ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53 2023

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QUESTÃO 1
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Orientações:
 
Está disponível em Material da Disciplina o arquivo Modelo de Resposta AE 3 GAAL (documento WORD), o qual vocês podem utilizar para responder a atividade. Seu uso não é obrigatório, mas auxilia a realizar e organizar seu trabalho.
Não serão aceitas respostas que constam apenas o resultado final, sem que seja demonstrado o raciocínio que o levou a encontrar aquela resposta (isso pode ser feito à mão e inserida a foto no documento WORD, pode ser feito diretamente no documento WORD ou pode ser feito no EXCEL e inserida no documento WORD).
O arquivo de resposta pode ter quantas páginas você precisar para respondê-lo, desde que siga o Modelo de Resposta AE 3 GAAL.
Quando for enviar a atividade pelo STUDEO, confira se é o arquivo correto da atividade e se o arquivo foi adequadamente enviado.
Trabalhos idênticos serão zerados.
 
Bom trabalho!
ATIVIDADE 3:
As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:
 
T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y - z, x + y)
 
(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
 
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
 
(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
 
(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
 
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
 
(f) Qual a matriz da Transformação?
 
(g) Quais seus autovalores?
 
(h) Quais seus autovetores?