Manual de Matemática: História, Evolução e Importância

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Manual de
Matemática
De lá pra cá mostra a história, evolução,
os representates mais significativos e a
importância da Matemática.
Conhecenco o Manual de Matemática
Presente em provas escolares, concursos, vestibulares e,
também, no dia-a-dia, a matemática é uma ferramenta essencial
para a construção de um futuro promissor.
O Manual de Matemática foi criado para ajudá-lo nessa
empreitada.
Então, mãos à obra!
Por que...? muitas vezes o aluno, por não ter um referencial
de estudo, não sabe o porquê de aprender determinado
assunto, bem como onde usará os conhecimentos adqui-
ridos. Neste Boxe, um professor responde a essas dúvidas,
explicando a importância de cada tema abordado e trans-
formando os conceitos em aplicações práticas do dia-a-dia.
O Saiba mais mostra a inter-
ligação das disciplinas dian-
te de um mesmo fenômeno
ou relaciona assuntos da uni-
dade ou do capítulo com Te-
mas Transversais, levando à
reflexão, à crítica e à busca
de soluções.
Editor:Editor:Editor:Editor:Editor:
Raul Maia
Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:Coordenação Editorial:
Eliana Maia Lista
Autor:Autor:Autor:Autor:Autor:
Ana Maria de Oliveira
Colaborador:Colaborador:Colaborador:Colaborador:Colaborador:
Valéria Barbosa Santos
Revisores:Revisores:Revisores:Revisores:Revisores:
Ana Paula Ribeiro
Christina Lucy Fontes Soares
Gislene Pereira Rodrigues de Oliveira
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Oliveira, Ana Maria
Manual de Matemática / Ana Maria de Oliveira;
colaboradora Valéria Barbosa Santos. –– São Paulo :
DCL, 2005.
ISBN 85-7338-892-7
1. Matemática I. Santos, Valéria Barbosa. II. Título
04-3971 CDD – 510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino Médio 510.7
Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:
Daniela Máximo
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Antônio Briano Jr.
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Geiza de Sousa Caria
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Sumário
Apresentação ...................................................................... 7
De lá pra cá ...................................................................... 8
Unidade I – ÁLGEBRA
Capítulo 1 Teoria dos Conjuntos .................................... 11
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos ................................... 17
Capítulo 3 Expressões Algébricas ................................... 24
Capítulo 4 Potências e Raízes ......................................... 33
Capítulo 5 Equação ....................................................... 37
Exercícios Propostos ...................................... 48
Unidade II – FUNÇÃO E LOGARITMO
Capítulo 1 Função ......................................................... 58
Capítulo 2 Função do 1º Grau ...................................... 74
Capítulo 3 Função do 2º Grau ou Quadrática ............... 87
Capítulo 4 Função Modular ......................................... 105
Capítulo 5 Função Exponencial ................................... 115
Capítulo 6 Logaritmo................................................... 124
Exercícios Propostos .................................... 149
Unidade III – TRIGONOMETRIA
Capítulo 1 Introdução à Trigonometria ........................ 169
Exercícios Propostos .................................... 224
Unidade IV – SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
Capítulo 1 Introdução à Seqüência ou Sucessão .......... 237
Capítulo 2 Progressão Aritmética ................................. 240
Capítulo 3 Progressão Geométrica ............................... 248
Exercícios Propostos .................................... 260
Unidade V – MATRIZES E DETERMINANTES
Capítulo 1 Matrizes ...................................................... 268
Capítulo 2 Determinantes ............................................ 284
Capítulo 3 Sistemas Lineares ........................................ 297
Exercícios Propostos .................................... 313
Unidade VI – LOGARITMO
Capítulo 1 Fatorial/Números Binomiais e
Binômio de Newton ................................... 324
Exercícios Propostos .................................... 335
Unidade VII – ANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADE
Capítulo 1 Análise Combinatória .................................. 340
Capítulo 2 Probabilidade ............................................. 349
Exercícios Propostos .................................... 362
Unidade VIII – GEOMETRIA PLANA
Capítulo 1 Geometria Plana ......................................... 368
Capítulo 2 Geometria Espacial de Posição ................... 390
Capítulo 3 Geometria Métrica Espacial ......................... 396
Exercícios Propostos .................................... 418
Unidade IX – NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
Capítulo 1 Números Complexos .................................. 433
Capítulo 2 Polinômios/Equações Polinomiais ............... 450
Exercícios Propostos .................................... 466
Unidade X – GEOMETRIA ANALÍTICA
Capítulo 1 Introdução à Geometria Analítica ............... 474
Exercícios Propostos .................................... 515
Unidade XI – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Capítulo 1 Matemática Financeira ............................... 523
Capítulo 2 Noções de Estatística .................................. 539
Exercícios Propostos .................................... 552
Referências Bibliográficas e
Sites para Pesquisa ...................................... 560
Apresentação
Podemos relacionar a Matemática ao dia-a-dia do alu-
no, bem como utilizar os conceitos aprendidos em situ-
ações práticas.
Proporcionaremos ao aluno uma breve revisão de ál-
gebra e geometria, ajudando-o a percorrer novos cami-
nhos e aplicar conhecimentos e habilidades anteriormen-
te adquiridos.
Este livro tem a preocupação de ajudar o estudante a
crescer como cidadão, levantando discussões sobre
questões sociais, analisando-as e propondo soluções.
Com base em diversas linguagens do cotidiano, levar
o aluno a procurar uma linguagem matemática para ex-
plicar os processos matemáticos que ocorrem ao seu
redor, introduzindo novos conceitos feitos por meio de
situações-problema contextualizadas, visualizando e con-
cretizando experiências, integrando-os às diferentes dis-
ciplinas.
A invenção dos números
Como foi inventado o número?
A invenção do númeronúmeronúmeronúmeronúmero não aconteceu de repente nem foi uma única pes-
soa responsável por ela. Na verdade, o número surgiu da necessidade que
as pessoas tinham de contar objetos e animais.
Durante a Pré-História, os homens utilizavam pedras, nós de cordas e os
próprios dedos para contar.
Foi assim, contando objetos com outros objetos, que a humanidade co-
meçou a formar o conceito de número. Para o homem primitivo, o número
cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a algo concreto: cinco dedos, cin-
co vasos etc.
Com os avanços que marcaram o fim da Pré-História, a quantidade de ob-
jetos de uma coleção passou a ser representada por desenhos (símbolos).
Eles foram criados por estudiosos do Antigo Egito para realizar cálculos rápi-
dos e precisos. Esse fato foi fundamental para o desenvolvimento da Mate-
mática.
Depois dos egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema
de numeração, mas somente por volta do século III a.C. começoua se formar
um sistema numérico mais prático e eficiente que todos os outros já criados
até então: o sistema de numeração romanosistema de numeração romanosistema de numeração romanosistema de numeração romanosistema de numeração romano, em que eram utilizadas as letras
do alfabeto para representar os números. Esse sistema foi adotado por mui-
tas nações.
BrBrââmaneman
Sâ
Árabe do oeste Árabe do leste
Sééculo XIculo 
Sééculo XVculo 
Século XVI
Os hindus tinham os seus próprios métodos de cálculos, que eram realiza-
dos por meio de apenas nove sinais.
A referência a nove, e não a dez símbolos, significa que o passo mais
importante dos hindus para formar seu sistema de numeração – a invenção
do zero – ainda não havia chegado ao Ocidente.
Ao longo dos anos, os símbolos hindus foram sendo alterados e levados a
toda a Europa por meio dos árabes. Com o livro de Al-Khowarizmi, o mais
brilhante matemático árabe de todos os tempos, os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7
8 98 98 98 98 9 ficaram conhecidos no mundo todo como a notação de Al-Khowarizmi e
hoje como algarismos indoalgarismos indoalgarismos indoalgarismos indoalgarismos indo-arábicos-arábicos-arábicos-arábicos-arábicos.
Manual de Matemática
10
I
PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender ender ender ender ender ÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebraaaaa?????
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeee
ÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebrÁlgebraaaaa?????
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– ÁLGEBRA
Além de estimular o raciocínio lógico e dedutível, o
estudo da algébra perimite-nos encontrar soluções
de determinadas situações-problema, no nosso dia-
a-dia.
Numa empresa freqüentemente surgem problemas re-
lacionados com custos, com a produção, divisão de
lucros, etc.
Na Medicina, os médicos utilizam muitas fórmulas ma-
temáticas, principalmente para calcular a quantidade
de remédios que deve ser dada aos pacientes.
A álgebra é apenas uma ferramenta. A habilidade de
resolver problemas desenvolve-se aos poucos.
Manual de Matemática
11
Capítulo 1
TEORIA DOS CONJUNTOS
A Teoria dos Conjuntos nos mostra, por meio dos símbolos, uma linguagem
matemática mais simples e compreensível, auxiliando as várias outras ciências.
Conjunto
É toda coleção ou classe de objetos bem definidos, o mesmo que agrupa-
mento.
Exemplos:
a) O conjunto dos números ímpares.
b) O conjunto dos números primos.
Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos por letras
minúsculas entre chaves.
Exemplo: M = {a, e, i, o, u}
Representação de um conjunto
• Por extensão: enumerando seus elementos, agrupando-os entre chaves.
Exemplos:
Conjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...}
A ÁLGEBRA E A VIDA
Em álgebra precisamos respeitar as propriedades entre os
números de um contexto, compreendendo, aceitando e aplicando
regras.
Na vida em sociedade é necessário ter respeito aos direitos e
deveres de todos, compreendendo, aceitando e aplicando nossa
filosofia de vida, sem prejudicar os outros.
É tendo clareza dos pensamentos e consciência das atitudes
corretas que os seres humanos terão condições de exercitar sua
cidadania e conseqüentemente deixá-la como exemplo para outras
gerações.
Manual de Matemática
12
Conjunto dos algarismos arábicos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Conjunto dos divisores positivos de 25: {1, 5, 25}
• Por uma propriedade: destacando uma propriedade comum apenas aos
seus elementos.
Exemplos:
A = {x ∈ ¸ / 2 ≤ x < 10} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
D = {x ∈ ¸ / x ≤ 4} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Obs.:
Os símbolos ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence) são utilizados para relacionar elementos
conjuntos.
• Diagrama de Venn:
Exemplo:
Seja o conjunto:
52
8
11 14
B
B = {2, 5, 8, 11, 14}
Igualdade
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Indicação: A=B
Exemplo:
Os conjuntos
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e B = {x / x é par, positivo, menor que 14}
Desigualdade
Indicação: A ≠ B (negação de igualdade)
Exemplo: A = {0, 1, 2, 3}
B = {1, 5, 8}
A ≠ B
Manual de Matemática
13
Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A
pertencer também a B.
Indicamos que A é subconjunto de B, se A está contido em B ou A é uma
parte de B.
A ⊂ B ou B ⊃ A
Exemplos:
{1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}
{e, u} ⊂ {a, e, i, o, u}
É importante destacar:
• ∅ ⊂ A
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
• B ⊂ B
Todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo.
Obs.:
1) Se A não for subconjunto de B, escrevemos A ⊄ B ou B A (B não contém A).
2) Os símbolos são utilizados para relacionar conjunto com conjunto.
União de Conjuntos
Chama-se união (ou reunião) de um conjunto A com um conjunto B ao con-
junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
3 4
5
0
7
6
A B
A ∪ B = {0, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {0, 3, 6, 7}
B = {3, 4, 5, 6}
Manual de Matemática
14
A TERRA, E TUDO O QUE
ESTÁ SOBRE ELA, INCLUSIVE
O SER HUMANO, É PRODUTO DE QUÊ?
A gravidade uniu os átomos, formando as estrelas. Com o tempo, as estrelas
explodiram, lançando os novos elementos químicos no espaço, e tornaram-
se os corpos celestes. A união de vários elementos formou o Sistema Solar.
Para compreendermos e estudarmos esses elementos, precisamos de várias
ciências: Matemática, Física, Química, Geografia, Astronomia etc.
Intersecção de Conjuntos
Chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos
que pertencem a A e a B.
A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
Exemplos:
a)
3 7
5
1
4 2
A B A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {2, 3}
b)
8
10
5
7
A B A = {5, 7}
B = {8, 10}
A ∩ B = ∅
Neste caso, não há elementos que pertencem a A e a B. Portanto, A e B são
chamados de disjuntos (A ∩ B = ∅).
Diferença de Conjuntos
Chama-se diferença de conjunto entre A e B o conjunto formado pelos ele-
mentos de A que não pertencem a B.
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
Manual de Matemática
15
Exemplos:
a)
a e
f
c
d
b
A B A ={a, b, c, d}
B = {a, b, e, f}
A – B = {c, d}
b)
1 5
73
A B A ={1, 3}
B = {1, 3, 5, 7}
A – B = ∅
Conjunto Complementar
Chama-se complementar de B em relação a A (B ⊂ A) o conjunto A – B, o
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Notação: BAC = A – B
Exemplo:
3
6
4
10
0
A B A= {0, 3, 4, 6, 10}
B = {3, 4, 6}
B
AC = A – B = {0, 10}
Conjunto das Partes
Chama-se conjunto das partes de B aquele formado por todos os
subconjuntos de B.
Notação:
P(B) = {x / x ⊂ B}
Exemplos:
a) A= {b}
P(A) = {∅ ,{b}}
b) A = {a, b, c}
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Manual de Matemática
16
Podemos afirmar que:
n (P(A)) = 2n(A)
O número de elementos do conjunto das partes é 2n quando n for o número
de elementos do conjunto.
Exemplo:
Seja B um conjunto de 4 elementos. Determine o total de subconjuntos de B.
Solução:
n(P(B)) = 24
n(P(B)) = 16
Número de Elementos da União de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos finitos e n(A) = o número de elementos de A;
n(B) o número de elementos de B; n(A ∪ B) = o número de elementos de
A ∪ B e n(A ∩ B) = o número de elementos de A ∩ B.
Note que A ∪ B = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Obs.:
• Se A ∩ B = ∅, teremos n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
• O número de elementos da união de três conjuntos é:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)
A B
C
Manual de Matemática
17
Exemplo:
Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram con-
sultadas 500 pessoas e o resultado foi o seguinte: 220 delas lêem o jornal X,
150 lêem o jornal Y e 40 lêem os jornais X e Y.
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal X?
180 pessoas
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal Y?
110 pessoas
c) Quantas pessoas lêem jornais?
330 pessoas
d) Quantas pessoas não lêem jornais?
170 pessoas
Solução:
a) 220 – 40 = 180
b) 150 – 40 = 110
c) 180 + 110 + 40 = 330
d) 500 – 330 = 170
Capítulo 2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número.
0,58,48352
Com esses números, criou-se a necessidade prática de contar as coisas da
natureza, portanto criou-se o número natural.
Manual de Matemática
18
Os números naturais simplificam mais o trabalho dos números fracionários.
O número fracionário passou a ser expresso como uma razão de dois nú-
meros naturais. Exemplo: 
8
9
.
Assim, os números inteiros e os números naturais são chamados de núme-
ros racionais.
Podemos colocar esses números sobre uma reta numérica. Ela tem aplica-
ções práticas muito importantes.
Tomemos como exemplo as linhas do tempo utilizadas em história.
Ela nos ajuda a compreender melhor há quanto tempo pessoas conhecidas,
líderes, cientistas e artistas nos deixaram.
700 a.C.
600 a.C.
500 a.C.
400 a.C.
300 a.C.
200 a.C.
100 a.C.
0
100 d.C.
200 d.C.
300 d.C.
400 d.C.
500 d.C.
600 d.C.
700 d.C.
800 d.C.
900 d.C.
1000 d.C.
1100 d.C.
1200 d.C.
–
– ágoras
– S crates
0 – Jesus Cristo
? – átia
569? – Maomé
século II a.C.
século I a.C.
Manual de Matemática
19
1300 d.C.
1400 d.C.
1500 d.C.
1600 d.C.
1700 d.C.
1800 d.C.
1900 d.C.
2000 d.C.
2100 d.C.
Nossos bisavós
nasceram no s culo XIX
Nós nascemos
no século XX
nascerão no século XXI
–
–
–
–
–
1839 – Machado de Assis
–
–
1903 – Portinari
Neste capítulo, faremos uma revisão e aprofundaremos nossos conheci-
mentos sobre conjuntos numéricos.
Conjunto dos Números Naturais (µµµµµ)
µ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
µ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} → o zero foi excluído do conjunto µ.
Conjunto dos Números Inteiros (¹¹¹¹¹)
¹ = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, ...}
Subconjuntos de ¹
¹+ = {0, 1, 2, 3, ... }¹– = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0}
NOÇÃO DE CONJUNTO
A luz proveniente dos objetos atinge nossos olhos.
A figura ao lado nos mostra que não vemos somente com
os olhos, mas sim com um conjunto: olhos, nervo óptico e
cérebro.
Manual de Matemática
20
Conjuntos dos Números Racionais (¶¶¶¶¶)
Todo número racional pode ser colocado na forma 
a
b
, com a ∈ ¹, b ∈ ¹ e b ≠ 0.
¶=  = ∈ ∈ ≠  
a
x / x , com a , b e b 0
b
¹ ¹
Exemplos:
• Representação decimal de um número
a) 
3
4
 = 0,75
b) – 1
2
= – 0,5
c) 
4
5
 = 0,8
d) 
3
100
 = 0,03
Esses exemplos referem-se às decimais exatas.
• Decimais Periódicas
a) 
4
9
 = 0,444... b) 
15
99
 = 0,1515...
Esses exemplos referem-se às decimais não exatas, periódicas, que possu-
em um número infinito de algarismos.
Podemos representar geometricamente os números racionais sobre uma reta.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
7
2
7
6
Manual de Matemática
21
Conjunto dos Números Irracionais ($$$$$)
O conjunto dos números irracionais é formado por números decimais infini-
tos não periódicos e não podem ser escritos na forma 
a
b
.
Exemplos:
a) Radicais do tipo
2 , 3 , 8 (raízes quadradas que não são quadrados perfeitos)
b) O número H = 3,141592...
c) O número e = 2,718... (conhecido como número de Euler)
PODEMOS RELACIONAR A
MATEMÁTICA COM A MÚSICA?
As frações desempenham um papel importante na relação
Matemática (números e formas) e música (sons).
Um exemplo são as frações e as notas musicais de um piano.
Em cada tecla do piano, o comprimento das cordas é corres-
pondente às notas.
Considere o comprimento da corda dó igual a 1.
2
3
1
2
4
9
1
3
1
4
1
dó
 
1 ré
 
1 mi
 
1 fá
 
1 sol
 
1 lá
 
1 si
 
1 dó
 
2 dó
 
3ré
 
2 mi
 
2 fá
 
2 sol
 
2 lá
 
2 si
 
2
Como podemos observar, as frações como 
1 2 4
, ,
2 3 9
 nos dão
a relação entre os comprimentos das cordas cujos sons são musi-
calmente próximos e que compõem as notas musicais dó, ré, mi,
fá, sol, lá e si.
Manual de Matemática
22
Conjunto dos Números Reais ( ¸¸¸¸¸)
O conjunto dos números reais é formado pela união do conjunto ¶�(conjunto
dos números racionais) com o conjunto $ (conjunto dos números irracionais).
Exemplos:
• 11; 0,444...; 
5
8
; 10 ; 3,123762...; 2,08.
Resumindo conjuntos numéricos:
Intervalos Reais
Denomina-se intervalo qualquer subconjunto dos números reais.
Dados dois números reais a e b, com a < b, temos:
PARA QUE SERVE O ZERO?
Na Matemática, a função do zero é importante. O zero
viabiliza a subtração de um número natural por ele mesmo
(3 – 3 = 0).
Se multiplicado por um algarismo qualquer 0 · 5 = 0,
não deixa de ser zero.
Se dividido por qualquer número, 0 : 6 = 0, não muda seu jeito.
Será que ele é inútil?
Experimente colocar alguns zeros a direita do valor de um
cheque e você verá a diferença.
Agora, se todos os zeros do universo ficarem ao lado esquerdo
de outro algarismo, nada mudará. Daí vem a expressão “zero a
esquerda” que indica na Matemática insignificância.
Manual de Matemática
23
a b
[a, b] = {x ‚ ¸/ a X x X b}
a b
]a, b[ = {x ‚ ¸/ a < x < b}
a b
[a, b[ = {x ‚ ¸/ a X x < b}
a b
]a, b] = {x ‚ ¸/ a < x X b}
a
[a, Z[ = {x ‚ ¸/ x h a}
a
]a, Z[ = {x ‚ ¸/ x > a}
a
]– Z, a[ = {x ‚ ¸/ x < a}
a
]– Z, a] = {x ‚ ¸/ x X a}
União e Intersecção de Intervalos
Exemplos:
Sejam os intervalos ] –2, 1] e [0, 3[, determine:
a)] –2, 1] | [0, 3[
–2
–2
1
0 3
3
]–2, 1] | [0, 3[
]–2, 1] | [0, 3[ = ]–2, 3[
b) ]–2, 1] { [0, 3[
–2
0
1
0 3
1
]–2, 1] { [0, 3[
]–2, 1] { [0, 3[ = [0, 1]
Manual de Matemática
24
Capítulo 3
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
As expressões matemáticas que apresentam números e letras são chama-
das expressões literais ou algébricas.
 Exemplos:
a) 3x – 4 b) x – 2y + 3z c) 4y2 – 2
5
a3 b
Valor numérico de uma expressão algébrica
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém quando
substituímos cada letra por um certo número.
Exemplos:
a) 2x + 9, para x = –1
Substituímos o x por –1
2 . (–1) + 9 = 7
O valor numérico de 2x + 9, para x = –1, é 7.
b) –abc + 3a, para a = 2, b = 3 e c = – 4
Solução:
– abc + 3a
– 2 . 3 . (– 4) + 3 . 2
24 + 6 = 30
c) 8x3 – 7xy, para x = – 1 e y = 1
Solução:
8 . (–1)3 – 7 . (–1) . 1
8 . (–1) +7 = –1
Termos Algébricos
Na expressão algébrica:
4x2 + 8xy – 2
5
a2b
os termos são: 4x2, 8xy, – 2
5
a2b
Manual de Matemática
25
Destacamos: o coeficiente e a parte literal em cada termo.
Na expressão dada temos:
4x2 c o coeficiente 4, parte literal x2
8xy c coeficiente 8, parte literal xy
– 2
5
a2 b c coeficiente – 2
5
, parte literal a2 b.
Monômios
São expressões (um só termo) em que não aparecem operações (adição
ou subtração).
Exemplos:
a) 4xy b) – 3a2 c) 
5
7
x3
Polinômios
É uma soma algébrica de dois ou mais monômios.
Exemplos:
a) x2 – x + 6 b) – 4a3 – 1
2
a2 + a – 3
Termos Semelhantes
São aqueles que têm a mesma parte literal.
Exemplos:
a) 4a2, –2a2 e 
21 a
3
 são semelhantes, pois têm a mesma parte literal a2.
b) 2xy3, 31 xy
4
− são semelhantes, pois têm a mesma parte literal xy3.
Contra-exemplo:1
ab
5
 e 6a2b não são semelhantes, pois têm a parte literal diferente:
ab n a2 b.
Manual de Matemática
26
Operações
Soma Algébrica de Monômios
Exemplos:
Efetue as operações e reduza os termos semelhantes
a) 6x + 4y2 – 2x – 5y2 =
= 4x – y2
Para reduzir termos semelhantes, adicionamos
os coeficientes e conservamos a parte literal.
b) (x2 – 4x) – (4x2 + 5x –2)=
= x2 – 4x – 4x2 – 5x + 2
= – 3x2 – 9x + 2
ASSEMBLÉIA NO AR
“Os tipos de dança constituem um meio de expressão para as
abelhas escolherem o local de um novo ninho.
A rainha e algumas operárias estudam a região. De volta ao en-
xame, revelam as direções dos lugares visitados por meio de dan-
ças. Os balés aéreos, sempre em forma de oito, traçam um eixo
cujo ângulo em relação ao Sol indica os rumos dos novos endereços
propostos. Aos poucos, mais e mais abelhas agregam-se a um dos
balés apresentados, mostrando que ele agrada à maior parte da
colônia. É um ritual de votação.
O novo endereço é decidido pelo consenso. As propostas minoritárias são
gradualmente abandonadas e todos os insetos passam a voar da mesma ma-
neira.”
Viu como a Matemática também está no cotidiano das abelhas?
Fonte: Superinteressante. abril, 1999.
Manual de Matemática
27
Multiplicação e Divisão de Monômios
Exemplos:
a) x2 . (– 3x3) b) (8x4 y2) : (– 2xy) c) (12x3 y4 z2 – 3x3 y4 z2) : 3xy2 z
= – 3x5 = – 4x3y = (9x3 y4 z2) : 3xy2 z
= 3x2 y2 z
Potenciação e Radiciação de Monômios
Exemplos:
a) (– 3ab2)2 = 9a2 b4 c) 2 4 24x y 2xy=
b) 
3
3 9 31 1x y x y
2 8
 
− −=   d) 
3 6 23
1 1
a b ab
27 3
=
Multiplicação de Polinômios
Dados os polinômios A(x) = x2 – 2x + 3 e B(x) = x – 2, para calcular seu
produto obedecemos aos seguintes passos:
x2 – 2x + 3
x – 2
– 2x2 + 4x – 6
x3 – 2x2 + 3x
x3 – 4x2 + 7x – 6
Divisão de Polinômios (Método da chave)
Utilizando o método da chave, dividir A(x) = 2x3 – x2 + 3 por
B(x) = x – 1.
2x3 – x2 + 0x + 3 | x – 1
– 2x3 + 2x2 2x2 + x + 1 → Quociente
x2 + 0x
–x2 + x
x + 3
–x + 1
4 → Resto
Manual de Matemática
28
Note que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
A(x) = B(x) x Q(x) + R(x)
• grau do quociente = grau do dividendo – grau do divisor
• grau do resto < grau do divisor
Produtos Notáveis
Quadrado da soma de dois termos
(x + y)2 = (x + y) . (x + y)
x + y
x + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
x2 + xy 1º termo ↵ ↓
xy + y2 2º termo
x2 + 2xy + y2
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Vamos desenvolver os produtos, usando a regra.
a) (m + n)2 = m2 + 2mn + n2
b) (4 + a)2 = 42 + 2 . 4 . a + a2 = 16 + 8a + a2
c) (2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + y2 = 4x2 + 4xy + y2
d) 
2
2 1a b
2
 
+   = (a2 b)2 + 2 . a2 b . 
1
2
+
21
2
    = a4 b2 + a2 b +
1
4
Quadrado da diferença de dois termos
(x – y)2 = (x – y) . (x – y)
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro,
menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplos:
a) (2x – 5)2 = (2x)2 – 2 . 2x . 5 + 52 = 4x2 – 20x +25
Manual de Matemática
29
b)
2 2 2
2x x x x 2x1 2 1 1 1
3 3 3 9 3
   
− = − ⋅ ⋅ + = − +      
c) (3a3 – 2a)2 = (3a3)2 – 2 . 3a3 . 2a + (2a)2
= 9a6 – 12a4 +4a2
Produto da soma pela diferença de dois termos
(x + y) . (x – y) = x2 – y2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro, menos o quadrado do segundo.
Exemplos:
a) (2x + 3y) . (2x – 3y) = (2x)2 – (3y)2 = 4x2 – 9y2
b) (6 + 3b) . (6 – 3b) = 62 – (3b)2 = 36 – 9b2
c) 
2
2 2 2 2 41 1 1 1a a (a ) a
5 5 5 25
     
+ ⋅ − = − = −          
Cubo da soma de dois termos
(x +y)3 = (x + y) . (x + y) . (x + y)
(x + y)2 . (x + y) = (x2 + 2xy +y2) . (x + y)
(x +y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes
o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadra-
do do segundo, mais o cubo do segundo.
Exemplos:
a) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
b) (x + 1)3 = x3 + 3x2 1 + 3x12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x +1
c) (3 + ab)3 = 33 + 3 . 32 . ab + 3 . 3 . (ab)2 + (ab)3=
27 + 27ab + 9a2 b2 +a3 b3
Cubo da diferença de dois termos
(x – y)3 = (x – y) . (x – y) . (x – y)
(x – y)2 . (x – y)
(x2 – 2xy + y2) . (x – y)
(x – y)3 = x3 – 3x2 y + 3xy2 – y3
Manual de Matemática
30
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três
vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo
quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.
Outros Produtos Notáveis Importantes
• Quadrado da soma de três termos
(a + b + c)2 = (a + b + c) . (a + b + c)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Exemplo:
(x + 3y + z) = x2 + (3y)2 + z2 + 2 . x . 3y + 2 . 3y . z + 2xz
= x2 + 9y2 + z2 + 6xy + 6yz + 2xz
• Soma de dois cubos
(a + b) . (a2 – ab + b2) = a3 + b3
Exemplo:
(x + 3) . (x2 – 3x + 9) = x3 + 27
• Diferença de dois cubos
(a – b) . (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Exemplo:
(x – 2) . (x2 + 2x + 4) = x3 – 8
Fatoração
 Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em produto de dois ou
mais fatores.
Fator Comum
Exemplos:
a) 2x + 4y
O fator comum é 2, determinado pelo M.D.C. de 2 e 4
2x + 4y = 2(x+2y)
b) a2b – 3ab3
O fator comum é ab
a2b – 3ab3 = ab(a – 3b2)
Agrupamento
Exemplos:
a) ax + ay + bx + by
Manual de Matemática
31
• agrupamos os termos com fatores comuns:
ax + ay + bx + by
• colocamos o fator comum em evidência
a(x + y) + b(x + y)
• colocamos (x + y) em evidência
(x + y) . (a + b)
Portanto,
ax + ay + bx + by = (x + y) . (a + b)
b) abx2 + aby2 + cx2 + cy2
= ab(x2 + y2) + c(x2 +y2)
= (ab + c) . (x2 + y2)
Diferença de dois Quadrados
Exemplos:
Vejamos como se obtém a forma fatorada:
a) 9 – x2
2
9 3
x x
=
=
9 – x2 = (3 + x) . (3 – x)
b) 4a2 – 16b6
2
6 3
4a 2a
16b 4b
=
=
4a2 – 16b6 = (2a + 4b3) . (2a – 4b3)
Trinômio do 2º grau
x2 – Sx + P = (x + a) (x + b)
Para fatorar o trinômio do 2º grau, devemos tomar
a + b = S e ab = P
↓ ↓
soma produto
Manual de Matemática
32
Exemplos:
a) x2 – 5x + 4 = (x + 4) · (x + 1)
S = 4 + 1 = 5 a = 4
P = 4 . 1 = 4 b = 1
b) x2 – 8x + 15 = (x – 5) · (x – 3)
S = – 8 a = – 5
P = 15 b = – 3
Trinômio Quadrado Perfeito
Exemplo:
x2 + 4x + 4
2x x
4 2
=
= x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
Verificação de um trinômio quadrado perfeito:
a) Dois de seus termos são quadrados perfeitos (x2 e 4).
b) O termo do meio é mais ou menos duas vezes o produto das raízes do
1º vezes o 3º termo.
(2 · x · 2) = 4x
c) 4a2 – 12ab + 9b2
↓ ↓ Verificação
Raiz: 2a Raiz: 3b 2 · 2a · 3b = 12ab
4a2 – 12ab + 9b2 = (2a –3b)2
M.M.C. e M.D.C. de expressões algébricas
Para encontrarmos o m.m.c e o m.d.c. de expressões algébricas, basta
fatorar cada uma das expressões.
O m.d.c. será o produto dos fatores comuns, tomados com seus menores
expoentes.
O m.m.c. será o produto dos fatores comuns e não comuns, tomados com
seus maiores expoentes.
Exemplos:
Determine o m.d.c. e o m.m.c. das seguintes expressões:
Manual de Matemática
33
→
→
a) 4x3 y6 e 6x5 y2
m.d.c = 2x3 y2
m.m.c = 12x5 y6
b) x2 – 4 e 2x + 4
 m.d.c. = x + 2 x2 – 4 = (x + 2) . (x – 2)
 m.m.c. = 2 · (x + 2) . (x – 2) 2x + 4 = 2(x + 2)
c) x2 – 9; 4x – 12; x2 – 6x + 9
m.d.c. = (x – 3) x2 – 9 = (x + 3) . (x – 3)
m.m.c. = 4 . (x – 3)2 . (x +3 ) 4x – 12 = 4(x – 3)
x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
Capítulo 4
POTÊNCIAS E RAÍZES
Potências
Antigamente, os cálculos eram efetuados com nós de uma corda, ábacos e
as primeiras máquinas de calcular.
Hoje os cálculos evoluíram com a descobertada quinta operação inventada
pelos matemáticos: a potenciação.
Nas ciências, para se escreverem números muito grandes ou muito peque-
nos usam-se potências.
Os astrônomos medem a distância entre as estrelas com uma unidade cha-
mada ano luz, que representa a distância percorrida pela luz em um ano. Essa
distância vale aproximadamente 9.500.000.000.000 km. Para facilitar, escre-
vemos esse número 1 ano luz = 9,5 . 1012 km.
Podemos perceber que é prático representar números desse tamanho usan-
do potências.
 expoente
an = b c potência
base
Para a ∈ ¸, b ∈ ¸, n ∈ µ.
Então:
−
=
n
n
1
a
a
, a ≠≠≠≠≠ 0
Manual de Matemática
34
Propriedades:
a) am . an = am+n d) (a . b)m = am . bm
b) am : an = am–n e) 
m m
m
a a
b b
 
=  
c) (am)n = am . n
Exemplos:
a) 23 . 24 = 23+4 = 27 g) (32 . 6)4 = 38 . 64
b) 3–4 . 33 = 3–4+3 = 3–1 h) 
2 2
2
1 1 1
3 3 9
 
= =  
c) 5–1 : 53 = 5–1–3 = 5–4 i) 
3
31 2 8
2
− 
= =  
d) 42 : 4–2 = 42–(–2) = 44 j) 1
1
5
5
−
=
e) (3–3)2 = 3–6
f) (2 . 5)3 = 23 . 53
A POTÊNCIA E A ENERGIA
O Sol é nossa maior fonte de energia.
Se compararmos o Sol a uma lâmpada caseira, perceberemos
que esta tem potência de 102 W (100W) enquanto o Sol tem
potência luminosa de 4 · 1026W. Deu para perceber a diferença?
Embora a Terra receba apenas uma pequena parcela da energia liberada
pelo Sol (a maior parte vai para o espaço), ela é muito importante para a
manutenção da vida no Planeta.
Devemos tomar cuidado com seus raios ultravioleta, que são prejudiciais à
saúde humana.
l) 
3
3 1 13
3 27
−
 
= =  
Manual de Matemática
35
Raízes
Qual é o número positivo que elevado ao quadrado dá 64?
Basta pensar um pouco e descobrir que esse número é 8.
O número 8 é então chamado raiz quadrada de 64.
radical
índice ← n b a= → raiz
radicando
para a ‚�¸, b ‚�¸ e n ‚�µ*
Propriedades:
a) n n na b a b⋅ = ⋅ d) ( )p n pn a a=
b) 
n
n
n
a a
,b 0
bb
= ≠ e) n pn m m pa a⋅ ⋅=
c) n mn m a a⋅=
Exemplos:
a) 3 3 332 3 2 3 6⋅ = ⋅ = d) ( )3 4 34 2 2=
b) 
3
3
3
2 2
33
= e) 2 4 83 3 4 122 2 2⋅ ⋅= =
c) 3 62 2=
Potenciação com expoente racional
m -m
n mn n
m n m
n
1 1
a = a a = =
aa
Exemplos:
a) 
2
3 235 5= c) 
1
2 13
3
−
=
b) 
1
22 2= d) 
2
5
5 2
1
2
2
−
=
→
→
Manual de Matemática
36
Racionalização de denominadores
Frações tais como 
5 3
2 3 3 2
, , e
5 5 3 22 −
, possuem denomina
dores irracionais. Elas têm de ter seus denominadores transformados em nú-
meros racionais.
1º caso: O denominador é um radical com índice 2.
a) 
2
2
5
2 5 2 5 2 5
55 5 5
⋅ = =
b) 
2
3
5
3 5 15 15
55 5 5
⋅ = =
c) 
2
1
2 3
1 3 3 3 3
2 3 62 3 3 2 3
⋅ = = =
⋅
2º caso: O denominador é um radical com índice diferente de 2.
a) 
5 3
5 5 52 2 2
5 5 53 2 5
3
2
3 2 3 2 3 2
22 2 2
⋅ = =
b)
3
3 3 32 2 2
3 3 32 3
1
2 3
1 3 3 3
62 3 3 2 3
⋅ = =
⋅
Manual de Matemática
37
De um modo geral, o fator racionalizante de n pa é n n pa − .
33333º caso caso caso caso caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois radicais.
a) 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
3 2
2 3 22 3 2
3 2 3 2 3 2
2 3 2
2 3 2
3 2
−
++
⋅ =
− +
−
+
= = +
−
b) 
( )22
1
3 5
1 3 5 3 5 3 5 3 5
9 5 43 5 3 5 3 5
+
− − − −
⋅ = = =
−+ −
−
Capítulo 5
EQUAÇÃO
Resolver uma equação faz parte do nosso dia-a-dia. O que significa resolver
uma equação?
Resolver uma equação significa achar um número desconhecido x, tornan-
do a igualdade verdadeira.
Veja, por exemplo, a equação do 1º grau x + 4 = 2x – 1. Se substituirmos
x = 5;
x + 4 = 2x – 1
5 + 4 = 2 . 5 – 1
9 = 9 (V)
Logo x = 5 é solução da equação.
Denomina-se equação toda igualdade entre expressões algébricas que se
transforma numa identidade numérica.
Tipos de equações
Equação do 1º grau
ax + b = 0
Manual de Matemática
38
Equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0
Equação Biquadrada
ax4 + bx2 + c = 0
Equação Irracional
4x 1 x 2− = +
Equação Modular
|x – 2| = 4
Equação Logarítmica
logx4 = 2
Equação do 1º grau
É toda sentença matemática aberta que possa ser realizada na forma:
ax + b = 0 com a ≠ 0
Zero ou Raiz
São os valores da incógnita x que tornam a sentença matemática verda-
deira. Para que a raiz seja encontrada, devemos isolar o valor da incógnita
no primeiro membro. A raiz de uma equação do 1º grau é igual a: b
a
−
.
Conjunto solução: 
b
S
a
− 
=   
Se o francês François Viète (1540-1603) não começasse a
representar quantidades por letras nas equações, como a + b = c,
a matemática seria escrita com palavras.
Seria complicado fazer cálculos se não fosse essa substituição.
Manual de Matemática
39
Exemplos:
a) 2x 1 2
2x 2 1
2x 3
3 3
x S
2 2
− =
= +
=
 
= =   
b) x 2x 1
3 5
5x
15
− =
6x
15
−
15
15
=
x 15
x 15 S { 15}
− =
= − = −
c) 
( )
( )
2
2
y 1 y 2 17
y y 1 y y
y 1
y y 1
+ −
− =
+ +
+
+
( )
( )
y y 2
y y 1
−
−
+ ( )
17
y y 1
=
+
2y 22y 1 y+ + −
{ }
2y 17
4y 17 1
4y 16
16
y
4
y 4 S 4
+ =
= −
=
=
= =
Equação Literal do 1º grau
Dizemos que a equação é literal se os coeficientes forem literais.
Exemplos:
a) ax + 3a = 2a
ax = 2a – 3a
ax = –a
Manual de Matemática
40
x = 
a
a
− ⇒ isolando x
x = –1 S = {–1}
b) ab + (b + 1) x = (a + x) b + a
ab
⋅ ⋅
 + bx + x = ab + bx ˆ + a e liminando os parenteses
x = a S = {a}
⇒
Equação Impossível
É toda equação que não apresenta solução. O conjunto solução é vazio.
Exemplo:
4 + 2x = 10 + 2x
Essa equação é impossível porque:
2x – 2x = 10 – 4
0x = 6
 x = 
6
0
S = ∅
Logo, há que satisfaça a igualdade.
Equação indeterminada
É toda equação que apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
3x – 5 = 3x – 5
3x – 3x = – 5 + 5
0x = 0
 x = 
0
0
 (indeterminação)
Sistemas de equações lineares com duas
incógnitas
Há três métodos de resolução desses sistemas:
• Substituição;
• Adição;
• Comparação.
Manual de Matemática
41
Método da Substituição
Esse método consiste em isolar o valor de uma das variáveis em uma das
equações e depois “substituir” esse valor na outra.
Exemplo: Dado o sistema:
x 2y 3
x 2y 5
− =
+ =
Isolado x na primeira equação, temos x = 3 + 2y.
Substituindo x = 3 + 2y na segunda equação:
3 + 2y + 2y = 5
4y = 5 – 3
4y = 2
 
2
y
4
1
y
2
=
=
Substituindo 
1
y
2
= na primeira equação:
x 3 2y
1
x 3 2
2
x 4
= +
= + ⋅
=
O conjunto solução do sistema é formado pelo par ordenado 
1
S 4,
2
  
=      .
Nesse caso, o sistema é determinado (admite solução única).
Método da Adição
Devemos adicionar as equações 1 e 2 de modo que uma das incógnitas
“desapareça”.
Às vezes é necessário preparar o sistema, multiplicando cada equação por
um número conveniente.
Manual de Matemática
42
Tomando o mesmo exemplo 
x 2y 3
x 2y 5
− =
+ =
e multiplicando a equação por (–1)
x− 2y 3
x
+ = −
2y 5
4y =2
2
y =
4
1
y =
2

+ =
  
=     
1
S 4,
2
Método da Comparação
Consiste em comparar uma mesma variável em cada uma das equações:
x 3 2y
x 5 2y
= + 
= −  isolando uma variável em um membro.
Comparando:
3 + 2y = 5 – 2y
2y + 2y = 5 – 3
 4y = 2
 
2
y
4
1
y
2
=
=
  
=     
1
S 4,
2
Sistemas Equivalentes
São aqueles que apresentam a mesma solução.
Exemplo:
Substituindo1
y
2
= na primeira
equação, temos:
x 2y 3
1
x 2 3
2
x 1 3
x 3 1
x 4
− =
− ⋅ =
− =
= +
=
Substituindo 
1
y
2
= na segunda
equação, temos:
1
x 5 2
2
x 4
= − ⋅
=
Manual de Matemática
43
Determine m e n para que os sistemas 
x 1
y 2
=
= − e
+ =
+ =
mx 3y 2m
x ny 3 sejam equivalentes.
Substituindo x = 1 e y = – 2 no sistema
mx 3y 2m
x ny 3
+ =
+ =
( )m 3 2 2m m 6 m 6
1 2n 3 2n 2 n 1
+ + ⋅ − = ⇒ − = + ⇒ = −
− = ⇒ − = ⇒ = −
Equação Polinomial do 2º grau
Equação Polinomial do 2º grau na variável x é toda equação do tipo ax2 +
bx + c = 0 , com a ∈ ¸, b ∈ ¸ e c ∈ ¸.
Equação Incompleta
Uma equação é incompleta quando b = 0 ou c = 0.
Vejamos alguns exemplos:
a) 2
2
2
2
3x 3 0 temos a 3, b 0 e c 3
3x 3
3
x
3
x 1
x 1
x 1 S { 1, 1}
− = = = = −
=
=
=
= ±
= ± = + −
Sempre que b = 0, as raízes serão 
c c
x ' e x "
a a
− −
= = −
b) 
( )
2x 2x 0 temos a 1, b 2 e c 0
x x 2 0
x 0 ou x 2 0
x 2 S {0, 2}
− = = = − =
− =
= − =
= =
Sempre que c = 0, as raízes serão x’ = 0 e 
b
x "
a
−
=
(isolando x2)
(extraindo a raiz quadrada)
(fatorando)
Manual de Matemática
44
Equação Completa
Nesse caso, utilizaremos a fórmula de Báskhara, em que:
2 –b±=b – 4ac x =
2a
e
∆∆
Exemplos:
a) x2 – 5x + 4 = 0 temos a =1, b = –5 e c = 4
∆ = (– 5)2 – 4 . 1 . 4
∆ = 25 – 16
∆ = 9
 
( )
5 3
x ' x ' 45 9 2x
5 32 1
x '' 1
2
+
= ⇒ =
− − ±
=
−⋅
= =
S={1, 4}
Obs.:
Sempre que ∆ > 0, a equação admite duas raízes reais e distintas.
b) 4x2 – 12x + 9 =0 temos a=4, b= –12 e c = 9.
∆ = (–12)2 – 4 . 4 . 9
∆ = 144 – 144
∆ = 0
( )12 0 12 0
x x
2 4 8
12 3
x ' x ''
8 2
3
S
2
− − ± ±
= ⇒ =
⋅
= = =
 
=   
Manual de Matemática
45
Sempre que ∆ = 0, a equação admite uma única raiz.
c) 2x2 – x + 5 = 0 temos a = 2, b = –1 e c = 5
∆ = (– 1)2 – 4 . 2 . 5
∆ = 1 – 40
∆ = – 39
Como ∆ < 0, não existem raízes reais S = ∅, mas admite raízes comple-
xas, como veremos nos próximos capítulos.
Relações entre raízes e coeficientes
Consideremos a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, teremos:
bS x ' x ''
a
−
= + = em que S é a soma das raízes.
c
P x ' x ''
a
= ⋅ = em que P é o produto das raízes.
Assim, podemos escrever x2 – Sx + P = 0, como vimos anteriormente.
Também podemos colocar uma equação do 2º grau na forma fatorada.
(x – x’) . (x – x”) = 0
Exemplos:
1) Sejam r e s as raízes da equação x2 – 5x + 4 =0. Calcule:
a) 
1 1
r s
+ b) r2 + s2
a) Para determinar o valor da expressão 
1 1
r s
+ , é necessário acharmos a
soma e o produto das raízes.
( )
cbS r s P r s
aa
5 4
S 5 P 4
1 1
1 1
r s
s r 5
r s 4
−
= + = = ⋅ =
− −
= = = =
+
+
=
⋅
Manual de Matemática
46
b) r2 + s2 =
(r + s)2 = r2 + 2rs + s2
52 = r2 + s2 + 2 . 4
r2 + s2 = 25 – 8
r2 + s2 = 17
2) Coloque a equação x2 + 2x – 3 = 0 na forma fatorada.
Solução:
Primeiramente, acharemos as raízes da equação.
x2 + 2x – 3 = 0
∆ = 22 – 4 . 1 . (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
2 4
x ' x ' 1
2 16 2x
2 42
x '' x " 3
2
− ±
= ⇒ =
− ±
=
− −
= ⇒ = −
Colocando na forma fatorada:
(x – 1) . (x + 3) = 0
Equação Biquadrada
É toda equação do tipo ax4 + bx2 + c = 0, com a ≠ 0, a ∈ ¸, b ∈ ¸ e
c ∈ ¸.
Utilizamos um artifício, fazendo x2 = y. Assim obtemos uma equação
do 2º grau.
Exemplos:
a) x4 – 9x2 = 0 fazendo x2 = y, temos:
y2 – 9y = 0 substituindo y = 0 e y = 9
y(y – 9) =0 x2 = 0 x2 = 9
y = 0 ou y – 9 = 0 x = 0 x = 9±
y = 9 x = ± 3
S = {–3, 0, 3}
Manual de Matemática
47
b) x4 + x2 – 2 = 0 1 9 1 3y y
2 2
1 3
y ' 1
2
1 3
y '' 2
2
− ± − ±
= ⇒ =
− +
= =
− −
= = −
y2 + y – 2 = 0
∆ = 12 – 4 . 1 . (–2)
∆ = 9
Considerando x2 = y, temos:
substituindo y = 1
x2 = 1
x = 1±
x = ± 1
S = {–1, 1}
Obs.:
Se y < 0, não há solução. Neste exemplo desconsideremos y = –2.
Equação Irracional
Equação Irracional é aquela que apresenta incógnita sob radical.
A solução é obtida isolando o radical num dos membros, eliminando-o e
elevando os dois membros da equação a uma potência conveniente.
Exemplos:
a) x 3 2− = Verificação
( )2 2x 3 2− = x 3 2− = Substituindo x por
x – 3 = 4 7 temos:
x = 4 + 3 ⇒ x = 7
7 3 2
4 2
− =
=
S = {7} 2 = 2 (V)
É necessário verificar se todas as soluções satisfazem a equação.
b)
( ) ( )
2
2 22
x 25 x 1
1 xx 25
− + + =
= −
− +
– x2 + 25 = 1 – 2x + x2
–2x2 + 2x + 24 = 0 Dividindo a equação por –2
Manual de Matemática
48
x2 – x – 12 = 0
∆ = (– 1)2 – 4 . 1 . (–12)
∆ = 1 + 48
∆ = 49
( )
1 7
x ' 41 49 1 7 2x x
1 72 2
x '' 3
2
+
= =
− − ± ±
= ⇒ =
−
= = −
Verificação
( ) ( )2 2
Para x = 4 para x = –3
– 4 25 4 1 3 25 3 1
9 4 1 16 3 1
+ + = − − + − =
+ = − =
3 + 4 = 1 4 – 3 = 1
7 = 1 (F) 1 = 1 (V) S = {–3}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Relacione os elementos e os conjuntos dados, utilizando os símbolos ∈
ou ∉.
a) – 3 e µ e) 4− e ¸
b) 0 e µ* f) – 0,3 e ¶
c) 
5
8
 e ¹ g) – 5 e ¸
d) 0,18 e ¶ h) 5
10
 e ¹
2) Represente os seguintes conjuntos por extensão de seus elementos.
a) A = {x ∈ µ / x ≥ 3}
b) B = {x ∈ µ / 0 < x ≤ 4}
c) C = {x ∈ ¹* / –3 ≤ x ≤ 1}
d) D = {x ∈ ¶ / 2x2 + x = 0}
e) E = {x ∈ ¸+ / x2 – 5x + 4 = 0}
Manual de Matemática
49
3) Calcule o número de elementos do conjunto A ∪ B, sabendo que A, B e
A ∩ B são conjuntos com 80, 40 e 20 elementos respectivamente.
4) Sendo A = ]– 2, 1] e B = [– 3, 0], determine:
a) A ∪ B c) A – B
b) A ∩ B d) ABC
5) Sendo A = ]– ∞, 2[, B = [ –1, ∞[ e C = [ –3, 4[, determine A – (B ∩ C).
6) Assinale a alternativa correta.
a) {2} ∈ {2, 3} c) {1} ⊂ {{1}, {2}}
b) 3 ⊂ {3, 4} d) {2} ∈ {{1}, {2}}
7) Dado o conjunto B = ] –4, 2], podemos afirmar que:
a) 2 ∈ B ( ) c) 0 ∈ B ( )
b) – 4 ∈ B ( ) d) ∅ ∈ B ( )
8) Determine a união dos seguintes intervalos:
a) ] –1, 4[ ∪ [ 3, 7] c) [ –4, 4] ∪ [ 0, 3[
b) ] –∞, 1] ∪ [ 1, 3]
9) Determine a intersecção dos seguintes intervalos:
a) ]1, 3] Ç ]–∞, 6] c) [–1, ∞[ ∩ ]–2, 1[
b) [–2, 3] ∩ [0, 6] d) ]2, 4] ∩ [3, 6[
10) Determine o número de elementos de P(A) quando:
a) A = {1, 2, 3}
b) A = {x / x é número ímpar menor que 9}
11) Efetue as somas algébricas, reduzindo os termos semelhantes.
a) 5bc + 8b2 – bc – 6b2 + 2bc
b) 5a2b – (2a2b – 7a2b) – a2b
c) 5a2 – 2b2 + 3a – b2 + 2b – a2
d) 3xy xz xy xz
4 2 3
− + −
Manual de Matemática
50
12) Efetue os seguintes produtos:
a) (– abc) · (2ab2c) d) (4x2y2) · (–3xy3)
b) ( )5 21a c ac
3
 
⋅    e) ( )
24xy x y
xz
3 4
 
− 
⋅ ⋅ −     
c) 
23 8b
4 9
 
− 
⋅      
13) Efetue as seguintes divisões:
a) (x3y2) : (4xyz) d) (x5y5z5) : (x2yz2)
b) (3x6) : (–3x–4) e) ( )3 22m n : mn
5
−   
c) 
2 5 3 25a b c 15ab c
:
4 16
   
−      
14) Calcule as seguintes potências:
a) (–3a2b3c)2 d) 
42ab
3
 
−  
b) 
0
101a b
2
−    e) 
2
3 2a b : (5a b )
2
 
−  
c) (–2xyz2)3
15) Calcule a raiz quadrada:
a) 29x d) 
436a
81
b) 4 2169a c e) 
2 6 4
4 2
m n p
x y
c) 6 4 449m n p
Manual de Matemática
51
16) Escreva o polinômio que representa o perímetro das figuras:
a)
3a 3a
2a
4a
b) 
4b 4b
a a
2a
17) Calcule os produtos:
a) –2x · (x – y) e) (x –1) · (x2 – 7x +10)
b) a2 · (a + 2b) f) (3a – 2) · (a +1)
c) 2m · (3m2 – 5m + 7) g) (x2 – 2x +5) · (3x2 + 4x + 2)
d) –3a3 (a2 – a + 4)
18) Efetue:
a) (2x3 – 14x2 + 30x – 9) : (x2 – 5x + 3)
b) (2a3 – 9a2 + 13a – 6) : (a2 – 3a + 2)
c) (x4 – x + 1) : (x – 2)
19) Desenvolver os produtos notáveis:
a) (a+ 5)2 d) 
2x
1
3
 
+   f) (5a
3 – y)2
b) (x + 2)2 e) (m – 3)2 g) 
23
2a
5
 
−  
c) (2 + 3y)2
20) Simplifique a expressão:
( ) ( ) ( )2 2 13a 1 2a 2 2a 2 4 a a
4
 
− − + ⋅ − + ⋅ −  
21) Fatore os seguintes polinômios:
a) 4a – 3ax c) 35x3y2 – 14x2y3
b) 
3 5a a a
3 3 3
+ + d) x(m + 1) – y(m + 1)
Manual de Matemática
52
e) a(x + y) – b(x + y) + c(x + y) g) ax – x + ab – b
f) 3
5 10
a a
3 3
+ h) 2an + n – 2am – n
22) Determine o m.m.c:
a) 6a2b3c4 e 4a3c2d3 d) 5a + 10, 2a + 4 e 3a + 6
b) x2 – 9 e x2 – 6x +9 e) xy + 5x e y2 + 10y + 25
c) x2 – 7x, x2 – 49 e 2x +14
23) Determine o conjunto solução das equações:
a) 
5 4
x 4 x 2
=
+ −
e) 3(x – a) = 2(x + b)
b) 
10 2 1
3x x 6
+ = f) 
1 a a x
a a x ax
+
+ =
+
c) 5(x + 2) – 2(3x – 1) = 13 g) 
x ax
am b
m b
+ − =
d) ( ) x 64 x 1 3
2
−
− − + =
24) Resolva os sistemas:
a) 
3x y 11
x 2y 8
− = −
+ = c) 
x 5y 24
3x 2y 4
+ = −
− = − e) 
x
y 24
2
y
2x 14
3

− = −
− =
b) 
2x y 3
3x 2y 8
− =
+ = d) 
( ) ( )
( ) ( )
3 x 2 2 y 3
18 y 2 y 3 2x 3
 − = −
− + = +
25) Calcule:
a) 80 + 32 · 2–3 c) ( ) ( )2 033 11 52 2
3 7
−
−
−
− −   
− − + +      
b) 
( ) ( )1 21
2
2 2 2
1 2
−
−
−
+ − − −
−
Manual de Matemática
53
26) Aplique as propriedades da potenciação:
a) 24 · 22 · 2 e) [(x2)–3]b
b) (–3)5 · (–3) · (–3)7 · (–3)3 f) a3x+1 · a2x – 4
c) (0,1)6 · (0,1)3 · (0,1)–2 g) ( )
12 12 10
20 2
8 : 2 4
4 4
− −
−
⋅
⋅
d) 
2
11 3
3
−
 
⋅   h) 
6 21 1
:
2 2
−
− −         
27) Racionalize o denominador das seguintes frações:
a) 
5
5
c) 5
5
3
b) 
2
3 3
d) 3 2
ab
a b
28) Resolva as equações:
a) x2 – x – 12 = 0 f) 2x 4 5− =
b) x2 – 11x + 28 = 0 g) 4 x x 4 0+ − − =
c) (x –3)2 = 9 h) 2x 1 x 3 3− + + =
d) (2x – 1) · (x – 4) = (7 + x) · (–x –2) i) 3 23 3x 8 x 2+ = −
e) x 4x 1 5+ + =
Respostas
1) a) ∉ c) ∉ e) ∉ g) ∈
b) ∉ d) ∈ f) ∈ h) ∉
2) a) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} d) D = 
1
,0
2
−   
b) B = {1, 2, 3, 4} e) E = {1, 4}
c) C = {–3, –2, –1, 1}
3) A ∪ B = 100
Manual de Matemática
54
4) a) [–3, 1] b) ]–2, 0] c) ∅ d) [–3, –2[
5) ]–∞, –1]
6) d
7) a) V b) F c) V d) F
8) a) 
–1 7
b) 
3
c) 
–4 4
9) a) 
1 3
b) 
0 3
c) 
–1 1
d) 
3 4
10) a) 8 b) 16
11) a) 6bc + 2b2 c) 4a2 – 3b2 + 3a2 + 3a + 2b
 b) 9a2b d) 
13 3
xy xz
12 2
−
12) a) –2a2b3c2 c) 3
2
b
3
− e) 4 2
1
x y z
3
 b) 6 3
1
a c
3
d) –12x3y5
13) a) 
2x y
4z
 c) 
3 24ab c
3
−
e) 2
5
m n
2
−
 b) – x10 d) x3yz3
Manual de Matemática
55
14) a) 9a4b6c2 c) –8x3y3y6 d) 
4 8a b
81
b) 1 e) 
1
10ab
−
15) a) 3x c) 7m3n2p e) 
3 2
2
mn p
x y
b) 13a2c d) 2 2
6 2
a a
9 3
=
16) a) 12a b) 4a + 8b
17) a) –2x2 + 2xy e) x3 – 8x2 + 17x – 10
b) a3 + 2a2b f) 3a2 + a – 2
c) 6m3 – 10m2 + 14m g) 3x4 – 2x3 – 9x2 + 16x + 10
d) –3a5 + 3a4 – 12a3
18) a) 
q 2x 4
r 4x 3
= −
= +
c) 
3 2q x 2x 4x 7
r 15
 = + + +
=
 b) 
q 2a 3
r 0
= −
=
19) a) a2 +10a + 25 e) m2 – 6m + 9
 b) x2 + 4x + 4 f) 25a6 – 10a3y + y2
 c) 4 + 12y + 9y2 g) 2
9 12
a 4a
25 5
− +
 d) 
2x 2x
1
9 3
+ +
20) 9a2 – 7a + 5
21) a) a(4 – 3x) e) (a – b + c) . (x + y)
 b) 2 4
a
(1 a a )
3
+ + f) 2
5
a(a 2)
3
+
 c) 7x2y2 (5x – 2y) g) (a – 1) . (x + b)
 d) (x – y) . (m + 1) h) (2a + 1) . (n – m)
Manual de Matemática
56
22) a) 12a3b3c4d3 d) 30(a + 2)
 b) (x – 3)2 . (x + 3) e) x(y + 5)2
 c) 2x(x + 7) . (x –7)
23) a) S = {26} e) S = {3a + 2b}
 b) S = {32} f) 
a
S
a 1
 
=  
− 
 c) S = {–1} g) S = {bm}
 d) 
20
S
9
 
=   
24) a) S = {(– 2, 5)} d) S = {(2, 3)}
 b) S = {(2, 1)} e) S = {(12, 30)}
 c) S = {(– 4, – 4)}
25) a) 
17
8
b) 
1
16
c) –8
26) a) 27 e) x–6b
 b) (–3)16 f) a5x – 3
 c) (0,1)7 g) 16
 d) 
31
3
    h) 
81
2
 
−  
27) a) 5 c) 5 45 3
3
 b) 
6
9
d) 3 2ab
28) a) S = {– 3, 4} f) S = {–3, 3}
 b) S = {4 , 7} g) S = ∅
 c) S = {0, 6} h) S = {1}
 d) S = { } i) S = {–2, 5}
 e) S = {2}