Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Sobre o autor
Roberto S. Pereira Junior
O autor do caderno de estudos é o professor Roberto dos Santos Pereira
Junior, natural de Itaperuna/RJ, Bacharel em Engenharia Metalúrgica e de Materiais
pela Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF, 2007), Mestrando em
Engenharia de Produção pela Universidade Candido Mendes (UCAM, 2018/em
curso), Especialista em Exploração e Produção de Petróleo (UCP, 2014) e
Especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho (Redentor, 2014). É
professor da Faculdade Redentor desde 2014, nos cursos de engenharia civil,
engenharia mecânica, engenharia de produção e engenharia elétrica. Tem
experiência nas disciplinas de Ciência dos Materiais, Física I, FÍSICA II e Física III,
Resistência dos Materiais, Engenharia de Segurança do Trabalho e Fenômenos De
Transporte. Possui experiência em EAD.
Apresentação
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)!
A expressão fenômeno de transportes refere-se ao estudo sistemático e
unificado da transferência de quantidade de movimento, energia e matéria. O
assunto inclui as disciplinas de dinâmica dos fluidos, a transferência de calor e
a transferência de massa. A primeira trata do transporte da quantidade de
movimento, a segunda, do transporte de energia, enquanto que a terceira, do
transporte (transferência) de massa entre as espécies químicas.
O transporte (transferência) destas grandezas e a construção de
seus modelos guardam fortes analogias, tanto físicas como matemáticas, de tal
forma que a análise matemática empregada é praticamente a mesma. Assim os
problemas podem ser resolvidos de forma análoga: a partir da solução do problema
de uma destas três disciplinas, modificando-se as grandezas nas equações, pode-se
obter a solução para as outras duas áreas.
Os fenômenos de transporte podem dividir-se em dois tipos:
transporte molecular e transporte convectivo. Estes, por sua vez, podem ser
estudados em três níveis distintos: macroscópico, microscópico e molecular.
O estudo e a aplicação dos fenômenos de transporte são essenciais para
a engenharia contemporânea, por exemplo, nas áreas de engenharia
mecânica, engenharia de alimentos, engenharia química e engenharia eletrônica.
Vamos ver vários conceitos e estudos para a aplicação do fenômeno de
transporte. O estudo é muito importante para o dia a dia de um engenheiro. Então
tenha bastante atenção e vamos começar!
.
.
.
Bons estudos!
https://pt.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A2mica_dos_fluidos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propaga%C3%A7%C3%A3o_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transfer%C3%AAncia_de_massa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantidade_de_movimento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantidade_de_movimento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Propaga%C3%A7%C3%A3o_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A9cula
https://pt.wikipedia.org/wiki/Convec%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_mec%C3%A2nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_mec%C3%A2nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_de_alimentos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_qu%C3%ADmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_eletr%C3%B4nica
Objetivos
Este caderno de estudos tem como objetivo principal transmitir os
conhecimentos sobre os Fenômenos de Transportes aplicando com exemplos
práticos.
Este caderno de estudos tem como objetivos:
Fornecer conceitos básicos, e definições sobre Mecânica dos
Fluidos;
Fornecer conhecimento sobre noções fundamentais dos fluidos;
Fornecer conhecimento sobre a cinemática e dinâmica dos fluidos;
Fornecer conhecimento sobre vazão e suas aplicações;
Fornecer conhecimento sobre transferência ou transporte através
de convecção, radiação e condução;
Fornecer conhecimento pressão;
Fornecer conhecimento para cálculos usando equações em
regime permanente.
Sumário
AULA 1 - FENÔMENOS DE TRANSPORTES
1 FENÔMENOS DE TRANSPORTES ................................................................................. 13
1.1 Por que estudá-los? ........................................................................................ 13
1.2 Aplicabilidade na Engenharia ....................................................................... 14
1.3 Noções Fundamentais dos Fluidos ................................................................ 15
1.3.1 Algumas Propriedades dos Fluidos ....................................................... 16
1.3.2 Massa Específica ..................................................................................... 16
1.3.3 Peso Específico ........................................................................................ 17
1.3.4 Peso Específico Relativo ......................................................................... 18
AULA 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS ............................................................................................. 29
2.1 Pressão ............................................................................................................. 29
2.2 Teorema de Stevin .......................................................................................... 31
2.3 Lei de Pascal .................................................................................................... 31
2.4 Elevador hidráulico ......................................................................................... 32
2.5 Pressão atmosférica e barômetro de Torricelli ............................................. 33
AULA 3 - INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR
3 QUÊ E COMO? .......................................................................................................... 49
3.1 Origens físicas e equações de taxa .............................................................. 49
3.1.1 Condução ................................................................................................ 49
3.1.2 Convecção .............................................................................................. 52
3.1.3 Radiação .................................................................................................. 56
AULA 4 - TRANSPORTE DE CALOR POR CONDUÇÃO
4 LEI DE FOURIER ........................................................................................................... 69
4.1 Condução de calor em uma parede plana ................................................ 71
4.2 Analogia entre resistência térmica e resistência elétrica ........................... 73
4.3 Associação de paredes planas em série ..................................................... 74
4.4 Associação de paredes planas em paralelo ............................................... 76
4.5 Condução de calor através de configurações cilíndricas ......................... 77
4.6 Condução de calor através de uma configuração esférica ...................... 79
AULA 5 - TRANSPORTE DE CALOR POR CONVECÇÃO
5 LEI BÁSICA ................................................................................................................. 96
5.1 Camada limite ................................................................................................. 97
5.2 Determinação do coeficiente de película (H) ............................................. 98
5.3 Resistência térmica na convecção .............................................................. 99
5.4 Mecanismo combinados de transferência de calor (condução –
convecção) ............................................................................................................ 100
AULA 6 - TRANSPORTE DE CALOR POR RADIAÇÃO
6 DEFINIÇÃO RADIAÇÃO TÉRMICA .......................................................................... 120
6.1 Corpo negro e corpo cinzento .................................................................... 121
6.2 Lei de Stefan - Boltzmann ............................................................................. 122
6.3 Fator Forma .................................................................................................... 122
AULA 7 - CINEMÁTICA DOS FLUÍDOS – ESCOAMENTOS DOS FLUIDOS
7 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .................................................................................. 136
7.1 Escoamento de fluidos ................................................................................. 137
7.2 Escoamentos uni, bi e tridimensionais......................................................... 137
7.3 Escoamento permanente ............................................................................. 138
7.4 Escoamento variado ..................................................................................... 139
7.5 Escoamento uniforme ................................................................................... 140
7.6 Escoamento uniforme permanente ............................................................. 141
7.7 Escoamento uniforme não-permanente..................................................... 142
7.8 Experiência de Reynolds .............................................................................. 143
7.8.1 Escoamento laminar ............................................................................. 145
7.8.2 Escoamento turbulento ........................................................................ 146
7.9 Regime ou movimentos variado e permanente ........................................ 147
7.10 Vazão – velocidade média na seção ....................................................... 148
AULA 8 - DESCRIÇÃO EULERIANA E LANGRANGIANA DOS ESCOAMENTOS
8 DESCRIÇÃO EULERIANA E LANGRANGIANA DOS ESCOAMENTOS ...................... 158
8.1 Método de Lagrange .................................................................................... 158
8.2 Método de Euler ............................................................................................ 158
8.3 Principais linhas do escoamento ................................................................. 159
8.3.1 Linha de Trajetória ................................................................................. 159
8.3.2 Linha de emissão ................................................................................... 159
8.3.3 Linha de corrente .................................................................................. 160
8.3.4 Tubo de corrente ................................................................................... 161
8.4 Campo de velocidade: Euleriano x Lagrangiano ...................................... 162
8.5 Método de Euler ............................................................................................ 162
8.6 Método de Lagrange .................................................................................... 162
8.7 Derivadas: material, local e conectiva ....................................................... 163
AULA 9 - LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE – TENSÃO DE CISALHAMENTO
9 TENSÃO DE CISALHAMENTO-LEI DE NEWTON DE VISCOSIDADE........................... 171
9.1 Viscosidade absoluta ou dinâmica ............................................................. 173
9.2 Viscosidade cinemática 𝒗 ........................................................................... 176
9.3 Fluido ou escoamento incompressível ....................................................... 177
9.4 Equação de estado dos gases .................................................................... 177
AULA 10 - CARGA DE PRESSÃO
10 CARGA DE PRESSÃO ............................................................................................... 191
10.1 Escalas de pressão ...................................................................................... 192
10.2 Unidades de pressão ................................................................................... 193
10.3 Medidores de pressão ................................................................................. 195
10.3.1 Manômetro metálico ou de Bourdon .............................................. 195
10.3.2 Coluna piezométrica ou piezômetro ............................................... 196
10.3.3 Manômetro com tubo em U ............................................................. 197
10.4 A equação manométrica ........................................................................... 198
10.4.1 Regra ..................................................................................................... 199
AULA 11 - FORÇA NUMA SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA E CENTRO DAS
PRESSÕES
11 FORÇA NUMA SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA ....................................................... 210
11.1 Centro das pressões .................................................................................... 212
AULA 12 - FORÇAS EM SUPERFÍCIES SUBMERSAS – REVISÃO EMPUXO
12 FORÇA EM SUPERFÍCIES REVERSAS, SUBMERSAS. .................................................. 227
12.1 Componente horizontal ............................................................................... 227
12.2 Componente vertical .................................................................................. 228
12.3 Empuxo ......................................................................................................... 228
12.4 Flutuador – nomenclatura ........................................................................... 231
12.5 Estabilidade .................................................................................................. 231
AULA 13 - VAZÃO
13 VAZÃO – VELOCIDADE MÉDIA NA SEÇÃO ............................................................ 237
13.1 Equação da continuidade para regime permanente.............................. 239
13.2 Velocidade e aceleração nos escoamentos de fluidos .......................... 241
AULA 14 - EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
14 INTRODUÇÃO EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE ................... 255
14.1 Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido ............................ 255
AULA 15 - EQUAÇÃO DE BERNOULLI
15 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ....................................................................................... 262
15.1 Equação da energia e presença de uma máquina ................................ 265
15.2 Potência da máquina e noção de rendimento ........................................ 267
15.3 Equação de energia para fluido real......................................................... 269
15.4 Diagrama de velocidade não uniforme na seção ................................... 271
AULA 16 - EQUAÇÃO DE ENERGIA GERAL PARA REGIME PERMANENTE
16 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA DIVERSAS ENTRADAS E SAÍDAS E ESCOAMENTO EM
REGIME PERMANENTE DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL, SEM TROCAS DE CALOR ...... 289
16.1 Interpretação da perda de carga ............................................................. 291
16.2 Equação da energia geral para regime permanente ............................. 294
Iconografia
Fenômenos de Transportes
Aula 1
APRESENTAÇÃO DA AULA
Começaremos agora a conhecer melhor o conceito fenômenos dos
transportes e o que constitui conhecimento esse de extrema importância para a
engenharia. Brevemente podemos dizer que fenômenos dos transportes se refere ao
estudo sistemático e unificado da transferência de quantidade de movimento,
energia e matéria, onde veremos no decorrer das aulas.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Introdução dos Fenômenos dos Transportes;
Por que estudá-los?
Sua Aplicabilidade na Engenharia;
Noções Fundamentais dos Fluidos.
P á g i n a | 13
1 FENÔMENOS DE TRANSPORTES
A expressão fenômenos de transportes ou raramente titulada também como
fenômenos de transferência refere-se ao estudo sistemático e unificado da
transferência de quantidade de movimento, energia e matéria. O tema inclui as
disciplinas: dinâmica dos fluídos (ou Mecânica dos Fluídos), a transferência de calor
e a transferência de massa.
Como o fenômeno dos transportes está ligado ao uma série de estudos,
durantes as aulas entenderão melhor o seu conceito e aplicabilidade.
1.1 Por que estudá-los?
A melhor resposta é bastante simples: por sua relevância em face do mundo
em que vivemos. Não há praticamente nenhum setor da atividade humana que não
seja de uma forma ou de outra, afetado por problemas associados a Mecânica dos
Fluidos, á Termodinâmica, a Troca de Calor é a Troca de Massa, ou seja, que não
envolva interações de massa e de energia entre seus componentes. Assim, o
engenheiro, qualquer um, precisa ter noções básicas sobre estas ciências, pois, com
frequência, ele precisará tomar ou influenciar decisões técnicas, políticas ou
gerenciais envolvendo questões como a poluição dos rios como o exemplo Paraíba
do Sul, lagos e lagoas; a pertinência da construção da terceira usina nuclear de
Angra dos Reis; uma nova fábrica; o efeito estufa; coletores solares etc. mais do que
informações sobre estes assuntos, os engenheiros precisam entendê-los, até para
orientar as eventuais discussões.
Por exemplo:
O Carro que utilizamos é uma máquina térmica que converte a energia
química armazenada no combustível (seja ele gás, gasolina, diesel ou álcool). Como
torná-lo mais eficiente energeticamente? Até que ponto isto é possível?
Uma sala confortável para trabalhar depende das instalações de
condicionamento de ar. Como melhorar a qualidade do ar que respiramos nestes
ambientes? Ou será que você acredita que o conforto térmico seja só uma questão
de temperatura e umidade?
P á g i n a | 14
Nosso corpo funciona em um fantástico metabolismo impulsionado pelo
coração (bomba), que bombeia sangue pelas artérias e veias irrigando o corpo
humano e transportando nutrientes (oxigênio) e eliminando resíduos (CO2). Como
diminuir os problemas causados pelo mau funcionamento dos órgãos internos, como
o próprio coração, a irrigação do cérebro, a hemodiálise etc., em ambientes críticos
como o do micro gravidade (no espaço, por exemplo) ou das profundezas dos
oceanos?
Vivemos em um mundo em que a radiação solar mantém as plantas vivas e
nos aquece, mas, ao mesmo tempo, pode provocar complicações no nosso próprio
organismo, dependendo da capacidade da atmosfera em absorver as radiações em
alta energia. A cama de ozônio está crescendo ou diminuindo? Qual o verdadeiro
papel desta camada da proteção da vida humana? O que é o efeito estufa?
O clima do planeta é uma alternância de problemas associados a topologia,
a atmosfera (correntes convectivas que amenizam o clima local ou provocam
tornados, tufões etc.), aos oceanos e mares que promovem grandes ressacas e
imensos tsunamis que, descontrolados inundam as costas, causado prejuízos
imensos. Como construir melhores modelos para a previsão atmosférica? O nível
dos oceanos está de fato aumentando?
Em cima desta lista parcial e talvez tendenciosa de problemas de interesse
atual da humanidade está o fato de que a totalidade das atividades humanas e de
alguma forma poluente, afetando o meio ambiente. As descargas das fábricas, das
termoelétricas, dos automóveis, as queimadas, os imensos lagos das hidroelétricas,
os resíduos radioativos das usinas nucleares etc. São grandes fontes de poluição, e
estudar seus efeitos no ambiente é tarefa extremamente complexa, que envolve todo
cidadão, especialmente aqueles com formação técnica.
1.2 Aplicabilidade na Engenharia
As principais aplicações na Engenharia são:
Engenharia Civil:
Base do Estudo da Hidráulica;
Esforços em Obras Hidráulicas;
Monitoramento Hidrometeorológico;
P á g i n a | 15
Conforto Térmico em Ambientes Construídos.
Engenharia Mecânica, Naval e Aeronáutica:
Movimento dos Fluídos;
Hidrodinâmica;
Aerodinâmica;
Máquinas Térmicas;
Máquinas Hidráulicas.
Entre outras engenharias e aplicabilidades. Partindo da premissa das suas
aplicabilidades e sua importância para funcionamentos e construção entendemos
porque precisamos apresentar e entender esses conceitos.
1.3 Noções Fundamentais dos Fluidos
Um fluido é caracterizado como uma substância que se deforma
continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o
quão pequeno possa ser essa tensão. Os fluidos incluem os líquidos, os gases, os
plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos. A principal característica dos
fluidos está relacionada à propriedade de não resistir à deformação e apresentam a
capacidade de fluir, ou seja, possuem a habilidade de tomar a forma de seus
recipientes. Esta propriedade é proveniente da sua incapacidade de suportar uma
tensão de cisalhamento em equilíbrio estático. Os fluidos podem ser classificados
como: Fluido Newtoniano ou Fluido Não Newtoniano. Esta classificação está
associada à caracterização da tensão, como linear ou não linear no que diz respeito
à dependência desta tensão com relação à deformação e à sua derivada.
Os fluidos também são divididos em líquidos e gases, os líquidos formam uma
superfície livre, isto é, quando em repouso apresentam uma superfície estacionária
não determinada pelo recipiente que contém o líquido. Os gases apresentam a
propriedade de se expandirem livremente quando não confinados (ou contidos) por
um recipiente, não formando, portanto, uma superfície livre. A superfície livre
característica dos líquidos é uma propriedade da presença de tensão interna e
atração/repulsão entre as moléculas do fluido, bem como da relação entre as
tensões internas do líquido com o fluido ou sólido que o limita. Um fluido que
P á g i n a | 16
apresenta resistência à redução de volume próprio é denominado fluido
incompressível, enquanto o fluido que responde com uma redução de seu volume
próprio ao ser submetido à ação de uma força é denominado fluido compressível.
Figura 1.1: Ilustração divisão dos fluidos.
Fonte: AUTOR (2017)
1.3.1 Algumas Propriedades dos Fluidos
Algumas propriedades são fundamentais para a análise de um fluido e
representam a base para o estudo da mecânica dos fluidos, essas propriedades são
específicas para cada tipo de substância avaliada e são muito importantes para uma
correta avaliação dos problemas comumente encontrados na indústria. Dentre essas
propriedades podem-se citar: a massa específica, o peso específico e o peso
específico relativo.
1.3.2 Massa Específica
Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o
volume ocupado por ela. A massa específica pode ser quantificada através da
aplicação da equação a seguir.
Onde,
𝝆 - É a massa específica,
𝒎 - Representa a massa da substância e
𝑽 - O volume por ela ocupado.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o
volume em m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m³.
P á g i n a | 17
𝝆 =
𝒎
𝑽
1.3.3 Peso Específico
É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser
obtido pela aplicação da equação a seguir.
𝜸 =
𝑾
𝑽
Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de
Newton) por a equação pode ser reescrita do seguinte modo:
𝜸 =
𝒎.𝒈
𝑽
A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação
entre a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, pode-se
escrever que:
𝜸 = 𝝆.𝒈
Onde,
𝜸 - É o peso específico do fluido,
𝑾 - É o peso do fluido e
𝒈 - Representa a aceleração da gravidade,
Em unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração da gravidade em
m/s² e o peso específico em N/m³.
P á g i n a | 18
1.3.4 Peso Específico Relativo
Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso
específico da água. Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é
10000N/m³, e como o peso específico relativo é a relação entre dois pesos
específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja, não contempla unidades.
𝜸𝒓 =
𝜸
𝜸𝑯𝟐𝑶
Resumo
Nesta aula, abordamos:
Um pouco melhor o conceito de fenômenos de transportes e também
qual a importância de estuda-lo e a sua aplicabilidade na engenharia e
no nosso dia a dia.
Vimos como os fluidos são encontrados, e algumas propriedades
importantes para continuarmos com o estudo, sendo ele: massa
especifica peso específico e peso específico relativo.
Complementar
O vídeo do Link abaixo mostra uma
breve introdução complementar sobre o
estudo dos fenômenos de transportes.
<https://www.youtube.com/watch?v=ljCmPrC9RKY>.
Produzido pela Universidade Virtual do Estado de São Paulo.
https://www.youtube.com/watch?v=ljCmPrC9RKY
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia – Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Disponível em:
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B4menos_de_transporte>. Acesso em: 09 de mar
.2017.
Disponível em:
<http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/doalcey/materiais/Cap_1_Definicoes_Fund_
Gerais.pdf>. Acesso em: 09 mar. 2017.
Disponível em:
<http://www.ufjf.br/engsanitariaeambiental/files/2012/09/Apostila-de-Mec%C3%A2nica-dos-
Fluidos.pdf>. Acesso em: 17 mar. 2017.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B4menos_de_transporte
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/doalcey/materiais/Cap_1_Definicoes_Fund_Gerais.pdf
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/doalcey/materiais/Cap_1_Definicoes_Fund_Gerais.pdf
http://www.ufjf.br/engsanitariaeambiental/files/2012/09/Apostila-de-Mec%C3%A2nica-dos-Fluidos.pdf
http://www.ufjf.br/engsanitariaeambiental/files/2012/09/Apostila-de-Mec%C3%A2nica-dos-Fluidos.pdf
AULA 1
Questões
1) Se um reservatório de óleo tem uma massa de 825 Kg
um volume de 0,917 m3, determine a massa específica e o peso
específico do óleo (Considere g=10 m/s²).
2) Um fluido possui uma massa específica 𝜌 =
100 𝑘𝑔/𝑚3, qual é o seu peso específico e o seu peso especifico relativo. (Considere
𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚
3).
3) Um reservatório cilíndrico possui diâmetro e case igual a 2 m e altura de 4
m, sabendo-se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina, determine a
massa de gasolina presente no reservatório. (𝜌𝑔𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎 720 𝑘𝑔/𝑚
3).
d=2 m
h=4 m
AULA 1
Resolução
Questão 1:
Primeiro acharemos a massa específica, como apresentado na aula
utilizaremos a fórmula:
𝝆 =
𝒎
𝑽
Sabendo que a fórmula da massa específica e igual à massa dividido pelo
volume aplicando com os dados do exercício tem:
𝜌 =
825
0,917
𝝆 = 𝟖𝟗𝟗, 𝟔𝟕 𝑲𝒈/𝒎𝟑
Acharemos então que a massa especifica do óleo é de 899,67 Kg/m3.
Agora vamos achar o peso específico:
Vamos aplicar também a fórmula estudada nessa aula.
𝜸 = 𝝆 ∙ 𝒈
Para calcular o peso especifico pegamos a massa específica encontrada no
cálculo anterior vezes a gravidade que o exercício forneceu.
𝛾 = 899,67 ∙ 10
𝜸 = 𝟖. 𝟗𝟗𝟔, 𝟕 𝑵/𝒎𝟑
Descobrimos assim então o peso específico do óleo que é de 8.996,7 N/m3
Questão 2:
Para solucionar esse exercício precisamos começar resolvendo o peso
específico utilizando a fórmula:
P á g i n a | 24
𝜸 = 𝝆 ∙ 𝒈
𝛾 = 100 ∙ 10
𝜸 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵/𝒎𝟑
Tendo o resultado do peso específico, vamos calcular o peso específico
relativo, através da fórmula:
𝛾𝑟 =
𝛾
𝛾𝐻2𝑂
𝛾𝑟 =
1000
10.000
𝜸𝒓 = 𝟎, 𝟏
Assim encontramos o peso específico relativo.
Questão 3:
Para responder o que o exercício pediu, primeiramente precisamos achar o
volume do reservatório cilíndrico, para depois aplicar a fórmula de massa específica.
Então utilizaremos a fórmula do volume do um cilíndrico:
𝑽 = 𝑨𝒃𝒂𝒔𝒆 ∙ 𝒉 → 𝑉 =
𝜋 ∙ 𝑑2
4
∙ ℎ
𝑉 =
𝜋 ∙ 22
4
∙ 4 → 𝑽 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟔 𝒎𝟑
Agora que já temo o volume e só aplicar na fórmula de massa especifica
substituindo os valores que já temos que são eles a massa específica e o volume.
𝝆 =
𝒎
𝑽
720 =
𝑚
12,56
P á g i n a | 25
𝑚 = 720 ∙ 12,56
𝒎 = 𝟗𝟎𝟒𝟕, 𝟕𝟖 𝒌𝒈
AULA 1
Exercícios
1) Se 6,0 m3 de volume de uma determinada substância, pesa 47,0 KN,
determine o peso específico, a massa específica e peso específico relativo.
2) Suponhamos que você possua 60 g de massa de uma substância cujo
volume por ela ocupado é de 5 cm3. Calcule a massa específica dessa substância
nas unidades g/cm3 e kg/m3 e marque a opção correta.
a)12 g/cm3 e 12x10-4 kg/m3
b)12 g/cm3 e 12x104 kg/m3
c)14 g/cm3 e 12x104 kg/m3
d) 8 g/cm3 e 12x10-4 kg/m3
3) Calcular o peso específico, e massa específica de 6 m3 de volume de óleo
que apresenta a massa de 4800 kg. Considere a aceleração da gravidade igual a 10
m/s2.
4) Um reservatório cúbico com 2 m de aresta este completamente cheio de
óleo lubrificante. Determine a massa de óleo quando apenas ¾ do tanque estiver
ocupado. Considere: 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2·; 𝜌ó𝑙𝑒𝑜 𝑙𝑢𝑏𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 = 880 𝑘𝑔/𝑚
3
5) Sabe-se que 800 kg de um líquido ocupa um reservatório com volume de
1500 litros, determine sua massa específica, seu peso específico e o seu peso
específico relativo.
a
a
a
P á g i n a | 27
Dados: 𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚
3); 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2 ; 1000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 = 1 𝑚3
6) Determine a massa de mercúrio presente em uma garrafa de 2 litros.
Dados: 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 = 13.600
𝑘𝑔
𝑚3
; 𝑔 = 10
𝑚
𝑠2
; 1000𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 = 1 𝑚3
7) Sabendo que uma caixa d’água tem o volume de 1500 litros supondo que
ela esteja cheia e tendo que a massa específica da água é 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑘𝑔/𝑚
3.
Calcule a massa da caixa d’água e o seu peso específico.
1500 Litros
Mercúrio
2L
Estática dos fluidos
Aula 2
APRESENTAÇÃO DA AULA
A estática dos fluidos é a ramificação da mecânica dos fluidos que estuda o
comportamento de um fluido em uma condição de equilíbrio estático, ao longo dessa
aula são apresentados os conceitos fundamentais para a quantificação e solução de
problemas relacionados á pressão estática e escalas de pressão.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
O conceito de Estática dos Fluidos;
Aplicação de Pressão;
Pressão Atmosférica e Barômetro de Torricelli.
P á g i n a | 29
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS
O fluido é considerado estático se todas as partículas não tiverem movimento
ou tiverem a mesma velocidade relativa constante em relação a um referencial de
inércia. São considerados estáticos, os fluidos em repouso ou em movimento de
corpo rígido. Não há tensão de cisalhamento, só atuam tensões normais - pressão.
2.1 Pressão
A pressão média aplicada sobre uma superfície pode ser definida pela relação
entre a força aplicada e a área dessa superfície e pode ser numericamente calculada
pela aplicação da equação a seguir:
𝑃 =
𝐹
𝐴
Uma mesma força pode ser aplicada em áreas diferentes, criando pressões
diferentes. Por exemplo: imagine uma pessoa de salto alto. Quanto maior a área do
salto, menor a pressão e quanto menor a área do salto maior pressão. Da mesma
forma, para o mesmo sapato (mesma área), a pressão será maior se a pessoa for
mais pesada (força maior) e menor se for menos pesada. Como a força é aplicada é
dada em Newton (N) e a área em metro ao quadrado (m²), o resultado dimensional
será o quociente entre essas duas unidades básicas de pressão no sistema
internacional de unidades (SI) é N/m², também é usualmente chamado de pascal
(Pa), portanto é muito comum na indústria se utilizar a unidade Pa e os seus
múltiplos KPa (quilo pascal) e MPa que é (mega pascal).
Desse modo, as seguintes relações são aplicadas.
1 N/m² = 1Pa
1 KPa = 1000Pa = 103 Pa
1 MPa = 1000000Pa = 106 Pa
FN
P á g i n a | 30
Na pratica industrial, muitas outras unidades para a especificação da pressão
também são utilizadas, essas unidades são comuns nos mostradores dos
manômetros industriais e as mais comuns são:
atm. – (atmosfera) mmHg – (milímetro de mercúrio)
Kgf/cm2 – (quilograma força por centímetro quadrado)
Bar – (nomenclatura usual para pressão barométrica)
Psi – (libras por polegada ao quadrado)
mca – (metro de coluna d’água).
Dentre as unidades definidas de pressão, tem-se um destaque maior para a
atm (atmosfera) que teoricamente representa a pressão necessária para se elevar
em 760 mm uma coluna de mercúrio, assim, a partir dessa definição, a seguinte
tabela para a conversão entre unidades de pressão pode ser utilizada.
1 atm = 760 mmHg
1 atm = 760 mmHg = 101230Pa
1 atm = 760 mmHg = 101230Pa = 1,0330 kgf/cm²
1 atm = 760 mmHg = 101230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01 bar
1 atm = 760 mmHg = 101230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7psi
1 atm = 760 mmHg = 101230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7psi = 10,33
mca
P á g i n a | 31
2.2 Teorema de Stevin
O teorema de Stevin também é conhecido por teorema fundamental da
hidrostática e sua definição é de grande importância para a determinação da
pressão atuante em qualquer ponto de uma coluna de líquido. O teorema de Stevin
diz que “A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual
ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cota entre os dois pontos
avaliados”, matematicamente essa relação pode ser escrita do seguinte modo:
∆ P = γ ⋅ h
Avaliando-se a figura, é possível observar que o teorema de Stevin permite a
determinação da pressão atuante em qualquer ponto de um fluido em repouso e que
a diferença de cotas ∆h é dada pela diferença entre a cota do ponto B e a cota do
ponto A medidas a partir da superfície livre do líquido, assim, pode-se escrever que:
P1 h1
P2 h2
P P2 P1 h2 h1 h2 h1
“A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido é igual ao produto
do peso específico do fluido pela diferença de cotas entre os dois pontos”.
2.3 Lei de Pascal
O Princípio de Pascal representa uma das mais significativas contribuições
práticas para a mecânica dos fluidos no que tange a problemas que envolvem a
transmissão e a ampliação de forças através da pressão aplicada a um fluido. O seu
enunciado diz que: “quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma
variação de pressão, todos os outros pontos também sofrem a mesma variação”.
Pascal, físico e matemático francês, descobriu que, ao se aplicar uma pressão
em um ponto qualquer de um líquido em equilíbrio, essa pressão se transmite a
P h
P á g i n a | 32
todos os demais pontos do líquido, bem como às paredes do recipiente. Essa
propriedade dos líquidos, expressa pela lei de Pascal, é utilizada em diversos
dispositivos, tanto para amplificar forças como para transmiti-las de um ponto a
outro.
Um exemplo disso é a prensa hidráulica e os freios hidráulicos dos
automóveis.
2.4 Elevador hidráulico
Os elevadores para veículos automotores, utilizados em postos de serviço e
oficinas, por exemplo, baseiam-se nos princípios da prensa hidráulica.
Ela é constituída de dois cilindros de seções diferentes. Em cada um, desliza
um pistão. Um tubo comunica ambos os cilindros desde a base. A prensa hidráulica
permite equilibrar uma força muito grande a partir da aplicação de uma força
pequena. Isso é possível porque as pressões sobre as duas superfícies são iguais
(Pressão = Força / Área). Assim, a grande força resistente (F2) que age na
superfície maior é equilibrada por uma pequena força motora (F1) aplicada sobre a
superfície menor (F 2/A 2 = F1/A1) como pode se observar na figura.
Figura 2.1: Ilustração Pressão é igual à força sobre área.
𝑭𝟏
𝑨𝟏
=
𝑭𝟐
𝑨𝟐
Fonte: AUTOR (2017)
P á g i n a | 33
2.5 Pressão atmosférica e barômetro de Torricelli
Sabe-se que o ar atmosférico exerce uma pressão sobre tudo que existe na
superfície da terra. A medida dessa pressão foi realizada por um discípulo de Galileu
chamado Evangelista Torricelli, em 1643. Em 1643, Torricelli fazia uma experiência
para demonstrar sua ideia de que a água sai de uma bomba não por ser atraída pelo
vácuo, a ausência de ar, mas por pressão do ar.
Para executar a medição, Torricelli tomou um tubo longo de vidro, fechado em
uma das pontas, e encheu-o até a borda com mercúrio. Depois tampou a ponta
aberta e, invertendo o tubo, mergulhou essa ponta em uma bacia com mercúrio.
Soltando a ponta aberta notou que a coluna de mercúrio descia até um determinado
nível e estacionava quando alcançava uma altura de cerca de 760 milímetros.
Acima do mercúrio, Torricelli logo percebeu que havia vácuo e que o peso do
mercúrio dentro do tubo estava em equilíbrio estático com a força que a pressão do
ar exercia sobre a superfície livre de mercúrio na bacia, assim, definiu que a pressão
atmosférica local era capaz de elevar uma coluna de mercúrio em 760 mm, definindo
desse modo a pressão atmosférica padrão.
O mercúrio foi utilizado na experiência devido a sua elevada densidade, se o
líquido fosse água, a coluna deveria ter mais de 10 metros de altura para haver
equilíbrio, pois a água é cerca de 14 vezes mais leve que o mercúrio.
Torricelli concluiu que as camadas de ar, por causa de seu peso, exerceram
uma pressão sobre o mercúrio do recipiente e que esta mesma pressão mantinha o
líquido em suspensão no interior do tubo. Ele demonstrou desta forma que o ar tinha
peso e, mais ainda, que isto poderia ser medido. Ao mesmo tempo, o discípulo de
Galileu provou que era possível criar o vácuo, uma constatação que por si só causou
reviravoltas na física. Dessa forma, Torricelli concluiu também que essas variações
mostravam que a pressão atmosférica podia variar e suas flutuações eram medidas
pela variação na altura da coluna de mercúrio. Torricelli não apenas demonstrou a
existência da pressão do ar, mas inventou o aparelho capaz de realizar sua medida,
o barômetro como pode se observar na figura.
P á g i n a | 34
Figura 2.2: Barômetro de Torricelli.
Fonte: AUTOR (2017)
Aula 2
Questões
1) Uma caixa hermética, cuja tampa tem uma área de 77,4 cm², e
principalmente esvaziada. A força necessária para abrir a caixa vale 480,4 N e a
pressão atmosférica é igual a 1,02 atm. Calcule a pressão no interior da caixa.
2) Uma placa circular com diâmetro igual a 0,8 m possui peso de 500 N,
determine em Pa (Pascal) a pressão exercida por essa placa quando a mesma
estiver apoiada sobre o solo.
3) Determine o peso em N de uma placa retangular de área igual a 4m2 de
forma a produzir uma pressão de 7000 Pa.
4) Na figura apresentada a seguir, os êmbolos A e B possuem áreas de 80
cm² e 20 cm² respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o
sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em A é
igual a 100 kg, determine a massa do corpo colocado em B.
d=0,8m
P = 500N
Área = 4m2
P á g i n a | 36
Aula 2
Resolução
Questão 1:
No problema, uma caixa é parcialmente evacuada, ou seja, a sua pressão
interna diminui. Além disso, alguém está tentando abri-la. Tudo isso gera uma
composição de forças, como veremos.
Lembrando: Nossa missão é encontrar a pressão interna da caixa.
Sendo:
F1: A força necessária para abrir a caixa, feita por uma pessoa, e que vale
480,4 N.
F2: A força gerada pela pressão atmosférica, que ainda vamos calcular.
F3: A força gerada por aquela tal pressão interna que queremos descobrir.
Patm: Pressão atmosférica: 1,02 atm = 1,02. 105 Pa (utilizando 1 atm = 105 Pa)
Pint: Pressão interna.
As distribuições espaciais das forças ficam conforme a figura:
Primeiramente, devemos calcular as forças. Pelo enunciado, apenas a força
exercida pela pessoa foi dada.
Usaremos a relação a seguir para calcular as outras:
𝑃 =
𝐹
𝐴
Logo, F2 e F3 valem:
𝐹2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 . 𝐴 = 1,02 . 77,4 = 1,02 . 10
5 . 77,4 . 10−4 = 789,5 𝑁
𝐹3 = 𝑃𝑖𝑛𝑡 . 𝐴 = 𝑃𝑖𝑛𝑡 . 77,4 . 10
−4
P á g i n a | 38
E o valor de F1 já é conhecido.
Agora, estamos preparados para equacionar e descobrir Pint.
Bom, a figura da distribuição espacial das forças nos mostra que F3 e F1
apontam para cima, enquanto F2 aponta para baixo. A lógica nisto é que a força
gerada pela atmosfera precisa ser “vencida” para que a caixa abra. Portanto,
devemos igualar a soma das forças que apontam para cima a F2 para que, após
isso, isolemos Pint:
𝐹2 = 𝐹3 + 𝐹1
𝐹3 = 𝐹2 − 𝐹1
𝑃𝑖𝑛𝑡 . 𝐴 = 𝐹2 − 𝐹1
𝑃𝑖𝑛𝑡 =
𝐹2 − 𝐹1
𝐴
Sendo F2 = 789,5 N, F1 = 480,4 N e A = 77,4. 10-4 m2 basta aplicar na
equação e obteremos:
𝑃𝑖𝑛𝑡 = 3,9 . 10
4𝑃𝑎 ≈ 4,0 . 104 𝑃𝑎
𝑷𝒊𝒏𝒕 = 𝟒, 𝟎 . 𝟏𝟎
𝟒 𝑷𝒂
Questão 2:
Primeiramente temos que encontrar a área
𝐴 =
𝜋 . 𝑑2
4
𝐴 =
𝜋 . 0,82
4
𝐴 = 0,5024 𝑚2
Com a área vamos determinar a pressão
𝑃 =
𝐹
𝐴
P á g i n a | 39
𝑃 =
500
0,5024
𝑃 = 995,22 𝑁/𝑚2
𝑷 = 𝟗𝟗𝟓, 𝟐𝟐 𝑷𝒂
Questão 3:
Temos a pressão e a área, de acordo com a fórmula estudada nesse capítulo
de pressão é igual à relação de força sobre área, tendo isso vamos calcular:
𝑃 =
𝐹
𝐴
𝐹 = 𝑃 . 𝐴
𝐹 = 7000 . 4
𝑭 = 𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎 𝑵
Questão 4:
Primeiro vamos calcular a força atuante em A
𝐹𝐴 = 𝑚𝐴 . 𝑔
𝐹𝐴 = 100 . 10
𝐹𝐴 = 1000 𝑁
Agora vamos encontrar a força atuante em B
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
1000
80
=
𝐹𝐵
20
𝐹𝐵 =
100 . 20
80
𝐹𝐵 = 250𝑁
Enfim acharemos a massa em B:
𝐹𝐵 = 𝑚𝐵 . 𝑔
A força calculada
corresponde ao
peso da placa
P á g i n a | 40
𝑚𝐵 =
𝐹𝐵
𝑔
𝑚𝐵 =
250
10
𝒎𝑩 = 𝟐𝟓 𝑲𝒈
Resumo
Nesta aula, abordamos:
O fluido é considerado estático se todas as partículas não tiverem
movimento ou tiverem a mesma velocidade relativa constante em
relação a um referencial de inércia.
Aprendemos também que pressão e a relação entre força e área.
Vimos também que o ar atmosférico exerce uma pressão sobre tudo
que existe na superfície da terra.
E segundo o experimento de Torricelli concluiu que as camadas de ar,
por causa de seu peso, exerceram uma pressão sobre o mercúrio do
recipiente e que esta mesma pressão mantinha o líquido em
suspensão no interior do tubo.
Ele demonstrou desta forma que o ar tinha peso e, mais ainda, que isto
poderia ser medido. Ao mesmo tempo, o discípulo de Galileu provou
que era possível criar o vácuo, uma constatação que por si só causou
reviravoltas na física.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia – Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula4.pdf>. Acesso em: 17 de Abri
de 2017.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf ->. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula4.pdf
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 2
Exercícios
1) Uma caixa d’água de área de base 1,2 m x 0,5 m e altura de 1 m pesando
1000 N que pressão ela exerce sobre o solo?
Dados g= 10 m/s2; 𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚
3
a) Quando estiver vazia?
b) Quando estiver cheia com água?
2) A figura mostra um tanque de gasolina com infiltração de água.
Se a densidade da gasolina é 0,68 determine a pressão no fundo do tanque
(H2O = 9800 N/m
3 ).
3) Uma placa circular com diâmetro igual a 1 m, possui um peso de 500 N,
determine em Pa a pressão exercida por essa placa quando a mesma estiver
apoiada sobre o solo.
4) Converta as unidades de pressão para o sistema indicado. Utilize os
0,5 m 1,2 m
1 m
P á g i n a | 45
fatores de conversão apresentados na tabela abaixo:
1 atm = 760 mmHg
1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa
1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1, 0330 kgf/cm²
1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1, 0330 kgf/cm² = 1,01 bar
1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1, 0330 kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi
1 atm = 760 mmHg = 101230 Pa = 1, 0330 kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi =
10,33 mca.
a) Converter 20 psi em Pa.
b) Converter 3000 mmHg em Pa.
c) Converter 200 k Pa em kgf/cm².
d) Converter 30 kgf/cm² em psi.
e) Converter 5 bar em Pa.
f) Converter 25 mca em kgf/cm².
g) Converter 500 mmHg em bar.
h) Converter 10 psi em mmHg.
i) Converter 80000 Pa em mca.
j) Converter 18 mca em mmHg
5) Qual a pressão, em kgf/cm 2, no fundo de um reservatório que contém
água, com 3 m de profundidade?
6) Faça o mesmo cálculo para um reservatório que contém gasolina (peso
específico relativo = 0,72).
7) O nível de água contida em uma caixa d’água aberta à atmosfera se
encontra 10 m acima do nível de uma torneira, determine a pressão de saída da
água na torneira.
Dados: γH2O = 10000 N/m³, g = 10 m/s².
P á g i n a | 46
8) As áreas dos pistões do dispositivo hidráulico mostrado na figura mantêm a
relação 50:2. Verifica-se que um peso P colocado sobre o pistão maior é equilibrado
por uma força de 30 N no pistão menor, sem que o nível de fluido nas duas colunas
se altere. Aplicando-se o princípio de Pascal determine o valor do peso P.
9) A prensa hidráulica mostrada na figura está em equilíbrio.
Sabendo-se que os êmbolos possuem uma relação de áreas de 5:2,
determine a intensidade da força F.
10) Na prensa hidráulica mostrada na figura, os diâmetros dos tubos 1 e 2
são, respectivamente,
4 cm e 20 cm. Sendo o peso do carro igual a 10000 N,
determine:
a) a força que deve ser aplicada no tubo 1 para equilibrar o carro.
b) o deslocamento do nível de óleo no tubo 1, quando o carro sobe 20 cm.
P á g i n a | 47
Introdução à transferência de calor
Aula 3
APRESENTAÇÃO DA AULA
A partir do estudo da termodinâmica, aprendemos que energia pode ser
transferida através de interações de um sistema com a sua vizinhança.
Essas interações são chamadas de trabalho e calor.
Entretanto, a termodinâmica lida com os extremos (inicial e final) do processo
ao longo do qual uma interação ocorre e não fornece informação sobre a natureza
da interação ou sobre a taxa na qual ela ocorre.
O objetivo de presente texto é estender a análise termodinâmica através do
estudo dos modos de transfereência de calor e através do desenvolvimento de
relações para calcular taxas de transferência de calor.
Nesta aula, estabelecemos os fundamentos para uma grande parte do
material tratado. Fazemos isso atraves da colocação de várias perguntas. O que é
transferência de calor? Como o calor é transferido? Por que isso é importante?
Um objetivo é desenvolver uma avaliação dos conceitos fundamentais e
principios que fundamentam os processos de trasnferência de calor. Um segundo
objetivo pe ilustrar uma forma na qual um conhecimento de transferência de calor
pode ser usado em conjunt o com a primeira lei da termodinâmica (conservação da
energia) para resolver problemas relevantes para a tecnologia e para a sociedade.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
O conceito de Transferência de calor;
Introdução à transferência por condução, convecção e radiação.
P á g i n a | 49
3 QUÊ E COMO?
Uma definição simples, mas geral, fornece uma resposta satisfatória para a
pergunta: O que é transferência de calor? Transferência de calor (ou color) é energia
térmica em trânsito devido a uma diferença de temperaturas no espaço. Sempre que
existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios, haverá,
necessariamente, transferência de calor. Quando existe um gradiente de
temperatura em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido, usamos
o termo condução para nos referirmos à transferência de calor que ocorrerá através
do meio. Em contraste, o termo convecção se refere à transferência de calor que
ocorrerá entre uma superfície e um fluido em movimento quando eles estiverem a
diferentes temperaturas. O terceiro modo de transferência de calor é chamado de
radiação térmica. Todas as superfícies com a temperatura não nula emitem energia
na forma de ondas eletromagnéticas. Desta forma, na ausência e um meio interposto
participante, há transferência de calor líquida, por radiação, entre duas superfícies a
diferentes temperaturas.
3.1 Origens físicas e equações de taxa
Como engenheiros, é importante que entendamos os mecanismos físicos que
fundamentam os modos de transferência de calor e que sejam capazes de usar as
equações das taxas que determinam a quantidade de energia sendo transferida por
unidade de tempo.
3.1.1 Condução
Com a menção da palavra condução, devemos imediatamente visualizar
conceitos das atividades atômicas e moleculares, pois são processos nesses níveis
que mantêm este modo de transferência de calor. A condução pode ser vista como a
transferência de energia das partículas mais energéticas para as menos energéticas
de uma substância devido ás interações entre partículas. O mecanismo físico da
condução é mais facilmente explicado através da consideração de um gás e do uso
de ideias familiares vindas de seu conhecimento da termodinâmica. Considere em
gás no qual exista gradiente de temperatura e admita que não haja movimento
P á g i n a | 50
global, ou macroscópico. O gás pode ocupar o espaço entre duas superfícies que
são mantidas a diferentes temperaturas, como mostra a figura abaixo:
Figura 3.1: Associação da transferência de calor por condução a difusão de energia devida
à atividade molecular.
Fonte: AUTOR (2017)
Associamos a temperatura em qualquer ponto à energia das moléculas do
gás na proximidade do ponto. Essa energia está relacionada ao movimento de
translação aleatório, assim como os movimentos internos de rotação e de vibração
das moléculas. Temperaturas mais altas estão associadas ás energias moleculares
mais altas e quando moléculas vizinhas se chocam, como o fazem constantemente,
uma transferência de energia das moléculas mais energéticas para as menos
energéticas deve ocorrer. Na presença de um gradiente de temperatura,
transferência de energia por condução deve, então, ocorrer na direção da diminuição
da temperatura. Isso continuaria sendo verdade na ausência de colisões, como está
evidente na figura 3.1.
O plano hipotético em X0 está sendo constantemente atravessado por
moléculas vindas de cima ou de baixo, devido ao movimento aleatório destas
moléculas. Contudo, moléculas vindas de cima estão associadas a temperaturas
superiores àquelas das moléculas vindas de baixo e, nesse caso, deve existir uma
transferência líquida de energia da direção positiva de x. Colisões entre moléculas
melhoram essa transferência de energia. Podemos falar da transferência líquida de
energia pelo movimento molecular aleatório como uma difusão de energia. A
situação e muito semelhante nos líquidos, embora as moléculas estejam mais
próximas e as interações moleculares sejam mais fortes e mais frequentes.
P á g i n a | 51
Analogamente em um sólido, a condução pode ser atribuída à atividade atômica na
forma de vibrações dos retículos. A visão moderna associa a transferência de
energia a ondas na estrutura de retículos induzidas pelo movimento atômico. Em um
não condutor elétrico, a transferência de energia ocorre em função do movimento de
translação dos elétrons livres. São inúmeros os exemplos de transferência de calor
por condução. A extremidade exposta de uma colher de metal subitamente imersa
em uma xícara de café quente será, após certo tempo, aquecida devida à condução
de energia através da colher. Em um dia de inverno, há perda significativa de
energia de um quarto aquecido para o ar externo. Esta perda ocorre principalmente
devida à transferência de calor por condução através da parede que separa o ar do
interior do quarto do ar externo. É possível quantificar processo de transferência de
calor em termos de equações de taxa apropriadas. Essas equações podem ser
usadas para calcular a quantidade de energia sendo transferida por unidade de
tempo. Para a condução térmica, a equação da taxa é conhecida como Lei de
Fourier.
Para uma parede plana unidimensional, com uma distribuição de
temperaturas T(x), a equação da taxa é representada na forma.
𝑞𝑥
′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
O fluxo térmico 𝑞𝑥
′′ (𝑊/𝑚2) é a taxa de transferência de calor na direção X por
unidade de área perpendicular à direção da transferência e ele é proporcional ao
gradiente de temperatura,
𝑑𝑇
𝑑𝑥
·, nesta direção. O parâmetro 𝑘 é uma propriedade de
transporte conhecida como condutividade térmica (W/(m.K)) e é uma característica
do material da parede. O sinal de menos é uma consequência de o fato do calor ser
transferido na direção da temperatura decrescente. Nas condições de estado
estacionário, com a distribuição de temperaturas linear, o gradiente de temperatura
pode ser representado como:
𝑑𝑇
𝑑𝑥
=
𝑇2− 𝑇1
𝐿
E o fluxo térmico é, então,
P á g i n a | 52
𝑞𝑥
′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Ou,
𝑞𝑥
′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 𝑘
∆𝑇
𝐿
Note que esta equação fornece um fluxo térmico, isto é, a taxa de
transferência de calor por unidade de área. A taxa de transferência de calor por
condução, 𝑞𝑥 (W), através de uma parede
plana com área A, é, então, o produto do
fluxo e da área, 𝑞𝑥 = 𝑞𝑥
′′ . 𝐴.
3.1.2 Convecção
O modo de transferência de calor por convecção abrange dois mecanismos.
Além de transferência de energia devido ao movimento molecular aleatório
(difusão), a energia também é transferida através do movimento global, ou
macroscópico, do fluido. Esse movimento do fluido está associado ao fato de que,
em um instante qualquer, um grande número de moléculas está se movendo
coletivamente ou como agregado. Tal movimento, na presença de um gradiente de
temperatura, contribui para a transferência de calor. Como as moléculas nos
agregados mantêm seus movimentos aleatórios, a transferência total de calor é,
então, devida à superposição do transporte devido ao movimento global do fluido.
É comum usar o termo convecção para fazer referência a esse transporte
cumulativo e o termo advecção para fazer referência ao transporte devido ao
movimento global do fluido. Estamos especialmente interessados na transferência
de calor por convecção, que ocorre com o contato entre um fluido em movimento e
uma superfície, estando os dois a diferentes temperaturas. Considere o escoamento
de um fluido sobre a superfície aquecida da Figura 3.2. Uma consequência da
interação entre o fluido e a superfície é o desenvolvimento de uma região no fluido
através da qual a sua velocidade varia entre zero, no contato com a superfície (y=0),
e um valor finito 𝑢∞ ·, associado ao escoamento do fluido. Essa região do fluido é
conhecida por camada limite hidrodinâmica ou de velocidade. Além disso, se as
temperaturas da superfície e do fluido forem diferentes, existirá uma região no fluido
P á g i n a | 53
através da qual a temperatura variará de 𝑇𝑠 em y=0, até 𝑇∞, associada à região do
escoamento afastada da superfície.
Essa região, conhecida por camada limite térmica, pode ser menor, maior ou
ter o mesmo tamanho daquela através da qual a velocidade varia. Em qualquer
caso, se 𝑇𝑠 > 𝑇∞, transferência de calor por convecção se dará desta superfície
para o fluido em escoamento.
Figura 3.2: Desenvolvimento da camada limite na transferência de calor por convecção.
Fonte: AUTOR (2017)
O modo de transferência de calor por convecção é mantido pelo movimento
molecular aleatório e pelo movimento global do fluido no interior da camada limite.
A contribuição devido ao movimento molecular aleatório (difusão) é dominante
próxima à superfície, onde a velocidade do fluido é baixa. Na verdade, na interface
entre a superfície e o fluido (y=0), a velocidade do fluido é nula e o calor é
transferido somente através desse mecanismo. A contribuição do movimento global
do fluido origina-se no fato de que a espessura da camada limite cresce à medida
que o escoamento progride na direção do eixo x. Nesse sentido, o calor que é
conduzido para o interior desta camada é arrastado na direção do escoamento,
sendo posteriormente transferido para o fluido que se encontra no exterior da
camada limite. O estudo e a observação dos fenômenos relacionados com a camada
limite são essenciais para a compreensão da transferência de calor por convecção.
A transferência de calor por convecção pode ser classificada de acordo com a
natureza do escoamento do fluido. Referimo-nos á convecção forçada quando o
escoamento é causado por meios externos, tais como um ventilador, uma bomba, ou
P á g i n a | 54
ventos atmosféricos. Como um exemplo, considere o uso de um ventilador para
propiciar o resfriamento com ar, por convecção forçada, dos componentes
eletrônicos quentes em uma série de placas de circuito impresso (Figura 3.3a). Em
contraste, no caso da convecção livre (ou natural) o escoamento do fluido PE
induzido por forças de empuxo, que são originadas a partir de diferenças de
densidades (massas específicas) causadas por variações de temperatura no fluido.
Um exemplo é a transferência de calor por convecção natural, que ocorre a partir
dos componentes quentes de uma série de placas de circuito impresso dispostas
verticalmente e expostas ao ar (Figura 3.3b). O ar que entra em contato direto com
os componentes experimenta um aumento de temperatura e, portanto, uma redução
da densidade. Como ele fica mais leve do que o ar adjacente, as forças de empuxo
induzem um movimento vertical no qual o ar quente perto das placas ascende e é
substituído pelo influxo de ar ambiente, mais frio. Enquanto consideramos
convecção forçada pura na Figura 3.3a e convecção natural pura na Figura 3.3b,
condições correspondentes à mistura (combinação) de convecção forçada e natural
podem existir. Por exemplo, se as velocidades associadas ao escoamento da Figura
3.3a forem pequenas e/ou as forças de empuxo forem grandes, um escoamento
secundário, comparável ao escoamento forçado imposto, pode ser induzido.
Neste caso, o escoamento induzido pelo empuxo seria perpendicular ao
escoamento forçado e poderia ter um efeito significativo na transferência de calor por
convecção a partir dos componentes. Na Figura 3.3b, ocorreria convecção mista se
um ventilador fosse usado para forçar o ar para cima, entre as placas de circuito
impresso, dessa forma auxiliando o escoamento causado pelo empuxo; ou então em
direção oposta (para baixo), nesse caso opondo-se ao escoamento causado pelo
empuxo.
P á g i n a | 55
Figura 3.3: Processos de Transferência de calor por convecção: (a) Convecção Forçada (b)
Convecção Natural (c) Ebulição (d) Condensação.
Fonte: AUTOR (2017)
Descrevemos o modo de transferência de calor por convecção como a
transferência de energia ocorrendo no interior de um fluido devido aos efeitos
combinados da condução e do escoamento global ou macroscópico do fluido.
Tipicamente, a energia que está sendo transferida é a energia sensível, ou térmica
interna, do fluido. Tipicamente, a energia que está sendo transferida é a energia
sensível, ou térmica interna, do fluido. Contudo, há processos de convecção nos
quais existe também a troca de calor latente. Essa troca de calor latente é
geralmente associada a uma mudança de fase entre o estado líquido e vapor do
fluido. Dois casos particulares de interesse são a ebulição e a condensação.
Por exemplo, transferência de calor por convecção resulta da movimentação
do fluido induzida por bolhas de vapor geradas no fundo de uma panela contendo
água em ebulição (Figura 3.3c), ou pela condensação de vapor d’água na superfície
externa de uma tubulação por onde escoa água fria (Figura 3.3d).
Independentemente da natureza especifica do processo de transferência de calor
por convecção, a equação apropriada para a taca de transferência possui a forma:
P á g i n a | 56
𝑞′′ = ℎ(𝑇𝑆 − 𝑇∞)
Onde 𝑞′′, o fluxo de calor por convecção (W/m2), é proporcional à diferença
entre as temperaturas da superfície e do fluido, 𝑇𝑆 e 𝑇∞, respectivamente.
Essa expressão é conhecida como a lei do resfriamento de Newton, e o
parâmetro h (W/(m2. K)) é chamado de coeficiente de transferência de calor por
convecção. Ele depende das condições na camada limite, as quais, por sua vez,
são influenciadas pela geometria da superfície, peã natureza do escoamento do
fluido e por uma série de propriedades termodinâmicas e de transporte do fluido.
3.1.3 Radiação
Radiação térmica é a energia emitida pela matéria que se encontra a uma
temperatura não nula. Ainda que voltemos nossa atenção para a radiação a partir de
superfícies sólidas, a emissão também ocorre a partir de gases e líquidos.
Independentemente da forma da matéria, a emissão pode ser atribuída a mudanças
nas configurações eletrônicas dos átomos ou moléculas que constituem a matéria.
A energia do campo de radiação é transportada por ondas eletromagnéticas
(ou, alternativamente, fótons). Enquanto a transferência de energia por condução ou
convecção requer
a presença de um meio material, a radiação não necessita dele.
Na realidade, a transferência por radiação ocorre mais eficientemente no vácuo.
Considere os processos de transferência de calor por radiação na superfície da
Figura 3.4a. A radiação que é emitida pela superfície tem sua origem na energia
térmica da matéria delimitada pela superfície e a taxa na qual a energia é liberada
por unidade de área (W/m2) é conhecida como poder emissivo, E, da superfície.
Há um limite superior para o poder emissivo, que é determinado pela lei de
Stefan-Boltzmann.
𝐸𝑛 = 𝜎𝑇𝑠
4
Onde 𝑇𝑆 é a temperatura absoluta (K) da superfície e 𝜎 é a constante de
Stefan-Boltzmann (𝜎 = 5,67. 10−8 𝑊/ (𝑚2. 𝐾4)). Tal superfície é chamada um
P á g i n a | 57
radiador ideal ou corpo negro. O fluxo térmico emitido por uma superfície real é
menor do que aquele emitido por um corpo negro a mesma temperatura é dado por:
𝐸 = 𝜀𝜎𝑇𝑠
4
Onde 𝜀 é uma propriedade radiante da superfície conhecida por emissividade.
Com valores na faixa de 0 ≤ 𝜀 ≤ 1, essa propriedade fornece uma medida da
eficiência na qual uma superfície emite energia em relação ao corpo negro.
Ela depende fortemente do material da superfície e de seu acabamento.
A radiação também pode incidir sobre uma superfície a partir de sua
vizinhança. A radiação pode ser oriunda de uma fonte especial, tal como o sol, ou de
outras superfícies às quais a superfície de interesse esteja exposta.
Independentemente da (s) fonte (s), designamos a taxa na qual todas essas
radiações incidem sobre uma área unitária da superfície por irradiação, G (Figura
3.4b). Uma porção, ou toda a irradiação, pode ser absorvida pela superfície,
aumentando dessa forma a energia térmica do material. A taxa na qual a energia
radiante é absorvida, por unidade de área da superfície, pode ser calculada com o
conhecimento de uma propriedade radiante da superfície conhecida por
absortividade 𝛼. Ou seja,
𝐺𝑎𝑏𝑠 = 𝛼𝐺
Onde 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Se 𝛼 < 1 e a superfície é opaca, porções da irradiação são
refletidas. Se a superfície é semitransparente, porções da irradiação podem também
ser transmitidas. Contudo, enquanto a radiação absorvida e a emitida aumentam e
reduzem, respectivamente, a energia térmica da matéria, a radiação refletida e a
transmitida não têm efeito nessa energia. Note que o valor de 𝛼 depende da
natureza da irradiação, assim como da superfície propriamente dita. Por exemplo, a
absortividade de uma superfície para radiação solar pode diferir de sua absortividade
para a radiação emitida pelas paredes de um forno. Em muitos problemas de
engenharia (uma importante exceção sendo problemas envolvendo radiação solar
ou radiação oriunda de outras fontes a temperaturas muito altas), os líquidos podem
ser considerados opacos e os gases podem ser considerados transparentes em
P á g i n a | 58
relação à transferência de calor por radiação. Sólidos podem ser opacos (como é o
caso dos metais) ou semitransparentes (como é o caso de dinas folhas de alguns
polímeros e alguns materiais semicondutores). Um caso particular que ocorre com
frequência é a troca de radiação entre uma pequena superfície a 𝑇𝑆 e uma superfície
isotérmica, muito maior, que envolve completamente a menor. (Figura 3.4b).
Resumo
Nesta aula, abordamos:
Transferência de Calor é energia em trânsito devido a uma diferença de
temperatura.
Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios
ocorrerá transferência de calor.
Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em
contato direto, como mostrado abaixo, ocorrera uma transferência de calor do corpo
de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura até que haja
equivalência de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o
equilíbrio térmico.
Se T1 > T2 T1 > T > T2
Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor, mas calor
é identificado com tal quando cruza a fronteira de um sistema. O calor é, portanto,
um fenômeno transitório, que cessa quando não existe mais uma diferença de
temperatura.
Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como
mecanismos de transferência de calor.
Existem três mecanismos, que podem ser reconhecidos assim:
Quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário, que
pode ser um sólido ou um fluido, em virtude de um gradiente de temperatura, usou
o termo transferência de calor por condução. A figura abaixo ilustra a transferência
de calor por condução através de uma parede sólida submetida a uma diferença de
temperatura entre suas faces.
T1 T2 T T
P á g i n a | 60
Quando a transferência de energia ocorrer entre uma superfície e um
fluido em movimento em virtude da diferença de temperatura entre eles, usamos o
termo transferência de calor por convecção. A figura abaixo ilustra a transferência de
calor de calor por convecção quando um fluido escoa sobre uma placa aquecida.
Quando, na ausência de um meio interveniente, existe uma troca líquida
de energia (emitida na forma de ondas eletromagnéticas) entre duas superfícies a
diferentes temperaturas, usamos o termo radiação. A figura abaixo ilustra a
transferência de calor por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas.
P á g i n a | 61
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 3
Questões
1) (Condução) A parede de um forno industrial é
construída em tijolo refratário com 0,15 m de espessura, cuja
condutividade térmica é de 1,7 W/(m.K). Medidas efetuadas ao
longo da operação em regime estacionário revelam
temperaturas de 1400 e 1150 K nas paredes interna e externa,
respectivamente. Qual é a taxa de calor perdida através de uma parede que mede
0,5 m por 1,2 m?
2) Um recipiente fechado cheio com café quente encontra-se em uma sala
cujo ar e paredes estão a uma temperatura fixa. Identifique todos os processos de
transferência de calor que contribuem para o resfriamento do café. Comente sobre
características que contribuem para o resfriamento do café. Comente sobre
características que contribuiriam para um melhor projeto do recipiente.
As trajetórias para a transferência de energia do café para o ar e a vizinhança
são as seguintes:
Q1: convecção natural do café e a parede do frasco plástico
Q2: Condução através da parede do frasco plástico
Q3: Convecção natural do frasco para o ar
Q4: Convecção natural do ar
para a capa plástica
P á g i n a | 65
Q5: Radiação entre as superfícies externa do frasco e interna da capa plástica
Q6: Condução através da capa plástica
Q7: Convecção natural da capa plástica para o ar ambiente
Q8: Radiação entre a superfície externa da capa e as vizinhanças
AULA 3
Resolução
Questão 1:
Dados: Condições de regime estacionário com espessura, área,
condutividade térmica e temperaturas das superfícies da parede especificadas.
Achar: Perda de calor pela parede.
Considerações:
Condições de regime estacionário,
2. Condução unidimensional através da parede,
3. Condutividade térmica constante.
Análise: Como a transferência de calor através da parede é por condução, o
fluxo térmico pode ser determinado com a lei de Fourier. Usando a equação:
qx
′′ = k
∆T
L
= 1,7
W
m.K
.
250 K
0,15 m
= 2833 W/m2
O fluxo térmico representa a taxa de transferência de calor através de uma
seção de área unitária e é uniforme (invariante) ao longo da superfície da parede. A
perda de calor através da parede de área A = H .W é, então,
qx = (HW) qx
′′ = (0,5m . 1,2m) 2833
W
m2
= 𝟏𝟕𝟎𝟎 𝐖
P á g i n a | 67
Comentários: Observe o sentido do fluxo térmico e a diferença entre o fluxo
térmico e a taxa de transferência de calor.
Questão 2:
Melhorias estão associadas com (1) uso de superfícies aluminizadas (baixa
emissividade) para o frasco e a capa de modo a reduzir a radiação (2) evacuação do
espaço com ar para reduzir a convecção natural.
Transporte de calor por condução
Aula 4
APRESENTAÇÃO DA AULA
Lembre-se de que a condução se refere ao transporte de energia em um meio
devivo a um gradiente de temperatura e o mecanismo físico é a atividade atômica ou
molecular aleatória. Na aula anterior aprendemos que a transferência de calor por
condução é governada pela Lei de Fourier e que o uso desta lei para determinar o
fluxo térmico depende do conhecimento da forma na qual a temperatura varia no
meio (a distribuição de temperaturas). Inicialmente, restringimos nossa atenção a
condições simplificadas (condução unidimensional e em regime estacinário em uma
parede plana) nas quais a distribuição de temperaturas é facilmente deduzida, sendo
linear. Os objetivos desta aula são dois. Primeiramente, desejamos desenvolver u
entendimento mais profundo sobre a Lei de Fourier. Nosso segundo objetivo é
desenvolver, a partir de princípios básicos, a equação geral, chamada de equação
de calor, que governa a distribuição de temperatura em um meio. É a solução dessa
equação que fornece o conhecimento da distribuição de temperaturas, que pode ser,
então, usada vom a Lei de Fourier para determinar o fluxo térmico.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
O conceito de Transferência de Calor;
Lei de Fourier;
Tipos de associação e configurações de condução de calor.
P á g i n a | 69
4 LEI DE FOURIER
A Lei de Fourier é fenomenológica, isto é, ela foi desenvolvida a partir de
fenômenos observados ao invés de ter sido derivada a partir de princípios
fundamentais. Por esse motivo, vemos a equação da taxa como uma generalização
baseada em uma vasta evidência experimental. Imaginemos um experimento onde o
fluxo de calor resultante é medido após a variação das condições experimentais.
Consideremos, por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro
com uma das extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente,
como mostra a figura 4.1:
Figura 4.1: Transferência de Calor através de uma barra de ferro com uma das
extremidades aquecida.
Fonte: AUTOR (2017)
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de
temperatura e a distância entre as extremidades chegam-se a seguinte relação de
proporcionalidade:
�̇�𝛼 𝐴.
∆𝑇
∆𝑥
A proporcionalidade pode ser convertida para igualdade através de um
coeficiente de proporcionalidade e a Lei de Fourier pode ser enunciada assim:
A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um
material, é igual ao produto das seguintes quantidades:
�̇� = −𝒌𝑨.
𝒅𝑻
𝒅𝒙
P á g i n a | 70
Onde,
�̇�- é o fluxo de calor por condução (Kcal/h no sistema métrico);
𝑘 - é a condutividade térmica do material;
𝐴 - é a área da seção através da qual o calor flui, medida perpendicularmente
à direção do fluxo (m²);
𝑑𝑇
𝑑𝑥
- é a razão de variação da temperatura T com a distância, na direção x do
fluxo de calor (oc/h).
A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento
da distância x deve ser a direção do fluxo de calor positivo. Como o calor flui do
ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente
negativo), o fluxo só será positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -
1).
O fator de proporcionalidade k (condutividade térmica) que surge da equação
de Fourier é uma propriedade de cada material e vem exprimir maior ou menor
facilidade que um material apresenta à condução de calor. Sua unidade é facilmente
obtida da própria equação de Fourier, por exemplo, no sistema prático métrico
temos:
�̇� = −𝑘𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
→ 𝑘 = −
𝑞
𝐴 .
𝑑𝑇
𝑑𝑥
[
𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
𝑚²
°𝐶
𝑚
=
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ.𝑚. °𝐶
]
No sistema inglês fica assim:
𝐵𝑡𝑢
ℎ.𝑓𝑡.°𝐹
No sistema internacional (SI), fica assim:
𝑊
𝑚 . 𝐾
Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da
constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k
é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante
térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o
cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns
aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como
solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura.
P á g i n a | 71
4.1 Condução de calor em uma parede plana
Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede
plana submetida a uma diferença de temperatura. Ou seja, submetida a uma fonte
de calor, de temperatura constante e conhecida, de um lado, e a um sorvedouro de
calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Um bom
exemplo disto é a transferência de calor através da parede de um forno, como pode
ser visto na figura 4.2, que tem espessura L, área transversal A e foi construído com
material de condutividade térmica k. Do lado de dentro a fonte de calor mantém a
temperatura na superfície interna da parede constante e igual a T1 e externamente o
sorvedouro de calor (meio ambiente) faz com que a superfície externa permaneça
igual a T2.
Figura 4.2: Transferência de calor através da parede de um forno.
Aplicado à equação de Fourier, tem-se:
�̇� = −𝑘𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Fazendo a separação de variáveis, obtemos:
�̇�𝑑𝑥 = −𝑘𝐴. 𝑑𝑇
P á g i n a | 72
Na figura 4.2 vemos que na face interna (x=0) a temperatura é T1 e na face
externa (x=L) a temperatura é T2. Para a transferência em regime permanente o
calor transferido não varia com o tempo. Como a área transversal da parede é
uniforme e a condutividade k é um valor médio, a integração da equação 4.2, entre
os limites que podem ser verificados na figura 4.2, fica assim:
𝑞 ̇ . ∫ 𝑑𝑥
𝐿
0
= −𝑘 . 𝐴. ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
𝑞 ̇ . (𝐿 − 0) = −𝑘. 𝐴. (𝑇2 − 𝑇1)
𝑞 ̇ . 𝐿 = 𝑘. 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2)
Considerando que (𝑇1 − 𝑇2) é a diferença de temperatura entre as faces da
parede (𝑑𝑇), o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condução é:
𝒒 ̇ =
𝒌. 𝑨
𝑳
. ∆𝑻
Para melhor entender o significado da equação 4.3 consideremos um
exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela operação de um
forno necessita reduzir as perdas térmicas pela parede de um forno por razões
econômicas. Considerando a equação 4.3, o engenheiro tem, por exemplo, as
opções listadas na tabela 4.1:
Tabela 4:1: Possibilidades para redução de fluxo de calor em uma parede plana.
OBJETIVO VARIÁVEL AÇÃO
Reduzir 𝑞𝑥
Reduzir k Trocar a parede por outra de menor condutividade térmica
Reduzir A Reduzir a área superficial do forno
Aumentar L Aumentar a espessura da parede
Reduzir T Reduzir a temperatura interna do forno
Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna podem ações de difícil
implementação; porém, a colocação de isolamento térmico sobre a parede cumpre
ao mesmo tempo as ações de redução da condutividade térmica e aumento de
espessura da parede.
P á g i n a | 73
4.2 Analogia entre resistência térmica e resistência elétrica
Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes.
Por exemplo, a equação 4.3 que fornece o fluxo de calor através de uma parede
plana pode ser colocada na seguinte forma:
𝑞 ̇ =
∆𝑇
𝐿
𝑘. 𝐴
O denominador e o numerador da equação 4.4 podem ser entendidos assim:
∆𝑇, a diferença entre a temperatura da face quente e da face fria,
consiste no potencial que causa a transferência de calor;
L / k.A, é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à
transferência de calor
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte
forma:
𝒒 ̇ =
∆𝑻
𝑹
Se substituirmos na equação 4.5 o símbolo do potencial de temperatura T
pelo de potencial elétrico, isto é, a diferença de tensão U, e o símbolo da
resistência térmica R pelo da resistência elétrica Re, obtemos a equação 4.6 (lei de
Ohm) para i, a intensidade de corrente elétrica:
𝑖 =
∆𝑈
𝑅𝑒
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante à
usada em circuitos elétricos, quando representamos a resistência térmica de uma
parede ou associações de paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida
a um potencial T e atravessada por um fluxo de calor 𝑞𝑥, pode ser representada
como na figura 4.3:
P á g i n a | 74
Figura 4.3: Parede de resistência R submetida a um potencial T e atravessada por um
fluxo de calor 𝒒𝒙.
4.3 Associação de paredes planas em série
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série,
submetidas a uma fonte de calor, de temperatura constante e conhecida, de um lado
e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e
conhecida. Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no regime
permanente através da parede composta. Como exemplo, analisemos a
transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de
uma camada interna de refratário (condutividade k1 e espessura L1), uma camada
intermediária de isolante térmico (condutividade k2 e espessura L2) e uma camada
externa de chapa de aço (condutividade k3 e espessura L3).
A figura 4.4 ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura da parede
composta:
Figura 4.4: Perfil de temperatura ao longo da espessura da parede composta.
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada
uma das paredes planas individualmente:
𝑞 ̇ =
𝑘1. 𝐴1
𝐿1
. (𝑇1− 𝑇2); 𝑞 ̇ =
𝑘2. 𝐴2
𝐿2
. (𝑇2− 𝑇3); 𝑞 ̇ =
𝑘3. 𝐴3
𝐿3
. (𝑇3− 𝑇4)
P á g i n a | 75
Colocamos em evidencia as diferenças de temperatura em cada uma das
equações 4.6 e somando membro a membro, obtemos:
(𝑇1 − 𝑇2) =
𝑞 ̇ . 𝐿1
𝑘1. 𝐴1
(𝑇2 − 𝑇3) =
𝑞 ̇ . 𝐿2
𝑘2. 𝐴2
(𝑇3 − 𝑇4) =
𝑞 ̇ . 𝐿3
𝑘3. 𝐴3
𝑇1 − 𝑇2 + 𝑇2 − 𝑇3 + 𝑇3 − 𝑇4 =
𝑞 ̇ . 𝐿1
𝑘1. 𝐴1
+
𝑞 ̇ . 𝐿2
𝑘2. 𝐴2
+
𝑞 ̇ . 𝐿3
𝑘3. 𝐴3
𝑇1 − 𝑇4 =
𝑞 ̇ . 𝐿1
𝑘1. 𝐴1
+
𝑞 ̇ . 𝐿2
𝑘2. 𝐴2
+
𝑞 ̇ . 𝐿3
𝑘3. 𝐴3
Colocamos em evidência o fluxo de calor 𝑞 ̇ e substituímos os valores das
resistências térmicas em cada parede na equação 4.8, obtemos o fluxo e calor pela
parede do forno:
𝑇1 − 𝑇4 = 𝑞 ̇ . (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)
𝑞 ̇ =
𝑇1 − 𝑇4
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de paredes n
planas associadas em série o fluxo de calor é dado por:
𝒒 ̇ =
(∆𝑻)𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕
, 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑹𝒕 = ∑𝑹𝒊 =
𝒏
𝒊=𝟏
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + …+ 𝑹𝒏
P á g i n a | 76
4.4 Associação de paredes planas em paralelo
Consideremos um sistema de paredes planas associada em paralelo, como
na figura 4.5, submetida a uma diferença de temperatura constante e conhecida.
Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente
através da parede composta.
Todas as paredes estão sujeitas a mesma diferença de temperatura;
As paredes podem ser de materiais e/ou dimensões diferentes;
O fluxo de calor total é a soma dos fluxos por cada parede individual.
Figura 4.5: Transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da
parede composta.
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada
uma das paredes planas individualmente:
𝑞1 =
𝑘1. 𝐴1
𝐿1
. (𝑇1 − 𝑇2); 𝑞2 =
𝑘2. 𝐴2
𝐿2
. (𝑇1 − 𝑇2)
O fluxo de calor total é igual à soma dos fluxos da equação 4.11:
𝑞 ̇ = 𝑞1 + 𝑞2 = [
𝑘1. 𝐴1
𝐿1
. (𝑇1 − 𝑇2)] + [
𝑘2. 𝐴2
𝐿2
. (𝑇1 − 𝑇2)] =
[
𝑘1. 𝐴1
𝐿1
+
𝑘2. 𝐴2
𝐿2
] . (𝑇1 − 𝑇2)
P á g i n a | 77
Como 𝑅 =
𝐿
𝑘 . 𝐴
→
1
𝑅
=
𝑘.𝐴
𝐿
Substituindo a equação 4.13 na equação 4.12, obtemos:
𝑞 ̇ = [
1
𝑅1
+
1
𝑅2
] . (𝑇1 − 𝑇2) =
(𝑇1 − 𝑇2)
𝑅𝑡
𝑜𝑛𝑑𝑒,
1
𝑅𝑡
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
Portanto, parra o caso geral em que temos uma associação de n paredes
planas associadas em paralelo o fluxo de calor é dado por:
𝒒 ̇ =
(∆𝑻)𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕
, 𝒐𝒏𝒅𝒆
𝟏
𝑹𝒕
= ∑
𝟏
𝑹𝒊
=
𝟏
𝑹𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
+
𝟏
𝑹𝟐
+ …+
𝟏
𝑹𝒏
Em uma configuração em paralelo, embora se tenha transferência de calor
bidimensional, é frequentemente razoável adotar condições unidimensionais. Nestas
condições, admite-se que as superfícies paralelas à direção x são isotérmicas.
Entretanto, à medida que a diferença entre as condutividades térmicas das paredes
(k1 - k2) aumenta, os efeitos bidimensionais tornam-se cada vez mais importantes.
4.5 Condução de calor através de configurações cilíndricas
Consideremos um cilindro vazado submetido a uma diferença de temperatura
entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na figura 4.6.
Figura 4.6: Cilindro vazado submetido a uma diferença de temperatura.
P á g i n a | 78
Onde o fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica pode ser obtido
através da equação de Fourier, ou seja:
�̇� = −𝑘. 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑟
, onde
𝑑𝑇
𝑑𝑟
é o gradiente de temperatura na direção radial.
Para configurações cilíndrica área é uma função do raio:
𝐴 = 2. 𝜋. 𝑟. 𝐿
Substituindo na equação de Fourier, obtemos:
�̇� = −𝑘. (2. 𝜋. 𝑟. 𝐿).
𝑑𝑇
𝑑𝑟
Fazendo a separação de variáveis e integrando entre 𝑇1 em 𝑟1e entre 𝑇2 em
𝑟2, chega-se a:
�̇� = ∫
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘 .2. 𝜋. 𝐿.∫ . 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
�̇� . (ln 𝑟│𝑟1
𝑟2) = −𝑘 .2. 𝜋 . 𝐿. ( 𝑇 │𝑇1
𝑇2)
�̇� . [ln 𝑟2 − ln 𝑟1] = −𝑘 .2 . 𝜋 . 𝐿. (𝑇2 − 𝑇1)̇
Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos:
�̇� = [ln
𝑟2
𝑟1
] = 𝑘 .2. 𝜋 . 𝐿 . (𝑇1 − 𝑇2)
O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então:
�̇� =
𝒌 . 𝟐 . 𝝅 . 𝑳
(𝐥𝐧
𝒓𝟐
𝒓𝟏
)
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐)
P á g i n a | 79
O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado
a parede
cilíndrica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede
cilíndrica também pode ser representado como:
�̇� =
∆𝑇
𝑅
Onde, ∆𝑇 é o potencial térmico e 𝑅 é a resistência térmica da
parede cilíndrica.
Então para a parede cilíndrica, obtemos:
�̇� =
𝑘 . 2 . 𝜋 . 𝐿
(ln
𝑟2
𝑟1
)
. ∆𝑇 =
∆𝑇
𝑅
→ 𝑹 =
𝐥𝐧 (
𝒓𝟐
𝒓𝟏
)
𝒌. 𝟐 . 𝝅 . 𝑳
Para caso geral em que temos uma associação de paredes n cilíndricas
associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado
por:
𝒒 ̇ =
(∆𝑻)𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕
, 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑹𝒕 = ∑𝑹𝒊 =
𝒏
𝒊=𝟏
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + …+ 𝑹𝒏
4.6 Condução de calor através de uma configuração esférica
Consideramos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura
entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na Figura 4.8,
abaixo:
Figura 4.7: Esfera oca submetida à uma diferença de temperatura.
P á g i n a | 80
O fluxo de calor que atravessa a parede esférica pode ser obtido através da
equação de Fourier, ou seja:
�̇� = −𝑘 . 𝐴.
𝑑𝑇
𝑑𝑟
Onde,
𝑑𝑇
𝑑𝑟
é o gradiente de temperatura na direção radial.
Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio: 𝐴 = 4. 𝜋 . 𝑟2
Substituindo a equação de Fourier, obtemos:
�̇� = −𝑘 . (4 . 𝜋. 𝑟2).
𝑑𝑇
𝑑𝑟
Fazendo a separação de variáveis e integrando entre 𝑇1 em 𝑟1 e entre 𝑇2 em
𝑟2, chega-se a:
�̇� ∫ 𝑟−2
𝑟2
𝑟1
. 𝑑𝑟 = −4 . 𝑘 . 𝜋 . ∫ . 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
�̇�. (−𝑟−1 │𝑟1
𝑟2) = −4 𝑘 . 𝜋. (𝑇 │𝑇1
𝑇2)
�̇�. [−
1
𝑟1
− (−
1
𝑟2
)] = −4 . 𝑘. 𝜋 . (𝑇2 − 𝑇1)
�̇�. [
1
𝑟1
−
1
𝑟2
] = 4 . 𝑘 . 𝜋. (𝑇1 − 𝑇2)
O fluxo de calor através de uma parede esférica será então:
�̇� =
𝟒 . 𝒌 . 𝝅
(
𝟏
𝒓𝟏
−
𝟏
𝒓𝟐
)
. (𝑻𝟏 − 𝑻𝟐)
O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede
esférica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede esférica
também pode ser representado como:
P á g i n a | 81
�̇� =
∆𝑇
𝑅
Onde ∆𝑇 é o potencial térmico e 𝑅 é a resistência térmica da parede.
Então para a parede esférica, obtemos:
�̇� =
4 . 𝑘 . 𝜋
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)
. ∆𝑇 =
∆𝑇
𝑅
→ 𝑹 =
(
𝟏
𝒓𝟏
−
𝟏
𝒓𝟐
)
𝟒 . 𝒌 . 𝝅
Para caso geral em que temos uma associação de paredes n esféricas
associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor e dado
por:
𝒒 ̇ =
(∆𝑻)𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕
, 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑹𝒕 = ∑𝑹𝒊 =
𝒏
𝒊=𝟏
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + …+ 𝑹𝒏
AULA 4
Questões
1) Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de
comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22°C. As paredes da sala, de 25 cm
de espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h. m.°C e
a área das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das
paredes pode estar até a 40 °C em um dia de verão. Desprezando a troca de calor
pelo piso e pelo teto, que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala
pelo condicionador (em HP).
OBS: 1 HP = 641,2 Kcal/h
2) Uma camada de material refratário (k=1,5 kcal/h. m. °C) de 50 mm de
espessura está localizada entre duas chapas de aço (k = 45 kcal/h. m.°C) de 6,3 mm
de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de
modo que apenas 30% da área total estão em contato com o aço. Os espaços
vazios são ocupados por ar (k=0,013 kcal/h. m. °C) e a espessura média da
rugosidade de 0,8 mm. Considerando que as temperaturas das superfícies externas
da placa de aço são 430°C e 90°C respectivamente; calcule o fluxo de calor que se
estabelece na parede composta.
OBS: Na rugosidade, o ar está parado (considerar apenas a condução).
3) Uma parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo
refratário (k = 1,2 kcal /h.m. °C) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal /h.m. °C). A
temperatura da superfície interna do refratário é 1675 o C e a temperatura da
superfície externa do isolante é 145 °C. Desprezando a resistência térmica das
juntas de argamassa, calcule:
a) O calor perdido por unidade de tempo e por m² de parede;
b) A temperatura da interface refratário/isolante.
P á g i n a | 83
4) Um tanque de aço (k = 40 Kcal /h.m.°C), de formato esférico e raio interno
de 0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha (k = 0,04
Kcal/h.m.°C). A temperatura da face interna do tanque é 220°C e a da face externa
do isolante é 30°C. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por
outro isolante, também de 1½" de espessura, tendo sido notado então um aumento
de 10% no calor perdido para o ambiente (mantiveram-se as demais condições).
Determinar:
a) Fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha;
b) O coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
c) Qual deveria ser a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se
tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.
5) Um tubo de aço (k = 35 kcal /h.m.°C) tem diâmetro externo de 3”,
espessura de 0,2”, 150 m de comprimento e transporta amônia a -20°C (convecção
na película interna desprezível). Para isolamento do tubo existem duas opções:
isolamento de borracha (k = 0,13 kcal /h.m.°C) de 3” de espessura ou isolamento de
isopor (k = 0,24 kcal/h.m.°C) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o
máximo fluxo de calor não pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a
temperatura na face externa do isolamento é 40°C, pede-se:
a) As resistências térmicas dos dois isolamentos;
b) Calcule o fluxo de calor para cada opção de isolante e diga qual isolamento
deve ser usado;
c) Para o que não deve ser usado, calcule qual deveria ser a espessura
mínima para atender o limite.
AULA 4
Resolução
Questão 1:
Para o cálculo da área de transferência de calor desprezamos as áreas do
teto e do piso, onde a transferência de calor é desprezível. Desconsiderando a
influência das janelas, a área das paredes da sala é:
𝐴 = 2 . (6.3) = +2 . (15 .3) = 126 𝑚²
Considerando que a área das quinas das paredes, onde deve ser levada em
conta a transferência de calor bidimensional, é pequena em relação ao resto,
podemos utilizar a equação 4.3:
�̇� =
𝑘 . 𝐴
𝐿
. (𝑇1 − 𝑇2) =
0,14(𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶) .126𝑚²
0,25𝑚
. (40 − 22)°𝐶 = 1270 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
�̇� = 1270
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ
.
1
641,2
𝐻𝑃
𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
= 1,979 𝐻𝑃
Portanto a potência requerida para o condicionador de ar manter a sala
refrigerada é: �̇� ≅ 𝟐𝑯𝑷
𝑇1 = 40°𝐶 𝑇2 = 22°𝐶
𝑘 = 0.14 𝐾𝑐𝑙𝑎/ℎ.𝑚. °𝐶
𝐿 = 25 𝑐𝑚 = 0,25𝑚
𝑆𝑎𝑙𝑎: 6 .15 .3 𝑚
P á g i n a | 85
Questão 2:
O circuito equivalente para a parede composta é:
Cálculo das resistências térmicas (para uma área unitária):
𝑅1 =
𝐿𝑎ç𝑜
𝑘𝑎ç𝑜 . 𝐴
=
0,0063
45 .1
= 0,00014 ℎ. °𝐶/𝐾𝑐𝑎𝑙
𝑅2 =
𝐿𝑟𝑢𝑔
𝑘𝑎𝑟 . 𝐴
=
0,0008
0,013 . (0,7 .1)
= 0,08791 ℎ. °𝐶/𝐾𝑐𝑎𝑙
𝑅3 =
𝐿𝑟𝑢𝑔
𝑘𝑟𝑒𝑓 . 𝐴
=
0,0008
1,5 . (0,3 .1)
= 0,0018 ℎ. °𝐶/𝐾𝑐𝑎𝑙
𝑅1 =
𝐿𝑟𝑒𝑓
𝑘𝑟𝑒𝑓 . 𝐴
=
0,0484
1,5 .1
= 0,0323 ℎ. °
𝐶
𝐾𝑐𝑎𝑙
A resistência equivalente à parede rugosa (refratário em paralelo com o ar) é:
𝑘𝑎ç𝑜 = 45𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑘𝑟𝑒𝑓 = 1,5𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑘𝑎𝑟 = 0,013𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝐿𝑟𝑒𝑓 = 50𝑚𝑚
𝐿𝑎ç𝑜 = 6,3𝑚𝑚 = 0,0063𝑚
𝐿𝑟𝑢𝑔 = 0,8𝑚𝑚 = 0,0008𝑚
𝐿𝑟𝑒𝑓
′ = 50 − (2 .0,8) = 48,4𝑚𝑚 = 0,0483𝑚
𝑇1 = 430°𝐶
𝑇2 = 90°𝐶
P á g i n a | 86
1
𝑅2//3
=
1
𝑅2
+
1
𝑅3
=
1
0,08791
+
1
0,0018
→ 𝑅2//3 = 0,00176 ℎ. °𝐶/𝐾𝑐𝑎𝑙
A resistência
total, agora, é obtida por meio de uma associação em série:
𝑅𝑡 = 𝑅1 + 𝑅2//3 + 𝑅4 + 𝑅2//3 + 𝑅1 = 0,0361ℎ. °𝐶/𝐾𝑐𝑎𝑙
Um fluxo de calor é sempre o (𝐷𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 sobre a 𝑅𝑡, então:
�̇� =
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
=
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑡
=
430 − 90
0,0361
�̇� = 𝟗𝟒𝟏𝟖 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉
Questão 3:
a) Considerando uma área unitária da Parede (A = A1 = A2 = 1m
2), temos:
q̇ =
(∆T)total
Rt
=
T1 − T3
Rref + Riso
=
T1 − T3
L1
k1. A
+
L2
k2 . A
=
1675 − 145
0,20
1,2 .1 +
0,13
0,15 .1
Parede de Refratário:
𝐿1 = 0,20𝑚 𝑘1 = 1,2 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
Parede de Isolante:
𝐿2 = 0,13𝑚 𝑘2 = 0,15 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑇1 = 1675°𝐶 𝑇2 = 145°𝐶
P á g i n a | 87
�̇� = 𝟏𝟒𝟖𝟎, 𝟔
𝐊𝐜𝐚𝐥
𝐡
(𝐩𝐨𝐫 𝐦𝟐)
b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na
parede de refratário, obtemos:
q̇ =
T1 − T2
Rref
=
T1 − T2
L1
k1. A
+
L2
k2. A
=
k1. A
L1
. (T1 − T2)
1480,6 =
1,2 .1
0,20
. (1675 − T2)
𝐓𝟐 = 𝟏𝟒𝟐𝟖, 𝟐°𝐂
Questão 4:
a)
Rt =
(
1
r1
−
1
r2
)
k1 . 4π
+
(
1
r2
−
1
r3
)
k2 . 4π
=
1
0,5
–
1
0,505
40 .4π
+
1
0,505
–
1
0,5431
0,04 .4π
Rt = 0,000039 + 0,276364 → Rt = 0,2764 h. °C/Kcal
q̇ =
(∆T)total
Rt
=
220 − 30
0,2764
→ �̇� = 𝟔𝟖𝟕, 𝟒𝟏 𝐊𝐜𝐚𝐥/𝐡
b) Levando em conta a elevação do fluxo de calor:
q′̇ = 1,1 . q̇ = 1,1 .687,41 = 756,15 Kcal/h
𝑟1 = 0,5𝑚
𝑟2 = 0,5 + 0,005 = 0,505 𝑚
𝑟3 = 0,505 + 1,5 .0,0254 = 0,5431 𝑚
𝑘1 = 40 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑘2 = 0,04 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑇1 = 220°𝐶
𝑇3 = 30°𝐶
P á g i n a | 88
q̇ = 756,15 =
T1 − T2
(
1
r1
−
1
r2
)
k1 .4π
+
(
1
r2
−
1
r3
)
kiso .4π
=
220 − 30
0,000039 +
(
1
0,505
−
1
0,5431
)
kiso .4π
kiso = 0,044 Kcal/h.m. °C
c) Para manter o fluxo de calor deve ser usada uma maior espessura isolante:
q̇ = 687,41 =
T2 − T3
(
1
r2
−
1
r3
)
kiso .4π
=
220 − 30
(
1
0,505
−
1
r′3
)
0,044 . 4π
→ r′3 = 0,5472 m
e = r′3 − r2 = 0,5472 − 0,505 = 0,0422m = 4,22 cm
𝐞 = 𝟒, 𝟐𝟐𝐜𝐦 = 𝟏, 𝟔𝟔′′
Questão 5:
a) Cálculo resistências:
Re =
ln(
re
r2⁄ )
ke. 2. π . L
=
ln (
0,1143
0,0381)
0,13 .2. π .150
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟖𝟗𝟕𝐡. °𝐂/𝐊𝐜𝐚𝐥
Ri =
ln (
0,0889
0,0381)
0,24 .2 . π .150
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟕𝟓𝐡. °𝐂/𝐊𝐜𝐚𝐥
𝑟1 = 1,5
′′ − 0,2′′ = 1,3′′ = 0,03302 𝑚
𝑟2 = 1,5
′′ = 1,5 .0,0254 = 0,0381 𝑚
𝑟3 = 𝑟𝑒 = 1,5
′′ + 3′′ = 4,5′′ = 0,1143 𝑚
𝑟3 = 𝑟1 = 1,5
′′ + 2′′ = 3,5′′ = 0,0889 𝑚
𝑘𝑎 = 35 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑘𝑒 = 0,13 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑘𝑖 = 0,24 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑇𝑒 = 40°𝐶
𝑇𝑖 = −20°𝐶
𝐿 = 150 𝑚
P á g i n a | 89
b) Cálculo dos fluxos de calor:
qė =
Te − Ti
Re + Ra
=
40 − (−20)
0,00897 +
ln (
0,0381
0,03302)
35 .2. π .150
→ 𝐪�̇� = 𝟔𝟔𝟖𝟓, 𝟕 𝐊𝐜𝐚𝐥/𝐡
q1̇ =
Te − Ti
Ri + Ra
=
40 − (−20)
0,00375 + 0,0000043
→ 𝐪𝐢̇ = 𝟏𝟓𝟗𝟖𝟏, 𝟕 𝐊𝐜𝐚𝐥/𝐡
Deve ser usado o isolamento de borracha
c) Cálculo da espessura
qexiġ =
Te − Ti
Ri + Ra
=
40 − (−20)
ln (
r′i
0,0381)
0,24 .2 . π .150
+ 0,0000043
7000 =
60
ln (
r′i
0,0381)
942,48 + 0,0000043
ln (
r′i
0,0381
) = 1,93784 → e1,93784 =
r′1
0,0381
r′1 = 0,265 m = 10,4
′′ → 𝐞 = 𝟏𝟎, 𝟒′′ − 𝟏, 𝟓′′ = 𝟖, 𝟗′′
Resumo
Nesta aula, abordamos:
À transferência de calor por condução e os seus vários tipos de
associação e configuração;
Um dos objetivos principais dessa aula foi aprimorar o conhecimento
da equação da taxa de condutividade (Lei de Fourier) e familiarizar
você com a equação do calor.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 4
Exercícios
1) Em uma indústria farmacêutica, pretende-se
dimensionar uma estufa. Ela terá a forma cúbica de 1 m de lado
e será construída de aço (k = 40 kcal/h. m.°C), com 10 mm de
espessura, isolada com lã de vidro (k= 0,08 kcal/h. m °C) e
revestida com plástico (k= 0,2 kcal/h. m.°C) de 10 mm de espessura. O calor será
inteiramente gerado por resistências elétricas de 100 , pelas quais passará uma
corrente de 10 A (P = R. i²). Não pode ser permitida uma perda de calor superior a
10% do calor gerado. Sabendo-se que as temperaturas nas faces das paredes,
interna e externa, são respectivamente 300°C e 20°C pede-se:
a) A resistência térmica exigida na parede da estufa;
b) A espessura da lã de vidro.
DADO: 1 W = 0,86 Kcal/h
2) Um tubo de aço (k = 35 kcal/h. m.°C ) tem diâmetro externo de 3”,
espessura de 0,2”, 150 m de comprimento e transporta amônia a -20°C ( convecção
desprezível ). Para isolamento do tubo existem duas opções: isolamento de espuma
de borracha (k = 0,13 kcal/h. m.°C) de 3” de espessura e isolamento de isopor ( k =
0,24 kcal/h.m.°C) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo
de calor não pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face
externa do isolamento é 40°C, pede-se:
a) As resistências térmicas dos isolantes;
b) Calcule o fluxo de calor para cada opção e diga qual isolamento deve ser
usado;
c) Para o que não servir, calcule qual deveria ser a espessura mínima para
atender o limite de fluxo de calor.
3) Um forno de 6 m de comprimento, 5m de largura e 3 m de altura tem sua
parede constituída de 3 camadas. A camada interna de 0,4 m é de tijolos refratários
(k=1,0 kcal/h. m.oC). A camada intermediária de 0,30 m tem a metade inferior de
tijolos especiais (k=0,20 kcal/h. mo C) e a metade superior de tijolos comuns (k=0,40
kcal/h.m. °C). A camada externa de 0,05m é de aço (k=30 kcal/hm o C). Sabendo-se
P á g i n a | 94
que a superfície interna está a 1700 o C e a superfície externa está a 60 o C. Pede-
se:
a) O fluxo de calor pela parede
b) Considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 %
devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que
o mesmo foi uniforme em todo o forno.
4) Um reservatório metálico (k = 52 W/m. K), de formato esférico, tem
diâmetro interno 1,0 m, espessura de 5 mm, e é isolado com 20 mm de fibra de vidro
( k = 0,034 W/m.K ).A temperatura da face interna do reservatório é 200°C e a da
face externa do isolante é 30°C. Após alguns anos de utilização, a fibra de vidro foi
substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a
troca do isolamento, notou-se uma elevação de 15% na transferência de calor, bem
como uma elevação de 2,5°C na temperatura da face externa do isolante.
Determinar:
a) O fluxo de calor antes da troca do isolamento;
b) O coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
c) Qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições
de temperatura externa e fluxo voltassem a serem as mesmas de antes.
Transporte de calor por convecção
Aula 5
APRESENTAÇÃO DA AULA
Usamos o termo Convecção para descrever a transferência de energia pelo
movimento global do fluido (advecção) e pelo movimento aleatório das moléculas do
fluido (condução ou digusão). Em nossa análise da convecção, temos dois objetivos
principais. Além de adquirir uma compreensão dos mecanismos físicos que
embassam a transferência por convecção, desejamos desenvolver os meios para
executar o cálculos envolvendo a tranferência de calor por convecção.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Lei Básica;
Camada Limite;
Determinação do coeficiente de película;
Resistência térmica na convecção.
P á g i n a | 96
5 LEI BÁSICA
Calor transferido por convecção, na unidade de tempo, entre uma superfície
e um fluido, pode ser calculado através da relação proposta por Isaac Newton:
�̇� = 𝒉. 𝑨. ∆𝑻
Onde,
�̇� = Fluxo de calor transferido por convecção (Kcal/h);
𝑨 = Área de transferência de calor (m²);
∆𝑻 = Diferença de temperatura entre a superfície (𝑇𝑠) e a do fluido em um
local longe da superfície (𝑇∞) (℃);
𝒉 = Coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de
película
A figura 5.1 ilustra o perfil de temperatura para o caso de um fluido escoando
sobre uma superfície aquecida.
Figura 5.1: Perfil de temperatura.
A simplicidade da equação de Newton é ilusória, pois ela não explícita as
dificuldades envolvidas no estudo da convecção. O coeficiente de película é, na
realidade, uma função complexa do escoamento do fluido, das propriedades físicas
do meio fluido e da geometria do sistema. A partir da equação 5.1, podem ser
obtidas as unidades do coeficiente de película. No sistema métrico, temos:
P á g i n a | 97
ℎ =
�̇�
𝐴 . ∆𝑇
(
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ . 𝑚² . °𝐶
)
Analogamente, nos sistemas Inglês e Internacional, temos:
Sistema Internacional →
𝑊
𝑚² .𝐾
Sistema Inglês →
𝐵𝑡𝑢
ℎ.𝑓𝑡² .𝐹
5.1 Camada limite
Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em
regime laminar ou turbulento, as partículas na vizinhança da superfície são
desaceleradas em virtude das forças viscosas. A porção de fluido contida na região
de variação substancial de velocidade, ilustrada na figura 5.2, é denominada de
camada limite hidrodinâmica.
Figura 5.2: Camada limite hidrodinâmica.
Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície
quando existe uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície.
Neste caso, O fluido contido na região de variação substancial de temperatura
é chamado de camada limite térmica.
Por exemplo, analisemos a transferência de calor para o caso de um fluido
escoando sobre uma superfície aquecida, como mostra a figura 5.3. Para que ocorra
a transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente
P á g i n a | 98
de temperatura (camada limite térmica) em uma região de baixa velocidade (camada
limite hidrodinâmica).
Figura 5.3: Transferência de calor para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície
aquecida.
O mecanismo da convecção pode então ser entendido como a ação
combinada de condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um
gradiente de temperatura e movimento de mistura na região de alta velocidade.
Portanto:
Região de baixa velocidade → a condução é mais importante
Região de alta velocidade → a mistura entre o fluido mais quente e o mais
frio é mais importante.
5.2 Determinação do coeficiente de película (H)
Como visto anteriormente, o coeficiente h é uma função complexa de uma
série de variáveis relacionadas com as seguintes características. Logo, h é uma
função do tipo:
𝒉 = 𝒇(𝑫, 𝝁, 𝝆, 𝒄𝒑, 𝒌, 𝜹, 𝑽, 𝒈, ∆𝑻)
Onde,
𝑫: É a dimensão que domina o fenômeno da convecção.
P á g i n a | 99
Ex.: diâmetro de um tubo, altura de uma placa, etc.;
𝝁: Viscosidade dinâmica do fluido;
𝒄𝒑: Calor específico do fluído;
𝜹: Coeficiente de expansão volumétrica;
𝒈: Aceleração da gravidade;
𝝆: Densidade do fluido;
𝒌: Condutividade térmica do fluido;
𝑽: Velocidade do fluido;
∆𝑻: Diferença de temperatura entre a superfície e o fluido.
Uma fórmula que levasse em conta todos estes parâmetros seria
extremamente complexa. O problema é, então, contornado dividindo-se o estudo em
casos particulares. Para cada caso são obtidas equações empíricas através da
técnica de análise dimensional combinada com experiências, onde os coeficientes
de película são calculados a partir de equações empíricas obtidas correlacionando-
se os dados experimentais com o auxílio da análise dimensional. Os resultados são
obtidos na forma de equações dimensionais conforme o regime de escoamento:
Para Convecção Forçada à equação é do tipo:
𝑁𝑢 = 𝛷 (𝑅𝑒, Pr)
𝑜𝑛𝑑𝑒,
𝑁𝑢(𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡) =
ℎ . 𝐷
𝑘
; 𝑅𝑒 (𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠) =
𝐷 . 𝑉. 𝜌
𝜇
𝑒 Pr(𝑃𝑟𝑎𝑛𝑑𝑡) =
𝑐𝑝. 𝜇
𝑘
Para Convecção Natural a equação é do tipo:
𝑁𝑢 = 𝛷 (𝐺𝑟, Pr)
𝑜𝑛𝑑𝑒,
𝐺𝑟 (𝐺𝑟𝑎𝑠ℎ𝑜𝑓) =
𝐷3 . 𝛿 . 𝑔. ∆𝑇
𝜇2
5.3 Resistência térmica na convecção
Como visto anteriormente, a expressão para o fluxo de transferido por
convecção é:
P á g i n a | 100
�̇� = ℎ . 𝐴. ∆𝑇 𝑜𝑢 �̇� =
∆𝑇
1
ℎ . 𝐴⁄
Um fluxo de calor é também uma relação entre um potencial térmico e uma
resistência:
�̇� =
∆𝑇
𝑅
Igualando as equações temos a expressão para a resistência térmica na
convecção:
𝑹 =
𝟏
𝒉 . 𝑨
5.4 Mecanismo combinados de transferência de calor (condução –
convecção)
Consideremos uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes
temperaturas. Um bom exemplo desta situação é o fluxo de calor gerado pela
combustão dentro de um forno, que atravessa a parede por condução e se dissipa
no ar atmosférico.
Figura 5.4: Fluxo de calor gerado pela combustão dentro de um forno.
P á g i n a | 101
Utilizando a equação de Newton (Eq. 5.1) e a equação para o fluxo calor em
uma parede plana (Eq. 4.3), podemos obter as seguintes equações para o fluxo de
calor transferido pelo forno:
�̇� = ℎ1 . 𝐴. (𝑇1 − 𝑇2) �̇� =
𝑘 . 𝐴
𝐿
. (𝑇2 − 𝑇3) �̇� = ℎ2 . 𝐴. (𝑇3 − 𝑇4)
Colocando as diferenças de temperatura em evidencia e somando membro a
membro, obtemos:
(𝑇1 − 𝑇2) =
�̇�
ℎ1 . 𝐴
(𝑇2 − 𝑇3) =
�̇� . 𝐿
𝑘 . 𝐴
(𝑇3 − 𝑇4) =
�̇�
ℎ2. 𝐴
𝑇1 − 𝑇2 + 𝑇2 − 𝑇3 + 𝑇3 − 𝑇4 = �̇� . (
1
ℎ1. 𝐴
+
𝐿
𝑘 . 𝐴
+
1
ℎ2. 𝐴
)
Substituindo as expressões para as resistências térmicas á convecção e à
condução em parede plana na equação acima, obtemos fluxo de calor transferido
pelo forno:
�̇� =
𝑻𝟏 − 𝑻𝟒
𝟏
𝒉𝟏. 𝑨
+
𝑳
𝒌 . 𝑨
+
𝟏
𝒉𝟐. 𝑨
=
𝑻𝟏 − 𝑻𝟒
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑
→ �̇� =
(∆𝑻)𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒕
Portanto, também quando ocorre à ação combinada dos mecanismos de
condução e convecção, a analogia com a eletricidade continua válida, sendo que a
resistência total é igual à soma das resistências que estão em série, não importando
se por convecção ou condução.
AULA 5
Questões
1) Em uma placa plana de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura,
eletricamente aquecida, a máxima temperatura permissível no centro da placa é
135°C. Para este caso específico o número de Grashof é 2,2 x 10
7 e o número de
Prandt é 0,7. Sabendo
que a equação empírica, obtida com o auxílio da análise
dimensional, que descreve a convecção natural (regime laminar) em uma placa
plana é dada pela equação abaixo:
𝑁𝑢 = 0,555 . 𝐺𝑟
1
4⁄ . 𝑃𝑟
1
4⁄
𝑜𝑛𝑑𝑒 , 𝑁𝑢 =
ℎ . 𝐿
𝑘
(𝐿: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎)
Calcular o fluxo de calor por transferido por convecção, por ambos os lados
da placa, para o ar atmosférico a 25°C (𝑘𝑎𝑟 = 0,026 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶).
A dimensão característica (L) é comprimento da placa: L=0,15 m. O de
coeficiente de película do ar em volta da placa é calculado a partir da equação
dimensional.
2) Em uma instalação industrial, ar quente a 300°C flui sobre uma placa fina
metálica plana, com velocidade de 36 km/h. Como a placa contém alguns sensores,
a mesma deve ser mantida a uma temperatura de 27°C. Para isto, utiliza-se um
sistema de refrigeração composto por tubos sob a placa, por onde circula água de
refrigeração. Considerando que a placa é quadrada, com 1,5 m de lado, determine o
fluxo de calor a ser extraído pelo sistema de refrigeração para manter a placa na
103
temperatura de 27 °C.
Dados/Informações Adicionais para o Exercício:
Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação e da
condução.
Para fluxo laminar (Re < 500000) seguinte correlação adimensional é
apropriada:
𝑁𝑢 = 0,644. 𝑅𝑒𝐿
1
2⁄ . 𝑃𝑟
1
2⁄
Para fluxo turbulento (Re > 500000) seguinte correlação adimensional é
apropriada:
𝑁𝑢 = 0,0296. 𝑅𝑒
4
5⁄ . 𝑃𝑟
1
3⁄ , 𝑜𝑛𝑑𝑒:
Número de Nulsselt:
𝑁𝑢𝐿 =
ℎ . 𝐿
𝑘
𝑜𝑛𝑑𝑒,
ℎ ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑙í𝑐𝑢𝑙𝑎 (𝑊/𝑚². 𝐾)
𝐿: 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 (𝑚)
𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑟 (𝑊/𝑚.𝐾)
Número de Reynolds:
𝑅𝑒𝐿 =
𝑉∞ . 𝐿
𝑉
𝑜𝑛𝑑𝑒,
𝑉∞: 𝑣𝑒𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟 (𝑚/𝑠)
𝑉: 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑟 (𝑚2/𝑠)
Número de Prandt:
Pr (𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙í𝑐𝑢𝑙𝑎)
As propriedades do ar e o número de Prandt são tabelados em função
temperatura da película. Calculando a temperatura da película (média entre a
superfície o fluxo de ar), obtemos os dados em uma tabela de propriedades do ar:
𝑻𝒇 =
𝑻𝒔 + 𝑻∞
𝟐
=
𝟐𝟕 + 𝟑𝟎𝟎
𝟐
= 𝟏𝟔𝟑, 𝟓°𝑪
− 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑟: 𝑘 = 0,0364 𝑊/𝑚.𝐾
− 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑟: 𝑣 = 3,13 .10 − 5 𝑚²/𝑠
− 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑎𝑛𝑑𝑡: Pr = 0,687
104
3) A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com um
material de k=1,31 W/m. K. Em dia de inverno as seguintes temperaturas foram
medidas: temperatura do ar interior = 21,1°C; Temperatura do ar externo = -9,4°;
Temperatura da face interna da parede = 13,3°C; Temperatura da face externa da
parede = -6,9°C. Calcular os coeficientes de película interna e externo à parede.
4) Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato
cúbico com 2 m de lado. A temperatura no interior do reator é 600°C e o coeficiente
de película interno são 45 kcal/h. m². °C. Tendo em vista o alto fluxo de calor,
deseja-se isola-lo com lã de rocha (k= 0,05kcal/h. m.°C) de modo a reduzir a
transferência de calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de
aço inox e que o ar ambiente está a 20°C com coeficiente de película 5 kcal/h.
m².°C, calcular :
a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento;
b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do
isolamento na face externa deve ser igual a 62°C;
c) A redução (em %) do fluxo de calor após a aplicação do isolamento.
ℎ𝑎𝑟 = 5 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚². °𝐶 ℎ𝑖 = 45 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚². °𝐶
105
𝑘𝑖𝑠𝑜 = 0,005𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶 𝐴 = 6. (2 .2) = 24𝑚²
𝑇1 = 600 °𝐶 𝑇𝑎𝑟 = 20 °𝐶 𝑇𝑠 = 62 °𝐶
5) Um tanque de formato cúbico é utilizado para armazenar um produto
químico a 210°C, com coeficiente de película de 80 W/m². °C. A parede do tanque é
constituída de uma camada interna à base de carbono (k = 22 W/m. K) de 40 mm de
espessura, uma camada intermediária de refratário (k = 0,212 W/m. K) e um
invólucro de aço (k = 60 W/m. K) com 10 mm de espessura. Por motivo de
segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve
ser maior que 60°C. Considerando que a temperatura ambiente é 30°C, com
coeficiente de película externo de 20 W/m². K, determine:
a) A espessura mínima do refratário para atender a condição de segurança;
b) A temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for
substituída por uma de isolante (k = 0,0289 W/m. K) de mesma espessura.
6) Um recipiente esférico e usado para armazenar nitrogênio líquido a 77k
(ponto de ebulição). O recipiente tem 0,5m de diâmetro interno e é isolado com uma
camada de pó de sílica (k=0,0017W/m. K). A isolação tem 25 mm de espessura e
sua superfície externa está exposta ao ar a 300K.
7) O coeficiente de película externo é 20 W/m². K. O calor latente de
vaporização e a densidade do nitrogênio são 2.105 J/Kg e 804 kg/m3,
respectivamente. Desprezando as resistências térmicas da película interna e das
paredes metálicas do recipiente, calcular:
106
a) Fluxo de calor transferido para o nitrogênio;
b) Taxa de evaporação do nitrogênio em litros/dia (existe um respiro para a
Saída dos gases).
𝑇𝑁2 = 77 𝐾 𝑇𝑎𝑟 = 300𝐾
𝑘𝑠𝑖 = 0,0017𝑊/𝑚². 𝐾
∆𝐻𝑣 = 2 . 10
5 𝐽/𝐾𝑔
𝜌𝑁2 = 804 𝐾𝑔/𝑚³
𝑟1 = 0,25𝑚
𝑟2 = 0,25 + 0,025 = 0,275𝑚
8) Um copo de refrigerante pode ser considerado como um cilindro de 20 cm
de altura e 7 cm de diâmetro. As paredes do copo são de um plástico muito fino e
com resistência térmica desprezível. Dentro do copo são colocados 2 cubos de gelo
com 3 cm de lado, de modo que o mesmo fica cheio até a borda com a mistura gelo-
refrigerante que permanece a 0°C até a fusão completa do gelo. O copo está
depositado sobre uma superfície bem isolada, de modo que devem ser consideradas
apenas as transferências de calor pelas áreas laterais e superiores. Considerando
que o ar ambiente está a 25°C, com coeficiente de película de 25 Kcal/h. m². °C, e
que a densidade e o calor latente de fusão do gelo são 935 Kg/m³ e 80,6 Kcal/Kg,
respectivamente, calcular:
a) O fluxo de calor transferido entre o ambiente e a mistura gelo-refrigerante;
b) O tempo necessário para a fusão completa do gelo.
AULA 5
Resolução
Questão 1:
𝑁𝑢 =
ℎ . 𝐿
𝑘𝑎𝑟
= 0,555 . 𝐺𝑟
1
4⁄ . 𝑃𝑟
1
4⁄
ℎ . 0,15
0,026
= 0,555 . (2,2 . 107)
1
4⁄ . (0,7)
1
4⁄ → ℎ = 6,03𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚2. °𝐶
O fluxo de cal convecção é obtido pela equação de Newton (equação 5.1)
�̇� = ℎ . 𝐴 . ∆𝑇 = 6,03 . [2 . (0,10 .0,15)] . (135 − 25)
�̇� = 𝟏𝟗, 𝟖𝟔 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉
Questão 2:
𝑉∞ = 36 𝑘𝑚/ℎ = 10𝑚/𝑠
𝐿 = 1,5𝑚
𝑣 = 3,13𝐸 − 05𝑚²/𝑠
𝑘 = 3,64𝐸 − 02𝑊/𝑚.𝐾
𝑇𝑎𝑟 = 300°𝐶
𝑇𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎 = 27°𝐶
Pr = 0,687
Cálculo do número de Reynolds:
𝑅𝑒 =
𝑣∞ . 𝐿
𝑣
=
10 .1,5
3,13 . 10−5
= 478522,00
Portanto, a equação escolhida é:
𝑁𝑢 = 0,644 . 𝑅𝑒𝐿
1
2⁄ . 𝑃𝑟
1
2⁄
𝑁𝑢 = 0,644 . 478522
1
2⁄ . 0,687
1
2⁄
𝑁𝑢 = 380,71
Com o número de Nulsselt, calculamos o coeficiente de película:
108
𝑁𝑢𝐿 =
ℎ . 𝐿
𝑘
→ ℎ =
𝑁𝑢 . 𝑘
𝐿
=
380,71 .0,0364
1,5
= 9,2 𝑊/𝑚². 𝐾
O fluxo de calor transferido por convecção para a aplaca é obtido pela
equação de Newton e é também o fluxo de calor que tem que ser extraído pelo
sistema de refrigeração:
�̇� = ℎ . 𝐴 . (𝑇𝑠 − 𝑇∞)
�̇� = 9,24 {𝑊/𝑚². 𝐾} . (1,5 .1,5){𝑚²} . [(300 + 273) − (27 + 273)]{𝐾} �̇� = 𝟓𝟔𝟕𝟒, 𝟖𝟑
𝑾
Questão 3:
𝑇1 = 21,1 °𝐶 𝑘 = 1,31 𝑊/𝑚.𝐾
𝑇2 = 13,3 °𝐶 𝐴 = 1𝑚²
𝑇3 = −6,9 °𝐶 𝐿 = 0,305𝑚
𝑇4 = −9,4 °𝐶
O fluxo de calor pode ser obtido considerando a condução através da parede:
�̇� =
∆𝑇
𝑅2
=
𝑇2 − 𝑇3
𝐿
𝑘 . 𝐴
=
13,3 − (−6,9)
0,305
1,31 .1
→ �̇� = 𝟖𝟔, 𝟕 𝑾 𝒑/𝒎²
Considerando agora a convecção na película externa:
�̇� =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅1
=
𝑇1 − 𝑇2
1
ℎ1 . 𝐴
→ 86,76 =
21,1 − 13,3
1
ℎ1 . 1
→ 𝒉𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟐 𝑾/𝒎². 𝒌
Agora, na película externa:
86,76 =
−6,9 − (−9,4)
1
ℎ𝑒 . 1
→ 𝒉𝒆 = 𝟑𝟒, 𝟕𝟐 𝑾/𝒎². 𝒌
109
Questão 4:
Letra a
�̇� =
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
=
𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑟
1
ℎ𝑖 . 𝐴
+
1
ℎ𝑎𝑟 . 𝐴
=
600 − 20
1
45 .24
+
1
5 .24
→ �̇� = 𝟔𝟐𝟔𝟒𝟎, 𝟒 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉
Letra b
𝑞′̇ =
𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑟
1
ℎ𝑎𝑟 . 𝐴
=
62 − 20
1
5. 24
= 5040𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
A espessura do isolamento é calculada levando em conta as resistências da
película interna e do isolante:
�̇� =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑠
1
ℎ𝑖 . 𝐴
+
𝐿
𝑘𝑖𝑠𝑜 . 𝐴
→ 5040 =
600 − 62
1
45 .24
+
𝐿
0,05 .24
→ 𝑳 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟕𝟑𝒎 = 𝟏𝟐, 𝟑𝒄𝒎
Letra c
�̇� − 𝑞′̇
�̇�
. 100 =
62640 − 5040
62640
. 100 → % 𝑹𝒆𝒅𝒖çã𝒐 = 𝟗𝟏, 𝟗𝟓%
Questão 5:
Letra a
�̇� =
𝑇4 − 𝑇5
1
ℎ . 𝐴
=
60 − 30
1
20 .1
= 600𝑊 (𝑝/𝑚²)
De posse do fluxo, e considerando as resistências térmicas entre 210 e 60 °C
podemos fazer:
110
�̇� =
𝑇1 − 𝑇5
1
ℎ𝑖 . 𝐴
+
𝐿1
𝑘1 . 𝐴
+
𝐿2
𝑘2 . 𝐴
+
𝐿3
𝑘3 . 𝐴
600 = 1
210 − 60
1
80 .1 +
0,04
22 .1 +
𝐿2
0,212 .1 +
0,01
60 .1
→ 𝑳𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟓𝒎 = 𝟓𝟎𝒎𝒎
Letra b
𝑞′̇ =
𝑇1 − 𝑇6
1
ℎ𝑖 . 𝐴
+
𝐿1
𝑘1 . 𝐴
+
𝐿2
𝑘′2 . 𝐴
+
𝐿3
𝑘3 . 𝐴
+
1
ℎ𝑒 . 𝐴
𝑞′̇ =
210 − 30
1
80 . 1 +
0,04
22 .1 +
0,05
0,0289 .1 +
0,01
60 .1 +
1
20 .1
𝑞′̇ = 100,3 𝑊 (𝑝/𝑚²)
Novamente na película externa, podemos obter a temperatura da superfície
do aço:
𝑞′̇ =
𝑇′5 − 𝑇6
1
ℎ𝑒 . 𝐴
→ 100,3 =
𝑇′5 − 30
1
20 .1
𝑻′𝟓 = 𝟑𝟓°𝑪
Questão 7:
Letra a
�̇� =
(∆𝑇)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅𝑡
=
𝑇𝑎𝑟 − 𝑇𝑁2
𝑅𝑎𝑟
𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑅𝑆𝑖
𝑐𝑜𝑛𝑑 + 𝑅𝑎ç𝑜
𝑐𝑜𝑛𝑑 + 𝑅𝑁2
𝑐𝑜𝑛𝑣
Desprezando: 𝑅𝑎ç𝑜
𝑐𝑜𝑛𝑑 ≈ 0 𝑒 𝑅𝑁2
𝑐𝑜𝑛𝑣 ≈ 0 , temos:
�̇� =
𝑇𝑎𝑟 − 𝑇𝑁2
1
ℎ𝑎𝑟 .4 . 𝜋 . 𝑟2
2 +
1
4 . 𝜋 . [
1
𝑘𝑆𝑖
. (
1
𝑟1
−
1
𝑟2
)]
�̇� = 𝟏𝟑, 𝟎𝟔 𝑾
111
Letra b
𝑄 = 𝑚. ∆𝐻𝑣
Conhecendo a taxa de transferência de energia (calor), podemos obter a taxa
de evaporação:
�̇� = �̇� . ∆𝐻𝑣 → �̇� =
�̇�
∆𝐻𝑣
=
13,06 𝐽/𝑠
2 . 105 𝐽/𝐾𝑔
= 6,53 . 10−5 𝐾𝑔/𝑠
�̇� = 6,53 . 10−5
𝐾𝑔
𝑠
. 3600
𝑠
ℎ
. 24
ℎ
𝑑𝑖𝑎
= 5,64 𝐾𝑔/𝑑𝑖𝑎
�̇� =
�̇�
𝜌
=
5,64 𝐾𝑔/𝑑𝑖𝑎
804 𝐾𝑔/𝑚³
= 0,007 𝑚³/𝑑𝑖𝑎
�̇� = 𝟕 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔/𝒅𝒊𝒂
Questão 8:
Letra a
Cálculo do fluxo de calor para o copo (desprezando a área da base):
Área superior → 𝐴1 = 𝜋. 𝑟 = 𝜋 . (0,045)2 = 0,006362𝑚²
Área lateral → 𝐴2 = 2. 𝜋 . 𝑟 . 𝐿 = 2 . 𝜋 .0,045 .0,2 = 0,05655𝑚²
�̇� = 𝑞1̇ + 𝑞2̇ = ℎ. 𝐴1 . (𝑇𝑎𝑟 − 𝑇𝑝) + ℎ. 𝐴2 . (𝑇𝑎𝑟 − 𝑇𝑝)
�̇� = 𝑞1̇ + 𝑞2̇ = 35 . 0,006362 . (35 − 0) + 35 . 0,05655 . (35 − 0)
�̇� = 𝟕𝟕, 𝟎𝟐 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉
Letra b
Cálculo do calor necessário para a fusão do gelo:
Volume dos cubos → 𝑉 = 2. (𝐿)3 = 2. (0,03)3 = 0,000054𝑚³
Massa da placa → 𝑚 = 𝜌𝑔. 𝑉 = 935 (𝑘𝑔/𝑚³). 0,000054 𝑚³ = 0,05049 𝐾𝑔
𝑄 = ∆𝐻𝑓 .𝑚 = 80,6
𝐾𝑐𝑎𝑙
𝐾𝑔
. 0,05049 𝐾𝑔 = 4,0695 𝐾𝑐𝑎𝑙
�̇� =
𝑄
𝑡
→ 𝑡 =
𝑄
�̇�
=
4,0695 𝐾𝑐𝑎𝑙
77,0672 (𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ)
= 0,0528 ℎ
𝒕 = 𝟑, 𝟏𝟕 𝒎𝒊𝒎
Resumo
Nesta aula, abordamos:
À transferência de calor por convecção, a sua lei básica que pode ser
calculada através da relação proposta por Isaac Newton.
Vimos também o conceito da camada limite e a determinação do
coeficiente de película.
E o mecanismo combinado de calor condução-convecção, e todos os
tópicos estão explicados nos exercícios resolvidos.
Um grande método de estudo e refazer a leitura fazendo perguntas
referentes o assunto exposto.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 5
Exercícios
1) Uma parede de um forno é constituída de duas
camadas: 0,20 m de tijolo refratário (k =1,2 kcal/h. m.°C) e 0,13
m de tijolo isolante (0,15 kcal/h. m.°C). A temperatura dos gases
dentro do forno é 1700°C e o coeficiente de película na parede
interna são 58 kcal/h. m².°C. A temperatura ambiente é 27°C e o coeficiente de
película na parede externa são 12,5 kcal/h. m². °C. Calcular:
a) O fluxo de calor por m² de parede;
b) A temperatura nas superfícies interna e externa da parede.
2) Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas
camadas, sendo a primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário
especial (k= 0,6 kcal/h. m.°C) e a outra de um bom isolante (k= 0,09 kcal/h. m.°C).
Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é 900°C e que a temperatura do
ar ambiente é 20°C (h = 20 kcal/h. m.o C). O fluxo de calor através da parede do
forno, de 40 cm de espessura, é igual a 800 kcal/h. m.
Pede-se:
a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno
b) A temperatura da interface das camadas
c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30°C na parede externa
do forno, qual a nova espessura isolante necessária?
3) No interior de uma estufa de alta temperatura os gases atingem 65 oC
enquanto que a temperatura ambiente é 20 oC. A parede da estufa é de aço, tem 6
mm de espessura e fica em um espaço fechado em que há risco de incêndio, sendo
necessário limitar a temperatura da superfície em 38 oC. Para minimizar os custos
de isolação, dois materiais serão usados: primeiro um isolante de alta temperatura
(mais caro), aplicado sobre o aço e, depois, magnésia (menos caro) externamente. A
temperatura máxima suportada pela magnésia é 300oC. Conhecendo os dados
abaixo, pede-se:
a) Especifique a espessura (em cm) de cada material isolante.
116
b) Sabendo que o custo por cm de espessura colocada do isolante de alta
temperatura é duas vezes que o da magnésia, calcule a elevação percentual de
custo se fosse utilizado apenas o isolante de alta temperatura.
DADOS: coeficiente de película interno: 490 Kcal/h. m². o C
Coeficiente de película interno: 20 Kcal/h. m². o C
Condutividade térmica do aço: 37,25 Kcal/h. m. oC
Condutividade térmica do isolante
de alta temperatura: 0,0894 Kcal/h. m.°C.
4) Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura
agradável à tripulação não inferior a 20 oC. O submarino pode ser idealizado como
um cilindro de 10m de diâmetro e 70 m de comprimento. O coeficiente de película
interno é cerca de 12 kcal/h.m2. oC, enquanto que, no exterior, estima- se que varie
entre 70 kcal/h.m2.°C (submarino parado) e 600kcal/h.m2.°C (velocidade máxima).
A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada
externa de 19 mm de aço inoxidável (k=14 Kcal/h. m.°C), uma camada de 25 mm de
fibra de vidro (k=0,034 Kcal/h. m.°C) e uma camada de 6 mm de alumínio ( k=175
Kcal/h. m.°C) no interior.
Determine a potência necessária (em KW) da unidade de aquecimento
requerida se a temperatura da água do mar varia entre 7 °C e 12 °C.
DADO: 1 KW = 860 Kcal/h
5) Um reservatório esférico (k = 1,65 kcal/h. m.oC) de diâmetro externo 1,2 m
e interno 1,1 m é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a
temperatura da superfície externa a 90 oC. Quando água de chuva a 25 oC flui pelo
lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na
resistência é 140 KW. Quando ar atmosférico a 25 oC flui pelo lado externo do
reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW.
a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar.
b) Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos os
casos.
DADO: 1 KW = 860 kcal/h
117
6) Um tanque de formato cúbico, com 1 m de lado, é utilizado para armazenar
um produto químico a 210oC, com coeficiente de película interno de 80 W/m2.K. A
parede do tanque é constituída de uma camada interna de carbono (k = 22 W/m. K)
de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário (k = 0,212 W/m. K)
e um invólucro de aço (k = 60 W/m. K) de 10 mm de espessura. Por motivo de
segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve
ser maior que 60 oC. Considerando que a temperatura ambiente é 30 oC, com
coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine:
a) O fluxo de calor na condição de segurança, ou seja, 60°C na superfície
externa do aço.
b) A espessura do refratário para atender a condição de segurança
c) A temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for
substituída por de uma de isolante (k = 0,0289 W/m. K) de mesma espessura.
7) Ar na pressão de 6KN/m² e temperatura de 300°C fluem com velocidade de
10m/s sobre uma placa de comprimento de 0,5m e 0,25m de largura. Determine a
taxa de transferência de calor necessária para manter a superfície da placa na
temperatura de 27°C.
Dados / Informações Adicionais:
Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação;
Para fluxo laminar (Re < 5. 10−5) seguinte correlação adimensional é
apropriada para este tipo de escoamento:
Nu = 0,644 . ReL
1
2⁄ . Pr
1
2⁄
Onde:
NuL =
h . L
k
e ReL =
v∞ . L
v
(L = comprimento da placa)
As propriedades estimadas na temperatura do filme são:
Tf =
TS + T∞
2
= 437 K
v = 5,21. 10−4 m²/s
k = 0,0364 W/m. K
118
Pr = 0,687
8) Água a T = 40 °C flui sobre uma placa de alumínio de 10 mm de espessura.
A placa é eletricamente aquecida do lado oposto ao da água. A superfície sob a
água está a T = 59,8 °C e a superfície oposta estão a 60 °C. Para as condições de
regime permanente, determine o coeficiente de transferência de calor (coeficiente de
película) entre a água e a placa. A condutividade térmica do alumínio é k = 204,1
W/m. K (a 60 °C).
Transporte de calor por radiação
Aula 6
APRESENTAÇÃO DA AULA
Nós passamos a reconhecer que a transferência de calor por condução e
convecção exigem a presença de um gradiente de temperatura em alguma forma de
matéria. De forma distinta, a tranferência de calor por radiação térmica não exige a
presença de um meio material . Ela é um processo extremamente importante e, no
sentido físico, é talvez o modo mais interessante de transferência de calor. Ela é
relevante em muitos processos industriais de aquecimento, resfriamento e secagem,
assim como em métodos de conversão de energia que envolvem a combustão de
combustíveis fósseis e a radiação solar. Nessa aula o nosso objetivo é analisar os
meios pelos quais a radiação térmica é gerada, a natureza específica da radiação e
a forma como ela interage com a matéria.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Definição;
Conceito Corpo Negro;
Conceito Coro Cinzento;
Lei de Stefan-Boltzmann;
Fator Forma.
120
6 DEFINIÇÃO RADIAÇÃO TÉRMICA
Radiação Térmica é o processo pelo qual calor é transferido de um corpo sem
o auxílio do meio interveniente, e em virtude de sua temperatura. Ao contrário dos
outros dois mecanismos, a radiação ocorre perfeitamente no vácuo, não havendo,
portanto, necessidade de um meio material para a colisão de partículas como na
condução ou transferência de massa como na convecção. Isto acontece porque a
radiação térmica se propaga através de ondas eletromagnéticas de maneira
semelhante às ondas de rádio, radiações luminosas, raios-X, raios-, etc., diferindo
apenas no comprimento de onda (). Este conjunto de fenômenos de diferentes
comprimentos de ondas, representado simplificadamente na figura 6.1, é conhecido
como espectro eletromagnético.
Figura 6.1: Conjunto de fenômenos de diferentes comprimentos de ondas.
A intensidade de radiação térmica depende da temperatura da superfície
emissora. A faixa de comprimentos de onda englobados pela radiação térmica fica
entre 0,1 e 100 (1 m = 10-6 m). Essa faixa é subdividida em ultravioleta, visível e
infravermelha. O sol, com temperatura de superfície da ordem de 10000 °C emite a
maior parte de sua energia abaixo de 3 , enquanto que um filamento de lâmpada, a
1000 oC, emite mais de 90 % de sua radiação entre 1 e 10 .
Toda superfície material, com temperatura acima do zero absoluto emite
continuamente radiações térmicas. Poder de emissão (E) é a energia radiante total
emitida por um corpo, por unidade de tempo e por unidade de área (Kcal/h.m2 no
sistema métrico).
121
6.1 Corpo negro e corpo cinzento
Corpo Negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite e absorve, a qualquer
temperatura, a máxima quantidade possível de radiação em qualquer comprimento
de onda. O corpo negro é um conceito teórico padrão com o qual as características
de radiação dos outros meios são comparadas.
Corpo Cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da
energia emitida ou absorvida por um corpo negro. As características de radiação dos
corpos cinzentos se aproximam das características dos corpos reais, como mostra
esquematicamente a figura 6.2.
Figura 6.2: Características de radiação dos corpos cinzentos.
Emissividade (𝜀) é a relação entre o poder de emissão de um corpo cinzento
e do corpo negro:
𝜀 =
𝐸𝐶
𝐸𝑛
Onde,
𝐸𝑐 = 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑐𝑖𝑛𝑧𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐸𝑛 = 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑜
122
Para os corpos cinzentos a emissividade () é, obviamente, sempre menor
que 1. Pertencem à categoria de corpos cinzentos a maior parte dos materiais de
utilização industrial, para os quais em um pequeno intervalo de temperatura pode-se
admitir constante e tabelado em função da natureza do corpo.
6.2 Lei de Stefan - Boltzmann
A partir da determinação experimental de Stefan e da dedução matemática de
Boltzmann, chegou-se à conclusão que a quantidade total de energia emitida por
unidade de área de um corpo negro e na unidade de tempo, ou seja, o seu poder de
emissão (En), é proporcional a quarta potência da temperatura absoluta:
𝐸𝑛 = 𝜎 . 𝑇
4
Onde,
𝜎 = 4,88 . 10−8𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚². 𝐾4 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑒𝑓𝑎𝑛 − 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛)
𝑇 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑡𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝐾𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠)
No sistema internacional a constante de Stefan-Boltzmann é:
𝜎 = 5,6697 . 10−8 𝑊/𝑚²𝐾4
6.3 Fator Forma
Um problema-chave no cálculo radiação entre superfícies consiste em
determinar a fração da radiação difusa que deixa uma superfície e é interceptada por
outra e vice-versa. A fração da radiação distribuída que deixa a superfície Ai e
alcança a superfície Aj é denominada de fator forma para radiação Fij. O primeiro
índice indica a superfície que emite e o segundo a que recebe radiação.
Consideremos duas superfícies negras de áreas A1 e A2, separadas no espaço
(figura 6.3) e em diferentes temperaturas (T1 > T2):
123
Figura 6.3: Superfícies negras.
Em relação ás superfícies A1 e A2 têm os seguintes fatores forma:
𝐹12 = 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 (1)𝑒 𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒 (2)
𝐹21 = 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 (2)𝑒 𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒 (1)
A energia radiante que deixa A1 e alcança A2 é:
𝑞1→2̇ = 𝐸𝑛1 . 𝐴1. 𝐹12 [
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ .𝑚²
.𝑚² . (−) =
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ
]
A energia radiante que deixa A2 e alcança A1 é:
𝑞2→1̇ = 𝐸𝑛2 . 𝐴2. 𝐹21 [
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ .𝑚²
.𝑚² . (−) =
𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ
]
A troca líquida de energia entre duas superfícies será:
�̇� = �̇�12 − �̇�21 = 𝐸𝑛1 . 𝐴1. 𝐹12 − 𝐸𝑛2 . 𝐴2. 𝐹21
Consideremos agora a situação em que as duas superfícies estão na mesma
temperatura. Neste caso, o poder de emissão das duas superfícies negras é o
mesmo (𝐸𝑛1 = 𝐸𝑛2) e não pode haver troca líquida de energia (�̇� = 0).
Então a equação 6.5 fica assim:
0 = 𝐸𝑛1 . 𝐴1. 𝐹12 − 𝐸𝑛2 . 𝐴2. 𝐹21
Como 𝐸𝑛1 = 𝐸𝑛2 (corpos negros), obtemos:
𝐴1 . 𝐹12 = 𝐴2 . 𝐹21
124
Como tanto a área e o fator forma não dependem da temperatura, a relação
dada pela equação 6.6 é válida para qualquer temperatura. Substituindo a equação
6.6 na equação 6.5, obtemos:
�̇� = 𝐸𝑛1 . 𝐴1. 𝐹12 − 𝐸𝑛2 . 𝐴2. 𝐹21
�̇� = 𝐴1. 𝐹12 . ( 𝐸𝑛1 − 𝐸𝑛2)
Pela Lei de Stefan-Boltzmann, temos que:
𝐸𝑛1 = 𝜎 . 𝑇1
4 𝑒 𝐸𝑛2 = 𝜎 . 𝑇2
4
Portanto:
�̇� = 𝐴1. 𝐹12 . ( 𝜎 . 𝑇1
4 − 𝜎 . 𝑇2
4)
Obtemos assim a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação
entre duas superfícies a diferentes temperaturas:
�̇� = 𝝈. 𝑨𝟏. 𝑭𝟏𝟐 . ( 𝑻𝟏
𝟒 − 𝑻𝟐
𝟒)
O Fator Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas
emissividades (). Nos livros e manuais, encontramos para diversos casos, tabelas e
ábacos para o cálculo do fator forma para cada situação (placas paralelas, discos
paralelos, retângulos perpendiculares, quadrados, círculos, etc.).
Um caso bastante como em aplicações industriais é quando a superfície
cinzenta que irradia é muito menor que superfície cinzenta que recebe a radiação
(por exemplo, uma resistência elétrica irradiando calor para o interior de um forno).
Para este caso específico, o Fator Forma é simplesmente a emissividade da
superfície emitente:
𝐹12 = 𝜀1
AULA 6
Questões
1) Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura
superficial de 93°C, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão
a 21°C. O ar no compartimento está a 27°C e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m².
°C. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de
tubo, se:
a) O duto é de estanho ( = 0,1)
b) O duto é pintado com laca branca ( = 0,9)
𝑇𝑡 = 93°𝐶 = 366𝐾
𝑇𝑎𝑟 = 27°𝐶
𝑇𝑝 = 21°𝐶 = 294𝐾
ℎ = 5 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚². °𝐶
∅ = 22 𝑐𝑚 = 0,22𝑚 → 𝑟 = 0,11𝑚
2) Uma tubulação atravessa uma grande sala conduzindo água a 95°C, com
coeficiente de película 20 kcal /h.m². °C. O tubo, de diâmetro externo 4” e resistência
térmica desprezível, está isolado com lã de rocha (k = 0,035 kcal/h.m. °C) de 2” de
espessura. Sabendo-se que a temperatura da face externa do isolamento do tubo é
22°C, determinar:
a) O fluxo de calor transferido através da tubulação;
b) A emissividade da superfície do isolamento,
sabendo-se que a metade do fluxo de calor transferido da
tubulação para o ambiente se dá por radiação e que a
temperatura da face interna das paredes da sala é 5°C.
126
𝑟1 = 2
′′ = 0,0508𝑚
𝑟1 = 2
′′ + 2′′ = 4′′ = 0,1016𝑚
𝐿 = 1𝑚
𝑇𝑖 = 95°𝐶 𝑇𝑒 = 22°𝐶 𝑇𝑝 = 5°𝐶
ℎ𝑖 = 20 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚. °𝐶
𝑘𝑖𝑠𝑜 = 0,035 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚². °𝐶
3) Um reator em uma indústria trabalha a 600°C em um local onde a
temperatura ambiente é 27°C e o coeficiente de película externo é 40 Kcal/h. m². °C.
O reator foi construído de aço inox ( = 0,06) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura.
Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante (k=
0,05 kcal/h m.°C e = 0,65) para reduzir a transferência de calor a 10 % da atual.
Desconsiderando as resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se:
a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento;
b) A parcela transferida por convecção após o isolamento.
AULA 6
Resolução
Questão 1:
Letra a
𝐿 = 1𝑚 𝜀 = 0,1
Como o tubo atravessa um grande compartimento, ou seja, a superfície do
tubo é muito menor que a superfície do compartimento, o fator forma é calculado
através da equação:
𝐹12 = 𝜀1 = 0,1 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. 1 ≪ 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. 2)
O fluxo de calor e composto de duas parcelas:
�̇� = 𝑞𝑟𝑎𝑑̇ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑̇
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑̇ = ℎ. 𝐴. (𝑇𝑡 − 𝑇𝑎𝑟) = ℎ . (2 . 𝜋 . 𝑟 . 𝐿). (𝑇𝑡 − 𝑇𝑎𝑟)
= 5. (2. 𝜋. 0,11.1). [93 − 27] = 228,1 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ (𝑝/𝑚)
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜎. 𝐴. 𝐹12 . ( 𝑇𝑡
4 − 𝑇𝑎𝑟
4 ) = 𝜎 . (2 . 𝜋. 𝑟 . 𝐿). 𝜀 . ( 𝑇𝑡
4 − 𝑇𝑎𝑟
4 )
= 4,88 . 10−8 .0,1 . (2 . 𝜋 .0,11 .1). [(366)2 − (294)2] = 35 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ (𝑝/𝑚)
�̇� = 𝑞𝑟𝑎𝑑̇ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑̇
�̇� = 𝟐𝟐𝟖, 𝟏 + 𝟑𝟓 = 𝟐𝟔𝟑, 𝟏 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉 (𝒑/𝒎)
Letra b
�̇� = 𝑞′𝑟𝑎𝑑̇ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑̇ 𝐹12 = 𝜀1 = 0,1 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. 1 ≪ 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. 2)
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜎. 𝐴. 𝐹12 . ( 𝑇𝑡
4 − 𝑇𝑎𝑟
4 ) = 𝜎 . (2 . 𝜋. 𝑟 . 𝐿). 𝜀 . ( 𝑇𝑡
4 − 𝑇𝑎𝑟
4 )
= 4,88 . 10−8 . (2 . 𝜋 .0,11 .1). [(366)2 − (294)2] = 315 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ (𝑝/𝑚)
�̇� = 𝑞𝑟𝑎𝑑̇ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑̇
�̇� = 𝟐𝟐𝟖, 𝟏 + 𝟑𝟏𝟓 = 𝟓𝟒𝟑, 𝟏 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉 (𝒑/𝒎)
128
Questão 2:
Letra a
�̇� =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑒
𝑅𝑖 + 𝑅𝑖𝑠𝑜
=
𝑇𝑖 − 𝑇𝑒
1
ℎ𝑖 . (2. 𝜋. 𝑟1. 𝐿)
+
ln(
𝑟2
𝑟1⁄ )
𝑘𝑖𝑠𝑜 .2 . 𝜋 . 𝐿
�̇� =
95 − 22
1
20. (2. 𝜋. 0,0508 .1,0)
+
ln (0,1016 0,0508⁄ )
0,035 .2 . 𝜋 .1,0
�̇� = 𝟐𝟐, 𝟎𝟔 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉 (𝒑/𝒎)
Letra b
�̇� = 𝜎. 𝐴1. 𝐹12 . ( 𝑇1
4 − 𝑇2
4) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴1 ≪ 𝐴2 → 𝐹12 = 𝜀1
�̇� = 𝜎. 𝐴1. 𝜀1. ( 𝑇1
4 − 𝑇2
4)
22,06
2
= 4,88 . 10−8 . (2. 𝜋. 0,1016 .1,0). 𝜀1 . [(22 + 273)
4 − (5 + 273)4]
𝜺𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟐
Questão 3:
Letra a
𝐴 = 2 . 𝜋 . 𝑟 . 𝐿 + 2 . (𝜋. 𝑟2) = 2 . 𝜋 .1 .3 + 2 . (𝜋 . 12) = 25,14𝑚²
O fluxo de calor total é a soma das parcelas por convecção e por radiação.
A parcela por convecção é:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣̇ = ℎ . 𝐴 . (𝑇1 − 𝑇2) = 40 .25,14 . (600 − 27) = 56208,80 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
A parcela transferida por radiação, considerando a superfície do reator bem
menor que o ambiente, é:
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜎. 𝐴1. 𝐹12 . ( 𝑇1
4 − 𝑇2
4) , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹12 = 𝜀 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. 1 ≪ 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓. 2)
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜎. 𝐴1. 𝜀 . ( 𝑇1
4 − 𝑇2
4)
= 4,88 . 10−8. 25,14 .0,06. [(600 + 273)4 − (27 + 273)4] = 42159,39 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
129
Portanto,
�̇� = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣̇ + 𝑞𝑟𝑎𝑑̇
�̇� = 𝟓𝟔𝟐𝟎𝟖, 𝟖𝟎 + 𝟒𝟐𝟏𝟓𝟗, 𝟑𝟗 = 𝟔𝟏𝟖𝟑𝟔𝟖, 𝟏𝟗 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉
Letra b
𝑞′̇ = 0,1 . �̇� = 0,1 .61836,19 = 61836,82 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
Além disto, a temperatura externa do isolamento deve ser 62°C, então:
𝑇1 = 600°𝐶
𝑇𝑖𝑠𝑜 = 62°𝐶
𝑘𝑖𝑠𝑜 = 0,05 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ.𝑚². °𝐶
𝑞′̇ = 61813,92 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
𝜀𝑖𝑠𝑜 = 0,65
O novo fluxo de calor continua sendo composto das parcelas de convecção e
radiação: �̇� = 𝑞′𝑐𝑜𝑛𝑣̇ + 𝑞′𝑟𝑎𝑑̇ ··. A parcela transferida por radiação foi alterada devido
à emissividade do isolante ser diferente da emissividade do inox e também devido à
nova temperatura externa do isolamento.
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜎. 𝐴1. 𝜀 . ( 𝑇1
4 − 𝑇2
4)
= 4,88 . 10−8. 25,14 .0,75. [(62 + 273)4 − (27 + 273)4] = 4135,4 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
130
A parcela que pode ser transferida por convecção, devido à restrição dos 10%
de redução do fluxo de calor, é obtida por diferença e permite o cálculo da espessura
do isolante:
𝑞′𝑐𝑜𝑛𝑣̇ = �̇� + 𝑞′𝑟𝑎𝑑̇ .
𝒒′𝒄𝒐𝒏𝒗̇ = 𝟔𝟏𝟖𝟑𝟔, 𝟖𝟐 + 𝟒𝟏𝟑𝟓, 𝟒 = 𝟓𝟕𝟕𝟎𝟏, 𝟒 𝑲𝒄𝒂𝒍/𝒉
Resumo
A radiação térmica, também conhecida como irradiação, é uma forma de
transferência de calor que ocorre por meio de ondas eletromagnéticas. Como essas
ondas podem propagar-se no vácuo, não é necessário que haja contato entre os
corpos para haver transferência de calor. Todos os corpos emitem radiações
térmicas que são proporcionais à sua temperatura. Quanto maior a temperatura,
maior a quantidade de calor que o objeto irradia. Um exemplo desse processo é o
que acontece com a Terra, que, mesmo sem estar em contato com o Sol, é aquecida
por ele. Outro exemplo pode ser observado na figura a seguir:
Podemos nos aquecer nas proximidades de uma lareira, sem ter contato
direto com o fogo, graças ao processo de condução do calor por irradiação.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/radiacao-conducao-
conveccao.htm>. - Acesso em 30 de abril de 2014.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/radiacao-conducao-conveccao.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/radiacao-conducao-conveccao.htm
AULA 6
Exercícios
1) Os gases quentes do interior de uma fornalha são
separados do ambiente a 25°C (h = 17,2 Kcal/h. m². °C) por
uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os tijolos têm
uma condutividade de 1,0 kcal /h.m.°C e uma emissividade de
0,8. A temperatura da superfície externa da parede da fornalha é 100°C.
Considerando que a fornalha está em um grande compartimento cuja temperatura
da superfície é igual à temperatura ambiente, qual é a temperatura da superfície
interna da parede da fornalha?
2) Um reator de uma indústria trabalha à temperatura de 600 oC. Foi
construído de aço inoxidável (= 0,06) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de
comprimento. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com uma
camada de lã de rocha (k = 0,05 Kcal/h. m.oC e e = 0,75 ) para reduzir a
transferência de calor a 10% da atual. Calcular:
a) O fluxo de calor (radiação e convecção) antes do isolamento;
b) A espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a
temperatura externa do isolamento deve ser igual a 62°C.
3) Vapor d'água saturado a 255 °C escoa por um tubo de parede fina de
diâmetro externo igual a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo salão de 10 m de
comprimento e cujas paredes estão à mesma temperatura de 25°C do ambiente
(har= 5 kcal/h.m².°C). Deseja-se pintar a superfície do tubo de maneira que ao sair
do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5% de sua massa
não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas
emissividade são: tinta A - a=1; tinta B - b=0,86 e tinta C - c= 0,65. Sabendo que
o calor latente de vaporização nestas condições é 404 Kcal/Kg, determinar:
a) A tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de
vapor é 55,2 kg/h.
b) A energia radiante por unidade de comprimento após a pintura.
Cinemática dos fluídos –
Escoamentos dos fluidos
Aula 7
APRESENTAÇÃO DA AULA
A cinemática dos fluidos trata do estudo do movimento dos fluidos sem
considerar as forças que estão atuando. Cabe a cinemática dos fluidos:
Descrever campos de velocidades;
Descrever campos de acelerações;
Descrições dos movimentos;
Auxiliar na visualização dos movimentos dos fluidos.
Os fluidos movem-se devido às tensões atuantes sobre eles: tensões normais
de compressão (que combinadas resultam na pressão sobre o fluido); tensões de
cisalhamento. Ha muitos fenômenos que ocorrem frequentemente ao nosso redor
que permitem a visualização dos escoamentos:
Fumaça de chaminés e cigarros;
Movimento de nuvens na atmosfera;
Movimento de ondas em mares, lagos, rios;
Mistura de fluidos de colorações diferentes.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Conceitos fundamentais;
Escoamentos dos fluidos.
136
7 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
É um dos ramos mais complexos da mecânica dos fluidos, encontrado em
diversas situações como transbordamento de rios, rompimento de barragens,
vazamentos de petróleo ou gás natural. Para melhor compreensão precisamos estar
cientes de alguns conceitos.
Fluido ideal - Fluido incompressível e que não apresenta força interna de
atrito ou viscosidade.
Linha de escoamento - Caminho percorrido por um elemento de um fluido
em movimento.
Escoamento estável ou estacionário.
Linha de Corrente - Linha tangente, em qualquer ponto, que está na
direção do vetor velocidade do fluido naquele ponto.
Figura 7.1: Escoamento.
Este assunto esboçará os conceitos adicionais necessários ao estudo de
escoamentos de fluidos. O escoamento de fluidos é complexo e nem sempre
sujeito à análise matemática exata. Diferentemente dos sólidos, os elementos de
um fluido em escoamento podem possuir diferentes velocidade e podem estar
sujeitos a diferentes acelerações.
Os três conceitos que se seguem são importantes:
O princípio da conservação de massa, a partir do qual a equação da
continuidade é desenvolvida;
O princípio da energia cinética, a partir do qual algumas equações são
desenvolvidas;
137
O princípio da quantidade de movimento a partir do qual as equações que
determinam as forças dinâmicas exercidas pelo fluido em escoamento podem ser
estabelecidas.
7.1 Escoamento de fluidos
O escoamento de fluidos pode ser estável
ou instável; uniforme ou não
uniforme; laminar ou turbulento; uni, di ou tridimensional, e rotacional ou irrotacional.
Realmente o escoamento unidimensional de um fluido incompressível
ocorre quando a direção e a intensidade da velocidade; é a mesma para todos os
pontos. Entretanto, se aceita a análise de escoamento unidimensional quando
uma única grandeza é tomada ao longo do filete central e, quando as velocidade
e acelerações normais ao escoamento são desprezíveis. Em tais casos os valores
médios da velocidade, da pressão e da altura são considerados como
representantes do escoamento como um todo e, pequenas variações podem ser
desprezadas. Por exemplo, o escoamento em tubulações curvas é analisado por
meio de princípios de escoamentos unidimensional, apesar do fato de que a
estrutura é tridimensional e a velocidade varia através das secções normais ao
escoamento. O escoamento bidimensional ocorre quando as partículas do fluido se
movem em planos ou em planos paralelos e, suas trajetórias são idênticas em cada
plano.
Para um fluido ideal, no qual não existe tensão cisalhante, e, portanto, não há
torques, o movimento de partículas fluidas em torno de seus próprios centros de
massa não pode existir. Tal escoamento ideal é chamado escoamento irrotacional
e pode ser representado por uma rede fluida. Um líquido em tanques rotativos
ilustra o escoamento rotacional onde a velocidade de cada partícula varia
diretamente com a distância ao centro de rotação.
7.2 Escoamentos uni, bi e tridimensionais
Um campo de escoamento e melhor caracterizado pela distribuição de
velocidade e desse modo o escoamento é dito ser uni, bi ou tridimensional se a
velocidade do escoamento varia basicamente em uma, duas ou três dimensões
respectivamente.
138
Figura 7.2: Exemplo.
Quando a variação de velocidade em certas direções e pequena em relação
às outras, as primeiras podem ser ignoradas (erro desprezível). Para a região de
perfil de velocidade completamente desenvolvido (trecho de área de seção
constante na figura) o escoamento e unidimensional em coordenadas cilíndricas,
mas bidimensional em coordenadas cartesianas.
7.3 Escoamento permanente
Se em um ponto, a velocidade de sucessivas partículas do fluido é a mesma
em sucessivos espaços de tempo, teremos o escoamento permanente. Assim, a
velocidade é uma constante em relação ao tempo, ou ∂V/∂t = 0; porém ela poderá
variar de ponto a ponto, ou seja, em relação à distância. Esta afirmativa implica em
que outras variáveis também deverão ser constantes em relação ao tempo: ∂p/∂t =
0; ∂𝜌 /∂t = 0; ∂Q/∂t = 0; etc. As condições de escoamento permanente são
comumente encontradas em problemas práticos de engenharia, por exemplo:
tubulações transportando líquidos sob altura de carga constante, ou orifício
escoando a pressão constante, etc. Estes escoamentos podem ser uniformes ou
não uniformes.
As condições podem variar de um ponto para o outro ou de secção para
outra secção. Um exemplo deste tipo de escoamento e mostrado na Figura 7.1, em
que se tem um reservatório contendo um fluido mantido a nível constante, isto é,
a quantidade de fluido que sai do reservatório é reposta (recolocada) de alguma
forma.
Pode-se observar que em cada secção escolhida as velocidades (grandezas
escolhidas para análise) não variam com o decorrer do tempo, ou seja, os perfis de
velocidades: V1, V2 e V3 se mantêm constantes.
139
Porém, se for feita uma comparação entre estes perfis nos mesmos instantes,
observa-se que eles são diferentes (V1 ≠ V2 ≠ V3). Conclusão: a condição de
permanente está relacionada apenas com o parâmetro tempo.
Figura 7.3: Escoamento permanente.
A complexidade do escoamento variável está fora dos limites deste módulo
de introdução à Mecânica dos Fluidos. O que caracteriza o escoamento variável é
a variação de condições de ponto a ponto em relação ao tempo, assim ∂V/∂t ≠ 0,
etc.
7.4 Escoamento variado
É aquele em que as condições do fluido variam em relação ao tempo em um
ponto, numa seção ou região do escoamento.
140
Figura 7.4: Escoamento variável.
Na instalação da Figura 7.2, em que de um reservatório contendo um fluido,
cujo nível varia no decorrer do tempo, sai uma quantidade variável de fluido na
unidade de tempo, tem- se um exemplo de escoamento variado ou não
permanente. Pode-se observar nesta instalação que em cada uma das três secções
tomadas para análise os perfis de velocidades variam com o decorrer do tempo, isto
é, V1(t1) ≠ V1(t2); V2(t1) ≠ V2(t2) e V3(t1) ≠ V3(t2). Neste exemplo foi admitido que, o
nível de fluido no reservatório diminui, mas poderíamos admitir que, o nível
aumentaria e teríamos, também, um escoamento variado, a diferença é que neste
caso as velocidades aumentam, ao invés de diminuir.
7.5 Escoamento uniforme
Como todos os fluidos satisfazem a
condição de aderência, forçosamente são
sempre bi ou tridimensionais. Para simplificação,
muitas vezes utiliza-se o conceito de
escoamento uniforme que deve ser entendido
numa seção transversal do escoamento. Para um escoamento que e dito uniforme
numa dada seção transversal à velocidade deve ser considerada constante através
de qualquer seção ao normal ao escoamento, como ilustra a figura acima. Para esta
figura, tal hipótese simplifica o problema que pode ser tratado, agora, como
unidimensional.
141
Quando a velocidade não varia em direção e intensidade de ponto a ponto,
ou ∂V/∂s = 0, temos um escoamento uniforme. Esta condição implica em que outras
variáveis do escoamento sejam constantes em relação à distância, ou ∂y/∂s = 0; ∂𝜌
/∂s = 0; ∂p/∂s = 0; etc. Os escoamentos de líquidos sob pressão em tubulações
longas de diâmetro constante são uniformes quer sejam permanente ou não.
Quando a velocidade, a profundidade, a pressão, etc., variam de ponto a
ponto em um escoamento, este será não uniforme. ∂V/∂s ≠ 0; etc. Logo temos dois
tipos de escoamentos uniformes:
Escoamento uniforme permanente;
Escoamento uniforme não permanente.
7.6 Escoamento uniforme permanente
É aquele em que as condições do fluido não variam de secção para secção e
em relação ao tempo.
Na Figura abaixo, é mostrado um exemplo de escoamento uniforme e
permanente, em que de um reservatório, contendo um fluido com nível constante,
sai uma quantidade fixa do fluido.
Observa-se que nas secções escolhidas para análise os perfis são idênticos
e não variam com o decorrer do tempo, isto é, V1 = V2 = V3.
142
Figura 7.5: Escoamento uniforme permanente.
7.7 Escoamento uniforme não-permanente
É aquele em que as condições do fluido não variam de secção para secção,
mas variam em relação ao tempo. A instalação da Figura 7.4 mostra um exemplo
deste tipo escoamento, em que de um reservatório contendo um fluido, com nível
variável, sai uma quantidade variável de fluido. Pode-se observar que nas secções
escolhidas em cada instante os perfis de velocidades são idênticos, isto é, V1(t1)
= V2(t1) = V3(t1), e, V1(t2) = V2(t2) = V3(t2), mas os perfis de velocidades
diferem de instante para instante, ou seja:
V1 (t1) = V2 (t1) = V3 (t1) ≠ V1 (t2) = V2 (t2) = V3 (t2).
143
Figura 7.6: Escoamento uniforme não-permanente.
7.8 Experiência de Reynolds
A experiência de Reynolds (1883) demonstrou a existência de dois tipos de
escoamentos, o escoamento laminar e o escoamento turbulento. O experimento
teve como objetivo a visualização do padrão de escoamento de água através de um
tubo de vidro, com o auxílio de um fluido colorido (corante).
Seja um reservatório com água como ilustrado na Figura 7.5. Um tubo de
vidro, em cuja extremidade é adaptado um convergente, é mantido dentro do
reservatório
e ligado a um sistema externo que contém uma válvula que tem a
função de regular a vazão. No eixo do tubo de vidro é injetado um líquido corante
que possibilitará a visualização do padrão de escoamento.
Para garantir o estabelecimento do regime permanente, o reservatório
contendo água deve ter dimensões adequadas para que a quantidade de água
retirada durante o experimento não afete significativamente o nível do mesmo, e ao
abrir ou fechar a válvula (7), as observações devem ser realizadas após um intervalo
de tempo suficientemente grande. O ambiente também deve ter sua temperatura e
pressões controladas. Para pequenas vazões o líquido corante forma um filete
contínuo paralelo ao eixo do tubo (6). Vazões crescentes induzem oscilações que
são amplificadas à medida que o aumento vai ocorrendo, culminando no
completo desaparecimento do filete, ou seja, uma mistura completa no interior do
tubo de vidro (6) do líquido corante, indicando uma diluição total. É possível
144
concluir que ocorrem dois tipos distintos de escoamentos separados por uma
transição.
No primeiro caso, no qual é observável o filete colorido conclui-se que
as partículas viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas
concêntricas entre as quais não há troca macroscópica de partículas.
No segundo caso, as partículas apresentam velocidades transversais
importantes, já que o filete desaparece pela diluição de suas partículas no volume
de água:
1 – Reservatório do corante;
2 – Válvula de controle de vazão do corante;
3 – Reservatório de água;
4 – Injetor;
5 – Convergente;
6 – Tubo de vidro;
7 - Válvula de controle de vazão da água.
Figura 7.7: Esquema do experimento.
145
Realizando a experiência abaixo Osborne Reynolds observou os seguintes
comportamentos da água:
Figura 7.8: Exemplo.
Para vazões pequenas o filete colorido permanecia bem definido no
escoamento. É o regime de escoamento que denominou de laminar ou lamelar;
Para vazões maiores o filete colorido se misturava com a água. É o regime
de escoamento que denominou de turbulento.
7.8.1 Escoamento laminar
É aquele em que as partículas fluidas apresentam trajetórias bem
definidas, que não se cruzam e o fluido escoa em laminas ou lamelas, conforme
mostra a Figura abaixo.
Figura 7.9: Escoamento laminar.
146
7.8.2 Escoamento turbulento
É aquele em que as partículas fluidas apresentam movimento desordenado,
tendo a velocidade em qualquer instante uma componente transversal à direção do
escoamento, conforme ilustra a Figura abaixo.
Figura 7.10: Escoamento turbulento.
Pelo adimensional denominado NÚMERO DE REYNOLDS (Re) dado por:
𝑹𝒆 =
𝝆 . 𝑽. 𝑫
𝝁
=
𝑽 . 𝑫
𝒗
Podemos caracterizar se um escoamento em tubos é Laminar ou Turbulento.
Onde:
ρ: massa especifica do fluido;
V: velocidade média do escoamento;
D: diâmetro hidráulico do tubo;
μ: viscosidade dinâmica do fluido;
𝒗: viscosidade cinemática do fluido.
Se Re ≤ 2000; tem-se regime laminar. Se 2000 < Re < 4000; tem-se regime
de transição, que é uma zona crítica, na qual não se pode determinar com
segurança a perda de carga nas canalizações. Se Re ≥ 4000; tem-se regime
turbulento.
Aspecto do escoamento no tubo de vidro
147
Figura 7.11: Exemplo.
7.9 Regime ou movimentos variados e permanente
Regime permanente é aquele em que as propriedades do fluido são
invariáveis em cada ponto com o passar do tempo. Note-se que as propriedades do
fluido podem variar de ponto para ponto, desde que não haja variações com o
tempo. Isso significa que, apesar de certo fluido estar em movimento, a configuração
de suas propriedades em qualquer instante permanece a mesma. Um exemplo
prático disso será o escoamento pela tubulação do tanque na figura abaixo, desde
que o nível dele seja mantido constante.
Figura 7.12: Escoamento pela tubulação do tanque.
Nesse tanque, a quantidade de água que entra em (1) é idêntica à quantidade
de água que sai por (2); nessas condições, a configuração de todas as propriedades
dos fluidos, como velocidade, massa específica, pressão, etc., será, em cada ponto,
a mesma em qualquer instante. Note-se que em cada ponto a velocidade, por
exemplo, é diferente, assim como a pressão o será, pela Lei de Stevin. Regime
variado é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou regiões de
148
pontos variam com o passar do tempo. Se no exemplo da Figura 7.8 não houver
fornecimento de água por (1), o regime será variado em todos os pontos. Denomina-
se reservatórios de grandes dimensões, um reservatório do qual se extrai ou no qual
se admite fluido, mas, devido à sua dimensão transversal muito extensa, o nível
varia sensivelmente com o passar do tempo. A figura 7.9a mostra um reservatório de
grandes dimensões, em que, apesar de haver uma descarga do fluido, o nível não
varia sensivelmente com o passar do tempo, de forma que o regime pode ser
considerado aproximadamente permanente. A figura 7.9b mostra um reservatório em
que a seção transversal é relativamente pequena em face da descarga do fluido.
Isso faz com que o nível dele varie sensivelmente com o passar do tempo, havendo
uma variação sensível, configuração do sistema, caracterizando um regime variado.
Figura 7.13: Reservatório.
7.10 Vazão – velocidade média na seção
A vazão em volume pode ser definida facilmente pelo exemplo da Figura
abaixo.
149
Figura 7.14: Vazão em volume.
Suponha-se que, estando à torneira aberta, seja empurrado o recipiente da
Figura 7.10 embaixo dela e simultaneamente seja disparado o cronometro. Admita-
se que o recipiente encha em 10s. Pode-se dizer então que a torneira enche 20L em
10s ou que a vazão em volume da torneira é
20𝐿
10𝑠
= 2 𝐿/𝑠. Define-se vazão em
volume 𝑄 como volume de fluido que atravessa certa seção de escoamento por
unidade de tempo:
𝑸 =
𝑽
𝒕
As unidades correspondentes à definição: m³/s, L/s, m³/h, L/min, ou qualquer
outra unidade de volume ou capacidade por unidade de tempo. Existe uma relação
importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido.
150
Figura 7.15: Relação entre vazão em volume e a velocidade do fluido.
Suponha-se o fluido em movimento da Figura 7.11. No intervalo de tempo t, o
fluido se desloca através da seção de área A á uma distância s. O volume de fluido
que atravessa a seção de área Ano intervalo de tempo t é V = sA. Logo, a vazão
será:
𝑄 =
𝑉
𝑡
=
𝑠𝐴
𝑡
, 𝑚𝑎𝑠
𝑠
𝑡
= 𝑉
Logo:
𝑸 = 𝑽. 𝑨
É claro que essa expressão só seria verdadeira se a velocidade fosse
uniforme na seção. Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é
unidimensional; no entanto, é possível obter uma expressão do tipo da Equação 7.3
definindo a velocidade média na seção.
151
Figura 7.16: Velocidade média na seção.
Obviamente, para o cálculo de vazão, não pode utilizar a equação 7.3, pois V
é diferente em cada ponto da seção. Adotando um 𝑑𝐴 qualquer no entorno de um
ponto em que a velocidade genérica é V, como na figura 7.12, tem-se:
𝑑𝑄 = 𝑉 𝑑𝐴
Logo, a vazão na seção da área A será:
𝑄 = ∫𝑉 𝑑𝐴
Define-se velocidade média na seção como uma velocidade uniforme que,
substituída no lugar da velocidade real, reproduzirá a mesma vazão na seção.
Logo:
𝑄 = ∫𝑉 𝑑𝐴 = 𝑉𝑚𝐴
Dessa igualdade, surge a expressão para o cálculo da velocidade média na
seção:
𝑉𝑚 =
1
𝐴
∫𝑉 𝑑𝐴
152
Figura 7.17: Velocidade média na seção.
Resumo
A importância fundamental
do número de Reynolds é a possibilidade de se
avaliar a estabilidade do fluxo podendo obter uma indicação se o escoamento flui de
forma laminar ou turbulenta. O número de Reynolds constitui a base do
comportamento de sistemas reais, pelo uso de modelos reduzidos. Um exemplo
comum é o túnel aerodinâmico onde se medem forças desta natureza em modelos
de asas de aviões.
Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o
número de Reynolds for o mesmo para ambos.
Exemplo de Escoamento Laminar e Turbulento em um ensaio de túnel de vento.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 7
Exercícios
Para a aprendizagem dos conceitos apresentados na
aula de hoje, responda o questionário abaixo:
1) Do que se trata a cinemática dos fluidos?
2) O escoamento de fluidos é complexo e nem sempre sujeito à análise
matemática exata. Diferentemente dos sólidos, os elementos de um fluido em
escoamento podem possuir diferentes velocidade e podem estar sujeitos a
diferentes acelerações. Quais são os três conceitos que se seguem são
importantes?
3) De que tipo pode ser o escoamento de fluidos?
4) O que caracteriza o Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais?
5) Compare o escoamento permanente e variável.
6) Diferencia e escoamento uniforme permanente e o não permanente.
7) O foi feito na experiência de Reynolds?
8) Relacione Escoamento Laminar e Turbulento.
9) Explique regime ou movimentos Variado e Permanente.
10) Que relação é feita para encontrar a vazão de um fluido?
Descrição Euleriana e Langrangiana
dos Escoamentos
Aula 8
APRESENTAÇÃO DA AULA
Num campo de escoamento, uma partícula de fluido éconsiderada uma
pequena massa de fluido, constituindo de um número grande de moléculas, que
ocupam um pequeno volume ∆𝑉 que se move com o escoamento. Descrição
Lagrangeana (L. Larange, 1736 - 1813) : partículas individuais são observadas
como função do tempo, 𝑉 = (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) . Descrição Euleriana (Leonhard Euler,
1707 – 1783) : as propriedados do escoamento são funções do espaço e tempo 𝑉 =
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Conceito;
Principais linhas de escoamentos.
158
8 DESCRIÇÃO EULERIANA E LANGRANGIANA DOS ESCOAMENTOS
8.1 Método de Lagrange
Considere uma grandeza qualquer, G, escalar ou vetorial, que possa ser
estudada em função do tempo. O método de Lagrange consiste em acompanhar a
partícula ao longo da sua trajetória, de uma posição inicial A, para, em cada instante,
encontrar o valor da grandeza 𝐺 = 𝐺𝐿(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴, 𝑇). Note que o ponto (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
define o ponto inicial o nome de cada partícula. Este método aplicado à mecânica
dos fluidos resulta em acompanhar muitas partículas, o que torna esta tarefa
extremamente difícil. Porém há algumas situações práticas onde o método de
Lagrange é útil, tais como, a descrição do movimento de boias oceânicas, balões
meteorológicos, migração de pássaros, rastreamento de veículos por satélite.
8.2 Método de Euler
Consiste em se fixar um ponto geométrico 𝑃 = (𝑥𝑃 , 𝑦𝑃, 𝑧𝑃, ) para se detectar ai
a grandeza física associada às partículas que, em diferentes instantes, passam por
P. Assim, 𝐺 = 𝐺𝐸(𝑥𝑃, 𝑦𝑃, 𝑧𝑃, 𝑡), neste caso as grandezas passam a serem funções
tanto do espaço como do tempo. A região física do escoamento quando estudada
por esse método recebe o nome de campo de escoamento. Geralmente, o método
de Euler é mais utilizado:
Na maioria dos casos práticos as partículas não conservam sua
individualidade física (seja por difusão, seja por turbulência), o que prejudica a
descrição da trajetória (se fosse, então, utilizado o método lagrangiano).
As leis físicas obtidas pelo método euleriano são mais fáceis de aplicar em
situações reais;
A dimensão das partículas num escoamento resulta proibitivo o uso de
instrumentos que possam ser utilizados durante sua trajetória.
159
8.3 Principais linhas do escoamento
8.3.1 Linha de Trajetória
É o conjunto de pontos percorridos por uma partícula no campo de
escoamento; ela fornece o histórico das localizações da partícula. Matematicamente
ela e definida pela integração dos componentes da velocidade:
𝑋 = ∫𝑢 . 𝑑𝑡 ; 𝑌 = ∫𝑉 . 𝑑𝑡 ; 𝑍 = ∫𝑊 . 𝑑𝑡
Figura 8.1: Exemplo.
8.3.2 Linha de emissão
Uma linha instantânea, formada pelos pontos ocupados por todas as
partículas originárias de um ponto específico do escoamento.
Figura 8.2: Ponto de referência acima.
160
8.3.3 Linha de corrente
Figura 8.3: Exemplo.
Linha instantânea que é tangente em todos os pontos ao vetor velocidade do
escoamento. Para uma linha de corrente pode-se escrever:
𝑑𝑥
𝑢
=
𝑑𝑦
𝑉
=
𝑑𝑧
𝑊
=
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗
�⃗�
Observe que, para uma linha de corrente (LC), o produto vetorial �⃗� . 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ = 0
, pois tanto �⃗� como 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ estão na mesma direção. Duas linhas de corrente não
podem se interceptar (o ponto teria duas velocidades).
Figura 8.4: Exemplo.
161
8.3.4 Tubo de corrente
E um tubo (fictício) cujas paredes são formadas por linhas de corrente. Como
a velocidade é tangente às linhas de corrente, nenhuma partícula fluida pode
atravessar as paredes de um tubo de corrente. Uma tubulação e um tubo de
corrente, assim como um canal aberto. Para escoamentos em regime permanente,
as linhas de trajetória, de emissão e de corrente são todas coincidentes.
Figura 8.5: Exemplo.
162
8.4 Campo de velocidade: Euleriano x Lagrangiano
Exemplo: Temperatura de gás saindo na chaminé
8.5 Método de Euler
O movimento do fluido é descrito pela especificação completa das
propriedades necessárias (pressão, densidade, velocidade) em função das
coordenadas espaciais e temporais. Obtemos informações do escoamento em
função do que acontece em pontos fixos do espaço.
O termômetro instalado perto da abertura indicaria a temperatura de diversas
partículas em instantes diferentes. Assim, obtém-se a variação da temperatura, T,
nesse ponto, em função de suas coordenadas e do tempo, t. Vários termômetros
instalados em pontos fixos do escoamento forneceriam seu campo de temperatura.
8.6 Método de Lagrange
Envolve seguir as partículas fluidas e determinar como as propriedades da
partícula variam em função do tempo.
163
Um termômetro seria instalado em uma partícula fluida e, assim, registraria
sua temperatura ao longo
do movimento, isto é, T = T(t). Um conjunto de dispositivos
para medir a variação da temperatura de várias partículas forneceria a história da
temperatura do escoamento. Isto só seria possível se a localização de cada partícula
fosse conhecida em função do tempo.
O campo de velocidades de um fluido e expressado pelo seu vetor
velocidade, �⃗� , dado por:
𝑉 ⃗⃗ ⃗ = 𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) . 𝑖 + 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) . 𝑗 + 𝑊 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) . �⃗�
E comum também designar os componentes do vetor velocidade u, v e w por
Vx, Vy e Vz, respectivamente. Outras equações importantes relativas a este tópico:
𝑉 ⃗⃗ ⃗ =
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
,
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
|�⃗� | = √𝑢2 + 𝑉2 + 𝑊2
8.7 Derivadas: material, local e conectiva
A descrição matemática da taxa, ou derivada temporal, de uma propriedade
do fluido num escoamento depende do método escolhido para sua descrição:
euleriano ou lagrangiano. Como o método euleriano e o mais utilizado, passa-se a
dedução de uma taxa neste método para uma grandeza G (genérica), escalar ou
vetorial.
Considere dois instantes sucessivos, 1 e 2. De tal modo que se pode escrever
para cada um deles:
𝐺1 = 𝐺 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑡1) 𝑒 𝐺2 = 𝐺 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , 𝑡2)
Para prever o valor de 𝐺2 conhecendo-se 𝐺1 pode-se utilizar a expansão em
série de Taylor a partir do ponto 1:
164
𝐺2 = 𝐺1 + (
𝜕𝐺
𝜕𝑥
) . (𝑥2 − 𝑥1) + (
𝜕𝐺
𝜕𝑦
) . (𝑦2 − 𝑦1) + (
𝜕𝐺
𝜕𝑧
) . (𝑧2 − 𝑧1) + (
𝜕𝐺
𝜕𝑡
) . (𝑡2 − 𝑡1) + 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
Dividindo-se a eq. anterior por (𝑡2 − 𝑡1) e ignorando os termos de ordem
superior, obtém-se:
𝐺2 − 𝐺1
𝑡2 − 𝑡1
= (
𝜕𝐺
𝜕𝑥
) .
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
+ (
𝜕𝐺
𝜕𝑦
) .
𝑦2 − 𝑦1
𝑡2 − 𝑡1
+ (
𝜕𝐺
𝜕𝑧
) .
𝑧2 − 𝑧1
𝑡2 − 𝑡1
+ (
𝜕𝐺
𝜕𝑡
)
Na equação acima, o lado esquerdo e a taxa média de variação (temporal) da
grandeza G quando o fluido se move da posição 1 para a posição 2.
No limite, quando 𝑡2 → 𝑡1:
lim
𝑡2→ 𝑡1
𝐺2 − 𝐺1
𝑡2 − 𝑡1
=
𝜕𝐺
𝜕𝑡
≡
𝐷𝐺
𝐷𝑡
Onde
𝐷𝐺
𝐷𝑡
é conhecida como derivada material (ou substancial, ou total) e
representa a variação instantânea da grandeza G do elemento fluido através do
ponto1.
Para os outros termos, quando 𝑡2 → 𝑡1:
lim
𝑡2→ 𝑡1
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
= 𝑢 ; lim
𝑡2→ 𝑡1
𝑦2 − 𝑦1
𝑡2 − 𝑡1
= 𝑉; lim
𝑡2→ 𝑡1
𝑧2 − 𝑧1
𝑡2 − 𝑡1
= 𝑊
Assim,
𝐷𝐺
𝐷𝑡
= 𝑢 .
𝜕𝐺
𝜕𝑥
+ 𝑉 .
𝜕𝐺
𝜕𝑦
+𝑊 .
𝜕𝐺
𝜕𝑧
+
𝜕𝐺
𝜕𝑡
Introduzindo o operador ∇⃗⃗ :
∇⃗⃗ =
𝜕
𝜕𝑥
. 𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
. 𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
. �⃗�
Obtém-se finalmente:
𝑫𝑮
𝑫𝒕⏟
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂
𝒎𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍
=
𝝏𝑮
𝝏𝒕⏟
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂
𝑳𝒐𝒄𝒂𝒍
+ (�⃗⃗� • �⃗⃗� ). 𝐆⏟
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂
𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂
165
A derivada local,
𝜕𝐺
𝜕𝑡
, e o termo que se anula quando o escoamento encontra-
se em regime permanente. Exemplo para interpretação: “Em uma tubulação, a
aceleração local aparece se uma válvula está sendo aberta ou fechada; e a
aceleração convectivaocorre na vizinhança de uma mudança da geometria da
tubulação, tal como o estreitamento da seção ou um cotovelo”. “Em ambos os casos
as partículas mudam de velocidade, mas por razões totalmente diferentes. ” [
(POTTER; ˜ WIGGERT; RAMADAN, 2014) ]. Se G e um vetor, então primeiro deve-
se fazer o produto �⃗� • ∇⃗⃗ e, então, aplicar o resultado a G. Se G e um escalar, e
indiferente escrever (�⃗� • ∇⃗⃗ ). G Ou �⃗� • ∇⃗⃗ . G. Numa descrição lagrangiana, a derivada
material e dada simplesmente por:
𝐷𝐺
𝐷𝑡
= lim
∆𝑡→ 0
𝐺𝐿(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴, 𝑡 + ∆𝑡) − 𝐺𝐿(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴, 𝑡)
∆𝑡
Lembra-se que o ponto (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) define o ponto inicial (que e usado então
como nome) de uma partícula específica. Embora mais simples matematicamente
falando, sua dificuldade consiste em obter os valores da grandeza G de cada
partícula à medida que passa o tempo (e a partícula, portanto, move-se).
Resumo
Nesta aula, abordamos:
Duas grandes personalidades importantes para os estudos da mecânica dos
fluidos e seus afins. Abaixo temos uma imagem retirada de um material (cujo link
está na referência bibliográfica), onde mostram as duas maneiras de ver o mundo
dos fluidos.
Retirado em: <http://engenhariaaeroespacial.ufabc.edu.br/old/profs/cristiano/Cap4.pdf>.
Acesso: (10 mar. 2017).
http://engenhariaaeroespacial.ufabc.edu.br/old/profs/cristiano/Cap4.pdf
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 8
Exercícios
1) Determinar a velocidade média correspondente ao
diagrama de velocidade a seguir. Supor que não haja variação
da velocidade segundo a direção normal ao plano da figura
(escoamento bidimensional)
2) No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama
de velocidade é representado pela equação: 𝑉 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 ⌈ 1 − (
𝑟
𝑅
) ²⌉·, onde 𝑉𝑚𝑎𝑥 é a
velocidade no eixo do conduto, R é o raio do conduto e r é um raio genérico para o
qual a velocidade V é genérica. Verificar que
𝑉𝑚
𝑉𝑚𝑎𝑥
= 0,5, onde 𝑉𝑚= velocidade média
na seção.
3) No escoamento turbulento de um fluido em condutos circulares, o diagrama
de velocidade é dado pela equação 𝑉 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 (1 −
𝑟
𝑅
)1/7, onde todas as grandezas
têm o mesmo significado do Exercício anterior. Verificar que
𝑉𝑚
𝑉𝑚𝑎𝑥
=
49
60
.
Lei de Newton da Viscosidade –
Tensão de Cisalhamento
Aula 9
APRESENTAÇÃO DA AULA
A Lei de Newton da viscosidade para que possamos entender o valor desta
lei, partimos da observação de Newton na experiência das duas placas, onde ele
observou que após um intervalo de tempo elementar (dt) a velocidade da placa
superior era constante, isto implica que a resultante na mesma é zero, portanto isto
significa que o fluido em contato com a placa superior origina uma força de mesma
direção, mesma intensidade, porém sentido contrário à força responsável pelo
movimento. Esta força é denominada de força de resistência viscosa - F
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
O Conceito de Tensão de Cisalhamento;
Viscosidade Cinemática;
Viscosidade Dinâmica.
171
9 TENSÃO DE CISALHAMENTO-LEI DE NEWTON DE VISCOSIDADE
Da experiência realizada para definir fluido podem-se obter outras
informações importantes conclusões que serão descritas neste item. Antes de tudo,
será definida a tensão de cisalhamento. Seja uma força 𝐹 aplicada sobre uma
superfície de área 𝐴 (Figura 9.1). Essa força pode ser decomposta segundo a
direção
normal à superfície e da tangente, dando origem a uma componente normal
ou tangencial.
Figura 9.1: Força �⃗⃗� aplicada sobre uma superfície de área A.
Define-se tensão de cisalhamento média como sendo o quociente entre o
módulo da componente tangencial da força e a área sobre a qual está aplicada:
𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
Em outras palavras: tensão de cisalhamento 𝜏 é a força tangencial por
unidade de área. As unidades mais utilizadas para essa grandeza serão o 𝑘𝑔𝑓/𝑚²
do sistema MK*S (Técnico), o 𝑑𝑖𝑛𝑎/𝑐𝑚² (CGS) e o 𝑁/𝑚² (SI). A seguir será descrito
outro fato notável que pode ser observado na experiência das duas placas. A placa
superior é inicialmente acelerada pela força 𝐹𝑡·, fato facilmente observável, já que
passa da velocidade nula para uma velocidade finita. Nota-se, porém, que a partir de
certo instante a placa superior adquire uma velocidade 𝑉0 constante. Isso demonstra
que a força externa 𝐹𝑡 aplicada na placa é equilibrada por forças internas ao fluido,
visto que, não existindo aceleração, pela segunda Lei de Newton da dinâmica, a
resultante das forças deverá ser nula (equilíbrio dinâmico). Como aparecem essas
forças internas? Para responder a essa pergunta, deve-se relembrar o princípio da
172
aderência. Segundo ele, o fluido junto à placa superior irá se deslocar com
velocidade 𝑉0, enquanto aquele junto à placa inferior estará com velocidade nula. As
camadas intermediárias deverão se adaptar às extremas, adquirindo velocidades
que variam desde 𝑉0 até zero Figura 9.2. Em cada seção normal às placas, como a
seção AB genérica, irá se formar um diagrama de velocidades, onde cada camada
do fluido desliza sobre a adjacente com certa velocidade relativa. Como já deve ter
percebido, esse fato cria uma espécie de atrito entre as diversas camadas do fluido.
Tal deslizamento entre camadas origina tensões de cisalhamento, que, multiplicadas
pela área da placa, originam uma força tangencial interna ao fluido, responsável,
pelo equilíbrio da força 𝐹𝑡 externa, o que fará com que a placa superior assuma uma
velocidade constante 𝑉0. A figura 9.2b mostra o aparecimento de 𝜏 devido à
velocidade relativa 𝑉1 − 𝑉2, que cria um escorregamento entre as duas camadas
indicadas. Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é
proporcional (𝛼) ao gradiente da velocidade, isto é, à variação da velocidade com 𝑦.
Figura 9.2: Aparecimento de 𝝉 devido à velocidade relativa 𝑽𝟏 − 𝑽𝟐.
Disso pode-se traduzir a Lei de Newton da Viscosidade:
𝜏 𝛼
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑜𝑢
𝜏
𝑑𝑉
𝑑𝑦
= 𝑐𝑡𝑒
173
Os fluidos que obedecem a essa lei são ditos fluidos newtonianos. Os fluidos
que se comportam de forma a obedecer à Equação 9.2 são grande maioria, como
água, ar, óleos, etc., e os restantes, chamados não newtonianos.
9.1 Viscosidade absoluta ou dinâmica
A lei de Newton da viscosidade impõe uma proporcionalidade entre a tensão
de cisalhamento e o gradiente de velocidade. Tal fato leva à introdução de um
coeficiente de proporcionalidade na equação 9.2. Tal coeficiente será indicado por 𝜇
e denomina-se viscosidade dinâmica ou absoluta. A equação 9.2 ficará então:
𝜏 𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑦
Essa grandeza 𝜇 é uma propriedade de cada fluido e de suas condições,
como, por exemplo, a pressão e, principalmente, a temperatura. A origem da
viscosidade nos fluidos mereceria uma análise microscopia que não será feita neste
estudo. De forma simplificada, pode-se dizer que a viscosidade dos fluidos é
originada por uma coesão entre as moléculas e pelos choques entre elas. Uma
forma de visualizar a existência da viscosidade é retomar a Experiência das Duas
Placas. Verificou-se que, após certo tempo de aplicação da força 𝐹𝑡 (𝑐
𝑡𝑒) na placa
superior, esta assume uma velocidade 𝑉0 constante, pelo equilíbrio dinâmico da
força externa por forças desenvolvidas internamente. A viscosidade, portanto, não é
uma propriedade observável num fluido em repouso, pois, qualquer que seja a força
tangencial, ele se deforma. Com o movimento do fluido, porém, ela faz sentir seu
efeito, criando as condições para equilibrar a força 𝐹𝑡 externa. Pode-se dizer, então,
que viscosidade dinâmica é a propriedade dos fluidos que permite equilibrar,
dinamicamente, forças tangenciais externas quando os fluidos estão em movimento.
Matematicamente, 𝜇 é a constante de proporcionalidade da Lei de Newton da
viscosidade. De uma forma mais prática: Viscosidade é a propriedade que indica a
maior ou a menor dificuldade de o fluido escoar (escorrer). As unidades da
viscosidade podem ser obtidas por análise dimensional a partir da Lei de Newton da
viscosidade. Adotando como grandezas fundamentais FLT:
174
[𝜏] =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
=
𝐹
𝐿2
= 𝐹𝐿−2
[
𝑑𝑉
𝑑𝑦
] =
𝐿
𝑇
𝐿
= 𝑇−1
Mas 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑒 𝜇 =
𝜏
𝑑𝑉
𝑑𝑦
Logo:
[𝜇] =
𝐹𝐿−2
𝑇−1
= 𝐹𝐿−2𝑇
𝑀𝐾∗𝑆 (𝑇é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑜) → 𝑢𝑛 𝜇 =
𝑘𝑔𝑓 . 𝑠
𝑚²
𝑀𝐾𝑆 𝐺𝑖𝑜𝑟𝑔𝑖 𝑆𝐼 → 𝑢𝑛 𝜇 =
𝑁 . 𝑠
𝑚²
𝐶𝐺𝑆 → 𝑢𝑛 𝜇 =
𝑑𝑖𝑛𝑎. 𝑠
𝑐𝑚²
= 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒
Utiliza-se ainda a centipoise: 1 cpoise = 0,01 poise. Note-se que a viscosidade
dinâmica possui um valor diferente para cada fluido e varia, para um mesmo fluido,
principalmente em relação à temperatura. Os gases e os líquidos comportam-se de
maneiras diferentes quanto a esse aspecto. Nos líquidos, a viscosidade diminui com
o aumento da temperatura, enquanto nos gases a viscosidade aumenta com o
aumento de temperatura. A razão desse comportamento exige uma análise
microscópica que não será abordada.
Simplificação na Prática:
Viu-se que a Lei de Newton da viscosidade é escrita da seguinte forma:
𝜏 𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑦
Onde
𝑑𝑉
𝑑𝑦
é o gradiente da velocidade ou variação de 𝑉 com 𝑦 (Figura 9.3).
175
Figura 9.3: Gradiente da velocidade ou variação de V com y.
Pela figura, observa-se que, a um deslocamento 𝑑𝑦, na direção do eixo 𝑦,
correspondente uma variação 𝑑𝑉 da velocidade. Quando a distância 𝜀 é pequena,
pode-se considerar, sem muito erro, que a variação de 𝑉 com 𝑦 seja linear. Figura
9.4.
Figura 9.4: Distância 𝜺.
A simplificação que resulta desse fato é a seguinte: o ∆𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆𝑀𝑁𝑃. Logo:
𝑑𝑉
𝑑𝑦
=
𝑉0
𝜀
Ou, de forma mais geral:
𝑑𝑉
𝑑𝑦
=
∆𝑉
∆𝑦
Ficando a Lei de Newton:
176
𝜏 𝜇
∆𝑉
∆𝑦
= 𝜇
𝑉0
𝜀
Esse fato leva a simplificações importantes nos problemas, evitando hipóteses
e integrações às vezes complicadas.
9.2 Viscosidade cinemática (𝒗)
Por comodidade e por outras razões que aqui não serão expostas, convém
dar um nome ao quociente
𝜇
𝜌
que muitas vezes, aparecerá no decorrer do estudo.
Viscosidade Cinemática é o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa
específica.
𝑣 =
𝜇
𝜌
Unidades:
Por análise dimensional, utilizando FLT, teremos:
[𝜇] = 𝐹𝐿−2 𝑇
[𝜌] = 𝐹𝐿−4 𝑇²
Logo,
[𝑣] =
𝐹𝐿−2 𝑇
𝐹𝐿−4 𝑇²
= 𝐿² 𝑇−1
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑀𝐾∗𝑆 → 𝑢𝑛 𝑣 =
𝑚²
𝑠
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑀𝐾𝑆 𝐺𝑖𝑜𝑟𝑔𝑖 𝑜𝑢 𝑆𝐼 → 𝑢𝑛 𝑣 =
𝑚²
𝑠
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐶𝐺𝑆 → 𝑢𝑛 𝑣 =
𝑐𝑚²
𝑠
= 𝑠𝑡𝑜𝑘𝑒 (𝑆𝑡)
Utilize-se ainda o centistoke: 1 cSt = 0,01 St. Das unidades, verifica-se que o
nome – Viscosidade Cinemática – deve-se ao fato da grandeza não envolver força,
mas somente comprimento e tempo, que são as grandezas fundamentais da
cinemática.
177
9.3 Fluido ou escoamento incompressível
Diz-se que um fluido é incompressível se o seu volume não varia ao modificar
a pressão. Isso implica o fato de que, se o fluido for incompressível, a sua massa
específica não variará com a pressão. É claro
que na prática não existem fluidos
nessas condições. Os líquidos, porém, tem um comportamento muito próximo a esse
e na prática, normalmente, são considerados como tais. Mesmo os gases em certas
condições, em que não são submetidos à variação de pressão muito grande, podem
ser considerados incompossíveis. Um dos exemplos práticos é o estudo de
ventilação, em que, em geral essa hipótese é aceitável. É importante compreender
que nenhum fluido deve ser julgado de antemão. Sempre que ao longo do
escoamento a variação da massa especifica 𝜌 for desprezível, o estudo do fluido
será efetuado pelas leis estabelecidas para fluidos incompressíveis.
9.4 Equação de estado dos gases
Quando o fluido não puder ser considerado incompreensível e, ao mesmo
tempo, houve efeitos térmicos haverá necessidade de determinar as variações da
massa específica 𝜌 em função da pressão e da temperatura. De uma maneira geral,
essas variações obedecem, para os gases, a leis do tipo:
𝑓 ( 𝜌, 𝑝, 𝑇) = 0
Denominadas equações de estado. Para as finalidades desse
desenvolvimento, sempre que for necessário, o gás envolvido será suposto como
“gás perfeito”, obedecendo à equação de estado:
𝑝
𝜌
= 𝑅𝑇 𝑜𝑢 𝜌 =
𝑝
𝑅𝑇
Onde:
p = pressão absoluta
R = constante cujo valor depende do gás
178
T = temperatura absoluta (lembrar que a escala absoluta é a escala Kelvin e
K= °C + 273)
Para o ar, por exemplo, 𝑅 ≅ 287 𝑚²/𝑠²𝐾
Numa mudança do estado de um gás:
𝑝1
𝑝2
𝜌1
𝜌2
=
𝑇1
𝑇2
O processo é dito isotérmico quando na transformação não há variação de
temperatura.
Nesse caso:
𝑝1
𝜌1
=
𝑝2
𝜌2
= 𝑐𝑡𝑒
O processo é dito isobárico quando na transformação não há variação de
pressão. Nesse caso:
𝜌1 𝑇1 = 𝜌2 𝑇2 = (𝑐
𝑡𝑒)
O processo é dito isocórico ou isométrico quando na transformação não há
variação de volume. Nesse caso:
𝑝1
𝑇1
=
𝑝2
𝑇2
= 𝑐𝑡𝑒
O processo é dito adiabático quando na transformação não há troca de calor.
Nesse caso:
𝑝1
𝜌1
𝑘 =
𝑝2
𝜌2
𝑘 = 𝑐
𝑡𝑒
Onde k é a chamada adiabática cujo valor depende do gás.
No caso do ar, k = 1,4.
AULA 9
Questões
1) Um pistão de peso G = 4N cai dentro de um cilindro com uma velocidade
constante de 2m/s. O diâmetro do cilindro é 10,1cm e o do pistão é 10 cm.
Determinar a viscosidade do lubrificante colocado na folga entre o pistão e o
cilíndrico.
2) Numa tubulação escoa hidrogênio (𝑘 = 1,4 ; 𝑅 = 4.122 𝑚2/𝑠²𝐾). Numa
seção (1), 𝑝1 = 3. 10
5 𝑁/𝑚2(𝑎𝑏𝑠) E 𝑇1 = 30 °𝐶. Ao Longo da tubulação, a
temperatura mantém-se constante. Qual é a massa específica do gás numa seção
(2), em que 𝑝2 = 1,5. 10
5 𝑁/𝑚2(𝑎𝑏𝑠) ?
AULA 9
Resolução
Questão 1:
Se 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝑎 = 0 , logo, o pistão está em equilíbrio dinâmico, isto é:
∑𝐹 = 𝑚𝑎 = 0
Na direção do movimento, a
força causada pelas tensões de
cisalhamento 𝐹𝜇 deve equilibrar o
peso 𝐺, na velocidade dada.
Logo,
𝐹𝜇 = 𝐺
Ou 𝜏 𝐴 = 𝐺
Ou 𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝜋 𝐷𝑖𝐿 = 𝐺
Sendo a distância 𝜀 =
𝐷𝑒− 𝐷𝑖
2
=
10,1−10
2
= 0,05 𝑐𝑚 muito pequena, adota-se um
diagrama linear de velocidades.
Nesse caso,
𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝜋 𝐷𝑖𝐿 = 𝐺
Logo,
𝜇
𝜀𝐺
𝑣𝜋 𝐷𝑖𝐿
𝜇
0,05 . 10−2 . 4
2𝜋 . 0,1 .0,05
= 6,37 . 10−2 𝑁. 𝑠/𝑚²
A seguir, o problema será resolvido também para o caso em que o diagrama
não é linear.
181
Adotando-se uma coordenada polar 𝑅𝑖 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅𝑒, para uma camada de
espessura dr, a velocidade varia de 𝑣 + 𝑑𝑣 para v, criando o escorregamento que
gera as tensões de cisalhamento. Logo, 𝜏 = −𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟
, pois para um 𝑑𝑟 positivo o 𝑣
varia de um 𝑑𝑣 negativo. Como cada camada se desloca com 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒, isso significa
que o peso, transmitido no contato com a primeira camada, equilibra-se com as
tensões de cisalhamento um 𝑑𝑟 adiante.
𝜏 𝐴 = 𝐺 𝑜𝑢 − 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟
2𝜋𝑟𝐿 = 𝐺
Ou separando as variáveis:
2𝜋𝐿𝜇𝑑𝑣 = −
𝐺𝑑𝑟
𝑟
Integrando de 𝑅𝑖 a 𝑅𝑒, quando V varia de v a 0:
∫ 2𝜋𝐿𝜇𝑑𝑣
0
𝑣
= − ∫ 𝐺
𝑑𝑟
𝑟
𝑅𝑒
𝑅𝑖
− 2𝜋𝐿𝜇𝑣 = − 𝐺 ln
𝑅𝑒
𝑅𝑖
𝜇 =
𝐺
2𝜋𝐿𝑣
ln
𝑅𝑒
𝑅𝑖
Ou
𝜇 =
𝐺
2𝜋𝐿𝑣
ln
𝐷𝑒
𝐷𝑖
𝜇 =
4
2𝜋. 0,05 . 2
ln
10,1
10
= 6,33 . 10−2 𝑁. 𝑠/𝑚²
182
Note-se que esse seria o resultado correto. Então, o erro ao considerar o
diagrama linear seria:
𝐸𝑟𝑟𝑜 =
𝜇𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 − 𝜇𝑟𝑒𝑎𝑙
𝜇𝑟𝑒𝑎𝑙
. 100
𝐸𝑟𝑟𝑜 =
6,37 . 10−2 − 6,33 . 10−2
6,33 . 10−2
. 100 = 0,63%
Que é um erro desprezível, comprovando que, quando a espessura do fluido
é pequena, pode-se utilizar um diagrama linear.
Questão 2:
𝑝1
𝜌1
= 𝑅𝑇1 𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝜌1 =
𝑝1
𝑅𝑇1
𝑇1 = 30 + 273 = 303 𝐾
Logo: 𝑝1 =
3 .105
4122 . 303
= 0,24 𝑘𝑔/𝑚³
Como: 𝑇1 = 𝑇2 →
𝑝1
𝜌1
=
𝑝2
𝜌2
ou 𝜌2 = 𝜌1
𝑝1
𝑝2
Portanto: 𝜌2 = 0,24.
1,5 . 105
3 .105
= 0,12 𝑘𝑔/𝑚³
Resumo
Vimos que a tensão de cisalhamento é a relação entre o módulo da
componente tangencial da força e a área da superfície onde ela está aplicada. A
viscosidade é a propriedade dos fluidos correspondente ao transporte microscópico
de quantidade de movimento por difusão molecular. Ou seja, quanto maior a
viscosidade, menor será a velocidade em que o fluido se movimenta. Todas as
teorias passadas podem ser aplicadas nos exercícios, essas duas características
dos fluidos são muitos importantes o entendimento e aprendizagem dos assuntos
tratados hoje são essenciais.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 9
Exercícios
1) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o
seu peso específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade
dinâmica MK*S, CGS e SI (g=10m/s²).
2) A viscosidade dinâmica de um óleo é 5.10-4kgf.s/m² e
peso específico relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas
MK*S, CGS e SI (g=10m/s²; 𝛾𝐻2𝑂 = 1.000 𝑘𝑔𝑓/𝑚³).
3) O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é
10−5 𝑚²/𝑠 . Se g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas MK*S,
CGS e SI e em N.min/km²?
4) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 mm. A placa
superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço
entre as duas placas for preenchido com óleo (𝑣 = 0,1 𝑆𝑡 ; 𝜌 = 830 𝐾𝑔/𝑚³), qual
será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
5) Uma placa quadrada de 1,0 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um
plano inclinado de 30°, sobre uma película
de óleo. A velocidade da placa é 2m/s
constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2
mm?
187
6) O pistão da figura tem uma massa de 0,5Kg. O cilindro de comprimento
ilimitado é puxado para cima com velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10
cm e do pistão é 9 cm entre os dois existe um óleo de 𝑣 = 10−4𝑚²/𝑠 e 𝑦 =
8.000 𝑁/𝑚³. Com que velocidade deve subir o cilindro para que o pistão permaneça
em repouso? (Supor diagrama linear e g = 10m/s²).
7) Num teor, o fio é esticado passando por uma fieira e é enrolado num
tambor com velocidade constante, como mostra a figura. Na fieira, o fio é lubrificado
e tingido por uma substância. A máxima força que pode ser aplicada no fio é 1N,
pois, ultrapassando-a, ele rompe. Sendo o diâmetro do fio 0,5 mm e o diâmetro da
fieira 0,6mm, e sendo a rotação do tambor 30rpm, qual é a máxima viscosidade
lubrificante e qual é o momento necessário no eixo do tambor? (Lembre-se que 𝜔 =
2𝜋𝑛).
188
8) O dispositivo da figura é constituído de dois pistões de mesmas dimensões
geométricas que se deslocam em dois cilindros de mesmas dimensões. Entre os
pistões e os cilindros existe um lubrificante de viscosidade dinâmica 10-2N. s/m². O
peso específico do pistão (1) é 20.000 N/m³. Qual é o peso específico do pistão (2)
para que o conjunto se desloque na direção indicada com uma velocidade de 2m/s
constante? Desprezar o atrito na corda e nas roldanas.
9) Um fluido escoa sobre uma placa com o diagrama dado. Pede-se:
a) 𝑣 = 𝑓(𝑦)
b) A tensão de cisalhamento junto à placa.
189
10) Um gás natural tem peso específico relativo 0,6 em relação ao ar a 9,8 x
104Pa (abs.) e 15°C. Qual é o peso específico desse gás nas mesmas condições de
pressão e temperatura? Qual é a constante R desse gás?
Carga de pressão
Aula 10
APRESENTAÇÃO DA AULA
Nessa aula abordaremos uma continuação da aula onde tratamos a pressão e
seus conceitos. Foi Visto pelo teorema se Stevin que altura e pressão mantêm uma
relação contante para o mesmo fluido, então é possível expressão a pressão num
certo fluido em unidade de comprimento.
𝑝
𝛾
= ℎ → ℎ. 𝛾 = 𝑝
Essa altura ℎ, que, multiplicado pelo peso específico do fluido, reproduz a
pressão num certo ponto o mesmo, será chamado “carga de pressão”. Esta relação
funciona tanto para recipientes como para tubulações.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Carga de Pressão;
Escala de Pressão;
Unidade de Pressão;
Medidores de Pressão.
191
10 CARGA DE PRESSÃO
Foi visto pelo teorema de Stevin que altura e pressão mantêm uma relação
constante para um mesmo fluido. É possível expressar, então, a pressão num certo
fluido em unidade de comprimento, lembrando que:
𝑝
𝛾
= ℎ
Essa altura ℎ, que, multiplicada pelo peso específico do fluido, reproduz a
pressão num certo ponto dele, será chamado “carga de pressão”. Essa definição
torna-se evidente quando existe um recipiente em que se possa falar em
profundidade ou altura ℎ (Figura 10.1).
Figura 10.1: Recipiente em que se possa falar em profundidade ou altura h.
Na figura 10.2a tem-se, por exemplo, um tubo por onde escoa um fluido de
peso específico 𝛾 e à pressão 𝑝. Supondo o diâmetro do tudo pequeno, a pressão
do fluido em todos os pontos da seção transversal será aproximadamente a mesma.
Como, porém, há uma pequena diferença, adotem-se como referência os pontos do
eixo do tubo. Note-se que nesse caso existe uma pressão 𝑝, mas não há nenhuma
altura ℎ. Será que ainda se pode falar em carga de pressão? Se possível, como
deverá ser interpretada? Abrindo-se um orifício no conduto, verifica que, se a
pressão interna for maior que a externa, um jato de líquido será lançado para cima.
192
Figura 10.2: Abertura orifício no condutor.
Se esse jato for canalizado por meio de um tubo de vidro, verifica-se que o
liquido sobe até alcançar uma altura ℎ. Essa coluna de líquido deverá, para ficar em
repouso, equilibrar exatamente a pressão 𝑝 do conduto. Dessa forma, novamente,
𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 . ℎ𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 = 𝑝𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜
Nota-se então que o ℎ da coluna é exatamente a carga de pressão 𝑝. Logo,
pode-se falar em carga de pressão independentemente da existência da
profundidade ℎ. Pode-se dizer, então, que carga de pressão é a altura à qual pode
ser elevada uma coluna de fluido por uma pressão 𝑝. Dessa forma, é sempre
possível, dada uma coluna ℎ de fluido, associar-lhe uma pressão 𝑝, dada por 𝛾ℎ,
assim como é possível, dada uma pressão 𝑝, associar-lhe uma altura ℎ de fluido,
dada por
𝑝
𝛾
·, denominada carga de pressão.
10.1 Escalas de pressão
Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chamado
‘pressão absoluta’; quando é medida adotando-se a pressão atmosférica como
referência, é chamada ‘pressão efetiva’. A escala de pressões efetivas é importante,
pois praticamente todos os aparelhos de medida de pressão (manômetros) registram
zero quando abertos à atmosfera, medindo, portanto, a diferença entre a pressão do
fluido e a do meio em que se encontram. Se a pressão é menor que a atmosférica,
costuma ser chamado impropriamente de vácuo e mais propriamente de depressão;
é claro que uma depressão na escala efetiva terá um valor negativo. Todos os
193
valores da pressão na escala absoluta são positivos. A figura 10.3 mostra,
esquematicamente, a medida da pressão nas duas escalas, e efetiva e a absoluta.
Da discussão anterior e da figura 10.3 verifica-se que vale a seguinte relação entre
as escalas:
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑝𝑒𝑓
Onde 𝑝𝑒𝑓 pode ser positiva ou negativa.
Figura 10.3: Medida da pressão nas duas escalas, e efetiva e a absoluta.
A pressão atmosférica é também chamada pressão barométrica e varia com a
altitude. Mesmo num certo local, ela varia com o tempo, dependendo das condições
meteorológicas. Nos problemas envolvendo líquidos, o uso da escala efetiva é mais
cômodo, pois, nas equações, a pressão atmosférica, em geral, aparece nos dois
membros, podendo ser cancelada. Sempre que for utilizada a escala absoluta, após
a unidade de pressão será indicada a abreviação (abs), enquanto, ao se usar a
escala efetiva, nada será indicado.
10.2 Unidades de pressão
As unidades de pressão podem ser divididas em três grupos:
a) Unidade de pressão propriamente ditas, baseadas na definição (
𝐹
𝐴
).
194
Entre elas, as mais utilizadas são: kgf/m²; kgf/cm²; N/m² = Pa (Pascal);
dan/cm² = bar (decanewton por centímetro quadrado); lb/pol² = psi (pounds per
square inches = libras por polegada ao quadrado). A relação entre essas unidades é
facilmente obtida por uma simples transformação: 1 kgf/cm² = 104 kgf/m² = 9,8.
104Pa = 0,98 bar = 14,2 psi.
b) Unidade de carga de pressão utilizada para indicar a pressão.
Essas unidades são indicadas por uma unidade de comprimento seguida da
denominação do fluido que produziria a carga de pressão (ou coluna)
correspondente à pressão dada. Lembrar, pelo item 10.1, que existe uma
correspondência biunívoca entre 𝑝 e ℎ, através do peso específico 𝛾 do fluido.
Assim, por exemplo:
mmHg (milímetros de coluna de mercúrio)
mca (metros de coluna de água)
cmca (centímetros de coluna de água)
A determinação da pressão em unidades de pressão propriamente ditas é
feita lembrando que 𝑝 = 𝛾ℎ. Assim, por exemplo, 5mca corresponde a
5𝑚 .10.000 𝑁/𝑚³ = 50.000𝑁/𝑚² (onde 10.000 N/m³ e o peso especifico da água).
Ainda, por exemplo, 20mmHg correspondem a 0,02𝑚 . 136.000 𝑁/𝑚³ = 2.720 𝑁/𝑚²
(onde 136.000N/m³ são o peso específico do mercúrio). Vice-versa
a pressão de
2.720 N/m² corresponde a
2.720
10.000
= 0,272 𝑚𝑐𝑎. Assim, na prática, a representação da
pressão em unidade de coluna de fluido é bastante cômoda, pois permite visualizar
imediatamente a possibilidade que tem certa pressão de elevar um fluido a certa
altura.
c) Unidades definidas.
Entre elas, destaca-se a unidade atmosfera (atm), que, por definição, é a
pressão que poderia elevar de 760 mm uma coluna de mercúrio. Logo, 1atm=
760mmHg = 101.230Pa = 101,23kPa = 10.330kgf/m² = 1,033kgf/cm² = 1,01bar =
14,7psi = 10,33mca.
195
10.3 Medidores de pressão
10.3.1 Manômetro metálico ou de Bourdon
Pressões ou depressões são comumente medidas pelo manômetro metálico
(Figura 10.4). Esse nome provém do fato de que a pressão é medida pela
deformação do tubo metálico indicado na figura. Ao ligar o manômetro pela tomada
de pressão, o tubo fica internamente submetido a uma pressão 𝑝 que o deforma,
havendo um deslocamento de sua extremidade que, ligada ao ponteiro por um
sistema de alavancas, relacionará sua deformação com a pressão do reservatório.
Figura 10.4: Manômetro metálico.
A leitura da pressão na escala efetiva será feita diretamente no mostrador,
quando a parte externa do manômetro estiver exposta à pressão atmosférica.
Suponha-se, agora, o caso da Figura 10.5.
Figura 10.5: Mostrador manômetro metálico.
196
Nesse caso, a parte interna do tubo metálico está sujeita à pressão 𝑝1, e a
externa, à 𝑝2. Dessa forma, o manômetro indicará não a pressão 𝑝1, mas a
diferença 𝑝1 − 𝑝2. Logo,
𝑝𝑚𝑎𝑛ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑝𝑡𝑜𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 − 𝑝𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
10.3.2 Coluna piezométrica ou piezômetro
Consiste num simples tubo de vidro que, ligado ao reservatório, permite medir
diretamente a carga de pressão (Figura 10.6). Logo, dado a peso específico do
fluido, pode-se determinar a pressão diretamente.
Figura 10.6: Tubo de vidro.
O piezômetro apresenta três defeitos que o tornam de uso limitado:
a) A altura ℎ, para pressões elevadas e para líquidos de baixo peso
específico, será muito alta. Exemplo: água com pressão de 10³ N/m² e cujo peso
específico é 104 N/m³ formará uma coluna:
ℎ =
𝑝
𝛾
=
105
104
= 10𝑚
Logo, não sendo viável a instalação de um tubo de vidro com mais de 10m de
altura, o piezômetro não pode, nesse caso, ser útil. Nota-se então que esse aparelho
só serve para pequenas pressões.
b) Não se podem medir pressões de gases, pois eles escapam sem formar a
197
coluna ℎ.
c) Não se podem medir pressões efetivas negativas, pois nesse caso haverá
entrada de ar para o reservatório, em vez de haver a formação da coluna ℎ.
10.3.3 Manômetro com tubo em U
A figura 10.7 mostra um manômetro de tubo em U. Nesse manômetro corrige-
se o problema das pressões efetivas negativas. Se isso ocorrer, a coluna de fluido
do lado direito ficará abaixo do nível A-A. A figura 10.7b mostra o mesmo manômetro
com a inclusão de um fluido manométrico que, em geral, é mercúrio. A presença do
fluido manométrico permite a medida da pressão de gases, já que impede que estes
escapem.
Figura 10.7: Manômetro com a inclusão de um fluido manométrico.
Ao mesmo tempo, utilizando um fluido manométrico de elevado pelo
específico, diminui-se a altura da coluna que se formaria com um líquido qualquer.
Os manômetros de tubo em U, ligados a dois reservatórios, em vez de ter um dos
ramos aberto à atmosfera, chamam-se manômetros diferenciais (Figura 10.8).
198
(1)
(2)
Figura 10.8: Manômetros diferenciais.
10.4 A equação manométrica
E a expressão que permite, por meio de um manômetro, determinar a pressão
de um reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. Seja o
manômetro da Figura 10.9. Pode-se calcular a pressão no fundo dos dois ramos.
Pelo teorema de Stevin, e lembrando que, segundo Pascal, a pressão se transmite
integralmente a todos os pontos do fluido, tem-se:
Figura 10.9: Manômetro.
Pressão no fundo do ramo esquerdo:
𝑝𝑓𝑒 = 𝑝𝐴 + 𝛾𝐴(ℎ1 − ℎ2) + 𝛾𝑀ℎ2
Pressão no fundo do ramo direito:
𝑝𝑓𝑑 = 𝑝𝐵 + 𝛾𝐵(ℎ4 − ℎ3) + 𝛾𝑀ℎ3
199
Como o fluido está em equilíbrio, então a pressão no mesmo nível deve ser a
mesma. Logo,
𝑝𝑓𝑒 = 𝑝𝑓𝑑
𝑝𝐴 + 𝛾𝐴(ℎ1 − ℎ2) + 𝛾𝑀ℎ2 = 𝑝𝐵 + 𝛾𝐵(ℎ4 − ℎ3) + 𝛾𝑀ℎ3
Ou
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾𝐴(ℎ1 − ℎ2) − 𝛾𝐵(ℎ4 − ℎ3) − 𝛾𝑀(ℎ3 − ℎ2)
Nota-se que cada peso específico aparece multiplicado pela respectiva altura
da coluna, sem necessidade de adotar como referência o fundo.
Baseada nessa observação será mostrada uma regra prática e de fácil
aplicação.
10.4.1 Regra
Começando do lado esquerdo, soma-se à pressão 𝑝𝐴 a pressão das colunas
descendentes e subtrai-se aquela das colunas ascendentes. Note-se que as cotas
são sempre dadas até a superfície de separação de dois fluidos do manômetro.
Tem-se portando:
𝑝𝐴 + 𝛾1ℎ1 + 𝛾2ℎ2 − 𝛾3ℎ3 + 𝛾4ℎ4 − 𝛾5ℎ5 − 𝛾6ℎ6 = 𝑝𝐵
Figura 10.10: Regra prática e de fácil aplicação.
AULA 10
Questões
1) Determinar o valor da pressão de 340 mmHg em psi e kgf/cm² na escala
efetiva e em Pa e atm na escala absoluta. (𝑝𝑎𝑡𝑚 = 101,2 𝑘𝑃𝑎)
2) Dado o esquema da figura:
a) Qual é a leitura no manômetro metálico?
b) Qual é a força que age sobre o topo do reservatório?
AULA 10
Resolução
Questão 1:
Primeiro vamos transformar:
760 𝑚𝑚𝐻𝑔 1,033 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²
340 𝑥
𝑥 =
1,033 . 340
760
= 0,461 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²
760 𝑚𝑚𝐻𝑔 14,7 𝑝𝑠𝑖
340 𝑦
𝑦 =
14,7 . 340
760
= 6,6 𝑝𝑠𝑖
Para determinar a pressão na escala absoluta, basta lembrar que:
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑒𝑓 + 𝑝𝑎𝑡𝑚
760 𝑚𝑚𝐻𝑔 101.230 𝑃𝑎
340 𝑧
𝑧 =
101.230 . 340
760
= 45.287 𝑃𝑎 = 45,3 𝑘𝑃𝑎
Logo, 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 45,3 + 101,2 = 𝟏𝟒𝟔, 𝟓 𝒌𝑷𝒂(𝒂𝒃𝒔)
760 𝑚𝑚𝐻𝑔 1 𝑎𝑡𝑚
340 𝑢
𝑢 =
1 . 340
760
= 0,447 𝑎𝑡𝑚
Questão 2:
Determinação de 𝑝𝑚
202
Utilizando a equação manométrica, lembrando que o 𝛾 dos gases é pequeno
e que, portanto, pode-se desprezar o efeito da coluna de ar em face de outros
efeitos, lembrando, ainda que o trabalhar na escala efetiva 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 0 tem-se:
𝑝𝑀 + 𝛾0ℎ0 + 𝛾𝐻20ℎ𝐻20 − 𝛾𝐻20𝐿 sin 30° = 0
𝐿 sin 30° É o desnínel da coluna de água no ramo direito, pois, pelo teorema
de Stevin, a pressão independe da distância, dependendo somente das diferenças
de cotas.
Logo:
𝑝𝑀 = 𝑔𝐻2𝑂(𝐿 sin 30° − ℎ𝐻2𝑂) − 𝑔0ℎ0
𝑝𝑀 = 10000 (0,6 .0,5 − 0,2) − 8000 . 0,1
𝑝𝑀 = 200 𝑁/𝑚²
Pela definição de Pressão
𝑭𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝒑𝒎𝑨 = 𝟐𝟎𝟎 . 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝑵
Resumo
Nesta aula, abordamos:
À carga de pressão, onde a altura ℎ, que, multiplicada pelo peso específico do
fluido, reproduz a pressão num certo ponto dele, será chamado “carga de pressão”.
Vimos também que as unidades de pressão podem ser divididas em três
grupos: Unidade de pressão propriamente ditas, baseadas na definição (
𝐹
𝐴
); Unidade
de carga de pressão utilizada para indicar a pressão; Unidades definidas;
Conhecemos melhor também os tipos de manômetro e a equação manométrica,
revise os conceitos e aplique nos exercícios.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa
–
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 10
Exercícios
1) Qual a altura da coluna de mercúrio (𝛾𝐻𝑔 =
136.000 𝑁/𝑚³) que irá produzir na base a mesma pressão de
uma coluna de água de 5m de altura? (𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚³)
2) Determinar a pressão de 3,5 atm nas outras unidades de pressão na
escala efetiva e, sendo a pressão atmosférica local 740 mmHg, determinar a
pressão absoluta em as unidades de pressão.
3) No manômetro da figura, o fluido A é água e o fluido B, mercúrio. Qual é a
pressão 𝑝1? Dados: 𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁/𝑚³ ; 𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚³.
4) A figura mostra um tanque de gasolina com infiltração de água. Se a
densidade da gasolina é 0,68 determine a pressão no fundo do tanque (𝛾𝐻2𝑂 =
10.000 𝑁/𝑚³ ).
207
Ó
leo
r
5) O Edifício “Empire State” tem altura de 381 m. Calcule a relação entre a
pressão no topo e na base (nível do mar), considerando o ar como fluido
incompressível.
(𝛾𝑎𝑟 = 12,01 𝑁/𝑚³)
6) A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma
profundidade máxima de 40 m. Se a pressão barométrica local é 598 mmHg,
determine a pressão absoluta na região mais profunda (𝛾𝐻𝑔 = 133 𝐾𝑁/𝑚³).
7) Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta
densidade 0,9. O fluido utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é
mercúrio (densidade 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm,
determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque.
8) No piezômetro inclinado da figura, temos 1 = 800 Kgf/m
2 e 2 = 1700
Kgf/m2, L1 = 20 cm e L2 = 15 cm, = 30
oC. Qual é a pressão em P1?
208
9) No manômetro diferencial da figura A é água, B é óleo e o fluido
manométrico é mercúrio. Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, qual
é a diferença de pressão pA – pB?
Dados: 𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁/𝑚³ ; 𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚³ ; 𝛾𝑜𝑙𝑒𝑜 = 8.000 𝑁/𝑚³
10) Calcular a leitura do manômetro A da figura. Dados: 𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁/𝑚³.
L2 L1
P1
h2
Força numa superfície plana
submersa e centro das pressões
Aula 11
APRESENTAÇÃO DA AULA
Se um fluido está em repouso, pela sua definição, não podem existir forças
tangenciais agindo nele: todas as forças serão normais à superfície submersa. Com
esse conceito iremos visualizar e calculas as forças numa superfície plana
submersas. Vamos ver também o centro de pressões que é a aplicação da força
resultante das pressões sobre certa área.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Teoria de Força numa superfície plana submersa;
Centro das Pressões.
210
11 FORÇA NUMA SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA
Se a pressão tiver uma distribuição uniforme sobre a superfície, a força será
determinada multiplicando-se a pressão pela área correspondente, e o ponto de
aplicação será o cento de gravidade da superfície. No caso dos gases, mesmo
quando a superfície é vertical, a variação de pressão nessa direção é muito
pequena, já que o seu peso específico é logo, qualquer que seja a posição da
superfície, a força exercida será o produto da pressão pela área. No caso dos
líquidos, a distribuição de pressão será uniforme somente se a superfície submersa
for horizontal. Seja o traço AB do plano perpendicular ao plano da Figura 11.1. A
pressão efetiva varia desde zero na superfície livre, até BC = 𝒑 = 𝜸𝒉 no fim da
superfície plana. A variação da pressão desde o topo até o fundo do plano deverá
ser linear, pois se sabe pelo teorema de Stevin que a pressão é diretamente
proporcional à profundidade, sendo o coeficiente de proporcionalidade o peso
específico do fluido.
Figura 11.1: Plano.
Como a pressão varia de ponto para ponto, é óbvio que nesse caso é possível
obter a força pela expressão pA. A força resultante de um lado da superfície plana
será, portanto, a somatória dos produtos das áreas elementares pela pressão nelas
agente. O ponto de aplicação da força resultante irá se localizar abaixo do CG, isto
é, deslocado para o lado das maiores pressões. É claro que, quanto mais se afunda
a superfície AB (como para a posição A’B’), mais o ponto de aplicação da força
211
resultante aproxima-se do CG, já que as pressões vão se tornando mais uniformes.
O ponto de aplicação da força resultante chama-se centro das pressões (CP). O
cálculo do módulo da força resultante das pressões se baseará na Figura 11.2.
Figura 11.2: Cálculo do módulo da força resultante das pressões.
Todas as propriedades referentes ao centro de gravidade serão indicadas por
um traço e todas as referentes ao centro de pressões, pelo índice CP. Seja AB o
traço do plano em estudo, no plano do papel, formando um ângulo 𝜽 com a
superfície livre. Deseja-se determinar nesse plano a força resultante das pressões.
Seja, na figura (b), a projeção da superfície em estado sobre um plano vertical. Seja
𝒉 uma profundidade genérica e 𝒚 a correspondente distância até a superfície livre no
plano da superfície. Seja 𝑶𝒙 a intersecção da superfície plana AB com a superfície
livre do fluido. Seja o elemento de área 𝒅𝑨, no qual a pressão é constante, pois é
horizontal. Tem-se:
𝒅𝑨 = 𝒙𝒅𝒚 ; 𝒑 = 𝜸𝒉 𝒆 𝒉 = 𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝜽
No elemento 𝒅𝑨, a força será:
𝒅𝑭 = 𝒑𝒅𝑨 = 𝜸𝒉𝒅𝑨 = 𝜸𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒅𝑨
Integrando, tem-se:
212
𝑭 = 𝜸 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ∫𝒚𝒅𝑨
Por definição do centro de gravidade, tem-se:
�̅� =
𝟏
𝑨
∫𝒚𝒅𝑨
Logo:
∫𝒚𝒅𝑨 = �̅�𝑨
Substituindo:
𝑭 = 𝜸 𝐬𝐢𝐧 𝜽 �̅�𝑨
Logo:
𝑭 = 𝜸�̅� 𝑨 = �̅�𝑨
Dessa forma, verifica-se que a força resultante é obtida pelo produto da
pressão, no centro de gravidade da superfície, por sua própria área. Note-se que a
resultante independe do ângulo formado pela superfície, desde que o CG se manha
fixo.
11.1 Centro das pressões
Centro das pressões é o ponto de aplicação da força resultante das pressões
sobre certa área. O eixo 𝑶𝒙 da figura 11.2 será adotado para o calculo do momento
das forças. A força elementar na placa será dada por:
𝒑𝒅𝑨 = 𝜸𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒅𝑨 = 𝒅𝑭
O momento será dado pelo produto da força pela distância ao eixo:
213
𝒚 𝒅𝑭 = 𝜸𝒚𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒅𝑨
Se a resultante das forças de pressão for F e a distância do ponto de
aplicação do eixo 𝑂𝑥 for 𝑦𝐶𝑃, tem-se, integrando a equação 11.2:
𝒚𝑪𝑷𝑭 = 𝒚 𝐬𝐢𝐧𝜽∫𝒚
𝟐 𝒅𝑨 = 𝜸 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝑰𝟎
Onde 𝑰𝟎 = ∫𝒚
𝟐 𝒅𝑨 é o chamado momento de inércia da área A em relação ao
eixo 𝑶𝒙.
Dividindo-se a equação 11.3 pela equação 11.1, tem-se:
𝒚𝑪𝑷 =
𝜸 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝑰𝟎
𝜸 𝐬𝐢𝐧 𝜽 �̅�𝑨
=
𝑰𝟎
�̅�𝑨
Isto é, a distância do centro das pressões ao eixo intersecção da superfície
imersa com a superfície livre do fluido é obtida dividindo-se o momento de inércia da
área A, em relação ao mesmo
eixo, pelo produto da distância do centro de gravidade
pela área da superfície imersa. Uma das propriedades do momento de inércia é:
𝑰𝟎 = 𝑰𝑪𝑮 + 𝒚𝟐̅̅ ̅𝑨
Onde 𝑰𝑪𝑮 é o momento de inércia calculado em relação a um eixo que passa
pelo centro de gravidade da superfície de área A. logo, a equação 11.4 pode ser
escrita:
𝒚𝑪𝑷 = �̅� +
𝑰𝑪𝑮
�̅�𝑨
Dessa expressão, conclui-se imediatamente que o centro das pressões
localiza-se abaixo do centro de gravidade e que, ao aumentar a profundidade, os
dois pontos de aproximam. A posição do cento das pressões em relação a um eixo 𝒚
será dada pela expressão:
214
𝒙𝑪𝑷𝑭 = ∫𝒙𝒑𝒅𝑨
Para fins simétricos, o centro das pressões estará sempre localizado sobre o
eixo da simetria, se este for perpendicular ao eixo 𝑶𝒙.
AULA 11
Questões
1) Na placa retangular da figura, de largura 2m, determinar a força devida à
água numa de suas faces e seu ponto de aplicação. (𝛾 = 10.000 𝑁/𝑚³)
2) Determinar a força R que deverá ser aplicada no ponto A da comporta
da figura para que permaneça em equilíbrio, sabendo-se que ela pode girar em torno
do ponto O.
Dados: 𝑝01 = 100 𝑘𝑃𝑎
𝑝02 = 50 𝑘𝑃𝑎
𝛾1 = 10.000 𝑁/𝑚³
𝛾2 = 8.000 𝑁/𝑚³
Comporta retangular com ℎ = 5𝑚 e 𝑏 = 2𝑚.
AULA 11
Resolução
Questão 1:
A pressão no centro de gravidade, devida ao liquido será:
�̅� = ℎ̅𝛾 = (1 + 2,5 sin 30°) × 10000 = 22.500 𝑁/𝑚²
Portanto:
𝐹 = �̅�𝐴 = 22.500 × 5 × 2 = 225.000 𝑁
𝑦𝐶𝑃 − �̅� =
𝐼𝐶𝐺
�̅�𝐴
𝐼𝐶𝐺 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴 Em relação a um eixo passando pelo CG. Pela figura, 𝑑𝐴 =
𝑏𝑑𝑦 , 𝐼𝐶𝐺 = ∫ 𝑦²𝑏𝑑𝑦
𝑙
2
−𝑙
2
=
𝑏𝑙³
12
Essa expressão, referindo-se a um eixo que passa pelo CG, é a mesma para
qualquer retângulo que tenha um dos lados paralelos ao eixo 𝑂𝑥.
𝑦𝐶𝑃 − �̅� =
𝑏𝑙³
12
�̅�𝐴
�̅� =
1
sin 30°
+
𝑙
2
= 2 + 2,5 = 4,5𝑚
𝐴 = 𝑏 × 𝑙 = 2 × 5 = 10𝑚²
𝑏𝑙³
12
=
2 × 5³
12
= 20,8𝑚4
𝑦𝐶𝑃 − �̅� =
20,8
4,5 × 10
= 0,46𝑚 𝑜𝑢 𝑦𝐶𝑃 = 0,46 + 4,5 = 4,96𝑚
A esta altura cabe uma observação. Note-se que a força calculada é somente
devida ao líquido em que a superfície está submersa. Normalmente, deveria se
considerar também a pressão acima da superfície livre do liquido, que poderia ser ou
não a pressão atmosférica. Nesse caso, a pressão �̅� seria dada por:
�̅� = 𝑝0 + 𝛾ℎ̅
217
Nos exercícios, em geral, a pressão 𝑝0age em ambos os lados da placa, não
precisando ser levada em consideração. No caso geral, pode-se levar em conta a
pressão 𝑝0, utilizando todas as mesmas expressões deduzidas, substituindo-a por
um acréscimo do líquido em estudo igual à sua carga de pressão. A altura do líquido,
em vez de ser ℎ, passará a ser:
ℎ′ = ℎ +
𝑝0
𝛾
Questão 2:
O problema deve ser reduzido a outro em que a pressão efetiva, no nível dos
dois líquidos, seja nula. Para tanto, substitua-se 𝑝01 e 𝑝02por cargas de pressão
correspondentes aos dois líquidos do problema:
ℎ01 =
𝑝01
𝛾1
=
100 × 103
10.000
= 10 𝑚
ℎ02 =
𝑝02
𝛾2
=
50 × 103
8.000
= 6,25 𝑚
Note-se que ℎ01 e ℎ02 são as alturas fictícias dos líquidos que causariam, em
seus níveis reais, respectivamente as pressões 𝑝01 e 𝑝02.
Pressão no CG do Lado (1):
𝑝1̅̅̅ = 𝛾1ℎ̅1 = 10.000 (10 + 1 + 2,5) = 135.000 𝑁/𝑚²
Força resultante do lado (1):
218
𝐹1 = 𝑝1̅̅̅𝐴1 = 135.000 × 5 × 2 = 1.350.000 𝑁 = 1.350 𝐾𝑁
Centro das pressões do lado (1):
𝑦𝐶𝑃 − 𝑦1̅̅ ̅ =
𝐼𝐶𝐺
𝑦1̅̅ ̅𝐴
=
𝑏ℎ3
12
ℎ1̅̅ ̅ × 𝑏ℎ
=
ℎ2
12 ℎ1̅̅ ̅
ℎ𝐶𝑃 − ℎ1̅̅ ̅ =
5²
12 × 13,5
= 0,15 𝑚
Distância do 𝐶𝑃1 ao ponto O:
𝑏1 = 2,5 + 0,15 = 2,65 𝑚
Pressão no CG do lado (2):
𝑝2̅̅ ̅ = 𝛾2ℎ̅2 = 8.000 (6,25 + 1 + 2,5) = 78.000 𝑁/𝑚²
Força resultante do lado (2):
𝐹2 = 𝑝2̅̅ ̅𝐴2 = 78.000 × 5 × 2 = 780.000 𝑁
CP do lado (2):
𝑦𝐶𝑃 − 𝑦2̅̅ ̅ =
𝐼𝐶𝐺
𝑦2̅̅ ̅𝐴
=
𝑏ℎ3
12
ℎ2̅̅ ̅ × 𝑏ℎ
=
ℎ2
12 ℎ2̅̅ ̅
ℎ𝐶𝑃 − ℎ2̅̅ ̅ =
5²
12 × 9,75
= 0,21 𝑚
Distância do 𝐶𝑃2 ao ponto O:
𝑏2 = 2,5 + 0,21 = 2,71 𝑚
Para que a comporta permaneção em equilíbrio, sem girar em torno do ponto
O, e necessário que a somatória dos momentos, em relação a esse ponto, seja nula:
𝑅. ℎ + 𝐹2𝑏2 = 𝐹1𝑏1
219
𝑅 =
𝐹1𝑏1 − 𝐹2𝑏2
ℎ
=
1.350.000 × 2,65 − 780.000 × 2,71
5
𝑹 = 𝟐𝟗𝟑. 𝟎𝟎 𝑵
Resumo
“A força resultante de um lado da superfície plana será, portanto, a somatória
dos produtos das áreas elementares pela pressão nelas agente”. O ponto de
aplicação da força resultante irá se localizar abaixo do Centro de Gravidade, isto é,
deslocado para o lado das maiores pressões. É claro que, quanto mais se afunda a
superfície AB (como para a posição A’B’), mais o ponto de aplicação da força
resultante aproxima-se do Centro de Gravidade, já que as pressões vão se tornando
mais uniformes. “O ponto de aplicação da força resultante chama-se centro das
pressões (CP). ”
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 11
Exercícios
1) Na instalação da figura, a comporta quadrada AB, que
pode girar em torno de A, está em equilíbrio devido à ação da
força horizontal F. Sabendo que 𝛾𝑚 = 80.000 𝑁/𝑚³ e 𝛾 =
30.000 𝑁/𝑚³, determinar o valor da força F.
2) Um tanque retangular, como o da figura, tem 4,5m de comprimento, 1,2m
de largura e 1,5m de altura. Contém 0,6m de água e 0,6m de óleo. Calcular a força
devida aos líquidos nas paredes laterais e no fundo.
Dados: 𝛾1 = 8.500 𝑁/𝑚³ ; 𝛾2 = 10.000 𝑁/𝑚³ .
224
3) A comporta AB da figura tem 1,5m de largura e pode girar em torno de A. o
tanque à esquerda contém água (𝛾 = 10.000 𝑁/𝑚³) e o da direita, óleo ( 𝛾 =
7.500 𝑁/𝑚³). Qual é a força necessária em B para manter a comporta vertical?
4) Determinar o módulo e o ponto de aplicação das componentes horizontal e
vertical da força exercida pela água sobre a comporta AB da figura, sabendo que
sua largura é 0,3m, o raio é 1,8m e a comporta está articulada em C.
5) Determinar a força, devida à pressão da água, na comporta retangular da
figura, sendo o peso específico do fluido (10.000 𝑁/𝑚³).
225
Forças em superfícies submersas
– Revisão Empuxo
Aula 12
APRESENTAÇÃO DA AULA
As forças que atuam em uma superfície plana submersa são originadas pelas
pressões dos pontos dos fluidos em contato com a superfície plana submersa, e
estas pressões podem apresentar dois tipos de distribuição ao longo da superfície.
No projeto de aparelhos e objetos, tais como represas, obstruções de
escoamento, superfícies de navios e tanques de descompressão, é necessário
calcular as grandezas e locais das forças que agem nas superfícies, tanto planas
como curvas.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Forças em Superfície Reversas, Submersas;
Empuxo;
Estabilidade.
227
12 FORÇA EM SUPERFÍCIES REVERSAS, SUBMERSAS.
Em qualquer superfície reversa, as forças nos diversos elementos de área são
diferentes em módulo e direção, de forma que é impossível obter uma somatória
delas. A equação 𝑭 = 𝜸�̅� 𝑨 = �̅�𝑨 é, portanto, aplicável somente a superfícies
planas. No entanto, para qualquer superfície reversa, pode-se determinar a força
resultante em certas direções, como a horizontal e a vertical. A resultante dessas
duas componentes somente poderá ser determinada de ambas estiverem num
mesmo plano.
12.1 Componente horizontal
Na figura 12.1a, observa-se uma superfície AB qualquer, projetada sobre um
plano vertical, originando a superfície plana A’B’. Tem-se, então, entre a superfície
AB e a sua posição A’ B’, um volume em equilíbrio estático.
Figura 12.1: Superfície AB qualquer, projetada sobre um plano vertical, originando a
superfície plana A’B’.
As únicas forças horizontais que agem nesse volume são 𝐹′ e 𝐹𝑥.
𝐹𝑥 = 𝐹
′
Logo, a componente horizontal que age em qualquer superfície é igual à força
horizontal que age numa superfície plana, projeção daquela sobe um plano vertical.
Por razões de equilíbrio, a direção deve ser a mesma. Como já se aprendeu a
determinar módulo e ponto de aplicação em superfícies planas, a solução em
relação a A’B’ resolve o problema da superfície genérica AB.
228
12.2 Componente vertical
A componente vertical pode ser obtida considerando o volume contido ente
uma superfície qualquer AB e sua projeção no plano da superfície livre do liquido
(Figura 12.1b). Esse volume está em equilíbrio estático. Se a pressão na superfície
for atmosférica, as únicas forças verticais serão o peso 𝐺 do volume e 𝐹𝑦devido à
pressão na superfície AB. Logo:
𝐹𝑦 = 𝐺
Como essas são as únicas forças verticais agentes, por razões de equilíbrio
𝐹𝑦 e 𝐺 devem ter a mesma direção. Como o peso tem de passar pelo CG do volume,
então 𝐹𝑦 será vertical e sua direção passará por aquele ponto. A força vertical
exercida por um gás é igual ao produto da pressão pela projeção dessa superfície
sobre uma superfície horizontal. No caso de a superfície não conter líquido acima
dela, a nação não se altera. A força vertical será igual ao peso do volume de liquido
imaginário contido entre a superfície e o nível da superfície livre.
12.3 Empuxo
Tudo que veremos nesse item poderia ter sido concluído no item anterior,
mais se optou por apresentá-lo separado para dar maior destaque ao estudo do
empuxo, que é de grande utilidade. No item 12.1, verificou-se que a componente
vertical que age numa superfície submersa é igual ao peso do volume de fluido, real,
ou fictício, contido acima da superfície. Considere-se, então, o corpo ABCD da figura
12.2.
229
Figura 12.2: Corpo ABCD.
Esse corpo pode ser imaginado como formado por duas superfícies: uma
superfície ABC, em que todas as forças de pressão possuem uma componente
vertical de sentido para cima, e outra superfície ADC, em que todas as forças de
pressão possuem uma componente vertical para baixo. A resultante das
componentes na superfície ABC, pelo que foi dito anteriormente, será dada por:
𝐹𝑦 = 𝛾𝑉𝑈𝐴𝐵𝐶𝑉
Na superfície ADC, tem-se:
𝐹′𝑦 = 𝛾𝑉𝑈𝐴𝐷𝐶𝑉
O saldo 𝐹𝑦 − 𝐹′𝑦 será uma força vertical para cima, indicada por E e chamada
empuxo:
𝐸 = 𝐹𝑦 − 𝐹′𝑦 = 𝛾(𝑉𝑈𝐴𝐵𝐶𝑉 − 𝑉𝑈𝐴𝐷𝐶𝑉)
Ou,
𝐸 = 𝛾𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝛾𝑉
Onde: 𝐸 = empuxo
𝑉 = volume de fluido deslocado pelo corpo
𝛾 = peso especifico do fluido
230
A equação 12.2 pode ser expressa em palavras pelo princípio de Arquimedes:
“Num corpo total ou parcialmente imerso em um fluido, age uma força
vertical de baixo para cima, chamado empuxo, cuja intensidade é igual ao
peso do volume de fluido deslocado”.
Pela noção de empuxo, é fácil estabelecer a condição de flutuação de um
corpo. (Figura 12.3).
Figura 12.3: Condição de flutuação de um corpo.
Suponha-se um corpo totalmente submerso. Ele flutuará se seu peso G for
menor que o empuxo:
𝐸 ≥ 𝐺
No caso da igualdade, o corpo estará em equilíbrio em qualquer posição.
Imaginando o corpo totalmente submerso:
𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜
Logo:
𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 ≥ 𝛾𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
231
O corpo flutuará se:
𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ≥ 𝛾𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
12.4 Flutuador – nomenclatura
Corpo flutuante ou flutuador é qualquer corpo que permanece em equilíbrio
quando está parcial ou totalmente imerso em um líquido. Plano de flutuação é o
plano horizontal da superfície livre do fluido. Linha de flutuação é a intersecção do
plano de flutuação com a superfície do flutuador. Seção de flutuação é a seção plana
cujo contorno é a linha de flutuação. Volume de carena é o volume de fluido
deslocado pela parte imersa do flutuador. Note-se que o peso do volume de carena
é igual à intensidade do empuxo. Centro de carena é o ponto de aplicação do
empuxo. Se o fluido for homogêneo, o centro de carena coincidirá com o centro de
gravidade do volume de carena (Figura 12.4).
Figura 12.4: Fluido homogêneo.
12.5 Estabilidade
As forças que agem num corpo total ou parcialmente submerso em repouso
são seu peso (G), cujo ponto de aplicação é o centro de gravidade de corpo, e o
empuxo (E), cujo ponto de aplicação é o centro de carena. Torna-se evidente que,
para um flutuador esteja e, equilíbrio, é necessário que essas duas forças tenham a
mesma intensidade, a mesma direção e sentidos opostos. Resta analisar a
estabilidade desse equilíbrio. Suponha-se um corpo em equilíbrio. Aplique-se uma
força pequena nesse corpo. É evidente que, se ele estava em equilíbrio, à aplicação
232
dessa força isolada fará com que se desloque em relação à posição inicial.
Retirando essa força, aplicada durante um intervalo de tempo muito pequeno,
podem acontecer três coisas:
a) O corpo retornar à posição de equilíbrio inicial: diz-se que o equilíbrio é
estável;
b) O corpo, mesmo retirando a força, afasta-se cada vez mais da posição
inicial: diz-se que o equilíbrio é instável;
c) O corpo permanece na nova posição, sem retornar, mas sem se afastar
mais da posição inicial: diz-se que o equilíbrio é indiferente.
A análise da estabilidade no caso de flutuadores reduz-se à estabilidade
vertical e de rotação, já que deslocamentos horizontais o equilíbrio é indiferente.
Resumo
Nesta aula, abordamos:
Para qualquer superfície reversa, pode-se determinar a força resultante em
certas direções, como a horizontal e a vertical. A resultante dessas duas
componentes somente poderá ser determinada de ambas estiverem num mesmo
plano. Relembramos também que O empuxo é uma força vertical que atua sobre
todo objeto mergulhado em um fluido. Essa força é conhecida como Princípio de
Arquimedes. Ao mergulhar total ou parcialmente um objeto em um fluido qualquer,
surgirá sobre o objeto uma força denominada de empuxo, que é exercida pelo fluido
e possui direção vertical e sentido para cima.
Pesquise e reveja os conceitos!
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/segunda-lei-newton.htm
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
Vazão
Aula 13
APRESENTAÇÃO DA AULA
Vazão é o volume de determinado fluido que passa por uma determinada
seção de um conduto livre ou forçado, por uma unidade de tempo. Ou seja, vazão é
a rapidez com a qual um volume escoa.
Vazão corresponde à taxa de escoamento, ou seja, a quantidade de material
transportado através de uma tubulação, por unidade de tempo.
Nessa aula aprenderemos um pouco mais sobre vazão e também a equação
da continuidade para regime permanente.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
O conceito de Vazão;
Equação da Continuidade Para Regime Permanente;
Aceleração e Velocidade nos Escoamentos dos Fluidos.
237
13 VAZÃO – VELOCIDADE MÉDIA NA SEÇÃO
A vazão em volume pode ser definida facilmente pelo exemplo da Figura 13.1.
Figura 13.1: Vazão em volume.
Suponha-se que, estando à torneira aberta, seja empurrado o recipiente da
Figura 13.1 embaixo dela e simultaneamente seja disparado o cronometro. Admita-
se que o recipiente encha em 10 s. Pode-se então dizer que a torneira enche 20L
em 10s ou que a vazão em volume da torneira é
𝟐𝟎𝑳
𝟏𝟎𝒔
= 𝟐𝑳/𝒔. Define-se vazão em
volume 𝑸 como o volume de fluido que atravessa certa seção do escoamento por
unidade de tempo.
𝑸 =
𝑽
𝒕
As unidades correspondem à definição: m³/s, L/s, m³/h, L/min, ou qualquer
outra unidade de volume ou capacidade por unidade de tempo. Existe uma relação
importante entre a vazão e a velocidade do fluido (Figura 13.2).
Figura 13.2: Relação importante entre a vazão e a velocidade do fluido.
238
Suponha-se o fluido em movimento da Figura 13.2. No intervalo de tempo 𝒕, o
fluido se desloca através da seção de área 𝑨 a uma distância 𝒔. O volume de fluido
que atravessa a seção de área 𝑨 no intervalo de tempo 𝒕 é 𝑽 = 𝒔𝑨.
Logo, a vazão será:
𝑸 =
𝑽
𝒕
=
𝒔𝑨
𝒕
, Mas
𝒔
𝒕
= 𝒗
Logo:
𝑸 = 𝒗𝑨
É claro que essa expressão só seria verdadeira se a velocidade fosse
uniforme na seção. Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é
unidimensional; no entanto, é possível obter uma expressão do tipo de equação 13.2
definindo a velocidade média na seção.
Figura 13.3: Velocidade média na seção.
Obviamente, para o cálculo da vazão, não se pode utilizar a equação 13.2,
pois 𝒗 é diferente em cada ponto da seção. Adotando um 𝒅𝑨 qualquer no entorno de
um ponto em que a velocidade genérica é 𝒗, como na figura 13.3, tem-se:
𝒅𝑸 = 𝒗 𝒅𝑨
Logo, a vazão na seção de área 𝑨 será:
𝑸 = ∫𝒗 𝒅𝑨
Define-se velocidade média na seção como uma velocidade uniforme que,
substituída no lugar da velocidade real, reproduziria a mesma vazão na seção.
Logo:
239
𝑸 = ∫𝒗 𝒅𝑨 = 𝒗𝒎 𝑨
Dessa igualdade, surge a expressão para o cálculo da velocidade média na
seção:
𝒗𝒎 =
𝟏
𝑨
∫𝒗 𝒅𝑨
Figura 13.4: Velocidade uniforme substituída no lugar da velocidade real.
13.1 Equação da continuidade para regime permanente
Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente (Figura 13.5). Num
tubo de corrente não pode haver fluxo lateral de massa. Seja a vazão em massa na
seção de entrada 𝑄𝑚1 e na saída 𝑄𝑚2. Para que o regime seja permanente, é
necessário que não haja variação de propriedades, em nenhum ponto do fluido, com
o tempo.
Figura 13.5: Escoamento de um fluido por um tubo de corrente.
240
Se, por absurdo, 𝑄𝑚1 ≠ 𝑄𝑚2, então em algum ponto interno ao tubo de
corrente haveria ou redução ou acúmulo de massa. Dessa forma, a massa
específica nesse ponto variaria com o tempo, o que contrariaria a hipótese de regime
permanente. Logo:
𝑸𝒎𝟏 = 𝑸𝒎𝟐 𝒐𝒖 𝝆𝟏𝑸𝟏 = 𝝆𝟐𝑸𝟐 𝒐𝒖 𝝆𝟏𝒗𝟏𝑨𝟏 = 𝝆𝟐𝒗𝟐𝑨𝟐
Essa é a equação da continuidade para um fluido qualquer em regime
permanente. Se o fluido for incompressível, então a massa específica na estrada e
na saída do volume V deverá ser a mesma. Dessa forma, a Equação 13.4 ficará:
𝜌𝑄1 = 𝜌𝑄2
Ou
𝑄1 = 𝑄2 𝑜𝑢 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2
Logo, a vazão em volume de um fluido incompressível é a mesma em
qualquer seção do escoamento. A equação 13.5 é a equação da continuidade para
um fluido incompressível. Fica subentendido que 𝑣1 e 𝑣2 são as velocidades médias
nas seções (1) e (2). A equação 13.5 mostra que, ao longo do escoamento,
velocidades médias e áreas são inversamente proporcionais, Isto é, à diminuição da
área correspondem aumentos da velocidade média na seção e vice-versa. Para o
caso de diversas entradas e saídas de fluido, a equação 13.4, pode ser generalizada
por uma somatória de vazões em massa na entrada (e) e outra na saída (s), isto é,
∑𝑄𝑚
𝑒
= ∑𝑄𝑚
𝑠
Se o fluido for incompressível e for o mesmo em todas as seções, isto é, se
for homogêneo, a equação 13.5 poderá ser generalizada por:
∑𝑄
𝑒
= ∑𝑄
𝑠
Apesar de a equação 13.6 só poder chegar à equação 13.7 quando se tratar
de um único fluido pode-se verificar que é válida também para diversos fluidos,
desde que sejam todos incompressíveis.
241
13.2 Velocidade e aceleração nos escoamentos de fluidos
Antes de mostrar a determinação das grandezas cinemáticas, convém
ressaltar alguma coisa sobre sistemas de referências. Note-se que os sistemas que
podem ser utilizados são inércias ou movimento, dependendo da conveniência do
problema estudo, o que realmente interessa é o movimento relativo entre o fluido e o
objeto. Assim, no movimento de um barco em torno dele. Esse é o ponto de vista
utilizado quando se testa um modelo de navio num tanque de provas. Note-se que a
noção de regime permanente e variado é função do observador ou do sistema de
referência. Assim, um problema de regime variado poderá ser reduzido a um em
regime permanente por uma escolha de conveniente do sistema de referência. Seja,
por exemplo, o movimento de um barco em água parada. Para um observador fixado
à margem do lago, por exemplo, o movimento é variado, pois pontos da água que
num certo instante estavam parados irão adquirir certo movimento quando o barco
passar num instante sucessivo.
Se, porém, o observador for fixado ao barco, à configuração do movimento do
fluido em torno do barco será sempre a mesma, sendo o regime permanente. A
simples observação desse fato permitirá simplificar muitos problemas às vezes
complicados para um sistema referência inerciais. Vejamos como determinar a
aceleração das partículas de um fluido no caso de regime permanente e no caso de
regime variado. Seja 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑣𝑦 𝑒 𝑦 + 𝑣𝑧 𝑒 𝑧 a velocidade num sistema cartesiano.
Se o regime for permanente, nem a velocidade nem suas componentes serão
função do tempo, sendo somente função do ponto. Logo:
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣𝑦 = 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣𝑧
= 𝑣𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Mas 𝑎 =
𝑑𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑑𝑡
·, que, como função de função permite escrever:
242
As equações em coordenadas cartesianas ficarão seguindo suas
componentes:
No caso de fluido em regime variado, deve-se considerar em relação ás
equações 13.9, também a variação com o tempo, ficando as equações:
As equações 13.9 representam a aceleração de transporte, pois indicam a
variação da velocidade somente com a mudança de posição. Nas equações 13.10,
243
as parcelas representam a aceleração local, pois indica a variação da
velocidade num certo ponto, somente como tempo. As equações 13.10 mostram que
as partículas de fluido podem apresentar aceleração mesmo quando a velocidade é
constante em cada ponto com o tempo, pois se podem ter variações de ponto para
ponto, conforme pode ser constatado pelas equações 13.9. Somente se a
velocidade for à mesma em todos os pontos, em qualquer instante, a aceleração
será nula. Esse fato é muito importante no desenvolvimento da equação de
movimento.
AULA 13
Questões
1) Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidade
a seguir. Supor que não haja variação da velocidade segundo a direção normal ao
plano da figura (escoamento bidimensional).
2) Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. Na
seção (1), tem-se 𝐴1 = 20𝑐𝑚², 𝜌1 = 4𝑘𝑔/𝑚
3𝑒 𝑣1 = 30𝑚/𝑠. Na seção (2), 𝐴2 =
10𝑐𝑚², 𝜌2 = 12𝑘𝑔/𝑚
3.
Qual é a velocidade na seção (2)?
3) O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na figura.
Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área 5 cm², se na seção de
entrada de área 20cm² a velocidade é 2m/s. O fluido é incompressível.
245
4) Num escoamento no plano Oxy, o campo de velocidade é dado por 𝑣𝑥 =
2𝑥𝑡 e 𝑣𝑦 = 𝑦
2. Determinar a aceleração na origem e no ponto P= (1,2) no instante
t=5s (medidas em cm).
Retirado do Livro: Mecânica dos Fluidos. 2. Ed. - Revisada – Franco
Brunetti – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
AULA 13
Resolução
Questão 1:
Sendo o diagrama linear, tem-se 𝑣 = 𝐶1𝑦 + 𝐶2, com 𝐶1 e 𝐶2 a serem
determinados pelas condições de contorno.
Para 𝑦 = 0 𝑣 = 0 logo: 𝐶2 = 0
Para 𝑦 = ℎ 𝑣 = 𝑣0 logo: 𝑣0 = 𝐶1ℎ e 𝐶1 =
𝑣0
ℎ
Ou finalmente, 𝑣 = 𝑣0
𝑦
ℎ
A velocidade média será dada por:
𝒗𝒎 =
𝟏
𝑨
∫𝒗 𝒅𝑨 =
𝟏
𝒃𝒉
∫ 𝒗𝟎
𝒉
𝟎
𝒚
𝒃
𝒃𝒅𝒚 =
𝒗𝟎
𝒉𝟐
𝒚𝟐
𝟐
│
𝒉
𝟎
𝒗𝒎 =
𝒗𝟎
𝟐
No diagrama a seguir está representando o resultado.
Assim como se define a vazão em volume, podem ser analogamente
definidas as vazões em massa (𝑄𝑚) e em peso (𝑄𝐺).
𝑄𝑚 =
𝑚
𝑡
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑄𝐺 =
𝐺
𝑡
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐺 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
Aplicando a equação:
𝑸 = ∫𝒗 𝒅𝑨 = 𝒗𝒎 𝑨 → 𝑸 = 𝒗𝒎 𝑨
𝑸 = 𝒗𝒎 𝑨 𝒎𝒂𝒔 𝑸𝒎 =
𝒎
𝒕
=
𝝆𝑽
𝒕
247
Logo:
𝑸𝒎 = 𝝆𝑸 = 𝝆𝑽𝒎𝑨
E
𝑸𝑮 =
𝑮
𝒕
=
𝜸𝑽
𝒕
Ou
𝑸𝑮 = 𝜸𝑸 = 𝜸𝒗𝒎𝑨
Por outro lado,
𝑸𝑮 = 𝜸𝑸 = 𝝆𝒈𝑸
E
𝑸𝑮 = 𝒈𝑸𝒎
As unidades de vazão em massa serão kg/s, utm/s, kg/h e qualquer outra que
indique massa por unidade de tempo. As unidades de vazão em peso serão kgf/s,
N/n, kgf/h e qualquer outra que indique peso por unidade de tempo.
Questão 2:
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2 𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝜌1𝑣1𝐴1 = 𝜌2𝑣2𝐴2
Ou,
𝑣2 = 𝑣1
𝜌1
𝜌2
𝐴1
𝐴2
Portanto,
𝒗𝟐 = 𝟑𝟎
𝟒
𝟏𝟐
𝟐𝟎
𝟏𝟎
= 𝟐𝟎𝒎/𝒔
248
Questão 3:
Pela equação da Continuidade
𝑣𝑒 𝐴𝑒 = 𝑣𝐺 𝐴𝐺
𝒗𝑮 = 𝒗𝒆
𝑨𝒆
𝑨𝑮
= 𝟐
𝟐𝟎
𝟓
= 𝟖𝒎/𝒔
Questão 4:
Resumo
A vazão é a terceira grandeza mais medida nos processos industriais. As
aplicações são muitas, indo desde aplicações simples como a medição de vazão de
água em estações de tratamento e residências, até medição de gases industriais e
combustíveis, passando por medições mais complexas. A escolha correta de um
determinado instrumento para medição de vazão depende de vários fatores. Dentre
estes, pode-se destacar:
Exatidão desejada para a medição
Tipo de fluido: líquido ou gás, limpo ou sujo, número de fases,
Condutividade elétrica, transparência, etc.
Condições termodinâmicas: por exemplo, níveis de pressão e temperatura
nos quais o medidor deve atuar.
Espaço físico disponível
Custo, etc.
A medição de vazão de fluidos sempre esteve presente em nosso dia-a-dia.
Por exemplo:
O hidrômetro de uma residência, o marcador de uma bomba de combustível
nos veículos, etc.
Na História, grandes nomes marcaram suas contribuições. Em 1502 Leonardo
da Vinci observou que a quantidade de água por unidade de tempo que escoava em
um rio era a mesma em qualquer parte, independente da largura, profundidade,
inclinação e outros. Mas o desenvolvimento de dispositivos práticos só foi possível
com o surgimento da era industrial e o trabalho de pesquisadores como Bernoulli,
Pitot e outros.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 13
Exercícios
1) Uma Torneira enche de água um tanque, cuja
capacidade é 6.000 L, em 1 hora e 40min. Determinar a vazão
em volume, em massa e em peso em unidade SI.
Considere: 𝜌𝐻2𝑂 = 1.000𝑘𝑔/𝑚³ e 𝑔 = 10𝑚/𝑠²
2) No tubo da figura, determinar a vazão em volume, em massa, em peso e a
velocidade média na seção (2), sabendo que o fluido é água e que 𝐴1 = 10𝑐𝑚² e
𝐴2 = 5𝑐𝑚². (𝜌𝐻2𝑂 = 1.000𝑘𝑔/𝑚³ e 𝑔 = 10𝑚/𝑠²)
3) O ar escoa num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 20 cm²
e a da menor é 10 cm². A massa especifica do ar na seção (1) são 12 kg/m³,
enquanto na seção (2) são 0,9kg/m³. Sendo a velocidade na seção (1) 10m/s,
determinar as vazões em massa, volume, em peso e a velocidade média na seção
(2).
253
4) Os reservatórios da figura são cúbicos. São cheios pelos tubos,
respectivamente, em 100s e 500s. Determine a velocidade da água na seção (A),
sabendo que o diâmetro do conduto nessa seção é 1 m.
Equação de energia para regime
permanente
Aula 14
APRESENTAÇÃO DA AULA
Na aula 13 foi introduzida a equação da continuidade. Essa equação conclui
que, a hipótese de regime permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui
por uma seção de um tubo de corrente deve ser idêntica àquela que o abandona por
outra seção qualquer. Nessa aula veremos a relação da equação da continuidade
com a equação
da energia permanente.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
O Conceito da Equação de Energia Para Regime Permanente;
Tipos de Energias Mecânicas Associadas a um Fluido.
255
14 INTRODUÇÃO EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
Pode-se então fazer um balanço das massas ou vazões em massa entre
seções de entrada ou saída de certo escoamento. Com base no fato que a energia
não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir
uma equação que permitirá fazer o balanço das energias da mesma forma como foi
feito para as massas, por meio da equação da continuidade. A equação que permite
o balanço chama-se equação da energia e nos permitirá associada à equação da
continuidade, resolver inúmeros problemas práticos como, por exemplo:
determinação da potência de máquina hidráulica, determinação de perdas em
escoamento, transformação de energia, etc.
14.1 Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido
a) Energia potencial (𝑬𝒑)
É o estado da energia do sistema devido à sua posição no campo da
gravidade em relação a um plano horizontal referencial (PHR). Essa energia é
medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema. Seja, por exemplo, um
sistema de peso G=MG, cujo centro de gravidade está a uma cota z em relação a
um PHR. (Figura 14.1)
Figura 14.1: Sistema de peso G=MG.
Como: Trabalho = Força x Deslocamento
Então: W = Gz = mgz
Mas, pelo que foi dito anteriormente, 𝑬𝒑 = 𝑾; logo:
𝑬𝒑 = 𝒎𝒈𝒛
256
Note-se que, na equação que será introduzida posteriormente, interessará
somente a diferença das energias potenciais de um ponto a outro de um fluido, de
forma que a posição PHR não alterará a resolução do problema. Isto é, o PHR é
adotado arbitrariamente, conforme a conveniência da solução do problema.
a) Energia cinética (𝑬𝒄)
É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um
sistema de massa m e velocidade v; a energia cinética será dada por:
𝑬𝒄 =
𝒎𝒗²
𝟐
Figura 14.2: Energia cinética.
b) Energia de Pressão (𝐸𝒑𝒓)
Essa energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que
atuam no escoamento do fluido. Seja, por exemplo, o tudo de corrente da Figura
14.3. Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo
fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, será 𝐹 = 𝑝𝐴. No
intervalo de tempo 𝑑𝑡, o fluido irá se deslocar de um 𝑑𝑠, sob a ação de uma força 𝐹,
produzindo um trabalho.
Figura 14.3: Tubo de corrente.
257
Por definição: 𝑑𝑊 = 𝑑𝐸𝑝𝑟
E, portanto: 𝒅𝑬𝒑𝒓 = 𝒑𝒅𝑽
Ou
𝑬𝒑𝒓 = ∫𝒑𝒅𝑽
c) Energia Total Mecânica do Fluido (𝑬)
Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos
mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será:
𝑬 = 𝑬𝒑 + 𝑬𝒄 + 𝑬𝒑𝒓
Ou
𝑬 = 𝒎𝒈𝒛 +
𝒎𝒗²
𝟐
+ ∫𝒑𝒅𝑽
Resumo
Vimos uma introdução com o conceito da equação de energia que associada
à equação da continuidade vista anteriormente podemos resolver vários problemas
práticos. Posteriormente veremos a continuação desse estudo com a Equação de
Bernoulli.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
Equação de Bernoulli
Aula 15
APRESENTAÇÃO DA AULA
O princípio de Bernoulli é uma declaração aparentemente sem explicação
sobre como a velocidade de um fluido está relacionada à pressão do fluido. Muitas
pessoas acham que o princípio de Bernoulli não está correto, mas isso deve ser por
causa de um mal-entendido sobre o que o princípio de Bernoulli de fato diz. O
princípio de Bernoulli diz o seguinte, Princípio de Bernoulli: dentro de um fluxo de
fluido horizontal, pontos de velocidade de fluido mais alto terão menos
pressão que pontos de velocidade de fluido mais baixa. Então, dentro de um
tubo de água horizontal que varia de diâmetro, as regiões nas quais a água está se
movendo rápido terão menos pressão do que regiões nas quais a água está se
movendo devagar. Isso parece contra intuitivo para muitas pessoas, já que elas
associam velocidades altas com pressões elevadas. Mas, vamos mostrar na próxima
seção que essa é outra forma de dizer que a água vai aumentar sua velocidade se
há mais pressão atrás dela do que na sua frente. Na seção abaixo, vamos derivar o
princípio de Bernoulli, mostrar o que ele representa com mais precisão, e esperamos
torná-lo um pouco menos misterioso.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
Equação de Bernoulli;
Equação da Energia e Presença de Uma Máquina;
Potência da Máquina e Noção de Rendimento;
Equação de Energia Para Fluido Real;
Diagrama de Velocidade Não uniforme na Seção.
262
15 EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação da energia geral será construída aos poucos, partindo-se de uma
equação mais simples, válida somente para uma série de hipóteses simplificadoras.
É óbvio que cada hipótese admitida cria um afastamento entre os resultados obtidos
pela equação e o observado na prática. A equação de Bernoulli, devido ao grande
número de hipóteses simplificadoras, dificilmente poderá produzir resultados
compatíveis com a realidade. No entanto, é de importância fundamental, seja
conceitualmente, seja como alicerce da equação geral, que será construída pela
eliminação gradual das hipóteses da equação de Bernoulli e pela introdução dos
termos necessários, para que a equação represente com exatidão os fenômenos
naturais. As hipóteses simplificadoras são:
a) Regime permanente;
b) Sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Entenda-se por
máquina qualquer dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do fluido, na
forma de trabalho. As que fornecem energia ao fluido serão denominadas “bombas”
e as que extraem energias o fluido, “turbinas”;
c) Sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal;
d) Propriedades uniformes nas seções;
e) Fluido incompressível;
f) Sem trocas de calor.
Pelas hipóteses (b), (c) e (f) exclui-se que no trecho de escoamento em
estudo seja fornecida ou retirada energia do fluido. Seja o tubo de corrente da Figura
15.1, entre as seções (1) e (2).
Figura 15.1: Tubo de corrente.
263
Deixando passar um intervalo de tempo 𝑑𝑡, uma massa infinitesimal 𝑑𝑚1 de
fluido a montante da seção (1) atravessa-a e penetra no trecho (1)-(2)
acrescentando-lhe a energia:
𝑑𝐸1 = 𝑑𝑚1𝑔𝑧1 =
𝑑𝑚1𝑣1
2
2
+ 𝑝1𝑑𝑉1
Na seção (2), uma massa 𝑑𝑚2 do fluido que pertence ao trecho (1)-(2)
escoa
para fora, levando a sua energia:
𝑑𝐸2 = 𝑑𝑚2𝑔𝑧2 =
𝑑𝑚2𝑣2
2
2
+ 𝑝2𝑑𝑉2
Como pelas hipóteses (b), (c), e (f) não se fornece nem se retira energia do
fluido, para que o regime seja permanente é necessário que no trecho (1)-(2) não
haja variação de energia, o que implica obrigatoriamente que:
𝑑𝐸1 = 𝑑𝐸2
Ou,
𝑑𝑚1𝑔𝑧1 +
𝑑𝑚1𝑣1
2
2
+ 𝑝1𝑑𝑉1 = 𝑑𝑚2𝑔𝑧2 +
𝑑𝑚2𝑣2
2
2
+ 𝑝2𝑑𝑉2
Como 𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑉
e, portanto 𝑑𝑉 =
𝑑𝑚
𝜌
·, tem-se:
𝑑𝑚1𝑔𝑧1 +
𝑑𝑚1𝑣1
2
2
+
𝑝1
𝜌1
𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2𝑔𝑧2 +
𝑑𝑚2𝑣2
2
2
+
𝑝2
𝜌2
𝑑𝑚2
Como o fluido é incompressível, 𝑝1 = 𝑝2e, como o regime é permanente,
𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2, portanto:
gz1 +
v1
2
2
+
p1
ρ
= gz2 +
v2
2
2
+
p2
ρ
Dividindo a equação por g e lembrando que γ = ρg, tem-se:
𝐳𝟏 +
𝐯𝟏
𝟐
𝟐𝐠
+
𝐩𝟏
𝛄
= 𝐳𝟐 +
𝐯𝟐
𝟐
𝟐𝐠
+
𝐩𝟐
𝛄
264
A equação 15.1 é a equação de Bernoulli, que permite relacionar cotas,
velocidade e pressões entre duas seções do escoamento do fluido. A seguir, será
indicado o significado dos termos dessa equação.
Note-se, então, que a equação 15.1 expressa que ao penetrar por (1) uma
partícula de peso unitário, à qual estão associados às energias z1 ·,
v1
2
2g
e
p1
γ
, deverá
sair por (2) uma partícula de peso unitário á qual estejam associado às energias z2 ·
,
v2
2
2g
e
p2
γ
, de forma que a soma deles seja idêntica à soma em (1) para manter a
energia constante no volume entre (1) e (2). Uma observação importante é que,
sendo z uma cota, então será medida em unidade de comprimento (por exemplo, em
metros); logo tanto v² 2g⁄ como
p
γ⁄ também serão medidos dessa forma. Não deve
esquecer que, apesar disso, cada uma das parcelas da equação 15.1 tem o
significado de energia por unidade de peso. Note-se ainda que definissem que a
carga de pressão como sendo ℎ =
𝑝
𝛾
·. Logo, a energia de pressão por unidade de
peso é a própria carga de pressão. Por analogia, serão denominadas:
𝑧 = Carga potencial
𝑣²
2𝑔
= Carga da velocidade ou carga cinética
Observe-se que a palavra “carga” substitui a expressão “energia por unidade
de peso”. Fazendo:
𝐻 =
𝑃
𝛾
=
𝑣²
2𝑔
+ 𝑧
Onde: 𝐻 = energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na
seção. Com a noção da carga total, a equação 15.1 poderá ser escrita
simbolicamente:
265
𝐻1 = 𝐻2
Essa equação poderá ser enunciada da seguinte forma:
Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem
atritos, e o regime permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, então
as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, não havendo nem
ganhos nem perdas de carga.
15.1 Equação da energia e presença de uma máquina
Como já foi dito a equação geral da energia será completada gradualmente,
eliminando as hipóteses impostas para se chegar à equação geral. Em outras
palavras, neste item e nos próximos, serão retiradas aos poucos as hipóteses
impostas no item 15 que restringem o uso da equação. Serão mantidas todas as
hipóteses do item 15, mas raciocina-se com a presença de uma máquina atuando
entre seções (1) e (2) do tubo de corrente. Máquina, para efeito deste estudo, será
qualquer dispositivo introduzido no escoamento, o qual forneça ou retire energia
dele, na forma de trabalho. A maneira de funcionamento da máquina não interessará
por enquanto, importante somente como a sua presença afeta. Como, por enquanto,
subsiste a hipótese de fluido incompressível, para facilidade de linguagem, será
denominada “bomba” qualquer máquina que forneça energia ao fluido e “turbina”,
qualquer máquina que retire energia dele. Vejamos a alteração na equação do item
15 ao introduzir uma máquina entre as seções (1) e (2). (Figura 15.1)
Figura 15.2: Introdução máquina entre as seções (1) e (2).
266
Se não houvesse máquina, sabe-se que, válidas as hipóteses do item 15.1,
valeria a equação 15.1.
𝐻1 = 𝐻2
Isto é, a energia por unidade de peso do fluido em (1) é igual à energia por
unidade de peso em (2) ou carga total em (1) é igual à carga total em (2). Se a
Máquina for uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia tal que 𝐻2 >
𝐻1. Para restabelecer a igualdade, deverá ser somada ao primeiro membro a
energia recebida pela unidade de peso do fluido na máquina. Logo:
𝐻1 + 𝐻𝐵 = 𝐻2
A parcela 𝐻𝐵 é chamada “carga ou altura manométrica da bomba” e
representa a energia fornecida à unidade de peso do fluido que passa pela bomba.
Se a máquina for uma turbina, 𝐻1 > 𝐻2, pois, por definição, a turbina retira energia
do fluido. Para restabelecer a igualdade, tem-se:
𝐻1 − 𝐻𝑇 = 𝐻2
Onde 𝐻𝑇 = “carga ou altura manométrica da turbina” ou energia retirada da
unidade de peso do fluido pela turbina. Como se deseja estabelecer uma equação
geral, a carga manométrica da máquina será indicada por 𝐻𝑀 e a equação poderá
ser escrita de forma única como:
𝐻1 − 𝐻𝑀 = 𝐻2
Sendo:
𝐻𝑀 = 𝐻𝐵 Se a máquina dor uma bomba;
𝐻𝑀 = − 𝐻𝑇 Se a máquina for uma turbina.
A equação 15.4 é a que considera a presença de uma máquina no
escoamento entre as seções (1) e (2) em estudo. Lembrando os significados de 𝐻1e
𝐻2, essa equação é escrita assim:
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝐻𝑀 =
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
Ou,
267
𝐻𝑀 =
𝑝2 − 𝑝1
𝛾
+ (𝑧2 − 𝑧1) +
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2𝑔
A equação 15.6 mostra que a presença de uma máquina pode acarretar
variações da carga de pressão, da carga potencial de da carga cinética.
15.2 Potência da máquina e noção de rendimento
Antes de definir a potência da máquina, será definida a ‘potência do fluido’.
Note-se que a potência, por definição, é o trabalho por unidade de tempo. Como o
trabalho é uma energia mecânica, podemos generalizar definindo potência como
sendo qualquer energia mecânica por unidade de tempo e , daqui para a frente, será
representado pelo símbolo N. Dessa forma:
𝑁 =
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
Ou equivalentemente:
𝑁 =
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
×
𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
A energia por unidade de peso já foi definida anteriormente e foi denominada
‘carga’, e o peso por unidade de tempo é a vazão em peso.
Dessa forma: 𝑁 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 × 𝑄𝐺
Ou : 𝑁 = 𝛾𝑄 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
Pela equação 15.7, observa-se que para calcular a potência referente ao
fluido, deve-se multiplicar o peso especicífico dele pela vazão em volume e pela sua
energia por unidade de peso ou carga
Logo:
𝑁 = 𝛾𝑄𝐻
No caso da presença de uma máquina, verificou-se que a energia fornecida
ou retirada do fluido, por unidade de peso, é indicada por:
𝑁 = 𝛾𝑄𝐻𝑀
268
Ou, no caso de uma bomba:
𝑁 = 𝛾𝑄𝐻𝐵
E no caso de uma turbina:
𝑁 = 𝛾𝑄𝐻𝑇
Note-se que, no caso da transmissão de potência, sempre existem perdas e,
portanto, a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da
máquina, que é definida como sendo a potência no seu eixo. A potência 𝑁𝐵, no caso
do desenho, coincidiria com a potência do motor, mas nem sempre o motor é ligado
diretamente ao eixo, podendo existir algum elemento de transmissão que provoque
perdas.
Figura 15.3: Potência 𝑵𝑩 coincidindo com a potência do motor.
Pelo que foi dito anteriormente, 𝑁 < 𝑁𝐵 devido às perdas na transmissão da
potência ao fluido, que se devem principalmente a atritos, mas que aqui não serão
analisadas. Definem-se rendimentos de uma bomba (ɳ𝐵) como a relação entre a
potência recebida pelo fluido e a fornecida pelo eixo.
ɳ𝐵 =
𝑁
𝑁𝐵
𝑁𝐵 =
𝑁
ɳ𝐵
=
𝛾𝑄𝐻𝐵
ɳ𝐵
O caso da turbina é ilustrado pela figura 15.4
269
Figura 15.4: Turbina.
Observe-se que, nesse caso, o fluxo de energia é do fluido para a turbina e,
portanto, 𝑁𝑇 < 𝑁.
Definem-se rendimentos de uma turbina (ɳ𝑇) como a relação entre
a potência da turbina e a potência cedida pelo fluido:
ɳ𝑇 =
𝑁𝑇
𝑁
Logo:
𝑁𝑇 = 𝑁ɳ𝑇 = 𝛾𝑄𝐻𝑇ɳ𝑇
As unidades de potência são dadas por unidade de trabalho por unidade de
tempo.
SI: N.m/s = J/s = W (watt) → 1 kgm/s=9, 8 W
MK*S: kgf.m/s = kgm/s
Outras unidades são o CV (cavalo-vapor) e o HP (horse power).
1 CV = 75 kgm/s = 735 W
1 HP = 1,014 CV
15.3 Equação de energia para fluido real
Neste item será retirada a hipótese de fluido ideal; logo serão considerados os
atritos internos no escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de regime
permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes na seção e sem trocas
de calor induzidas. Esta última significa que não existe que não existe uma troca de
calor provocada propositalmente; no entendo, ao se considerar os atritos no
escoamento do fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do fluido
270
para o ambiente causado pelos próprios atritos. Como visto a seguir, a construção
da equação da energia pode ser realiada sem se fala, explicitamente, dessa perda
de calor.
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido fosse perfeito, 𝐻1 =
𝐻2 (Figura 15.5).
Figura 15.5: Fluido fosse perfeito, 𝑯𝟏 = 𝑯𝟐.
Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções (1) e (2)
haverá uma dissipação da energia, de forma que 𝐻1 > 𝐻2. Querendo restabelecer a
igualdade, será necessário somar no segundo membro a energia dissipada no
transporte.
𝐻1 = 𝐻2 + 𝐻𝑝 1,2
𝐻𝑝 1,2 = energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso do fluido. Como
𝐻𝑝 1,2 = 𝐻1 − 𝐻2 e como 𝐻1 e 𝐻2 são chamados cargas totais, 𝐻𝑝 1,2 e denominado ‘
perda de carga’. Se for considerada também a presença de uma máquina entre (1) e
(2), a equação da energia ficará:
𝐻1 + 𝐻𝑀 = 𝐻2 + 𝐻𝑝 1,2
Ou
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + 𝐻𝑀 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + 𝐻𝑃1,2
Da equação 15.12 deve-se notar que, no escoamento de um fluido real entre
duas seções onde não existe máquina, a energia é sempre decrescente no sentido
do escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de jusante,
desde que não haja máquina entre as duas. A potência dissipada pelos atritos é
271
facilmente calculável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da
potência do fluido.
A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser calculada por:
𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝛾𝑄𝐻𝑝1,2
15.4 Diagrama de velocidade não uniforme na seção
Até agora, uma das hipóteses impostas foi referente a escoamento uniforme;
entretanto, devido ao princípio da aderência, o diagrama de velocidades não será
uniforme na seção. Será verificado que esse fato causa uma alteração no termo
𝑣²
2𝑔
da equação da energia, que foi obtido com a hipótese de escoamento uniforme na
seção. Obviamente, se o diagrama de velocidade não for uniforme, existirá uma
velocidade distinta em cada ponto da seção (Figura 15.6). O termo
𝑣²
2𝑔
não terá mais
significado, já que na seção em estudo existem infinitas velocidades diferentes.
Figura 15.6: Diagrama de velocidade não uniforme.
É possível utilizar a ideia de velocidade média na seção. Porém, será
verificado a seguir que o termo da energia cinética, escrito com a velocidade média,
necessitará de um coeficiente de correção. Para isso, ‘fluxo da energia cinética’(C)
será definido como sendo a energia cinética que atravessa uma seção do
escoamento por unidade de tempo. Na figura 15.6 será calculada a energia cinética
que, no intervalo de tempo 𝑑𝑡, atravessa um 𝑑𝐴da seção de área A.
𝑑𝐸𝑐 =
𝑑𝑚𝑣²
2
Logo, o fluxo da energia cinética através do 𝑑𝐴 será:
272
𝑑𝐶 =
𝑑𝑚𝑣²
2𝑑𝑡
Mas 𝑑𝑚/𝑑𝑡 é a vazão em massa através do 𝑑𝐴. Logo:
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑑𝑄𝑚 = 𝜌𝑑𝑄 = 𝜌𝑣𝑑𝐴
E, portanto,
𝑑𝐶 = 𝜌𝑣𝑑𝐴
𝑣²
2
Ou
𝑑𝐶 =
𝜌𝑣³
2
𝑑𝐴
Para obter o fluxo da energia através de toda a área A, deve-se integrar a
equação 15.15:
𝐶 = ∫
𝜌𝑣³
2
𝑑𝐴
Adotando a velocidade média na seção e supondo 𝜌 = constante em seus
pontos, pode ser verificado que:
𝐶 = ∫
𝜌𝑣³
2
𝑑𝐴 ≠
𝜌𝑣𝑚
3 𝐴
2
É necessário, portanto, que se introduza um coeficiente de correção para
provocar a igualdade das expressões. Logo:
𝐶 = ∫
𝜌𝑣³
2
𝑑𝐴 = 𝛼
𝜌𝑣𝑚
3𝐴
2
Onde 𝛼, denominado ‘coeficiente de energia cinética’, é o fator que provoca a
igualdade das duas expressões e pode ser determinado pela Equação 15.16.
𝛼 =
2
𝜌𝑣𝑚
3 𝐴
∫
𝜌𝑣3
2
𝑑𝐴
Ou
273
𝛼 =
1
𝐴
∫(
𝑣
𝑣𝑚
) ³ 𝑑𝐴
Tendo a definição de 𝛼, o fluxo da energia cinética pode ser escrito:
𝐶 = 𝛼
𝜌𝑣𝑚
3𝐴
2
Mas 𝐶 =
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
e o termo da equação da energia corresponde à
energia cinética por unidade de peso. Logo:
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑜
=
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑜
×
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
Lembrando que
𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑄𝐺 ou vazão em peso, obtém-se:
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑜
=
𝐶
𝑄𝐺
=
𝛼
𝜌𝑣𝑚
3𝐴
2
𝜌𝑔𝑣𝑚𝐴
= 𝛼
𝑣𝑚
2
2𝑔
Logo a equação 15.14 deverá ser escrita:
𝛼1
𝑣𝑚1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + 𝐻𝑀 = 𝛼2
𝑣𝑚2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + 𝐻𝑃1,2
Ou simplesmente:
𝛼1
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + 𝐻𝑀 = 𝛼2
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + 𝐻𝑃1,2
Lembrando que a presença de 𝛼 implica que 𝑣1 e 𝑣2são as velocidade médias
nas seções (1) e (2) do escoamento. O coeficiente 𝛼 é função somente do diagrama
de velocidades e será tanto maior que a unidade quanto mais este último se afastar
do diagrama uniforme. Em tubos de seção circular, sendo o escoamento laminar,
vale o diagrama 𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 [(1 −
𝑟
𝑅
) ²] e, nesse caso 𝛼 = 2, e se o escoamento for
turbulento 𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 (1 −
𝑟
𝑅
)1/7, sendo 𝛼 = 1. Nessas condições, sempre que 𝑅𝑒 >
2.400, em tubos, pode-se adotar a equação da energia na forma apresentada na
Equação 15.14, em vez da apresentada na Equação 15.20, já que 𝛼 ≅ 1. Note-se
274
que este é o caso mais comum na prática da engenharia. A equação 15.20 é a
equação válida, sem nenhuma restrição, quando o regime é permanente, o fluido é
incompressível e sem trocas de calor ou fenômenos térmicos. Trata-se, portanto, da
equação de uso mais frequente nas aplicações que envolvem fluidos
incompressíveis, isto é, líquidos ou até gases, desde que a variação da massa
específica ao longo do escoamento seja desprezível.
AULA 16
Questões
1) Água escoa em regime permanente no Venturi da Figura. No trecho
considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades
uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm², enquanto a da garganta (2) é 10 cm².
Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio (𝛾𝐻𝑔 = 136.000 𝑁/𝑚³) é ligado
entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede se a vazão da
água que escoa pelo Venturi. (𝛾𝐻2𝑂 = 10.000 𝑁/𝑚³)
2) Calcular a potência do jato de um fluido descarregado no ambiente por um
bocal.
Dados: 𝑣𝑗 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑗𝑎𝑡𝑜; 𝐴𝑗 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑗𝑎𝑡𝑜; 𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.
3) Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma
turbina e determinar a sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se
que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a
vazão é 20 L/s, a área da seção dos tubos é 10 cm² e a perda de carga entre as
seções (1) e (4) é 2m.
Não e dado o sentido do escoamento. 𝛾𝐻2𝑂 = 10
4 𝑁/𝑚³; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠²
AULA 15
Resolução
Questão 1:
Note-se que as hipóteses impostas pelo problema o enquadram perfeitamente
no uso da equação de Bernoulli. Logo:
𝑝1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2
Os centros geométricos das seções (1) e (2) têm a mesma conta z, qualquer
que seja o PHR adotado. Dessa forma, pode-se escrever:
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2𝑔
=
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
O segundo membro dessa expressão pode ser determinado pelo manômetro
diferencial instalado, mas antes disso é interessante notar que, pela equação da
continuidade, sendo 𝐴2 < 𝐴1, tem-se 𝑣2 > 𝑣1, e como a energia cinética aumenta
de (1) para (2), a energia de pressão deverá diminuir para que a soma seja
constante. Essa observação explica o porquê de o manômetro estar desnivelado da
esquerda para direita, já que 𝑝1 > 𝑝2. Partindo do centro geométrico da seção (1) e
desprezando os trechos comuns os dois ramos do manômetro, a equação
manimétrica ficará:
𝑝1 + 𝛾𝐻2𝑜ℎ − 𝛾𝐻𝑔ℎ = 𝑝2
𝑝1 − 𝑝2 = (𝛾𝐻𝑔 − 𝛾𝐻2𝑜)ℎ
𝑝1 − 𝑝2 = (136.000 − 10.000) × 0,1 = 12.600 𝑁/𝑚²
Ou
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2𝑔
=
12.600
𝛾
=
12.600
10.000
= 1,26𝑚
Ou, adotando g=10 m/s²
𝑣2
2 − 𝑣1
2 = 25,20 𝑚²/𝑠²
278
Como a equação da energia conduz a uma equação com duas incógnitas,
haverá necessidade de outra equação que relacione as velocidades, que é a
equação da continuidade. Pela equação da continuidade:
𝑄1 = 𝑄2
Ou
𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 ∴ 𝑣1 = 𝑣2
𝐴2
𝐴1
=
𝑣2
2
Logo:
𝑣2
2 −
𝑣2
2
4
= 25,20
Ou
𝑣2 = √
4 × 25,20
3
= 5,8 𝑚/𝑠
Logo:
𝑄 = 𝑣2𝐴2 = 5,8 × 10 × 10
−4 = 𝟓, 𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎³/𝒔 ou 𝑸 = 𝟓, 𝟖 𝑳/𝒔
Questão 2:
A carga ou a energia do jato por unidade de peso é dada por:
𝐻𝑗 =
𝑝𝑗
𝛾
+
𝑣𝑗
2
2𝑔
+ 𝑧𝑗
Passando o PHR no centro do bocal, 𝑧𝑗 = 0. Como o jato é descarregado à
pressão atmosférica, sua pressão efetiva será nula, isto é, 𝑝𝑗 = 0.
Logo:
𝐻𝑗 =
𝑣𝑗
2
2𝑔
O que significa que o jato só tem carga cinética.
Pela equação 15.7:
𝑁𝑗 = 𝛾𝑄𝑗𝐻𝑗
279
Ou,
𝑁𝑗 = 𝛾𝑣𝑗𝐴𝑗
𝑣𝑗
2
2𝑔
Logo:
𝑵𝒋 =
𝜸𝑨𝒋𝒗𝒋
𝟑
𝟐𝒈
𝒐𝒖 𝑵𝒋 =
𝝆𝑨𝒋𝒗𝒋
𝟑
𝟐
Questão 3:
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o nível do reservatório
inferior sem incluir a parte interna do tubo, já nesta não se conhece a pressão. Sabe-
se que o escoamento acontecerá no sentido das cargas decrescentes, num trecho
onde não existe máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as cargas nas
seções (1) e (2).
𝐻1 =
𝑝1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑧1 = 0 + 0 + 24 = 24𝑚
𝐻2 =
𝑝2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑧2 =
𝑣2 =
𝑄
𝐴2
=
10 × 10−3
10 × 10−4
= 10𝑚/𝑠
𝐻2 =
0,16 × 106
104
+
102
2 × 10
+ 4 = 25𝑚
Como 𝐻2 > 𝐻1, conclui-se que o escoamento terá o sentido de (2) para (1) ou
de baixo para cima, sendo a máquina, obviamente, uma bomba. Aplique-se agora a
equação da enrgia entre as seções (4) e (1), que compreendem a bomba. Lembra
que a esquação deve ser escrita no sentido do escoamento.
𝐻4 + 𝐻𝐵 = 𝐻1 + 𝐻𝑝4,1
𝐻4 =
𝑝4
𝛾
+
𝑣4
2
2𝑔
+ 𝑧4 = 0
𝐻1 = 24𝑚 (𝑗á 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝐻𝑝4,1 = 2𝑚
Logo:
𝐻𝐵 = 𝐻1 − 𝐻4 + 𝐻𝑝1,4 = 24 − 0 + 2 − 26 𝑚 > 0
280
Confirma-se que a máquina é uma bomba, já que a carga manometrica
resutou positiva.
𝑵𝑩 =
𝜸𝑸𝑯𝑩
ɳ𝑩
=
𝟏𝟎𝟒 × 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑 × 𝟐𝟔
𝟎, 𝟕𝟓
×
𝟏
𝟏. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟑, 𝟒𝟕 𝒌𝑾
Resumo
Nessa aula vimos vários conceitos partindo da equação de Bernoulli, vamos
ver também algumas das suas aplicações.
Aplicações da equação de Bernoulli
Aviões: A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz com que
o ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo. De acordo com a
equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte
de baixo, criando uma força de empuxo que sustenta o avião no ar.
Vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado
paralelamente ao extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão
nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra
o fluido para cima. O ar rápido também divide o fluido em pequenas gotas, que são
empurradas para frente.
282
Chaminé: O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma
diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da
chaminé.
Medidores de velocidade de um fluido: Na figura (a) abaixo, se existir ar em
movimento no interior do tubo, a pressão P é menor do que P0, e aparecerá uma
diferença na coluna de fluido do medidor. Conhecendo a densidade do fluido do
medidor, a diferença de pressão, P-P0 é determinado. Da equação de Bernoulli, a
velocidade do fluido dentro do tubo, v, pode ser determinada.
O medidor da figura (b) acima pode determinar a diferença de velocidade
entre dois pontos de um fluido pelo mesmo princípio.
Os medidores abaixo também são baseados no mesmo princípio. Todos
esses tipos de medidores são conhecidos como medidores de Venturi.
283
Leia toda a aula e refaça os exercícios resolvidos, para que possa fixar
o conhecimento. Como foi dito durante a aula a equação foi construída
pouco a pouco então e muito importante não ficar com dúvida! Bons
Estudos!
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 15
Exercícios
1) O reservatório de grandes dimensões da figura
fornece água para o tanque indicado com uma vazão de 10L/s.
Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e
determinas sua potência, se o rendimento é 75%. Supor fluido
ideal.
Dados: 𝛾𝐻20 = 10
4 𝑛/𝑚³ ; 𝐴𝑡𝑢𝑏𝑜𝑠 = 10 𝑐𝑚² ; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠²
2) Na instalação da figura, a máquina é uma bomba e o fluido é água. A
bomba tem uma potência de 5 kW e seu rendimento é 80%. A água descarregada à
atmosfera com uma velocidade de 5m pelo tubo cuja área da seção é 10 cm².
Determinar a perda de carga do fluido entre (1) e (2) e a potência dissipada ao longo
da tubulação. (𝛾𝐻20 = 10
4 𝑛/𝑚³ ; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠²) .
3) Na instalação da figura, a vazão de água na máquina é 16 L/s e tem-se
𝐻𝑝1,2 = 𝐻𝑝3,4 = 1𝑚. O manômetro na seção (2) indica 200 kPa e o da seção (3)
287
indica 200kPa. Determinar:
a) o sentido do escoamento;
b) a perda de carga no trecho (2)-(3);
c) o tipo de máquina e a potência que troca com o fluido em kW;
d) a pressão do ar em (4) em Mpa.
4) Determinar o coeficiente 𝛼 da energia cinética para o escoamento de um
líquido num tubo de seção circular. O escoamento é laminar e o diagrama de
velocidades é 𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 [(1 −
𝑟
𝑅
) ²].
5) Determinar o coeficiente 𝛼 da energia cinética para o escoamento
turbulento de um líquido num tubo de seção circular. O diagrama de velocidades é
𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 (1 −
𝑟
𝑅
).
Equação de energia geral para
regime permanente
Aula 16
APRESENTAÇÃO DA AULA
Com os conhecimento apresentados e consolidados nessa ual de hoje
veremos uma continuação relacionada com a equação da continuidade. Veremos
também a equação de energia para diversas entradas e saidas em regime
permanente. Sobre a perda de carga faremos uma breve introdução e
apresentaremos também a equação da energia geral.
OBJETIVOS DA AULA
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:
A equação da energia para diversas entradas e saídas e escoamentos
em regime permanente;
Introdução Interpretação de Perda de Carga;
Equação da Energia Geral.
289
16 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA DIVERSAS ENTRADAS E SAÍDAS E
ESCOAMENTO EM REGIME PERMANENTE DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL,
SEM TROCAS DE CALOR
Ao longo das últimas aulas, raciocinou-se com apenas uma entrada e uma
saída ou tubo corrente. Com a base dada, o próprio leitor poderia verificar as
alterações na equação para um caso em que o número de entras e saídas fosse
maior. No entanto, será aqui determinada essa equação, de grande utilidade em
muitos problemas. Mantidas as hipóteses da equação de Bernoulli (Aula 15), na
figura 16.1, a energia que penetra no sistema pelas entradas deve coincidir com a
que o abandona pelas saídas no mesmo intervalo de tempo 𝑡, para que o regime
seja permanente.
Figura 16.1: Hipótese da equação de Bernoulli.
Logo:
∑ 𝐸
𝑒
= ∑ 𝐸
𝑠
Onde: e = entradas
s = saídas
Dividindo a equação 15.1 pelo intervalo de tempo em que as energias que
entraram e saíram foram computadas, obtém-se:
∑
𝐸
𝑡𝑒
= ∑
𝐸
𝑡𝑠
290
E lembrando que a energia do fluido por unidade de tempo representa a
potência do fluido; teremos:
∑ 𝑁
𝑒
= ∑ 𝑁
𝑠
Ou
∑ 𝛾𝑄𝐻
𝑒
= ∑ 𝛾𝑄𝐻
𝑠
Onde
𝐻 =
𝛼𝑣²
2𝑔
+
𝑝
𝛾
+ 𝑧 em cada seção
No caso da presença de máquinas e de perda por atrito, teremos, pela figura
16.2.
Figura 16.2: Presença de máquinas e de perda por atrito.
∑ 𝛾𝑄𝐻 +𝑁
𝑒
= ∑ 𝛾𝑄𝐻 + 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠
𝑠
Onde N será positivo ou negativo, dependendo de a máquina ser bomba ou
turbina, e 𝑁 = 𝛾𝑄𝐻𝑀, conforme visto anteriormente.
𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = ∑𝛾𝑄𝐻𝑃
Onde a somatória, 𝑄 e 𝐻𝑝referem-se a cada trecho do escomaneto.
291
16.1 Interpretação da perda de carga
A existência de atrito do fluido provoca uma dissipação de energia que, por
unidade de peso, é computada matematicamente pela perda de carga 𝐻𝑃1,2. Note-se
que a ideia de perda de carga é introduzida para balancear a equação sem o
objetivo de procurar explicar o paradeiro da energia que vai sendo perdida pelo
fluido ao longo do seu escoamento. Observe-se também que, a essa altura, ainda
são vigentes as hipóteses de fluido incompressível e a ausência de trocas induzidas
de calor. Conclui-se, portanto, que a ideia de perda de carga está ligada a essas
hipóteses e que, se elas falharem, esse termo da equação da energia deverá ser
introduzido e interpretado de outra maneira. É evidente que, entrando em detalhes, a
perda de carga, provocada pelo efeito mecânico do atrito no escoamento do fluido,
acabará recaindo em efeitos térmicos, que deverão ser levados em consideração na
sua interpretação. Para facilitar a compreensão, vamos observar dois casos isolados
que na prática acontecem simultaneamente. Vamos supor, em primeiro lugar, que o
escoamento fosse isotérmico. (Figura 16.3)
Figura 16.3: Escoamento isotérmico.
Nesse caso, o atrito provoca uma tendência de aquecimento do fluido; mas,
diante da hipótese, como 𝑇 = 𝑐𝑡𝑒 ao longo do escoamento, deve-se supor que
haverá uma troca de calor entre o fluido e o meio. Como o calor é uma energia que
flui, o sentido do seu fluxo será indicado por um sinal. Considera-se o calor positivo
quando é fornecido ao sistema e negativo em caso contrário. Indicando pôr 𝑞 o calor
trocado por unidade de peso, tem-se;
292
𝑞 > 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜;
É óbvio que o calor gerado pelos atritos é sempre perdido pelo fluido e,
portanto, pela nossa convenção, será sempre negativo. Logo, como a perda de
carga é um termo positivo, tem-se nesse caso:
𝐻𝑝1,2 = −𝑞
Vamos supor agora que o escoamento fosse adiabático, isto é, sem trocas de
calor. Nesse caso, como não é trocado calor entre as seções (1) e (2), haveria ao
longo do escoamento um aquecimento provocado pelo atrito. (Figura 16.4)
Figura 16.4: Escoamento provocado pelo atrito.
O aumento de temperatura do fluido denota um aumento de sua energia
térmica ou interna. Indicaremos essa energia por unidade de peso por 𝑖 e, na
ausência de outros fenômenos, 𝑖 será proporcional a 𝑇. Logo:
𝑖 =
𝑐𝑒
𝑔
𝑇
Onde 𝑐𝑒= calor especifico do fluido = calor necessário para que a unidade de
massa do fluido sofra uma variação de temperatura de um grau. A aceleração da
gravidade 𝑔 aparece pelo fato de 𝑐𝑒ser definida por unidade de massa e 𝑖 por
unidade de peso. Como, devido ao atrito 𝑇2 > 𝑇1, então 𝑖2 > 𝑖1, denotando o
aumento de energia térmica do fluido. Pelo princípio da conservação da energia, o
aumento de energia térmica do fluido deverá ser acompanhado por uma diminuição
da energia mecânica, cujo total é representado pela carga H: logo se,
293
𝑖2 > 𝑖1 → 𝐻2 < 𝐻1
Na realidade, deve ser lembrado que:
𝐻 =
𝛼𝑣²
2𝑔
+
𝑝
𝛾
+ 𝑧
Assim, 𝑧2 − 𝑧1 é função apenas das cotas das seções (1) e (2). Por outro
lado, 𝑣1 =
𝑄1
𝐴1
e 𝑣2 =
𝑄2
𝐴2
··, pois, por se tratar de um fluido incompressível, 𝑄1 = 𝑄2 e,
portanto, 𝑣1 e 𝑣2 são funções geométricas das áreas das seções. Conclui-se, assim,
que o aumento da energia térmica só pode ser realizado a custo de uma diminuição
correspondente da energia de pressão. Logo, nesse caso, a perda de carga deverá
ser interpretada pelo aumento de energia térmica ou por uma perda de energia de
pressão, reduzindo-se, portanto, o conteúdo de energia mecânica do fluido. Nesse
caso:
𝐻𝑝1,2 = 𝑖2 − 𝑖1 =
𝑐𝑒
𝑔
(𝑇2 − 𝑇1)
Logo, quando se interpretam apenas os fenômenos mecânicos do
escoamento de um fluido incompressível, o aumento da energia térmica, provocados
pelos atritos, é incluindo nas perdas mecânicas, interpretadas globalmente pela
“perda de carga”. Em regime permanente, o escoamento não será nem adiabático
nem isotérmico e haverá uma simultaneidade de trocas de calor e variação de
temperatura entre uma seção e outra, devido aos atritos, de forma que:
𝐻𝑝1,2 = (𝑖2 − 𝑖1) − 𝑞
Apesar da ocorrência da equação 16.8, não será possível obter a perda de
carga numericamente, pela medida de seus efeitos térmicos, devido ao fato de que
estes, sendo muito pequenos, são difíceis de avaliar. Logo, a equação 16.8 deve ser
interpretada apenas conceitualmente, sem o objetivo de uso para o cálculo da perda
de carga. Que pode ser calculado por outros meios.
294
16.2 Equação da energia geral para regime permanente
Quando o fluido for compressível e houver trocas induzidas de calor, não seria
mais possível ignorar as energias térmicas, que passam a desempenhar um papel
importante nas interpretações dos fenômenos. Por outro lado, a existência de troca
de calor induzida e a variação da energia térmica causada por essa troca fazem com
que não seja mais possível observar a perda de carga, já que no global é causadora
também de variação de energia interna e de troca de calor. Em outras palavras,
nessas condições:
𝐻𝑝1,2 ≠ (𝑖2 − 𝑖1) − 𝑞
Por causa disso na equação da energia, válida para fluidos compressíveis e
com efeitos térmicos, o balanço das energias deve ser feito considerando a variação
da energia térmica e o calor, sem destacar a perda de carga que, de certa forma,
torna-se irreconhecível ou, em outras palavras, fica englobada nos efeitos térmicos.
Figura 16.5: Balanço das energias.
Logo:
𝐻1 + 𝑖1 + 𝐻𝑚 + 𝑞 = 𝐻2 + 𝑖2
Note-se que 𝐻𝑚 e 𝑞 podem ser positivos ou negativos, dependendo de serem
fornecidos ou retirados do fluido. Escrita por extenso, a equação 16.9 fica:
𝛼1𝑣²1
2𝑔
+ 𝑧1
𝑝1
𝛾1
+ 𝑖1 + 𝐻𝑚 + 𝑞 =
𝛼2𝑣²2
2𝑔
+ 𝑧2
𝑝2
𝛾2
+ 𝑖2
295
𝛼1𝑣²1
2𝑔
+ 𝑧1
𝑝1
𝛾1
+ 𝐻𝑚+ =
𝛼2𝑣²2
2𝑔
+ 𝑧2
𝑝2
𝛾2
+ 𝑖2 − 𝑖1 − 𝑞
Como já foi dito anteriormente, no caso de fluidos compressíveis, com troca
de calor:
𝑖2 − 𝑖1 − 𝑞 ≠ 𝐻𝑝1,2
E no caso de fluidos incompressíveis, sem troca de calor?
𝑖2 − 𝑖1 − 𝑞 = 𝐻𝑝1,2
Na equação 16.11 pode-se ainda fazer ℎ =
𝑝
𝛾
+ 𝑖
Onde ℎ = entalpia por unidade de peso e se pode escrever:
𝛼1𝑣²1
2𝑔
+ 𝑧1 + ℎ1 + 𝐻𝑚 + 𝑞 =
𝛼2𝑣²2
2𝑔
+ 𝑧2 + ℎ2
Que nada mais é do que a primeira lei da termodinâmica para sistema aberto
ou volume de controle.
AULA 16
Questões
1) No sistema da figura, os reservatórios são de grandes dimensões. O
reservatório X alimenta o sistema com 20L/s e o reservatório Y são alimentados pelo
sistema com 7,5L/s. A potência da bomba é 2hW e o seu rendimento, 80%. Tosas as
tubulações tem 62 mm de diâmetro e as parede de carga são: 𝐻𝑝0,1 = 2𝑚; 𝐻𝑝1,2 =
1𝑚 e 𝐻𝑝1,3 = 4𝑚. O fluido é água (𝛾 = 10
4𝑁/𝑚³). Pede-se:
a) A potência dissipada na instalação;
b) A cota da seção (3) em relação ao centro da bomba.
2) Água escoa numa tubulação horizontal de 5 cm de diâmetro com uma
vazão de 5L/s. A perda de carga num trecho de 10m é 2m.
a) Supondo o escoamento adiabático, qual seria a variação de temperatura
entre as duas seções?
b) Supondo o escoamento isotérmico, qual seria o fluxo de calor para o
ambiente?
c) Qual é a queda de pressão entre as duas seções?
Dados: 𝛾 = 104𝑁/𝑚³ ; 𝑔 = 10 𝑚/𝑠² ; 𝑐𝑒 = 4,186 𝑘𝐽/𝑘𝑔. °𝐶.
AULA 16
Resolução
Questão 1:
a) Pela equação da continuidade:
∑ 𝑄
𝑒
= ∑ 𝑄
𝑠
Logo:
𝑄0,1 = 𝑄1,2 = 𝑄1,3
20 = 𝑄1,2 + 7,5
𝑄1,2 = 12,5 𝐿/𝑠
𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝛾𝑄0,1𝐻𝑝0,1 + 𝛾𝑄1,2𝐻𝑝1,2 + 𝛾𝑄1,3𝐻𝑝1,3
𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 10
4 × (20 × 10−3 × 2 + 12,5 × 10−3 × 1 + 7,5 × 10−3 × 4)
1
103
𝑵𝒅𝒊𝒔𝒔 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟓𝒌𝑾
b)
∑ 𝛾𝑄𝐻 +𝑁
𝑒
= ∑ 𝛾𝑄𝐻 + 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠
𝑠
𝛾𝑄0,1𝐻0 +𝑁 = 𝛾𝑄1,2𝐻2 + 𝛾𝑄1,3𝐻3 + 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠
𝐻0 =
𝛼0𝑣²0
2𝑔
+
𝑝0
𝛾
+ 𝑧0
Onde:
𝑣0 = 0
𝑝0 = 0
𝑧0 = 2, 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑠𝑒 𝑜 𝑃𝐻𝑅 𝑛𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎.
Logo:
𝐻0 = 2𝑚.
𝐻2 =
𝛼2𝑣²2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2
Onde:
𝑧2 = 0
𝑝2 = 0
298
𝑣2 =
4𝑄2
𝜋𝐷²
=
4 × 12,5 × 10−3
𝜋 × 0,062²
= 4,14 𝑚/𝑠
E supondo 𝛼2 = 1
𝐻2 =
4,14²
20
= 0,86𝑚
𝐻3 =
𝛼3𝑣²3
2𝑔
+
𝑝3
𝛾
+ 𝑧3
Onde:
𝑣3 = 0, 𝑝3 = 0 , 𝑧3 = ℎ
𝑁 = 𝑁𝐵 × 𝑛𝐵 = 2 × 0,8 = 1,6 𝑘𝑊
Portanto, na equação de energia:
104 × 20 × 10−3 × 2 + 1,6 × 103 = 104 × 12,5 × 10−3 × 0,86 + 104 × 7,5 × 10−3 × ℎ + 0,825 × 103
E finalmente temos o ℎ.
𝒉 = 𝟏𝟒, 𝟕𝒎
Questão 2:
a) 𝐻𝑝 1,2 =
𝑐𝑒
𝑔
(𝑇2 − 𝑇1)
𝑇2 − 𝑇1 =
10 × 2
4,186 × 103
𝑇2 − 𝑇1 =
𝑔𝐻𝑝 1,2
𝑐𝑒
→
𝑚
𝑠2
×𝑚
𝐽
𝑘𝑔
.°𝐶
=
𝑚
𝑠2
𝑁.
𝑚
𝑘𝑔
.°𝐶
= °𝐶
Já que N/kg = m/s².
Logo:
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟖 °𝑪
Esse resultado mostra que seria impossível à perda de carga pela medida da
variação de temperatura do fluido.
b) 𝐻𝑝 1,2 = −𝑞 → 𝑞 = −2𝑚
299
O sinal negativo é consequência do fato de que o calor é perdido pelo fluido.
Fluxo de calor é o calor trocado por unidade de tempo.
Mas q= calor/peso
Logo:
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 =
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑝𝑒𝑠𝑜
×
𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
Ou
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑞 × 𝑄𝐺 = 𝑞𝛾𝑄
Portanto:
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 = −2 × 104 × 5 × 10−3 (𝑚 ×
𝑁
𝑚3
×
𝑚3
𝑠
) =
𝐽
𝑠
= 𝑊
𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒐𝒓 = −𝟏𝟎𝟎𝑾
c) 𝐻𝑝 1,2 = 𝐻2 − 𝐻1 = (
𝛼2𝑣
2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2) − (
𝛼1𝑣
2
1
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1)
Como o tubo é horizontal, 𝑧2 − 𝑧1 = 0 ;
Como tem seção constante,
𝛼2𝑣
2
2
2𝑔
−
𝛼1𝑣
2
1
2𝑔
= 0
Logo:
𝐻𝑝 1,2 =
𝑝2 − 𝑝1
𝛾
𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾𝐻𝑝 1,2
Ou
𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = 𝟏𝟎
𝟒 × 𝟐 = 𝟐𝟎 𝒌𝑷𝒂
Resumo
Vimos alguns conceitos complementares e relacionados com a equação da
continuidade. A aprendizagem desses conceitos traz um conhecimento
importantíssimos sobre diversos funcionamentos. Então não fique com dúvidas,
revise todos os conteúdos apresentados e refaça os exercícios a repetição e prática
e a melhor maneira de fixação e aprendizagem.
Complementar
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho –
Rio de Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor).
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e
Revisão Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa –
Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências Bibliográficas
Básica:
Fenômenos dos Transportes para Engenharia. Washington Braga Filho – Rio de
Janeiro: LTC, 2006. (Disponível na Biblioteca Redentor);
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed - Tradução e Revisão
Técnica: Eduardo Mach Queiroz e Fernando Luiz Pellegrini Pessoa – Rio de Janeiro: LTC,
2008.
Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf>. Acesso em: 18 abril.
2017.
Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-
Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf>. Acesso em: 18 abril. 2017.
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula3.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
http://wp.ufpel.edu.br/hugoguedes/files/2013/05/Aula-2-Est%C3%A1tica-dos-Fluidos.pdf
AULA 16
Exercícios
1) No convergente da figura escoar ar considerando gás
perfeito. Sendo 𝐴1 = 0,1𝑚²; 𝐴2 = 0,05𝑚²; 𝑝2 =
0,2𝑀𝑃𝑎 (𝑎𝑏𝑠); 𝑝1 = 1 ℎ𝑔/𝑚³ , determinar o calor trocado entre
(1) e (2) por unidade de tempo (fluxo de calor) , sabendo que a
vazão na seção (1) é 1m3/s e que o escoamento é isotérmico. Dizer se o calor é
retirado ou fornecido. (Justifique).
2) Uma turbina a vapor consome 4.500 kg/h de vapor e recebe 736 kW. As
velocidades de entrada e saída do vapor são, respectivamente, 60 m/s e 275 m/s, e
as entalpias, 2.160 kJ/kg e 2.090 kJ/kg. Calcular a perda de calor através da carcaça
em kW.
3) Na máquina da figura, são dados: 𝑣1 = 4 𝑚/𝑠; 𝐴1 = 0,52 𝑚²; 𝐴2 = 0,4 𝑚²;
𝑝1 = 𝑝2 = 0,1 𝑀𝑃𝑎. O escoamento é isotérmico, a potência fornecida ao fluido
compressível pela máquina é 10 kW e o fluxo de calor perdido para o exterior é 0,98
kW. Qual é a vazão em massa através da máquina?Mais conteúdos dessa disciplina
Exercícios de Fixação - Aula 03_ Hidrodinâmica (Complementar)_ Revisão da tentativa- Exercícios de Fixação - Aula 02_ Hidrostática II (Complementar)_ Revisão da tentativa
- Lista de Exercícios Mecânica
- 03 - EF07CI03 - Forma de Propagação do Calor
- Mapa Mental - Sistemas Elétricos de Potência
- PROVA CURRICULAR - INTRODUÇÃO À PERÍCIAS CONTRA INCÊNDIOS - TENTATIVA 1
- ATIVIDADE DE ESTUDO 02 - INTRODUÇÃO À PERÍCIAS CONTRA INCÊNDIOS - TENTATIVA 1
- Lista_Estatica_Bernoulli
- Microbial Biotechnology - 2017 - Plugge - Biogas
- 0:17:17 Questão 1/10 Atividades extensionistas / Projeto Integrador: Bases Fundamentais da Medicina Veterinária Ler em voz a Jm experimento comparo...
- A função f(t)=2+log3(t+1)f(t)=2+log3(t+1). Para t=80t=80, o valor de f(t)f(t) é
- X estacio.saladeavaliacoes.com.br/p X Nova guia X + //estaco.salaealiacoes.ombr/prova/69584cf38465470e41427f52/ SM2 Fund. Da Tecnologia Farmacêutic...
- o caminho percorrido por um elemento de um solido em movimento e chamado de linha de escoamento . em geral a velocidade do elemento varia em modulo e
- O espectro eletromagnético, além de englobar o espectro visível, também é constituído pelos: l. Raios gama ll. Raios x lll. Radiação ultravioleta l...
- Qual das opções abaixo NÃO reflete os princípios da hidro-solidariedade? a. Incentivar o uso sustentável da água, promovendo a colaboração entre...
- 1. Uma jiboia adulta, criada em cativeiro, apresenta perda progressiva de peso apesar de receber presas musculares descongeladas duas vezes por mês tr
- 1. Uma jiboia adulta, criada em cativeiro, apresenta perda progressiva de peso apesar de receber presas musculares descongeladas duas vezes por mês tr
- A perda de calor do corpo pode ocorrer por quatro processos:Escolha uma opção:a.Sudorese, condução, convecção e radiação.b.Condução, difusão, facilita
- iante de paciente que procura atendimento com queixas relacionadas à satisfação sexual, é importante investigar etiologias comuns bem como é fundament
- Pergunta 2 0,45 Pontos Pergunta 2 O peso específico é definido como o peso por unidade de volume e existe, também, o peso específico relativo para...
- No encanamento de uma residência, o cano ligado à caixa d'água possui diâmetro, todavia, o cano ligado à mangueira do jardim possui 1/2 " 3/4 " ...
- Prova N2 SUB (A6) Prazo de envio 19/12/2025 - 23:59 Tentativas 0/2 Tentativa válida Maior nota Vale 10 pontos Revisão Prova N2 SUB (RA6) Este item ...
- Instrumentaçao eletronica
- 1EM CIRCUITO