Sugestão: Escreva senx usando exponenciais com expoente imaginário.
(b) f(x) = sen3 x. Sugestão: Use a sugestão anterior e a fórmula de (a+ b)3.
(c) f(x) = x.
(d) f(x) = ex cosx. Sugestão: Escreva cosx usando exponenciais com expoente imaginário.
Solução 69.
Cada série vai satisfazer
f(x+) + f(x−)
2
=
∞∑
k=−∞
cke
ikx, onde ck =
1
2π
∫ π
−π
f(x)e−ikxdx.
(a) f(x) = senx =
eix − e−ix
2i
. Portanto, c1 =
1
2i , c−1 = −
1
2i e ck = 0 para todos os outros valores de k.
(b)
f(x) = sen3 x =
(
eix − e−ix
2i
)3
= − 1
8i
[(eix)3 − 3(eix)2e−ix + 3eix(e−ix)2 − (e−ix)3]
=
i
8
[ei3x − 3eix + 3e−ix − e−3ix]
Portanto, c−3 = − i8 , c−1 =
3i
8 , c1 = −
3i
8 e c3 =
i
8 . Para os outros valores de k, ck = 0.
(c) f(x) = x.
ck =
1
2π
∫ π
−π
xe−ikxdx
=
1
2π
[
xe−ikx
−ik
∣∣∣∣∣
π
−π
−
∫ π
−π
e−ikx
−ik
dx
]
=
i
2πk
[πe−iπk + πeiπk]
=
i
k
cos(πk) = (−1)k i
k
.
Portanto, a série de Fourier é
i
∞∑
k=−∞
(−1)k
k
eikx.
(d) f(x) = ex cosx.
f(x) = ex cosx = ex
eix + e−ix
2
=
e(1+i)x + e(1−i)x
2
40
ck =
1
2π
∫ π
−π
f(x)e−ikxdx =
1
2π
∫ π
−π
e(1+i)x + e(1−i)x
2
e−ikxdx
=
1
4π
∫ π
−π
[e(1+i−ki)x + e(1−i−ki)x]dx
=
1
4π
[
e(1+i−ki)x
1 + i− ki
∣∣∣π
−π
+
e(1−i−ki)x
1− i− ki
∣∣∣π
−π
]
=
1
4π
[
e(1+i−ki)π − e−(1+i−ki)π
1 + i− ki
+
e(1−i−ki)π − e−(1−i−ki)π
1− i− ki
]
Esta é uma resposta correta. No entanto, ainda podemos simplificá-la mais um pouco. Seguem alguns
cálculos que simplificam essa expressão.
e(1+i−ki)π = e(π−(k−1)πi) = eπe−(k−1)πi = eπ[cos((k − 1)π)− i sen((k − 1)π)] = (−1)k−1eπ
Analogamente, obtemos que e−(1+i−ki)π = (−1)k−1e−π, e(1−i−ki)π = (−1)k+1eπ e e−(1−i−ki)π =
(−1)k+1e−π.
Como (−1)k+1 = (−1)2(−1)k−1 = (−1)k−1, podemos escrever
ck =
(−1)k+1
4π
[
eπ − e−π1 + i− ki
+
eπ − e−π
1− i− ki
]
=
(−1)k+1
2π
[
senh(π)
1 + i− ki
+
senh(π)
1− i− ki
]
=
(−1)k+1 senh(π)
2π
[
1
1 + i− ki
+
1
1− i− ki
]
=
(−1)k+1 senh(π)
π
1− ki
(1− ki+ i)(1− ki− i)
=
(−1)k+1 senh(π)
π
1− ki
(1− ki)2 + 1
Exerćıcio 70.
(a) Verifique que f : [−L,L]→ R é par se e somente se ck ∈ R, para todo k ∈ Z.
(b) Verifique que f : [−L,L]→ R é ı́mpar se e somente se a parte real de ck for zero, para todo k ∈ Z.
Solução 70.
ck =
1
2π
∫ π
−π
f(x)e−ikxdx
(a) f é par ⇔ para todo k ∈ Z,
∫ π
−π
f(x)e−ikxdx =
∫ π
−π
f(x) cos(ikx)dx ∈ R
(b) f é ı́mpar ⇔ para todo k ∈ Z,
∫ π
−π
f(x)e−ikxdx = −i
∫ π
−π
f(x) sen(ikx)dx
41
Exerćıcio 71.
Seja f(x) =
{
1, a ≤ x ≤ b;
0, x < a ou x > b.
(a) Calcule a transformada de Fourier de f .
(b) Qual relação deve haver entre a e b para que a parte imaginária de f̂(ω) valha zero para qualquer valor
de ω?
Solução 71.
(a)
F [f ](ω) = f̂(ω) = 1√
2π
∫ b
a
e−iωxdx
=
1√
2π
e−iωx
−iω
∣∣∣∣∣
b
a
=
i√
2π
e−iωb − e−iωa
ω
(b) Para ω 6= 0,
f̂(ω) =
i√
2π
cos(ωb)− i sen(ωb)− cos(ωa) + i sen(ωa)
ω
=
1√
2π
sen(ωb)− sen(ωa)
ω
+ i
1√
2π
cos(ωb)− cos(ωa)
ω
Portanto, a parte imaginária de f̂(ω) é zero sempre se cos(ωb)− cos(ωa) = 0 para todo ω ∈ R. Como
cos(ωb)− cos(ωa) = 2 sen
(
ω
a+ b
2
)
sen
(
ω
a− b
2
)
e como a < b, obtemos que a parte imaginária de f̂(ω) é zero sempre se e somente se a = −b, que foi o
exemplo que vimos em sala. Nesse caso, se ω 6= 0
f̂(ω) =
√
2
π
sen(ωa)
ω
.
Exerćıcio 72.
Suponha que definimos a transformada de Fourier pela expressão∫ ∞
∞
f(x)e−iωxdx.
Qual será neste caso a fórmula para a transformada de Fourier inversa?
Solução 72.
F−1[g](ω) = 1
2π
∫ ∞
∞
g(ω)eiωxdω.
42
SEMANA 12
Exerćıcio 73.
Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala
de aula.
(a) e−(x+4)
2
.
(b)
{
x, |x| < 1
0, |x| ≥ 1.
(c)
{
e−2x, x ≥ 0;
e3x, x < 0..
(d)
{
e−x senx, x > 0;
0, x ≤ 0.
Solução 73.
(a) Para encontrar a transformada de Fourier de e−(x+4)
2
precisaremos usar a propriedade da transformada
da translação F [e−(x+4)2 ](ω) = e4iωF [e−x2 ](ω). Além disso, usando a propriedade da dilatação e
F [e−
x2
2 ](ω) = e−
ω2
2 obtemos que F [e−x2 ](ω) = 1√
2
e−
ω2
4 . Portanto, F [e−(x+4)2 ] = e
4iω
√
2
e−
ω2
4 .
(b) f(x) =
{
x, |x| < 1
0, |x| ≥ 1
= x
{
x, |x| < 1
0, |x| ≥ 1.
. Portanto, f̂(ω) = i
√
2
π
d
dω
sinc(ω) = i
√
2
π
cosω − sincω
ω
.
(c) Se denotarmos f(x) =
{
e−x, x ≥ 0;
0, x < 0..
, podemos representar a função cuja transformada queremos
calcular, da forma f(2x) + f(−3x). Portanto a transformada desejada é
F [f(2x) + f(−3x)](ω) = 1
2
f̂(ω/2) +
1
2
f̂(−ω/3)
=
1√
2π
[
1
1 + iω/2
+
1
1− iω/3
]
=
1√
2π
[
2
2 + iω
+
3
3− iω
]
=
1√
2π
12 + iω
(2 + iω)(3− iω)
.
(d) Usando a mesma função f do item (c), teremos que
F [senxf(x)](ω) = F
[
eix − e−ix
2i
f(x)
]
(ω)
= − i
2
F [eixf(x)](ω) + i
2
F [e−ixf(x)](ω)
= − i
2
f̂(ω − 1) + i
2
f̂(ω + 1)
= − i
2
1
1 + i(ω − 1)
+
i
2
1
1 + i(ω + 1)
=
1
2 + 2iω − ω2
.
Exerćıcio 74.
Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista
em sala de aula.
43
(a) e−ω
2
.
(b)
{
e−ω senω, ω ≥ 0;
0, ω < 0..
(c) e−|ω|.
(d)
{
1, α < ω < β; ;
0, caso contrário.
Solução 74.
(a) Pela propriedade da translação e de F [e−
x2
2 ](ω) = e−
ω2
2 . podemos obter que se b > 0, F [e−bx2 ](ω) =
1√
2b
e−
ω2
4b . Portanto, escolhendo b = 1/4 obtemos que F−1[e−ω2 ](x) = 1√
2
e−
x2
4 .
(b) Seja ĝ(ω) =
{
e−ω senω, ω ≥ 0;
0, ω < 0..
. Na letra (d) do exerćıcio anterior calculamos F [ĝ(x)]. Como
F−1[ĝ(ω)](x) = F [ĝ(ω)](−x), obtemos que F−1[ĝ(ω)](x) = 1
2− 2ix− x2
.
(c) Denotemos ĝ(ω) = e−|ω|. Sabemos que F [ĝ(x)](ω) =
√
2
π
1
1 + ω2
. Portanto, F−1[ĝ(ω)](x) = F [ĝ(ω)](−x) =√
2
π
1
1 + x2
.
(d) Utilizando a fórmula da transformada, você deve chegar à expressão =
1√
2π
{
eiαx−eiβx
x , x 6= 0;
β − α, x = 0.
44
SEMANA 13
45