SimulacaoMonteCarlo

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Pós Doutorado em Design of Experiments
& Otimização via Simulação Monte Carlo
Prof. Dr- Aneirson Francisco da Silva- UNESP. 
Mestre em Engenharia de Produção- UNIFEI
Especialista em Economia e Planejamento empresarial- UFU
SIMULAÇÃO MONTE
CARLO
MBA- GESTÃO DA PRODUÇÃO
1. Introdução à Modelagem e Simulação
2. Visão geral do método
3. Etapas
4. Aplicações
Sumário2
Ø Processo de construção de um modelo;
Ø Um modelo é uma abstração da realidade, uma simplificação do sistema 
real;
Ø Deve ser próximo da realidade;
Ø Não deve ser complexo; 
Ø Capacitar o pesquisador para prever o efeito de mudanças no sistema.
Modelagem3
Sistema
Modelo = representação
Modelo4
O que fazer quando 
o modelo for muito 
complexo?
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 0),( 0),(
),(
0, 0 0 
,,,,
1
=-=Ñ=-Ñ=Ñ
--=
==
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+=
å
=
AxbxLAxfxL
bxaxfxL
yxggfL
y
g
y
f
y
L
x
g
x
f
x
L
yxgyxfyxL
T
x
i
T
i
m
i
i
lll
ll
lll
ll
ll
l
baxy +=
MOD
ELO 
DE SI
MUL
AÇÃO
 A EV
ENTO
S DIS
CRET
OS!
Modelagem5
Ø Presença de aleatoriedade:
x
f (x )
µ
Ø Complexidade:
Aleatoriedade + Interdependência
Ø Interdependência:MODE
LO DE
 SIMU
LAÇÃO
 A EVE
NTOS 
DISCR
ETOS!
Sistemas Reais
Quando muitas variáveis podem assumir qualquer valor dentro de uma 
série de valores numéricos.
Os objetos possuem comportamentos ligados uns aos outros. 
6
Exemplo do caixa eletrônico:
Simulação7
Exemplo do caixa eletrônico:
Taxa de 
chegada de 
clientes
Tempo de 
atendimento 
por cliente
Tempo médio 
dos clientes na 
fila (segundos)
regular fixo 0
irregular fixo 64
irregular variável 154
Simulação8
Simulação é a imitação
de um sistema, 
modelado em um 
computador para avaliar
e melhorar seu
desempenho; 
O ato de simular é trazer a realidade para um ambiente
controlado onde seu comportamento pode ser 
estudado sob diferentes situações sem envolver
grandes riscos físicos e custos. 
(HARREL, GHOSH e BOWDEN, 2000)
Simulação9
Simulação10
O que a Simulação não é:
ØA Simulação não é uma bola de cristal;
ØA Simulação não é um modelo matemático;
ØA Simulação não é uma ferramenta de 
otimização;
ØA Simulação não substitui o pensamento
inteligente;
ØA Simulação não é uma técnica de último
recurso;
ØA Simulação não é uma panacéia.
(CHWIF e MEDINA, 2010)
Simulação11
Ø É difícil, ou impossível, desenvolver um modelo 
matemático;
Ø O sistema possuir variáveis aleatórias;
Ø Houver complexidade na dinâmica do processo;
Ø O uso da animação for importante para visualizar o 
processo;
Ø Deseja-se observar o comportamento do sistema 
por um determinado período.
Quando utilizar simulação?12
Problema Ferramentas Resultados
Planilhas
Calculadora
Lápis e Papel
Intuição
Maior
Complexidade
Dinâmica
Aleatoriedade
Maior
Esforço
Qualidade
Simulação
Quando utilizar simulação?13
Ø É possível testar possibilidades de mudanças sem 
interromper o funcionamento do sistema real e 
sem realizar investimentos;
Ø Capaz de representar sistemas complexos de 
natureza dinâmica e aleatória; 
Ø Comportamento de anos pode ser analisado em 
minutos (O tempo pode ser controlado);
Ø Uma ferramenta adequada para investigar e 
responder questões do tipo “O que aconteceria 
se...?” em sistemas reais;
Ø Modelo pode ser utilizado inúmeras vezes;
Vantagens do uso da Simulação14
Ø Analisar um novo sistema antes de sua implantação;
Ø Confrontar resultados e medir eficiências;
Ø Melhorar a operação de um sistema já existente;
Ø Compreender melhor o funcionamento de um 
sistema;
Ø Facilidade de demonstração de cenários futuros 
antes da implementação, devido a capacidade de 
animação gráfica dos softwares.
Vantagens do uso da Simulação15
Ø Os custos iniciais de aquisição de softwares são elevados (o que 
inviabiliza o emprego do método por pequenas empresas);
Ø Requer conhecimento de áreas como Estatística, Pesquisa Operacional 
Método de Simulação, Sistema real e Treinamento em um software 
(experiência);
Ø Pode consumir grande quantidade de tempo e os benefícios podem não ser 
imediatos;
Ø Requer uma grande quantidade de dados do sistema real;
Ø Pode ser difícil o processo de validação do modelo computacional.
Desvantagens do uso da Simulação16
Ø Conversão do modelo conceitual no modelo 
computacional, através de um software de 
simulação;
Ø Os modelos devem ser desenvolvidos de forma 
incremental, documentando e testando a cada 
passo;
Ø O modelo computacional precisa ser verificado: 
assegurar que o modelo está funcionando como 
previsto, sem erros de programação;
Ø Este modelo precisa ser validado estatisticamente: o 
desempenho do modelo é comparado com os dados 
do sistema real;
Implementação17
Implementação - Softwares
Software Versão “Standard” 
Arena A partir de $795 
AutoMod $18900 
Flexsim De $12500 a $19500 
Process Simulator $3500 
Process model 5.1 $3995 
ProModel $18500 
Simprocess $9995 
Simul8 $4995 
Witness 2006 Sob consulta 
 
Implementação18
Exemplo – Redução de custos19
Modelo Indústria Automotiva20
Modelo Empresa Alta Tecnologia21
Técnicas de Ensino22
Introdução e história da 
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
• Designa-se SMC qualquer método de uma 
classe de métodos estatísticos que se 
baseiam em amostragens aleatórias massivas 
para obter resultados numéricos.
• Ele permite que você faça testes com 
variáveis um número suficientemente grande 
de vezes para ter com mais precisão a chance 
de algum resultado acontecer.
• Um padrão dito estocástico, é aquele que têm
origem em processos não determinísticos,
com origem em eventos aleatórios.
Introdução
História
Durante a segunda Guerra Mundial, o 
matemático húngaro-americano John Von 
Neumann, em seu trabalho no projeto Manhattan 
(bomba atômica), criou o conceito, denominado 
Simulação Monte C a r l o - SMC.
•O trabalho consistia na simulação direta de 
problemas probabilísticos relacionados com a 
difusão das partículas de nêutrons quando
submetidos a um processo de fissão nuclear. 
Corrar e t a l. (2009)
Simulação Monte Carlo 4
História
• O nome originou-se por causa do uso de 
aleatoriedade e da natureza repetitiva das 
atividades realizadas em cassinos de Monte Carlo. A 
roleta era um gerador de números aleatórios.
• Primeiro trabalho introduzido por Jon Von Neuman 
e S.M. Ulam em 1940, durante a segunda Guerra 
Mundial.
• Um átomo de Plutônio enriquecido, quando ocorre
a fissão libera uma enorme quantidade de energia,
fazendo com que outro átomo também se divida.
• A reação subcrítica, quando a bomba não explode: a 
reação em cadeia não acontece. É como uma cadeia de 
dominós que é interrompida no caminho.
• A reação supercrítica, quando a bomba explode: há 
uma quantidade exponencial de energia sendo 
liberada.
História
Existem duas reações possíveis para a tal Bomba:
ProjetoManhattan
ProjetoManhattan
• Os cientistas tinham duas Missões, assegurar que a 
bomba explodisse e também ter certeza que isso não 
aconteceria na mão deles.
• Eles tinham que dividir a quantidade de Plutônio em 
pedaços pequenos o suficiente para não explodir 
quando eles não quisessem, mesmo se um acidente 
ocorresse.
• E eles tinham que juntar os pedacinhos em uma única
peça grande, com material suficiente para causar uma
reação em cadeia no momento da explosão.
ProjetoManhattan
• Existia um modelo simplificado para calcular o 
comportamento de um átomo, porém nenhum modelo 
para um grupo de átomos desta magnitude.
• Cada átomo é uma variável aleatória. O efeito 
composto em dois átomos é a soma das duas variáveis 
aleatórias.
• Para somar tais variáveis seria necessário resolver 
uma equação integral, até o momento impossível 
devido a falta de um computador eletrônico.
ProjetoManhattan
Portanto foi elaborado a SMC, utilizando uma variável 
aleatória, e cada caso, de acordo com a variável , foi 
calculado um a um por pessoas, e os resultadoscompilados por um matemático, conseguindo assim 
modelar matematicamente o comportamento da bomba.
Quem que fazia os cálculos?
ProjetoManhattan
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Sistema
O nome Monte Carlo foi cunhado pelo
cientista Metropolis, inspirado no
interesse por pôquer de seu colega
Ulam. Baseou-se na similiridade que a
simulação estatística desenvolvida por
eles tinha com jogos de azar,
simbolizados nas roletas do cassino de
Monte Carlo, na capital do principado
de Mônaco.
Simulação Monte Carlo
1.Definição
O comportamento de um sistema
durante determinado tempo pode
ser estudado, por meio de um
modelo computacional.
Este modelo pode ser construído a
Simulação Monte Carlo
partir de um conjunto de
doinformações operacionais 
sistema real.
Sistema
Simulação Monte Carlo
Exemplo
Situação:
Ø A simulação de Monte Carlo utiliza-se de 
geradores de números aleatórios para
simular sistemas físicos ou matemáticos, nos
quais não se considera o tempo como
explicitamente como uma variável.
• Um número aleatório pode representar decisões arbitrárias ou
servir como entrada para geração de tempos segundo várias
distribuições.
• Como produzir números aleatórios ?
– Dispositivos físicos (Ex. dados, roleta, moeda etc.);
– Tabela de números aleatórios (livros);
– Processos matemáticos.
• No Excel: “=ALEATÓRIO()” e ALEATÓRIOENTRE()” (gera um
número aleatório maior ou igual a 0 e menor do que 1) e um
números aleatórios para um determinado intervalo.
• Von Neumann (1946):
762 =5776
772 =5929
– r1 = 76 =>
– r2 = 77 =>
– r3 =92….
• Sequência gerada (76,77,92,46,11,12,14, …)
• Quando resultar em 0, deve-se utilizar outra semente.
Método do Meio Quadrado
– xo é a semente do número aleatório.
– “mod” é a função módulo = mostra o resto da divisão 
inteira. Ex.: 10 mod 6 = 4
xi+1 = (axi + c) mod m
gera números inteiros 
entre 0e m-1
Método da Congruência
10 = 1,6666666
6
10 (1́ 6) = 4 => Resto
64 = 3,76
17
64 (17´ 3)= 13 => Resto
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Escolher os valores a, c e M. Usualmente, M é escolhido o maior 
possível.
Escolher a semente r
0
, tal que: 1 r0 M .
Calcular o próximo número aleatório pela expressão:
r1 = (a r0 + c) mod M
Passo 4:
onde: x mod y é o módulo da divisão de x por y (por exemplo:
10 mod 6 = 4 ).
Substitua r0 por r1 e volte ao passo anterior, de modo a 
construir a seqüência de números aleatórios desejada.
Método da Congruência
Gerar números aleatórios pelo método da 
congruência, com a = 9, c = 1, m =17 e xo = 7.
n xn y=9xn+1 y mod 17 xn+1/17
0 Xo=7 9*7+1=64 13 13/17 =0.7647
1 X1=13 118 16 16/17 =0.9412
2 X2=16 145 9 0.5294
3 X3=9 82 14 0.8235
4 X4=14 127 8 0.4706
números pseudo-aleatórios 
inteiros entre 0 e 16(=17-
1)
números pseudo-
aleatórios inteiros 
entre 0 e1
Método da Congruência
Exemplo
Situação:
Ø A geração de eventos aleatórios é uma técnica bastante
empregada na simulação. Suponhamos que uma empresa, deseja 
simular o comportamento da demanda diária.
Demand
a 
Diária
Frequência FA Númerode 
Dígitos
10 0,3 0,3 0 1 a30
11 0,31 0,6 31 a60
12 0,61 1 61 a100
Exemplo
12
11,5
11
10,5
10
9,5
9
Simulação Monte Carlo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Demanda
Estatística para 
Simulação de MonteCarlo
Simulação Monte Carlo
Conceito de Variável Estocástica?
Variável estocástica éuma função. Seja εumexperimento aleatório eSoespaço
amostral associado a o experimento. Uma função Xque associe a cada
elementos ϵSum númerorealX(s)édenominado variávelaleatória.
Ex: Variáveldemandaseráde13.000unidades(Constante). Estocástica
N~(13.000,2.000).
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Funções gerados de variáveis aleatórias
No softwares de simulação existe um (GNA), e inúmeras outras
funções matemáticas descritas como Funções Geradoras de Variáveis
Aleatórias ou FGVA’s.
Para cada tipo de função de densidade de probabilidade, existe uma
uma FGVA apropriada.
Para utilizá-las em um programa de simulação, insere-se o comando
da função e os parâmetros ou argumentos necessários para
ativá-la.
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Algoritmos para Geração de 
Variáveis Aleatórias
Funções de Densidade de 
Probabilidade
Simulação Monte Carlo
Funções gerados de variáveis aleatórias
Métodos e procedimentos computacionais para a GVA com
características específicas .
Onde empregar tais métodos ?
- No fluxo de Caixa de uma empresa.
- Demandas por produtos.
- Preço de venda ou custos.
- Cálculo do nível de estoques, dentre outras.
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Distribuição Discreta: Geométrica
Uma variável com distribuição geométrica representa o número de
falhas observadas em uma sequência de provas do tipo de Bernoulli,
sua função f(x) de densidade e:
p(x) = p (1 – p) x, x=1,2,...,n
Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação.
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Função de densidade de probabilidade Uniforme contínua
Simulação Monte Carlo
Função de densidade de probabilidade triangular
Qual o melhor modelo probabilístico ou distribuição estatística 
que pode representar a amostra coletada?
Histograma h=4.8
4.8 14.3 4323.9 33.4
Bloco
Freqüência
120
100
80
60
40
20
0
x
f(x) 
1λ/
x
f(x)
µ
f (x )
a b xm
x
f(x)
µ=1σ=1
µ=1σ=0,5
Exponencial?
Simulação Monte Carlo
Normal?
Triangular?
Lognormal?
3. H1: A distribuição testada não pode ser utilizada para prever o 
comportamento dos dados observados.
O que é teste de aderência?
Para que serve?
1. O MS-Excel fornece algumas funções que facilita o cálculo do teste de 
aderência.
2. H0: A distribuição testada pode ser utilizada para prever o 
comportamento dos dados observados.
Simulação Monte Carlo
Exemplo:
Dados: Análise dedados.
Geração denúmeros 
aleatórios.
Simulação Monte Carlo
Exemplo:
Clicaraqui
Depois aqui
Simulação Monte Carlo
Exemplo:
Simulação Monte Carlo
Exemplo:
Prefira este teste. 
H0: A distribuiçãoé 
adequada.
Valor p> 0.05.
Simulação Monte Carlo
Executando a primeira 
Simulação
Simulação Monte Carlo
Aplicação
Uma empresa deseja realizar algumas simulações para avaliar se
dependendo do valor da variável incerta, a empresa terá prejuízo
o lucro.
Simulação Monte Carlo
Preço de venda R$ 25,00 a R$30
Lucro= Preço de venda- Custo da MP-Custo M.O x Demanda- CDF 
Custo da matéria prima= menor custo da matéria prima + (maior 
custo –menor custo da matéria prima) x o número aleatório.
Matéria Prima= Uniforme ~[ 8 a 12]; 
Mão de Obra= Uniforme~[ 3 a 7]; 
Custo Fixo R$ 100.000,00;
Demanda= Normal ~[ 13.000; 3.800].
Fornecedor LI Ls CMO
A 0 0,1 3
Simulação Monte Carlo
B 0,11 0,3 4
C 0,31 0,7 5
D 0,71 0,9 6
E 0,91 1 7
Para calcular a demanda a empresa estima que o
comportamento dessa variável siga uma distribuição normal
com média = 13.000 e Desvio padrão de 3.800. No excel
utilizaremos a função INV.NORM que retorna o inverso da
distribuição cumulativa normal.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
1 00,00%
1 20,00%
0
20
40
60
80
100
120
-1
01
65
2,
34
13
-7
98
66
,7
79
57
-5
80
81
,2
17
82
-3
62
95
,6
56
07
-1
45
10
,0
94
32
72
75
,4
67
43
1
29
06
1,
02
91
8
50
84
6,
59
09
3
72
63
2,
15
26
8
94
41
7,
71
44
3
11
62
03
,2
76
2
13
79
88
,8
37
9
15
97
74
,3
99
7
18
15
59
,9
61
4
20
33
45
,5
23
2
22
51
31
,0
84
9
Fr
eq
üê
nc
ia
Bloco
Histograma
Freqüência
% cumulativo
Simulação Monte Carlo
https://camjclub.wikispaces.com/file/view/Monte%20Carlo%20Metho 
ds%20In%20Financial%20Engineering.pdf/367817134/Monte%20Carl 
o%20Methods%20In%20Financial%20Engineering.pdf
Metodologia DMAIC
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Abrir arquivo.
Monte Carlo.XLS
Simulação Monte Carlo
Introdução ao Software 
CrystalBall
Simulação Monte Carlo
Ø É usado apenasem processos que possam ser modelados
pelo excel (Estacionário). Em casos mais complexos e
dinâmicos os softwares de simulações, como, por exemplo,
Promodel e Arena são melhores;
Ø Só pode fazer previsões dadas as suas suposições iniciais,
portanto, suposições pobres geram resultados pobres.
Simulação Monte Carlo
Ø Utilize o Cristal Ball para fazer previsões das saídas na forma 
de amplitude de valores associados às suas probabilidades;
Ø Fornecer a estatística da variável de saída;
Ø Ajustar distribuições aos dados de entrada ou Saída;
Ø Realizar análise de sensibilidade das variáveis independentes 
do modelo.
Simulação Monte Carlo
Comando para Inseriras 
Distribuições
Definindo as funções
Iniciar Simulação
Criando 
Relatório
Otimizador- Baseado em 
Algoritmos Evolucionários
MétodosAvançados 
para Previsão
Portfoliode 
aplicações
Calibrando a Simulação: 
Rodar sempre em velocidade 
normal e pelo menos100.000 
simulações.
Define as variáveisa 
seremotimizadas
Simulação Monte Carlo
Análise de Risco e Geraçãode 
Relatório
Simulação Monte Carlo
Análise de Investimento:
Você S/A deve analisar a viabilidade de certo
Empreendimento. Dados:
O custo inicial do projeto, cujo o valor mínimo é de R$
100.000 e o valor máximo R$ 120.000. A vida o
investimentosegue uma distribuição triangular de ( 9; 10 e
11 anos). A taxa mínima de atratividade (TMA) segue
também uma distribuição triangular, cujo os valores são: {
8%; 10% e 12% a.a}. A receitas anuais seguem uma
distribuição normal de média R$ 17.000 e Desvio padrão
de R$ 1.000. Avalie se o empreendimento deve ou não ser
feito?
Simulação Monte Carlo
Por favor, abrir o arquivo 
CASOREAL
Simulação Monte Carlo
Desenvolvimento deFunções 
Empíricas
Simulação Monte Carlo
Regressão Simples e Múltipla 
Regressão Não Linear
Simulação Monte Carlo
Regressão Simples e Múltipla 
Regressão Não Linear
Y=
Simulação Monte Carlo
n nX +Y =
0+ 1X1+,... n Xn+
+ X + X2,...1 1 2 20
tt
1
bn
b0 
Y =[x x] [ ] b1´ x .y =
Exemplo: Regressão Simples: 
Y=f(x) -> Modelos Regressivos.
Ano Quantidade Preço
1 2 4
2 1 6
3 3 3
4 1 5
5 4 1
Simulação Monte Carlo
Exemplo: Regressão Simples
=´
=
0,25676
0,067568
11 1,75676
32 0,25676
1
´ 3 =
1
4
1 1 1 1 1
4 6 3 5 1
0,25676
0,067568
1,75676
0,25676
5 19
19 87
1 4
1 6
´ 1 3 =
1 5
1 1
2
1 1 1 1 1
4 6 3 5 1
1
b0 =4,716216
b1 = 0,66216
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Dados: 
Análise dedados.
Regressão.
Simulação Monte Carlo
Variável Resposta
Variável de Entrada
Simulação Monte Carlo
ESTUDO DE CASOII:
Regressão Não Linear
Simulação Monte Carlo
Vendas Propaganda Invest.
107.446 100.000 700
24.841 90.000 1.820
20.000 75.604 1.500
33.975 80.340 800
15.000 85.423 900
92.415 89.450 1.957
109.450 100.000 1.000
20.101 74.563 1.200
19.800 90.570 1.200
177.091 103.402 800
Tópicos em Otimização viaSimulação 
Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
f (x)
Otimização: Visa procurar a melhor solução possível
para um determinado problema de programação
matemática.
Cenários para a Função a ser otimizada (Objetivo).
Maximizar
Minimizar 
Target (Alvo)
Simulação Monte Carlo
FunçõesMultimodais
Simulação Monte Carlo
Max f (x) = 0,4 + senc(4x) +1,1senc(4x + 2) +
+ 0,8senc(6x 2) + 0,7senc(6x 4)
s.a
2 x 2
f (x) 0
FunçõesMultimodais
0,6000
0,4000
0,2000
0,8000
1,0000
1,2000
1,6000
1,4000
-2,0000 -1,5000 -1,0000
-
-0,5000 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000
f(x)
Solução Ótima seria:
x=-0,5072ef(x)=1,5016
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
ComplexidadeComputacional:
O tamanho do problema pode ser entendido como o número de cidades num 
problema do Caixeiro Viajante ou o número de ordens de um problemade
programação da produção. (n) é o número de soluçõesfactíveis.
Simulação Monte Carlo
Tamanho 
do 
Problema
n nlog(n) n2 n3 2n 3n n!
[Milisseg 
undos]
[MS] [MS] [Centésimo 
de 
segundos]
[Anos] [Séculos] [Milênio 
s]
2 0,02 0,02 0,04 0,01 0 0 0
5 0,05 0,12 0,25 0,13 0 0 0
10 0,1 0,33 1 1 0 0 0
20 0,2 0,86 4 8 0 0 771
30 0,3 1,47 9 27 0 0,653 8,4E+16
40 0,4 2,13 16 64 0,349 38.552 2,6E+32
60 0,6 3,54 36 216 365.589 1,3E+14 2,6E+66
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
OtimizaçãoOPTQUEST
Define os objetivos Max, Min, Alvo
Define as variáveis e seus domínios
Restrições do modelo
Execução da simulação eOtimização
Simulação Monte Carlo
Programação EstocásticaBinária
Simulação Monte Carlo
Supondo que a empresa X, tenha uma disponibilidade máxima de R$
350,00 reais para realizar vários investimentos. A taxa mínima de
atratividade requerida por esta empresa é 10%, para cada um dos
projetos. Após realizado os cálculos obteve os seguintes resultados.
Projeto Investimento Inicial/(UM 1.000,00) Valor Presente p/ I= 
10% p/UM1.000,00
1 U~[R$ 190,00; R$ 100,00] N~[R$ 500,00; R$ ~50]
2 U~[R$ 190,00;R$100] N~[R$ 515,00; R$ 40]
3 U~[R$ 170,00; R$ 140,00] N~[R$ 555,00; R$ 20]
4 U~[R$ 210,00; R$ 190,00] T~[R$ 300; R$ 350; R$450]
5 U~[R$ 180,00;R$ 150,00] T~[R$ 300; R$ 500; R$800]
Programação Estocástica
Simulação Monte Carlo
Programação Estocástica
Investment Annual Return Lowerbound Upper Bound
Money U~[2%; 4%] $0 $50,000
Income fund N~ [5%;5%] $10,000 $25,000
Growth N~ [7%;12%] $0 $80,000
Aggressive N~ [11%;18%] $10,000 $100,000
Simulação Monte Carlo
Qual é a melhor alocação decapital 
que fornece o menor risco e omaior 
retorno?
Simulação Monte Carlo 7
0
Simulação Monte Carlo
FormaAlgorítmica
Simulação Monte Carlo
Índices
i Associado às opções de projeto, i Î I , I={1,...,8};
Parâmetros
Receita esperada do projeto i; 
Custo esperado do projeto i; 
Custo inicial do projeto i.
Exigência de pessoal no projeto i.
Variáveis 
xi Seleção do projeto i.
a~
bi
~i
c~
pi~
i
Tópicos emPrevisão
Simulação Monte Carlo
Previsão da 
demanda: 
Séries
Temporais
O que fazer se os erros de previsão são 
grandes?
Vale a pena investir no restante do 
processo de planejamento se os 
dados de entrada são ruins?
Quão boa deve ser a previsão para 
que seja adequada?
Simulação Monte Carlo
Qual a 
importância da 
previsão da 
demanda?
Simulação Monte Carlo
Ciência ou bola 
de cristal?
Simulação Monte Carlo
Técnicas de previsão
QUANTITATIVAS QUALITATIVAS
Intrínsecas Extrínsecas
Regressão
simples
Regressão
múltipla
Médias móveis
Suavizamento
exponencial
Projeção de
tendências
AR eARMA
Método Delphi
Júri de executivos
Força de vendas
Pesquisa de mercado
Analogia histórica
ARIMA e 
SARIMA
Simulação Monte Carlo
1. Séries temporais
Tendência: É a orientação geral, para cima ou para baixo, dos dadoshistóricos
Ciclicidade: Padrões de variação dos dados de uma série que se repetem a cada 
determinado intervalo de tempo (longo prazo).
Sazonalidade: Variações cíclicas de curto prazo (menos de um ano).
Aleatoriedade: São os “erros” ou variações da série histórica de dados que não são 
devidas a variáveis presentes no modelo de previsão.
70
60
50
40
30
20
10
0
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
D
em
an
da
Variação irregular
Sazonalidade
Tendência
Variação aleatória
Simulação Monte Carlo
ESTUDO DE CASOII:-Aplicação
Consumo de café no Brasil
1975 6.795.000 1985 7.000.000 1995 10.100.000
1976 6.661.000 1986 7.000.000 1996 11.000.000
1977 7.036.000 1987 7.000.000 1997 11.500.000
1978 6.600.000 1988 8.000.000 1998 12.200.000
1979 6.600.000 1989 8.200.000 1999 12.700.000
1980 7.800.000 1990 8.200.000 2000 13.289.000
1981 7.500.000 1991 8.500.000 2001 13.490.000
1982 7.624.000 1992 8.900.000 2002 13.750.000
1983 7.800.000 1993 9.100.000 2003 14.200.000
1984 7.000.000 1994 9.300.000 2004 15.490.000
Simulação Monte Carlo
ESTUDO DE CASOII:-Aplicação
Consumo de café no Brasil
Ferramentade 
Predição
Simulação Monte Carlo
ESTUDO DE CASOII:-Aplicação
Consumo de café no Brasil
Ferramentade 
Predição
Inserir os dadostemporais
Escolha do método deprevisão
Escolha do errodaprevisão
Simulação Monte Carlo
ESTUDO DE CASOII:-Aplicação
Consumo de café no Brasil
Auto-
Regressivo
Simulação Monte Carlo
Abrir o arquivo 
Previsão Real.XLS
Simulação Monte Carlo
Otimização de problemas de 
delineamento de experimentos 
com múltiplas respostas
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo
Simulação Monte Carlo