Geometria Analítica e Álgebra Linear e Vetorial - Estudo de caso

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ESTUDO DE CASO: 
PROJEÇÕES 
ORTOGONAIS
Professor Me. Alberto de Paula Freire
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Método das projeções ortogonais
Assim com qualquer número real pode ser obtido a partir da soma de outros
dois números, qualquer vetor pode ser obtido a partir da soma de outros
dois vetores ortogonais, denominados componentes do vetor. A vantagem
em trabalhar com vetores ortogonais é a possibilidade de aplicar
diretamente o teorema de Pitágoras.
PROJEÇÕES ORTOGONAIS
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PROJEÇÕES ORTOGONAIS
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝐹𝑥
𝐹
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝐹𝑦
𝐹
⇒ 
𝐹𝑥 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐹𝑦 = 𝐹. 𝑠𝑒𝑛𝛼
Componentes ortogonais do vetor 𝐹;
 𝐹 = 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦
𝐹2 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2
Fonte: O autor (2022)
𝑦
𝑥
𝛼
𝑜
 𝐹𝑌
 𝐹𝑥
 𝐹
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PROJEÇÕES ORTOGONAIS
As componentes 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 também são vetores. A componente 𝐹𝑥 tem direção
do eixo 𝑂𝑥, e a 𝐹𝑦 tem direção do eixo 𝑂𝑦. Contudo, para o caso de vários
vetores, podemos adicionar vetorialmente todas as componentes na direção
do eixo 𝑥 e também, separadamente, obter a soma de todas as
componentes na direção do eixo 𝑦 , usando operações algébricas.
Chamamos de projeção a medida algébrica do segmento que a
componente determina no eixo, de acordo com os seguintes critérios:
• se o sentido da componente concorda com a orientação do eixo, a
projeção é positiva;
• se o sentido da componente for contrário à orientação
do eixo, a projeção é negativa.
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PROJEÇÕES ORTOGONAIS
A soma das projeções no eixo 𝑥 corresponde à projeção da resultante
nesse eixo, o que também acontece no eixo 𝑦.
Determinamos, assim, a soma das projeções no eixo 𝑂𝑥 (𝑅𝑥) e a soma
das projeções no eixo 𝑂𝑦 (𝑅𝑦). Portanto, o módulo do vetor soma pode
ser obtido pelo teorema de Pitágoras: 𝑅2 = 𝑅𝑥
2 + 𝑅𝑦
2
.
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PROJEÇÕES ORTOGONAIS
Exemplo para estudo de caso:
Em determinado intervalo de tempo, durante uma partida de futebol, os
deslocamentos de um jogador foram representados por vetores.
Primeiro, ele se deslocou 4m para frente; depois, 10m para esquerda;
em seguida, 5m em direção inclinada, 6m para trás; e, finalmente, 2m
para direita. A figura a seguir representa esses deslocamentos utilizando
vetores com uma origem comum. O módulo de cada um desses vetores
está indicado na figura.
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PROJEÇÕES ORTOGONAIS
 𝐴
𝐵
 𝐶
𝐷
𝐷
10𝑚
4𝑚
2𝑚
6𝑚
5𝑚
𝑥
𝑦
𝑜
𝛼
Fonte: O autor (2022)
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PROJEÇÕES ORTOGONAIS
a) Considere 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,6 e 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0,8 e determine 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 +
𝐷 + 𝐸, usando o método das projeções.
b) Determine os componentes ortogonais nas direções do eixo 𝑂𝑥 e
𝑂𝑦 de cada um dos deslocamentos.
c) Represente o vetor correspondente à soma de todos esses
deslocamentos utilizando as projeções obtidas. Terminada essa
sequência de deslocamentos, a quantos metros estará o jogador do
ponto de partida?
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Obrigado!
Alberto de Paula Freire
Contatos: alberto.freire@fatecie.edu.br