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E-Book 
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS II 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
2 
 
SUMÁRIO 
 
UNIDADE I ................................................................................................................ 3 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4 
1.1 FASORES .............................................................................................................. 4 
1.2 ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DOS FASORES ............................................. 9 
1.3 IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA ............................................................................... 12 
1.4 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM SÉRIE E EM PARALELO ............................................ 15 
1.5 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO ................................................... 20 
UNIDADE II ............................................................................................................. 23 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 24 
2.1 MÉTODO DAS MALHAS ....................................................................................... 24 
2.2 MÉTODO DOS NÓS ............................................................................................. 26 
2.3 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................... 28 
2.4 TEOREMA DE THÉVENIN .................................................................................... 31 
2.5 TEOREMA DE NORTON ....................................................................................... 34 
UNIDADE III ............................................................................................................ 40 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 41 
3.1 RESPOSTA DE FREQUÊNCIA ............................................................................... 41 
3.2 RESSONÂNCIA .................................................................................................. 46 
3.3 FILTROS PASSA-BAIXAS E PASSA-ALTAS ......................................................... 49 
3.4 FILTROS PASSA-FAIXA E REJEITA-FAIXA .......................................................... 53 
3.5 POTÊNCIA ELÉTRICA EM CORRENTE ALTERNADA ............................................. 56 
UNIDADE IV ............................................................................................................. 61 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 62 
4.1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS ............................................................ 62 
4.2 LIGAÇÕES ESTRELA E TRIÂNGULO DO GERADOR ............................................... 65 
4.3 CONEXÕES ENTRE GERADOR E CARGA .............................................................. 69 
4.4 POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS ............................................................... 76 
4.5 CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS ..................................................... 78 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 86 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
3 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE I 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
4 
 
INTRODUÇÃO 
Os circuitos elétricos funcionam com tensões e correntes contínuas e alternadas, 
e realiza-se a análise de seus comportamentos baseando-se nestes tipos de 
alimentações. A proposta deste e-book é explanar sobre o sinal alternado, 
especificamente aplicando-se o sinal senoidal, em circuitos constituídos pelos 
componentes resistores, indutores e capacitores. 
Para iniciar essa análise, precisa-se definir dois regimes que ocorrem em um 
circuito: o transitório e o permanente. Um regime transitório ocorre quando há 
mudanças de comportamento em um intervalo de tempo. Como exemplo de regime 
transitório tem-se o momento em que um circuito indutivo é energizado e a sua duração 
finita depende das características do indutor. O regime permanente acontece logo após 
a passagem de um tempo suficiente para que as respostas transitórias do circuito 
desapareçam. Os circuitos a serem analisados neste e-book estão no regime senoidal 
permanente. 
 
1.1 FASORES 
Os circuitos acionados por fontes de tensão ou de corrente senoidais são 
chamados circuitos CA. Um dos modelos matemáticos utilizados para representar um 
sinal alternado é a expressão trigonométrica, conforme representada a seguir: 
 
𝑣(𝒕) = 𝑽𝑷𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎) (1.1) 
 
Onde v(t) é o valor da tensão no instante t, em volts, VP a tensão de pico, em volts, ω 
a frequência angular, em radianos por segundo, e θ0 a fase inicial, em graus ou radianos. 
Uma das técnicas aplicadas para analisar circuitos em corrente alternada é usar um 
vetor radial girante e esse vetor radial que tem um módulo (comprimento) constante e 
uma extremidade fixa na origem, e este é denominado fasor (ROBBINS, 2010). Esta 
representação gráfica recebe o nome de diagrama fasorial, como mostra a figura 1.1, 
onde v(t) é o valor da tensão no instante t, em volts, VP é a tensão de pico, em volts, ω é a 
frequência angular, em radianos por segundo e θ0 é a fase inicial, em graus ou radianos. 
No diagrama fasorial também pode-se representar a defasagem entre sinais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
5 
 
Figura 1.1 Diagrama fasorial de um sinal senoidal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fasor também é representado por uma expressão matemática, que mostra a 
amplitude e a fase de uma senoide, o número complexo. Pode-se definir senoide como 
um sinal que possui a forma da função seno ou cosseno. A importância da aplicação de 
fasores é porque torna simples a análise de circuitos excitados por fontes senoidais. 
Portanto, é necessário desenvolver os conceitos básicos aplicados aos números 
complexos. O número complexo z é representado de três maneiras: 
 
• Forma retangular: 
𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚 (1.2) 
Onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z. 
• Forma polar: 
𝒛 = 𝒁∠∅ (1.3) 
Onde Z é a magnitude (módulo) de z e φ é a fase de z. 
• Forma exponencial: 
𝒛 = 𝒁𝒆𝒋∅ (1.4) 
 
Onde Z é a magnitude (módulo) de z e φ é a fase de z. 
 
 As formas retangular e polar possuem relação, que é mostrada na figura 1.2, onde 
o eixo x representa a parte real (Re) e o eixo y representa a parte imaginária (Im). Também 
é possível realizar a transformação da forma retangular para polar e vice-versa, adotando 
os seguintes modelos matemáticos. 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
6 
 
Figura 1.2 Representação gráfica de um 
número complexo nas formas retangular e polar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformação da forma retangular para polar, aplica-se: 
 
𝒁 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐, ∅ = 𝒕𝒈−𝟏 𝒚
𝒙
 (1.5) 
Transformação da forma polar para retangular, aplica-se: 
 
𝒙 = 𝒁𝒄𝒐𝒔 ∅, 𝒚 = 𝒁𝒔𝒆𝒏 ∅ (1.6) 
 Portanto, z pode ser escrito como indicado a seguir: 
 
𝒛 = 𝒙 + 𝒋𝒚 = 𝒁∠∅ = 𝒁(𝒄𝒐𝒔 ∅ + 𝒋𝒔𝒆𝒏 ∅) (1.7) 
 
 Demonstra que cos φ é a parte real e sen φ é a parte imaginária. 
 Além da representação do sinal senoidal ser mais simples, o desenvolvimento das 
operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão são realizadas com 
facilidade. Para que as operações básicas sejam fáceis de serem aplicadas adota-se as 
seguintes orientações: 
 
• Para realizar a soma ou a subtração entre números complexos, utiliza-se a forma 
retangular; 
• Para realizar a multiplicação ou a divisão entre números complexos,(3.52) 
𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑜𝑢 𝑃 = 𝑉𝑅𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠 [𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠, 𝑊] (3.53) 
𝑄 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 . 𝐼𝑟𝑚𝑠 . 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑜𝑢 𝑄 = 𝑉𝐿𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠 [𝑣𝑜𝑙𝑡 − 𝑎𝑚𝑝è𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎, 𝑉𝐴𝑅] (3.54) 
 
3.3.4 FATOR DE POTÊNCIA 
 
A potência ativa fornecida à carga é: 
 
𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜙 
Entretanto: 
𝑆 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝐼𝑟𝑚𝑠 
Portanto: 
𝑃 = 𝑆. 𝑐𝑜𝑠𝜙 (3.55) 
 Seguindo a análise, agora aplica-se a seguinte sequência: 
𝑐𝑜𝑠𝜙 =
𝑃
𝑆
 (3.56) 
 A relação da equação 3.56 é denominada de fator de potência: 
𝐹𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 =
𝑃
𝑆
 [𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙] (3.57) 
Portanto, o fator de potência de um circuito: 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
59 
 
• é a razão entre a potência ativa e a potência aparente; 
• é o cosseno da diferença de fase entre tensão e corrente; 
• é o cosseno do ângulo da impedância da carga; 
• fornece uma medida do aproveitamento da energia fornecida pelo gerador à 
carga. 
O valor do FP varia entre zero e a unidade. Para uma carga puramente resistiva, a 
tensão e a corrente estão em fase de FP = 1. Isso faz com que a potência aparente seja 
igual à potência ativa. Para uma carga puramente reativa, ocorre a defasagem de ± 90° e 
FP = 0. Nesse caso, a potência ativa é zero. Entre esses dois limites, o FP está adiantado 
ou atrasado. Um fator de potência adiantado significa que a corrente está adiantada em 
relação à tensão, implicando uma carga capacitiva. Um fator de potência atrasado 
significa que a corrente está atrasada em relação à tensão, implicando uma carga 
indutiva. O fator de potência afeta as contas pagas pelos consumidores de energia 
elétrica às concessionárias (JOHNSON, 2015). 
Cargas com fatores de potência baixos custam caro para manter, porque exigem 
correntes elevadas. A situação ideal seria consumir uma corrente mínima de uma fonte 
de modo que S = P, Q = 0 e FP = 1. Uma carga com Q diferente de zero significa que a 
energia flui nos dois sentidos entre a carga e a fonte, gerando novas perdas de potência. 
Em razão disso, as concessionárias de energia elétrica normalmente encorajam seus 
clientes a terem fatores de potência o mais próximo possível da unidade e penalizam 
alguns clientes que não aumentam seus fatores de potência de carga. As 
concessionárias de energia elétrica dividem seus clientes em categorias como 
residenciais, comerciais e industriais, ou baixa, média e alta potências, porque possuem 
estruturas de tarifação diferentes para cada categoria. A quantidade de energia 
consumida em unidades de quilowatt-hora (kWh) é medida usando um medidor de 
quilowatt-hora instalado nas dependências do cliente. Embora as concessionárias de 
energia elétrica usem métodos diversos para cobrarem a energia elétrica consumida, a 
tarifa ou o preço para um consumidor geralmente é composto por duas partes. A 
primeira é fixa e corresponde ao custo de geração, transmissão e distribuição de 
eletricidade para atender às necessidades de carga dos consumidores. Essa parte da 
tarifa geralmente é expressa como certo preço por kW de demanda máxima, ou ela pode 
se basear em kVA de demanda máxima, para levar em conta o fator de potência (FP) do 
consumidor. Uma multa do FP pode ser imposta sobre o consumidor, segundo a qual 
determinada porcentagem da demanda máxima em kW ou kVA é alterada a cada 0,01 de 
queda no FP abaixo de um valor predeterminado, 0,92. Por outro lado, poderia ser dado 
um crédito de FP para cada 0,01 que o FP exceder o valor predeterminado. A segunda 
parte é proporcional à energia consumida em kWh; pois pode estar na forma gradual, por 
exemplo, os primeiros 100 kWh a um custo de 16 centavos/kWh, os próximos 200 kWh a 
um custo de 10 centavos/kWh e assim por diante. 
A maioria das instalações elétricas têm a corrente total da linha atrasada, já que a 
maioria das cargas são indutivas e resistivas. As cargas de utilidades domésticas, como 
máquinas de lavar roupa, aparelhos de ar-condicionado e refrigeradores, e industriais, 
como motores de indução, são indutivas e operam com um fator de potência baixo. 
Embora sua natureza não possa ser alterada, podemos aumentar seu fator de potência. 
A energia cobrada da concessionária é referente à potência ativa e não à potência 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
60 
 
aparente. Devido a isso, a concessionária é obrigada a gerar mais energia do que o 
necessário, o que não é vantagem técnica e econômica. Por isso, ela aplica multas aos 
consumidores industriais cujas instalações operam com fator de potência FPCIRCUITOS ELÉTRICOS II 
64 
 
Figura 4.2. Gerador trifásico 
 
 
 Considere v1(t), v2(t) e v3(t) as tensões induzidas, respectivamente, nos 
enrolamentos AA’, BB’ e CC’. A figura 4.3, mostra a forma de onda das 3 tensões, 
defasadas entre si de 120°. Um sistema trifásico típico é formado por três fontes de 
tensão conectadas a cargas por três ou quatro fios (ou linhas de transmissão). 
Uma vez que cada bobina pode ser considerada ela própria um gerador monofásico, 
o gerador trifásico é capaz de fornecer energia tanto para cargas monofásicas quanto 
trifásicas. 
 
Figura 4.3. Forma de onda das tensões de um gerador trifásico 
 
 
 
 Analisando a figura 4.3, percebe-se que, quando uma das tensões induzidas for 
zero, o valor da amplitude das outras duas são iguais, mas uma é positiva e a outra é 
negativa. Além disso, quando duas das tensões induzidas têm o mesmo módulo e o 
mesmo sinal, a terceira tensão tem a polaridade oposta e o valor de sua tensão é de pico. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
65 
 
Portanto, essas observações resultam que, em qualquer instante de tempo, a soma 
fasorial das três tensões de um gerador trifásico é nula (BOYLESTAD, 2012). 
Os modelos matemáticos que representam estas tensões são, no domínio do 
tempo: 
𝑣1(𝑡) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 [𝑉] (4.1) 
𝑣2(𝑡) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 120°) [𝑉] (4.2) 
𝑣3(𝑡) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 120°) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 240°) [𝑉] (4.3) 
Os terminais do gerador são conectados entre si através da ligação em triângulo 
(ou delta - ∆), ou então em estrela (ou ípsilon - Y). 
A ordem pela qual as tensões das fases geradas passam pelo seu valor de pico 
define a chamada sequência de fase do sistema. Pela análise da figura 4.3 (v1(t) = A; v2(t) 
= B e v1(t) = C), temos que as sequências ABC, BCA e CAB são as sequências positivas. O 
caminho inverso é denominado sequência negativa — neste caso, tem-se ACB, CBA e 
BAC. As fases geradas pelo gerador podem também ser identificadas por R, S e T. 
No Brasil, a frequência utilizada para a geração e distribuição de energia é 60 Hz, o 
que corresponde a uma frequência angular de aproximadamente 377 rad/s, e essa 
grandeza é determinada pelo número de polos do rotor e pela velocidade angular do eixo. 
A rede elétrica de uso residencial é geralmente formada por duas fases e um neutro. A 
tensão eficaz entre fase e neutro é de 127 V, sendo utilizada para alimentar circuitos 
monofásicos, por exemplo, alimentar lâmpadas e tomadas de uso geral. O circuito 
bifásico utiliza duas fases, tendo uma tensão de 220 V e são usados, por exemplo, para 
alimentar chuveiros e condicionadores de ar. A rede elétrica de uso industrial é 
normalmente formada por três fases e um neutro, pois muitas máquinas possuem 
motores trifásicos. 
 
4.2 LIGAÇÕES ESTRELA E TRIÂNGULO DO GERADOR 
4.2.1 LIGAÇÃO ESTRELA 
 
 Na ligação estrela, os pontos A’, B’ e C’ são interligados entre si, formando um 
ponto comum chamado de neutro (N), sendo este ponto ligado ao neutro da carga, sendo 
denominado de gerador trifásico conectado em Y, como visto na figura 4.4. Quando não 
existe nenhum condutor conectando o neutro à carga, o sistema é chamado de gerador 
trifásico conectado em Y de três fios e quando existe um fio conectando o neutro à carga, 
o sistema é chamado de gerador trifásico conectado em Y de quatro fios. Os três 
condutores usados para conectar os terminais A, B e C à carga do circuito são chamados 
de linhas. 
As tensões entre os terminais do gerador A, B e C e o neutro N são chamadas de 
tensões de fase, ou seja, VAN, VBN e VCN, ou de forma geral, VF. As tensões medidas entre 
dois terminais do gerador, os pontos AB, BC e CA são chamadas de tensões de linha (VAB, 
VBC e VCA) ou, genericamente, VL. A ligação estrela caracteriza-se por ter tensões de linha 
diferentes das tensões de fase. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
66 
 
 
Figura 4.4. Gerador ligado em estrela a uma carga 
 
 
Analisando a figura 4.4, as tensões de linha podem ser equacionadas do seguinte 
modo: 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴𝑁 − 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐵𝐶 = 𝑉𝐵𝑁 − 𝑉𝐶𝑁 𝑉𝐶𝐴 = 𝑉𝐶𝑁 − 𝑉𝐴𝑁 (4.4) 
 
Estas três expressões informam que, em cada instante, as tensões de linha são 
iguais às diferenças entre os valores instantâneos das respectivas tensões de fase. 
Os modelos matemáticos para as tensões de fase são as mesmas das equações 4.1 
a 4.3, portanto: 
𝑉𝐴𝑁(𝑡) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑜𝑢 𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐹 
, 
𝑉𝐵𝑁(𝑡) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 120°) 𝑜𝑢 𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝐹. (−
1
2
− 𝐽
√3
2
) 
e 
𝑉𝐶𝑁(𝑡) = 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 120°) 𝑜𝑢 𝑉𝐶𝑁 = 𝑉𝐹. (−
1
2
+ 𝐽
√3
2
) 
Portanto, aplicando as equações 4.4 obtém-se: 
 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝐹. (−
1
2
− 𝐽
√3
2
) ⟹ 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐹. (
3
2
+ 𝐽
√3
2
) ⟹ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
67 
 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐹 . √3∠30° (4.5) 
𝑉𝐵𝐶 = 𝑉𝐹 . (−
1
2
− 𝐽
√3
2
) − 𝑉𝐹 . (−
1
2
+ 𝐽
√3
2
) ⟹ 
𝑉𝐵𝐶 = 𝑉𝐹. (−𝐽√3) ⟹ 
𝑉𝐵𝐶 = 𝑉𝐹 . √3∠ − 90° (4.6) 
𝑉𝐶𝐴 = 𝑉𝐹 . (−
1
2
+ 𝐽
√3
2
) − 𝑉𝐹 ⟹ 
𝑉𝐶𝐴 = 𝑉𝐹. (−
3
2
+ 𝐽
√3
2
) ⟹ 
𝑉𝐵𝐶 = 𝑉𝐹 . √3∠150° (4.7) 
 Com isso, conclui-se que a relação entre os módulos das tensões de linha e de 
fase é dada por: 
𝑉𝐿 = √3. 𝑉𝐹 (4.8) 
 Uma observação importante é que as tensões de linha e de fase são normalmente 
dadas em valores eficazes. 
 A corrente que percorre cada fase é chamada de corrente de fase, ou seja, IAφ, IBφ 
e ICφ (o índice φ é usado para indicar que se trata de uma fase), designada genericamente 
por IF. A corrente que passa na linha que liga o gerador à carga é chamada de corrente de 
linha, designada genericamente por IL, conforme visto na figura 4.4. Para o sistema 
trifásico ligado em Y, a corrente de linha é igual a corrente de fase: 
 
𝐼𝐿 = 𝐼𝐹 (4.9) 
A corrente no fio neutro IN é a soma vetorial das correntes de fase, isto é: 
 
𝐼𝑁 = 𝐼𝐴𝜙 + 𝐼𝐵𝜙+𝐼𝐶𝜙 (4.10) 
 Como a carga é equilibrada, a corrente no fio neutro é nula, isto é, IN = 0. Portanto, 
não é necessário instalar o fio neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.2 LIGAÇÃO TRIÂNGULO 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
68 
 
 Na ligação triângulo, as extremidades das bobinas do gerador são interligadas 
para formar um triângulo, conforme é visto na figura 4.5. 
O sistema é chamado gerador CA conectado em ∆ trifásico com três fios. As 
tensões de linha (VAB, VBC e VCA) e de fase (VAN, VBN e VCN) são equivalentes e têm o mesmo 
valor que as tensões induzidas nos enrolamentos do gerador: 
 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴𝑁 𝑉𝐵𝐶 = 𝑉𝐵𝑁 𝑉𝐶𝐴 = 𝑉𝐶𝑁 (4.11) 
ou 
𝑉𝐿 = 𝑉𝐹 (4.12) 
 
Figura 4.5. Gerador ligado em triângulo a uma carga 
 
 
As correntes de fase nos enrolamentos IF (IBA, IBC e IAC) são diferentes das correntes 
de linha IL (IA, IB e IC), que são calculadas por: 
 
𝐼𝐴 = 𝐼𝐵𝐴 − 𝐼𝐴𝐶 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶𝐵 − 𝐼𝐵𝐴 𝐼𝐶 = 𝐼𝐴𝐶 − 𝐼𝐶𝐵 (4.13) 
 
 A relação entre os módulos das correntes de linha IL e de fase IF é determinada 
aplicando o mesmo método feito com as tensões de linha e de fase na ligação Y, obtendo-
se: 
𝐼𝐴 = 𝐼𝐵𝐴. √3∠ − 30° (4.14) 
𝐼𝐵 = 𝐼𝐶𝐵 . √3∠ − 150° (4.15) 
𝐼𝐶 = 𝐼𝐴𝐶 . √3∠90° (4.16) 
E, consequentemente: 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
69 
 
𝐼𝐿 = √3. 𝐼𝐹 (4.17) 
 
4.3 CONEXÕES ENTREGERADOR E CARGA 
 
 Na seção anterior, foram demonstradas as ligações em estrela e em triângulo do 
gerador. Agora serão desenvolvidas soluções, acrescentando-se a carga, analisando 
também as suas ligações. As cargas alimentadas por fontes trifásicas podem ser de dois 
tipos: estrela e triângulo. 
 
4.3.1 GERADOR E CARGA CONECTADOS EM Y 
 
 Quando um sistema tem um gerador em estrela conectado a uma carga em 
estrela, o sistema é representado, simbolicamente, por Y-Y, como visto na figura 4.6. A 
conexão do neutro pode ser removida sem que afete o funcionamento do circuito quando 
a carga é equilibrada, ou seja, Z1 = Z2 = Z3 e, consequentemente, IN = 0. Mas, os circuitos de 
iluminação e os que alimentam equipamentos elétricos de pequeno porte utilizam 
apenas uma fase e, mesmo que essas cargas estejam distribuídas uniformemente pelas 
três fases, é impossível manter constantemente um equilíbrio perfeito entre as fases, já 
que as lâmpadas e os equipamentos são ligados e desligados de maneira independente, 
perturbando a situação de equilíbrio. O fio neutro é, portanto, necessário para 
transportar a corrente resultante de volta para o gerador conectado à estrela (JOHNSON, 
2015). 
Para a ligação em estrela as correntes de fase do gerador (Iφ), as correntes de fase 
(Iφ) da carga e as correntes de linha (IL)são iguais: 
 
𝐼∅𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼∅𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝐼𝐿 (4.18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6. Gerador em estrela com uma carga em estrela 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
70 
 
 
 
 O gerador e a carga têm o neutro em comum, portanto, as tensões de fase do 
gerador são iguais às tensões de fase da carga. A equação 4.8 é aplicada neste sistema. 
Exemplo 4.1. Considerando um sistema Y-Y, conforme a figura 4.7, determine o 
módulo das tensões de linha e determine a corrente Iaφ. 
Dados: 
Módulo das tensões de fase do gerador no valor de 127 V. 
Impedâncias iguais a 2 + j3 Ω. 
 
Figura 4.7. Sistema Y-Y 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
71 
 
• Aplicando-se a equação 4.8, obtém-se: 
𝑉𝐿 = √3. 𝑉𝐹 ⟹ 
𝑉𝐿 = √3. 127 ⟹ 𝑉𝐿 ≅ 220 𝑉 
• 𝐼𝑎∅ =
𝑉𝑎𝑛
𝑍1
⟹ 
𝐼𝑎∅ =
127∠0°
2 + 𝑗3
⟹ 
𝐼𝑎∅ =
127∠0°
3,61∠56,3°
⟹ 𝐼𝑎∅ = 35,18∠ − 56,3° 𝐴 
 
4.3.2 GERADOR E CARGA CONECTADOS EM ∆ 
 Quando um sistema tem um gerador em triângulo conectado a uma carga em 
triângulo, o sistema é representado, simbolicamente, por ∆-∆, como visto na figura 4.8. 
Os conceitos aplicados na análise de ligação triângulo são aplicáveis neste sistema, 
conforme visto nas equações 4.12 e 4.17, ou seja, a tensão de linha é igual a tensão de 
fase e a corrente de linha é igual a corrente de fase multiplicada por raiz quadrada de 
três. Pode-se aplicar a lei de Ohm para obter as correntes de fase conectadas à carga, 
conforme as equações a seguir: 
 
𝐼𝑎𝑏 =
𝑉𝑎𝑏
𝑍1
 (4.19) 
 
𝐼𝑏𝑐 =
𝑉𝑏𝑐
𝑍2
 (4.20) 
𝐼𝑐𝑎 =
𝑉𝑐𝑎
𝑍3
 (4.21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8. Gerador em triângulo com uma carga em triângulo 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
72 
 
 
 
 
4.3.3 GERADOR LIGADO EM Y À CARGA EM ∆ 
 O sistema, mostrado na figura 4.9, é representado, simbolicamente, por Y-∆. 
Nesta ligação não há conexão do neutro. As tensões de fase da carga são iguais às 
tensões de linha do gerador, conforme a equação 4.12. As correntes de linha e de fase 
são relacionadas conforme a equação 4.17 e o ângulo de fase, entre estas correntes, mais 
próximo é 30°. As equações 4.19 a 4.21 são aplicáveis a este sistema, ou seja: 
 
𝐼𝑎𝑏 =
𝑉𝑎𝑏
𝑍1
, 
 
𝐼𝑏𝑐 =
𝑉𝑏𝑐
𝑍2
 e 
 
𝐼𝑐𝑎 =
𝑉𝑐𝑎
𝑍3
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9. Gerador em estrela conectado com uma carga em triângulo 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
73 
 
 
 
 
4.3.4 GERADOR LIGADO EM ∆ À CARGA EM Y 
 Este sistema, mostrado na figura 4.10, é representado, simbolicamente, por ∆-Y. Nesta 
ligação as correntes de linha são iguais as correntes de fase, conforme a equação 4.9. Para 
calcular as tensões de fase usa-se a lei de Ohm: 
 
𝑉𝑎𝑛 = 𝐼𝑎∅𝑍1 (4.22) 
 
𝑉𝑏𝑛 = 𝐼𝑏∅𝑍2 (4.23) 
 
𝑉𝑐𝑛 = 𝐼𝑐∅𝑍3 (4.24) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10. Gerador em triângulo conectado com uma carga em estrela 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
74 
 
 
 A equação 4.8 é aplicável para análise deste sistema. 
 
4.3.5 SISTEMA TRIFÁSICO COM CARGA DESEQUILIBRADA 
 
 Este tipo de sistema é formado por três impedâncias com módulos e/ou fases 
diferentes. Isso resulta que as equações 4.8 e 4.17 não podem ser aplicadas. Portanto, 
para obter as tensões e correntes de linha é necessário calcular a diferença fasorial entre 
as tensões e correntes de fase. 
 Na ligação em estrela, tem-se quatro terminais acessíveis. Caso o fio neutro 
esteja conectado, a corrente IN é diferente de zero, porque a soma fasorial das correntes 
de linha é diferente de zero. A conexão do fio neutro garante o balanceamento do 
gerador. As relações entre as tensões e as correntes de fase e de linha são diferentes 
para cada impedância, devem ser calculadas individualmente. 
 Na ligação em triângulo, há somente três terminais acessíveis. Nesta carga, as 
relações entre as tensões e as correntes de fase e de linha também são diferentes para 
cada impedância, devendo ser calculadas individualmente. 
Exemplo 4.2. Considerando a carga não equilibrada ligado em triângulo, conforme 
figura 4.11, determine a magnitude e a fase das correntes de fase. 
 
Dados: 
𝑉𝐴𝐵 = 220∠0° 𝑉 
𝑉𝐵𝐶 = 220∠ − 120° 𝑉 
𝑉𝐶𝐴 = 220∠120° 𝑉 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
75 
 
 
Figura 4.11. Carga não equilibrada em triângulo 
 
 
Resolução: 
• Aplicando-se a lei de Ohm, obtém-se Iab: 
 
𝐼𝑎𝑏 =
𝑉𝑎𝑏
𝑍𝑎𝑏
=
𝑉𝐴𝐵
𝑍𝑎𝑏
=
220∠0°
8∠0°
⟹ 
𝐼𝑎𝑏 = 27,5∠0° 𝐴 
• Usa-se o mesmo raciocínio anterior e calcula-se Ibc: 
 
𝐼𝑏𝑐 =
𝑉𝑏𝑐
𝑍𝑏𝑐
=
𝑉𝐵𝐶
𝑍𝑏𝑐
=
220∠ − 120°
14 + 𝑗18
⟹ 
𝐼𝑏𝑐 =
220∠ − 120°
22,8∠52,12°
⟹ 
𝐼𝑏𝑐 = 9,65∠172,12° 𝐴 
• E para finalizar, calcula-se Ica: 
 
𝐼𝑐𝑎 =
𝑉𝑐𝑎
𝑍𝑐𝑎
=
𝑉𝐶𝐴
𝑍𝑐𝑎
=
220∠120°
10 + 𝑗10
⟹ 
𝐼𝑐𝑎 =
220∠120°
14,14∠45°
⟹ 
𝐼𝑐𝑎 = 15,6∠75° 𝐴 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
76 
 
4.4 POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS 
 As potências ativa (P), reativa (Q) e aparente (S) foram analisadas na Seção 3.5 para 
cargas monofásicas. Neste momento, estas potências serão desenvolvidas em sistemas 
trifásicos formados por cargas com ligações em estrela e em triângulo. Uma carga 
trifásica é geralmente especificada pela potência desenvolvida nas suas três 
impedâncias. Importante destacar que em uma instalação elétrica trifásica pode conter 
diversas cargas monofásicas, sendo necessário identificar cada tipo de carga por sua 
potência e tensão de alimentação. No sistema trifásico equilibrado, as potências ativas 
em cada fase são iguais, portanto, a potência ativa total é: 
 
𝑃 = 3𝑉𝐹𝐼𝐹𝑐𝑜𝑠∅ [𝑊] (4.25) 
 
Onde VF e IF estão em valores eficazes. 
 Na ligação estrela, como IF = IL e VL = VF.√3, pode-se substituir estes valores na 
equação 4.25: 
𝑃 = 3
𝑉𝐿
√3
𝐼𝐿𝑐𝑜𝑠∅ ⟹ 
𝑃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑐𝑜𝑠∅ [𝑊] (4.26) 
 
Para a ligação triângulo, como VF = VL e IF = IL.√3, substitui-se estes valores na 
equação 4.25: 
𝑃 = 3𝑉𝐿 .
𝐼𝐿
√3
𝑐𝑜𝑠∅ ⟹ 
𝑃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑐𝑜𝑠∅ [𝑊] (4.27) 
 
 Conclui-se que o modelo matemático para a potência ativa para as ligações 
estrela e triângulo são as mesmas, mas as potências são diferentes. 
 Usando a mesma dedução adotada para obter a potência ativa, calcula-se as 
potências reativas e aparentes,para ambas as ligações, considerando os sistemas 
equilibrados. Deduzindo a potência reativa total, tem-se: 
 
𝑄 = 3𝑉𝐹𝐼𝐹𝑠𝑒𝑛∅ [𝑉𝐴𝑅] (4.28) 
𝑄 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑠𝑒𝑛∅ [𝑉𝐴𝑅] (4.29) 
 A potência aparente total na carga trifásica é: 
𝑆 = 3𝑉𝐹𝐼𝐹 [𝑉𝐴] (4.30) 
𝑆 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿[𝑉𝐴] (4.31) 
 
O fator de potência para o sistema trifásico é a relação entre a potência ativa e aparente, 
descrita na equação 3.57, ou seja: 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
77 
 
𝐹𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 =
𝑃
𝑆
 [𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙] 
 Caso o sistema trifásico for desequilibrado, as potências totais correspondem às 
somas das potências dissipadas pelas cargas. 
Exemplo 4.3. Considerando a carga conectada em Y, determine a potência ativa 
para cada fase. 
Dados: 
Módulo das tensões de linha no valor de 127 V. 
Impedâncias de carga iguais a 2 + j3 Ω. 
 
Resolução: 
• Aplicando-se a equação 4.8, obtém-se: 
• 
𝑉𝐹 =
𝑉𝐿
√3
⟹ 𝑉𝐹 =
127
√3
⟹ 
𝑉𝐿 = 73,32 𝑉 
• Transformando a impedância na forma polar: 
 
𝑍 = 3,6∠56,31° 𝛺 
 Com isso, calcula-se a corrente na carga: 
 
𝐼𝜙 =
73,32
3,6
= 20,37 𝐴 
 
• As potências ativas das fases são iguais, portanto: 
 
𝑃 = 73,32.20,37𝑐𝑜𝑠56,31° 
𝑃 = 828,46 𝑊 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
78 
 
4.5 CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS 
 O termo “acoplados magneticamente”, ocorre quando dois circuitos com ou sem 
contatos entre eles se afetam por meio do campo magnético gerado por um deles. O 
dispositivo elétrico projetado para funcionar neste tipo de comportamento é o 
transformador. Ele usa bobinas acopladas magneticamente para transferir energia de 
um circuito para outro (HAYT, 2014). 
 O transformador é utilizado em sistemas de geração de energia elétrica para 
elevar ou abaixar tensões ou correntes em corrente alternada, também são aplicados em 
circuitos como receptores de rádio e televisão, como casamento de impedâncias e isolar 
uma parte de um circuito de outra. 
 
4.5.1 INDUTÂNCIA MÚTUA 
 
 Indutância mútua é um fenômeno que ocorre quando há duas bobinas bem 
próximas uma da outra, e o fluxo magnético provocado pela corrente em uma bobina se 
associa com a outra bobina induzindo uma tensão nessa última. 
 Considere um indutor com N espiras, quando a corrente elétrica fluir através 
deste indutor, produz-se um fluxo magnético φ em torno dele, como visto na figura 4.12. 
A tensão v induzida no indutor é proporcional ao número de espiras N e à velocidade de 
variação do fluxo magnético φ, e isso é comprovado pela lei de Faraday. Esse fenômeno 
é descrito na equação 4.32, mostrada a seguir: 
 
𝑣 = 𝑁
𝑑∅
𝑑𝑡
[𝑉] (4.32) 
 Como o fluxo φ é gerado pela corrente i, então a variação de i vai ocasionar uma 
variação em φ, portanto: 
 
𝑣 = 𝑁
𝑑∅
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
[𝑉] (4.33) 
ou 
𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
[𝑉] (4.34) 
Onde L é a indutância em henry (H). 
 As equações 4.33 e 4.34 podem ser relacionadas, resultando na denominada 
autoindutância, também identificada por L, como segue: 
 
𝐿 = 𝑁
𝑑∅
𝑑𝑖
[𝐻] (4.35) 
 Esta equação relaciona à tensão induzida em uma bobina por uma corrente 
variável no tempo na mesma bobina. 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
79 
 
Figura 4.12. Circuito com um indutor de N espiras produzindo o fluxo magnético 
 
 
O transformador é construído com dois enrolamentos dispostos para que o fluxo φ 
variável produzido por um deles aja sobre o outro, conforme a figura 4.13, resultando em 
uma tensão induzida nos dois enrolamentos. No transformador, o enrolamento no qual a 
fonte de alimentação é aplicada é denominado primário (p), e o enrolamento no qual a 
carga é conectada é chamado de secundário (s). Portanto, a equação 4.32 pode ser 
escrita da seguinte maneira: 
 
𝑣𝑝 = 𝑁𝑝
𝑑∅𝑝
𝑑𝑡
[𝑉] (4.36) 
e 
𝑣𝑠 = 𝑁𝑠
𝑑∅𝑚
𝑑𝑡
[𝑉] (4.37) 
Onde φm é a parte do fluxo do primário, φp, que atravessa o secundário. 
 Há a relação entre φm e φp, denominado de coeficiente de acoplamento, 
identificado pela letra k, ou seja: 
 
𝑘 =
∅𝑚
∅𝑝
 [𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙] (4.38) 
 
 O coeficiente de acoplamento entre dois enrolamentos nunca pode ser maior do 
que 1. Quanto mais próximos os enrolamentos, maior o fluxo que os atravessa e maior o 
k. Quando os enrolamentos possuem um baixo fator de acoplamento diz-se que estão 
fracamente acoplados. 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
80 
 
Figura 4.13. Transformador e suas grandezas 
 
 
 A equação da indutância, equação 4.35, pode ser escrita, conforme a seguir: 
 
𝐿 = 𝑁𝑝
𝑑∅𝑝
𝑑𝑖𝑠
[𝐻] ‘ (4.39) 
ou 
𝐿 = 𝑁𝑠
𝑑∅𝑚
𝑑𝑖𝑝
[𝐻] (4.40) 
 
Em termos das indutâncias dos dois enrolamentos e do coeficiente de 
acoplamento, a indutância mútua é dada por: 
 
𝐿 = 𝑘√𝐿1𝐿2 [𝐻] (4.41) 
 
A figura 4.14 mostra o símbolo elétrico do transformador, sendo a figura 4.14(a) o 
transformador com núcleo de ar e a figura 4.14(b) o de núcleo de ferro. 
 
Figura 4.14. Símbolo elétrico do transformador: (a) núcleo de ar; (b) núcleo de ferro 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
81 
 
 No transformador com núcleo de ferro se tem um aumento do coeficiente de 
acoplamento entre os enrolamentos pelo aumento do fluxo φm, comparado com o 
transformador de núcleo de ar (HAYT, 2014). 
 Existe a relação entre as tensões, correntes e espiras do transformador, 
conforme a seguir: 
 
𝑉𝑝
𝑉𝑠
=
𝑁𝑝
𝑁𝑠
= 𝑟 (4.42) 
𝐼𝑠
𝐼𝑝
=
𝑁𝑝
𝑁𝑠
=
1
𝑟
 (4.43) 
Onde r representa a relação de transformação. 
 Portanto, ao analisar a relação de transformação de espiras, r = Np/Ns, pode-se 
observar que quando r 1, o transformador é denominado transformador abaixador de 
tensão. 
 
4.5.2 TRANSFORMADOR IDEAL 
O termo transformador ideal é usado quando o seu acoplamento é perfeito, ou seja, 
k é igual a 1, formado por duas (ou mais) bobinas com grande número de espiras enroladas 
em um núcleo comum de alta permeabilidade. Consequentemente, o fluxo se associa 
com todas as espiras de ambas as bobinas resultando, consequentemente, em um 
acoplamento perfeito. Este deve ter as seguintes propriedades: 
 
1. As bobinas possuem reatâncias muito grandes; 
2. O coeficiente de acoplamento é unitário; 
3. As bobinas primária e secundária são sem perdas. 
 
Os transformadores com núcleo de ferro podem ser usados como exemplos 
próximos de transformadores ideais e são usados em sistemas de geração de energia 
elétrica e em eletrônica. 
A energia fornecida para o primário deve ser igual à energia absorvida pelo 
secundário, explicado pela conservação de energia, pois não existem perdas em um 
transformador ideal. Há também dois termos usados em transformadores: 
 
• Transformador abaixador de tensão é aquele no qual a tensão no secundário é 
menor que a tensão no primário; 
• Transformador abaixador de tensão é aquele no qual a tensão no secundário é 
menor que a tensão no primário. 
 Os valores nominais dos transformadores são normalmente especificados como 
V1/V2. Exemplificando, um transformador com valor nominal 220/12 V deve ter 220 V no 
primário e 12 V no secundário, isto é, um transformador abaixador de tensão.Estas 
tensões nominais estão em valores eficazes. 
As concessionárias de geração de energia elétrica geram uma tensão e usam um 
transformador elevador de tensão para aumentar a tensão de modo que a energia possa 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
82 
 
ser transmitida em alta tensão e baixa corrente através das linhas de transmissão, 
resultando em economias significativas. 
Próximo das instalações dos consumidores residenciais são usados 
transformadores abaixadores de tensão para reduzir a tensão para 127 V. No 
transformador real, a potência no secundário é menor que no primário, devido a várias 
perdas. Neste caso, a relação entre as potências é dada por P2 = ƞP1, onde ƞ equivale ao 
rendimento do transformador. No transformador ideal, ƞ = 1, e no transformador real, ƞ 90%. 
 
4.5.3 AUTOTRANSFORMADOR IDEAL 
 
 O autotransformador possui um único enrolamento com um ponto de conexão 
chamado derivação entre o primário e o secundário. A derivação é ajustável de modo a 
fornecer a relação de espiras desejada para elevar ou abaixar a tensão. Duas são as 
vantagens do autotransformador em relação ao transformador de dois enrolamentos: 
 
1. Habilidade em transferir potência aparente (S) maior; 
2. É menor e mais leve. 
 
A sua desvantagem é que tanto o enrolamento primário como o secundário são um 
único enrolamento, o isolamento elétrico (nenhuma conexão elétrica direta) é perdido. A 
figura 4.15 mostra o transformador comum e o autotransformador. 
 
Figura 4.15. (a) Transformador comum; (b) autotransformador 
 
 
 
4.5.4 APLICAÇÕES DO TRANSFORMADOR 
Como já citado anteriormente, o transformador é utilizado para elevar ou baixar 
tensões ou correntes no sinal alternado, são aplicados em circuitos para isolar uma parte 
de um circuito de outra e, também, como casamento de impedâncias. 
Há isolamento elétrico entre dois dispositivos quando não há nenhuma conexão 
física entre eles. Em um transformador, a energia é transferida por acoplamento 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
83 
 
magnético, sem conexão elétrica entre o circuito primário e o circuito secundário. Para 
exemplificar, considere o circuito retificador, que é um circuito eletrônico que converte 
uma fonte CA em uma fonte CC. O transformador é usado para acoplar a fonte CA ao 
retificador. O uso do transformador tem dois propósitos: um é elevar ou abaixar a tensão 
e a outra é fornecer isolamento elétrico entre a fonte de alimentação CA e o retificador, 
reduzindo, o risco de choque elétrico durante a manipulação desse dispositivo. 
Para se obter a máxima transferência de potência, a resistência de carga, RL, deve 
ser igual à resistência da fonte, Rs. Geralmente, as duas resistências não são iguais; 
ambas são fixas e não podem ser alteradas. Mas, um transformador de núcleo de ferro 
pode ser usado para fazer com que a resistência da carga seja igual à resistência da 
fonte. Isso é denominado casamento de impedâncias. Por exemplo, para ligar um alto-
falante a um amplificador de potência de áudio, é preciso um transformador, pois a sua 
resistência é de poucos ohms, enquanto a resistência interna do amplificador é de 
alguns milhares de ohms. 
 
4.5.5 TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS 
 A utilização de transformadores compatíveis com operações trifásicas deve ser 
de duas maneiras: ou ligando transformadores trifásicos formando o chamado banco de 
transformadores, ou usando um transformador trifásico especial (ALEXANDER; SADIKU, 
2013). Comparando com a mesma potência nominal em kVA, um transformador trifásico 
sempre é menor e mais barato que três transformadores monofásicos. Há quatro 
maneiras-padrão de ligar três transformadores monofásicos ou um transformador 
trifásico para operações trifásicas: 
 
• estrela-estrela; 
• triângulo-triângulo; 
• estrela-triângulo; 
• triângulo-estrela. 
 
Para qualquer uma das quatro ligações, a potência aparente total ST, a potência 
ativa PT e a potência reativa QT são: 
 
𝑆𝑇 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿[𝑉𝐴] (4.44) 
𝑃𝑇 = 𝑆𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃[𝑊] (4.45) 
𝑄𝑇 = 𝑆𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = √3𝑉𝐿𝐼𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃[𝑉𝐴𝑅] (4.46) 
 
A conexão estrela-estrela é mostrada na figura 4.16, onde VLp e ILp representam, 
respectivamente, a tensão e corrente de linha no primário e VLs e ILs representam, 
respectivamente, a tensão e corrente de linha no secundário. 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
84 
 
 
Figura 4.16. Transformador trifásico: conexão estrela-estrela 
 
 
 As figuras 4.17, 4.18 e 4.19 mostram as outras três conexões do transformador 
trifásico: 
 
Figura 4.17. Transformador trifásico: conexão triângulo-triângulo 
 
 
 
 
 Usando as equações 4.42 e 4.43, nas conexões do transformador trifásico em 
estrela-estrela e triângulo-triângulo, as tensões e correntes de linha no secundário são: 
 
𝑉𝐿𝑠 = 𝑟𝑉𝐿𝑝 (4.47) 
 
𝐼𝐿𝑠 =
𝐼𝐿𝑝
𝑟
 (4.48) 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
85 
 
Figura 4.18. Transformador trifásico: conexão estrela-triângulo 
 
 
Figura 4.19. Transformador trifásico: conexão triângulo-estrela 
 
 
Nas conexões do transformador trifásico em estrela-triângulo e triângulo-estrela, 
há um fator √3 proveniente dos valores de linha-fase, além da relação de espiras (r). 
Então, para a conexão estrela-triângulo: 
 
𝑉𝐿𝑠 =
𝑟𝑉𝐿𝑝
√3
 (4.49) 
𝐼𝐿𝑠 =
√3𝐼𝐿𝑝
𝑟
 (4.50) 
 
Para a conexão triângulo-estrela, tem-se: 
 
𝑉𝐿𝑠 = 𝑟√3𝑉𝐿𝑝 (4.51) 
𝐼𝐿𝑠 =
𝐼𝐿𝑝
𝑟√3
 (4.52) 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
86 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BOYLESTAD, ROBERT L. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS. 12. ED. SÃO PAULO: 
PEARSON PRENTICE HALL, 2012. 
ALEXANDER, CHARLES; SADIKU, MATTHEW. FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS. 5 ED. SÃO PAULO: MCGRAW-HILL, 2013. 
ROBBINS, ALLAN H. ANÁLISE DE CIRCUITOS: TEORIA E PRÁTICA. V.1. 4.ED. SÃO PAULO: 
CENGAGE LEARNING, 2010. 
JOHNSON, JOHNNY R.. FUNDAMENTOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS. 4 ED. 
RIO DE JANEIRO: LTC, 2015. 
HAYT JR.; WILLIAM H.; KEMMERLY, JACK E.; DURBIN, STEVEN M. ANÁLISE DE 
CIRCUITOS EM ENGENHARIA. 8.ED. PORTO ALEGRE: BOOKMAN, 2014. 
CRUZ, EDUARDO CESAR ALVES. ELETRICIDADE BÁSICA: CIRCUITOS EM CORRENTE 
CONTÍNUA. SÃO PAULO: ÉRICA, 2014. 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
87utiliza-se a 
forma polar. 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
7 
 
 
Então, considerando os seguintes números complexos: 
 
𝒛𝟏 = 𝒙𝟏 + 𝒋𝒚𝟏 = 𝒁𝟏∠∅𝟏 
𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒋𝒚𝟐 = 𝒁𝟐∠∅𝟐 
Mostra-se os procedimentos para as operações matemáticas básicas. 
 
• Adição: 
 
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝒋(𝒚𝟏 + 𝒚𝟐) (1.8) 
 
• Subtração: 
 
𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = (𝒙𝟏 − 𝒙𝟐) + 𝒋(𝒚𝟏 − 𝒚𝟐) (1.9) 
 
• Multiplicação: 
 
𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒁𝟏𝒁𝟐∠(∅𝟏 + ∅𝟐) (1.10) 
 
• Divisão: 
 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝒁𝟏
𝒁𝟐
∠(∅𝟏 − ∅𝟐) (1.11) 
 
A fórmula de Euler é a base para representação do fasor, representada de forma 
geral na equação 1.12 
 
𝒆±𝒋∅ = 𝒄𝒐𝒔 ∅ ± 𝒋𝒔𝒆𝒏 ∅ (1.12) 
 
Usando este raciocínio, pode-se escrever que: 
 
𝒄𝒐𝒔 ∅ = 𝑹𝒆(𝒆𝒋∅) (1.13) 
𝒔𝒆𝒏 ∅ = 𝑰𝒎(𝒆𝒋∅) (1.14) 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
8 
 
Baseado nisto, considerando a senoide v(t) = VP cos (ωt + θ0) [V], usa-se a equação 
1.13 para expressar v(t): 
 
𝒗(𝒕) = 𝑽𝑷𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝜽𝟎) = 𝑹𝒆(𝑽𝑷𝒆𝒋(𝝎𝒕+𝜽𝟎)) (1.15) 
 
Adotando 𝑉 = 𝑉𝑃𝑒𝑗𝜃0 = 𝑉𝑃∠𝜃0 tem-se: 
 
𝒗(𝒕) = 𝑹𝒆(𝑽𝒆𝒋𝝎𝒕) (1.16) 
 
Onde V é a representação fasorial da senoide v(t). 
 
Conclui-se que: 
 
𝒗(𝒕) = 𝑽𝑷 𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕 + 𝜽𝟎) [𝑽] ⟺ 𝑽 = 𝑽𝑷∠𝜽𝟎 [𝑽] (1.17) 
 
Onde v(t) é a representação no domínio do tempo e V é a representação no domínio 
dos fasores, também conhecido como domínio da frequência. Tanto a equação 1.13 como 
a equação 1.14 podem ser usadas para descrever o fasor, mas convencionalmente se 
utiliza a equação 1.13 (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
Utilizando a equação 1.17 adota-se que para obter a representação fasorial de uma 
senoide, a expressamos na forma de cosseno e extraímos a magnitude e a fase. Caso o 
sinal a ser analisado esteja na forma de seno utiliza-se a seguinte transformação 
senoide-fasor, conforme mostra a tabela 1.1, 
 
Tabela 1.1 Transformação senoide-fasor. 
REPRESENTAÇÃO NO 
DOMÍNIO DO TEMPO 
REPRESENTAÇÃO NO 
DOMÍNIO DOS FASORES 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑃𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜃0) 𝑉 = 𝑉𝑃∠(𝜃0 − 90°) 
 
Comparando v(t) e V tem-se as seguintes observações: 
 
• v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, enquanto V é a 
representação em termos de frequência ou no domínio dos fasores. 
• v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é. 
• v(t) é sempre real sem nenhum termo complexo, enquanto V é complexo. 
 
As informações mostradas também são aplicadas para a corrente elétrica. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
9 
 
Na análise de fasores duas observações devem ser destacadas: 
 
• Aplica-se apenas quando a frequência é constante; 
• Aplica-se na manipulação de dois ou mais sinais senoidais apenas se eles 
tiverem a mesma frequência. 
 
1.2 ELEMENTOS PASSIVOS NO DOMÍNIO DOS FASORES 
Na sequência dos estudos, deve-se aplicar o conceito de fasores para os 
elementos passivos resistor (R), indutor (L) e capacitor (C). A ideia é transformar a relação 
tensão-corrente do domínio do tempo para o domínio da frequência dos elementos 
citados. 
Iniciando pelo resistor R, considere passando por ele uma corrente no domínio do 
tempo: 
 
𝒊(𝒕) = 𝑰𝑷𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎)[𝑨] (1.18) 
 
Onde IP é a corrente de pico, em ampères, que na forma fasorial é representada por: 
 
𝑰 = 𝑰𝑷∠𝜽𝟎 [𝑨] (1.19) 
 
Aplicando a lei de Ohm, obtém-se a tensão sobre ele: 
 
𝒗 = 𝒊𝑹 = 𝑹𝑰𝑷𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎) (1.20) 
 
Onde R é o valor da resistência, em ohms, que na forma fasorial é: 
 
𝑽 = 𝑹𝑰𝑷∠𝜽𝟎 [𝑽] (1.21) 
 
Portanto, ao utilizar a equação 1.19 na equação 1.21 percebe-se que a relação 
tensão-corrente para o resistor no domínio dos fasores continua a ser a lei de Ohm 
(CRUZ, 2014), conforme a seguir: 
 
𝑽 = 𝑹𝑰 [𝑽] (1.22) 
 
Conclui-se que a tensão e a corrente que atravessam o resistor estão em fase, com 
seus valores de pico relacionados pela lei de Ohm. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
10 
 
 Considere agora o dispositivo indutor L e que por ele passa a corrente descrita na 
equação 1.18. A tensão no indutor é: 
 
𝒗 = 𝑳
𝒅𝒊
𝒅𝒕
 [𝑽] = −𝝎𝑳𝑰𝑷𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎)[𝑽] (1.23) 
 
Onde L é a indutância, em henry. 
 
Como, por convenção, deve-se utilizar na forma de cosseno, aplica-se a seguinte 
relação trigonométrica: 
 
−𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝒄𝒐𝒔(𝑨 + 𝟗𝟎°) (1.24) 
 
Obtendo-se: 
 
𝒗 = 𝝎𝑳𝑰𝑷𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎 + 𝟗𝟎°)[𝑽] (1.25) 
 
A qual é transformada no fasor: 
 
𝑽 = 𝝎𝑳𝑰𝑷𝒆𝒋(𝜽𝟎+𝟗𝟎°) ⟹ 
𝑽 = 𝝎𝑳𝑰𝑷𝒆𝒋𝜽𝟎𝒆𝒋𝟗𝟎° ⟹ 
𝑽 = 𝝎𝑳𝑰𝑷∠(𝜽𝟎 + 𝟗𝟎°) [𝑽] (1.26) 
 
Indicando que a magnitude é igual a 𝜔𝐿𝐼𝑃e a fase é 𝜃0 + 90°. 
 Utilizando a equação 1.19 e baseando-se na equação 1.12: 
 
𝒆𝒋𝟗𝟎° = 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° + 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎° = 𝒋 
 
O fasor pode ser escrito da seguinte maneira: 
 
𝑽 = 𝒋𝝎𝑳𝑰 [𝑽] (1.27) 
 
A equação 1.27 mostra a relação entre os fasores de tensão e de corrente no 
indutor, informando que há uma defasagem de 90° entre essas grandezas e sendo mais 
específico, a corrente está atrasada em 90° em relação a tensão. Neste momento, a 
análise vai ser no capacitor C, considerando sobre ele uma tensão: 
 
𝒗(𝒕) = 𝑽𝑷𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎)[𝑽] (1.28) 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
11 
 
 A corrente elétrica que atravessa o capacitor é descrita pela seguinte equação: 
 
𝒊 = 𝑪
𝒅𝒗
𝒅𝒕
 [𝑨] (1.29) 
Onde C é a capacitância, em farad e resulta em: 
 
𝒊 = −𝝎𝑪𝑽𝑷𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎)[𝑨] (1.30) 
 
Aplicando a equação 1.24: 
 
𝒊 = 𝝎𝑪𝑽𝑷𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜽𝟎 + 𝟗𝟎°)[𝑨] (1.31) 
 
A qual é transformada no fasor: 
 
𝑰 = 𝝎𝑪𝑽𝑷𝒆𝒋(𝜽𝟎+𝟗𝟎°) ⟹ 
𝑰 = 𝝎𝑪𝑽𝑷𝒆𝒋𝜽𝟎𝒆𝒋𝟗𝟎° ⟹ 
𝑰 = 𝝎𝑪𝑽𝑷∠(𝜽𝟎 + 𝟗𝟎°) [𝑽] (1.32) 
 
Indicando que a magnitude é igual a 𝜔𝐶𝑉𝑃e a fase é 𝜃0 + 90°. 
 
 Adotando que 𝑉 = 𝑉𝑃∠𝜃0 tem-se e baseando-se na equação 1.12: 
 
𝒆𝒋𝟗𝟎° = 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° + 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎° = 𝒋 
 
O fasor pode ser escrito da seguinte maneira: 
𝑰 = 𝒋𝝎𝑪𝑽 [𝑨] (1.33) 
ou 
𝑽 =
𝑰
𝒋𝝎𝑪
 [𝑽] (1.34) 
 
A equação 1.33 descreve a relação entre os fasores de tensão e de corrente no 
capacitor, informando que há uma defasagem de 90° entre essas grandezas e sendo 
mais específico, a corrente está adiantada em 90° em relação a tensão. 
A tabela 1.2 mostra as representações dos elementos descritos acima nos domínios 
do tempo e dos fasores (da frequência). 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
12 
 
Tabela 1.2 Relações tensão-corrente 
ELEMENTO 
DOMÍNIO DO 
TEMPO 
DOMÍNIO DA 
FREQUÊNCIA 
RELAÇÃO DE FASE 
ENTRE A CORRENTE E 
A TENSÃO 
R 𝑣 = 𝑅𝑖 𝑉 = 𝑅𝐼 I eV estão em fase 
L 
𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
𝑉 = 𝑗𝜔𝐿𝐼 
I está atrasada em 90° 
em relação aV 
C 
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑉 =
𝐼
𝑗𝜔𝐶
 
I está adiantada em 90° 
em relação aV 
 
1.3 IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA 
 Utilizando as equaçõesdo resistor, indutor e capacitor no domínio da frequência, 
conforme a tabela 1.2, e ao escrevê-las em termos da razão entre a tensão fasorial e a corrente 
fasorial, tem-se 
 
𝑽
𝑰
= 𝑹, 
𝑽
𝑰
= 𝒋𝝎𝑳, 
𝑽
𝑰
=
𝟏
𝒋𝝎𝑪
 (1.35) 
 
 Esta razão entre a tensão V e a corrente I é denominada impedância, identificada 
pela letra Z, medida em ohms (Ω). 
 
𝒁 =
𝑽
𝑰
 [𝜴] (1.36) 
 
Uma observação a ser destacada sobre a impedância é que apesar de ser a razão 
entre dois fasores, ela não é um fasor, porque não corresponde a uma quantidade que 
varia como uma senoide. 
As equações 1.35, baseando-se na lei de Ohm, descrevem a oposição à corrente 
senoidal ocasionado pelo resistor, indutor e capacitor, respectivamente (ALEXANDER; 
SADIKU, 2013). Com isso, pode-se escrever a impedância de cada elemento. 
 
Para o resistor: 
 
𝒁𝑹 = 𝑹 [𝜴] (1.37) 
 
Para o indutor: 
 
𝒁𝑳 = 𝒋𝝎𝑳 [𝜴] (1.38) 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
13 
 
Para o capacitor: 
 
𝒁𝑪 =
𝟏
𝒋𝝎𝑪
= −
𝒋
𝝎𝑪
 [𝜴] (1.39) 
 
A impedância é um número complexo. Portanto, pode ser representada na forma 
retangular da seguinte maneira: 
 
𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 (1.40) 
𝒁 = 𝑹 − 𝒋𝑿𝑪 (1.41) 
 
Onde R é a parte real (Re) de Z, relacionado à resistência do resistor e XL e XC 
representam a parte imaginária (Im) de Z, relacionadas às reatâncias do indutor e do 
capacitor, respectivamente. Reatância é a medida da oposição que um indutor e um 
capacitor oferecem à variação da corrente, medida em ohms (Ω). 
 Sabendo-se que ω = 2πf, o módulo da reatância indutiva XL é calculado por: 
 
𝑿𝑳 = 𝝎𝑳 𝒐𝒖 𝑿𝑳 = 𝟐𝝅𝒇𝑳 (1.42) 
 
Onde f é a frequência, em hertz. 
 
 O módulo da reatância capacitiva XC é calculado por: 
 
𝑿𝑪 =
𝟏
𝝎𝑪
 𝒐𝒖 𝑿𝑪 =
𝟏
𝟐𝝅𝒇𝑪
 (1.43) 
 
A equação 1.40 é denominada de impedância indutiva e a equação 1.41 é 
denominada de impedância capacitiva. 
 A impedância na forma polar é expressa por: 
 
𝒁 = |𝒁|∠𝜽 [𝜴] (1.44) 
 
 
Portanto, os elementos passivos, na forma polar, são expressos como a seguir: 
 
𝒁𝑹 = 𝑹∠𝟎° [𝜴] (1.45) 
𝒁𝑳 = 𝑿𝑳∠𝟗𝟎° [𝜴] (1.46) 
𝒁𝑪 = 𝑿𝑪∠ − 𝟗𝟎° [𝜴] (1.47) 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
14 
 
As fases mostradas nas equações 1.45 a 1.47 são adotadas, baseadas na lei de Ohm, 
para que a relações entre tensão-corrente mostradas na tabela 1.2 sejam satisfeitas. 
Outra grandeza muito útil para análise de circuitos em correntes senoidais é a 
admitância, representada pela letra Y e é definida como o inverso da impedância, medida 
em Siemens (S) ou mhos. A admitância é uma medida do quanto um circuito CA admite, 
ou permite, a passagem da corrente (BOYLESTAD, 2012). A admitância de um elemento 
é a razão entre a corrente fasorial e a tensão fasorial nesse elemento: 
 
𝒀 =
𝟏
𝒁
=
𝑰
𝑽
 (1.48) 
Com isso, pode-se escrever a admitância de cada elemento. 
 
Para o resistor: 
𝒀 =
𝟏
𝑹
 [𝑺] (1.49) 
 Para o indutor: 
𝒀 =
𝟏
𝒋𝝎𝑳
 [𝑺] (1.50) 
 Para o capacitor: 
𝒀 = 𝒋𝝎𝑪 [𝑺] (1.51) 
 
A admitância é um número complexo, portanto pode ser representada na forma 
retangular da seguinte maneira: 
𝒀 = 𝑮 + 𝒋𝑩 (1.52) 
Onde G é a parte real de Y, chamada de condutância e B é a parte imaginária de Y, 
denominada de susceptância. A condutância e a susceptância são expressas na unidade 
Siemens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
15 
 
1.4 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM SÉRIE E EM PARALELO 
 Neste momento, aplica-se os conceitos para análise de circuitos em série, em 
paralelo e em série-paralelo, formados por resistores, indutores e capacitores. A 
proposta é interpretar o seu comportamento e calcular as grandezas elétricas (ROBBINS, 
2010). 
 
1.4.1 CIRCUITOS EM SÉRIE 
Os fundamentos para análise de circuitos em série em sinais senoidais são 
semelhantes aos aplicáveis em circuitos em corrente contínua. Por exemplo, aplica-se a 
lei de Ohm e a regra do divisor de tensão. 
 
No circuito em série pode-se também: 
 
• Aplicar a lei de Kirchhoff para tensões (LKT); 
• Calcular a impedância equivalente; 
• Obter o valor da corrente. 
 
Exemplo 1.1. Considere o circuito a seguir e calcule a impedância equivalente ZT, a 
corrente I e as tensões sobre o resistor VR e do indutor VL. Represente os resultados na 
forma complexa. 
 Neste circuito a corrente está atrasada em relação a tensão, só que de um ângulo 
menor de 90°, porque enquanto a indutância tende a defasá-la em 90°, a resistência 
tende a colocá-la em fase com a tensão. 
 
Figura 1.3 Circuito série indutivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
16 
 
Resolução: 
• Impedância equivalente: soma-se a impedância do resistor e do indutor: 
 
𝑍𝑇 = 6 + 𝑗2 𝛺 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 
𝑍 = √62 + 22 = 6,32, 𝜃 = 𝑡𝑔−1
4
6
= 18,43° 
𝑍𝑇 = 6,32∠18,43° 𝛺 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟) 
• Corrente: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝐼 =
𝑉
𝑍𝑇
=
127∠0°
6,32∠18,43°
⟹ 
𝐼 ≅ 20∠ − 18,43° 𝐴 
• Confirmando o atraso da corrente em relação a tensão. 
• Tensão no resistor: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝑉𝑅 = 𝑅𝐼 = 6∠0°. 20∠ − 18,43° ⟹ 
𝑉𝑅 = 120∠ − 18,43° 𝑉 
𝑥 = 120𝑐𝑜𝑠 − 18,43°, 𝑦 = 120𝑠𝑒𝑛 − 18,43° 
𝑉𝑅 = 113,84 − 𝑗37,94 𝑉 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 
 
Este resultado mostra que VR está em fase com a corrente I. 
 
• Tensão no indutor: utiliza-se a lei de Ohm, mas como é um circuito em série 
pode-se aplicar também a regra do divisor de tensão, portanto: 
 
𝑉𝐿 =
𝑉. 𝑍𝐿
𝑍𝑇
=
127∠0°. 2∠90°
6,32∠18,43°
⟹ 
𝑉𝐿 ≅ 40,19∠71,57° 𝑉 
𝑥 = 40,19𝑐𝑜𝑠71,57°, 𝑦 = 40,19𝑠𝑒𝑛71,57° 
𝑉𝐿 = 12,71 + 𝑗38,13 𝑉 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 
 
• Como acréscimo do estudo, comprova-se a LKT: 
Aplicando-se um arredondamento em VR e VL. 
 
−𝑉 + 𝑉𝑅+𝑉𝐿 = 0 
−127 + (114 − 𝑗38) + (13 + 𝑗38) = 0 
0 = 0 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
17 
 
Exemplo 1.2. Considere o circuito a seguir e calcule a impedância equivalente ZT, a 
corrente i(t) e as tensões sobre o resistor VR e do indutor VC. Represente a tensão da 
fonte, a corrente do circuito e as tensões dos elementos no diagrama fasorial. 
 Neste circuito, a corrente está adiantada em relação à tensão, só que de um 
ângulo menor de 90°, porque enquanto a capacitância tende a defasá-la em 90°, a 
resistência tende a colocá-la em fase com a tensão. 
 
Figura 1.4 Circuito série capacitivo 
 
 
Resolução: 
 
• Impedância equivalente: soma-se a impedância do resistor e do capacitor. 
Necessita-se calcular o valor da reatância capacitiva (equação 1.43), 
 
𝑋𝐶 =
1
4.100𝑚
⟹ 
𝑋𝐶 = 𝑍𝐶 = 2,5 𝛺 
𝑍𝑇 = 5 − 𝑗2,5 𝛺 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) 
𝑍 = √52 + 2,52 = 5,6, 𝜃 = 𝑡𝑔−1
−2,5
5
= −26,56° 
𝑍𝑇 = 5,6∠ − 26,56° 𝛺 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟) 
 
• Corrente: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝐼 =
𝑉
𝑍𝑇
=
12∠0°
5,6∠ − 26,56°
⟹ 
𝐼 = 2,14∠26,56° 𝐴 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
18 
 
Para obter a resposta solicitada, transforma-se a corrente no domínio da 
frequência para o domínio do tempo: 
 
𝑖(𝑡) = 2,14 𝑐𝑜𝑠(4𝑡 + 26,56°) 𝐴 
 
Confirmando o adiantamento da corrente em relação a tensão.• Tensão no resistor: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝑉𝑅 = 𝑅𝐼 = 5∠0°. 2,14∠26,56° ⟹ 
𝑉𝑅 = 10,7∠26,56° 𝑉 
 
 Este resultado mostra que VR está em fase com a corrente I. 
 
• Tensão no capacitor: aplica-se a lei de Ohm: 
 
𝑉𝐶 = 𝑍𝐶𝐼 = 2,5∠ − 90°. 2,14∠26,56° ⟹ 
𝑉𝐶 = 5,35∠ − 63,44° 𝑉 
• Diagrama fasorial: 
 
Figura 1.5 Diagrama fasorial das tensões e corrente do exemplo 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2 CIRCUITOS EM PARALELO 
Os fundamentos para análise de circuitos em paralelo em sinais senoidais são 
semelhantes aos aplicáveis em circuitos em corrente contínua. Por exemplo, aplica-se a 
lei de Ohm e a regra do divisor de corrente. No circuito em paralelo, pode-se também: 
 
 
V 
I 
VR 
26,56° 
ω = 4 rad/s 
VC 
-63,44° 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
19 
 
• Aplicar a lei de Kirchhoff para correntes (LKC); 
• Calcular a impedância equivalente; 
• Obter o valor da corrente total e das correntes dos elementos em paralelo. 
 
Exemplo 1.3. Considere o circuito a seguir e calcule a impedância equivalente ZT, a 
corrente I e as correntes sobre o resistor IR e do capacitor IC. Represente os resultados 
na forma complexa. Adote R = 100 Ω e XC = 150 Ω. 
 
Figura 1.6 Circuito paralelo capacitivo 
 
Resolução: 
 
• Impedância equivalente: aplica-se a razão do produto pela soma dos valores 
ôhmicos do resistor e do capacitor. 
 
𝑍𝑇 =
𝑍𝑅.𝑍𝐶
𝑍𝑅+𝑍𝐶
 (1.53) 
𝑍𝑇 =
100∠0°. 150∠ − 90°
100 − 𝑗150
=
100∠0°. 150∠ − 90°
180,28∠ − 56,30°
⟹ 
𝑍𝑇 = 83,20∠ − 33,7° 𝛺 
 
• Corrente total: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝐼 =
𝑉
𝑍𝑇
=
110∠30°
83,20∠ − 33,7°
⟹ 
𝐼 = 1,32∠63,7° 𝐴 
 
• Corrente no resistor: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝐼𝑅 =
𝑉
𝑍𝑅
=
110∠30°
100∠0°
⟹ 
𝐼𝑅 = 1,1∠30° 𝐴 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
20 
 
 
• Corrente no capacitor: utiliza-se a lei de Ohm, mas como é um circuito em série 
pode-se aplicar também a regra do divisor de corrente, portanto: 
 
𝐼𝐶 =
𝐼. 𝑍𝑇
𝑍𝐶
=
1,32∠63,7°. 83,2∠ − 33,7°
150∠ − 90°
⟹ 
𝐼𝐶 = 0,73∠120° 𝐴 
• Como acréscimo do estudo, comprova-se a LKC: 
 
𝐼 = 𝐼𝑅+𝐼𝐶 
1,32∠63,7° = (0,95 + 𝑗0,55) + (−0,37 + 𝑗0,63) 
1,32∠63,7° = 0,58 + 𝑗1,18 
1,32∠63,7° = 1,32∠63,7° 
 
1.5 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO 
 A análise de circuitos a ser feita envolve os conhecimentos de associações em 
série e em paralelo no mesmo circuito. O ponto de atenção é saber identificar as 
associações, entender a sequência de resolução e consequentemente aplicar os 
modelos matemáticos corretos. Nesse sentido, um procedimento a ser aplicado é 
redesenhar o circuito utilizando impedâncias em bloco para combinar elementos que 
estejam obviamente em série ou em paralelo, tornando mais fácil a interpretação de suas 
associações. 
Exemplo 1.4. Considere o circuito a seguir e calcule a impedância total Z, a corrente 
I, as tensões VR, VL e VC, as correntes no indutor IL e no capacitor IC. Represente os 
resultados na forma complexa. Adote: R = 12 Ω; XL = j10 Ω; XC = – j5 Ω. 
 
Figura 1.7. Circuito série-paralelo 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
21 
 
 
 
Resolução: 
 
• Redesenhando o circuito: o resistor é identificado por Z1 e o indutor e o capacitor 
estão associados em paralelo, sendo sua impedância identificada por Z2. Esta 
técnica torna a identificação das associações mais simples, pois visualiza-se 
que o processo final para obter Z é calcular a associação em série. 
 
Figura 1.8. Associação de impedâncias 
 
 
• Impedância total: calcula-se a impedância de Z2: 
 
𝑍2 = 𝑍𝐿||𝑍𝐶 
𝑍2 =
10∠90°. 5∠ − 90°
𝑗10 − 𝑗5
=
50∠0°
𝑗5
=
50∠0°
5∠90°
⟹ 
𝑍2 = 10∠ − 90° 𝛺 
Então, soma-se Z1 e Z2: 
 
𝑍 = 𝑍1 + 𝑍2 ⟹ 𝑍 = 12 − 𝑗10 𝛺 ⟹ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
22 
 
𝑍 = 15,62∠ − 39,81° 𝛺 
• Corrente total: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝐼 =
𝑉
𝑍
=
127∠0°
15,62∠ − 39,81°
⟹ 
𝐼 = 8,13∠39,81° 𝐴 
• Tensão no resistor, indutor e capacitor: utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝑉𝑅 = 𝑍1𝐼 = 12∠0°. 8,13∠39,81° ⟹ 
𝑉𝑅 = 97,56∠ − 18,43° 𝑉 
𝑉𝐿 = 𝑉𝐶 = 𝑍2𝐼 = 10∠ − 90°. 8,13∠39,81° ⟹ 
𝑉𝐿 = 𝑉𝐶 = 81,3∠ − 50,19° 
 
• Nas correntes IL e IC, utiliza-se a lei de Ohm: 
 
𝐼𝐿 =
𝑉𝐿
𝑍𝐿
=
81,3∠ − 50,19°
10∠90°
⟹ 
𝐼𝐿 = 8,13∠ − 140,19° 𝐴 
𝐼𝐶 =
𝑉𝐶
𝑍𝐶
=
81,3∠ − 50,19°
5∠ − 90°
⟹ 
𝐼𝐶 = 16,26∠39,81° 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
23 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE II 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
24 
 
INTRODUÇÃO 
Na análise de circuitos que envolvem duas ou mais fontes, os procedimentos 
aplicados em circuitos em série ou em paralelo não são suficientes para desenvolvê-los 
e calcular as grandezas elétricas. Para obter os resultados, emprega-se os métodos de 
análise de malhas e análise de nós. Para completar os ensinamentos de análise de 
circuitos em CA, estuda-se também os teoremas da superposição, Thévenin e Norton. 
Os métodos e teoremas possuem sequências a serem seguidas para calcular as 
correntes e as tensões nos circuitos. 
 
2.1 MÉTODO DAS MALHAS 
Este método tem como base a lei de Kirchhoff para tensão e segue os seguintes 
procedimentos: 
 
I. Por sugestão, em cada malha, insira uma corrente no sentido horário; 
II. Em cada malha, polarize cada impedância; 
III. Aplique a LKT, no sentido horário: 
 
a. Quando por uma impedância atravessar duas ou mais correntes, a corrente 
equivalente é a soma da corrente da malha com as correntes da outra malha, 
se estiverem no mesmo sentido, e menos as correntes que a atravessam no 
sentido oposto; 
b. A fonte de tensão mantém a sua polaridade na malha, independente do 
sentido da corrente de malha. 
 
I. Resolva o sistema de equações lineares resultantes, obtendo as correntes 
de malha. 
 
Exemplo 2.1. Determine I2, no circuito a seguir. Adote: 
V1 = 8∠0° 𝑉𝑟𝑚𝑠; 
V2 = 14∠0° 𝑉𝑟𝑚𝑠; 
ZR = 8 Ω; 
ZL = j6 Ω; 
ZC = – j4 Ω. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
25 
 
Figura 2.1 Circuito RLC com duas fontes 
 
Resolução: 
• Desenvolvendo a Malha I: 
 
−𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉𝑅 = 0 ⟹ 
−𝑉1 + 𝐼1𝑍𝐿 + (𝐼1 + 𝐼2)𝑍𝑅 = 0 ⟹ 
−𝑉1 + 𝐼1𝑍𝐿 + 𝐼1𝑍𝑅 − 𝐼2𝑍𝑅 = 0 ⟹ 
(𝑍𝐿 + 𝑍𝑅)𝐼1 − 𝑍𝑅𝐼2 = 𝑉1, 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 01 
 
• Desenvolvendo a Malha II: 
 
𝑉2 + 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 = 0 ⟹ 
𝑉2 + (𝐼2 − 𝐼1)𝑍𝑅 + 𝐼2𝑍𝐶 = 0 ⟹ 
−𝑍𝑅𝐼1 + (𝑍𝑅 + 𝑍𝐶)𝐼2 = −𝑉2, 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 02 
 
• Montando o Sistema de equações, tem-se: 
 
{(𝑍𝑅 + 𝑍𝐿)𝐼1 − 𝑍𝑅𝐼2 = 𝑉1 −𝑍𝑅𝐼1 + (𝑍𝑅 + 𝑍𝐶)𝐼2 = −𝑉2 
 
• Aplicando determinante para obter o valor de I2: 
 
𝐼2 =
|(𝑍𝑅 + 𝑍𝐿) 𝑉1 −𝑍𝑅 − 𝑉2 |
|(𝑍𝑅 + 𝑍𝐿) −𝑍𝑅 −𝑍𝑅 (𝑍𝑅 + 𝑍𝐶) |
⟹ 
𝐼2 =
−𝑉2(𝑍𝑅 + 𝑍𝐿) + 𝑉1𝑍𝑅
(𝑍𝑅 + 𝑍𝐿)(𝑍𝑅 + 𝑍𝐶) − (𝑍𝑅)2
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
26 
 
• Substituindo os valores: 
 
𝐼2 =
−14(8 + 𝑗6) + 8.8
(8 + 𝑗6)(8 − 𝑗4) − (8)2
⟹ 
𝐼2 =
−48 − 𝑗84
24 + 𝑗16
⟹ 
𝐼2 =
96,75∠ − 119,74°
28,84∠33,7°
⟹ 
𝐼2 = 3,35∠ − 153,44° 𝐴 
 
2.2 MÉTODO DOS NÓS 
Este método tem como base a lei de Kirchhoff para a corrente e segue os seguintes 
procedimentos: 
 
I. Visualize os nós no circuito; 
II. Determine um nó de referência e identifique os outros nós como: V1, V2 e 
quantos nós existirem; 
III. Aplique a LKC em cada nó, exceto no nó de referência: 
a. Considere as correntes desconhecidas saindo deste nó. 
I. Calcule as equações e obtenha as tensões. 
 
Exemplo 2.2. Determine V1, no circuito a seguir. Adote a frequência igual a 60 Hz. 
Figura 2.2 Aplicação da análise nodal 
 
 
 
Resolução: 
 
• Redesenhando o circuito: o resistor de 47 Ω em série com o indutor são 
denominados de ZL, o capacitor identifica-se como ZC e o resistor de 56 Ω por ZR. 
Esta técnica torna a identificação das associações mais simples. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
27 
 
 
 
 
 
Figura 2.3. Aplicação da análise nodal 
 
• Calculando as impedâncias: 
 
𝑋𝐿 = 2𝜋. 60.60𝑚 = 22,62 𝛺 
𝑋𝐶 =
1
2𝜋. 60.100𝜇
= 26,53 𝛺 
• Identificando a LKC: 
𝐼1 + 𝐼 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 
• Analisando as características de cada corrente, obtêm-se as seguintes 
equações: 
 
𝐼1 =
𝑉1 − 𝑉𝑆𝑍𝐿
 
𝐼2 =
𝑉1
𝑍𝐶
 
𝐼3 =
𝑉1
𝑍𝑅
 
Portanto: 
𝑉1 − 𝑉𝑆
𝑍𝐿
+ 𝐼 +
𝑉1
𝑍𝐶
+
𝑉1
𝑍𝑅
= 0 
 
• Na sequência, desenvolve-se a equação para obter V1: 
 
(
1
𝑍𝐿
+
1
𝑍𝐶
+
1
𝑍𝑅
) 𝑉1 =
𝑉𝑆
𝑍𝐿
− 𝐼 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
28 
 
𝑉1 =
𝑉𝑆
𝑍𝐿
− 𝐼
(
1
𝑍𝐿
+
1
𝑍𝐶
+
1
𝑍𝑅
)
 
 
• Substituindo os valores fornecidos no esquema elétrico: 
𝑉1 =
127∠ − 15°
47 + 𝑗22,62 − (4∠30°)
(
1
47 + 𝑗22,62 +
1
−𝑗26,53
+
1
56
)
 
 
Aplicando as transformações entre as formas do número complexo no numerador, 
tem-se: 
𝑉1 =
127∠ − 15°
52,16∠25,7°
− (4∠30°)
(
1
47 + 𝑗22,62 +
1
−𝑗26,53
+
1
56
)
 
𝑉1 =
(2,43∠ − 40,7°) − (4∠30°)
(
1
47 + 𝑗22,62 +
1
−𝑗26,53
+
1
56
)
 
𝑉1 =
1,84 − 𝑗1,58 − 3,46 − 𝑗2
(
1
47 + 𝑗22,62 +
1
−𝑗26,53
+
1
56
)
 
Desenvolvendo a técnica de divisão de números complexos no denominador: 
 
𝑉1 =
−1,62 − 𝑗3,6
(0,017 − 𝑗0,008 + 𝑗
1
26,53
+
1
56
)
 
𝑉1 =
−1,62 − 𝑗3,6
0,035 + 𝑗0,03
 
𝑉1 =
3,95∠ − 114,23°
0,046∠40,6°
 
𝑉1 = 85,87∠ − 154,83° 𝑉 
 
2.3 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 Este teorema é aplicado em circuitos que tenham duas ou mais fontes, que não 
estejam associados em série e em paralelo. A corrente, ou tensão em qualquer elemento 
do circuito é determinado pela soma algébrica das correntes ou tensões analisadas por 
cada fonte independentemente (BOYLESTAD, 2012). A vantagem deste teorema é que se 
elimina a resolução por um sistema de equações lineares, pois considera-se 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
29 
 
separadamente o funcionamento de cada uma das fontes. Este teorema é desenvolvido 
conforme os seguintes procedimentos: 
 
 
 
I. O número de fontes indica a quantidade de circuitos a serem analisados; 
II. Somente uma fonte deve estar ligada, portanto deve-se proceder 
corretamente para desligar as outras fontes: 
 
a. uma fonte de tensão é substituída por um curto-circuito (zero ohm); 
b. uma fonte de corrente é substituída por um circuito aberto (infinitos ohms). 
 
I. Cada fonte contribui para calcular uma corrente específica do circuito: 
a. as correntes que possuem o mesmo sentido são somadas; 
b. as correntes de sentidos contrários são subtraídas; 
c. o resultado total é o sentido da soma maior e o valor absoluto da diferença. 
II. Cada fonte contribui para calcular uma tensão específica do circuito: 
a. as tensões com a mesma polaridade são somadas; 
b. as tensões de polaridades contrárias são subtraídas; 
c. o resultado total é o sentido da soma maior e o valor absoluto da diferença. 
Exemplo 2.3. Determine I, no circuito a seguir. Adote a frequência igual a 60 Hz. 
 
Figura 2.4. Aplicação do teorema da superposição 
 
 
Resolução: 
 
• Identifica-se o indutor de 22 mH como ZL, o resistor de 6,8 Ω como ZR e o 
capacitor de 680 μF como ZC. 
• Calculando as impedâncias, tem-se: 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
30 
 
𝑋𝐿 = 2𝜋. 60.22𝑚 = 8,3 𝛺 
𝑋𝐶 =
1
2𝜋. 60.680𝜇
= 3,9 𝛺 
 
• Analisando somente o funcionamento da fonte de tensão, deve-se desligar a 
fonte de corrente, identificar a corrente a ser calculada por I’ e confirmar o seu 
sentido: 
 
Figura 2.5. Analisando o efeito da fonte de tensão 
 
 
 O circuito torna-se em série e calcula-se a impedância total Z: 
 
𝑍 = 6,8 + 𝑗(8,3 − 3,9) 
𝑍 = 6,8 + 𝑗4,4 𝛺 
𝑍 = 8,1∠32,9° 𝛺 
 
• Determinando o valor de I’: 
 
𝐼′ =
40∠30°
8,1∠32,9°
⟹ 𝐼′ = 4,94∠ − 2,9° 𝐴 
 
• Analisando somente o funcionamento da fonte de corrente, deve-se religar a 
fonte de corrente e desligar a fonte de tensão, identificando a corrente a ser 
calculada por I’’ e confirmar o seu sentido: 
 
Figura 2.6. Analisando o efeito da fonte de corrente 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
31 
 
 O circuito torna-se paralelo e aplica-se a regra do divisor de correntes para obter 
I’’. Considerando: 
𝑍𝐿 = 𝑗8,3 𝛺 
𝑍1 = 6,8 − 𝑗3,9 𝛺 
Obtém-se o valor da impedância total Z: 
 
𝑍 =
𝑍𝐿 . 𝑍1
𝑍𝐿 + 𝑍1
=
8,3∠90°. 7,84∠ − 29,84°
8,1∠32,9°
 
𝑍 = 8,03∠27,26° 𝛺 
Com isso, tem-se: 
 
𝐼′′ =
𝐼. 𝑍
𝑍1
=
3∠0°. 8,03∠27,26°
7,84∠ − 29,84°
⟹ 𝐼′′ = 3,07∠57,1° 𝐴 
 
• Calculado as duas correntes, verificado que as duas estão no mesmo sentido, a 
corrente I é: 
𝐼 = 𝐼′ + 𝐼′′ 
𝐼 = (4,93 − 𝐽0,25) + (1,67 + 𝐽2,58) ⟹ 
𝐼 = 6,6 + 𝐽2,33 𝐴 
𝐼 = 7∠19,45° 𝐴 
 
2.4 TEOREMA DE THÉVENIN 
 O teorema de Thévenin afirma que um circuito CA linear de dois terminais é 
substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de tensão Vth em série 
com uma impedância Zth. Duas vantagens deste teorema a serem destacadas é que ao 
ser aplicado reduz o número de elementos necessários para estabelecer as mesmas 
características nos terminais de saída e é possível analisar o efeito da mudança de um 
componente específico sobre o comportamento de um circuito sem precisar analisar o 
circuito inteiro após cada mudança. Este teorema é desenvolvido conforme os seguintes 
procedimentos: 
 
I. Remova a parte do circuito que está fora da aplicação do teorema; 
II. Destaque os dois terminais em aberto do circuito a ser analisado; 
III. Deve-se desligar todas as fontes, conforme visto no teorema da superposição, para 
obter o Zth: 
a. Considere Zth como a impedância total do circuito a ser analisado. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
32 
 
IV. Calcula-se Eth religando as fontes e obtendo a tensão nos terminais do circuito aberto; 
V. Para finalizar, desenhe o circuito equivalente de Thévenin, conectando novamente a 
parte removida descrita no item I, colocando entre os terminais do circuito equivalente de 
Thévenin. 
Exemplo 2.4. Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte delineada 
antes dos pontos a e b. 
 
Figura 2.7. Aplicação do teorema de Thévenin 
 
 
Resolução: 
• Remove-se o capacitor: 
 
Figura 2.8. Circuito a ser aplicado o teorema 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para calcular Zth, desliga-se a fonte de tensão e essa impedância é calculada entre os 
terminais a e b: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
33 
 
Figura 2.9. Circuito para calcular Zth. 
 
 
 
O resistor e o indutor estão em paralelo, portanto: 
𝑍𝑡ℎ =
𝑍𝑅 . 𝑍𝐿
𝑍𝑅 + 𝑍𝐿
=
6∠0°. 8∠90°
6 + 𝐽8
=
6∠0°. 8∠90°
10∠53,13°
 
𝑍𝑡ℎ = 4,8∠36,87° 𝛺 
 
• Para calcular Vth, religa-se a fonte de tensão e baseado nos terminais a e b a 
tensão a ser calculada é sobre o indutor: 
 
 
 
 
Figura 2.10. Circuito para calcular Vth 
 
 
 Pode-se aplicar a regra do divisor de tensão: 
 
𝑉𝑡ℎ =
127∠0°. 8∠90°
6 + 𝑗8
⟹ 
𝑉𝑡ℎ =
127∠0°. 8∠90°
10∠53,13°
 
𝑉𝑡ℎ = 101,6∠36,87° 𝑉 
 
• Representação do circuito equivalente de Thévenin: 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
34 
 
Figura 2.11. Circuito equivalente de Thévenin 
 
 
 
2.5 TEOREMA DE NORTON 
 O teorema de Norton afirma que um circuito CA linear de dois terminais é 
substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente IN em paralelo 
com uma impedância ZN. Duas vantagens deste teorema a serem destacadas é que, ao 
ser aplicado, reduz o número de elementos necessários para estabelecer as mesmas 
características nos terminais de saída e é possível analisar o efeito da mudança de um 
componente específico sobre o comportamento de um circuito sem precisar analisar o 
circuito inteiro após cada mudança. Este teorema é desenvolvido conforme os seguintes 
procedimentos: 
I. Remova a parte do circuito que está fora da aplicação do teorema; 
II. Destaque os dois terminais em aberto do circuito a ser analisado; 
III. Deve-se desligar todas as fontes, conforme visto no teorema da superposição, para 
obter o ZN: 
a. Considere ZN como a impedância total do circuito a ser analisado. 
IV. Calcula-se IN religando as fontes para obter a corrente de curto-circuito entre os 
terminais destacados no item II; 
V. Para finalizar, desenhe o circuito equivalente de Norton, conectando novamente a 
parte removida descrita no item I, colocando entre os terminais do circuito equivalente de 
Norton. 
Exemplo 2.5. Determine o circuito equivalente de Nortonpara a parte delineada 
antes dos pontos a e b. 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
35 
 
Figura 2.12. Aplicação do teorema de Norton 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
• Remove-se os resistores R3 e R4, e a fonte de 120 V: 
 
Figura 2.13. Circuito a ser aplicado o teorema 
 
 
 
 
 
 
 
• Para calcular ZN, desliga-se a fonte de tensão e essa impedância é calculada 
entre os terminais a e b: 
 
Figura 2.14. Circuito para calcular ZN 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
36 
 
Identificando os elementos como impedâncias, têm-se: 
 
Figura 2.15. Impedâncias do circuito 
 
 
 As impedâncias ZR e ZC estão entre si em paralelo e ambas estão em série com ZL: 
 
𝑍𝑁 =
𝑍𝑅 . 𝑍𝐶
𝑍𝑅 + 𝑍𝐶
+ 𝑍𝐿 ⟹ 
𝑍𝑁 =
6∠0°. (4 − 𝑗10)
6 + 4 − 𝐽10
+ 8∠90° ⟹ 
𝑍𝑁 =
6∠0°. 10,8∠ − 68,2°
14,14∠ − 45°
+ 8∠90° 
𝑍𝑁 = 3,4∠ − 23,2° + 8∠90° 
𝑍𝑁 = 3,13 − 𝑗1,34 + 𝑗8 
𝑍𝑁 = 3,13 + 𝑗6,7 𝛺 = 7,4∠65° 𝛺 
 
• Para calcular IN, religa-se a fonte de tensão e aplica-se uma corrente de curto-
circuito entre os terminais a e b: 
 
Figura 2.16. Circuito para calcular IN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
37 
 
 Substitui-se os elementos passivos por suas impedâncias e calcula-se a corrente total 
IT: 
 
Figura 2.17. Análise para calcular IN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑍𝑇 =
𝑍𝐶 . 𝑍𝐿
𝑍𝐶 + 𝑍𝐿
+ 𝑍𝑅 ⟹ 
𝑍𝑇 =
10,8∠ − 68,2°. 8∠90°
4 − 𝑗10 + 𝑗8
+ 6∠0° =
86,4∠21,8°
4,5∠ − 26,56°
+ 6∠0° 
𝑍𝑇 = 19,2∠48,36° + 6∠0° = 12,8 + 𝑗14,35 + 6 
𝑍𝑇 = 18,8 + 𝑗14,35 𝛺 = 7,4∠23,7° 𝛺 
𝐼𝑇 =
90∠30°
7,4∠23,7°
= 12,16∠6,3° 𝐴 
 Adotando a regra do divisor de corrente: 
 
𝐼𝑁 =
12,16∠6,3°. 7,4∠23,7°
8∠90°
= 11,25∠ − 60° 𝐴 
 
• Representação do circuito equivalente de Norton: 
 
Figura 2.18. Circuito equivalente de Norton 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
38 
 
2.5.1 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 A transformada de Laplace possibilita que um sinal representado por uma função 
no domínio do tempo seja analisado no domínio s, ou domínio das frequências complexas 
(ALEXANDER; SADIKU, 2013). É definida por: 
 
𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠) = ∫
∞
0
𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 (2.1) 
 
Em que s é uma variável complexa representada por s = σ + jω. Portanto, a 
transformada de Laplace é uma transformação integral de uma função f(t) do domínio do 
tempo para o domínio da frequência complexa, fornecendo F(s). A vantagem dessa 
aplicação é que, na análise de circuitos, as equações diferenciais, que representam o 
circuito no domínio do tempo, vão ser transformadas em equações algébricas 
representando o circuito no domínio da frequência. Para agilizar o desenvolvimento 
matemático, usa-se as propriedades e os pares da transformada de Laplace. As 
propriedades importantes adotadas são: linearidade, deslocamento no tempo, 
diferenciação no tempo, integração no tempo, diferenciação em frequência, 
periodicidade no tempo e a convolução. A tabela 4.1 mostra a transformada de algumas 
funções comuns. 
 
Tabela 4.1 Pares da 
transformada de Laplace 
f(t) F(s) 
δ(t) 1 
u(t) 
1
𝑠
 
e–at 
1
𝑠 + 𝑎
 
T 
1
𝑠2
 
 
 Ao aplicar em circuitos elétricos tem-se: 
 
𝑉(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) (2.2) 
Em relação à impedância, descreve-se da seguinte maneira: 
 
𝑍(𝑠) =
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑆)
 (2.3) 
 Portanto, as impedâncias dos três elementos básicos de circuitos são 
(considerando condições iniciais zero): 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
39 
 
• Para o resistor, a sua transformada é o próprio R; 
• Para o indutor é sL; 
• Para o capacitor é 1/sC. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE III 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
41 
 
INTRODUÇÃO 
 
Nas unidades anteriores, nos circuitos com resistores, capacitores e indutores, 
alimentados com tensão alternada, pôde-se calcular as tensões, correntes e 
impedâncias, adotando-se uma frequência constante. 
Nas aplicações em comunicações e sistemas de controle, ocorrem mudanças de 
valores na frequência e necessita-se entender o comportamento que essa grandeza 
ocasiona no circuito. Nesses estudos, surgem definições importantes para o completo 
entendimento do assunto e uma aplicação específica vai ser sobre os filtros elétricos. 
 
3.1 RESPOSTA DE FREQUÊNCIA 
 A variação no comportamento de um circuito tendo como causa a mudança na 
frequência dos sinais denomina-se resposta de frequência (ALEXANDER; SADIKU, 2013). 
A análise deste tema está associada ao uso das funções de transferência, interpretação 
do gráfico de Bode e ao entendimento dos circuitos ressonantes. 
 
3.1.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 A função de transferência, identificada por H(ω), é uma ferramenta analítica 
utilizada para encontrar a resposta de frequência de um circuito. H(ω) de um circuito é a 
razão, que depende da frequência, entre uma saída fasorial Y(ω) e uma entrada fasorial 
X(ω). Considere Y(ω) a tensão ou corrente de um elemento e X(ω) uma fonte de tensão 
ou corrente. Portanto, temos: 
 
𝐻(𝜔) =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)
 (3.1) 
 
O diagrama em bloco é utilizado para representar um circuito linear, conforme a 
figura 3.1. 
 
Figura 3.1. Diagrama em bloco de um circuito linear 
 
 
 
 Há quatro funções de transferência possíveis, relacionadas às grandezas tensão 
e corrente: 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
42 
 
𝐻(𝜔) =
𝑉𝑜(𝜔)
𝑉𝑖(𝜔)
 (3.2) 
𝐻(𝜔) =
𝐼𝑜(𝜔)
𝐼𝑖(𝜔)
 (3.3) 
𝐻(𝜔) =
𝑉𝑜(𝜔)
𝐼𝑖(𝜔)
 (3.4) 
𝐻(𝜔) =
𝐼𝑜(𝜔)
𝑉𝑖(𝜔)
 (3.5) 
Sendo os subscritos i e o representação dos valores de entrada (in) e de saída (out). 
 
A relação entre duas grandezas iguais denomina-se ganho, que é representado por 
A. O ganho por se tratar de uma relação, o ganho pode ser maior, menor ou igual a 1. Com 
isso, a equação 3.2 é identificada como ganho de tensão e a equação 3.3 como ganho de 
corrente. 
No caso das equações 3.4 e 3.5, ocorrem as relações entre tensão e corrente e, 
consequentemente, são identificadas por impedância de transferência e admitância de 
transferência, respectivamente. A função de transferência, que é um número complexo, 
tem magnitude H(ω) e uma fase φ, ou seja: 
 
𝐻(𝜔) = 𝐻(𝜔)∠∅ (3.6) 
 Os procedimentos para demonstrar a função de transferência é primeiro analisar 
o circuito no domínio da frequência, substituindo os componentes resistivos e reativos 
por suas impedâncias R, jωL e 1/jωC. Depois aplicar as técnicas de análise de circuitos 
necessárias para obter o valor apropriado. Pode-se obter a resposta de frequência do 
circuito colocando em um gráfico a magnitude e a fase da função de transferência à 
medida que a frequência varia. 
 Outra forma de representar H(ω) é expressá-la em termos de seu polinômio do 
numerador e de seu denominador polinomial como: 
 
𝐻(𝜔) =
𝑁(𝜔)
𝐷(𝜔)
 (3.7) 
Onde N(ω) é o polinômio do numerador e D(ω) o polinômio do denominador. As 
raízes para N(ω) = 0 são chamados de zeros de H(ω) e as raízes de D(ω) = 0 são chamados 
de polos de H(ω). Um zero torna a função zero e um polo torna a função infinita. 
 
3.1.2 GRÁFICOS DE BODE 
 Representar graficamente a magnitude e a fase da resposta de transferência 
pode não ser um processo rápido e, portanto, necessita-se aplicar uma maneira mais 
sistemática, os gráficos de Bode. Para desenvolver essa técnica, necessita-se ter 
atenção para o uso de logaritmos e decibéis para expressar ganho. O logaritmo é a 
base dos gráficos de Bode e necessita-se conhecer as seguintes propriedades: 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
43 
 
𝑙𝑜𝑔 𝑃1𝑃2 = 𝑙𝑜𝑔 𝑃1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑃2 (3.8) 
𝑙𝑜𝑔𝑃1
𝑃2
= 𝑙𝑜𝑔 𝑃1 − 𝑙𝑜𝑔 𝑃2 (3.9) 
𝑙𝑜𝑔 𝑃𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑃 (3.9) 
𝑙𝑜𝑔 1 = 0 (3.10) 
 
O decibel é uma forma de medir a relação entre duas grandezas físicas iguais. O 
decibel (dB) está ligado aos sentidos do ser humano, sendo em destaque a audição. O 
ouvido humano não interpreta as informações de forma linear aos estímulos que lhes são 
impostos, mas de forma logarítmica. Por exemplo, se a potência sonora varia de 2 W para 
4 W, a sensação sonora não dobra. Para que a sensação sonora tenha este efeito, a 
potência deve ser multiplicada por dez. O bel (B) relaciona dois níveis de potência ou 
ganho de potência P1 e P2 através da equação: 
 
𝐴𝑃 = 10 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑃2
𝑃1
 [𝑏𝑒𝑙, 𝐵] (3.11) 
Onde AP é o ganho de potência e P1/P2 é a relação entre as potências. 
 A unidade bel é muito grande para os fenômenos elétricos, portanto, adota-se a 
unidade decibel (dB), com isso: 
 
𝐴𝑃 = 10 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑃2
𝑃1
 [𝑑𝑒𝑐𝑖𝑏𝑒𝑙, 𝑑𝐵] (3.12) 
 Exemplificando, considere P2 = 1.000P1, e utilizando a equação 3.12, o ganho de 
potência é igual a 30 dB. Pode-se afirmar que P2 está 30 dB acima de P1, ou seja, a 
potência foi amplificada em 30 dB. Agora, considere P2 = 0,001P1 e utilizando a equação 
3.12, o ganho de potência é igual a – 30 dB. Pode-se afirmar que P2 está 30 dB abaixo de 
P1, ou seja, a potência foi atenuada em 30 dB. Quando P1 = P2, não existe nenhuma 
mudança na potência e o ganho em dB é 0. 
O ganho de potência também relaciona a tensão e a corrente e para isso considere 
um quadripolo representando um circuito elétrico com resistência de entrada Ri, ligado 
a uma carga RL, conforme a figura 3.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
44 
 
Figura 3.2. Relações tensão-corrente para um quadripolo 
 
 
 As potências de entrada P1 e saída P2 podem ser calculadas por: 
 
𝑃1 =
𝑉𝑖
2
𝑅𝑖
 [𝑊] (3.13) 
𝑃2 =
𝑉𝑜
2
𝑅𝐿
 [𝑊] (3.14) 
 
 
Assim, temos: 
𝐴𝑃 = 10 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑃2
𝑃1
 ⟹ 
𝐴𝑃 = 10 𝑙𝑜𝑔
𝑉𝑜
2
𝑅𝐿
𝑉𝑖
2
𝑅𝑖
⟹ 
𝐴𝑃 = 10 𝑙𝑜𝑔
𝑉𝑜
2. 𝑅𝑖
𝑉𝑖
2. 𝑅𝐿
⟹ 
𝐴𝑃 = 10 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 (
𝑉𝑜
𝑉𝑖
)
2
 + 10 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑅𝑖
𝑅𝐿
 ⟹ 
𝐴𝑃 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑉𝑜
𝑉𝑖
+ 10 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑅𝑖
𝑅𝐿
 
 
Ao comparar níveis de tensão, considere Ri = RL, resultando em: 
 
𝐴𝑣 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝑉𝑜
𝑉𝑖
 [𝑑𝐵] (3.15) 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
45 
 
Onde Av é o ganho de tensão. Usando o mesmo raciocínio para a corrente: 
 
𝑃1 = 𝐼1
2𝑅𝑖 [𝑊] (3.16) 
𝑃2 = 𝐼2
2𝑅𝐿 [𝑊] (3.17) 
 
E considerando Ri = RL, obtém-se: 
 
𝐴𝑖 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 
𝐼2
𝐼1
 [𝑑𝐵] (3.18) 
Onde Ai é o ganho de corrente. 
 Os gráficos de Bode são gráficos semilogarítmicos da amplitude e da fase de uma 
função de transferência à medida que ela varia com a frequência. Ou seja, são dois 
gráficos, sendo que um representa a amplitude (em decibéis) versus o logaritmo da 
frequência e o outro gráfico, a fase (em graus) versus o logaritmo da frequência. A função 
de transferência pode ser escrita: 
 
𝐻 =
𝐻
∅
= 𝐻𝑒𝑗∅ (3.19) 
Portanto, a parte real H é função da amplitude, enquanto a parte imaginária é 
função da fase. No gráfico de Bode da amplitude, o ganho é representado graficamente 
em decibéis versus frequência. 
 
𝐻 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 𝐻 [𝑑𝐵] (3.20) 
No gráfico de Bode da fase, φ é representada graficamente em graus versus a 
frequência. 
 H(ω) pode incluir diferentes fatores que podem aparecer em várias combinações 
em uma função de transferência, como exemplos, um ganho K, um polo (jω)-1 ou zero (jω) 
na origem. 
 A figura 3.3 mostra a representação gráfica para o zero (jω) na origem, onde a 
amplitude é 20log ω e a fase 90°. Nota-se que a inclinação do gráfico da amplitude é 20 
dB/década, enquanto a fase é constante com a frequência. A palavra década indica um 
intervalo entre duas frequências com uma proporção 10, ou seja, 20 dB/década significa 
que a amplitude muda 20 dB toda vez que a frequência for dez vezes maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
46 
 
Figura 3.3. Gráfico de Bode para um zero (jω) 
na origem: (a) gráfico da amplitude; (b) gráfico da fase 
 
 
 
3.2 RESSONÂNCIA 
 A ressonância ocorre em um circuito RLC no qual as reatâncias capacitiva e 
indutiva devem ser iguais em módulo (XL = XC), resultando, em uma impedância 
puramente resistiva. 
 Associado a este assunto, tem-se algumas definições a serem descritas: 
• Frequências de corte (ω1 e ω2) – são consideradas a frequência de corte inferior 
ω1 e a frequência de corte superior ω2, e definem a largura de banda. Nestas 
frequências a potência dissipada é metade do valor máximo, sendo também 
denominadas frequências de meia potência. Na frequência de corte, o valor da 
corrente é aproximadamente 70,7% da corrente de ressonância. Este valor 
corresponde a uma queda de 3 dB na corrente máxima. 
• Largura de banda (B) – também denominada largura de faixa (LF), banda 
passante (B) ou bandwidth (BW) corresponde à faixa de frequências entre os 
cortes inferior e superior, identificadas por ω1 e ω2, respectivamente. A largura 
de banda é representada por 
𝐵 = 𝜔2 − 𝜔1 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] (3.21) 
● Fator de qualidade (Q) – medida quantitativa do nível de estreitamento da curva 
de ressonância em circuito ressonante. O Q também é uma indicação da quantidade de 
energia que é armazenada (transferida continuamente de um elemento reativo para outro) 
em comparação com a energia dissipada (BOYLESTAD, 2012). 
 A relação entre a largura de banda e o fator de qualidade é: 
𝐵 =
𝑅
𝐿
=
𝜔0
𝑄
 (3.22) 
Onde ω0 é a frequência de ressonância. Consequentemente, o fator de qualidade 
de um circuito ressonante é a razão entre sua frequência ressonante e sua largura de 
banda. Pela equação 3.22, quanto maior o Q do circuito, menor a largura de banda. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
47 
 
3.2.1 RESSONÂNCIA EM SÉRIE 
O conceito de ressonância pode ser comprovado ao considerar, por exemplo, um 
circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão, no qual é aplicado o modelo 
matemático, conforme a equação 3.23, que descreve o cálculo da impedância Z. 
 
𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)[𝛺] (3.23) 
Utilizando as equações 1.42 e 1.43, tem-se: 
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
) [𝛺] (3.24) 
 
O circuito ressonante apresenta a menor oposição à passagem de corrente elétrica 
em uma determinada frequência. Esta frequência é denominada de frequência de 
ressonância ω0, e aplicando a equação que descreve a frequência angular, obtém-se: 
 
𝜔𝑜 = 2𝜋𝑓0 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] (3.25) 
A parte imaginária da equação 3.25 deve ser igual a zero para que ocorra a 
ressonância. Portanto: 
 
𝐼𝑚(𝑍) = 𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
= 0 
Com isso, tem-se: 
 
𝜔0𝐿 =
1
𝜔0𝐶
 
Resultando em: 
 
𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] (3.26) 
Adotando a equação 3.26, tem-se: 
 
𝑓0 =
1
2𝜋√𝐿𝐶
 [𝐻𝑧] (3.27) 
 
Um ponto de observação é que as frequências maiores e menores que fo 
encontrarão maior oposição por parte do circuito ressonante. A figura 3.4 mostra o 
gráfico de um circuito RLC série: 
 
 
 
 
CIRCUITOSELÉTRICOS II 
48 
 
Figura 3.4. Corrente elétrica versus a frequência 
 
 
Pelo gráfico, interpreta-se que a corrente é máxima na frequência de ressonância, 
onde VP é a tensão de pico (máxima). 
Na figura 3.5, verifica-se a frequência de ressonância, as frequências de corte, a 
largura de banda, e a variação de B vai depender do fator de qualidade. 
 
Figura 3.5. Identificação de ω1, ω2 e B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fator de qualidade é representado por: 
 
𝑄 =
𝜔0𝐿
𝑅
=
1
𝜔0𝑅𝐶
 (3.28) 
Observando-se que Q é adimensional. 
 
3.2.2 RESSONÂNCIA EM PARALELO 
 Considere um circuito RLC paralelo energizado por uma fonte de corrente, a 
frequência de ressonância ω0 desenvolvida é igual à do circuito ressonante em série, 
conforme a equação 3.26. O modelo matemático da largura de banda B também é o 
mesmo aplicado no circuito ressonante RLC em série, conforme visto na equação na 
3.22. 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
49 
 
 A figura 3.6, que relaciona a tensão com a frequência, mostra que no circuito 
ressonante em paralelo a tensão é máxima na frequência de ressonância ω0. 
 
Figura 3.6. Tensão elétrica versus a frequência 
 
 
 
O fator de qualidade é representado por: 
 
𝑄 =
𝑅
𝜔0𝐿
= 𝜔0𝑅𝐶 (3.29) 
Observando-se que Q é adimensional 
 
3.3 FILTROS PASSA-BAIXAS E PASSA-ALTAS 
 
 Filtros são circuitos construídos para permitir a passagem de sinais em 
determinadas frequências, e consequentemente bloqueia-se as frequências não 
desejadas. Usa-se também o termo atenuadas para as frequências que são rejeitadas. 
Os filtros também são aplicados para eliminar frequências indesejáveis, denominadas 
ruído, geradas por alguns componentes eletrônicos com características não lineares ou 
captadas do ambiente. Há duas categorias de filtros: 
• Filtros passivos – circuitos com resistores, indutores e capacitores associados 
em série e em paralelo; 
• Filtros ativos – circuitos formados, além de resistores, indutores e capacitores, 
também são constituídos por transistores e amplificadores operacionais, para 
realizarem esta função. 
 
Para este estudo, serão definidos os filtros passivos. Há quatro tipos de filtros: 
passa-baixas, passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa (banda de atenuação). 
 
 
3.3.1 FILTRO PASSA-BAIXAS 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
50 
 
 
 Este tipo de filtro deixa passar frequências baixas e rejeita frequências altas. Este 
circuito pode ser formado por um circuito RC ou RL. Nas figuras 3.7 e 3.8, Vi indica a 
tensão de entrada (in) e VO a tensão de saída (out), sendo que a informação que interessa 
é a da saída. Há uma frequência que é a referência para permitir a passagem do sinal ou 
o seu bloqueio, denominada de frequência de corte ωc. Para frequências abaixo da 
frequência de corte, o ganho é igual a um, isto é, a tensão de saída é igual à tensão de 
entrada. Para frequências acima da frequência de corte, o ganho é zero, isto é, a tensão 
de saída é nula. Mas, na prática, esse corte não é tão brusco. 
 
Figura 3.7. Circuito RC – filtro passa-baixas 
 
 
 
No circuito RC série, conforme figura 3.7, nas baixas frequências, o capacitor de 
saída comporta-se como uma resistência alta (XC >> R), fazendo com que a maior parte 
da tensão recaia sobre ele. Nas altas frequências, o capacitor comporta-se como uma 
resistência baixa (XC > R), fazendo com que a tensão no resistor 
de saída seja muito pequena. A frequência de corte, para o circuito RL, é descrita por: 
 
𝜔𝐶 =
𝑅
𝐿
 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] (3.32) 
ou 
𝑓𝐶 =
𝑅
2𝜋𝐿
 [𝐻𝑧] (3.33) 
 
 O ganho de tensão para ambos os circuitos é: 
 
𝐴𝑣 =
1
1+𝑗
𝜔
𝜔𝐶
 (3.34) 
A figura 3.9 é um gráfico que mostra o sinal de saída VO de um filtro passa-baixas, 
confirmando o seu funcionamento, já descrito anteriormente. Observa-se que o máximo 
de ganho de tensão Av é 1, e que a frequência de corte é definida no nível 0,707. 
 
Figura 3.9. VO em função da frequência para um filtro passa-baixas. 
 
3.3.2 FILTRO PASSA-ALTAS 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
52 
 
 
 Este tipo de filtro deixa passar frequências altas e rejeita frequências baixas. Este 
circuito pode ser formado por um circuito RC ou RL. Nas figuras 3.10 e 3.11, Vi indica a 
tensão de entrada (in) e VO a tensão de saída (out), sendo que a informação que interessa 
é a da saída. Há uma frequência que é a referência para permitir a passagem do sinal ou 
o seu bloqueio, denominada de frequência de corte ωc. Para frequências abaixo da 
frequência de corte, o ganho é zero, isto é, a tensão de saída é nula. Para frequências 
acima da frequência de corte, o ganho é igual a um, isto é, a tensão de saída é igual a 
tensão de entrada. Mas, na prática, esse corte não é tão brusco. 
 
Figura 3.10. Circuito RC – filtro passa-altas. 
 
No circuito RC série, conforme figura 3.10, nas baixas frequências, o capacitor 
comporta-se como uma resistência alta (XC >> R), fazendo com que a maior parte da 
tensão recaia sobre ele. Nas altas frequências, o capacitor comporta-se como uma 
resistência baixa (XC > R), fazendo com que a tensão de saída seja muito alta. A frequência 
de corte, para o circuito RL, é descrita por: 
 
𝜔𝐶 =
𝑅
𝐿
 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] (3.37) 
ou 
𝑓𝐶 =
𝑅
2𝜋𝐿
 [𝐻𝑧] (3.38) 
 
O ganho de tensão para ambos os circuitos é: 
 
𝐴𝑣 =
1
1−𝑗
𝜔𝐶
𝜔
 (3.39) 
A figura 3.12 é um gráfico que mostra o sinal de saída VO de um filtro passa-altas, 
confirmando o seu funcionamento, já descrito anteriormente. Observa-se que o máximo 
de ganho de tensão Av é 1, e que a frequência de corte é definida no nível 0,707. 
 
Figura 3.12. VO em função da frequência para um filtro passa-altas. 
 
 
3.4 FILTROS PASSA-FAIXA E REJEITA-FAIXA 
 Nesta seção, mostra-se os outros dois tipos de filtros passivos, enfatizando as 
suas construções, funcionamentos e a interpretação dos sinais em suas saídas. 
Destaca-se a frequência de ressonância, o fator de qualidade e a largura de banda. 
 
3.3.3 FILTRO PASSA-FAIXA 
 O filtro passa-faixa, também denominado filtro de banda de atenuação, deixa 
passar frequências dentro de uma faixa de frequências e bloqueia ou atenua frequências 
dentro da faixa. Este filtro é projetado para deixar passar todas as frequências dentrode 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
54 
 
uma faixa de frequências, ω1