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Notas de aula de EDB
em construção :)
Aniura Milanés
Sl 4033 - DMat - UFMG
aniura@mat.ufmg.br
2021/I
Sumário
1 Equações Diferenciais Parciais. A equação do calor. 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Que são equações diferenciais parciais? Classificação . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Soluções das EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Prinćıpio de superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Por que estudar EDPs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 A equação do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Propagação do calor em uma barra com temperatura nula nos extremos 11
1.2.2 Cálculo da temperatura da barra com extremos mantidos a temperatura
zero: a estratégia de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Separação de variáveis. Séries de Fourier 19
2.1 Método de separação de variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Soluções fatoradas da equação do calor. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Soluções fatoradas da equação do calor que satisfazem as condições de
fronteira (1.18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Estrutura do método de separação de variáveis . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Séries de Fourier. Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Definição da série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Séries de Fourier 29
3.1 Convergência das séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Funções cont́ınuas por partes e suaves por partes . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 O Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Séries de Fourier de senos e de cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Funções pares e ı́mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Séries de Fourier de senos e de cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Outros problemas de propagação do calor 45
4.1 Problemas com condições de fronteira homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Temperatura dada nos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Barra com extremos termicamente isolados . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Condições de fronteira não homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Temperaturas fixadas nos extremos da barra . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Temperatura e fluxo fixados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Fluxo de calor fixado nos extremos da barra . . . . . . . . . . . . . . 57
6 A equação da onda 61
i
ii SUMÁRIO
6.1 Um modelo de vibrações de uma corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 A corda com extremos fixados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1 Corda com velocidade inicial nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.2 A corda dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.3 Vibrações da corda com posição e velocidade iniciais quaisquer . . . . 69
6.2.4 Harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.5 *Matemática e música através da equação da onda . . . . . . . . . . . 73
7 A fórmula de d’Alembert e suas consequências 77
7.1 Solução geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Problema de valor inicial para a corda infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Resolução de problemas na corda finita com extremos fixados . . . . . . . . . 81
7.3.1 Problemas com velocidade inicial nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3.2 O problema com posição e velocidade iniciais arbitrárias . . . . . . . . 84
7.4 F A equação da onda na história . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 A equação de Laplace 89
8.1 Generalidades sobre a equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.1.1 Alguns problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2 O problema de Dirichlet no retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.1 Resolução do problema “básico” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2.2 Resolução do problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9 O problema de Dirichlet em regiões circulares 103
9.1 Representação do problema em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2 Problemas no anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.3 Problemas no ćırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11 A transformada de Fourier 113
11.1 A forma complexa das séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.2 A transformada de Fourier e sua inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12 Propriedades da transformada de Fourier 115
12.1 O Prinćıpio da Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.2 Translações e dilatações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13 A transformada de Fourier e a convolução 117
13.1 A convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.2 A transformada de Fourier de algumas funções não integráveis . . . . . . . . . 117
14 O método da transformada de Fourier 119
14.1 A equação do transporte simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.2 A equação do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Caṕıtulo 1
Equações Diferenciais Parciais. A
equação do calor.
1.1 Introdução
1.1.1 Que são equações diferenciais parciais? Classificação
Você, que já estudou equações diferenciais ordinárias, deve se lembrar que elas são equações
onde aparecem uma função incógnita e algumas de suas derivadas e que elas depende de uma
única variável que muitas vezes representa o tempo.
Por exemplo, a equação
dy
dt
= ry (1.1)
modela o crescimento exponencial de populações. Neste caso y = y(t) representa a quantidade
de indiv́ıduos e seu valor depende do instante t que observemos. r é um parâmetro que
depende de caracteŕısticas da população. Lembre também que para determinar uma solução
única, precisamos acrescentar uma condição inicial da forma y(0) = y0 e a partir dela obtemos
que a solução é y(t) = y0e
rt.
Outra equação que modela o crescimento populacional é a equação loǵıstica ou de Verlhust
dy
dt
= ry
(
1− y
K
)
. (1.2)
Esta equação tem mais um parâmetro, K, mas ela continua tendo como incógnita a função
y = y(t), que depende apenas da variável t. A única derivada que aparece em ambas as
equações (1.1) e (1.2) é a primeira derivada de y em relação a t, dy
dt
. Por isso, ambas são
equações de primeira ordem. Nisso, elas são similares, mas elas têm uma grande diferença.
A equação (1.1) é linear enquanto (1.2) não é pois ela contém um termo y2. Você pode ler
mais sobre modelos populacionais aqui.
Normalmente, numa primeira disciplinas de equações diferenciais ordinárias, são estudados
também sistemas de equações de primeira ordem, onde no lugar de uma função incógnita,
temos várias, e também equações de segunda ordem, onde a ordem da maior derivada que
aparece é 2.
Por exemplo, a equação diferencial
d2Θ
dt2
+
g
L
sen Θ = 0. (1.3)
1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A2mica_populacional
2 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
modela a evolução no tempo do ângulo Θ = Θ(t) que um pêndulo forma com a vertical
no instante t. Nesta equação, chamada de equação do pêndulo, g e L são constantes querepresentam a aceleração da gravidade e o comprimento do pêndulo respectivamente. t é
a variável independente e Θ = Θ(t) é a função incógnita. Esta EDO é de ordem 2 pois a
única derivada que aparece na equação é de ordem 2. Ela também é não linear pois a função
incógnita Θ aparece no argumento da função seno.
Uma versão linear de (1.3) é
d2Θ
dt2
+
g
L
Θ = 0. (1.4)
Esta equação é válida quando tivermos certeza de que a amplitude das oscilações é pequena.
Nesta disciplina, nos ocuparemos de estudar as equações diferenciais parciais. A diferença
com as equações diferenciais ordinárias é que as funções incógnitas dependem de mais de uma
variável independente e assim, no lugar de aparecerem derivadas ordinárias (ou seja, em relação
a uma variável) na equação, aparecem derivadas parciais. Tipicamente essas variáveis são de
dois tipos: variáveis espaciais, x,y,z e a variável temporal que continuaremos representando
com a letra t.
Definição 1.1
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação cuja incógnita é uma função
de duas ou mais variáveis independentes e que contém pelo menos uma derivada parcial
da função incógnita. A ordem de uma EDP é a ordem da maior derivada parcial que nela
aparece.
Por exemplo, a equação do transporte,
∂u
∂t
+ c
∂u
∂x
= 0, (1.5)
é uma EDP pois u = u(x, t), a função incógnita, depende das variáveis x, que representa
uma coordenada espacial e t, que representa o tempo. Aqui c é um parâmetro constante.
Esta equação é de primeira ordem porque as duas derivadas que aparecem na equação são
primeiras derivadas. Ela também é uma equação linear porque cada derivada aparece elevada à
potência 1 e multiplicando um termo constante. Esta equação pode ser aplicada por exemplo
à modelagem da concentração de um poluente que é transportado pelo fluxo de um rio, por
exemplo, que se move com velocidade constante c. Nesse caso, x representa a coordenada da
seção transversal do rio que estamos observando.
Até aqui utilizamos a notação de Leibniz para representar as derivadas parciais, que é a
que se utiliza nos cursos de Cálculo II. Para simplificar, alguns textos utilizam a notação de
sub́ındices para as derivadas parciais. Nessa notação, as variáveis em relação às quais se deriva
se colocam na ordem em que as derivadas são aplicadas. Por exemplo,
ux =
∂u
∂x
, uxxy =
∂3u
∂y∂x2
,
uxy =
∂2u
∂y∂x
, uyx =
∂2u
∂x∂y
.
Assim, usando essa notação, a equação (1.5) seria ut + cux = 0.
1.1. INTRODUÇÃO 3
Uma outra notação que se utiliza muito para economizar espaço e para evitar conflito com
notações de sub́ındices e com outras que se usam em outras áreas, é uma mistura das duas:
∂xu = ux, ∂yxxu = ∂y∂
2
xu = uxxy,
∂yxu = ∂y∂xu = uxy, ∂xyu = ∂x∂yu = uyx.
Utilizaremos essa notação nestas notas de aula.
Observe que, usando essa notação, a equação do transporte ficaria escrita da forma
∂tu+ c∂xu = 0, (1.6)
Outros exemplos de EDPs são a equação de Laplace bidimensional
∂2xu+ ∂
2
yu = 0, (1.7)
chamada assim em homenagem a Pierre Simon de Laplace, que foi um dois primeiros a estudá-
la. A equação é linear, de segunda ordem e tem função incógnita u = u(x, y). As variáveis
x e y representam coordenadas espaciais. Esta equação pode representar a temperatura de
equiĺıbrio de uma placa fina ou a posição de equiĺıbrio de uma membrana, por exemplo.
A equação de Korteweg-de Vries (KdV),
∂th+ 6h∂xh = ∂
3
xh. (1.8)
modela a amplitude de onda h = h(x, t) na superf́ıcie de um fluido que se move ao longo
de um canal raso. Esta equação é de terceira ordem e deve seu nome a dois matemáticos
holandeses que a estudaram. Ela é não linear porque no termo 6h∂xh aparece o produto da
função h e de sua derivada em relação a x.
1.1.2 Soluções das EDPs
Uma função é solução de uma EDP se ao substituir a expressão da função e todas suas
derivadas parciais que aparecem na equação, obtemos uma igualdade. Este é um conceito
bastante natural mas é importante ressaltar duas coisas:
� antes de substituir uma função numa EDP precisamos calcular todas as derivadas
parciais que aparecem na equação;
� uma solução precisa ser regular o suficiente para podermos calcular essas derivadas
parciais.
Exemplo 1.1.
A função u(x, y) = x2 − y2 é solução da equação de Laplace (1.7). Primeiro, perceba que
ela é um polinômio, portanto, pode ser derivada quantas vezes seja necessário.
A seguir, calcularemos as derivadas parciais:
∂xu = 2x, ∂yu = −2y
∂2xu = 2, ∂
2
yu = −2.
Portanto, ∂2xu+ ∂
2
yu = 2− 2 = 0 e de fato, u é solução desta equação. /
Os gráficos de funções suaves de duas variáveis são superf́ıcies em R3. Esta é uma maneira
interessante de visualizar as soluções em alguns casos.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg%E2%80%93De_Vries_equation
4 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
Exemplo 1.2.
As soluções da equação de segunda ordem[
1 + (∂yZ)
2
]
∂2xZ − 2∂xZ∂yZ∂2xyZ +
[
1 + (∂xZ)
2
]
∂2yZ = 0, (1.9)
têm a propriedade de que a superf́ıcie z = Z(x, y) minimiza a área localmente.
Como entender isto? Por exemplo, imaginemos que retiramos um pequeno fragmento dessa
superf́ıcie mantendo a curva na beirada fixa. Então entre todos os posśıveis retalhos que
poderiam cobrir a abertura que ficou na superf́ıcie, o de menor área será precisamente o que
foi tirado. Superf́ıcies com esta propriedade são chamadas de superf́ıcies ḿınimas, por isso
esta equação é chamade de equação da superf́ıcie ḿınima.
(a) Superf́ıcie ḿınima de Scherk
Z(x, y) = ln
( sen y
senx
) (b) Superf́ıcie ḿınima de Enneper
Z está definida de forma paramétrica
Figura 1.1: Duas superf́ıcies ḿınimas
/
Nos exemplos anteriores as soluções foram dadas, mas é claro que o mais interessante é
encontrar a solução, sendo dada uma EDP. Nesta disciplina aprenderemos técnicas para fazer
isto, mas antes de passarmos a questões mais complexas, analisaremos alguns casos nos que
é posśıvel encontrar as soluções utilizando conhecimentos de cálculo diferencial.
Exemplo 1.3. Determine todas as soluções da equação
∂xu = 0, u = u(x, y). (1.10)
Solução:
Para resolver esta equação podemos usar que nela aparece apenas a derivada de u em relação
a x, embora a função incógnita depende também da variável y. Nesse sentido, ela pode ser
considerada como uma EDO para cada valor de y fixado como parâmetro.
Integrando em relação a x para resolver a equação, obtemos∫
∂xu(x, y)dx = f(y)
u(x, y) = f(y)
Portanto, qualquer solução da equação se escreverá da forma u(x, y) = f(y), onde f é alguma
função derivável desconhecida. Além disto, para qualquer função f derivável podemos verificar
que u satisfaz a equação. Isto significa que todas as soluções da equação se representam dessa
forma.
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_surface
https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Enneper_surface
1.1. INTRODUÇÃO 5
Neste exemplo, conseguimos achar uma única expressão para todas as soluções da EDP.
Esta fórmula, quando existe, será chamada de solução geral. Por exemplo, u(x, y) = 1,
u(x, y) = y e u(x, y) = ey
3
são três soluções particulares desta equação.
/
Perceba que no exemplo anterior, a equação é de primeira ordem e a solução geral obtida
depende de uma função arbitrária. No exemplo a seguir, consideraremos uma equação de
segunda ordem.
Exemplo 1.4. Obtenha a solução geral da EDP
∂2yxu = 0, u = u(x, y). (1.11)
Solução: Como ∂2yxu =
∂
∂y
(∂xu), podemos integrar primeiro em relação a y, obtendo
∫
∂2yxu(x, y)dy = F (x)
∂xu(x, y) = F (x)
Integrando agora em relação a x chegamos a u(x, y) =
∫
F (x)dx + g(y), onde F e g são
funções arbitrárias. Chamando de f(x) =
∫
F (x)dx, podemos representar a solução geral
como
u(x, y) = f(x) + g(y),
onde f e g são funções duasvezes deriváveis.
Se escolhermos f(x) = x2 e g(y) = sen y, por exemplo, obteremos a solução particular
u(x, y) = x2 + sen y. /
Nos dois exemplos anteriores, conseguimos determinar todas as soluções da EDP de inte-
resse. Isto ocorreu porque a EDP tinha uma estrutura que nos permitiu utilizar a integração
direta, mas na maioria dos casos não poderemos fazer isto. Assim, às vezes, no lugar de
encontrarmos todas as soluções de uma equação, nos contentaremos com encontrar apenas
as soluções que têm uma estrutura pré-determinada. Ou seja, suporemos que a solução tem
uma certa forma e encontraremos todas as soluções daquela forma. Isto não garante que
encontramos todas as soluções, mas com sorte, encontramos as que nos interessam.
Exemplo 1.5. Consideremos a equação do transporte com c = 1, ou seja,
∂tu+ ∂xu = 0. (1.12)
Neste caso não adianta integrar em relação a x ou a t porque não conseguiremos eliminar
todas as derivadas da equação. Procuraremos então soluções na forma de produto de uma
função da variável independente x vezes uma função da variável independente t:
u(x, t) = X(x)T (t),
onde X = X(x) depende de x e T = T (t) depende de t. Para encontrar este tipo de solução
u precisaremos determinar estas duas funções X e T . Começaremos substituindo na equação
diferencial. Antes disso, temos que calcular as derivadas parciais:
∂tu(x, t) =
∂
∂t
[X(x)T (t)] = X(x)T ′(t), ∂xu(x, t) =
∂
∂x
[X(x)T (t)] = X ′(x)T (t).
6 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
Substituindo na equação, obtemos
∂tu(x, t) + ∂xu(x, t) = X(x)T
′(t) +X ′(x)T (t) = 0.
Precisamos então descobrir as funções X e T satisfazendo X(x)T ′(t) + X ′(x)T (t) = 0.
Para isto, vamos dividir a expressão toda por u(x, t) = X(x)T (t) e passar a segunda parcela
para a direita. Obtemos
X(x)T ′(t) +X ′(x)T (t)
X(x)T (t)
=
T ′(t)
T (t)
+
X ′(x)
X(x)
= 0⇒ T
′(t)
T (t)
= −X
′(x)
X(x)
.
Com isto, chegamos numa igualdade que nos permitirá resolver o nosso problema. Por quê?
A igualdade
T ′(t)
T (t)
= −X
′(x)
X(x)
diz que para qualquer valor de x e qualquer valor de t que você substitua, os termos esquerdo
e direito coincidem. Mas se fixarmos um valor t = t0,
T ′(t0)
T (t0)
é um valor constante e
isso nos permite concluir que −X
′(x)
X(x)
é uma função constante. Chamemos essa constante
(desconhecida) de λ.
A nossa conclusão é que
−X
′(x)
X(x)
= λ⇒ X ′(x) = −λX(x)
e além disto, como
T ′(t)
T (t)
= −X
′(x)
X(x)
,
T ′(t)
T (t)
= λ⇒ T ′(t) = λT (t).
Assim, obtivemos uma EDO para X: X ′ = −λX e uma outra, muito parecida, para T :
T ′(t) = λT (t). Sabemos resolver as duas EDOs, porque são apenas diferentes maneiras de
escrever y′ = ky, cuja solução é y(t) = const.ekt.
Portanto, X(x) = c1e
−λx T (t) = c2e
λt e
u(x, t) = Ce−λxeλt = Ce−λ(x−t).
Aqui C = c1c2, que é uma nova constante. Com isto, encontramos uma faḿılia de soluções
de ∂tu+ ∂xu = 0.
� Para cada valor de C e cada valor de λ, teremos uma solução diferente. Por exemplo,
se C = −1 e λ = 2, obtemos u(x, t) = e−2(x−t).
� Há soluções dessa EDP que não são da faḿılia que obtivemos. Uma delas é u(x, t) =
x − t. Você pode verificar que esta função satisfaz a equação, mas ela não pertence a
essa faḿılia. (Você saberia explicar por quê?)
/
Nestas notas de aula, chamaremos as soluções que podem ser fatoradas como produto de
funções de cada variável independente de soluções fatoradas. O que fizemos no exemplo
anterior foi achar todas as soluções fatoradas da equação ∂tu + ∂xu = 0. Essa técnica será
muito utilizada ao longo no semestre. Por isso é importante fazer um resumo aqui:
1.1. INTRODUÇÃO 7
� Substituimos a expressão u(x, t) = X(x)T (t) na equação.
� Dividimos por u(x, t) a após simplificações apropriadas, chegamos numa expressão da
forma
Expressão dependente apenas de x = Expressão dependente apenas de t.
A partir daqui, obtivemos uma EDO para a função X(x) e uma outra para a função
T (t). Resolvendo essas equações chegamos em expressões para essas funções.
� Multiplicando as expressões obtidas para X(x) e T (t), obtivemos as soluções u(x, t)
que desejávamos. Precisamos lembrar aqui que se tivermos um produto de constantes,
podemos substitúı-lo por uma nova constante como foi feito no exemplo.
1.1.3 Prinćıpio de superposição
Uma maneira de explicar o que é uma EDP linear é apresentada a seguir.
Definição 1.2
Uma EDP linear de n-ésima ordem é toda EDP que possa ser escrita da forma
� membro esquerdo: combinação linear da função incógnita u e de suas derivadas
parciais até a ordem n com coeficientes que são funções das variáveis independentes;
� membro direito: função f das variáveis independentes.
Se f ≡ 0, dizemos que a EDP linear é homogênea.
Atenção: Não faz sentido falar em EDPs não lineares homogêneas e não homogêneas.
Estas noções só existem para EDPs lineares. Este é um erro muito comum!!
Exemplo 1.6. A equação
x7∂xu+ e
xy∂yu+ sen(x
2 + y2)u = x3 (1.13)
é linear não homogênea, enquanto
(∂xu)
2 + (∂yu)
2 = 1
é não linear.
/
A forma mais geral para uma EDP linear de primeira ordem para u = u(x, y) é
a(x, y)∂xu+ b(x, y)∂yu+ c(x, y)u = d(x, y), (1.14)
onde a, b, c and d são funções de x e y. Esta equação é homogênea quando d ≡ 0.
Exemplo 1.7. As equações de transporte (1.5) e de Laplace (1.7) são lineares e ho-
mogêneas. A equação da superf́ıcie ḿınima (1.9) e a de Korteweg-deVries (1.8) são não
lineares. /
As EDPs lineares e homogêneas satisfazem uma propriedade que será extremamente útil
para construir suas soluções.
8 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
Teorema 1.1: Prinćıpio de superposição
Sejam u1 e u2 duas soluções de uma EDP linear e homogênea. Então para quaisquer
constantes c1 e c2, a função u = c1u1 + c2u2 também será solução da equação
Demonstração. Não faremos a demonstração formal aqui, mas perceba que o resultado é
consequência de duas propriedades das derivadas parciais:
� a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais;
� a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada
pela derivada parcial da função.
�
Exemplo 1.8. As funções v(x, y) = x e u(x, y) = x2 − y2 são soluções da equação
de Laplace bidimensional. Como ela é uma equação linear e homogênea, o prinćıpio de
superposição garante que toda combinação linear de soluções é solução. Portanto, as funções
w1(x, y) = 3v(x, y)− u(x, y)
= −x2 + y2 + 3x
e
w2(x, y) = πv(x, y) +
√
2u(x, y)
=
√
2x2 −
√
2y2 + πx
também são soluções desta equação.
Perceba que desta maneira podemos encontrar infinitas soluções. /
O Prinćıpio de Superposição não vale em geral para as EDPs não lineares. Por isso, formar
novas soluções a partir de soluções dadas é mais dif́ıcil para estas equações.
Observação. O Prinćıpio de Superposição implica que as soluções de uma EDP linear ho-
mogênea formam um subespaço vetorial. Isso também ocorria no caso da EDOs. Por
exemplo, sabemos que todas as soluções da EDO
d2y
dt2
+ 4y = 0
se escrevem da forma y(t) = c1 cos 2t + c2 sen 2t com c1, c2 ∈ R. Como cos 2t e sen 2t
são funções linearmente independentes, pois uma não é múltiplo da outra, concluimos que o
conjunto das soluções dessa EDO é um subespaço de dimensão 2.
Na verdade, sabemos que o conjunto das soluções de uma EDO linear homogênea forma
um subespaço vetorial de dimensão igual à ordem da equação. Assim, podemos pensar no
conjunto de soluções de uma EDO linear de ordem 1 como uma reta que passa na origem,
se for de ordem 2, como um plano que passa na origem, etc. No entanto, o subespaço das
soluções de uma EDP linear homogênea é de dimensão infinita!!
1.1. INTRODUÇÃO 9
1.1.4 Por que estudar EDPs?
A área das equações diferenciais parciais esteve historicamenteligada à f́ısica. O nascimento do
Cálculo Diferencial no século XVII favoreceu o desenvolvimento de ferramentas matemáticas
que permitiram modelar fenômenos f́ısicos como a emissão e propagação de ondas acústicas
e aquáticas (a partir do século XVIII) e a propagação do calor (a partir do século XIX) por
meio de Equações Diferenciais Parciais.
Atualmente a área e Equações Diferenciais Parciais tem um desenvolvimento mais inde-
pendente, como área da Matemática mas de forma geral as EDPs mais interessantes desde
o ponto de vista matemático são aquelas que modelam fenômenos reais que podem ser da
F́ısica, da Biologia, das Finanças, etc. Isto é algo que não pode ser nunca desconsiderado
pois muitas das técnicas usadas para estudar das EDPs são motivadas em propriedades dos
modelos que elas representam.
Assim, a compreensão de modelos básicos das ciências exatas e naturais requer conhecimen-
tos sobre as Equações Diferenciais Parciais. E é por isso que existe esta disciplina.
Bom semestre para todos nós!
Ideias mais importantes da seção
(1) Definição, solução e ordem de uma EDP
(2) Aplicar integração direta às vezes permite encontrar todas as soluções de uma EDPs.
(3) Mesmo não conseguindo encontrar todas as soluções de uma EDP, às vezes podemos
achar pelo menos todas suas soluções fatoradas.
(4) EDPs lineares e não lineares
(5) Prinćıpio de Superposição.
10 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
1.2 A equação do calor
A equação do calor
∂tu =
K
CD
(∂2xu+ ∂
2
yu+ ∂
2
zu) (1.15)
“nasceu” em 1807 numa monografia escrita como proposta de uma teoria sobre a condução
do calor.
Aqui u = u(x, y, z, t) representa a temperatura de um corpo no ponto (x, y, z) e no instante
t, K é a condutividade térmica, C é o calor espećıfico e D é a densidade do sólido. Todas
essas propriedades f́ısicas eram suspostas constantes para facilitar a resolução do problema.
Para resolver a equação foram escolhidos sólidos com diferentes geometrias simétricas: um
prisma, uma placa, um cubo, um cilindro e uma esfera e foi estudada a condução do calor no
interior de cada corpo, assumindo conhecida a temperatura no instante inicial em cada ponto
e a temperatura ou o fluxo de calor nas bordas.
Infelizmente, essa monografia foi rejeitada por um comité de ilustres revisores formado por
� Pierre Simon de Laplace
� Joseph Louis Lagrange
� Sylvestre François Lacroix
� Gaspar Monge
Figura 1.2: Fragmento da monografia rejeitada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Condutividade_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre\discretionary {-}{}{}Simon_Laplace
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph\discretionary {-}{}{}Louis_Lagrange
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sylvestre\discretionary {-}{}{}Fran%C3%A7ois_Lacroix
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge
1.2. A EQUAÇÃO DO CALOR 11
O autor? Joseph Fourier.
Figura 1.3: Joseph Fourier
As razões da rejeição? As veremos depois. De qualquer jeito, esta história tem um final feliz
porque o Fourier não desistiu e continuou defendendo suas ideias. Essa monografia também
marca a origem, além da equação do calor, de um dos objetos mais importantes na matemática
pura e nas aplicações: as séries de Fourier.
1.2.1 Propagação do calor em uma barra com temperatura nula nos
extremos
Consideraremos aqui um caso mais simples que os que foram analisados por Fourier na
monografia mencionada anteriormente. Vamos estudar o fenômeno da difusão do calor numa
barra ciĺındrica homogênea feita de um material condutor do calor. Suporemos que a superf́ıcie
lateral da barra está isolada termicamente. Assim, o intercâmbio térmico pode ocorrer apenas
através das extremidades.
Se a barra tiver comprimento L > 0, podemos colocá-la sobre o eixo x entre x = 0 (extremo
esquerdo) e x = L (extremo direito). Suporemos também que a temperatura em todos os
pontos da cada seção transversal x = x0 é a mesma e dada pelo valor u(x0, t) no instante t.
Figura 1.4: Barra de comprimento L com temperatura inicial e temperaturas nos extremos
dadas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean_Baptiste_Joseph_Fourier
12 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
A equação satisfeita pela temperatura no interior da barra é a equação do calor em uma
dimensão espacial
∂tu = k∂
2
xu, (1.16)
onde k = K
CD
.
Esta equação do calor nos diz que a temperatura u(x, t) na seção x e no instante t cresce
(∂tu > 0) ou descresce (∂tu < 0) dependendo de ∂
2
xu ser positivo ou negativo.
Figura 1.5: Variação da temperatura no tempo de acordo com a equação do calor
Do mesmo jeito que Fourier fez, para determinarmos a solução num problema concreto,
precisaremos especificar
� a distribuição de temperatura no instante inicial em todos os pontos da barra (condição
inicial). Considerando o instante inicial como t = 0, essa condição ficará da forma
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L;
� condições adicionais sobre os extremos da barra (condições de fronteira). Aqui
podemos supor, por exemplo, que a temperatura em cada extremo da barra é fixada e
igual a 0. Assim, para todo t ≥ 0, teremos u(0, t) = 0 (extremo esquerdo) e u(L, t) = 0
(extremo direito).
1.2.2 Cálculo da temperatura da barra com extremos mantidos a
temperatura zero: a estratégia de Fourier
Juntando as nossas reflexões anteriores, chegamos ao seguinte Problema de Valor Inicial
com Condições de Fronteira para a equação do calor:
ED ∂tu = k∂
2
xu, , 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0; (1.17)
CF u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0; (1.18)
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L. (1.19)
A nossa dificuldade agora é descobrir, dada uma função f que representa a temperatura
inicial, encontrar a função u tal que satisfaz a equação do calor, toma o valor 0 nos extremos
da barra e coincide com f quando t = 0.
1.2. A EQUAÇÃO DO CALOR 13
Como pensou Fourier? Para cada um dos problemas de sua monografia, ele encontrou uma
faḿılia de funções que
� eram relativamente simples de calcular;
� satisfaziam a equação do calor;
� satisfaziam as condições de fronteira.
Fourier percebeu que, pelo Prinćıpio de Superposição, as combinações lineares dessas soluções
satisfaziam tanto a equação do calor como as condições de fronteira. Assim, para satisfazer a
condição inicial, a ideia seria montar a combinação linear adequada. Veremos como funciona
esse procedimento nos exemplos a seguir.
Exemplo 1.9. O problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(π, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = sen(2x), 0 ≤ x ≤ π.
tem solução u1(x, t) = e
−8t sen(2x). Isto pode ser verificado substituindo na equação, nas
condições de fronteira e na condição inicial.
Por outro lado, o problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(π, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = sen(3x), 0 ≤ x ≤ π.
tem solução u2(x, t) = e
−18t sen(3x). Podemos verificar isso de forma similar.
Suponhamos agora que queremos determinar a solução do problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(π, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = 5 sen(2x)− 30 sen(3x), 0 ≤ x ≤ π.
Solução:
� Observamos que a condição inicial u(x, 0) = 5 sen(2x)−30 sen(3x) é combinação linear
das funções sen(2x) e sen(3x) com coeficientes 5 e −30, respectivamente.
� Sabemos que qualquer combinação linear das soluções u1 e u2 também satisfaz a
equação do calor (pelo Prinćıpio de Superposição) e as condições de fronteira (porque
são homogêneas, ou seja, porque a temperatura é zero), pois
u(0, t) = c1u1(0, t) + c2u2(0, t) = 0;
u(π, t) = c1u1(π, t) + c2u2(π, t) = 0.
� Deduzimos que u(x, t) = 5u1(x, t) − 30u2(x, t) = 5e−8t sen(2x) − 30e−18t é a solução
que procuramos.
/
No exemplo anterior nos baseamos no conhecimento das soluções u1 e u2, com condição
inicial sen 2x e sen 3x, respectivamente. No caso geral, pode se verificar que
14 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
Figura 1.6:Gráfico de u(x, t) = 5e−8t sen(2x)− 30e−18t sen(3x)
Proposição 1.1
As funções da forma
un(x, t) = e
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
, n ∈ N; (1.20)
satisfazem o problema geral (1.17)-(1.19) com a condição inicial f(x) = sen
(
nπ
L
x
)
.
Demonstração. Mais um exerćıcio para você. �
Podemos generalizar o procedimento que seguimos no exemplo anterior. Para isto, resultará
conveniente utilizar o śımbolo de somatório.
Uma combinação linear das funções un em (1.20):
b1e
−k( π
L
)2t sen
(π
L
x
)
+ b2e
−k( 2π
L
)2t sen
(
2π
L
x
)
+ · · ·+ bNe−k(
Nπ
L
)2t sen
(
Nπ
L
x
)
pode ser escrita usando o śımbolo de somatório da forma
N∑
n=1
bne
−k(nπ
L
)2t sen
(nπ
L
x
)
.
A proposição seguinte generaliza o exemplo 1.9.
1.2. A EQUAÇÃO DO CALOR 15
Proposição 1.2
Sejam b1, . . . , bN constantes dadas. A solução do problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(L, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = b1 sen
(π
L
x
)
+ b2 sen
(
2π
L
x
)
+ · · ·+ bN sen
(
Nπ
L
x
)
=
N∑
n=1
bn sen
(nπ
L
x
)
, 0 ≤ x ≤ L.
(1.21)
está dada por
u(x, t) = b1e
−( π
L
)2kt sen
(π
L
x
)
+ · · ·+ bNe−(
Nπ
L
)2kt sen
(
Nπ
L
x
)
(1.22)
=
N∑
n=1
bne
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
. (1.23)
Exemplo 1.10. Verifique que a solução do problema
ED ∂tu = 4∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = − sen(πx) + 6 sen(25πx), 0 ≤ x ≤ 1.
satisfaz u(x, t)→ 0 quando t→∞, para todo x ∈ [0, 1].
Ou seja, a temperatura em cada ponto da barra tende a zero quando o tempo cresce.
Solução:
Vamos primeiro encontrar a solução. Neste exemplo, k = 4 e L = 1. Assim, nπ
L
= nπ
1
= nπ.
Portanto, comparando com (1.20), sabemos que as funções da forma
un(x, t) = e
−4n2π2t sennπx, n ∈ N (1.24)
satisfazem a equação dada e também valem 0 quando x = 0 e quando x = π. Como a
temperatura inicial f(x) = − sen(πx)+6 sen(25πx) é combinação linear das funções sen(πx)
e sen(25πx) com coeficiente −1 e 6, teremos que a função u = −u1 + 6u25 é a solução que
estamos procurando. Inserindo os termos da forma e−4n
2π2t na frente de cada seno, obtemos
u(x, t) = −e−4π2t sen(πx) + 6e−2500π2t sen(25πx).
Agora, se fixarmos o valor de x, sen(5πx) é constante e e−100t tende a zero quando t→∞.
Portanto, a primeira parcela em u(x, t) tende a zero. Para a segunda, podemos fazer uma
análise similar e assim, com x fixo, u(x, t), tende a zero quando t→∞ por ser soma de duas
parcelas que tendem a zero quando t→∞. /
A proposição 1.2 resolve muitos exemplos mas ela fornece apenas uma solução parcial de
(1.17)-(1.19).
Exemplo 1.11. Consideremos o problema
ED ∂tu = ∂
2
xu, 0 < x < 1, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1.
(1.25)
16 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
Pela proposição 1.2 sabemos que se a temperatura inicial da barra é
u(x, 0) = −2 sen(3πx) + 5 sen(7πx),
então
u(x, t) = −2e−9π2t sen(3πx) + 5e−49π2t sen(7πx).
Analogamente, se
u(x, 0) = sen(11πx)− 6 sen(19πx)− 13 sen(65πx)
então
u(x, t) = e−121π
2t sen(11πx)− 6e−361π2t sen(19πx)− 13e−4225π2t sen(65πx).
Suponhamos agora que u(x, 0) = x(1− x). Como x(1− x) é um polinômio, ele não pode
ser escrito como combinação linear de funções periódicas. Assim, neste caso não podeŕıamos
usar essa proposição. São as séries de Fourier as que nos ajudarão a resolver este tipo de
problema. Mais adiante veremos como podemos calcular os coeficientes (bn) para os quais
x(1− x) =
∞∑
n=1
bn sen(nπx), x ∈ [0, 1]
e isso nos permitirá representar a solução desse problema da forma
u(x, t) =
∞∑
n=1
bne
−n2π2t sen(nπx), x ∈ [0, 1].
/
Antes de apresentar as séries de Fourier, precisaremos explicar como obtivemos as soluções
(1.20). É isto o que faremos na próxima seção.
1.2. A EQUAÇÃO DO CALOR 17
Ideias mais importantes da seção
(1) A temperatura no interior de uma barra homogênea isolada nas laterais e com
extremos mantidos a temperatura 0 é a solução do problema
(Equação do Calor 1D) ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
(Condições de Fronteira) u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0;
(Condição Inicial) u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L.
(2) Para cada n ∈ N, a função
un(x, t) = e
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
satisfaz a equação do calor e as condições de fronteira do problema acima.
(3) Se a temperatura inicial for f(x) =
N∑
n=1
bn sen
(nπ
L
x
)
, onde N ∈ N, então a solução
do problema acima será
u(x, t) =
N∑
n=1
bne
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
.
18 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. A EQUAÇÃO DO CALOR.
Referências
[1] D. Bleecker and G. Csördas. Basic Partial Differential Equations. International Press,
1997.
[2] W. E. DiPrima R. C. Boyce. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno. LTC, New Jersey, 1975.
[3] D. M. Bressoud. A Radical Approach to Real Analysis . The Mathematical Association of
America; 2nd edition (April 12, 2007), segunda edition, 2007.
[4] T. N. Narasimhan. The dichotomous history of diffusion. Physics Today, 62(7):48–55,
2009.
Caṕıtulo 2
Método de separação de variáveis.
Séries de Fourier
A seguir explicaremos um processo que nos permitirá obter as soluções (1.20). Esse processo
junto com o racioćınio que desenvolvemos na seção anterior para resolver o PVI (1.17)-(1.19)
é conhecido como método de separação de variáveis e pode ser aplicado em muitos
problemas.
2.1 Método de separação de variáveis.
2.1.1 Soluções fatoradas da equação do calor.
No exemplo 1.5 vimos como, embora não sab́ıamos resolver a EDP, conseguimos achar soluções
com uma estrutura espećıfica: soluções fatoradas. Assim, faremos isso agora com a solução
do calor ∂tu = k∂
2
xu. Começaremos substituindo uma solução fatorada genérica u(x, t) =
X(x)T (t).
∂tu = k∂
2
xu⇒ X(x)T ′(t) = kX ′′(x)T (t)⇒
T ′(t)
kT (t)
=
X ′′(x)
X(x)
= λ (2.1)
onde λ é alguma constante que não conhecemos. Lembre que isto vale porque uma função de
x pode coincidir com uma função de t somente quando ambas as funções são constantes.
Daqui, obtemos uma equação diferencial ordinária satisfeita por T = T (t): T ′(t) = λkT (t),
com solução geral
T (t) = Ceλkt.
A equação satisfeita pela função X é X ′′(x) = λX(x). Esta equação é de ordem 2 e
coeficientes constantes. A estrutura de suas soluções depende das ráızes de sua equação
caracteŕıstica que é r2 − λ = 0. Dependendo do sinal da constante λ, temos três casos
posśıveis para a solução geral
X(x) = c1 + c2x, se λ = 0; (2.2)
X(x) = c1e
√
λx + c2e
−
√
λx, se λ > 0; (2.3)
X(x) = c1 cos(
√
|λ|x) + c2 sen(
√
|λ|x), se λ < 0. (2.4)
A constante C na expressão de T (t) é irrelevante, pois é uma constante arbitrária que vamos
multiplicar pelas outras constantes c1 e c2, então podemos supor C = 1. Assim, todas as
soluções fatoradas da equação do calor podem ser escritas da forma
19
20 CAPÍTULO 2. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. SÉRIES DE FOURIER
u(x, t) = c1 + c2x, se λ = 0; (2.5)
u(x, t) = eλkt[c1e
√
λx + c2e
−
√
λx], se λ > 0; (2.6)
u(x, t) = eλkt[c1 cos(
√
|λ|x) + c2 sen(
√
|λ|x)], se λ < 0. (2.7)
Aqui c1, c2, λ são constantes arbitrárias e k é a constante de difusividade que aparece na
equação do calor.
Por exemplo, as funções
x, 1 + x, e4kt+2x, e4kt[e2x − 3e−2x], e−9kt cos(3x) e e−9kt[cos(3x)− 5 sen(3x)]
são soluções fatoradas da equação do calor.
2.1.2 Soluções fatoradas da equação do calor que satisfazem as
condições de fronteira (1.18)
.
Como queremos resolver o PVI (1.17)-(1.19), na verdade, não precisaremos usar todas as
soluções fatoradas senão apenas aquelas que tomam o valor 0 na fronteira. Cada uma dessas
soluções satisfaz
u(0, t) = X(0)T (t) = 0, para todo t ≥ 0.
Se u não for uma função identicamente nula, necessariamente T (t0) 6= 0 para algum instante
de tempo t0 ≥ 0. Para esse valor, X(0)T (t0) = 0 e portanto, X(0) = 0. Analogamente,
obtemos que X(L) = 0.
Portanto, as soluções fatoradas quesatisfazem as condições de fronteira são aquelas que
também satisfazem X(0) = X(L) = 0. Precisamos identificar quais são essas soluções.
Analisaremos cada um dos três casos que obtivemos em (2.2)-(2.4).
Caso 1: X(x) = c1 + c2x. Neste caso, a função X é uma função linear. A única função
linear que toma o valor 0 em dois pontos distintos é a constante 0, portanto X ≡ 0.
Caso 2: Para facilitar a notação, escreveremos λ = α2, α > 0. Nesse caso, X(x) =
c1e
αx + c2e
−αx, α > 0.
X(0) = c1 + c2 = 0⇒ c1 = −c2
X(L) = c1e
αL + c2e
−αL
= −c2eαL + c2e−αL
= −c2(eαL − e−αL) = 0
Como α > 0 e L > 0, eαL 6= e−αL, então c2 = 0 e portanto c1 = 0 e X ≡ 0.
Caso 3: Para facilitar, escreveremos λ = −α2, α > 0 e assim, X(x) = c1 cos(αx) +
c2 sen(αx).
Como cos 0 = 1 e sen 0 = 0, obtemos
X(0) = c1 = 0⇒ c1 = 0
X(L) = c1 cos(αL) + c2 sen(αL)
= c2 sen(αL) = 0
2.1. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. 21
Se c2 = 0, obtemos X ≡ 0. Para termos a possibilidade de obter soluções X não nulas,
consideraremos portanto c2 6= 0. Neste caso sen(αL) = 0, ou seja, αL = nπ para n ∈ N ou
α =
nπ
L
⇒ λ = −
(nπ
L
)2
n ∈ N.
Como conclusão obtemos a proposição a seguir.
Proposição 2.1
O problema com condições de fronteiraa
X ′′ − λX = 0, X(0) = 0, X(L) = 0, L > 0 (2.8)
possui soluções que não são identicamente nulas apenas quando λ = −
(nπ
L
)2
, n ∈ N.
Estas soluções são da forma
Xn(x) = bn sen
(nπ
L
x
)
,
onde n ∈ N e bn ∈ R.
atambém chamado de problema de dois pontos
Finalmente, como consequência desta proposição conclúımos que as únicas soluções fatora-
das da equação do calor que satisfazem as condições de fronteira (1.18) são as soluções da
forma
un(x, t) = bne
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
, n ∈ N; (2.9)
com bn constante. Esta é exatamente a fórmula que apresentamos em (1.20).
2.1.3 Estrutura do método de separação de variáveis
Nesta disciplina utilizaremos o método de separação de variáveis para resolver vários proble-
mas de contorno associados a EDPs lineares e homogêneas. De forma geral, ele pode ser
esquematizado como segue.
1. Obter todas as soluções fatoradas da EDP.
2. Identificar aquelas que satisfazem certas condições de contorno homogêneas.
3. Satisfazer as outras condições de contorno aplicando o Prinćıpio de Superposição.
22 CAPÍTULO 2. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. SÉRIES DE FOURIER
Ideias mais importantes da seção
(1) As soluções fatoradas da equação do calor são da forma u(x, t) = X(x)T (t), onde
T ′(t) = λkT (t)
e
X ′′(x) = λX(x).
com λ ∈ R.
(2) O fato de procurarmos soluções fatoradas tem a vantagem de transformar o nosso
problema inicial: resolver uma EDP, em dois problemas mais simples: resolver uma
EDO de primeira ordem com incógnita T = T (t) uma de segunda ordem com
incógnita X = X(x).
(3) Ao procurarmos as soluções fatoradas da equação do calor valendo zero nas extremi-
dades da barra, fomos conduzidos ao problema de fronteira
X ′′ − λX = 0, X(0) = 0, X(L) = 0, L > 0.
(4) O problema acima só tem solução quando a constante λ satisfaz
λ = −
(nπ
L
)2
, com n ∈ N.
Resolvendo esse problema e multiplicando pela função T = T (t) correspondende,
chegamos às soluções (2.9) que nos permitem resolver uma larga coleção de proble-
mas, usando o Prinćıpio da Superposição (veja a proposição 1.2).
2.2. SÉRIES DE FOURIER. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 23
2.2 Séries de Fourier. Definição e exemplos
No exemplo 1.11 observamos que f(x) = x(1− x) não é uma combinação linear de funções
da forma sen(nπx), n ∈ N, por isso não conseguimos achar uma fórmula para a temperatura
da barra com essa condição inicial. O que fazer então?!
O conselho de Fourier seria:
1. faça a expansão de x(1− x) como série infinita de senos sen(nπx);
2. reproduza o mesmo procedimento que você usava trocando a soma finita por uma série.
De fato, esse procedimento funciona mas essa expansão em série de senos precisa ser bem
explicada. É por isso que a monografia de 1807 de Fourier foi rejeitada. Vários matemáticos
reconhecidos duvidavam que isso pudesse ser feito. Naquela época, parecia natural esperar
que uma série de funções tão regulares quanto as funções seno e cosseno, se comportasse
como uma séries de potência. No entanto, as séries de potências
� convergem sobre um intervalo (que pode ser R ou apenas um ponto);
� convergem para funções anaĺıticas no interior do intervalo de convergência;
� podem ser derivadas termo a termo no interior do intervalo de convergência.
Por outro lado, as séries de Fourier
� podem convergir apenas em subconjuntos muito “especiais” de um intervalo;
� podem convergir para funções descont́ınuas;
� nem sempre podem ser derivadas termo a termo nos pontos onde convergem.
No ano 1811, a Academia de Ciências da França criou um prêmio que seria outorgado a
quem apresentasse a melhor teoria da condução do calor. Fourier enviou uma versão estendida
da sua monografia de 1807 e recebeu o prêmio em 1812. Com a publicação, em 1822, de seu
trabalho Théorie analytique de la chaleur suas contribuições ficaram acesśıveis à comunidade
cient́ıfica em geral.
Mas, qual deve ser a estrutura de uma série de Fourier? Já sabemos que para encontrar
a temperatura no interior de uma barra com extremos a temperatura zero precisaremos ter
termos da forma
sen
(nπ
L
x
)
na temperatura inicial. Veremos depois que, para satisfazer outras condições de fronteira,
precisaremos que na temperatura inicial apareça uma combinação linear de funções cosseno
da forma
cos
(nπ
L
x
)
.
Assim, analisaremos séries com a estrutura a seguir
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)]
.
Algumas questões básicas que precisamos responder são:
https://archive.org/details/thorieanalytiqu00fourgoog
24 CAPÍTULO 2. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. SÉRIES DE FOURIER
� Dada uma função f , como calculamos seus coeficientes de Fourier an e bn?
� Quando converge uma série de Fourier?
� Que tipo de funções f podemos representar usando séries de Fourier?
2.2.1 Definição da série de Fourier
Começaremos introduzindo a série de Fourier de uma função f .
Definição 2.1: Série de Fourier
Seja f : [−L,L] → R (ou f : R → R de peŕıodo 2L) uma função tal que todas as
integrais
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
(nπ
L
x
)
dx, n ≥ 0; (2.10)
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx, n ≥ 1. (2.11)
estão bem definidas. Então
Sf(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)]
(2.12)
chama-se de série de Fourier de f .
Os valores em (2.10) e (2.11) são chamados de coeficientes de Fourier de f .
Convém fazer alguns comentários sobre esta definição.
(i) A série de Fourier é entendida como limite das somas parciais
SNf(x) =
a0
2
+
N∑
n=1
[
an cos
(nπ
L
x
)
+ sen
(nπ
L
x
)]
, (2.13)
ou seja, para cada x ∈ [−L,L] (ou para cada x ∈ R, caso f seja periódica), Sf(x) =
lim
N→∞
SNf(x).
(ii) Na definição não se afirma nada sobre a convergência da série. De fato, existem exemplos
(que dificilmente apareceriam na prática) de funções cuja série de Fourier diverge para
muitos valores de x (veja o exemplo 3.5).
(iii) Poderia acontecer que alguns dos coeficientes de Fourier não estivessem definidos, por
exemplo se f for não limitada e alguma das integrais em (2.10) ou (2.11) for uma integral
imprópria divergente. Uma maneira de garantirmos que todos os coeficientes de Fourier
estão bem definidos é exigindo que f seja absolutamente integrável, ou seja que∫ L
−L
|f(x)|dx <∞.
2.2. SÉRIES DE FOURIER. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 25
Nesse caso teremos que
|an| =
∣∣∣∣ 1L
∫ L
−L
f(x) cos
(nπ
L
x
)
dx
∣∣∣∣ ≤ 1L
∫ L
−L
∣∣∣f(x) cos(nπ
L
x
)∣∣∣ dx ≤ 1
L
∫ L
−L
|f(x)|dx
|bn| =
∣∣∣∣ 1L
∫ L
−L
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx
∣∣∣∣ ≤ 1L
∫ L
−L
∣∣∣f(x) sen(nπ
L
x
)∣∣∣ dx ≤ 1
L
∫ L
−L
|f(x)|dx.
Portanto, além de todos os coeficientes de Fourier existirem, obteŕıamos também que
eles devem tem seus valores absolutos limitadospela constante Mf =
1
L
∫ L
−L
|f(x)|dx.
(iv) Cada função da forma an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)
tem peŕıodo 2L pois
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)
= an cos
(nπ
L
x+ 2nπ
)
+ bn sen
(nπ
L
x+ 2nπ
)
= an cos
(nπ
L
(x+ 2L)
)
+ bn sen
(nπ
L
(x+ 2L)
)
.
Portanto, as somas parciais em (2.13) também terão peŕıodo 2L, quando consideradas
como funções definidas sobre a reta toda. Isto significa que a série de Fourier Sf , se ela
convergir, o fará para uma função de peŕıodo 2L. Por isso faz sentido também definir a
série de Fourier para funções de peŕıodo 2L.
2.2.2 Exemplos
Exemplo 2.1. Calculemos a série de Fourier de
f(x) =

1, 0 ≤ x < L;
0, −L ≤ x < 0;
periódica com peŕıodo 2L.
Figura 2.1: Gráfico da função f no intervalo [−L,L]
26 CAPÍTULO 2. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. SÉRIES DE FOURIER
Solução: A função f é absolutamente integrável em [−L,L], portanto todos seus coefici-
entes de Fourier existem.
a0 =
1
L
∫ L
0
dx = 1
an =
1
L
∫ L
0
cos
(nπ
L
x
)
dx =
1
nπ
sen
(nπ
L
x
) ∣∣∣L
0
= 0
bn =
1
L
∫ L
0
sen
(nπ
L
x
)
dx = − 1
nπ
cos
(nπ
L
x
) ∣∣∣L
0
=
1
nπ
(1− cos(nπ)) = 1
nπ
(1− (−1)n)
=
{
2
nπ
, n ı́mpar;
0, n par.
A série de Fourier da função f é
Sf(x) =
1
2
+
1
π
∞∑
n=1
1− (−1)n
n
sen
(nπ
L
x
)
.
Como b2k = 0 e b2k−1 =
2
(2k − 1)π
, podemos escrever a mesma série na forma
Sf(x) =
1
2
+
2
π
∞∑
k=1
1
2k − 1
sen
(
(2k − 1)π
L
x
)
.
Podemos também calcular as primeiras somas parciais de Fourier.
S0f(x) =
1
2
S1f(x) =
1
2
+
2
π
sen
(π
L
x
)
= S2f(x)
S3f(x) =
1
2
+
2
π
sen
(π
L
x
)
+
2
3π
sen
(
3π
L
x
)
= S4f(x)
S5f(x) =
1
2
+
2
π
sen
(π
L
x
)
+
2
3π
sen
(
3π
L
x
)
+
2
5π
sen
(
5π
L
x
)
= S6f(x).
Na figura 2.2 representamos o gráfico de f junto com algumas somas parciais de Fourier.
Podemos perceber que as somas parciais de Fourier parecem se aproximar de uma função
descont́ınua que coincide com f sobre os intervalos da forma (jL, (j + 1)L), j ∈ Z e que
vale
1
2
nos extremos destes intervalos pois nesses pontos, todas as somas parciais tomam esse
valor. /
Analisaremos a questão da convergência da série de Fourier no próximo tópico.
REFERÊNCIAS 27
Figura 2.2: Somas parciais da série de Fourier de f
Ideias mais importantes da seção
(1) Os coeficientes de Fourier podem ser calculados tanto para uma função
f : [−L,L] → R como para uma função f , 2L-periódica e estão dados pelas
expressões (2.10)-(2.11).
(2) A série de Fourier correspondente é uma função 2L-periódica dada pela expressão
(2.12) que debe ser entendida como o limite das somas parciais (2.13).
Referências
[1] D. Bleecker and G. Csördas. Basic Partial Differential Equations. International Press,
1997.
[2] W. E. DiPrima R. C. Boyce. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno. LTC, New Jersey, 1975.
28 CAPÍTULO 2. SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. SÉRIES DE FOURIER
Caṕıtulo 3
Propriedades das séries de Fourier.
3.1 Convergência das séries de Fourier
3.1.1 Funções cont́ınuas por partes e suaves por partes
Antes de formular o critério de convergência das séries de Fourier, precisamos fazer uma
pequena revisão sobre as funções cont́ınuas por partes.
Lembremos que para uma função f , definida em um intervalo aberto contendo o ponto
x0, denotamos por f(x0−) o limite de f(x), quando x se aproxima de x0 pela esquerda.
Analogamente, f(x0+) denota o limite de f(x), quando x se aproxima de x0 pela direita
f(x0−) = lim
x→x0−
f(x), f(x0+) = lim
x→x0+
f(x).
f tem uma descontinuidade de tipo salto em x = x0 se f(x0−) 6= f(x0+) e nesse caso a
diferença f(x0+)− f(x0−) é chamada de salto de f nesse ponto. Observe que o salto de f
não depende do valor de f(x0).
Figura 3.1: Uma função com um salto em x0 = 1
Definição 3.1
Uma função f : R → R é cont́ınua por partes se ela tiver no máximo um número finito
de descontinuidades, todas elas de tipo salto em cada intervalo da forma [a, b]. Se tanto
f quanto sua derivada (ali onde ela exista) forem cont́ınuas por partes, dizemos que f é
suave por partes.
29
30 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
Exemplo 3.1. As funções cont́ınuas são cont́ınuas por partes. O número de descontinui-
dades de tipo salto em cada intervalo [a, b] é zero. /
Exemplo 3.2. A função
f(x) =
{ 1
x
, x 6= 0;
0, x = 0
não é cont́ınua por partes pois seu limite quando x → 0+ não existe e portanto a desconti-
nuidade em x0 = 0 não é de tipo salto. /
Exemplo 3.3. A função
f(x) =
 x2 sen
(
1
x
)
, x 6= 0;
0, x = 0
possui derivada em todos os pontos mas f ′(0+) e f ′(0−) não existem (verifique isto!). Por
isso esta função é cont́ınua mas não é suave por partes. /
O gráfico de uma função suave por partes pode ser de vários tipos. Se f tem primeira
derivada cont́ınua, a inclinação da tangente ao seu gráfico em cada ponto muda continuamente,
sem saltos. Por isso o gráfico de uma função deste tipo é uma curva cont́ınua sem “ quinas”.
(veja a figura 3.2(a))
Se f for cont́ınua, mas f ′ possuir descontinuidades de tipo salto, teremos um gráfico sem
saltos, mas com “ quinas” nos pontos onde f ′ é descont́ınua, pois nesses pontos a tangente
vai se aproximar de dois valores distintos pela direita e pela esquerda. (veja a figura 3.2(b))
Se tanto f quanto f ′ possúırem descontinuidades de tipo salto, o gráfico de f terá saltos
nas suas descontinuidades e terá “ quinas” nas descontinuidades da derivada. (veja a figura
3.2(c))
Figura 3.2: Funções suaves por partes
3.1. CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER 31
3.1.2 O Teorema de Dirichlet
A compreensão que se tem atualmente sobre as séries de Fourier é muito mais profunda da
que existia nas primeiras décadas do século XIX. De fato, quem obteve o primeiro resultado
rigoroso sobre a convergência dessas séries não foi Fourier senão um aluno dele, Johann Peter
Gustav Lejeune Dirichlet. Ele publicou esse resultado no artigo
P.G.L. Dirichlet, Sur la convergence des series trigonométriques qui servent à représenter
une fonction arbitraire entre des limites donnés. J. Math. 4 (1829) pp. 157–169.
Teorema 3.1
(Teorema de Dirichlet) A série de Fourier de qualquer função f : R→ R de peŕıodo 2L,
suave por partes, converge em todos os valores de x. A soma da série vale f(x) em cada
ponto de continuidade e vale
1
2
(f(x+) + f(x−))
em cada ponto de descontinuidade de f .
Em particular, se além de suave por partes, f for cont́ınua, teremos que Sf(x) = f(x)
para todo x ∈ R.
Exemplo 3.4. No exemplo (2.1) obtivemos a série de Fourier da função
f(x) =

1, 0 ≤ x < L;
0, −L ≤ x < 0 ou x = L;
periódica com peŕıodo 2L.
Figura 3.3: Visualização da convergência da série de Fourier da função f do exemplo 3.4
Esta função é descont́ınua somente nos pontos da forma x = jL, com j ∈ Z. Em cada um
deles os limites laterais existem e valem 0 e L. A derivada de f existe fora desses pontos e é
https://pt.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet
https://pt.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet
32 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
igual a zero. Portanto, as hipóteses do teorema são satisfeitas e obtemos
Sf(x) =

1, 2jL < x < (2j + 1)L;
0, (2j − 1)L < x < 2jL;
1/2, x = jL, j ∈ Z.
As séries de Fourier às vezes nos permitem obter somas de séries numéricas. Observe que
neste caso se 0 < x < L,
1
2
+
2
π
∞∑
k=1
1
2k − 1
sen
(
(2k − 1)π
L
x
)
= 1⇒
∞∑
k=1
1
2k − 1
sen
(
(2k − 1)π
L
x
)
=
π
4
Se substituirmos na expressão acima um valor de x ∈ [0, L] tal que sen
(
(2k − 1)π
L
x
)
seja
simples de se calcular, poderemos deduzir a soma de uma série numérica. Por exemplo, se
x =
L
2
, sen
(
(2k − 1)π
L
x
)
= sen
(
(2k − 1)π
2
)
= sen
(
−π
2
+ kπ
)
= (−1)k+1, portanto,
∞∑
k=1
(−1)k+1
2k − 1
=
π
4
.
/
O exemplo a seguir é muito interessante pois a função do exemplo não satisfaz as hipóteses
do Teorema de Dirichlet, no entanto,em certo sentido sua série de Fourier converge para f .
Exemplo 3.5. Consideremos a função f(x) = − ln |2 sen(x/2)|. A prinćıpio, ela não
estaria definida nos pontos onde sen(x/2) = 0, ou seja, nos pontos da forma x = 2kπ, k ∈ Z.
No entanto, este problema pode ser resolvido facilmente atribuindo o valor zero à função f
nesses pontos. Além disto, f tem peŕıodo 2π e é absolutamente integrável.
Figura 3.4: A função f(x) = − ln |2 sen(x/2)| não é cont́ınua por partes
Os coeficientes de Fourier de f são a0 = 0, an =
1
n
e bn = 0, n = 1, 2, . . . , ou seja
Sf(x) =
∞∑
n=1
cos(nx)
n
.
3.1. CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER 33
Portanto, se k ∈ Z,
Sf(2kπ) =
∞∑
n=1
cos(2nkπ)
n
=
∞∑
n=1
1
n
=∞.
Ou seja, a série de Fourier de f diverge em um número infinito de valores de x. Isto não
contradiz o teorema 3.1 pois f não é cont́ınua por partes uma vez que
lim
x→2kπ
f(x) =∞, k ∈ Z.
Por isso não podemos aplicar esse teorema neste caso.
Figura 3.5: Somas parciais de Fourier de f(x) = − ln |2 sen(x/2)|
Por outro lado, a análise gráfica (veja a figura 3.5) de algumas somas parciais de Fourier
desta série nos leva a conjecturar que nos valores de x onde f é cont́ınua vale Sf(x) = f(x).
Isto é verdade, mas não podemos conclúı-lo usando o teorema 3.1.
/
Suponha agora que f : [−L,L]→ R é cont́ınua por partes e sua derivada também. Podemos
estender esta função periodicamente sobre a reta toda de forma a obtermos uma função que
tem peŕıodo 2L e que coincide com f no intervalo (−L,L). Esta extensão é suave por partes
e podemos aplicar a ela o Teorema de Dirichlet para sabermos para quais valores converge a
série de Fourier de f .
Exemplo 3.6. Vamos estudar agora a série de Fourier de
f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ L;
0, −L < x < 0.
Solução:
34 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
Primeiro calculamos seus coeficientes de Fourier.
a0 =
1
L
∫ L
0
xdx =
1
L
x2
2
∣∣∣L
0
=
L
2
;
an =
1
L
∫ L
0
x cos
(nπ
L
x
)
dx =
1
L
{
x
L
nπ
sen
(nπ
L
x
) ∣∣∣L
0
− L
nπ
∫ L
0
sen
(nπ
L
x
)
dx
}
=
L
n2π2
cos
(nπ
L
x
) ∣∣∣L
0
=
L((−1)n − 1)
n2π2
bn =
1
L
∫ L
0
x sen
(nπ
L
x
)
dx =
1
L
{
x
−L
nπ
cos
(nπ
L
x
) ∣∣∣L
0
+
L
nπ
∫ L
0
cos
(nπ
L
x
)
dx
}
= − L
nπ
cos(nπ) =
(−1)n+1L
nπ
.
A série de Fourier adota a forma
Sf(x) =
L
4
+
L
π
∞∑
n=1
[
((−1)n − 1)
n2π
cos
(nπ
L
x
)
+
(−1)n+1
n
sen
(nπ
L
x
)]
(3.1)
ou ainda, observando que an =
{
− 2L
n2π2
, n ı́mpar;
0, n par,
Sf(x) =
L
4
− 2L
π2
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
cos
(
(2k − 1)π
L
x
)
+
L
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
(nπ
L
x
)
. (3.2)
Algumas somas parciais de Fourier são
S1f(x) =
L
4
− 2L
π2
cos
(π
L
x
)
+
L
π
sen
(π
L
x
)
,
S4f(x) =
L
4
− 2L
π2
cos
(π
L
x
)
+
L
π
sen
(π
L
x
)
− L
2π
sen
(
2π
L
x
)
− 2L
9π2
cos
(
3π
L
x
)
+
L
3π
sen
(
3π
L
x
)
− L
4π
sen
(
4π
L
x
)
.
Para sabermos qual é o valor de Sf(x) para cada valor de x, observemos que
� f é cont́ınua;
� f ′(x) = 0 sobre o intervalo (−L, 0) e f ′(x) = 1 sobre (0, L). Portanto, f ′ é cont́ınua
por partes.
Portanto, podemos aplicar o Teorema de Dirichlet.
Como f(−L) = 0 e f(L) = L a série de Fourier de f vai apresentar descontinuidades nos
pontos da forma x = (2k − 1)L, k ∈ Z e além disto vale
Sf(x) =

x, 0 ≤ x < L;
0, −L < x < 0.
L
2
, x = −L ou x = −L.
/
3.1. CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER 35
Figura 3.6: Ilustração da convergência da série de Fourier da função f
Ideias mais importantes da seção
(1) O Teorema de Dirichlet nos diz que
(i) a série de Fourier de qualquer função periódica e suave por partes converge;
(ii) onde a função for cont́ınua, ela coincide com a série de Fourier;
(iii) onde ela for descont́ınua, a série de Fourier é igual à soma dos limites laterais.
(2) Se f : [−L,L]→ R for suave por partes, aplicamos o teorema à extensão 2L−periódica
de f .
36 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
3.2 Séries de Fourier de senos e de cossenos
Já sabemos como expandir uma função f : [−L,L] → R ou 2L-periódica, integrável, numa
série de Fourier da forma
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)
.
No entanto, para resolver o problema de condução do calor, teremos uma função temperatura
inicial definida apenas no intervalo [0, L]. Além disto, no caso da barra ter extremos mantidos
a temperatura zero, ela precisará ser expandida numa série contendo apenas funções seno.
Aprenderemos como fazer isso nesta seção.
3.2.1 Funções pares e ı́mpares
As séries de Fourier de funções pares e ı́mpares têm uma estrutura especial que vamos examinar
com detalhe. Começaremos lembrando a definição destas funções.
Definição 3.2
Uma função f : [−L,L]→ R é chamada de par se f(x) = f(−x), para todo x ∈ [−L,L].
Se f(x) = −f(−x) para todo x ∈ [−L,L], f é chamada de ı́mpar.
Se f é par, então se o ponto P = (x, f(x)) está no gráfico de f , o ponto Q = (−x, f(x))
também o estará. Ou seja, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y. Alguns exemplos
são f(x) = c, f(x) = cos cx, onde c denota uma constante real qualquer. Se n ∈ N,
f(x) = x2n. Provavelmente o nome “par” vem desse último exemplo.
Figura 3.7: Gráfico de uma função par. http://www.mathsisfun.com
Se f é ı́mpar, então se o ponto P = (x, f(x)) está no gráfico de f , o ponto Q = (−x,−f(x))
também o estará. Neste caso, se rotacionarmos o gráfico de f um ângulo π em relação à origem
de coordenadas, obteremos o mesmo gráfico. Alguns exemplos são f(x) = x, f(x) = sen cx
e f(x) = x2n−1, n ∈ N.
http://www.mathsisfun.com
3.2. SÉRIES DE FOURIER DE SENOS E DE COSSENOS 37
Figura 3.8: Gráfico de uma função ı́mpar. http://www.mathsisfun.com
Diferentemente do que ocorre com os números naturais, nem toda função precisa ser par ou
ı́mpar. Existem muitas funções que não satisfazem as propriedades descritas acima. Alguns
exemplos são f(x) = ln x e f(x) = x2 − x.
Figura 3.9: Exemplo de função que não é nem par nem ı́mpar. http://www.mathsisfun.com
Proposição 3.1: Propriedades das funções ı́mpares e pares
� O produto de duas funções pares ou de duas funções ı́mpares é uma função par.
� O produto de uma função par (não identicamente nula) e uma ı́mpar é uma função
ı́mpar.
� Se f : [−L,L]→ R é ı́mpar, então
∫ L
−L
f(x)dx = 0, caso esta integral exista.
http://www.mathsisfun.com
http://www.mathsisfun.com
38 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
� Se f : [−L,L] → R é par, então
∫ L
−L
f(x)dx = 2
∫ L
0
f(x)dx, caso as integrais
existam.
As propriedades listadas acima têm consequências importantes relacionadas aos coeficientes
de Fourier. De fato,
� se uma função f for ı́mpar, então f(x) cos
(nπ
L
x
)
é ı́mpar e f(x) sen
(nπ
L
x
)
é par;
� e se uma função f for par (e não identicamente nula), então f(x) cos
(nπ
L
x
)
é par e
f(x) sen
(nπ
L
x
)
é ı́mpar.
Portanto, obtemos o resultado a seguir.
Proposição 3.2
Seja f : [−L,L]→ R (ou 2L-periódica) uma função com todos os coeficientes de Fourier
bem definidos. Então
(i) se f é par, bn = 0, n = 1, 2, . . . e
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπ
L
x
)
dx, n = 0, 1, 2, . . . .
(ii) se f é ı́mpar, an = 0, n = 0, 1, 2, . . . e
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx, n = 1, 2, . . . .
Exemplo 3.7. Calculemos a série de Fourier de f(x) = x, −π ≤ x ≤ π.
Como f é ı́mpar, sabemos que an = 0, n = 0, 1, 2, . . . . Além disto, utilizando os cálculos
feitos no exemplo 3.6, obtemos que
bn =
2
π
∫ π
0
x sennxdx =
2(−1)n+1
n
e então,
Sf(x) = 2
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sennx.
A série de Fourier apresenta descontinuidades nos pontos x que são múltiplos ı́mpares de π.
/
3.2. SÉRIES DE FOURIER DE SENOS E DE COSSENOS 39
Figura 3.10: Gráfico da série de Fourier de f(x) = x,−π ≤ x ≤ π
Exemplo 3.8. Calculemos agora a série de Fourier de f(x) = |x|, −π ≤ x ≤ π.
Neste caso, f é par e portanto bn = 0, n = 1, 2, . . . . Mais uma vez utilizando os cálculos
feitos no exemplo 3.6, obtemos que
a0 =
2
π
∫ π
0
xdx = π;
an =
2
π
∫ π
0
x cosnxdx=
2[(−1)n − 1]
πn2
e
Sf(x) =
π
2
+
2
π
∞∑
n=1
[(−1)n − 1]
n2
cosnx
=
π
2
+
4
π
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
cos((2k − 1)x)
A série de Fourier é uma função cont́ınua que não é derivável nos múltiplos ı́mpares de π.
Figura 3.11: Gráfico da série de Fourier de f(x) = |x|,−π ≤ x ≤ π
/
40 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
3.2.2 Séries de Fourier de senos e de cossenos
Como a série de Fourier de uma função ı́mpar contém somente senos, parece razoável, para
expandirmos uma função f : [0, L]→ R numa série de senos, usar a série de Fourier de alguma
função ı́mpar definida no intervalo [−L,L] e que coincida com f sobre [0, L]. Isto nos leva à
ideia das extensões ı́mpares e pares das funções.
Definição 3.3
(a) A extensão ı́mpar da função f : [0, L]→ R é a única função ı́mpar fi, definida sobre
[−L,L] e que coincide com f em (0, L], ou seja
fi(x) =

f(x), 0 < x ≤ L;
0, x = 0
−f(−x), −L ≤ x < 0.
(b) A extensão par da função f : [0, L] → R é a única função par fp, definida sobre
[−L,L] e que coincide com f em [0, L], ou seja
fp(x) =
{
f(x), 0 ≤ x ≤ L;
f(−x), −L ≤ x < 0.
Na figura 3.12 podemos visualizar os gráficos de uma mesma função estendida de forma
ı́mpar e par, respectivamente.
Figura 3.12: Extensões ı́mpar e par de f(x) = −(x− 1)2 + 5, 0 ≤ x ≤ 3.
A seguir, definiremos as séries de Fourier de senos e de cossenos de uma função
f : [0, L]→ R. A ideia é bastante natural e está descrita a seguir.
� A série de Fourier de senos de f é a série de Fourier de sua extensão ı́mpar fi.
� A série de Fourier de cossenos de f é a série de Fourier de sua extensão par fp.
3.2. SÉRIES DE FOURIER DE SENOS E DE COSSENOS 41
Definição 3.4
Seja f : [0, L]→ R.
(a) A série de Fourier de f de senos é
∞∑
n=1
bn sen
(nπ
L
x
)
,
onde
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx, n = 1, 2, . . . ,
desde que as integrais estejam bem definidas.
(b) A série de Fourier de f de cossenos é
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
,
onde
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπ
L
x
)
dx, n = 0, 1, 2, . . .
desde que as integrais estejam bem definidas.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 3.9. Obtenha a série de Fourier de senos e a série de Fourier de cossenos da
função f(x) = L − x, 0 ≤ x ≤ L e faca um esboço de ambas as séries no intervalo
[−3L, 3L].
Solução: Calculemos os coeficientes de Fourier da série de senos. Para isto vamos reapro-
veitar alguns dos cálculos feitos no exemplo 3.6.
bn =
2
L
∫ L
0
(L− x) sen
(nπ
L
x
)
dx
bn = 2
∫ L
0
sen
(nπ
L
x
)
dx− 2
L
∫ L
0
x sen
(nπ
L
x
)
dx
bn =
2L(1− (−1)n)
nπ
− 2L(−1)
n+1
nπ
bn =
2L
nπ
.
Portanto, a série de Fourier de senos de f é
2L
π
∞∑
n=1
1
n
sen
(nπ
L
x
)
.
Para obtermos o gráfico dessa série, devemos primeiro estender a função f de forma ı́mpar
para obtermos fi e depois desenhar o gráfico da série de Fourier de fi.
42 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
Figura 3.13: f e sua série de Fourier de senos
Calculemos agora a série de cossenos. Mais uma vez reaproveitando os cálculos feitos no
exemplo 3.6:
a0 =
2
L
∫ L
0
(L− x)dx = 2
L
∫
(Lx− x
2
2
)
∣∣∣L
0
= L
an =
2
L
∫ L
0
(L− x) cos
(nπ
L
x
)
dx
an = 2
∫ L
0
cos
(nπ
L
x
)
dx− 2
L
∫ L
0
x cos
(nπ
L
x
)
dx
an =
2L(1− (−1)n)
n2π2
Portanto, a expressão da série de Fourier de cossenos de f é
L
2
+
2L
π2
∞∑
n=1
1− (−1)n
n2
cos
(nπ
L
x
)
=
L
2
+
4L
π2
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
cos
(
(2k − 1)π
L
x
)
.
Finalmente, para obtermos o gráfico, devemos primeiro estender a função f de forma par para
obtermos fp e depois desenhar o gráfico da série de Fourier de fp.
Figura 3.14: f e sua série de Fourier de cossenos
/
REFERÊNCIAS 43
Ideias mais importantes da seção
(1) Os coeficientes de Fourier bn das funções pares são todos nulos.
(2) Os coeficientes de Fourier an das funções ı́mpares são todos nulos.
(3) A série de Fourier de senos de uma função f : [0, L]→ R é a série de Fourier de sua
extensão ı́mpar, que é uma função definida sobre o intervalo [−L,L]. Ela é da forma
∞∑
n=1
bn sen
(nπ
L
x
)
, onde bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx, n = 1, 2, . . . .
(4) A série de Fourier de cossenos de uma função f : [0, L]→ R é a série de Fourier de
sua extensão par, que é uma função definida sobre o intervalo [−L,L]. Ela é da forma
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
, onde an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπ
L
x
)
dx, n = 0, 1, 2, . . . .
Referências
[1] D. Bleecker and G. Csördas. Basic Partial Differential Equations. International Press,
1997.
[2] W. E. DiPrima R. C. Boyce. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno. LTC, New Jersey, 1975.
44 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
Caṕıtulo 4
Outros problemas de propagação do
calor
4.1 Problemas com condições de fronteira homogêneas
4.1.1 Temperatura dada nos extremos
Exemplo 4.1. Suponhamos que queremos encontrar a solução do problema
ED ∂tu = ∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0 u(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = x(1− x), 0 ≤ x ≤ 1.
(4.1)
Aqui, L = 1, portanto, sabemos achar a solução quando u(x, 0) é uma combinação linear
de funções da forma sen(nπx), n ∈ N. Como f(x) = x(1 − x) é um polinômio, não pode
ser combinação linear de funções dessa forma. Uma maneira de verificar isso seria observando
que qualquer combinação linear de funções da forma sen(nπx) deve ser uma função periódica,
mas sabemos que os polinômios não são funções periódicas.
No entanto, a função f(x) = x(1−x) pode ser expandida na sua série de Fourier de senos.
Calculando os coeficientes
bn = 2
∫ 1
0
x(1− x) sen(nπx)dx = 4
π3
1− (−1)n
n3
obtemos
x(1− x) = 4
π3
∞∑
n=1
1− (−1)n
n3
sen(nπx) =
8
π3
∞∑
j=1
1
(2j − 1)3
sen((2j − 1)πx). (4.2)
Lembre que uma outra maneira de obter essa série seria subtraindo as séries de Fourier de
senos das funções g(x) = x e h(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1.
Observe que como f é cont́ınua e como f(0) = f(π) = 0, obtemos que para x ∈ [0, 1], vale
x(1− x) = 8
π3
∞∑
j=1
1
(2j − 1)3
sen((2j − 1)πx). (4.3)
Assim, parece razoável concluir que
u(x, t) =
8
π3
∞∑
j=1
1
(2j − 1)3
e−((2j−1)π)
2t sen((2j − 1)πx). (4.4)
45
46 CAPÍTULO 4. OUTROS PROBLEMAS DE PROPAGAÇÃO DO CALOR
é a solução do problema, mas será que realmente podemos afirmar isto?
Substituindo x = 0 e x = 1 na expressão de u, obtemos que u(0, t) = 0 e u(1, t) = 0,
portanto, as condições de fronteira são satisfeitas. Pela igualdade (4.3), temos que u(x, 0) =
x(1− x) e portanto, a condição inicial também é satisfeita.
A dificuldade neste exemplo está em verificar que a equação diferencial é satisfeita, pois para
isso precisamos derivar uma série efetuando a derivação termo a termo, o que nem sempre é
posśıvel. Neste caso, o decaimento das exponenciais permite fazer isto mas não entraremos
nesses detalhes aqui e consideraremos a expressão obtida apenas como uma solução formal ou
plauśıvel, uma vez que não foi estudada essa questão com a profundidade necessária.
Outra abordagem seria truncar a série e obter uma solução aproximada. É o que precisamos
fazer se quisermos plotar uma “solução” (veja a figura ??).
Figura 4.1: Aproximação da solução com 10 termos da série para diferentes valores de t.
/
A seguir apresentamos um exemplo onde a condição inicial não é satisfeita em todos os
pontos.
Exemplo 4.2. Determine a solução do problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 < x < π, t > 0;
CF u(0, t) = 0 u(π, t) = 0, t > 0;
CI u(x, 0) =
{
1, 0 < x ≤ π/2;
2, π/2 < x < π
, 0 ≤ x ≤ π.
Solução:
Neste caso L = π. Como f não é combinação linear das funções sennx, n ∈ N, precisaremos
usar sua série de Fourier de senos para obter uma solução formal do problema.
4.1. PROBLEMAS COM CONDIÇÕES DE FRONTEIRA HOMOGÊNEAS 47
Os coeficientes da série são
bn =
2
π
∫ π
0
f(x) sennxdx =
2
π
[∫ π/2
0
f(x) sennxdx+
∫ π
π/2
f(x) sennxdx
]
=
2
π
[∫ π/2
0
sennxdx+ 2
∫ π
π/2
sennxdx
]
=
2
π
1 + cos(nπ/2)−2 cos(nπ)
n
=
2
π
1− 2(−1)n + cos(nπ/2)
n
.
Portanto, a série é
2
π
∞∑
n=1
1− 2(−1)n + cos(nπ/2)
n
sen(nx)
e a solução será
u(x, t) =
2
π
∞∑
n=1
1− 2(−1)n + cos(nπ/2)
n
e−2n
2t sen(nx).
Como no exemplo anterior, é simples verificar que u satisfaz as condições de fronteira. No
Figura 4.2: Aproximação da solução com 20 termos da série para diferentes valores de t.
entanto, u não satisfaz à condição inicial dada, senão a condição alternativa:
u(x, 0) =

1, 0 < x ≤ π/2;
0, x = 0 ou x = π;
3/2, x = π/2;
2, π/2 < x < π.
.
Este exemplo poderia corresponder com uma situação na qual temos duas barras do mesmo
material de comprimento π/2, com temperaturas distintas e constantes que são unidas e as
novas extremidades são mantidas a temperatura zero. A descontinuidade da temperatura
na seção transversal no meio da barra na condição inicial corresponde com o fato de termos
48 CAPÍTULO 4. OUTROS PROBLEMAS DE PROPAGAÇÃO DO CALOR
juntado nesse instante as duas barras. A transferência de calor entre as duas barras faz com que
esta descontinuidade desapareça rapidamente. Nesse sentido, a solução obtida é fisicamente
satisfatória. No entanto, aparentemente não faz muito sentido falar que u(0, 0) = u(π, 0) = 0.
Esta condição aparece teoricamente pois estamos usando a série de Fourier de senos. Na
prática, ela corresponde ao fato dos extremos da barra serem mantidos a temperatura zero.
/
4.1.2 Barra com extremos termicamente isolados
No processo de condução de calor na barra, a quantia −KA∂xu(a, t) representa a quantidade
de calor por unidade de tempo que atravessa a seção x = a no sentido crescente de x. Aqui,
A é a área da seção transversal e K é a condutividade térmica do material que compõe a
barra. Portanto, ao especificarmos valores para ∂xu(x, t) em x = 0 ou x = L, estaremos
impondo condições sobre a taxa com que a energia térmica passa pelos extremos da barra.
Em particular, a condição ∂xu(0, t) = 0 significa que não há calor fluindo pelo extremo x = 0.
Se a barra for completamente isolada, obtemos as condições
∂xu(0, t) = 0, ∂xu(L, t) = 0, t ≥ 0. (4.5)
Para encontrar as soluções, como fizemos no caso de extremos mantidos a temperatura
zero, começamos por encontrar quais das soluções fatoradas da equação do calor satisfazem
as condições acima.
Se u(x, t) = X(x)T (t), então ∂xu(0, t) = X
′(0)T (t) = 0 para todo t ≥ 0 implica que
X ′(0) = 0 e de forma similar obtemos X ′(L) = 0. Analisaremos a seguir quais são as
soluções de X ′′ − λX = 0 satisfazendo estas condições de fronteira.
No caso λ = 0, temos X(x) = c1x+ c2. Assim, X
′(x) = c1 e portanto
X ′(0) = 0, X ′(L) = 0⇒ c1 = 0.
Neste caso a única solução não nula posśıvel é uma constante. Para facilitar na hora de calcular
os coeficiente de Fourier, esta constante será escrita da forma X0(x) =
a0
2
, com a0 ∈ R.
Quando λ > 0, a única solução satisfazendo X ′(0) = 0, X ′(L) = 0 é a solução nula.
Pedimos para você verificar isso num exerćıcio.
No caso λ = −α2 < 0, α > 0, temos que X(x) = c1 cosαx + c2 senαx e X ′(x) =
−αc1 senαx+ αc2 cosαx. Portanto,
X ′(0) = αc2 = 0⇒ c2 = 0
e
X ′(L) = −c1α sen(αL) = 0.
Se c1 = 0, obtemos apenas a solução nula. Precisaremos então que sen(αL) = 0. Portanto
α =
nπ
L
e λ = −
(nπ
L
)2
n ∈ N.
Desta forma chegamos à
Proposição 4.1
A equação X ′′ − λX = 0 só pode ter soluções não nulas satisfazendo as condições de
fronteira X ′(0) = 0 e X ′(L) = 0 quando λ = 0 ou λ = −
(nπ
L
)2
, n = 0, 1, . . . .
4.1. PROBLEMAS COM CONDIÇÕES DE FRONTEIRA HOMOGÊNEAS 49
Estas soluções são da forma
X0(x) =
a0
2
e Xn(x) = an cos
(nπ
L
x
)
, n ∈ N,
onde a0, an ∈ R.
Portanto, as soluções fatoradas da equação do calor satisfazendo as condições de fronteira
(4.5) são da forma
un(x, t) = ane
−(nπ
L
)2kt cos
(nπ
L
x
)
, n = 1, . . . , (4.6)
com an ∈ R, além da solução constante u0(x, t) =
a0
2
.
Pelo Prinćıpio de Superposição e pela homogeneidade das condições de fronteira (4.5) temos
que se a0, a1, . . . , aN são constantes, uma solução da equação do calor satisfazendo (4.5) é
u(x, t) =
a0
2
+
N∑
n=1
ane
−(nπ
L
)2kt cos
(nπ
L
x
)
,
com condição inicial correspondente
u(x, 0) =
a0
2
+
N∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
.
Podemos resumir estes resultados na proposição a seguir, análoga à proposição 1.2.
Proposição 4.2
Sejam a0, a1, . . . , aN constantes dadas. A solução do problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF ∂xu(0, t) = 0 ∂xu(L, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) =
a0
2
+
N∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
, 0 ≤ x ≤ L.
(4.7)
está dada por
u(x, t) =
a0
2
+
N∑
n=1
ane
−(nπ
L
)2kt cos
(nπ
L
x
)
. (4.8)
A seguir apresentamos um exemplo.
Exemplo 4.3. Determine uma solução do problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0;
CF ∂xu(0, t) = 0 ∂xu(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = cos2(3πx), 0 ≤ x ≤ 1.
Solução:
Neste exemplo temos L = 1 e k = 2. Além disto, nπ
L
= nπ, por isso precisamos ter na
condição inicial f , uma combinação linear de funções da forma cos(nπx), com n = 0, 1, . . . .
50 CAPÍTULO 4. OUTROS PROBLEMAS DE PROPAGAÇÃO DO CALOR
Como f(x) = cos2(3πx), vamos aplicar a identidade trigonómetrica
cos2(α) =
1
2
(1 + cos(2α))
e obtemos que
f(x) = cos2(3πx) =
1
2
(1 + cos(6πx)) =
1
2
+
1
2
cos(6πx).
Para construir a solução basta inserir a exponencial e−(6π)
2·2t = e−72π
2t na frente de cos(6πx).
Portanto,
u(x, t) =
1
2
+
1
2
e−72π
2t cos(6πx)
é a solução deste problema. /
No exemplo a seguir mostramos como resolver um problema utilizando a expansão da função
u(x, 0) na série de Fourier em cossenos.
Exemplo 4.4. Determine a solução do problema
ED ∂tu = 4∂
2
xu, 0 < x < π, t > 0;
CF ∂xu(0, t) = 0 ∂xu(π, t) = 0, t > 0;
CI u(x, 0) =
{
0, 0 < x ≤ π/2;
1, π/2 < x < π.
, 0 ≤ x ≤ π.
Solução: Neste problema temos L = π e condições de fronteira de extremidades isoladas,
portanto, sabemos encontrar a solução exata no caso de temperatura inicial sendo uma
combinação linear das funções cosnx, n = 0, 1, . . . . Como a função f dada não está nesse
caso, vamos determinar uma solução formal do problema, para isto precisaremos
1. obter a série de Fourier em cossenos da função f ;
2. inserir as exponenciais e−4n
2t na frente de cada função cosseno.
Os coeficientes da série em cossenos de f são
a0 =
2
π
∫ π
0
f(x)dx =
2
π
∫ π
π/2
dx = 1
an =
2
π
∫ π
0
f(x) cosnxdx =
2
π
∫ π
π/2
cosnxdx = − 2
π
sen(nπ/2)
n
.
Como sen(nπ/2) = 0 para n par e sen((2j − 1)π/2) = (−1)j+1, obtemos que an = 0 para n
par e a2j−1 =
2
π
(−1)j
2j − 1
. Assim, a série de Fourier em cossenos de f é
1
2
+
2
π
∞∑
j=1
(−1)j
2j − 1
cos(2j − 1)x
e a solução formal do problema é
1
2
+
2
π
∞∑
j=1
e−4(2j−1)
2t (−1)j
2j − 1
cos(2j − 1)x.
/
4.1. PROBLEMAS COM CONDIÇÕES DE FRONTEIRA HOMOGÊNEAS 51
Ideias mais importantes da seção
(1) Ao resolvermos o problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, , 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L
se a função f não é uma combinação linear de funções da forma sen
(nπ
L
x
)
,
precisaremos
(a) determinar os coeficientes de sua série de Fourier de senos:
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(nπ
L
x
)
dx, n ∈ N;
(b) escrever a solução formal u(x, t) =
∞∑
n=1
bne
−(nπL )
2
kt sen
(nπ
L
x
)
.
(2) Ao resolvermos o problema de condução de calor na barra com extremidades isoladas,
ED ∂tu = k∂
2
xu, , 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF ∂xu(0, t) = 0, ∂xu(L, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L
(a) se f(x) =
a0
2
+
N∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
, então
u(x, t) =
a0
2
+
N∑
n=1
ane
−(nπL )
2
kt cos
(nπ
L
x
)
;
(b) caso contrário, precisaremos
(i) determinar os coeficientes da série de Fourier de cossenos de f :
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπ
L
x
)
dx, n = 0, 1, . . .
(ii) escrever a solução formal
u(x, t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
ane
−(nπL )
2
kt cos
(nπ
L
x
)
.
52 CAPÍTULO 4. OUTROS PROBLEMAS DE PROPAGAÇÃO