Ejemplo4-13 algebra lineal

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Ejemplo 4.13:
Solución. Una base ortonormal de W es{√
3
2
x ,
√
5
2
√
2
(
−1 + 3x2
)}
(¡verif́ıquelo!).
Entonces〈
p(x) ,
√
3
2
x
〉
=
√
3
2
〈
3 + 2x− x2 , x
〉
=
√
3
2
∫ 1
−1
(
3 + 2x− x2
)
xdx
=
√
3
2
∫ 1
−1
(
3x + 2x2 − x3
)
dx = 2
√
3
2
∫ 1
−1
x2dx = 2
√
3
2
x3
3
∣∣∣∣1
−1
=
4
√
3
3
√
2
.
〈
p(x) ,
√
5
2
√
2
(
−1 + 3x2
)〉
=
√
5
2
√
2
〈
3 + 2x− x2 , −1 + 3x2
〉
=
√
5
2
√
2
∫ 1
−1
(
3 + 2x− x2
) (
−1 + 3x2
)
dx
=
√
5
2
√
2
∫ 1
−1
(
−3− 2x + 10x2 + 6x3 − 3x4
)
dx
=
√
5
2
√
2
∫ 1
−1
(
−3 + 10x2 − 3x4
)
dx
=
√
5
2
√
2
(
−3x + 10
3
x3 − 3
5
x5
)∣∣∣∣1
−1
= − 4
√
5
15
√
2
.
Aśı que
proyW p(x) =
〈
p(x) ,
√
3
2
x
〉√
3
2
x +
〈
p(x) ,
√
5
2
√
2
(
−1 + 3x2
)〉 √5
2
√
2
(
−1 + 3x2
)
=
4
√
3
3
√
2
√
3
2
x +
(
− 4
√
5
15
√
2
)
= 2x− 1
3
(
−1 + 3x2
)
=
1
3
+ 2x− x2.